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4. Ondas Sonoras

1 Introdução

Depois de termos visto propriedades gerais das ondas vamos passar a estudaras ondas de som. Lembremo-nos de que o som é uma onda de densidade daspartículas do meio através do qual o som se propaga.

Figura 1: O som é uma onda de densidade das partículas que constituem o meioatravés do qual o som se propaga.

Na �gura acima vemos um pistão que oscila, empurrando as moléculas do are provocando ondas de densidade das moléculas do ar.

2 Ondas audíveis, infrasónicas e ultrasónicas

As ondas sonoras dividem-se em três categorias:

• As ondas audíveis são aquelas que conseguimos ouvir. A sua frequênciaestá compreendida aproximadamente entre as frequências de 20 Hz e 20kHz.

• As ondas infrasónicas têm frequências abaixo de 20 Hz. As ondas dostremores de terra são um exemplo de ondas infrasónicas.

1

• As ondas ultrasónicas têm frequências acima de 20 kHz. Os morcegosconseguem ouvir frequências até 120 kHz, e portanto ouvem ondas ultra-sónicas, que nós não conseguimos ouvir.

A �gura seguinte ilustra este ponto

Figura 2: Ondas audíveis, infrasónicas e ultrasónicas.

3 Velocidade das ondas sonoras

O mecanismo de propagação do som é o mesmo em todos os meios. A �gura 1pode aplicar-se a qualquer meio, só que em vez de um pistão podemos pensarnum martelo a bater num sólido, por exemplo. Claro que num sólido os áto-mos/moléculas não têm a mesma liberdade de movimentos que num gás. Noentanto é ainda é verdade que podem oscilar em torno da sua posição de equi-líbrio.

A velocidade de propagação do som depende, no entanto, das propriedadesfísicas do meio material através do qual se propaga o som. Pode mostrar-se quea velocidade do som é dada por

v =

√k

ρ, (1)

2

em que k é uma constante característica de cada material, que descreve as suaspropriedades elásticas, e ρ é a densidade,

ρ =massavolume

, (2)

que tem unidades de kg m−3 ou kg/m3.No caso dos gases e dos líquidos, k é o módulo volumétrico de elastici-

dade, que se costuma representar por B (do inglês bulk modulus)

k → B = −∆pV

∆V= ∆p

ρ

∆ρ, (3)

(tem unidades de pressão: Pascal (Pa), ou seja, N/m2 ou ainda kg m−1 s−2).Nesta expressão ∆p é a pressão aplicada ao gás, V é o seu volume inicial e ∆Vé a variação de volume do gás originada pela aplicação dessa pressão. É fácil dever que −V/∆V = ρ/∆ρ, o que explica a segunda igualdade.

O módulo volumétrico de elasticidade dá pois uma medida das propriedadeselásticas das substâncias, sendo tanto maior quanto menos a substância variar oseu volume em resposta à pressão aplicada. Na verdade, e apedo nome, B mededirectamente a resistência das substâncias à compressão. B é portanto tantomaior quanto maior for a resistência de uma substância à compressão.

A �gura 3 ilustra a de�nição de módulo volumétrico de elasticidade.

Figura 3: O módulo volumétrico de elasticidade.

Resta ainda explicar para quem não sabe/não se lembra que a pressão exercidapor uma força F numa dada área A vale

P =F

A[Pa]. (4)

3

A unidade do SI para a pressão é o Pascal (Pa). 1 Pa é a pressão exercida poruma força de 1 N numa área de 1 m2.

Figura 4: p = F/A.

♦ Por exemplo, uma pessoa com 100 kg em cima de uma balançade casa de banho, com uma área de 0,1 m2 exerce uma pressão de P =F/A = 100kg × 9.8ms−1/(0.1m2) = 9800 Pa.

Vejamos um exemplo simples para perceber o conceito de módulo volumétricode elasticidade:

• Se taparmos uma seringa na ponta e pressionarmos o êmbolo conseguimoscontrair o ar. Como a mesma massa de ar passa a ocupar menos volume,então a densidade do ar aumenta e ∆ρ é grande.

• Por outro lado, se repetirmos a experiência com água (e a mesma pressão)não conseguimos variar o volume e a densidade não varia (só varia compressões muito maiores) e ∆ρ é zero ou, pelo menos, muito pequeno.

• Vemos portanto ∆ρ é tanto maior quanto mais elástico for o material, nestecaso é muito maior para o ar do que para a água.

