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1A. P. Ramos Set. 2006

ESTRUTURAS DE BETÃO ARMADO IIESTRUTURAS DE BETÃO ARMADO II fctfct -- UNLUNL

Estruturas de Betão Armado II4 – Lajes Vigadas - Análise dos Esforços


ESTRUTURAS DE BETÃO ARMADO IIESTRUTURAS DE BETÃO ARMADO II fctfct -- UNLUNL4 – Lajes Vigadas - Análise dos Esforços

ANÁLISE ELÁSTICA DOS ESFORÇOS

Métodos de análise elástica dos esforços:

Métodos analíticos – Séries de Fourier

Métodos numéricos:

- Diferenças Finitas

- Elementos Finitos

Métodos aproximados

Existem ainda tabelas para o cálculo de esforços em lajes vigadas, para diversas relações entre os vãos e para diferentes condições de apoio. As mais conhecidas são as “Tabelas de Marcus” e as “Tabelas de Barés”.


ESTRUTURAS DE BETÃO ARMADO IIESTRUTURAS DE BETÃO ARMADO II fctfct -- UNLUNL4 – Lajes Vigadas - Análise dos Esforços

LAJE QUADRADA – APOIADA NO CONTORNO

Análise da convergência do Método dos Elementos Finitos



TEORIA DA PLASTICIDADE

Comportamento não linear do betão armado:

Elástico Linear

mx mx

Comportamento real

Plástico perfeito

Elasto-plástico

2

2

x∂∂ ω

2

2

x∂∂ ω

Devido à não linearidade do comportamento do betão é possível adoptar diagramas de esforços diferentes dos obtidos pelo cálculo elástico, para dimensionamento das armaduras das lajes aos estados limites últimos.

4 – Lajes Vigadas - Análise dos Esforços



TEORIA DA PLASTICIDADE

Este facto é especialmente verdade em lajes porque:

A percentagem de armaduras nas lajes é, em geral, pequena, sendo a rotura em flexão condicionada pelo comportamento do aço – comportamento dúctil.

As lajes são bastante mais hiperstáticas que as restantes estruturas (com excepção das consolas e das lajes armadas numa só direcção), permitindo a redistribuição de esforços em várias direcções.

Existem, no entanto, limitações à redistribuição de esforços para acautelar um bom comportamento em serviço, nomeadamente o controlo da fendilhação e da deformação.




TEOREMA CINEMÁTICO

A carga associada a um mecanismo cinematicamente admissível é superior à carga última.

Laje rectangular apoiada nos 4

bordos


Método das linhas de rotura:

Laje quadrada apoiada em 2

bordos

Mecanismo 1

Mecanismo 2m+ m-



MÉTODO DAS LINHAS DE ROTURA

Cálculo para o mecanismo 2:


m-

2amwi θ−=

δ2

2apwe = 22

31 aθδ =

ei ww =

22

31

22

2

aapam θθ =−

122apm =−

Curiosidade: m+ = m-



TEOREMA ESTÁTICO

A carga que satisfaz as equações de equilíbrio, não excedendo em nenhum ponto a capacidade resistente, é inferior à carga última.


Este método é sempre conservativo

Os métodos baseados na análise plástica só devem ser utilizados nas verificações em relação aos estados limites últimos, podendo ser utilizados, sem qualquer verificação directa da capacidade de rotação, desde que:

a) xu/d ≤ 0.25 para classes de resistência do betão ≤ C50/60

xu/d ≤ 0.15 para classes de resistência do betão ≥ C55/67

b) o aço das armaduras é da Classe B ou C

c) A relação entre os momentos nos apoio intermédios e os momentos no vão está entre 0,5 e 2



MÉTODO DAS BANDAS

O método das bandas utiliza o Teorema Estático da Teoria da Plasticidade. Baseia-se no principio de que a carga aplicada pode ser equilibrada apenas por flexão.


pym

yxm

xm yxyx −=

∂

∂+

∂∂

∂+

∂∂

2

22

2

2

Desta forma, o método é conservativo porque existe uma reserva de resistência (por torção) que não é considerada no cálculo.

pym

xm yx −=

∂

∂+

∂∂

2

2

2

2

-px -py



MÉTODO DAS BANDAS


2

2

xmp x

x ∂∂

=− 2

2

ym

p yy ∂

∂=−

yx ppp +=ppx α=

( ) ppy α−= 1

Com 0 ≤ α ≤ 1 – coeficiente de repartição de carga

A carga é repartida entre as direcções x e y



MÉTODO DAS BANDAS


8

2xx

x

lpm =

8

2yy

y

lpm =



MÉTODO DAS BANDAS


Os valores de α devem ser determinados por forma a obter diagramas de momentos próximos dos elásticos e não forçar a redistribuições exageradas.

