Matemática

Ângulos / Classificação, Operações, Paralelismo, Perpendicularismo

01. (ENEM) Em 20 de fevereiro de 2011 ocorreu a

grande erupção do vulcão Bulusan nas Filipinas. A sua localização geográfica no globo terrestre é dada pelo GPS (sigla em inglês para Sistema de Posicionamento Global) com longitude de 124º 3’ 0” a leste do Meridiano de Greenwich. Dado: 1º equivale a 60’ e 1’ equivale a 60”.

(PAVARIN, G. Galileu, fev. 2012 (adaptado))

A representação angular da localização do vulcão com relação a sua longitude da forma decimal é a) 124,02º. b) 124,05º. c) 124,20º. d) 124,30º. e) 124,50º.

02. (ENEM) Rotas aéreas são como pontes que

ligam cidades, estados ou países. O mapa a seguir mostra os estados brasileiros e a localização de algumas capitais identificadas pelos números. Considere que a direção seguida por um avião AI que partiu de Brasília – DF, sem escalas, para Belém, no Pará, seja um segmento de reta com extremidades em DF e em 4.

MAPA DO BRASIL E ALGUMAS CAPITAIS

(SIQUEIRA, S. Brasil Regiões. Disponível em:

<www.santiagosiqueira.pro.b>r. Acesso em: 28 jul. 2009 (adaptado).)

Suponha que um passageiro de nome Carlos pegou um avião AII, que seguiu a direção que forma um ângulo de 135º graus no sentido horário com a rota Brasília – Belém e pousou em alguma das capitais brasileiras. Ao desembarcar, Carlos fez uma conexão e embarcou em um avião AIII, que seguiu a direção que forma um ângulo reto, no sentido anti-horário, com a direção seguida pelo avião AII ao partir de Brasília-DF. Considerando que a direção seguida

por um avião é sempre dada pela semirreta com origem na cidade de partida e que passa pela cidade destino do avião, pela descrição dada, o passageiro Carlos fez uma conexão em a) Belo Horizonte, e em seguida embarcou para

Curitiba. b) Belo Horizonte, e em seguida embarcou para

Salvador. c) Boa Vista, e em seguida embarcou para

Porto Velho. d) Goiânia, e em seguida embarcou para o Rio

de Janeiro. e) Goiânia, e em seguida embarcou para

Manaus.

03. (ENEM) Nos X-Games Brasil, em maio de 2004, o skatista brasileiro Sandro Dias, apelidado “Mineirinho”, conseguiu realizar a manobra denominada “900”, na modalidade skate vertical, tornando-se o segundo atleta no mundo a conseguir esse feito. A denominação “900” refere-se ao número de graus que o atleta gira no ar em torno de seu próprio corpo, que, no caso, corresponde a a) uma volta completa. b) uma volta e meia. c) duas voltas completas. d) duas voltas e meia. e) cinco voltas completas.

Triângulos / Pontos Notáveis

04. (ENEM) Em um sistema de dutos, três canos iguais, de raio externo 30 cm, são soldados entre si e colocados dentro de um cano de raio maior, de medida R. Para posteriormente ter fácil manutenção, é necessário haver uma distância de 10 cm entre os canos soldados e o cano de raio maior. Essa distância é garantida por um espaçador de metal, conforme a figura:

Utilize 1,7 como aproximação para 3 . O valor de R, em centímetros, é igual a a) 64,0. b) 65,5. c) 74,0. d) 81,0. e) 91,0.

Matemática

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Triângulos / Classif. Semelhança, Desigualdade e Congruência

05. (ENEM) Uma criança deseja criar triângulos

utilizando palitos de fósforo de mesmo comprimento. Cada triângulo será construído com exatamente 17 palitos e pelo menos um dos lados do triângulo deve ter o comprimento de exatamente 6 palitos. A figura ilustra um triângulo construído com essas características.

A quantidade máxima de triângulos não congruentes dois a dois que podem ser construídos é a) 3. b) 5. c) 6. d) 8. e) 10.

