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GEOMETRIA DIFERENCIAL

19 de Janeiro de 2016

Conteúdo

1 Álgebras de Lie de um Grupo de Lie 21.1 Campos Esquerda-Invariantes sobre um Grupo de Lie . . . . . . . . . . . 21.2 Álgebra de Lie g de um Grupo de Lie G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3 Álgebras de Lie como linearizações de Grupos de Lie . . . . . . . . . . . 41.4 A aplicação exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.4.1 A Formula de Campbell-Baker-Hausdorff . . . . . . . . . . . . . 61.5 Relaçoes entre Grupos de Lie e Álgebras de Lie . . . . . . . . . . . . . . 7

2 Álgebras de Lie 82.1 Álgebras de Lie abstractas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.1.1 Constantes de Estrutura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.1.2 Homomorfismos entre Álgebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2 Exemplos de Álgebras de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.2.1 k como Álgebra de Lie unidimensional . . . . . . . . . . . . . . . 122.2.2 sln ou An−1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.2.3 oB,V ou Álgebras ortogonais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.2.4 so2n+1 ou Bn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.2.5 so2n ou Dn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2.6 sp2n ou Cn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2.7 tn, nn, dn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2.8 Classificação das Álgebras de Lie de dimensão 1, 2 e 3 . . . . . . 13

2.3 Representações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.3.1 Definições . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.3.2 A representação Adjunta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.4 Álgebras nilpotentes e Àlgebras Solúveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.5 Grupos de Lie Classicos e Álgebras associadas . . . . . . . . . . . . . . . 17

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Capítulo 1

Álgebras de Lie de um Grupo de Lie

Nesse capítulo iremos introduzir uma estrutura álgebrica que resulterá muito útil naanálise dos Grupos de Lie ou seja a de Álgebra de Lie g de um Grupo de Lie G.

Em primeiro lugar iremos definir essa estrutura como a Álgebra dos campos esquerda-invariantes de um Grupo de Lie, i.e. L (G), fornecido com um produto que é o mesmocomutador dos campos vetoriais [·, ·]. Sucessivamente iremos provar que é possívelfornecer um produto e uma estrutura de Álgebra ao Espaço Tangente do Grupo de Liena identidade do Grupo, i.e. Te (G), tal que é possível definir um isomorfismo de ál-gebras de Lie entre o Espaço Tangente Te (G) e os campos esquerda-invariantes L (G).Portanto iremos demonstrar que é ambivalentemente possível pensar numa Álgebrade Lie g de um Grupo de Lie G como o Espaço Tangente na identidade de um Grupode Lie.

Na parte sucessiva do capítulo iremos encontrar uma aplicação, i.e. a aplicaçãoexponential, que nos perimitirá de encontrar um difeomorfismo local entre as Álgebrasde Lie e os Grupos de Lie. A importância desse resultado reside no facto que o estudodas Álgebras de Lie é em geral muito mais simples do estudo dos Grupos de Lie sendoas Álgebras de Lie espaços vetoriais cujo estudo é parte da Álgebra Linear, no enquantoos Grupos de Lie são simplesmente Variedades Diferenciáveis.

Na última secção do capítulo iremos ver a dimensão dessa corrispondência entreÁlgebras de Lie e Grupos de Lie.

1.1 Campos Esquerda-Invariantes sobre um Grupo de Lie

No capítulo rpecedente vimos como um difeomorfismo entre pontos da variedadepossa induzir um difeomorfismo entre os espaços tangentes desses pontos que permitede relacionar os vetores de um com os vetores do outro. Chamámos de paralelizáveisas variedades com a carateristíca de tiver uma base do espaço tangente globalmentedefinida.

No caso em que G seja um Grupo de Lie, ou seja no caso de uma variedade suavecom operações de grupo diferenciáveis, então temos alguns difeomorfismos de G emG canónicos derivantes dà mesma estrutura de grupo de G i.e.:

(AÇÃO ESQUERDA) Lg : G 3 p −→ Lg (p) = g · p ∈ G (1.1.1)(AÇÃO DIREITA) Rg : G 3 p −→ Rg (p) = p · g ∈ G (1.1.2)

(ADJUNTA) Adg : G 3 p −→ Adg (p) = g · p · g−1 ∈ G (1.1.3)

Esses difeomorfismos podem ser utilizados para relacionar os espaços tangentesnos pontos diferentes da variedade utilizando a noção de push-forward.

2

CAPÍTULO 1. ÁLGEBRAS DE LIE DE UM GRUPO DE LIE 3

Nos capítulos precedentes nos consideramos a noção de push-forward de um vetoratráves de uma aplicação induzida entre espaços tangentes:

Lg∗ : TpG 3 Xp −→ Lg∗(Xp)∈ TLg(p)G (1.1.4)

onde por cada vetor do espaço tangente em p assocíamos um vetor no espaço tan-gente em Lg (p) dado por

Lg∗(Xp)( f ) := X

(f ◦ Lg

)(p) (1.1.5)

Agora queremos extendir a noção de pushforward a um campo vetorial.

