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SEÇÃO 3.5 DERIVAÇÃO IMPLÍCITA 1 1-5 (a) Encontre y ¢ derivando implicitamente. (b) Isole y na equação e derive para obter y ¢ em termos de x. (c) Verifique que suas soluções para as partes (a) e (b) são consistentes, substituindo a expressão para y em sua solu- ção para a parte (a). 1. x 2 + 3x + xy = 5 2. 2 2 1 2 4 + = x y 3. 2y 2 + xy = x 2 + 3 4. 1 1 3 + = x y 5. x 2 + xy y 2 = 3 6-16 Encontre dy/dx por derivação implícita. 6. y 5 + 3x 2 y 2 + 5x 4 = 12 7. x 4 + y 4 = 16 8. 2 1 = + - y x x y 9. 1 1 2 2 + + + = x y y x x 10. 2xy = (x 2 + y 2 ) 3/2 11. 2 2 2 1 = - y x y 12. 6 + + = x y xy 13. 2 2 1 2 + = xy xy 14. x sen y + cos 2y = cos y 15. cos (x y) = xe x 16. x cos y + y cos x = 1 17. Se x [ f (x)] 3 + x f (x) = 6 e f (3) = 1, encontre f ¢(3). 18. Se [ g(x)] 2 + 12x = x 2 g(x) e g(4) = 12, encontre g¢(4). 19-22 Encontre uma equação da reta tangente à curva no ponto dado. 19. ( ) 2 2 9 4 1, 5, (hipérbole) 16 9 - = - x y 20. ( ) 2 2 1, 1, 4 2 (elipse) 9 36 + = - x y 21. y 2 = x 3 (2 – x) (1, 1) (piriforme) 2 x y 0 22. x 2 y 2 = (y + 1) 2 (4 – y 2 ) (0, –2) (coroide de Nicomedes) x y 23-24 Encontre y ¢¢ por derivação implícita. 23. x 2 + xy + y 2 = 1 24. 2 2 2 2 1 - = x y a b 25-29 Encontre a derivada da função. Simplifique quando possível. 25. y = sen –1 (x 2 ) 26. y = (sen –1 x) 2 27. y = tg –1 (e x ) 28. g(t) = sen –1 (4/t) 29. y = x 2 cotg –1 (3x) 3.5 DERIVAÇÃO IMPLÍCITA Revisão técnica: Eduardo Garibaldi – IMECC – Unicamp

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Page 1: 3.5 DERIVAÇÃO IMPLÍCITA Revisão técnica: Eduardo Garibaldi – … · SEÇÃO 3.5 DERIVAÇÃO IMPLÍCITA 1 1-5 (a) Encontre y¢ derivando implicitamente. (b) Isole y na equação

SEÇÃO 3.5 DERIVAÇÃO IMPLÍCITA 1

1-5

(a) Encontre y ¢ derivando implicitamente. (b) Isole y na equação e derive para obter y ¢ em termos de x. (c) Verifique que suas soluções para as partes (a) e (b) são

consistentes, substituindo a expressão para y em sua solu-ção para a parte (a).

1. x2 + 3x + xy = 5

2. 2 2

12 4

+ =x y

3. 2y2 + xy = x2 + 3

4. 1 13+ =

x y

5. x2 + xy – y2 = 3

6-16 Encontre dy/dx por derivação implícita.

6. y5 + 3x2y2 + 5x4 = 12

7. x4 + y4 = 16

8. 2 1= +-y

xx y

9. 1 1 2 2+ + + =x y y x x

10. 2xy = (x2 + y2)3/2

11. 2

22 1

=-

yx

y

12. 6+ + =x y xy

13. 2 21 2+ =x y xy

14. x sen y + cos 2y = cos y

15. cos (x – y) = xex

16. x cos y + y cos x = 1

17. Se x[ f(x)]3 + x f(x) = 6 e f (3) = 1, encontre f ¢(3).

18. Se [ g(x)]2 + 12x = x2g(x) e g(4) = 12, encontre g¢(4).

19-22 Encontre uma equação da reta tangente à curva no ponto dado.

19. ( )2 2

94

1, 5, (hipérbole)16 9

- = -x y

20. ( )2 2

1, 1, 4 2 (elipse)9 36

+ = -x y

21. y2 = x3 (2 – x) (1, 1)

(piriforme)

2 x

y

0

22. x2 y2 = (y + 1)2 (4 – y2) (0, –2)

(coroide de Nicomedes)

x

y

23-24 Encontre y ¢¢ por derivação implícita.

23. x2 + xy + y2 = 1

24. 2 2

2 21- =

x y

a b

25-29 Encontre a derivada da função. Simplifique quando possível.

25. y = sen–1 (x2)

26. y = (sen–1 x)2

27. y = tg–1 (ex)

28. g(t) = sen–1 (4/t)

29. y = x2 cotg –1 (3x)

3.5 DERIVAÇÃO IMPLÍCITA Revisão técnica: Eduardo Garibaldi – IMECC – Unicamp