• E quanto a B? Onde é maior? Na água, certamente, porque ρágua >

ρar, ∆ρágua < ∆ρar e B ∝ ρ/∆ρ, ou seja, no cálculo de B da água, erelativamente aos valores do ar, o numerador é maior e o denominador émenor. Os dois factores reforçam-se no sentido de tornar

Bágua > Bar. (5)

4

Portanto, como já se tinha dito, B é maior para a substância mais resistenteà pressão, neste caso a água.

Figura 5: O módulo de elasticidade do ar é maior do que o da água.

Quanto aos sólidos, o módulo de elasticidade que se deve usar é o módulo deelasticidade de Young. O módulo de Young acaba por ser uma versão unidimen-sional do módulo volumétrico de elasticidade, já que num sólido a variação devolume dá-se essencialmente na direcção da compressão (ou elongação). Assim, ade�nição do módulo de Young é semelhante à anterior, só que em vez de V , vol-ume, passamos a ter L, comprimento. Temos então a seguinte de�nição, relativaà �gura 6,

k → Y =F

A

L

∆L, (6)

em que L é o comprimento da barra em repouso e ∆L é a sua variação após aaplicação da força F .

Deve notar-se que para um sólido também se de�ne o módulo volumétrico deelasticidade, simplesmente que não é este módulo que deve entrar no cálculo davelocidade do som e sim o módulo de Young.

No âmbito de uma descrição geral para gases, líquidos e sólidos podemos sim-plesmente pensar no módulo de elasticidade k. Embora isto não seja rigorosa-

5

Figura 6: p = F/A.

mente verdade, podemos pensar numa primeira abordagem que um material maisrijo tem um valor maior de E (lembrar o exemplo do ar e da água).

Por exemplo, intuitivamente compreendemos que o aço é menos elástico queo plástico (o que quer dizer que oferece maior oposição a alterações elásticas),que é menos elástico que a barro, que é menos elástico que o ar. Assim, podemosantever que

k(aço) > k(plástico) > k(barro) > k(ar), (7)

como podemos ver também na �gura 7.Agora que já entendemos bem os conceitos relativos ao módulo de elasticidade,

podemos passar à pergunta mais importante: onde é que o som se propagamais rapidamente, nos gases, nos líquidos ou nos sólidos?

Entre sólidos e líquidos é fácil de perceber. Se introduzirmos (3) em (1)obtemos

v =

√∆p

∆ρ, (8)

o que indica claramente que nos líquidos a velocidade do som é maior, pois têmvalores de ∆ρ menores do que os dos gases.

Já no caso dos sólidos não conseguimos obter uma expressão tão simplesporque a expressão (6) do módulo de Young não permite a mesma simpli�cação.

A comparação da expressão (1), v =√

k/ρ, para gases e líquidos por um lado esólidos por outro, mostra que k e ρ são simultaneamnet maiores para os sólidosque para gases e líquidos. O efeito de um maior valor de k para os sólidos,no numerador, pode eventualmente ser compensado por um valor maior de ρ.

6

Figura 7: O módulo de elasticidade.

Portanto, com base na abordagem simples deste curso não podemos deduzir maisnada.

Na verdade veri�ca-se de uma forma geral que o aumento de k dos líquidospara os sólidos é proporcionalmente maior do que o aumento de ρ. Por isso avelocidade de propagação nos sólidos é maior do que nos gases e noslíquidos.

Segue-se uma tabela com as velocidades de propagação em vários meios ma-teriais

Meio v (m/s) Meio v (m/s)Ar (0o C) 331 Água do mar 1533Ar (20o C) 343 Alumínio 5100

Hidrogénio (0o C) 1286 Cobre 3560Oxigénio (0o C) 317 Ferro 5130Hélio (0o C) 972 Chumbo 1322

Água 1493 Borracha vulcanizada 54álcool metílico 1143

♦ Comente os valores para o ar, o chumbo e a borracha

7

4 O som como onda periódica

Já vimos no apítulo anterior que o som é uma onda. Vamos ver agora um poucomais em detalhe como é que é a descrição do som como uma onda periódica.

Podemos descrever as ondas sonoras de três formas equivalentes:

• como o movimento oscilatório das partículas do ar;

• como a oscilação da densidade do ar;

• como a oscilação da pressão do ar.

4.1 O som como movimento oscilatório das partículas do

ar

Vejamos o primeiro caso. Como já vimos numa animação, o movimento global doar para sustentar a propagação do som é constituído por movimentos oscilatóriosindividuais das partículas.

Figura 8: A oscilação das partículas faz-se em torno da posição de equilíbrio.