Os valores de α podem ser estimados de duas formas:

• Em função da sensibilidade e experiência do projectista.

• Forçando a compatibilidade de deslocamentos a “meio vão” da laje.

yx aaa ==EI

lpka xxxx

4

=

EIlpk

a yyyy

4

=



MÉTODO DAS BANDAS


Os valores para kx e ky dependem das condições de apoio:

3845

=k384

08.2=k

3841

=k

yx aaa ==EI

lpkEI

lpk yyyxxx44

= 44yyyxxx lpklpk =

ppx α=

( ) ppy α−= 144 )1( yyxx lkplkp αα −= 44

4

yyxx

yy

lklklk+

=α



MÉTODO DAS BANDAS


Se considerarmos alternativamente um vão equivalente (l´):

1

1

4'

4'

+

=

y

x

ll

α

l´= l l´= 0.8l l´= 0.67l

Vem para α:

0,00

0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

0,80

0,90

1,00

0,5 0,75 1 1,25 1,5 1,75 2

l´x/l´y

a



MÉTODO DAS BANDAS (exemplos) (1)


lx = ly

a=0.5

lx = ly

a=0.5lx = ly

a=0.5





lx = ly

a=0.71

lx = ly

a=0.83





lx = 1.5ly

a=0.165

lx ≥ 2ly

a=0



MÉTODO DAS BANDAS (casos especiais)


Lajes com cantos reentrantes





Lajes com aberturas

Abertura Central





Lajes com aberturas

Pequena abertura a um canto





Lajes com aberturas

Grande abertura a um canto





Lajes com bordo livre



PORMENORIZAÇÃO DE LAJES VIGADAS


Pormenorização de um painel de canto analisado pelo Método Elástico Linear

Armadura Inferior





Pormenorização de um painel de canto analisado pelo Método Elástico Linear

Armadura Superior

A-A





Pormenorização de um painel de canto analisado pelo Método das Bandas

Armadura Inferior





Pormenorização de um painel de canto analisado pelo Método das Bandas

Armadura Superior

A-A



PAINEIS DE LAJE COM CONTINUIDADE


Na análise dos esforços em lajes vigadas com continuidade os esforços podem ser determinados nos painéis isolados, sendo depois necessário efectuar o equilíbrio dos momentos negativos nos apoios comuns dos diversos painéis e reajustar os momentos positivos.





O equlíbrio dos momentos negativos sobre os apoios pode ser efectuado por uma técnica simplificada baseada no Método de Cross. Esta técnica consiste em repartir a diferença entre os momentos (m1-m2) pelos dois vãos adjacentes ao apoio da seguinte forma:

m´1 = m1 – k1 (m1 - m2) e m´2 = m2 + k2 (m1 - m2)

Os coeficientes de repartição são dados por:

21

22

21

11 kk

kkekk

kk+

=+

=Nestas expressões k é a

rigidez à rotação da extremidade da barra

junto ao nó





Para painéis extremos (apoiado-encastrado):

lEIk 3

=

Para painéis interiores (encastrado-encastrado):

lEIk 4

=

As expressões apresentadas na página anterior podem igualmente ser escritas da seguinte forma:

´2

´1

´1

2´2

´1

´2

1 lllke

lllk

+=

+=

Em que l´=l para painéis de extremidade, e l´=3/4l para painéis interiores.





Se considerarmos agora a simplificação de que o coeficiente de transmissão é nulo para lajes armadas em duas direcções, o processo fica bastante simplificado.

+

=





Desta forma torna-se simples o cálculo do momento equilibrado sobre o apoio uma vez que:

21 mmm ′=′=′

( )2121

21 mm

lllmm −′+′

′−=′

Então:

21

2211

lllmlm

m′+′

′+′=′

Ou:



ALTERNÂNCIA DE SOBRECARGAS


Ver acetatos anexos

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