382 Apostila Pesquisa Operacional Parte 1

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Ementa Pesquisa OperacionalINTRODUO 1. Programao Matemtica 2. Reviso de lgebra Linear 3. Uso de pacotes computacionais na soluo de problemas PROGRAMAO LINEAR 1. Introduo Programao Linear 2. O algoritmo SimplexEngenharia de Produo DEPROT / UFRGS Profs. Flavio Fogliatto, Ph.D.Prof. FogliattoPesquisa Operacional2EmentaMODELOS DE REDES 1. O problema do transporte 2. O problema da designao 3. O problema do transbordo 4. Modelos de Redes TPICOS AVANADOS 1. Programao InteiraReferncias BibliogrficasLIVRO-TEXTO: Operations Research, Applications and Algorithms, de Wayne L. Winston, 3a. Ed., Duxburry Press. Adicionais (no mesmo nvel): 1. Pesquisa Operacional, de Harvey Wagner, 2a. Ed., Prentice-Hall do Brasil. 2. Pesquisa Operacional, de Pierre J. Ehrlich, Ed. Atlas.Prof. FogliattoPesquisa Operacional3Prof. FogliattoPesquisa Operacional4INTRODUO PROGRAMAO LINEAR Programao Linear uma ferramenta para soluo de problemas de otimizao. Em 1947, George Dantzig desenvolveu o algoritmo SIMPLEX, extremamente eficiente na soluo de problemas de PL. A partir de ento, PL passou a ser utilizada em diversos segmentos da atividade produtiva: Bancos Instituies Financeiras Empresas de Transportes, etc. Vamos introduzir a PL a partir de um exemplo.Prof. Fogliatto Pesquisa Operacional 5 Prof. FogliattoEXEMPLO: O caso PolitoyA Politoy S/A fabrica soldados e trens de madeira. Cada soldado vendido por $27 e utiliza $10 de matria-prima e $14 de mo-de-obra. Duas horas de acabamento e 1 hora de carpintaria so demandadas para produo de um soldado. Cada trem vendido por $21 e utiliza $9 de matria-prima e $10 de mo-de-obra. Uma hora de acabamento e 1 h de carpintaria so demandadas para produo de um trem.Pesquisa Operacional6EXEMPLO: O caso PolitoyA Politoy no tem problemas no fornecimento de matria-primas, mas s pode contar com 100 h de acabamento e 80 h de carpintaria. A demanda semanal de trens ilimitada, mas no mximo 40 soldados so comprados a cada semana. A Politoy deseja maximizar seus ganhos semanais. Formule um modelo matemtico a ser utilizado nessa otimizao.Ao desenvolver um modelo para a Politoy, investigaremos caractersticas comuns a todos os problemas de PL VARIVEIS DE DECISO O primeiro passo na formulao de um problema de PL a definio das variveis de deciso relevantes. Estas variveis devem descrever completamente as decises a serem tomadas. A Politoy deve decidir sobre: x1 = nm. de soldados produzidos a cada semana x2 = nm. de trens produzidos a cada semanaProf. FogliattoPesquisa Operacional7Prof. FogliattoPesquisa Operacional8 FUNO OBJETIVO Em qualquer problema de PL, o analista sempre vai desejar maximizar (ex., lucro) ou minimizar (ex., custo) alguma funo das variveis de deciso. A funo a ser maximizada (ou minimizada) a funo objetivo. A Politoy deseja maximizar seus ganhos semanais. Ou seja: ganho semanal = ganho semanal oriundo da venda de soldados + ganho semanal oriundo da venda de trens. = ($/soldado).(soldados/sem) + ($/trem).(trem/sem) = 27x1 + 21x2 Tambm devemos considerar: custo semanal com matria-prima: 10x1 + 9x2 custo semanal com mo-de-obra: 14x1 + 10x2 FUNO OBJETIVO O que a Politoy deseja maximizar : (27x1 + 21x2) - (10x1 + 9x2) - (14x1 + 10x2) = 3x1 + 2x2 Usaremos a varivel z para designar o valor assumido pela funo objetivo. Assim: Max z = 3x1 + 2x2 Os nmeros 3 e 2 so chamados coeficientes da funo objetivo. Eles indicam a contribuio de cada varivel nos ganhos da empresa.Prof. FogliattoPesquisa Operacional9Prof. FogliattoPesquisa Operacional10 RESTRIES A medida que x1 e x2 crescem, o valor da funo objetivo aumenta. Mas x1 e x2 no podem crescer indefinidamente. Trs restries limitam seu crescimento: Restrio 1 - 100 h de acabamento / semana. Restrio 2 - 80 h de carpintaria / semana Restrio 3 - no mais que 40 soldados / semana, devido a limitaes na prpria demanda. Restries 1 3 devem ser expressas em termos das variveis de deciso x1 e x2. RESTRIES Restrio 1: (total hs acabamento/sem.) = (hs.acab./sold.).(sold. produzidos/sem.) + (hs.acab./trem).(trens produzidos/sem.) (total hs acabamento/sem.) = 2(x1) + 1(x2) = 2x1 + x2 A restrio 1 ser dada por: 2x1 + x2 100Observe que todos os termos de uma restrio devem ter a mesma unidade de medida. Os valores 2 e 1 na restrio so denominados coeficientes tecnolgicos.Prof. FogliattoPesquisa Operacional11Prof. FogliattoPesquisa Operacional12Restrio 2 (determinada de maneira similar): (total hs carpintaria/sem.) = (hs.carp./sold.).(sold. produzidos/sem.) + (hs.carp./trem).(trens produzidos/sem.) (total hs carpintaria/sem.) = 1(x1) + 1(x2) = x1 + x2 A restrio 2 ser dada por: x1 + x2 Restrio 3: A restrio 3 definida pela limitao do nmero de soldados produzidos por semana (devido a limitaes na demanda): x1Prof. Fogliatto RESTRIES DE SINAL Identificam os tipos de valores que as variveis podem assumir. Podem ser de trs tipos: 0 0 irrestrita 80Combinando a funo objetivo e as restries, chega-se a formulao matemtica do problema da Politoy: max z = 3x1 + 2x2 Sujeito a: 2x1 + x2 x1 + x2 4013 Prof. Fogliatto 100 80 40 x1 x1, x2 0Restrio de horas de acabamento Restrio de horas de carpintaria Restrio de demandaPesquisa Operacional 14Pesquisa OperacionalPRTICA 1:Um fazendeiro deseja determinar quantos acres de milho e trigo ele deve plantar esse ano. Um acre de trigo rende 25 sacas e requer 10 horas de trabalho/semana. A saca vale $4 no mercado. Um acre de milho rende 10 sacas e requer 4 horas de trabalho/semana. A saca vale $3 no mercado. O governo garante a compra de pelo menos 30 sacas de milho/ano. O fazendeiro dispe de 7 acres de terra e pode trabalhar 40 horas/semana. Formule o problema tal que os ganhos do fazendeiro sejam maximizados.Soluo - Prtica 1 Variveis de Deciso: x1 = no de acres de milho a serem plantados x2 = no de acres de trigo a serem plantadosProf. FogliattoPesquisa Operacional15Prof. FogliattoPesquisa Operacional16ESPAO DE