8

Cada partícula oscila em torno da sua posição de repouso, e é o conjuntode todos estes movimentos individuais que cria o movimento colectivo a quechamamos som. Essa oscilação individual tem as seguintes características:

• é feita sempre em torno do mesmo ponto, o que quer dizer que em média apartícula não sai do lugar;

• faz-se na direcção de propagação do som (onda longitudinal).

Podemos então pensar em descrever este movimento matematicamente. Pode-mos caracterizar o deslocamento da partícula1 em relação à sua posição de equi-líbrio. Assim, este deslocamento é

s(x, t) = smax cos(kx− ωt), (9)

em que smax é o deslocamento máximo. Esta expressão quer dizer que a partículaafasta-se da sua posição de equilíbrio por valores que oscilam entre -smax e +smax.

♦ Por exemplo, se smax = 50 µm, então as partículas afastam-se dasua posição de equilíbrio até 50 mícron, quer para a esquerda, quer paraa direita, oscilando entre estes dois extremos (-50 µm, desvio máximopara a esquerda, e 50 µm, desvio máximo para a direita2) à frequênciaω/2π.

4.2 O som como oscilação da densidade do ar

Também vimos na animação que a sobreposição dos movimentos individuais daspartículas cria zonas mais densas (condensações) e zonas mais rarefeitas (rar-efacções).

1Em rigor a descrição não se faz para uma partícula, mas para o que se chama �um elementode volume�, o que quer dizer um volume muito pequeno de ar, que contém portanto váriaspartículas em cada instante. Na verdade, nesta descrição, com elementos de volume, o que seestá a fazer implicitamente é considerar o ar como um meio contínuo, sem levar em conta a suaestrutura microscópica. Para nós, no entanto, que não estamos demasiadamente preocupadoscom o rigor físico, é mais intutivo pensar em termos de partículas.

2�esquerda� e �direita� tomadas na direcção de propagação da onda que, precisamente, seassume a ir da esquerda para a direita

9

Figura 9: O som também pode ser visto como uma onda de densidade.

Assim, num dado ponto do espaço a densidade de partículas varia entre �maisdenso que a média� e �menos denso que a média� (para calcular esta densidade us-amos um pequeno volume em torno deste ponto e contamos o número de partícu-las dentro do volume). Assim, se for ∆n a variação da densidade de partículasem relação ao valor médio (variação do número de partículas por m3 em relaçãoao número médio de partículas por m3), temos que

∆n(x, t) = ∆nmax sin(kx− ωt), (10)

em que ∆nmax é a variação máxima de densidade.

♦ Por exemplo, se a densidade média é 1022 m−3 e ∆n = 1010 m−3,então a densidade vai variar periodicamente entre os valores 1022 − 1010

m−3 e 1022 + 1010 m−3.

4.3 Desfazamanto entre a onda de deslocamento e a onda

de densidade

Deve notar-se a diferença entre as expressões (9) e (10): a primeira é em co-senoe a segunda em seno. Isto quer dizer que estão desfazadas de 90o, como ilustra a�gura seguinte:

10

Figura 10: As funções s(x, t) e ∆n(x, t) estão desfazadas de 90o.

Tentemos compreender a �gura. É mais fácil começar pelo grá�co de baixo. Aíilustra-se o comportamento da variação da pressão, que é igual ao comportamentoda variação da densidade. As zonas mais escuras dentro do êmbolo representamzonas de maior densidade de partículas e as mais claras zonas de menor densidade.Assim, o grá�co de P (e portanto tabém o da densidade) é uma representaçãodirecta da imagem: nas zonas mas escuras P é máximo e nas zonas mais clarasP é mínimo.

O grá�co de cima ilustra o comportamento do deslocamento das partículasdo ar relativamente às suas posições de equilíbrio. Veri�camos que nas zonas demaior e menor compressão o deslocamento é nulo. As partículas vão de encon-tro umas às outras nas zonas de maior compressão, mas no ponto onde se dáessa compressão as partículas que lá estão não se deslocam. Por outro lado odeslocamento é máximo quando a variação de densidade é nula.

Em resumo, o importante a reter desta secção é que o som pode ser visto comoum deslocamento sinusoidal da posição das partículas ou como uma variação dedensidade e pressão. Ambasa as variações são sinusoidais, mas estão desfazadas:os máximos e mínimos de uma e outra não são coincidentes.

11

5 A intensidade do som

5.1 De�nição

Como se de�ne a intensidade do som? A intensidade do som é de�nida como aenergia que a onda sonora transporta por unidade de tempo por unidade de área,tal como se ilustra na �gura 11.

Figura 11: De�nição de intensidade.