06. (ENEM) A rampa de um hospital tem na sua parte mais elevada uma altura de 2,2 metros. Um paciente ao caminhar sobre a rampa percebe que se deslocou 3,2 metros e alcançou uma altura de 0,8 metro. A distância em metros que o paciente ainda deve caminhar para atingir o ponto mais alto da rampa é a) 1,16 metros. b) 3,0 metros. c) 5,4 metros. d) 5,6 metros. e) 7,04 metros.

07. (ENEM) A fotografia mostra uma turista aparentemente beijando a esfinge de Gizé, no Egito. A figura a seguir mostra como, na verdade, foram posicionadas a câmera fotográfica, a turista e a esfinge.

(Fotografia obtida da internet.)

Medindo-se com uma régua diretamente na fotografia, verifica-se que a medida do queijo até o alto da cabeça da turista é igual a 2/3 da medida do queijo da esfinge até o alto da sua cabeça. Considere que essas medidas na realidade são representadas por d e d’, respectivamente, que a distância da esfinge à lente da câmera fotográfica, localizada no plano horizontal do queijo da turista e da esfinge, é representada por b, e que a distância da turista à mesma lente, por a. A razão entre b e a será dada por

a) c

'd

a

b

b) c3

d2

a

b

c) c2

'd3

a

b

d) c3

'd2

a

b

e) c

'd2

a

b

Exercícios Complementares

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08. (ENEM) Pretende-se construir um mosaico com o formato de um triângulo retângulo, dispondo-se de três peças, sendo duas delas triângulos retângulos congruentes e a terceira um triângulo isósceles. A figura apresenta cinco mosaicos formados por três peças.

Na figura, o mosaico que tem as características daquele que se pretende construir é o a) 1. b) 2. c) 3. d) 4. e) 5.

Triângulos Retângulos / Teorema de Pitágoras 09. (ENEM) Diariamente, uma residência consome

20 160 Wh. Essa residência possui 100 células solares retangulares (dispositivos capazes de converter a luz solar em energia elétrica) de dimensões 6 cm 8 cm. Cada uma das tais células produz, ao longo do dia, 24 Wh por centímetro de diagonal. O proprietário dessa residência quer produzir, por dia, exatamente a mesma quantidade de energia que sua casa consome. Qual deve ser a ação desse proprietário para que ele atinja o seu objetivo? a) Retirar 16 células. b) Retirar 40 células. c) Acrescentar 5 células. d) Acrescentar 20 células. e) Acrescentar 40 células.

10. (ENEM)

Na figura acima, que representa o projeto de uma escada com 5 degraus de mesma altura, o comprimento total do corrimão é igual a a) 1,8 m. b) 1,9 m. c) 2,0 m. d) 2,1 m. e) 2,2 m.

11. (ENEM) Quatro estações distribuidoras de energia A, B, C e D estão dispostas como vértices de um quadrado de 40 km de lado. Deseja-se construir uma estação central que seja ao mesmo tempo equidistante das estações A e B e da estrada (reta) que liga as estações C e D. A nova estação deve ser localizada a) no centro do quadrado. b) na perpendicular à estrada que liga C e D

passando por seu ponto médio, a 15 km dessa estrada.

c) na perpendicular à estrada que liga C e D passando por seu ponto médio, a 25 km dessa estrada.

d) no vértice de um triângulo equilátero de base AB, oposto a essa base.

e) no ponto médio da estrada que liga as estações A e B.

Matemática

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12. (ENEM) A bocha é um esporte jogado em canchas, que são terrenos planos e nivelados, limitados por tablados perimétricos de madeira. O objetivo desse esporte é lançar bochas, que são bolas feitas de um material sintético, de maneira a situá-las o mais perto possível do bolim, que é uma bola menor feita, preferencialmente, de aço, previamente lançada. A Figura 1 ilustra uma bocha e um bolim que foram jogados em uma cancha. Suponha que um jogador tenha lançado uma bocha, de raio 5 cm, que tenha ficado encostada no bolim, de raio 2 cm, conforme ilustra a Figura 2.