SOLUES E SOLUO TIMA O espao de solues formado por todos os pontos que satisfazem as restries do problema. A soluo tima em um problema de maximizao corresponde ao ponto no espao de solues onde o valor da funo objetivo mximo.Representao grfica Representao da restrio 2x1 + 3x2 = 6:x24 3 22x1 + 3x2 6(0,0)x12 3 42x1 + 3x2 6Prof. Fogliatto Pesquisa Operacional 17 Prof. Fogliatto Pesquisa Operacional2x1 + 3x2 = 618Representao grfica do problema Politoyx2100 (2) 80 (4) 60 Ponto timo: (20,60) O espao de solues encontra-se hachurado. (2) - (4) denotam as restries. As restries de sinal restringem o problema ao primeiro quadrante do espao bi-dimens.Restries crticas (binding) e no-crticasUma restrio crtica (binding) se, substituindo os valores correspondentes ao ponto timo na restrio, a igualdade de verifica. Ex.: restries (2) e (3) no grfico anterior.Soluo tima: (1) Desenhe o vetor z. (2) Desenhe linhas ortogonais ao vetor z. Essas so as linhas de isocusto. (3) Calcule o valor de z no ponto timo.40Todas as demais restries so consideradas no-crticas. Ex.: restrio (4) e restries de sinal no grfico anterior.20z(3)z = 3(20) + 2(60) = 180Prof. Fogliatto2040Pesquisa Operacional6080100x119 Prof. Fogliatto Pesquisa Operacional 20Outro exemplo:Solucione graficamente o problema e identifique o tipo de conjunto de solues resultante. Um empresa de eletrodomsticos planeja veicular seus produtos em comerciais de TV durante a novela das 8 e os jogos da seleo na Copa. Comerciais na novela so vistos por 7 milhes de mulheres e 2 milhes de homens e custam $50000. Comerciais nos jogos so vistos por 2 milhes de mulheres e 12 milhes de homens, e custam $100000. Qual a distribuio ideal de comerciais se a empresa deseja que eles sejam vistos por 28 milhes de mulheres e 24 milhes de homens a um menor custo possvel? Variveis de deciso: x1 = num. de comerciais veiculados durante a novela. x2 = num. de comerciais veiculados durante os jogos Funo objetivo: Min z = 50x1 + 100x2 A soluo grfica ... Restries: Pblico feminino: 7x1 + 2x2 28 Pblico masculino: 2x1 + 12x2 24 x 1, x 2 0 Soluo tima: (3.6, 1.4) com z = $320. A soluo nica.Prof. Fogliatto Pesquisa Operacional 21 Prof. Fogliatto Pesquisa Operacional 22x2 10Ponto timo no inteiro: Testar pontos (4,1), (3,2), (4,2), checando restries e z. Usar programao inteira.CASOS ESPECIAIS:(1) Problemas com solues alternativas (vrias solues so simultaneamente timas). Nestes casos, a linha de isocusto, ao abandonar o espao de solues viveis, intersecciona com uma linha inteira (e no somente um ponto) desse conjunto.86Ponto timo: (3.6, 1.4)42zProf. Fogliatto246810x123 Prof. Fogliatto Pesquisa Operacional 24Pesquisa OperacionalCASOS ESPECIAIS:(2) Problemas com soluo tendendo ao infinito.CASOS ESPECIAIS:(3) Problemas sem soluoNestes casos, as restries formam um espao aberto de solues viveis. Se a funo objetivo for do tipo max, z e a formulao do problema pode estar incorreta. Se for do tipo Min, uma ou mais solues sero encontradas.Nestes casos, as restries no formam nenhum espao de solues viveis.Prof. FogliattoPesquisa Operacional25Prof. FogliattoPesquisa Operacional26Outro exerccioResolva graficamente o problema formulado na Prtica 1 Um fabricante deseja maximizar a receita. A tabela mostra as composies das ligas, seus preos e as limitaes na disponibilidade de matria-prima: Formule o problema e encontre a soluo tima graficamente.Prof. FogliattoPesquisa Operacional27Prof. FogliattoPesquisa Operacional28Problemas Tpicos de FormulaoFORMULAO 1: Escolha de dietaQuatro tipos de alimentos esto disponveis na elaborao da merenda de um grupo de crianas: biscoito de chocolate, sorvete, refrigerante e torta de queijo. A composio desses alimentos e seus preos so:Escolha da dieta Scheduling de pessoal Deciso Financeira Problema da Mistura Programao da ProduoAs crianas devem ingerir pelo menos 500 calorias, 6 g de chocolate, 10 g de acar, e 8 g de gordura. Formule o problema tal que o custo seja minimizado.Prof. Fogliatto Pesquisa Operacional 29 Prof. Fogliatto Pesquisa Operacional 30 Variveis de deciso: x1 = pores de biscoitos; x2 = pores de sorvete; x3 = pores de refrigerante; x4 = pores de torta de queijo; Restries: (1) Ingesto mnima de 500 calorias; (2) Ingesto mnima de 6 g de chocolate; (3) Ingesto mnima de 10 g de acar; (4) Ingesto mnima de 8 g de gordura. (1) 400 x1 + 200 x2 + 150 x3 + 500 x4 500 Funo objetivo: (custo total) = (custo dos biscoitos) + (custo do sorvete) + (custo do refrigerante) + (custo da torta de queijo) Min z = 50 x1 + 20 x2 + 30 x3 + 80 x4(2) 3 x1 + 2 x2 3 (3) 2 x1 + 2 x2 + 4 x3 + 4 x4 10 (4) 2 x1 + 4 x2 + x3 + 5 x4 8 Variveis 0.Prof. FogliattoPesquisa Operacional31Prof. FogliattoPesquisa Operacional32FORMULAO 2: Otimizao da Fora de TrabalhoUma agncia de correios necessita de um nmero diferente de funcionrios, de acordo com o dia da semana: Variveis de deciso: xi = nm. de empregados trabalhando no dia i; Funo objetivo: Min z = x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7Por exigncia sindical, cada trabalhador trabalha cinco dias consecutivos e descansa dois. Formule o problema tal que o nmero de empregados contratados seja o mnimo necessrio para atender s necessidades de mo-deobra. Restries: x1 x2 x3 x4 x5 x6 17 13 15 19 14 16 x7 11 xi 0 Qual o problema com essa formulao?Prof. FogliattoPesquisa Operacional33Prof. FogliattoPesquisa Operacional34PROBLEMAS(1) A funo-objetivo no o nmero de funcionrios, como se imagina. Cada funcionrio est sendo computado 5 vezes. Por ex.: um funcionrio que comea a trabalhar na segunda, trabalha de segunda a sexta e est includo nas variveis x1, x2, x3, x4, x5. (2) A inter-relao entre as variveis x1, x2, ..., x5 no est capturada na formulao. Por ex.: alguns funcionrios que trabalham na segunda estaro trabalhando na tera. Ou seja x1 e x2 esto inter-relacionadas mas isso no aparece na formulao.Prof. Fogliatto Pesquisa Operacional 35FORMULAO CORRETA Variveis de deciso: xi = nm. de empregados comeando