Assim, uma onda mais intensa transporta mais energia. A de�nição de inten-sidade é portanto

I =Energia

Area× tempo=

Potencia

Área. (11)

Pode mostrar-se que a intensidade de uma onda sonora vale

I =1

2ρ(ωsmax)

2v, (12)

em que ρ é a densidade do meio, ω = 2πf é a frequência angular da onda, smax é aamplitude do deslocamento das partículas [ver (9)] e v a velocidade de propagaçãodas ondas no meio.

Também se pode escrever numa forma equivalente em termos da variaçãomáxima de pressão:

I =∆Pmax

2ρv, (13)

em que desta vez ∆ρmax é a amplitude de variação da pressão [equivalente a∆nmax em (10)].

12

Da análise de (12) concluímos que a se todos os outros factores se mantiveremconstantes, a intensidade aumenta com

• a densidade do meio, pois é preciso mais energia para fazer oscilar um meiomais denso;

• com a frequência da onda, pois é preciso mais energia para fazer vibrar omeio a uma frequência mais elevada;

• como deslocamento máximo, pois é preciso mais energia para fazer aspartículas afastarem-se mais da sua posição de equlíbrio;

• com a velocidade de propagação, pois uma onda que vai mais rápido deveter mais energia.

5.2 Limiar de audibilidade

O limiar de audubilidade é uma intensidade de referência que nos vai servir parade�nir a escala dos decibéis

É também a intensidade mínima que o ouvido humano consegue detectar.Considera-se que a 1000 Hz esse valor é

I0 = 1.00× 10−12 W/m2. (14)

Como veremos mais à frente, o limiar de audibilidade depende da frequência. Asfrequências mais baixas (20-100 Hz) têm um limiar bastante mais alto do que asfrequências médias (100-5 kHz) e altas (5-50 kHz). Isto quer dizer que um somde baixa frequência precisa de ter muito maior intensidade do que um som médioou alto para se começar a ouvir. Na origem desta diferença de sensibilidades aossons está a anatomia e a �siologia do ouvido, como também veremos mais tarde.

Notamos ainda que o valor do limiar de audibilidade é muito baixo. Veremosa seguir que a sensibilidade do ouvido permite detectar intensidades com ordensde grandeza muito maiores.

5.3 Nível de intensidade sonora

O nível de intensidade sonora de um dado som é uma medida da intensidadedesse som relativamente ao nível de referência do limiar de audibilidade. Assim,o nível de intensidade sonora é uma medida relativa.

Consideremos então um dado som, de intensidade I. O seu nível de intensi-dade sonora mede-se em decibéis (dB) e vale

I(dB) = 10 logI

I0

. (15)

13

Tentemos perceber o que quer dizer esta escala. Em primeiro lugar consider-emos um som que tem uma intensidade igual ao limiar de audibilidade. EntãoI = I0 e

I(= I0, dB) = 10 logI0

I0

= 10 log 1 = 0 dB. (16)

Assim, a escala começa em 0 dB, o valor para o limiar de audibilidade, isto é,para uma intensidade de 1.00× 10−12 W/m2.

Consideremos agora uma intensidade 10 vezes maior, I = 10I0. Temos então

I(= 10I0, dB) = 10 log10I0

I0

= 10 log 10 = 10 dB. (17)

Consideremos ainda uma intensidade 100=102 vezes maior, I = 100I0. Temosentão

I(= 100I0, dB) = 10 log100I0

I0

= 10 log 100 = 20 dB. (18)

Concluímos portanto que se I for 10n vezes maior do que I0 o nível de inten-sidade em dBs vale 10n.

♦Mais dois exemplos:

• I mil vezes (103) vezes maior que I0 corresponde a 3 × 10 dB=30dB;

• I um milhão de vezes (106) vezes maior que I0 corresponde a 6×10dB=60 dB.

Assim o valor da intensidade em dBs cresce muito mais lentamente do queem W/m2 (último exemplo I variou de 1000 vezes em W/m2 mas apenas de 30dB), o que é uma característica das escalas logarítmicas.

O limiar da dor é o valor da intensidade máxima de um som que se conseguesuportar. O seu valor é de 1 W/m2. Isto quer dizer que vale, em dB,

Idor(dB) = 10 log1

10−12= 10 log 1012 = 120 dB. (19)

Assim, a gama de intensidades em que o ouvido trabalha vai de 0 a 120 dB,correspondendo à variação entre 10−12] W/m2 e 1 W/m2.

Porquê uma escala logarítmica? Porquê esta escala?Alguns factos contribuem para que a escala dos dB seja a escala �natural�

para usar.