Definição 1. Seja F : M −→ N um difeomorfismo entre M, N variedades suaves e sejaX ∈ Γ (TM) um campo vetorial sobre M, então podemos definir um campo vetorialY ∈ Γ (TN) sobre N chamado de push-forward de X:

Y = F∗ (X) (1.1.6)

onde por cada p ∈ N e cada f ∈ C∞ (N)

(F∗ (X))p ( f ) := F∗(

XF−1(p)

)( f ) = X ( f ◦ F)

(F−1 (p)

)(1.1.7)

Observação 2. No caso dos grupos de Lie, considerando o difeomorfismo Lg : G 3p −→ Lg (p) = g · p ∈ G obtemos que o push-forward do campo vetorial X ∈ Γ (TG)por Lg é o campo vetorial Lg∗(X) ∈ Γ (TG) assim definido(

Lg∗ (X))

p ( f ) := X(

f ◦ Lg) (

Lg−1 (p))

(1.1.8)

Definição 3. Seja (G, ·) um Grupo de Lie e X ∈ Γ (TG) um campo vetorial sobre G,chamamos X de campo esquerda-invariante se por cada g ∈ G

Lg∗ (X) = X (1.1.9)

Observação 4. A equação Lg∗ (X) = X quer dizer que se o campo vetorial X é esquerda-invariante então ∀g, p ∈ G e ∀ f ∈ C∞ (G) temos que(

Lg∗ (X))

p ( f ) = X(

f ◦ Lg) (

Lg−1 (p))= Xp ( f ) (1.1.10)

Exemplo 5. O campo X = ∂∂x1 é esquerda-invariante sobre o Grupo de Lie G =(

R2,+). Nesse caso

Lg : R2 3 p −→ Lg (p) = g + p ∈ R2 (1.1.11)

Por cada g, p ∈ R2 e ∀ f ∈ C∞ (R2) temos que(Lg∗

(∂

∂x1

)p

)( f ) =

(∂

∂x1

(f ◦ Lg

))Lg−1 (p)

= (1.1.12)

=

(∂ f∂x1

)Lg(p−g)

(∂Lg (x)

∂x1

)(p−g)

= (1.1.13)

=

(∂ f∂x1

)p= Xp ( f ) (1.1.14)


1.2 Álgebra de Lie g de um Grupo de Lie G

Proposição 6. Seja G um grupo de Lie, então os campos vetoriais esquerda invariantes sobreG i.e.L (G), com o comutador entre campo vetoriais [·, ·] formam uma Álgebra de Lie.

Definição 7. Seja (G, ·) grupo de Lie então diz-se Álgebra de Lie associada ao grupo deLie G e indica-se g a álgebra de Lie obtida das campos vetoriais esquerda-invariantesL (G) com o comutador entre campos vetoriais.

Teorema 8. Seja G um grupo de Lie, então existe um produto J·, ·K sobre TeG tal que existeum isomorfismo entre algebras de Lie entre (TeG, J·, ·K) e (L (G) , [·, ·]).

Demonstração. Definimos a aplicação

j : TeG 3 Xe −→ j (Xe) ∈ L (G) (1.2.1)

onde ∀ g ∈ G e ∀ f ∈ C∞ (R2) temos

j (Xe)g ( f ) := Lg∗ (Xe) ( f ) (1.2.2)

Para obter uma álgebra de Lie sobre TeG precisamos definir o produto J·, ·K a par-tir da o comutador em (L (G) , [·, ·]). De facto [j (X) , j (Y)] é novamente um campovetorial que é definido em e também, portanto podemos considerar:

JX, YK := [j (X) , j (Y)]e (1.2.3)

no jeito que seja realizado automaticamente um isomorfismo de álgebras de Lieentre (TeG, J·, ·K) e (L (G) , [·, ·]).

Observação 9. As Álgebras de Lie g = (L (G) , [·, ·]) definidas a partir da os camposesquerda-invariantes sobre um grupo de Lie G, podem também ser pensadas como oespaço tangente de G no ponto da identidade do Grupo e, i.e.: (TeG, J·, ·K).

As constantes de estrutura da Álgebras são facilmente encontradas com a formula:s(

∂

∂xi

)e

,(

∂

∂xj

)e

{=

n

∑k=1

Ckij

(∂

∂xk

)Id

(1.2.4)

onde

s(∂

∂xi

)e

,(

∂

∂xj

)e

{( f ) :=

[Lg∗

(∂

∂xi

)e

, Lg∗

(∂

∂xj

)e

]e( f ) (1.2.5)

1.3 Álgebras de Lie como linearizações de Grupos de Lie

Encontrar as constantes de estrutura da álgebra de Lie partendo da o espaço dos cam-pos esquerda-invariantes de G pode ser muito elaborado. Nesse caso podemos proce-der direitamente com uma “linearização” do grupo G numa vizinhança da identidade.