Considere o ponto C como o centro da bocha, e o ponto O como o centro do bolim. Sabe-se que A e B são os pontos em que a bocha e o bolim, respectivamente, tocam o chão da cancha, e que a distância entre A e B é igual a d. Nessas condições, qual a razão entre d e o raio do bolim? a) 1

b) 5

102

c) 2

10

d) 2 e) 10

Semelhança de Triângulos / Semelhança e Teorema Linear de Tales

13. (ENEM) O dono de um sítio pretende colocar uma haste de sustentação para melhor firmar dois postes de comprimentos iguais a 6 m e 4 m. A figura representa a situação real na qual os postes são descritos pelos segmentos AC e BD e a haste é representada pelo segmento EF, todos perpendiculares ao solo, que é indicado pelo segmento de reta AB. Os segmentos AD e BC representam cabos de aço que serão instalados.

Qual deve ser o valor do comprimento da haste EF? a) 1 m b) 2 m c) 2,4 m d) 3 m e) m 62

14. (ENEM) A sombra de uma pessoa que tem 1,80 m de altura mede 60 cm. No mesmo momento, a seu lado, a sombra projetada de um poste mede 2,00 m. Se, mais tarde, a sombra do poste diminuiu 50 cm, a sombra da pessoa passou a medir: a) 30 cm b) 45 cm c) 50 cm d) 80 cm e) 90 cm

Quadriláteros Notáveis / Principais Quadriláteros

15. (ENEM) Em uma certa cidade, os moradores de um bairro carente de espaços de lazer reivindicam à prefeitura municipal a construção de uma praça. A prefeitura concorda com a solicitação e afirma que irá construí-la em formato retangular devido às características técnicas do terreno. Restrições de natureza orçamentária impõem que sejam gastos, no máximo, 180 m de tela para cercar a praça. A prefeitura apresenta aos moradores desse bairro as medidas dos terrenos disponíveis para a construção da praça: Terreno 1: 55 m por 45 m Terreno 2: 55 m por 55 m Terreno 3: 60 m por 30 m Terreno 4: 70 m por 20 m Terreno 5: 95 m por 85 m Para optar pelo terreno de maior área, que atenda às restrições impostas pela prefeitura, os moradores deverão escolher o terreno a) 1. b) 2. c) 3. d) 4. e) 5.

Exercícios Complementares

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16. (ENEM) Uma família fez uma festa de aniversário e enfeitou o local da festa com bandeirinhas de papel. Essas bandeirinhas foram feitas da seguinte maneira: inicialmente, recortaram as folhas de papel em forma de quadrado, como mostra a Figura 1. Em seguida, dobraram as folhas quadradas ao meio sobrepondo os lados BC e AD, de modo que C e D coincidam, e o mesmo ocorra com A e B, conforme ilustrado na Figura 2. Marcaram os pontos médios O e N, dos lados FG e AF, respectivamente, e o ponto M do lado AD, de modo que AM seja igual a um quarto de AD. A seguir, fizeram cortes sobre as linhas pontilhadas ao longo da folha dobrada.

Após os cortes, a folha é aberta e a bandeirinha está pronta. A figura que representa a forma da bandeirinha pronta é

a)

b)

c)

d)

e)

17. (ENEM) Um marceneiro deseja construir uma

escada trapezoidal com 5 degraus, de forma que o mais baixo e o mais alto tenham larguras respectivamente iguais a 60 cm e a 30 cm, conforme a figura:

Os degraus serão obtidos cortando-se uma peça linear de madeira cujo comprimento mínimo, em cm, deve ser: a) 144. b) 180. c) 210. d) 225. e) 240.

18. (ENEM) Um marceneiro está construindo um material didático que corresponde ao encaixe de peças de madeira com 10 cm de altura e formas geométricas variadas, num bloco de madeira em que cada peça se posicione na perfuração com seu formato correspondente, conforme ilustra a figura. O bloco de madeira já possui três perfurações prontas de bases distintas: uma quadrada (Q), de lado 4 cm, uma retangular (R), com base 3 cm e altura 4 cm, e uma em forma de um triângulo equilátero (T), de lado 6,8 cm. Falta realizar uma perfuração de base circular (C). O marceneiro não quer que as outras peças caibam na perfuração circular e nem que a peça de base circular caiba nas demais perfurações e, para isso, escolherá o diâmetro do círculo que atenda a tais condições. Procurou em suas ferramentas uma serra copo (broca com formato circular) para perfurar a base em madeira, encontrando cinco exemplares, com diferentes medidas de diâmetros, como segue: (I) 3,8 cm; (II) 4,7 cm; (III) 5,6 cm; (IV) 7,2 cm e (V) 9,4 cm.

