4-aritmetica_binaria

SISTEMAS LÓGICOS

Universidade Federal da BahiaEscola Politécnica

PROF. EDSON PINTO [email protected]

Sistemas Lógicos 2

SUMÁRIO

4. ARITMÉTICA BINÁRIA

4.1. Representação no sistema sinal-magnitude

4.2. Representação no sistema complemento de 2

4.3. Adição, subtração, multplicação e divisão binárias

4.4. Adição, subtração, multiplicação e divisão no sistema complemento de 2

4.5. Adição BCD

4.6. Aritmética hexadecimal

Sistemas Lógicos 3

4.1. Representação no Sistema Sinal-Magnitude

● Como representar quantidades negativas em números binários?

● Alta complexidade em hardware para efetuar as diferentes operações aritméticas

Sistemas Lógicos 4

4.2. Representação no Sistema Complemento de 2

● Equivale a negação de um número binário

● Possibilita simplificação de hardware: mesmo circuito utilizado para realizar a soma é utilizado para realizar a subtração

● Números positivos representados de forma idêntica ao sistema sinal-magnitude

● Números negativos possuem bits de magnitude em complemento de 2

Sistemas Lógicos 5


● Hodômetro binário

+7 0 1 1 1

+6 0 1 1 0

+5 0 1 0 1

+4 0 1 0 0

+3 0 0 1 1

+2 0 0 1 0

+1 0 0 0 1

0 0 0 0 0

-1 1 1 1 1

-2 1 1 1 0

-3 1 1 0 1

-4 1 1 0 0

-5 1 0 1 1

-6 1 0 1 0

-7 1 0 0 1

-8 1 0 0 0

Sistemas Lógicos 6


● Maior número positivo: 2N - 1● Menor número negativo: -2N

● Quantidade total de valores representados: 2N+1

N – número de bits referente somente a magnitude, desconsiderando o bit de sinal

Sistemas Lógicos 7

4.3.1. Adição Binária

● Operações básicas:– 0 + 0 = 0

– 0 + 1 = 1

– 1 + 0 = 1

– 1 + 1 = 10 = 0 + carry (1)

– 1 + 1 + 1 = 11 = 1 + carry (1)

carry → vai-um

Sistemas Lógicos 8


● Exemplo:

0 1 0 1 0 1 1 1+

0 0 1 1 0 1 0 1_______________

Sistemas Lógicos 9


● Exemplo:1

0 1 0 1 0 1 1 1+

0 0 1 1 0 1 0 1_______________

0

Sistemas Lógicos 10


● Exemplo:1 1

0 1 0 1 0 1 1 1+

0 0 1 1 0 1 0 1_______________

0 0



● Exemplo:1 1 1

0 1 0 1 0 1 1 1+

0 0 1 1 0 1 0 1_______________

1 0 0



● Exemplo:1 1 1

0 1 0 1 0 1 1 1+

0 0 1 1 0 1 0 1_______________

1 1 0 0



● Exemplo:1 1 1 1

0 1 0 1 0 1 1 1+

0 0 1 1 0 1 0 1_______________

0 1 1 0 0



● Exemplo:1 1 1 1 1

0 1 0 1 0 1 1 1+

0 0 1 1 0 1 0 1_______________

0 0 1 1 0 0



● Exemplo:1 1 1 1 1 1

0 1 0 1 0 1 1 1+

0 0 1 1 0 1 0 1_______________

0 0 0 1 1 0 0



● Exemplo:1 1 1 1 1 1

0 1 0 1 0 1 1 1+

0 0 1 1 0 1 0 1_______________

1 0 0 0 1 1 0 0



● Exemplo:1 1 1 1 1 1

0 1 0 1 0 1 1 1 (1+2+4+16+64 = 87)+

0 0 1 1 0 1 0 1 (1+4+16+32 = 53)_______________

1 0 0 0 1 1 0 0 (4+8+128 = 140)


4.3.2. Subtração Binária

● Operações básicas:– 0 - 0 = 0

– 1 - 0 = 1

– 1 - 1 = 0

– 10 - 1 = 1



● Exemplo:

1 1 0 0 1 0 0 0-

0 1 1 1 1 1 0 1_______________



● Exemplo:

1 1 0 0 1 0 0 0-

0 1 1 1 1 1 0 1_______________

Lembrar da operação de subtração no sistema decimal:

8 0 2 -

1 2 6 _________



● Exemplo:

1 1 0 0 1 0 0 0-

0 1 1 1 1 1 0 1_______________


-1 8 0 12

- 1 2 6 _________



● Exemplo:

1 1 0 0 1 0 0 0-

0 1 1 1 1 1 0 1_______________


-1 8 0 12

- 1 2 6 _________

6



● Exemplo:

1 1 0 0 1 0 0 0-

0 1 1 1 1 1 0 1_______________


-1 -1 8 10 12

- 1 2 6 _________

6



● Exemplo:

1 1 0 0 1 0 0 0-

0 1 1 1 1 1 0 1_______________


-1 -1 8 10 12

- 1 2 6 _________

7 6



● Exemplo:

1 1 0 0 1 0 0 0-

0 1 1 1 1 1 0 1_______________


-1 -1 8 10 12

- 1 2 6 _________

6 7 6



● Exemplo:

1 1 0 0 1 0 0 0-

0 1 1 1 1 1 0 1_______________



● Exemplo:

-1

1 1 0 0 1 0 0 10-

0 1 1 1 1 1 0 1_______________



● Exemplo:

-1

1 1 0 0 1 0 0 10-

0 1 1 1 1 1 0 1_______________

1



● Exemplo:

