382 apostila pesquisa operacional parte 3

7/24/2019 382 Apostila Pesquisa Operacional Parte 3

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Programao Inteira

Pesquisa Operacional I

Flvio Fogliatto

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Tipos de problemas deprogramao inteira (PI)

Puros - todas as variveis de deciso sointeiras

Mistos - algumas variveis de decisoso inteiras

Booleanos - variveis de deciso s

apresentam valores inteiros no intervalo[0, 1]

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Programao inteira

A todo o problema de PI existe um problema de

problema de PL correspondente no qual as

restries de no-fracionariedade so

removidas (ou relaxadas)

Alguns resultados se seguem:

Espao de solues viveis do PI Espao de

solues viveis do PI relaxado

Valor timo de z do PI no mximo to bom quanto ovalor timo do PI relaxado

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Abordagem para soluo deproblemas de PI

Resolver seus problemas correspondentes

relaxados e arredondar as variveis de

deciso p/ o maior ou menor inteiro mais

prximo

Dois problemas podem resultar:

Valores arredondados podem resultar inviveis no PI

Solues resultantes so altamente sub-timas


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Mtodo Branch-and-Bound parasoluo de problemas PIs puros

Considere o problema de PI:

Max z = 8x1 + 5x2

s.a

x1 + x2 6

9x1 + 5x2 45

x1 , x2 0

x1 , x2 inteiros

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Branch-and-bound operacionalizado em 5 passos

Passo 1: Comece resolvendo o PI relaxado.

Se a soluo tima for inteira, esta a soluo do PI

Caso contrrio, soluo tima do IPR (problema de programao inteira

relaxado) o limite superiorda soluo tima do PI

Soluo tima do IPR dado anteriormente :

z* = 165/4

x1 = 15/4

x2 = 9/4

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Passo 2

Escolha uma varivel de deciso

fracionria em z* do PIR: por exemplo, x1 = 15/4.

PI admite valores de x1 3 ou x1 4, mas

no em 3 < x1 < 4

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Crie dois subproblemas apartir de x1

SP2: SP1 + restrio x1 4

SP3: SP1 + Restrio x1 3

SP = subproblema

Problema designado por SP1 o prprio

problema de PI em estudo, relaxado das

restries de no-fracionariedade


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Passo 3

Escolha qualquer SP listado no passoanterior e resolva como se fosse um

problema de PL:

Por ex., SP2, com soluo tima z* = 41, x1 =

4 e x2 = 9/5

Resultados obtidos at agora podem serapresentados na forma de uma rvore

hierrquica

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Arvore hierrquica desoluo do problema

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Passo 4

Repita o procedimento no Passo 3 usando o

SP2 e a varivel de deciso fracionria x2

= 9/5

Subproblemas resultantes:

SP4: SP1 + x1 4 + x2 2 ou SP2 + x2 2

SP5: SP1 + x1 4 + x2 1 ou SP2 + x2 1

Tem-se trs problemas que podem ser

resolvidos: SP3, SP4 e SP5

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Escolha um para resoluoPor exemplo: SP4

SP4 no apresenta solues viveis, no

podendo, assim, gerar uma soluo tima parao problema de PI:

Assim, diz-se que este nodo da rvore foi terminado

Dentre os SPs no resolvidos, escolhe-se o

mais recente, SP5:

Soluo vm apresentada na rvore do problema, aseguir


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Repita procedimento em (3)usando SP5 e var. fracionria x1

Subproblemas resultantes so:

SP6: SP5 + x1 5

SP7: SP5 + x1 4

Trs SPs podem ser resolvidos: SP3, SP6 e SP7.

Escolhe-se, aleatoriamente, um dos mais recentes:

SP7, por exemplo

Soluo tima p/ SP7 vem dada na rvore a seguir

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SP7 gera a primeira soluocandidata para PI

Soluo s possui

valores inteiros p/ avarivel de deciso:

Pode ser interpretada

como soluo

candidata ou um limite

inferior no valor timo

do problema de PI

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Problemas SP3 e SP6 aindano foram resolvidos

Escolhe-se SP6 (+ recente), com soluo dada

na rvore a seguir: Soluo de SP6 inteira e melhor do que aquela

obtida para SP7

Assim, termina-se nodo da rvore em SP7 (identifica-

se o nodo terminado por um ou escrevendo soluo

excluda) e atualiza-se o limite inferior da rvore;

novo LI = 40


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ltimo SP a ser resolvido SP3

Soluo de SP3 z*

= 39, x1 = x2 = 3: Trata-se de uma soluo candidata com z* 12pode desconsiderada

Com isto, termina-se os nodos 1, 2, 5, 6, e

9. Arvore de resultados parciais dada na

sequncia

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rvore parcial de resultados


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Desdobra-se o nodo 3

Qualquer sequncia deve ter x13 = 1, x23 = 1 ou x43 = 1.

Clculo do limite inferior de atraso :

x13 = trabalho 1 completo no final do dia (8+4+6) = 18 - 8 = 10 +

11 = 21


11 = 25


11 = 13

Sequncia tima 2 - 1 - 3 - 4. Atraso total de 12 dias

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Arvore final de resultados

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