Considere 1,4 e 1,7 como aproximações para 2 e 3 , respectivamente. Para que seja atingido o seu objetivo, qual dos exemplares de serra copo o marceneiro deverá escolher? a) I b) II c) III d) IV e) V

Matemática

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Polígonos / Regulares, Nº de Diagonais e Relações Angulares

19. (ENEM) Em exposições de artes plásticas, é

usual que estátuas sejam expostas sobre plataformas giratórias. Uma medida de segurança é que a base da escultura esteja integralmente apoiada sobre a plataforma. Para que se providencie o equipamento adequado, no caso de uma base quadrada que será fixada sobre uma plataforma circular, o auxiliar técnico do evento deve estimar a medida R do raio adequado para a plataforma em termos da medida L do lado da base da estátua. Qual relação entre R e L o auxiliar técnico deverá apresentar de modo que a exigência de segurança seja cumprida? a) 2/LR b) /L2R c) /LR d) 2/LR e) )22/(LR

20. (ENEM) Uma fábrica de tubos acondiciona tubos

cilíndricos menores dentro de outros tubos cilíndricos. A figura mostra uma situação em que quatro tubos cilíndricos estão acondicionados perfeitamente em um tubo com raio maior.

Suponha que você seja o operador da máquina que produzirá os tubos maiores em que serão colocados, sem ajustes ou folgas, quatro tubos cilíndricos internos. Se o raio da base de cada um dos cilindros menores for igual a 6 cm, a máquina por você operada deverá ser ajustada para produzir tubos maiores, com raio da base igual a a) 12 cm b) 12 2 cm c) 24 2 cm d) 6(1 + 2 )cm e) 12(1 + 2 )cm

21. (ENEM)

(Disponível em: <www.diaadia.pr.gov.br>. Acesso em: 28 abr. 2010.)

O polígono que dá forma a essa calçada é invariante por rotações, em torno de seu centro, de a) 45°. b) 60°. c) 90º d) 120°. e) 180°.

22. (ENEM) Um fabricante planeja colocar no

mercado duas linhas de cerâmicas para revestimento de pisos. Diversas formas possíveis para as cerâmicas foram apresentadas e decidiu-se que o conjunto P de formas possíveis seria composto apenas por figuras poligonais regulares. Duas formas geométricas que fazem parte de P são a) triângulo e pentágono. b) triângulo e hexágono. c) triângulo e octógono. d) hexágono e heptágono. e) hexágono e octógono.

Exercícios Complementares

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23. (ENEM) Na construção civil, é muito comum a utilização de ladrilhos ou azulejos com a forma de polígonos para o revestimento de pisos ou paredes. Entretanto, não são todas as combinações de polígonos que se prestam a pavimentar uma superfície plana, sem que haja falhas ou superposições de ladrilhos, como ilustram as figuras:

A tabela traz uma relação de alguns polígonos regulares, com as respectivas medidas de seus ângulos internos.

Se um arquiteto deseja utilizar uma combinação de dois tipos diferentes de ladrilhos entre os polígonos da tabela, sendo um deles octogonal, o outro tipo escolhido deverá ter a forma de um a) triângulo. b) quadrado. c) pentágono. d) hexágono. e) eneágono.

Circunferência / Comprimento de uma Circunferência / Tangência

24. (ENEM) Um restaurante utiliza, para servir bebidas, bandejas com bases quadradas. Todos os copos desse restaurante têm o formato representado na figura:

Considere que BD5

7AC e que l é a medida de

um dos lados da base da bandeja.

Qual deve ser o menor valor da razão BD

l para

que uma bandeja tenha capacidade de portar exatamente quatro copos de uma só vez? a) 2

b) 5

14

c) 4

d) 5

24

e) 5

28

25. (ENEM) A ideia de usar rolos circulares para deslocar objetos pesados provavelmente surgiu com os antigos egípcios ao construírem as pirâmides.