Embora a ideia seja muito simples as ferramentas matemáticas necessarias por tor-nar esse procedimento rigoroso são um pouco abstractas. Portanto antes de desenvol-ver num jeito matematicamente preciso iremos apresentar um exemplo do que quiser-mos fazer e depois iremos apresentar todas as ferramentas necessarias.


Exemplo 10. Seja SU (2) o Grupo de Lie

SU (2) ∼={

U ∈M22(C) | UU∗ = I, det (U) = 1

}(1.3.1)

O nosso objectivo é encontrar uma caraterização da álgebra de Lie corrispondentei.e.: su (2). Para fazer isso vamos considerar uma aproximação de um elemento deSU (2) na proximidade da unidade

U = I + εX =

(1 + εX11 εX12

εX21 1 + εX22

)(1.3.2)

Para que o elemento possa pertencer a SU (2) é preciso que UU∗ = I e que det (U) =1 portanto:

UU∗ = I (1.3.3)(I + εX) (I + εX∗) = I (1.3.4)I + ε (X + X∗) + ε2 (XX∗) = I (1.3.5)

Deixando todos os termos que sejam O(ε2) obtemos a condição

(X + X∗) = 0 (1.3.6)

No enquanto a segunda condição

det (U) = 1 (1.3.7)

det(

1 + εX11 εX12εX21 1 + εX22

)= 1 + εTr (X) + ε2 det (X) (1.3.8)

Deixando todos os termos que sejam O(ε2) obtemos a condição

Tr (X) = 0 (1.3.9)

Portanto obtemos a representação dà Àlgebra de Lie su (2) como Álgebra linear

su (2) ∼= {X ∈ gl2(C) | X = −X∗, Tr (X) = 0} (1.3.10)

Para traduzir esse procedimento de um jeito formal é preciso introduzir uma novaÁlgebra sobre o campo base K onde identificamos todos os polinomios em ε com or-dem maior de 2 (cfr. Victor Kaç, Lectures Notes, Mit).

D := K [ε] /(

ε2)

(1.3.11)

Depois podemos definir as matrizes com coeficientes na Álgebra Mnn (D) e requerir

que a Álgebra de Lie associada a um grupo G seja formada de todas as matrizes taisque I + εX satisfaz as condições do Grupo na nova Álgebra.

Definição 11. Seja G um grupo de Lie caracterizado da algumas equações polinomiaismatriciais {Pα (A) = 0}α∈I . Chamamos de Grupo álgebrico de Lie sobre a Álgebra D ogrupo

G (D) := {A ∈Mnn (D) | A invertível, Pα (A) = 0 ∀α ∈ I } (1.3.12)


E chamamos de Àlgebra de Lie de um Grupo de Lie G como

(Lie (G) , [·, ·]) (1.3.13)

onde

Lie (G) = {X ∈ gln (K) | In + εX ∈ G (D)} (1.3.14)

com a operação induzida da gln (K) i.e.:[A, B] = AB− BA

Essa definição torna-se uma definição equivalente à definição que já vimos da Ál-gebra de Lie como campos vetoriais esquerda-invariantes sobre um Grupo de Lie G.

1.4 A aplicação exponencial

Seja A um elemento no espaço tangente de G na identidade Te (G) e portanto um ele-mento de g, então ∀A ∈ g podemos definir um campo vetorial XA tal que(

XA)

p( f ) =

(Lp∗ (A)

)( f ) (1.4.1)

Agora seja γA : R −→ G a curva integral de XA com γA (0) = e. Tal curva sempreexiste por o teorema de existência e unicidade local das equações ordinárias.

Definição 12. Seja γA : R −→ G a curva integral precedentemente definida, entãodiz-se aplicação exponencial exp : g −→ G a aplicação

exp (tA) := γA (t) (1.4.2)

Observação 13. No caso A seja uma matriz, então a aplicação é a usual exponencial dematrizes definida como

exp (A) = I + A +A2

2!+

A3

3!+ ... (1.4.3)

Proposição 14. A aplicação exponecial possue as seguintes propriedades:

exp ((t + s) A) = exp (tA) exp (sA) (1.4.4)

exp (−tA) = (exp (tA))−1 (1.4.5)

Além desses propriedades a propriedade mais importante da aplicação exponencialé que a aplicação exponencial é um difeomorfismo local entre a Álgebra de Lie g e oGrupo de Lie G.

Proposição 15. Seja G um grupo de Lie compacto, então a aplicação exponencial é surjectivai.e.: exp (g) ⊃ G.

Observação 16. Se G é compacto, exp (·) não é injectiva sendo g um espaço vetorial eportanto um espaço não compacto.