• Em primeiro lugar uma escala logarítmica aponta para o uso de potênciasde 10. A percepção das intensidades pelo ouvido humano também se baseianuma escala de potências de dez. Assim, uma regra de polegar é que umsom parece 2 vezes mais �forte� se na realidade for 10 vezes mais intenso. Ouseja, é preciso a intensidade variar de 10 para que a nossa �escala� interiorde intensidade varie para o dobro.

14

• Por outro lado, outra regra de polegar é que 1 dB é aproximadamente adiferença de intensidades entre dois sons que o ouvido consegue detectar.Por outras palavras, se dois sons da mesma frequência tiverem uma difer-ença de intensidades de menos de 1 dB o ouvido não os consegue distiguir;se tiverem uma diferença de intensidades de mais de 1 dB o ouvido já osconsegue distiguir. Portanto a escala dos decibéis ajusta-se muito bem àescala da sensibilidade do ouvido.

Dá-se de seguida exemplos de níveis de intensidade para sons bem conhecidos

Som dBLimiar de audibilidade 0Rumorejar das folhas 10

Sussurrar 30Barulho de um mosquito 40

Conversa normal 50Aspirador 70

Trânsito intenso 80Metropolitano 100Concerto Rock 120

Martelo pneumático 130Avião a jacto próximo 150Ruptura do tímpano 160

Como é sabido, a exposição prolongada a níveis muito altos de intensidadesonora podem causar lesões auditivas. É recomendado o uso de protectores au-ditivos (tampões) para intensidades superiores a 90 dB.

5.4 Intensidade relativa de dois sons

A escala dB dá uma medida relativa ao limiar de audibilidade. Mas tambémpodemos calcular facilmente a diferença da intensidade de dois sons em dB.

Consideremos dois sons de intensidades IA e IB. Sabemos que IA é n vezessuperior a IB,

IA = nIB. (20)

Qual é a diferença entre os doís níveis de intensidade em dB? Podemos fazer

IA(dB)− IB(dB) = 10 logIA

I0

− 10 logIB

I0

= 10(logIA

I0

− logIB

I0

) = 10 logIA/I0

IB/I0

= 10 logIA

IB

= 10 log n.

15

Portanto podemos concluir que se IA = nIB, então

IA(dB)− IB(dB) = 10 log n, (21)

mesmo sem saber quais são os valores numéricos de IA e IB. Por exemplo,

• se IA é o dobro de IB, então IA tem mais 10 log 2 = 10 ∗ 0.301 ≈ 3 dB.Daqui vem também esta regra de polegar: se a intensidade aumenta parao dobro o nível de intensidade aumenta 3 dB.

• se IA é o triplo de IB, então IA tem mais 10 log 3 = 10 ∗ 0.477 ≈ 5 dB.Daqui vem também esta regra de polegar: se a intensidade triplica o nívelde intensidade aumenta aproximadamente 5 dB.

• Como o quádruplo é o dobro vezes o dobro, então a quadriplicação daintensidade quer dizer uma variação de 3 dB (dobro) + 3 dB (dobro) = 6dB (quádruplo).

• Como o sextuplo é o dobro vezes o triplo, então a sextuplicação da inten-sidade quer dizer uma variação de 3 dB (dobro) + 5 dB (dobro) = 8 dB(sextuplo).

• Como o óctuplo é o dobro vezes o dobro vezes o dobro, então a octoplicaçãoda intensidade quer dizer uma variação de 3 dB (dobro) + 3 dB (dobro) +3 dB (dobro)= 9 dB (óctuplo).

• etc...

Basta �xar as duas regras de polegar �dobro=3 dB� e �triplo=5 dB� paradeduzir os outros exemplos.

♦ Consegue calcular a variação em dB para a quintuplicação semrecorrer ao cálculo de log5?

5.5 Variações na diferença mínima de intensidade detec-

tável

Dissémos atrás que a diferença mínima de intensidade detectável (DMID) é decerca de 1 dB. Na verdade este valor é indicativo; é verdade em ordem degrandeza. Mas medições da DMID mostram que o seu valor varia com a fre-quência e intensidade do som. Veja-se a �gura 12.

Podemos ver desta �gura que

16

Figura 12: A diferença mínima de intensidade detectável varia com a frequênciae com o nível de intensidade do som.

• a DMID é maior para sons menos intensos. Por exemplo, numa conversaem tom baixinho, 40 dB, é necessário haver uma variação de 1 dB para quehaja percepção de variação de intensidade. A que variação da intensidadecorresponde 1 dB?

1dB = 10 logI

I0

⇒ logI

I0

= 0.1 ⇒ (22)

⇒ I

I0

= 100.1 ⇒ I = 1.25I0. (23)

Isto quer dizer uma variação de apenas 1.25 I0 (1.25 vezes o limiar deaudição) na intensidade do som emitido pela outra pessoa que está a falar.