(BOLT, Brian. Atividades matemáticas. Ed. Gradiva.)

Representando por R o raio da base dos rolos cilíndricos, em metros, a expressão do deslocamento horizontal y do bloco de pedra em função de R, após o rolo ter dado uma volta completa sem deslizar, é a) y = R. b) y = 2R. c) y = R. d) y = 2R. e) y = 4R.

Matemática

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26. (ENEM) Uma empresa que organiza eventos de formatura confecciona canudos de diplomas a partir de folhas de papel quadradas. Para que todos os canudos fiquem idênticos, cada folha é enrolada em torno de um cilindro de madeira de diâmetro d em centímetros, sem folga, dando-se 5 voltas completas em torno de tal cilindro. Ao final, amarra-se um cordão no meio do diploma, bem ajustado, para que não ocorra o desenrolamento, como ilustrado na figura.

Em seguida, retira-se o cilindro de madeira do meio do papel enrolado, finalizando a confecção do diploma. Considere que a espessura da folha de papel original seja desprezível. Qual é a medida, em centímetros, do lado da folha de papel usado na confecção do diploma? a) d b) 2d c) 4d d) 5d e) 10d

27. (ENEM) O atletismo é um dos esportes que mais

se identificam com o espírito olímpico. A figura ilustra uma pista de atletismo. A pista é composta por oito raias e tem largura de 9,76 m. As raias são numeradas do centro da pista para a extremidade e são construídas de segmentos de retas paralelas e arcos de circunferência. Os dois semicírculos da pista são iguais.

(BIEMBENGUT, M. S. Modelação Matemática como método de ensino-

aprendizagem de Matemática em cursos de 1.° e 2.° graus. 1900. Dissertação de

Mestrado. IGCE/UNESP, Rio Claro, 1990 (adaptado).)

Se os atletas partissem do mesmo ponto, dando uma volta completa, em qual das raias o corredor estaria sendo beneficiado? a) 1 b) 4 c) 5 d) 7 e) 8

28. (ENEM) Na imagem, a personagem Mafalda mede a circunferência do globo que representa o planeta Terra.

Em uma aula de matemática, o professor considera que a medida encontrada por Mafalda, referente à maior circunferência do globo, foi de 80 cm. Além disso, informa que a medida real da maior circunferência da Terra, a linha do Equador, é de aproximadamente 40 000 km.

(QUINO. Toda Mafalda. São Paulo: Martins Fontes, 2008 (adaptado).)

A circunferência da linha do Equador é quantas vezes maior do que a medida encontrada por Mafalda? a) 500 b) 5 000 c) 500 000 d) 5 000 000 e) 50 000 000

29. (ENEM) A figura é uma representação

simplificada do carrossel de um parque de diversões, visto de cima. Nessa representação, os cavalos estão identificados pelos pontos escuros, e ocupam circunferências de raios 3 m e 4 m, respectivamente, ambas centradas no ponto O. Em cada sessão de funcionamento, o carrossel efetua 10 voltas.

Quantos metros uma criança sentada no cavalo C1 percorrerá a mais do que uma criança no cavalo C2, em uma sessão? Use 3,0 como aproximação para . a) 55,5 b) 60,0 c) 175,5 d) 235,5 e) 240,0

Exercícios Complementares

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30. (ENEM) Um homem, determinado a melhorar sua saúde, resolveu andar diariamente numa praça circular que há em frente à sua casa. Todos os dias ele dá exatamente 15 voltas em torno da praça, que tem 50 m de raio. Use 3 como aproximação para . Qual é a distância percorrida por esse homem em sua caminhada diária? a) 0,30 km b) 0,75 km c) 1,50 km d) 2,25 km e) 4,50 km

31. (ENEM) Na preparação da madeira em uma

indústria de móveis, utiliza–se uma lixadeira constituída de quatro grupos de polias, como ilustra o esquema. Em cada grupo, duas polias de tamanhos diferentes são interligadas por uma correia provida de lixa. Uma prancha de madeira é empurrada pelas polias, no sentido A B (como indicado no esquema), ao mesmo tempo em que um sistema é acionado para frear seu movimento, de modo que a velocidade da prancha seja inferior à da lixa.