1.4.1 A Formula de Campbell-Baker-Hausdorff

exp (tX) · exp (tY) = 1 + t (X + Y) +t2

2[X, Y] +

t3

12([X, [X, Y]] + [Y, [Y, X]])−(1.4.6)

− t4

24[X, [Y, [X, Y]]] + ... (1.4.7)


1.5 Relaçoes entre Grupos de Lie e Álgebras de Lie

Proposição 17. Sejam G e H Grupos de Lie, então se f é uma aplicação suave e homomorfismoentre grupos de Lie temos que o diagrama seguinte comuta:

Gf−→ H

exp

xx exp

gf∗−→ h

(1.5.1)

i.e.:f (exp (A)) = exp ( f∗ (A)) (1.5.2)

gruppi a un parametro e relazione fra sottogruppi di G e sottoalgebre di g

Capítulo 2

Álgebras de Lie

As álgebras de Lie que introduzimos no precedente capítulo constituem uma ferra-menta indispensável na Geometria Diferenciável contemporanea e podem ser apre-sentadas em muitos jeitos diferentes. Da facto há pelo menos três jeitos distinctos eequivalentes de apresentar essas Álgebras:

1. como resultado de uma linearização de um grupo de Lie (G, ·) numa vizinhançada identidade;

2. como espaço dos campos vetoriais sobre G que são invariantes pela traslaçãoesquerda Lg;

3. como álgebra abstracta definida sobre um espaço vetorial pelas caracteristicasintrinsecas

Esses abordagens são equivalentes dado que Cartan demonstrou que todas as Álgebrasde Lie podem ser originadas a partir de um Grupo de Lie especifico.

Todavia nesse capítulo iremos apresentar algumas noções fundamentais das Álge-bras de Lie partendo da uma noção abstracta. Na primeira secção apresenteremos asdefinições básicas no respeito das Álgebras de Lie, das constantes de estrutura e doshomomorfismos entre álgebras de Lie.

Na segunda secção achámos melhor apresentar numerosos exemplos de Álgebrasde Lie para concluir no final apresentando algumas definições básicas no respeitos dasrepresentações.

2.1 Álgebras de Lie abstractas

Definição 18. (ÁLGEBRA DE LIE) Um espaço vetorial (V, +, ·) sobre um campo K diz-se Álgebra de Lie g = (V, [·, ·]) se além de ser um espaço vetorial no respeito de umaoperação binaria + e um produto escalar, tem um produto chamado parenteses de Lie

[·, ·] : g× g −→ g (2.1.1)

que satisfaz as seguintes condições:

(BILINEARIDADE) [αX1 + βX2, Y] = α[X1, Y] + β[X2, Y] (2.1.2)[X, γY1 + δY2] = γ[X, Y1] + δ[X1, Y2] (2.1.3)

(ANTICOMUTATIVIDADE) [X, Y] = −[Y, X] (2.1.4)(IDENTIDADE DE JACOBI) [X, [Y, Z] + [Y, [Z, X]] + [Z, [X, Y]] = 0 (2.1.5)

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CAPÍTULO 2. ÁLGEBRAS DE LIE 9

Observação 19. A operação [·, ·] não é associativa dado que em geral

[X, [Y, Z]] 6= [[X, Y] , Z] (2.1.6)

De facto um outro jeito de escrever a identidade de Jacobi evidência como essaidentidade seja na verdade uma generalização da associatividade sendo:

[X, [Y, Z] = [[X, Y] , Z]− [Y, [Z, X]] (2.1.7)

Exemplo 20. Seja um espaço vetorial (V, +, ·) de dimensão finida sobre um campo K.Então podemos definir ma Álgebra de Lie glK(V) = (End (V) , [·, ·]) onde

[A, B] = A ◦ B− B ◦ A ∀A, B ∈ End (V) (2.1.8)

Definição 21. Se uma álgebra de Lie g é uma sub-álgebra de glK(V) então g diz-se umaálgebra de Lie linear.

Observação 22. Um teorema de Ado-Iwasawa diz que cada álgebra de Lie de dimensãofinida é na verdade uma álgebra de Lie linear.

Definição 23. (IDEAL) Seja g uma Álgebra de Lie, um subespaço linear h diz-se um idealse:

[H, X] ∈ h ∀H ∈ h, X ∈ g (2.1.9)

Um ideal h diz-se próprio se 1 /∈ h e h 6= {0}. Um idealh diz-se maxímal se por cadah′ ideal próprio de g, temos que se h ⊂ h′ então h′ ⊂ h.

Definição 24. Uma álgebra de Lie diz-se simples se não possue ideais próprios.

Observação 25. se h for um ideal de g então há uma estrutura de álgebra de Lie sobreg�h para que π : g −→ g�h seja um homorfismo de álgebras de Lie.