• Mas no meio da rotunda do Marquês de Pombal em hora de ponta o nívelde intensidade do ruído é de 90 dB e a DMID é da ordem de 0.4 dB. A quevariação da intensidade corresponde 0.4 dB?

0.4dB = 10 logI

I0

⇒ logI

I0

= 0.04 ⇒ (24)

⇒ I

I0

= 100.04 ⇒ 1.096I0. (25)

Isto quer dizer uma variação de apenas 1.1 I0 (1.1 vezes o limiar de audição)na intensidade do ruído do trânsito é realmente apercebida como variação.

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• Mas a �gura também mostra que os sons de maior frequência conduzema menores valores para a DMID. Isto quer dizer que é mais fácil percebervariações de intensidade em sons agudos do que em sons graves.

Em resumo,

1. é mais fácil perceber variações de intensidade em sons muito intensos doque em sons pouco intensos.

2. É mais fácil perceber variações de intensidade em sons agudos do que emsons graves.

5.6 A curva do limiar de audibilidade

Já referimos que o limiar de audibilidade se convenciona ser 10−12 W/m2 à fre-quência de 1000 Hz. Este é o valor de referência que se usa para calcular o nívelde intensidade em decibéis. No entanto, pode medir-se o limiar de audibilidadepara todas as frequências audíveis. A curva média obtida está patente na �gura14.

Figura 13: O limiar de audibilidade varia com a frequência.

Aqui pode ver-se que o limiar de audibilidade é muito maior para as frequên-cias baixas (20-100 Hz) do que para as frequências médias e altas. Com efeito, a30 Hz o nível mínimo de intensidade audível é de 60 dB. Abaixo de 60 dB, a 30Hz, não se ouve nada! Por outro lado, a 1000 Hz o limiar de audibilidade é de4 dB. Isto quer dizer que a razão das intensidades limiar a 30 Hz e a 1000 Hz édada por

56 = 10 log I30I0 − 10 log I1000I0 = 10 logI30

I1000

18

⇒ I30

I1000

= 105.6 ≈ 400000. (26)

Portanto, relativamente ao limiar a 1 kHz, é necessária uma intensidade quatro-centas mil vezes maior a 30 Hz para se começar a ouvir.

Uma questão se levanta: o limiar a 1000 Hz não é 0 dB? Não podemos con-fundir duas coisas distintas: a) I0=0 dB é um nível que se conmvencionou paracalcular os dB; b) o valor que efectivamente se mede a 1000 kHz não é 0 dB, massim 4 dB.

Qual é a zona onde o ouvido é mais sensível? Entre os 3500 Hz e os 4000 Hz.Note-se que nesta zona o limiar de audibildade é aproximadamente -3 dB! O quequer dizer um valor negativo em decibéis? Simplesmente que o valor do limiara 3500-4000 Hz é inferior ao valor de referência I0 = 10−12 W/m2. Quanto? Deacordo com o que já vimos, 3 dB querem dizer uma razão de 2. Portanto o limiarde audibilidade a 3500-4000 Hz é cerca de metade do limiar de referência I0.

Voltamos a encontrar aqui um padrão já observado a propósito da DMID: oouvido é menos sensível às baixas frequências e é necessário que estas tenham umaintensidade muito superior às das frequências médias e altas para produzirem amesma sensação auditiva de intensidade.

5.7 Uma nota: escala logarítmica

No grá�co anterior as frequências estão marcadas numa escala logarítmica. Comefeito, um olhar mais atento à escala revela que esta não pode ser uma escalanormal. O espaço que vai de 100 Hz a 1000 Hz é o mesmo que vai de 1000 Hza 10000 Hz. Como é que isso pode ser, se a diferença que vai de 100 Hz a 1000Hz é 900 Hz e a diferença que vai de 1000 Hz a 10000 Hz é 9000 Hz, dez vezessuperior?

A resposta para a pergunta é que no grá�co as distâncias medidas no eixo dosxx não são proporcionais f mas a log f . Assim, log 1000− log 100 = 3− 2 = 1 elog 10000− log 1000 = 4− 3 = 1. Em logaritmo as diferenças são iguais.

Comecemos por ver o grá�co da função√

x em escala normal, na �gura 14

Vamos agora representar a mesma função em escala logarítmica. A escalacomeça em 0. Isto quer dizer que log f = 0 ⇒ f = 1 Hz. Então a distância a queoutra frequência ν é marcada é dada por log ν− log f = log ν− 0 = log ν. Assim,por exemplo,

1. a f=1 Hz corresponde a distância log 1 = 0 cm;

2. a f=2 Hz corresponde a distância log 2 = 0.301 cm;

19

Figura 14: O grá�co de√

x numa escala normal.