a trabalhar no dia i; Cada empregado comea a trabalhar em um nico dia, no sendo assim contados mais de uma vez. Funo objetivo: Min z = x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7Prof. FogliattoPesquisa Operacional36 17 funcionrios devem estar trabalhando na segunda. Quem estar trabalhando segunda? xi = trabalham nos dias i, i+1, i+2, i+3, i+4; i = 1 (segunda). Assim, estaro trabalhando na segunda os empregados x1 + x4 + x5 + x6 + x7. Assim, a restrio referente ao nmero de empregados trabalhando na segunda ser: x1 + x4 + x5 + x6 + x7 17 Os demais dias sero formulados de maneira similar. Restries: x1 x1 x1 x1 x1 x2 x3 + + + + + + + x4 x2 x2 x2 x2 x3 x4 + + + + + + + x5 x5 x3 x3 x3 x4 x5 + + + + + + + x6 x6 x6 x4 x4 x5 x6 + + + + + + + x7 x7 x7 x7 x5 x6 x7 xi 17 13 15 19 14 16 11 0A soluo tima x1 = 4/3; x2 = 10/3; x3 = 2; x4 = 22/3 x5 = 0; x6 = 10/3; x7 = 5. xi fracionrio no faz sentido. Arredondando-se chegamos a uma soluo que, quando checada via otimizao inteira, resulta completamente sub-tima. Para esses problemas precisamos de programao inteira.37 Prof. Fogliatto Pesquisa Operacional 38Prof. FogliattoPesquisa OperacionalFORMULAO: Deciso Financeira O conceito de valor lquido presente: Considere que $1 investido hoje valer mais de $1 daqui h um ano. O novo valor depender da taxa anual de juros, r. Assim: $1 hoje = $(1 + r)k em k anos ou $ 1 recebidos em k anos = $ (1 + r)-k hoje $ x recebidos em k anos = $x / (1 + r)k hoje O valor lquido presente (VLP) de um investimento determinado descontando o fluxo de caixa de um investimento at o tempo atual, ou tempo 0.Prof. Fogliatto Pesquisa Operacional 39EXEMPLO:Investim. 1 = requer um investimento de $10,000 no tempo 0 e de $14,000 em 2 anos e tem um retorno de $24,000 em 1 ano. Investim. 2 = requer um investimento de $6,000 no tempo 0 e de $1,000 em 2 anos e tem um retorno de $8,000 em 1 ano. Qual o melhor investimento (r = 0.2)? VLP (Inv. 1) = = VLP (Inv. 2) = = -10,000 + (24,000/1+0.2) - [14,000/(1+0.2)2] $277.78 -6,000 + (8,000/1+0.2) - [1,000/(1+0.2)2] - $27.78 O investimento 1 bem melhor!Prof. Fogliatto Pesquisa Operacional 40EXEMPLO DE FORMULAO: Formulao 3 Uma empresa est considerando 5 oportunidades de investimento, com caractersticas dadas a seguir: Varivel de deciso: A empresa deseja determinar qual frao de cada investimento deve ser comprada: xi = frao do investimento i comprada pela empresa.A empresa tem $40 disponveis para investimento no tempo t = 0 e estima dispor de $20 no tempo t = 1. Capital no investido em t=0 no estar disponvel em t = 1. Fraes de cada investimento podem ser compradas. Formule o problema tal que o VLP da companhia seja maximizado. Funo objetivo: Consiste em maximizar os VLP dados na tabela: Max z = 13x1 + 16x2 + 16x3 + 14x4 + 39x5Prof. FogliattoPesquisa Operacional41Prof. FogliattoPesquisa Operacional42 Restries: (1) A empresa no pode investir mais de $40 no tempo 0: 11x1 + 53x2 + 5x3 + 5x4 + 29x5 40 (2) A empresa no pode investir mais de $20 no tempo 1: 3x1 + 6x2 + 5x3 + x4 + 34x5 20 Falta alguma restrio? (3) A empresa no pode comprar mais que 100% de nenhum investimento: xi 1 (4) Todas as variveis devem ser positivas.Prof. Fogliatto Pesquisa Operacional 43PRTICA 2:A empresa X deseja determinar quanto dinheiro investir e quanto dinheiro tomar emprestado no prximo ano. Cada real investido pela empresa reduz o VLP em 10 centavos e cada real tomado em emprstimo aumenta o VLP em 50 centavos (vale mais a pena tomar emprestado do que investir). X pode investir no mximo $1000000. O dbito pode somar at 40% do que for investido. X dispe de $800000 em caixa. Todo o investimento deve ser pago com o dinheiro em caixa ou com dinheiro emprestado. Formule o problema tal que o VLP de X seja maximizado. Resolva o problema graficamente.Prof. FogliattoPesquisa Operacional44FORMULAO: Problema da MisturaSituaes onde vrias matrias-primas devem ser misturadas em propores ideais so modelveis via programao linear. Alguns exemplos: (1) Mistura de vrios tipos de leos para produzir diferentes tipos de gasolina. (2) Mistura de compostos qumicos para gerar outros compostos. (3) Mistura de ingredientes para produo de raes. (4) Mistura de diferentes tipos de papis para produzir um papel reciclado.EXEMPLO (Formulao 4): O caso TexacoA Texaco produz at 14000 barris/dia de 3 tipos de gasolina misturando 3 tipos de leos. Dados a respeito das gasolinas e leos so:Prof. FogliattoPesquisa Operacional45Prof. FogliattoPesquisa Operacional46EXEMPLO (Formulao 4): O caso TexacoAs gasolinas tm especificaes de octanagem e contedo de enxofre dadas abaixo. A mistura de leos para produo de gasolina deve satisfazer essas especificaes. Variveis de deciso: A Texaco deve decidir sobre (i) quanto dinheiro gastar na publicidade de cada tipo de gasolina e (ii) qual a mistura apropriada de leos. ai = $/dia gasto na publicidade da gasolina i. xij = barris de leo i gastos/dia para produzir gasolina j. Funo objetivo: Cada $/dia gasto em publicidade c/ qualquer tipo de gasolina, aumenta em 10 barris a venda daquele tipo de gasolina. Formule este problema tal que a Texaco maximize seus lucros dirios (= receita-despesa). Primeiro, note que: x11 +x12 + x13 = bar.leo 1 consum./dia. x21 +x22 + x23 = bar.leo 2 consum./dia. x31 +x32 + x33 = bar.leo 3 consum./dia.x11 +x21 + x31 = bar.gas.1 prod./dia. x12 +x22 + x32 = bar.gas.2 prod./dia. x13 +x23 + x33 = bar.gas.3 prod./dia.48Prof. FogliattoPesquisa Operacional47Prof. FogliattoPesquisa Operacional Funo objetivo: (1) Ganhos/dia com vendas de gasolina: 70(x11 +x21 + x31) + 60(x12 +x22 + x32) + 50(x13 +x23 + x33) (2) Custo/dia da compra de leo: 45(x11 +x12 + x13) + 35(x21 +x22 + x23) + 25(x31 +x32 + x33) (3) Custo/dia com propaganda: a1 + a2 + a3 (4) Custo/dia produo: 4(x11 +x12 + x13 + x21 +x22 + x23+ x31 +x32 + x33) Lucro dirio: (1) - (2) - (3) - (4)Prof. Fogliatto Pesquisa Operacional 49 Funo objetivo: Max z = 21x11 +11x12 + x13 + 31x21 + 21x22 + 11x23 + 41x31 + 31x32 + 21x33 - a1 - a2 - a3 Restries: (1-3) Gas 1-3 produzida diariamente deve ser igual a demanda (no queremos estocar gasolina). Demanda diria gas 1: 3000 + demanda gas 1 gerada por publicidade = 3000 + 10a1 Demanda gas 2: 2000 + 10a2 Demanda gas 3: 1000 + 10a3 Assim: x11 + x21 + x31 - 10a1 = 3000 x12 + x22 + x32 - 10a2 = 2000 x13 + x23 + x33 - 10a3 = 1000Prof. Fogliatto Pesquisa Operacional 50 Restries: (4-6) Compra diria de leo 1-3 no deve exceder 5000 barris. x11 + x12 + x13 5000 x21 + x22 + x23 5000 x31 + x32 + x33 5000 (7) Produo/dia de gas no deve exceder 14000 barris. x11 +x12 + x13 + x21 +x22 + x23+ x31 +x32 + x33 14000 (8) Mistura de leos p/produzir gas 1 deve ter uma octanagem mdia de pelo menos 10 graus.