2.1.1 Constantes de Estrutura

Nessa secção iremos supor que a dimensão do espaço vetorial V seja finida e portantoque seja possível encontrar uma base E = {ei}1≤i≤n do espaço onde cada vetor X possuaumas coordenadas:

X =n

∑i=1

ξ iei (2.1.10)

Nesse caso a bilinearidade das parenteses de Lie nos permite de definir esse pro-duto exclusivamente sobre os vetores da base de V :

[X, Y] =

[n

∑i=1

ξ iei,n

∑j=1

η jej

]=

n

∑i,j=1

ξ iη j [ei, ej]

(2.1.11)

Portanto as parenteses de Lie resultam completamente definidas com a definiçãodas seguintes constantes: [

ei, ej]=

n

∑i,j,k=1

Ckijek (2.1.12)


Definição 26. Seja g = (V, [·, ·]) uma álgebra de Lie e seja E = {ei}1≤i≤n uma base de Ventão as constantes Ck

ij [ei, ej

]=

n

∑i,j,k=1

Ckijek (2.1.13)

são chamadas constantes de estrutura.

Observação 27. As constantes de estrutura são dependentes dà escolha de uma baseE = {ei}1≤i≤n e portanto diferentes bases levam a diferentes constantes

A propriedade da anticomutatividade das parenteses de Lie

[X, Y] = −[Y, X] (2.1.14)

implica que as constantes de estrutura precisam satisfazer:

Ckij = −Ck

ji (2.1.15)

No enquanto a identidade de Jacobi implica que:n

∑m=1

CmjkCi

mh+CmkhCi

mj + CmhjC

imk = 0 ∀1≤i,j,k≤m (2.1.16)

Exemplo 28. Seja R3 o espaço euclideo de dimensão 3 e definimos as parenteses de Liea partire da o produto esterno usual:

[v, w] = v×w (2.1.17)

que pode ser definido dà relação

det(v, w, z) = (v×w, z) (2.1.18)

É facil demonstrar que(R3, [·, ·]

)é uma Álgebra de Lie e se E = {e1, e2, e3} então

[e1, e2] = − [e2, e1] = e3 (2.1.19)[e1, e3] = − [e3, e1] = −e2 (2.1.20)[e2, e3] = − [e3, e2] = e1 (2.1.21)[ei, ei] = 0 (2.1.22)

Exemplo 29. Seja SO (3) e escolhemos a base

ε1 =

0 0 00 0 10 −1 0

ε2 =

0 0 10 0 0−1 0 0

ε3 =

0 −1 01 0 00 0 0

(2.1.23)

E partendo da o ordinario produto de matrizes definimos

[A, B] = AB− BA (2.1.24)

Então (SO (3) , [·, ·]) é uma álgebra de Lie com constantes

[ε1, ε2] = − [ε2, ε1] = ε3 (2.1.25)[ε1, ε3] = − [ε3, ε1] = −ε2 (2.1.26)[ε2, ε3] = − [ε3, ε2] = ε1 (2.1.27)[εi, εi] = 0 (2.1.28)


Exemplo 30. Seja SU (2) e escolhemos a base

η1 =12

(0 −i−i 0

)η2 = 1

2

(0 −11 0

)η3 =

12

(−i 00 i

)(2.1.29)

E partendo da o ordinario produto de matrizes definimos

[A, B] = AB− BA (2.1.30)

Então (SU (2) , [·, ·]) é uma álgebra de Lie com constantes

[η1, η2] = − [η2, η1] = η3 (2.1.31)[η1, η3] = − [η3, η1] = −η2 (2.1.32)[η2, η3] = − [η3, η2] = η1 (2.1.33)[ηi, ηi] = 0 (2.1.34)

2.1.2 Homomorfismos entre Álgebras

Definição 31. (HOMORFISMO ENTRE ÁLGEBRAS DE LIE) Sejam (g, [·, ·]) e (h, J·, ·K) doisÁlgebras de Lie, então uma aplicação ρ : g −→ h é chamada de homorfismo entre álgebrasde Lie se

ρ ([X, Y]) = Jρ (X) , ρ (Y)K (2.1.35)

Observação 32. Seja ρ : g −→ g′ é um homorfismo entre álgebras de Lie, então:(i)ker ρ ⊂ g é um ideal de g.(ii)Imρ ⊂ g′ é uma sub-álgebra de Lie de g′.(iii) Existe um isomorfismo entre Álgebras de Lie tal que Im ∼= g�ker

Exemplo 33. Seja ρ : (SO (3) , [·, ·]) −→ (SU (2) , [·, ·]). Sejam {εi} e {ηi} as bases deSO (3) e SU (2) que apresentamos nos exemplos precedentes e seja ρ o homomorfismoresultante da extensão linear de

ρ (εi) = ηi i = 1, 2, 3 (2.1.36)

i.e. o homomorfismo de álgebras de Lie onde:

ρ

(n

∑i=1

viεi

)=

n

∑i=1

viηi (2.1.37)

Observação 34. No exemplo precedente é muito fácil demonstrar que ker ρ = {0} por-tanto ρ é um isomorfismo entre álgebras de Lie embora SO (3) e SU (2) não sejamgrupos de Lie isomorfos. Na verdade iremos ver que as álgebras de Lie só induzemum homomorfismo local entre Grupos de Lie.