10. a f=10 Hz corresponde a distância log 10 = 1 cm;

A escala �ca portanto distorcida: deixa de ser linear. Ao valor 2 corresponde30% do espaço entre 1 e 10; e a 5 corresponde 70%; a 8 corresponde 90% mas a9 corresponde apenas 95%.

Esse aspecto da não-linearidade da escala é bem visível nas linhas verticaisque atravessam o grá�co (ver a �gura 15)

A escala logarítmica tanto se pode usar nas abcissas como nas ordenadas ousimultaneamente nas duas, como está ilustrado na �gura 16.

20


x numa escala logarítmica.

6 Intensidade relativa ou nível de audibilidade

Os termos intensidade relativa ou nível de audibilidade são traduções possíveis dotermo inglês loudness e têm a ver com a percepção da intensidade do som peloouvido. Como já vimos, a resposta do ouvido à intensidade não é linear. Assim,a escala dos decibéis é mais parecida com a escala interna do ouvido do que umaescala linear. No entanto a escala dos decibéis não depende da frequência do som,mas a percepção do som pelo ouvido sim.

Vejamos então o grá�co da �gura 17. Ele ilustra curvas de igual intensidaderelativa.

O que se mostra neste grá�co? Mostram-se as curvas formadas pelos pontosde igual intensidade relativa, isto é, sons de intensidade sonora absoluta diferentemas que são apercebidos pelo ouvido com intensidade relativa igual.

• Assim, por exemplo, a curva identi�cada com 20 (já vamos ver a seguir oque quer dizer este 20) passa pelos 20 dB a 1000 Hz e pelos 40 dB a 90 Hz.Isto quer dizer que um som de 40 dB a 90 Hz nos parece tão intenso comoum de 20 dB a 1000 Hz (intensidade absoluta 100 vezes menor).

• outro exemplo: a 200 Hz, 1000 Hz e 7000 Hz os sons de 60 dB são apercedidocom igual intensidade.

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x numa escala normal.

• a curva a tracejado representa a curva do limiar de audibilidade, que játínhamos visto em separado anteriormente.

De uma forma geral as características da curva do limiar de audibilidademantêm-se nas restantes curvas de igual intensidade relativa:

• a sensibilidade máxima dá-se para as frequências de 3-4 kHz, onde se ob-servam os pontos mais baixos de todas as curvas.

• O ouvido é menos sensível a frequências muito baixas.

7 Unidade do nível de audibilidade

As curvas de igual intensidade permitem-nos de�nir uma unidade que caracterizaa intensidade relativa apercebida pelo ouvido. Essa unidade é o fon. As curvasde igual intensidade relativa estão identi�cadas pelo seu número de fones.

Mas qual é exactamente a de�nição de fone?

�n fones� quer dizer �com uma intensidade relativa igual à de um

som de n dB a 1000 Hz�.

Portanto, a diferença entre dB e fon é que

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Figura 17: Curvas de igual intensidade relativa.

• dois sons de 60 dB (p. ex.) a frequências diferentes são em geral apercebidoscom intensidades relativas diferentes (número de fons diferente);

• dois sons de 60 fons (p. ex.) a frequências diferentes são apercebidos coma mesma intensidade relativa mas em geral têm valores diferentes de nívelde intensidade em dB.

8 Unidade de audibilidade

Já dissemos atrás que uma regra aproximada para a percepção do som pelo ouvidoé que é necessário decuplicar a intensidade absoluta de um som para provocar asensação auditiva do dobro da intensidade.

A escala dos fons não é indicada para ilustrar esta regra pois, baseando-se naescala dos decibéis, não é linear.

♦ Exemplo: se decuplicar a intensidade absoluta de um som de 60fon a 1000 Hz (tem 60 dB, isto é, é 106 vezes maior do que I0), então onível de intensidade passa a ser I(dB) = 10 log(10 × 106/I0) = 70 dB.Para outras frequências que não 1 kHz teremos uma relação da mesmaordem de grandeza.

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Como se pode ver na �gura das curvas de igual intensidade relativa, parapassar de 40 fon para 80 fon a 1000 Hz temos um factor de 10000 e não de 10!

Então há que de�nir outra unidade para medir linearmente a resposta doouvido. Essa unidade é o sone.

Se considerarmos que 40 fon é o nível de base para a escala dos sones, então

40 fon = 1 sone.