(9) Mistura de leos p/produzir gas 2 deve ter uma octanagem mdia de pelo menos 8 graus. 4x12 - 2x22 0 (10) Mistura de leos p/produzir gas 3 deve ter uma octanagem mdia de pelo menos 6 graus. 6x13 + 2x33 0 A restrio (10) redundante e no precisa ser includa no modelo. Por qu?Para linealizar essa inequao, multiplica-se os dois lados pelo denominador: 2x11 - 4x21 - 2x31 0Prof. Fogliatto Pesquisa Operacional 51Porque x13 e x33 0 por definio. Verifique a octanagem dos leos crus para entender o porqu desta redundncia.Prof. Fogliatto Pesquisa Operacional 52(11) Mistura de leos p/produzir gas 1 deve ter um teor de enxofre menor ou igual a 1%. -0.005x11 + 0.01x21 + 0.02x13 0 (12) Mistura de leos p/produzir gas 2 deve ter um teor de enxofre menor ou igual a 2%. -0.015x12 + 0.01x32 0 (13) Mistura de leos p/produzir gas 3 deve ter um teor de enxofre menor ou igual a 1%. -0.005x13 + 0.01x23 + 0.02x33 0Prof. Fogliatto Pesquisa Operacional 53FORMULAES MULTIPERODO (Formulao 5) O problema do estoque - O caso da empresa RegataA Regata S/A quer decidir quantos barcos produzir nos prximos 4 trimestres, de modo a satisfazer sua demanda a um menor custo:Prof. FogliattoPesquisa Operacional54FORMULAES MULTIPERODO (Formulao 5) O problema do estoque - O caso da empresa RegataA Regata deve atender seus pedidos em dia. No incio do trimestre, 10 barcos esto em estoque. No incio de cada trimestre, a Regata deve decidir quantos barcos sero produzidos naquele trimestre. Barcos produzidos num trimestre podem ser usados para atender pedidos naquele mesmo trimestre (pedidos so atendidos no final do trimestre). A Regata por produzir at 40 barcos/trim, a um custo de $400/barco. Para aumentar a produo, pode usar horas-extra, a um custo de $450/barco. Estocar um barco de um trim. para outro custa $20/barco. Formule o problema tal que a demanda seja atendida um mnimo custo.Prof. Fogliatto Pesquisa Operacional 55 Variveis de deciso: A Regata deve determinar quantos barcos produzir usando mo-de-obra normal e horas-extra a cada trimestre: xt = barcos produzidos por m.o. normal durante trim. t. yt = barcos produzidos por horas-extra durante trim. t. Variveis de estoque tambm devem ser definidas: it = barcos em estoque no final do trimestre t. Assim: Custo total = custo produo normal + custo produo hora-extra + custo estocagem = 400 (x1 + x2 + x3 + x4) + 450(y1 + y2 + y3 + y4) + 20 (i1 + i2 + i3 + i4)Prof. Fogliatto Pesquisa Operacional 561o Funo objetivo: Min z = 400x1 + 400x2 + 400x3 + 400x4 + 450y1 + 450y2 + 450y3 + 450y4 + 20i1 + 20i2 + 20i3 + 20i4 Estoque no final de cada trimestre: it = it-1 + (xt + yt) - dt , t = 1,,4 onde dt = demanda no trimestre t. Para satisfazer a demanda ao final de cada trimestre: it-1 + (xt + yt) dt ou it = it-1 + (xt + yt) dt 0Prof. Fogliatto Pesquisa Operacional 57 Restries: (1-4) Produo normal em cada trimestre no deve exceder 40 barcos: x1 40 x2 40 x3 40 x4 40(5-8) Demanda deve ser satisfeita a cada trimestre: i1 = 10 + x1 + y1 - 40 i3 = i2 + x3 + y3 - 75 i2 = i1 + x2 + y2 - 60 i4 = i3 + x4 + y4 - 25Todas as variveis so do tipo 0.Prof. Fogliatto Pesquisa Operacional 58PRTICA 3: Modelos Financeiros com mltiplos perodos.Uma empresa precisa definir sua estratgia financeira para os prximos trs anos. No tempo t = 0, $100000 esto disponveis para investimento. Planos A, B, C, D e E esto disponveis. Investir $1 em cada um desses planos gera o fluxo de caixa abaixo:Utilizao do Whats Best na soluo de problemas de PL Whats Best um programa da famlia Lindo para otimizao linear, no-linear e inteira. Vantagens:No mximo $75000 podem ser investidos num mesmo plano. A empresa pode ganhar 8% de juros se investir no mercado financeiro ao invs dos planos. Lucros gerados em qualquer perodo podem ser imediatamente reinvestidos (no mesmo perodo). A empresa no pode tomar dinheiro emprestado. Formule o problema tal que $ no ltimo priodo seja mximo.Prof. Fogliatto Pesquisa Operacional 59 implementado na planilha Excel; vrias funes algbricas do Excel so aceitas na formulao do problema: ABS, ACOS, AND, ASIN, ATAN, ATAN2, AVERAGE, COS, EXP, FALSE, IF, INT, LN, LOG, MAX, MIN, MOD, NOT, NPV, OR, PI, SIN, SQRT, SUM, SUMPRODUCT, TAN, TRUE, TRUNC, NORMINV, TRIAINV, EXPOINV, UNIFINV, MULTINV.Prof. Fogliatto Pesquisa Operacional 60Outras vantagens do Whats Best Programa permite alterar coeficientes da formulao facilmente: formulao fica explicita na planilha. Facilidade de uso: princpio de programao o mesmo do Excel. Gratuito para download da rede:www.lindo.com Opo: Whats BestProf. Fogliatto Pesquisa Operacional 61Como utilizar o programa Abra o Excel. O Whats Best deve carregar-se como uma Macro daquela planilha. Abra o arquivo XYZPort, que contm o exemplo.Este o arquivo.Prof. FogliattoPesquisa Operacional62Os comandos do programa esto na barra de ferramentas e no menuO Problema do Mix de Produo A XYZ Corporation monta dois modelos de computador. O modelo Padro gera um lucro por unidade produzida de $300, enquanto o modelo Luxo gera um lucro por unidade de $500. Os dois modelos utilizam trs componentes para sua montagem: o chassis Padro (60), o chassis de Luxo (50) e o drive de disquete (120). Disponveis em estoqueProf. FogliattoPesquisa Operacional63Prof. FogliattoPesquisa