2.2 Exemplos de Álgebras de Lie

Muitos exemplos podem ser derivados dao teoerema seguinte:

Teorema 35. Seja (A, ·) uma álgebra associativa então g = (A, [·, ·]) onde

[a, b] := a · b− b · a ∀a, b ∈ A (2.2.1)

é uma Álgebra de Lie

Corolário 36. gln (K) = (GL(Kn), [·, ·]) onde [A, B] := AB− BA por cada A, B ∈ GL (Kn)é uma álgebra de Lie


2.2.1 k como Álgebra de Lie unidimensional

Sendo K um campo e portanto uma álgebra comutativa é em particular um espaçovetorial de dimensão 1 e é possível estabelecer uma estrutura de álgebra de Lie: k =(K, [·, ·]0) onde o produto bilinear é [a, b]0 ≡ 0. Esse exemplo é um exemplo de Álgebrade Lie comutativa.

2.2.2 sln ou An−1

Sendo gln (K) e k duas álgebras de Lie podemos considerar o homomorfismo entreálgebras de Lie fornecido pela Traça Tr : gln (K) 3 A −→ Tr(A) ∈ k. De facto a Traçapertenece a uma classe especial de homomorfismos chamados carácter.

A Traça é um homomorfismo entre álgebras de Lie e

Tr ([A, B]) = Tr (AB− BA) = Tr (AB)− Tr (BA) = 0 (2.2.2)

Portanto temos queker (Tr) = {A ∈ gln (K) | Tr(A) = 0} é um ideal de gln (K).De facto se utilizamos o mesmo produto bilinear de gln (K) obtemos uma álgebra

de Lie:An = sln+1 = ({A ∈ gln (K) | Tr(A) = 0} , [·, ·]) . (2.2.3)

2.2.3 oB,V ou Álgebras ortogonais

Seja gl (V) = (End (V) , [·, ·]) a álgebra de Lie dos endomorfismos com [a, b] := a ◦ b−b ◦ a. Então por cada forma bilinear B (·, ·)

B (·, ·) : V×V 3 (v, w) −→ B (v, w) ∈ K (2.2.4)

podemos definir a álgebra de Lie chamada de álgebra ortogonal:

oB,V = ({A ∈ gl (V) | B (Av, w) + B (v, Aw) = 0 ∀v, w ∈ V} , [·, ·]) (2.2.5)

De facto é imediato verificar que oB,V é um sub-espaço vetorial e as propriedadesdo produto bilinear [·, ·] são as mesmas propriedades verificadas no caso da algebragl (V).

Agora se escolhermos uma base por V e realizarmos o isomorfismos canónico en-tre V ∼= Kn então podemos realizar o isomorfismo canónico entre gl (V) ∼= Mn

n (K),B (v, w) = vTBw onde B é agora a representação matricial da forma bilinear B (·, ·) eoB,V torna-se

oB,V =({

A ∈Mnn (K) | ATB + BA = 0 ∀v, w ∈ V

}, [·, ·]

)(2.2.6)

2.2.4 so2n+1 ou Bn

Supondo o espaço vetorial de dimensão 2n + 1 e portanto V ∼= K2n+1 e supondo aforma bilinear B (·, ·) seja simétrica, uma representação matricial da forma bilinear é

B =

1 0···00...0

0 InIn 0

(2.2.7)

Nesse caso a álgebra de Lie ortogonal chama-se

oB,V ≡ so2n+1 ≡ Bn (2.2.8)


2.2.5 so2n ou Dn

Supondo o espaço vetorial de dimensão 2n e portanto V ∼= K2n , e supondo a formabilinear B (·, ·) seja simétrica, uma representação matricial da forma bilinear é

B =

(0 InIn 0

)(2.2.9)


oB,V ≡ so2n ≡ Dn (2.2.10)

2.2.6 sp2n ou Cn

Supondo o espaço vetorial de dimensão 2n e portanto V ∼= K2n e supondo a formabilinear B (·, ·) seja anti-simétrica, uma representação matricial da forma bilinear é

B =

(0 In−In 0

)(2.2.11)


oB,V ≡ sp2n ≡ Cn (2.2.12)

2.2.7 tn, nn, dn

Outras Álgebras de Lie Lineares e muitos utilizadas são as sub-álgebras de gln:

• tn: a Álgebra das matrizes n× n triangulares superiores tn+ e inferiores tn−;

• nn:a Álgebra das matrizes n× n triangulares superiores nn+ e inferiores nn− comdiagonal nula;

• dn: a Álgebra das matrizes n× n diagonales;

Algumas propriedades notaveis são:

tn+ = nn+ ⊕ dn (2.2.13)nn+ = [tn+, tn+] (2.2.14)tn− = nn− ⊕ dn (2.2.15)nn− = [tn−, tn-] (2.2.16)

2.2.8 Classificação das Álgebras de Lie de dimensão 1, 2 e 3

Em geral é possível classificar direitamente as álgebras de Lie de dimensão 1, 2 e 3sendo:

• álgebras de Lie de dimensão 1: a única álgebra possível e simplesmente álgebraabeliana de dimensão 1 i.e.:k = (K, [·, ·]0) onde o produto bilinear é [a, b]0 ≡ 0 porcada a, b ∈ k.