O equipamento acima descrito funciona com os grupos de polias girando da seguinte forma: a) 1 e 2 no sentido horário; 3 e 4 no sentido

anti-horário. b) 1 e 3 no sentido horário; 2 e 4 no sentido

anti-horário. c) 1 e 2 no sentido anti-horário; 3 e 4 no

sentido horário. d) 1 e 4 no sentido horário; 2 e 3 no sentido

anti-horário. e) 1, 2, 3 e 4 no sentido anti-horário.

32. (ENEM) As cidades de Quito e Cingapura encontram-se próximas à linha do equador e em pontos diametralmente opostos no globo terrestre. Considerando o raio da Terra igual a 6370 km, pode-se afirmar que um avião saindo de Quito, voando em média 800 km/h, descontando as paradas de escala, chega a Cingapura em aproximadamente a) 16 horas. b) 20 horas. c) 25 horas. d) 32 horas. e) 36 horas.

TEXTO: 1 - Comum à questão: 33 As bicicletas possuem uma corrente que liga uma coroa dentada dianteira, movimentada pelos pedais, a uma coroa localizada no eixo da roda traseira, como mostra a figura. O número de voltas dadas pela roda traseira a cada pedalada depende do tamanho relativo destas coroas.

33. (ENEM) Quando se dá uma pedalada na bicicleta

ao lado (isto é, quando a coroa acionada pelos pedais dá uma volta completa), qual é a distância aproximada percorrida pela bicicleta, sabendo-se que o comprimento de um círculo de raio R é igual a 2R, onde 3?

30 cm 80 cm 10 cm

a) 1,2 m b) 2,4 m c) 7,2 m d) 14,4 m e) 48,0 m

Matemática

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34. (ENEM) Em uma cidade será construída uma galeria subterrânea que receberá uma rede de canos para o transporte de água de uma fonte (F) até o reservatório de um novo bairro (B). Após avaliações, foram apresentados dois projetos para o trajeto de construção da galeria: um segmento de reta que atravessaria outros bairros ou uma semicircunferência que contornaria esses bairros, conforme ilustrado no sistema de coordenadas xOy da figura, em que a unidade de medida nos eixos é o quilômetro.

Estudos de viabilidade técnica mostraram que, pelas características do solo, a construção de 1 m de galeria via segmento de reta demora 1,0 h, enquanto que 1 m de construção de galeria via semicircunferência demora 0,6 h. Há urgência em disponibilizar água para esse bairro. Use 3 como aproximação para e 1,4 como aproximação para 2 . O menor tempo possível, em hora, para conclusão da construção da galeria, para atender às necessidades de água do bairro, é de a) 1 260. b) 2 520. c) 2 800. d) 3 600. e) 4 000.

Circunferência / Ângulos na Circunferência e

Potência de Ponto 35. (ENEM) No jogo mostrado na figura, uma

bolinha desloca-se somente de duas formas: ao longo de linhas retas ou por arcos de circunferências centradas no ponto O e raios variando de 1 a 8. Durante o jogo, a bolinha que estiver no ponto P deverá realizar a seguinte sequência de movimentos: 2 unidades no mesmo sentido utilizado para ir do ponto O até o ponto A e, no sentido anti-horário, um arco de circunferência cujo ângulo central é 120º.

Após a sequência de movimentos descrita, a bolinha estará no ponto a) B. b) D. c) E. d) F. e) G.

36. (ENEM) Uma revista publicará os dados,

apresentados no gráfico, sobre como os tipos sanguíneos estão distribuídos entre a população brasileira. Contudo, o editor dessa revista solicitou que esse gráfico seja publicado na forma de setores, em que cada grupo esteja representado por um setor circular.

O ângulo do maior desses setores medirá, em graus, a) 108,0. b) 122,4. c) 129,6. d) 151,2. e) 154,8.

GABARITO 01. B 11. C 21. D 31. C 02. B 12. E 22. B 32. C 03. D 13. C 23. B 33. C 04. C 14. B 24. D 34. B 05. A 15. C 25. E 35. D 06. D 16. E 26. D 36. E 07. D 17. D 27. A 08. B 18. B 28. E 09. A 19. A 29. B 10. D 20. D 30. E