Operacional64Necessidades de componentes em cada modelo O modelo Padro utiliza um chassis Padro e um drive de disquete. O modelo Luxo utiliza um chassis Luxo e dois drives de disquete. Problema: qual combinao de modelos Padro e Luxo maximiza os lucros da XYZ, considerando os componentes atualmente em estoque?Prof. Fogliatto Pesquisa Operacional 65Determinar as variveis de deciso (adjustable cells) Variveis de deciso: Padro = quantidd de computadores padro a serem produzidos. Luxo = quantidd de computadores luxo a serem produzidos.Prof. FogliattoPesquisa Operacional66Determinar as variveis de deciso (adjustable cells)Identifique as clulas como variveis de deciso (adjustable cells)Identificao das variveis de decisoTela resultante Valor inicial das variveis de deciso (pode ser qualquer valor). Na busca pelo timo, o programa permitir que essas clulas assumam qualquer valor nonegativo.Prof. Fogliatto Pesquisa Operacional 67Selecione as clulas onde foram escritos os zeros.Prof. FogliattoNa opo WB! do menu, selecione adjustable.Pesquisa Operacional 68Caso as variveis de deciso sejam no-negativas, clique OK. Opo caso as variveis de deciso sejam irrestritas no sinal.Variveis de deciso so identificadas em azul pelo WB.Identificao das clulas selecionadas como ajustveis. Nomeie as variveis irrestritas no sinal (qualquer nome serve).Caso as variveis sejam irrestritas no sinal, siga os passos abaixo.Existe um cone de atalho p/ identificao de variveis de deciso no-negativas, conforme apresentado abaixo. Selecione as variveis de deciso. Clique no cone . Clulas passam a ser apresentadas em azul.Clique em OK.Clique em Add.WBFree identifica variveis irrestritasProf. FogliattoPesquisa Operacional69Prof. FogliattoPesquisa Operacional70Escreva a funo objetivo (best)Coeficientes de custo da funo objetivo. Funo objetivo: Lucro Total = (Lucro por unidade do Modelo Padro) (Qtdd de Modelos Padro produzidos) + (Lucro por unidade do Modelo Luxo) (Qtdd de Modelos Luxo produzidos) Lucro Total = 300 Padro + 500 LuxoProf. Fogliatto Pesquisa Operacional 71 Prof. Fogliatto Pesquisa Operacional 72Frmula da funo objetivo.Identifique a clula que contm a frmula como funo objetivo (best)Clique na clula onde a frmula da funo objetivo foi escrita. Identificao das clulas selecionadas como ajustveis.Identifique se o problema de Minimizao ou Maximizao (default Minimizao).Confirme clicando OK.Selecione WB! no menu e a opo Best. Este a tela correspondente opo Best.Prof. Fogliatto Pesquisa Operacional 73 Prof. Fogliatto Pesquisa OperacionalClula contendo funo objetivo passar a ser identificada como clula a ser maximizada (WBMAX).74Selecione a clula contendo a frmula da funo objetivo.Especifique as restries (constraints) Restries informam que total de componentes utilizados deve ser quantidade disponvel em estoque. Restrio p/ componente chassis padro:(Qtdd de Modelos Padro produzidos) (No de chassis padro por modelo) + (Qtdd de Modelos Luxo produzidos) (No de chassis padro por modelo) Qtdd de chassis padro em estoque Padro 1 + Luxo 0 60Confira se clula passou a ser identificada por WBMAX.Clique no cone.Prof. FogliattoPesquisa Operacional75Prof. FogliattoPesquisa Operacional76Demais restries (constraints) Restrio p/ componente chassis luxo:Padro 0 + Luxo 1 50Organizao das restries na planilha do WBFrmula da 1a restrio. Coeficientes tecnolgicos das restries. Restrio p/ componente drive de disquete:Padro 1 + Luxo 2 120 Restrio de no-negatividade: o default do WB.Lado direito das restries.Prof. FogliattoPesquisa Operacional77Prof. FogliattoPesquisa OperacionalClulas c/ as frmulas das restries. 78Restries devem ser identificadas no WB Restries podem ser de trs tipos: , , =. Ao escrever-se o sentido da restrio numa clula da planilha: a clula adjacente esquerda passa a ser identificada como aquela que contm a frmula da restrio; a clula adjacente direita passa a ser identificada como aquela que contm a disponibilidade do recurso.Selecione a clula onde ser escrito o sentido da 1a restrio.79 Prof. FogliattoIdentifique restriesNa opo WB! do menu, selecione constraints.Tela resultanteProf. FogliattoPesquisa OperacionalPesquisa Operacional80Confirme clicando OK.Identificao do tipo da restrio e clulas consideradas.Identificao da clula que deve conter a frmula da restrio.Identificao da clula que deve conter o lado direito da restrio.Identificao do tipo da restrio. Identificao do tipo de restrio (default ).Repita o procedimento para as demais restries.Prof. Fogliatto Pesquisa Operacional 81 Prof. Fogliatto Pesquisa Operacional 82Selecione a clula onde o tipo da restrio deve ser escrito.Clique emConfira se clula passou a ser identificada como restrio.para rodar a otimizaoValor das variveis de deciso no ponto timo.Valor da funo objetivo no ponto timo. Clique no cone apropriado. Situao das restries no ponto timo.Prof. Fogliatto Pesquisa Operacional 83 Prof. Fogliatto Pesquisa Operacional 84Situao especial: Variveis de deciso devem ser inteirasEscolha um nome para as variveis inteiras (qualquer nome serve).Clique em OK p/ confirmar. Identificao das clulas selecionadas como ajustveis e inteiras. Identifique se variveis de deciso so inteiras binrias (0 ou 1) ou qualquer nmero inteiro no-negativo (opo General). Ateno: default do programa binrioTela resultanteSelecione as clulas onde foram escritos os zeros.Prof. FogliattoNa opo WB! do menu, selecione integer.Pesquisa Operacional 85 Prof. FogliattoPesquisa Operacional86Outros programas de otimizao Solver do Excel Vantagem: suporta todas as funes matemticas do Excel. Desvantagem: esconde a formulao.I. REVISO DE LGEBRA LINEARI.1. MATRIZES E VETORES Uma matriz qualquer arranjo retangular de nmeros. Uma matriz A com m linhas e n colunas uma matriz m x n. m x n a ordem de A. Forma geral: O nmero na isima linha e jsima coluna da matriz denominado aij. Lindo Vantagem: executa anlise de sensibilidade e pode ser baixado gratuitamente da rede. Desvantagem: formulao deve ser