• álgebras de Lie de dimensão 2: sendo g um espaço vetorial de dimensão doissejam e1, e2 ∈ g uma base de g. As duas álgebras possíveis são isomorfas a:

– a álgebra abeliana de dimensão 2 onde[·, ·]0 ≡ 0 e


– a álgebra não abeliana de dimensão 2 onde [e1, e2] = e2 .

• álgebras de Lie de dimensão 3: sendo g um espaço vetorial de dimensão três,sejam e1, e2, e3 ∈ g uma base de g. As três álgebras possíveis são isomorfas a:

– uma álgebra abeliana de dimensão 3 onde[·, ·]0 ≡ 0 e

– a álgebra do produto esterno(R3, [·, ·]

)onde

[e1, e2] = e3 (2.2.17)[e1, e3] = −e2 (2.2.18)[e2, e3] = e1 (2.2.19)[ei, ei] = 0 ∀i = 1, 2, 3 (2.2.20)

– a álgebra de Heisenberg onde chamando e1 = p, e2 = q,e3 = h

[p, q] = h (2.2.21)[h, p] = [h, q] = 0 (2.2.22)

– Unimodular 3 Dimensional Lie Álgebras

2.3 Representações

2.3.1 Definições

Definição 37. (REPRESENTAÇÃO) Seja g uma Álgebra de Lie sobre um campo k, V umespaço vetorial sobre o mesmo campo k então um homorfismo entre álgebras de Lie

ρ : g −→ glk(V) (2.3.1)

diz-se representação da Álgebra de Lie. Se ker ρ = {e} então a representação diz-sefíel.

Exemplo 38. Seja a Álgebra de Lie so (3, R) definida sobre a base X1, X2 , X3 dàs se-guintes constantes de estrutura:

[X1, X2] = X3 (2.3.2)[X1, X3] = −X2 (2.3.3)[X2, X3] = −X1 (2.3.4)[Xi, Xi] = 0 (2.3.5)

Então podemos definir duas representações de so (3, R)

ρ1 : so (3, R) −→ gl3 (R) (2.3.6)

a continuação linear definidas por

ρ1 (X1) =

0 0 00 0 10 −1 0

, ρ1 (X2) =

0 0 10 0 0−1 0 0

, ρ1 (X3) =

0 −1 01 0 00 0 0

(2.3.7)


eρ2 : so (3, R) −→ gl3 (R) (2.3.8)

a continuação linear definidas por

ρ2 (X1) =12

(0 −i−i 0

), ρ2 (X2) =

12

(0 −11 0

), ρ2 (X3) =

12

(−i 00 i

)(2.3.9)

Ambas as aplicações são homomorfismos entre Álgebras de Lie e portanto ambassão representações da mesma Álgebra so (3, R). Ademais ambas as representações sãorepresentações fiéis sendo ker ρ1 = ker ρ2 = {e}.

Definição 39. (CARÁCTER) Um homomorfismo ρ : g −→ k entre álgebras de Liechama-se carácter .

Observação 40. Dado que k é uma Álgebra de Lie comutativa então por cada a, b ∈ gtemos que

ρ ([a, b]) = [ρ (a) , ρ (b)]0 = 0 (2.3.10)

e portantoρ|[g,g] ≡ 0 (2.3.11)

onde [g, g] = {g ∈ g | g = [a, b] a, b ∈ g}

Exemplo 41. (ÁLGEBRA DE HEISENBERG) Seja g a Álgebra de Heisenberg onde cha-mando e1 = p, e2 = q,e3 = h

[p, q] = h (2.3.12)[h, p] = [h, q] = 0 (2.3.13)

Seja V = k [x] o espaço dos polinómios no campo k. Então podemos definir umarepresentaçã de g em V linearmente definida:

ρ : g −→ glK(V) (2.3.14)ρ (p) = ∂x (2.3.15)ρ (q) = x · (2.3.16)ρ (h) = 1 (2.3.17)

Esta é uma representação da Álgebra de Heisenberg sendo:

[∂x, x] (p (x)) = ∂x (xp (x))− x∂x p (x) = p (x) (2.3.18)[∂x, 1] (p (x)) = [1, x] (p (x)) = 0 (2.3.19)

2.3.2 A representação Adjunta

Seja (g, [·, ·]) uma Álgebra de Lie. Em particular g é um espaço vetorial portanto aaplicação

ad (g) : g 3 h −→ ad (g) (h) = [g, h] ∈ g (2.3.20)

É uma aplicação linear de g em g e portanto

ad (g) (·) = [g, ·] ∈ gl (g) (2.3.21)

Portanto qualquer que seja a Álgebra de Lie (g, [·, ·]) resulta definida uma represen-tação ad de g em gl (g) chamada de representação adjunta.