Quando a intensidade absoluta decuplica passamos a ter 50 fon. Então, paraseguir a resposta do ouvido, fazemos corresponder a 50 fon o valor de 2 sone

50 fon = 2 sone.

A decuplicação deste som dá 60 fon, o que há-de corresponder ao dobro do valorem sone, que é 4 sone. Portanto

60 fon = 4 sone.

A escala de sones é portanto dada pela seguinte tabela:

Fon Sone Fon Sone120 256 50 2110 128 40 1100 64 30 1/290 32 20 1/480 16 10 1/870 8 0 1/1660 4

ou pela expressãoI(sone) = 2I(fon)−40. (27)

9 A lei do inverso quadrado

Consideremos a �gura 18. Nesta �gura representa-se uma fonte sonora que estáa emitir com uma potência P (lembremos que potência é energia por umidade detempo, 1 W = 1 J/s).

Se essa potência sonora for emitida uniformemente em todas as direcções (istoé, isotropicamente), então podemos calcular intensidade a uma dada distância rda fonte através de

I =P

4πr2. (28)

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Figura 18: A lei do inverso quadrado (retirado de http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu) .

Para chegar a esta expressão basta pensar que a potência é distribuída pelasuperfície de uma esfera de raio r centrada na fonte, e que a área dessa esfera é4πr2.

Esta expressão quer dizer que a intensidade diminui com o inverso do quadradoda distância à fonte. Por exemplo, se à distância de 1 m tivermos 10 W/m2, entãoà distância de 2 m (dobro, 2×) termos uma intensidade de 10/22 = 2.5 W/m2 (aquarta parte = �inverso do dobro ao quadrado�). À distância de 10 m teremosuma potência de 10/102 = 0.1 W/m2 (a uma distância 10 vezes maior correspondeuma intensidade 100 menor).

Consideremos então a intensidade medida a duas distâncias diferentes, r1 er2. Teremos

I1 =P

4πr21

e. I2 =P

4πr22

, (29)

pelo queI2

I1

=(

r1

r2

)2

. (30)

Se relacionarmos isto com a intensidade em dBs vem

I2(dB) = 10 logI2

I0

= 10 logI2

I1

I1

I0

=

= 10 logI2

I1

+ 10 logI1

I0

= 10 log(

r1

r2

)2

+ I1(dB)

= 20 logr1

r2

+ I1(dB). (31)

Em suma,I2(dB)− I1(dB) = 20 log

r1

r2

. (32)

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Assim, se a distância passar para o dobro de quantos dBs varia o nível de inten-sidade?

I2(dB)− I1(dB) = 20 log1

2= −6. (33)

Portanto o nível de intensidade diminui de 6 dB cada vez que se duplica a distânciaa que se recebe o som. Note-se que neste raciocínio não é preciso saber o nívelde intensidade inicial.

10 Caracterização dos sons

Os sons caracterizam-se através de 3 parâmetros:

• Intensidade

• Altura

• Timbre

10.1 Intensidade

A intensidade do som é o parâmetro de que temos vindo a falar nas últimassecções. A expressão da intensidade está dada em (12). Se considerarmos apenaso ar, então a velocidade de propagação e a densidade são valores constante. Seconsiderarmos sons da mesma frequência, então vemos que a intensidade de umsom está relacionada com a amplitude de vibração da onda sonora. Quanto maiora amplitude, mais intenso é o som.

Terminologia:

• Em acústica os sons são classi�cados quanto à intensidade como sons fortesou sons fracos;

• Em linguagem corrente os sons são classi�cados quanto à intensidade comosons altos ou sons baixos;

10.2 Altura

A altura é o nome que em acústica se dá à frequência. É simplesmente a fre-quência da onda x = ∆x sin(kx− 2πft).

Terminologia:

• Em acústica os sons são classi�cados quanto à altura como sons altos(grande frequência, por exemplo 5 kHz) ou sons baixos (baixa frequên-cia, por exemplo 200 Hz);

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Figura 19: Intensidade.

• Em linguagem corrente os sons são classi�cados quanto à intensidade comosons agudos (alta frequência) ou sons graves (baixa frequência);

Atenção à possível confusão: em linguagem corrente �alto� (�Está muito alto!Baixa a televisão!�) ou �baixo�

(�Está muito baixo, não ouço nada!�) não tem nada a ver com a �altura� dosom em acústica, que só tem a ver com a frequência.

10.3 Timbre

O timbre só será discutido no próximo capítulo, já que está ligado às caracterís-ticas dos sons complexos, constituídos por vários harmónicos.

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Figura 20: Altura.

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