escrita como texto.Tutorial do Lindo disponvel na apostilaProf. Fogliatto Pesquisa Operacional 87 Prof. FogliattoPesquisa Operacional88I.1 Matrizes e Vetores Uma matriz com uma nica coluna um vetor de coluna. Uma matriz com uma nica linha um vetor de linha. Vetores, por definio, so de coluna; um vetor de linha um vetor de coluna transposto. Um vetor de zeros designado por 0. Produto Escalar de Vetores: Sejam u = [ u1,,un ] um vetor (transposto) de linha e v = [ v1,,vn ] um vetor de coluna de igual dimenso. Seu produto escalar ser o nmero: u . v = u1v1 + u2v2 ++ unvnI.1 Matrizes e Vetores O produto escalar:no definido.Prof. FogliattoPesquisa Operacional89Prof. FogliattoPesquisa Operacional90OPERAES COM MATRIZESTransposto de uma Matriz: Seja uma matriz qualquer de ordem (m x n) :MATRIZES E SISTEMAS DE EQUAES LINEARESa11x1 + a12x2 + . + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + . + a2nxn = b2 am1x1 + am2x2 + . + amnxn = bmO transposto de A, designado por A, ser uma matriz de ordem (n x m): x1, x2,, xn = variveis desconhecidas (incgnitas). aij , bi = constantes Soluo para um sistema de equaes lineares com m equaes e n incgnitas = conjunto de valores para x1, x2,, xn que satisfaa as m equaes do sistema.Prof. FogliattoPesquisa Operacional91Prof. FogliattoPesquisa Operacional92SISTEMAS DE EQUAES LINEARESRepresentao MatricialINVERSO DE UMA MATRIZDefinies: A uma matriz (m x n). Se m = n, ento A uma matriz quadrada. A = [aij]. Os elementos diagonais de A so aqueles aij para os quais i = j.(m x n)(n x 1)(m x 1) = matriz identidade (Im)Ax = bProf. FogliattoPesquisa Operacional93Prof. FogliattoPesquisa Operacional94MTODO DE GAUSS-JORDAN DE INVERSO DE MATRIZESIdia Central: Determine A-1 tal que A.A-1 = I.EXEMPLO 1:Procedimento: Transformar A em I atravs de operaes elementares com linhas. As mesmas operaes transformaro I em A-1.Prof. FogliattoPesquisa Operacional95Prof. FogliattoPesquisa Operacional96EXEMPLO 2:Prtica 4Resolva o seguinte sistema de equaes lineares usando a matriz inversa de A:A soluo do sistema ser dada por x = A-1.b B-1 no existe! Note que a segunda linha uma combinao linear da primeira. Prticas adicionais: inverta as matrizes abaixo (utilize a funo matriz.inv do Excel para checar o resultado)Prof. FogliattoPesquisa Operacional97Prof. FogliattoPesquisa Operacional98Considere o seguinte problema:Um fabricante de mveis deseja determinar o mix ideal de produo, levando em conta preos-de-venda dos produtos e quantidade disponvel de insumos. A situao atual vem dada na tabela abaixo:A formulao matemtica deste problema Max z = 60x1 + 30x2 s.a: 8x1 + 6x2 4x1 + 2x2 2x1 + 1.5x2 x2, x1, + 20x3 + x3 48 + 1.5 x3 20 + 0.5 x3 8 x3 0 Restrio das Tbuas Restrio de Acabamento Restrio de CarpintariaNo escrivaninhas produzidas No mesas produzidas No cadeiras produzidasProf. Fogliatto Pesquisa Operacional 99 Prof. Fogliatto Pesquisa Operacional 100Para resolver o problema pelo Simplex, temos que adicionar variveis de folgaMax z = 60x1 + 30x2 + 20x3 s.a: 8x1 + 6x2 + x3 + f 1 + f2 4x1 + 2x2 + 1.5 x3 + f3 2x1 + 1.5x2 + 0.5 x3 x1, x2, x3, f1, f2, f3 = = = 48 20 8 0Conceitos-chave no mtodo Simplex Variveis de folga e excesso. Folgas introduzidas em restries do tipo . Excessos introduzidos em restries do tipo . Variveis bsicas e no-bsicas. Bsicas = var. p/ as quais o sistema de equaes resolvido.Uma vez adicionadas variveis de folga e excesso, o problema dito no formato padro, pronto para ser resolvido atravs do mtodo Simplex!Prof. Fogliatto Pesquisa Operacional 101 No-bsicas = var. zeradas para que o sistema de equaes apresente uma soluo (equaes=variveis).Prof. Fogliatto Pesquisa Operacional 102Solucionando problemas de otimizao linear no tableau do simplex O tableau inicial tem a seguinte estrutura:Montagem do tableau passo a passo A montagem do tableau sempre pressupe variveis de folga formando a base inicial O no de variveis na base igual ao no de restries no problema Se no houver variveis de folga em quantidade suficiente para formar a base inicial, utilizaremos variveis de folga artificiais (vistas mais adiante)Prof. FogliattoPesquisa Operacional103Prof. FogliattoPesquisa Operacional104Montagem do tableau passo a passoLista das variveis no cabealho das colunas Para um problema com n variveis, o tableau ter n + 2 colunas Cada varivel ser posicionada em uma coluna do tableau: Inicie pelas variveis estruturais (x1, x2, ...) Depois lista folgas, excessos e artificiais na ordem em que aparecerem nas restriesProf. Fogliatto Pesquisa Operacional 105Primeira coluna do tableau A primeira coluna a coluna z: Ali so listadas as variveis bsicas do tableau Exemplo:Base inicial formada por f1, f2 e f3Prof. FogliattoPesquisa Operacional106ltima coluna do tableau a coluna RHS (right hand side): Ali aparecem o valor atual da funo objetivo (no cruzamento entre coluna RHS e linha z) e o valor das variveis que esto na base No primeiro tableau (se as var. de folga forem a base inicial), o valor atual da funo objetivo zero e o valor das variveis na base correspondem ao lado direito das restriesProf. Fogliatto Pesquisa Operacional 107ltima coluna do tableauExemploValor da f.o. para a base atualValor de f1, f2 e f3 na baseProf. Fogliatto Pesquisa Operacional 108Linhas do tableau O tableau do simplex constitudo de m + 1 linhas (m = no de restries do problema): A primeira linha denominada linha z: Analisando a linha z se verifica se o tableau timo ou se h melhorias possveis na funo obj.Linha z No tabelau inicial, a linha z dada pelos coeficientes de cada varivel na funo objetivo, com o sinal invertido: Variveis de folga e de escesso tm coeficientes zero, pois nunca esto na f.o. original Embaixo das variveis bsicas, na linha z do tableau, s pode-se ter o valor 0!Prof. Fogliatto Pesquisa Operacional 110 As demais linhas esto associadas s variveis que esto na base, uma por varivelProf. Fogliatto Pesquisa Operacional 109Exemplo de montagem da linha zMax z = 60x1 + 30x2 + 20x3 s.a: 8x1 + 6x2 + x3 + f 1 + f2 4x1 + 2x2 + 1.5 x3 + f3 2x1 + 1.5x2 + 0.5 x3 x1, x2, x3, f1, f2, f3 = = = 48 20 8 0Demais linhas do tableau Copia-se literalmente o sistema de restries do problema:Prof. FogliattoPesquisa Operacional111Prof. FogliattoPesquisa Operacional112Prtica 5Considere o problema abaixo: Min z = 3x1 - x2 + 5x3 s.aALGORITMO SIMPLEX NO TABLEAU Passo 1 Verifique se a base atual a base tima do problema: Um problema de Minimizao est na base tima se todos os valores abaixo das variveis na linha z do tableau so negativos ou zeroEx.:Transforme as inequaes em equaes introduzindo var. de folga. Monte o tableau inicial do problema.O algoritmo encerra aqui!Prof. Fogliatto Pesquisa Operacional 113 Prof. Fogliatto Pesquisa Operacional 114ALGORITMO SIMPLEX NO TABLEAU Passo 1 Verifique se a base atual a base tima do problema: Um problema de Maximizao est na base tima se todos os valores abaixo das variveis na linha z do tableau so positivos ou zeroEx.:ALGORITMO SIMPLEX NO TABLEAUPasso 2 Identifique a varivel a entrar na base: Em problema de Minimizao, o valor mais positivo abaixo das variveis na linha z do tableau denota a varivel entrante Em problema de Maximizao, o valor mais negativo na linha z denota a varivel entranteO algoritmo encerra aqui!Prof. Fogliatto Pesquisa Operacional 115 Prof. Fogliatto Pesquisa Operacional 116ALGORITMO SIMPLEX NO TABLEAUALGORITMO SIMPLEX NO TABLEAUPasso 3 Identifique a varivel que sai da base atravs do teste da mnima razo: Divida os nos (abaixo da linha z) no lado direito do tableau pelos nos positivos em posies correspondentes na coluna da varivel entrante (abaixo da linha z) A menor razo indica a varivel que sai da baseProf. Fogliatto Pesquisa Operacional 117Passo 3 Exemplo (Minimizao)varivel entranteElemento de pivot Razes: 4/2=2 8/1=8 Menor razo! Varivel x1 sai da base para que x2 possa entrar No 2 na coluna do x2 o elemento de pivot!Pesquisa Operacional 118Prof. FogliattoALGORITMO SIMPLEX NO TABLEAUALGORITMO SIMPLEX NO TABLEAUPasso 3 Exemplo (Maximizao)varivel entrantePasso 3 Nota importante O critrio de entrada na base depende da funo objetivo do problema (maximizao ou minimizao) O teste da mnima razo, entretanto, o mesmo, independente do tipo de funo objetivo!Razes: 4 / -2 = No vale! 8/2=4Elemento de pivotnica razo (menor por definio!) Varivel f2 sai da base para que f1 possa entrar No 2 na coluna do f1 o elemento de pivot!Pesquisa Operacional 119 Prof. Fogliatto Pesquisa Operacional 120Prof. FogliattoALGORITMO SIMPLEX NO TABLEAUALGORITMO SIMPLEX NO TABLEAUPasso 4 Realize o pivot para a troca de base: Atravs de operaes elementares com linhas do tableau, faa com que a coluna da varivel entrante fique igual a coluna da varivel que est saindo da base Inicie as operaes pelo elemento de pivotPasso 4 Exemplovarivel entranteElemento de pivotColuna da varivel f1 deve ficar igual coluna da varivel f2Prof. FogliattoPesquisa Operacional121Prof. FogliattoPesquisa Operacional122ALGORITMO SIMPLEX NO TABLEAUALGORITMO SIMPLEX NO TABLEAUPasso 4 ExemploInicie pelo elemento de pivot: ele deve virar 1Passo 4 ExemploA linha de trabalho ser usada nas operaes que transformaro os demais nos da coluna da varivel entrante em zeroProf. Fogliatto Pesquisa Operacional 123Como o problema de minimizao e no h mais valores negativos na linha z do tableau abaixo das variveis, esta a base tima do problema! Prof. Fogliatto Pesquisa Operacional 124ALGORITMO SIMPLEX NO TABLEAUALGORITMO SIMPLEX NO TABLEAUPasso 5 Volte ao passo 1Alguns comentrios Cada tableau do simplex corresponde a uma base diferente do problema. Assim: O valor da funo objetivo nunca deve piorar a medida que a troca de bases ocorre As variveis bsicas no podem assumir valores negativos (ou houve erro no teste da mnima razo!)Prof. FogliattoPesquisa Operacional125Prof. FogliattoPesquisa Operacional126ALGORITMO SIMPLEX NO TABLEAUALGORITMO SIMPLEX NO TABLEAUAlguns comentrios Problemas de maximizao podem apresentar valores negativos de funo objetivo (depende da funo) e vice-versa Atualize as variveis na base: aps cada pivot, certifique-se de que o cabealho das linhas est corretoAlguns comentrios As colunas das variveis bsicas no tableau abaixo da linha z devem sempre corresponder a colunas de uma matriz identidadeProf. FogliattoPesquisa Operacional127Prof. FogliattoPesquisa Operacional128Situaes especiais:Exemplo c/ solues timas alternativasMin z = -2x1 - 4x2 s.a: x1 + 2x2 4 -x1 + x2 1 x2 0 x1,61. Solues timas alternativas; 2. Soluo infinita (tendendo ao infinito). 3. Base inicial no disponvel (problema c/ variveis de excesso ou restries do tipo =).4 B3 2 B2 B1Reta de solues timas alternativaszProf. Fogliatto Pesquisa Operacional 129 Prof. Fogliatto246130Pesquisa OperacionalTableauExemplo c/ soluo tendendo ao infinitoMin z = - x1 - 3x2 s.a: x1 - 2x2 4 -x1 + x2 3 x2 0 x1,B2 26Soluo tima 4zProf. Fogliatto Pesquisa Operacional 131 Prof. FogliattoB1246132Pesquisa OperacionalTableauEx. c/ base inicial no disponvelMin z = x1 - 2x2 s.a: - x1 + x2 1 x2 4 x2 0 x1,Adicionando excesso e folga6 B3 (Base tima) 4Min z = x1 - 2x2 s.a: x1 + x2 - e1 = 1 + f1 = 4 x2 0 x1, x2, e1, f1Adicionando artificial2 B2 B1Min z = x1 - 2x2 + Ma1 s.a: x1 + x2 - e1 + a1 = 1 + f1 = 4 x2 x1, x2, e1, f1, a1 0Prof. Fogliatto Pesquisa Operacional 133 Prof. Fogliatto246z134Pesquisa OperacionalTableauPrtica 6A Soluo tima nicaMax z = 60x1 + 30x2 s.a: 8x1 + 6x2 4x1 + 2x2 2x1 + 1.5x2 x 2, x1, + 20x3 + x3 48 + 1.5 x3 20 + 0.5 x3 8 x3 0Prof. FogliattoPesquisa Operacional135Prof. FogliattoPesquisa Operacional136Prtica 6B Soluo Max z = 36x1 + 30x2 - 3x3 - 4x4 s.a: x1 + x2 - x3 5 - x4 10 6x1 + 5x2 x2, x 3, x4 0 x 1,Prtica 6C Solues timas alternativasMax z = -3x1 + 6x2 s.a 5x1 + 7x2 35 -x1 + 2x2 2 x2 0 x1,Prof. FogliattoPesquisa Operacional137Prof. FogliattoPesquisa Operacional138Prtica 6D Base Inicial no-disponvelPrtica 6E Base Inicial no-disponvelMax z = -x1 - 2x2 s.a 3x1 + 4x2 12 2x1 - x2 2 x2 0 x1,Min z = -x1 s.a x1 -x1 + x1,x2 