Proposição 42. Seja (g, [·, ·]) uma Álgebra de Lie, então

ad : g 3 g −→ ad (g) = [g, ·] ∈ gl (g) (2.3.22)

é uma representação e ker (ad) = Z (g)

Demonstração. É preciso demonstrar que a representação adjunta preserva a estruturade Álgebra de Lie, i.e.:

ad ([g, h]) = [ad (g) , ad (h)] (2.3.23)

Mas isso é uma direito consequência da Identidade de Jacobi dado que:

ad ([g, h]) (k) = [[g, h] , k] = (2.3.24)= [[g, k] , h]− [[h, k] , g] = (2.3.25)= (ad (g) ad (h)) (k)− (ad (h) ad (g)) (k) = (2.3.26)= [ad (g) , ad (h)] (k) (2.3.27)

Enfim é claro que

ker (ad) = {g ∈ g | [g, h] = 0 ∀h ∈ g} = Z (g) (2.3.28)

Corolário 43. Seja (g, [·, ·]) uma Álgebra de Lie simples, i.e. não abeliana e sem ideais nãotriviais, então (g, [·, ·]) é uma Álgebra de Lie Linear

Demonstração. Dado que Z (g) é o nucleo de um homomorfismo entre Álgebras deLie, então Z (g) é um ideal. Dado que g é simples então Z (g) é trivial e portanto arepresentação adjunta é fiél. Portanto g é isomorfa a uma sub-álgebra de gl (g).

Umas das caraterísticas mais importantes da representação adjunta é que as suascomponentes no respeito de uma base {ei}i∈I constam das constantes de estruturada Álgebra Ck

ij. De facto se definirmos{

εi}i∈I

a base canónica do dual de g∗ ondeεi (ej

)= δi

j, então as componentes da representação adjunta avaliada nos vetores dabase é

ad (ei)kj = εk (ad (ei)

(ej))

= εk ([ei, ej])

= (2.3.29)

= εk

(n

∑l=1

Clijel

)= Ck

ij (2.3.30)

2.4 Álgebras nilpotentes e Àlgebras Solúveis

Proposição 44. Seja (g, [·, ·]) uma Álgebra de Lie, então

[g, g] = {g ∈ g | g = [a, b] a, b ∈ g} (2.4.1)

é uma sub-álgebra de g.


Definição 45. Seja (g, [·, ·]) uma Álgebra de Lie, chama-se de serie central descendente{gi}

i∈Na serie: {

g0 = g

gi+1 =[g, gi] ∀i ∈N

(2.4.2)

no enquanto chama-se de serie derivada{g(i)}

i∈Na serie

{g(0) = g

g(i+1) =[g(i), g(i)

]∀i ∈N

(2.4.3)

Observação 46. As series constituem constituém uma cadeia discendente

g = g0 ⊇ g1 ⊇ . . . ⊇ gn ⊇ . . . (2.4.4)

g = g(0) ⊇ g(1) ⊇ . . . ⊇ g(n) ⊇ . . . (2.4.5)

onde

gn−1 ⊇ gn (2.4.6)g(n−1) ⊇ g(n) (2.4.7)gn ⊇ g(n) (2.4.8)

e onde todos gn, g(n) são ideais de g.

Definição 47. Seja (g, [·, ·]) uma Álgebra de Lie, g diz-se:nilpotente se um elemento da serie central descendente é nulo i.e.:∃i ∈ N tal que

gi = 0;solúvel se um elemento da serie derivada é nulo i.e.:∃i ∈N tal que g(i) = 0;

Observação 48. Se uma Álgebra é nilpotente então é solúvel também sendo gn ⊇ g(n). Emgeral

soluvel ! nilpotente ⊇ abelian (2.4.9)

Exemplo 49. nn (i.e. a Álgebra das matrizes n× n triangulares superiores com diago-nal nula) é nilpotente, por enquantotn (i.e. a Álgebra das matrizes n× n triangularessuperiores) é solúvel mas não é nilpotente.

Proposição 50. Seja g uma Álgebra de Lie, então se g é nilpotente e não trivial:(i) então cada sub-álgebra é nilpotente;(ii) cada imagem de g atráves de um morfismo ρ é nilpotente;(iii) o centro Z (g) 6= {e};(iv) g ∼= g/Z (g) é nilpotente

Observação 51. O converso do (iv) também é veradeiro portanto g é nilpotente ⇐⇒g ∼= g/Z (g) é nilpotente

2.5 Grupos de Lie Classicos e Álgebras associadas

Lista finale del WorkBook capitolo 7 su

4-004 notas geometria diferencial - copia

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