-1 -1

1 1 0 0 1 0 10 10-

0 1 1 1 1 1 0 1_______________

1



● Exemplo:

-1 -1

1 1 0 0 1 0 10 10-

0 1 1 1 1 1 0 1_______________

1 1



● Exemplo:

-1 -1 -1

1 1 0 0 1 10 10 10-

0 1 1 1 1 1 0 1_______________

1 1



● Exemplo:

-1 -1 -1

1 1 0 0 1 10 10 10-

0 1 1 1 1 1 0 1_______________

0 1 1



● Exemplo:

-1 -1 -1 -1

1 1 0 0 11 10 10 10-

0 1 1 1 1 1 0 1_______________

0 1 1



● Exemplo:

-1 -1 -1 -1

1 1 0 0 11 10 10 10-

0 1 1 1 1 1 0 1_______________

1 0 1 1



● Exemplo:

-1 -1 -1 -1 -1

1 1 0 10 11 10 10 10-

0 1 1 1 1 1 0 1_______________

1 0 1 1



● Exemplo:

-1 -1 -1 -1 -1

1 1 0 10 11 10 10 10-

0 1 1 1 1 1 0 1_______________

0 1 0 1 1



● Exemplo:

-1 -1 -1 -1 -1 -1

1 1 10 10 11 10 10 10-

0 1 1 1 1 1 0 1_______________

0 1 0 1 1



● Exemplo:

-1 -1 -1 -1 -1 -1

1 1 10 10 11 10 10 10-

0 1 1 1 1 1 0 1_______________

0 0 1 0 1 1



● Exemplo:

-1 -1 -1 -1 -1 -1 -1

1 11 10 10 11 10 10 10-

0 1 1 1 1 1 0 1_______________

0 0 1 0 1 1



● Exemplo:

-1 -1 -1 -1 -1 -1 -1

1 11 10 10 11 10 10 10-

0 1 1 1 1 1 0 1_______________

1 0 0 1 0 1 1



● Exemplo:

-1 -1 -1 -1 -1 -1 -1

1 11 10 10 11 10 10 10-

0 1 1 1 1 1 0 1_______________

0 1 0 0 1 0 1 1



● Exemplo:

-1 -1 -1 -1 -1 -1 -1

1 11 10 10 11 10 10 10 (8+64+128 = 200)-

0 1 1 1 1 1 0 1 (1+4+8+16+32+64 = 125)_______________

0 1 0 0 1 0 1 1 (1+2+8+64 = 75)


4.3.3. Multiplicação Binária

1 0 0 1x

1 0 1 1

1 0 0 11 0 0 1

0 0 0 01 0 0 11 1 0 0 0 1 1

● Exemplos:


4.3.4. Divisão Binária

1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 0

1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0. 1- 1 1 - 1 0 0

0 0 1 1 0 0 1 0 0- 1 1 - 1 0 0

0 0

● Exemplos:


4.4.1. Adição no Sistema Complemento de 2

● Caso I: dois números positivos

8 3 0 1 0 1 0 0 1 1+ +

1 6 0 0 0 1 0 0 0 0

9 9 0 1 1 0 0 0 1 1

1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0+ +

1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0

2 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0

Overflow aritimético (faixa -128 a 127)



● Caso II: Positivo e negativo menor

1 2 5 0 1 1 1 1 1 0 1+ +

- 6 8 1 0 1 1 1 1 0 0

5 7 1 0 0 1 1 1 0 0 1

Descartado (hodômetro de 8 bits)



● Caso III: Positivo e negativo maior

3 7 0 0 1 0 0 1 0 1+ +

- 1 1 5 1 0 0 0 1 1 0 1

- 7 8 1 0 1 1 0 0 1 0



● Caso IV: dois números negativos

- 4 3 1 1 0 1 0 1 0 1+ +

- 7 8 1 0 1 1 0 0 1 0

- 1 2 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1

Descartado (hodômetro de 8 bits)


4.4.3. Multiplicação no Sistema Complemento de 2

● Efetua-se a multiplicação em binário direto, realizando-se as conversões necessárias nos operandos e no resultado para complemento de 2.


4.4.4. Divisão no Sistema Complemento de 2

● Efetua-se a divisão em binário direto, realizando-se as conversões necessárias nos operandos e no resultado para complemento de 2.


4.5. Adição em Código BCD

● Soma inferior a 9: Soma binários diretamente. Ex.:

4 2 0 1 0 0 0 0 1 0+ +

3 3 0 0 1 1 0 0 1 1

7 5 0 1 1 1 0 1 0 1



● Soma superior a 9: adiciona fator corretivo 6 (equivalente a pular códigos inválidos) e propaga um carry para o próximo dígito. Ex.:

4 7 0 1 0 0 0 1 1 1+ +

3 5 0 0 1 1 0 1 0 1

8 2 0 1 1 1 1 1 0 0+

1 0 1 1 0

1 0 0 0 0 0 1 0



● Obs: quando a soma for superior a 16, o carry propaga-se automaticamente na soma binária.

4 8 0 1 0 0 1 0 0 0+ +

8 9 1 0 0 0 1 0 0 1

1 3 7 1 1 0 1 0 0 0 1+

0 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0

0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1


4.5. Aritmética Hexadecimal

● O complemento pode ser obtido subtraindo-se cada dígito de “F” e somando “1”. Ex:

● Adição e subtração hexadecimal. Ex.:

● Números negativos em hexadec. possuem MSD ≥ 8

F F F

-7 -3 -A

8 C 5+

1

8 C 6

5 9 2-

3 A 5

?

5 9 2+

C 5 B

1 1 E D

3 A F+

2 3 C

5 E B

Descartado

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