x2 1 x2 1 x2 0Este problema no possui solues viveis (confira graficamente). Verifique como o mtodo do M-Grande vai sinalizar a ausncia de solues viveis.Prof. Fogliatto Pesquisa Operacional 139 Prof. Fogliatto Pesquisa Operacional 140Prticas AdicionaisMax z = 2x1 + x2 - x3 s.a x1 + x2 + 2 x3 6 x1 + 4x2 - x3 4 x1, x2, x3 0 Min z = 3x1 - 3x2 + x1 + 2x2 -3x1 - x2 + x1, x2, x3 x3 5 x3 4 x3 0O PROBLEMA DUAL Todo o problema de programao linear possui um problema dual correspondente. Chamaremos o problema original de primal e o problema dual de dual.s.as.aMax z = 2x1 - x2 x1 + x2 3 -x1 + x2 1 x1, x2, 0Pesquisa Operacional 141 Variveis do problema primal z, x1, x2,,xn. Variveis do problema dual w, y1, y2,,ym.Prof. FogliattoProf. FogliattoPesquisa Operacional142Escrevendo o dual de um problema de progr. linearMax z = c1x1 + c2x2 + + cnxn s.a: a11x1 + a12x2 + + a1nxn b1 a21x1 + a22x2 + + a2nxn b2 am1x1 + am2x2 + + amnxn bmEXEMPLOMax z = 60x1 + 30x2 + 20x3 s.a: 8x1 + 6x2 + 1x3 48 4x1 + 2x2 + 1.5x3 20 2x1 + 1.5x2 + 0.5x3 8 x2, x3 0 x1, P r i m a lMin w = b1y1 + b2y2 + + bmym s.a: a11y1 + a21y2 + + am1ym c1 a12y1 + a22x2 + + am2ym c2 a1ny1 + a2ny2 + + amnym cnMin w = 48y1 + 20y2 + 8y3 s.a: 8y1 + 4y2 + 2y3 60 6y1 + 2y2 + 1.5y3 30 1y1 + 1.5y2 + 0.5y3 20 y1, y2, y3 0D u a lProf. FogliattoPesquisa Operacional143Prof. FogliattoPesquisa Operacional144A isima restrio do dual corresponde isima varivel do primalUsando a tabela abaixo, pode-se achar o dual de qualquer primal:OUTRO EXEMPLOMax z = 2x1 + x2 s.a: 2x1 + x2 = 2 2x1 - x2 3 x1 - x2 1 x1 0, x2 irrestr. P r i m a lVariveisRestriesRestriesVariveisMin w = 2y1 + 3y2 + 1y3 s.a: 2y1 + 2y2 + y3 2 y1 - y2 - y3 = 1 y1 irrestr., y2 0, y3 0D u a lProf. FogliattoPesquisa Operacional145Prof. FogliattoPesquisa Operacional146INTERPRETAO ECONMICA DO PROBLEMA DUALO exemplo visto anteriormente: Max z = 60x1 + 30x2 + 20x3 s.a: 8x1 + 6x2 + 1x3 48 4x1 + 2x2 + 1.5x3 20 2x1 + 1.5x2 + 0.5x3 8 x2, x3 0 x1, Corresponde modelagem matemtica do seguinte problema:O DUAL DESTE PROBLEMA :Min w = 48y1 + 20y2 + 8y3 s.a: 8y1 + 4y2 + 2y3 60 6y1 + 2y2 + 1.5y3 30 1y1 + 1.5y2 + 0.5y3 20 y2, y3 0 y1, Escrivaninha Mesa Cadeira Restries associadas com escrivaninhas, mesas e cadeiras, respectiv. y1 associado com tbuas; y2 com acabamto; y3 com carpintaria. Suponha uma situao onde exista escassez de insumos. Um outro fabricante de mveis deseja comprar os insumos disponveis na fbrica de escrivaninhas, mesas e cadeiras. A pergunta-chave : qual o gio mximo a ser cobrado pelos insumos?Prof. FogliattoPesquisa Operacional147Prof. FogliattoPesquisa Operacional148Definindo as variveis do problema dual y1 = gio mximo cobrado por uma tbua de madeira; y2 = gio mximo cobrado por 1 hora de acabamento; y3 = gio mximo cobrado por 1 hora de carpintaria O gio total a ser cobrado por estes insumos corresponder funo objetivo: Min w = 48y1 + 20y2 + 8y3O comprador deseja o menor preo, mas o preo deve ser atraente o suficiente para induzir o fabricante de escrivaninhas a vender seus insumosAssim: 8y1 + 4y2 + 2y3 60Restrio das escrivaninhasOu seja, se comprarmos todos os insumos nas quantidades necessrias para produzir uma escrivaninha, o gio a ser pago deve ser, no mnimo, o que o fabricante lucraria com a venda daquele produto. O mesmo ocorre com as outros produtos: 6y1 + 2y2 + 1.5y3 30 1y1 + 1.5y2 + 0.5y3 20Restr. das mesas Note que a funo objetivo busca minimizar o custo de compra: este o ponto de vista do comprador.Restr. das cadeiras150Prof. FogliattoPesquisa Operacional149Prof. FogliattoPesquisa OperacionalPara determinarmos o menor gio de compra dos insumos que mantenha a venda desses insumos interessantes para o fabricante, devemos resolver o problema dualExerccioDetermine o dual do seguinte problema de programao linear: Max z = x1 + s.t.: 3x1 + 2x1 + x 1,151 Prof. Fogliatto As variveis y1, y2, y3 so normalmente denominadas preossombra dos insumos.restrio corresponde Por definio, o preo-sombra da melhoria no valor z da funo objetivo ocasionada pelo incremento de uma unidade no lado direito da restrio [ou seja, de bi para (bi + 1)].Prof. Fogliatto Pesquisa Operacionalisima2x2 x2 6 x2 = 5 x2 0Pesquisa Operacional 152Como ler a soluo tima do dual a partir da linha 0 (ou linha z) do tableau timo do primal Caso 1 - Primal = MaxPara resolver o problema abaixo: Max z = 3x1 + s.a: 1x1 + 2x2 + 5x3 3x2 + 2x3 15 x3 5 2x2 2x1 + x2 - 5x3 = 10 x2, x3 0 x 1,Tableau timoAdicionar var. folga f1 Adicionar var. excesso e2 e art. a2 Adicionar var. artificial a3 A base inicial ser formada por B = { f1, a2, a3}. Usaremos o Mtodo do M-Grande para solucionar este problema. O tableau timo vem dado a seguir...Prof. Fogliatto Pesquisa Operacional 153 Prof. Fogliatto Pesquisa Operacional 154Regras para identificao da soluo tima dual na linha 0 (ou z) do tableau timo do primal (Max)Valor timo da var. dual yi qdo restrio i do tipo No tableau timo do exemplo anterior:y1 -y2 y3-MCoeficiente de fi na linha 0 do tableau timoValor timo da var. dual yi qdo restrio i do tipo -(Coeficiente de ei) na linha 0 do tableau timoValor timo da var. dual yi qdo restrio i do tipo =(Coeficiente de ai na linha 0 do tableau timo) - MOu seja, o problema dual possui a seguinte soluo tima: y1 =51/ 23;y2 = -58/23; y3 = 9/23Pesquisa Operacional 156Prof. FogliattoPesquisa Operacional155Prof. FogliattoConferindo o resultado na funo objetivo do problema dualMin w = 15y1 + 5y2 + 10y3 y1 =51/ 23;Regras para identificao da soluo tima dual na linha 0 (ou z) do tableau timo do primal (Min)Valor timo da var. dual yi qdo restrio i do tipo Coeficiente de fi na linha 0 do tableau timoy2 = -58/23; y3 = 9/23Valor timo da var. dual yi qdo restrio i do tipo -(Coeficiente de ei) na linha 0 do tableau timow = 565/23 Valor timo da var. dual yi qdo restrio i do tipo = (Coeficiente de ai na linha 0 do tableau timo) + MProf. FogliattoPesquisa Operacional157Prof. FogliattoPesquisa Operacional158ExerccioProf. FogliattoPesquisa Operacional159