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SEÇÃO 3.5 DERIVAÇÃO IMPLÍCITA 1
1-5
(a) Encontre y ¢ derivando implicitamente. (b) Isole y na equação e derive para obter y ¢ em termos de x. (c) Verifique que suas soluções para as partes (a) e (b) são
consistentes, substituindo a expressão para y em sua solu-ção para a parte (a).
1. x2 + 3x + xy = 5
2. 2 2
12 4
+ =x y
3. 2y2 + xy = x2 + 3
4. 1 13+ =
x y
5. x2 + xy – y2 = 3
6-16 Encontre dy/dx por derivação implícita.
6. y5 + 3x2y2 + 5x4 = 12
7. x4 + y4 = 16
8. 2 1= +-y
xx y
9. 1 1 2 2+ + + =x y y x x
10. 2xy = (x2 + y2)3/2
11. 2
22 1
=-
yx
y
12. 6+ + =x y xy
13. 2 21 2+ =x y xy
14. x sen y + cos 2y = cos y
15. cos (x – y) = xex
16. x cos y + y cos x = 1
17. Se x[ f(x)]3 + x f(x) = 6 e f (3) = 1, encontre f ¢(3).
18. Se [ g(x)]2 + 12x = x2g(x) e g(4) = 12, encontre g¢(4).
19-22 Encontre uma equação da reta tangente à curva no ponto dado.
19. ( )2 2
94
1, 5, (hipérbole)16 9
- = -x y
20. ( )2 2
1, 1, 4 2 (elipse)9 36
+ = -x y
21. y2 = x3 (2 – x) (1, 1)
(piriforme)
2 x
y
0
22. x2 y2 = (y + 1)2 (4 – y2) (0, –2)
(coroide de Nicomedes)
x
y
23-24 Encontre y ¢¢ por derivação implícita.
23. x2 + xy + y2 = 1
24. 2 2
2 21- =
x y
a b
25-29 Encontre a derivada da função. Simplifique quando possível.
25. y = sen–1 (x2)
26. y = (sen–1 x)2
27. y = tg–1 (ex)
28. g(t) = sen–1 (4/t)
29. y = x2 cotg –1 (3x)
3.5 DERIVAÇÃO IMPLÍCITA Revisão técnica: Eduardo Garibaldi – IMECC – Unicamp