Página 1 de 5

Formulário de Econometria – Prof. Roberto C. Leoni

Modelo Linear

Coeficiente angular

Modelo estimado

Estimadores de mínimos quadrados

Erro de previsão

Elasticidade

Modelo log-log

Elasticidade no modelo log-log

Variância e covariância dos coeficientes

Valor esperado (média) dos coeficientes

Sob a hipótese de normalidade os coeficientes têm distribuição normal com suas respectivas médias e variâncias

| 1 2( | ) y xE y x x= µ = β + β

2

( | ) ( | )E y x dE y x

x dx

∆β = =

∆

1 2( )e y E y y x= − = − β − β

1 2ˆ

t ty b b x= +

( )2 22

t t t t

t t

T x y x yb

T x x

−=

−

∑ ∑ ∑∑ ∑

1 2b y b x= −

variação percentual em /

variação percentual em /

y y y y x

x x x x y

∆ ∆η = = = ⋅

∆ ∆

2

( ) / ( ) ( )

/ ( ) ( )

E y E y E y x x

x x x E y E y

∆ ∆η = = ⋅ = β ⋅

∆ ∆

2ˆ

xb

yη = ⋅

1 2ln( ) ln( )y x= β + β

2

dy x

dx yβ = ⋅ = η

� �2

1 2 2cov( , )

( )t

xb b

x x

−= σ

− ∑� �

22

1 2var( )

( )

t

t

xb

T x x

= σ

−

∑∑

��

2

2 2var( )

( )t

bx x

σ=

−∑

2 2( )E b = β 1 1( )E b = β

2 2

1 1 2~ ,

( )

t

t

xb N

T x x

σβ −

∑∑

2

2 2 2~ ,

( )t

b Nx x

σβ − ∑

Quando β1=0: Quando β2=0:

2 2

t t

t

x yb

x=∑ ∑∑

1b y=

Quando β1=0:

��

2

2 2var( )

t

bx

σ=∑

Formulário de Econometria

( ) ( )2

c cP t t P t tα

≥ = ≤ − =

Variância do erro da reta de regressão

Previsão pontual

Erro de previsão

Média, variância e erro padrão (desvio

Intervalo de confiança para os coeficientes

Teste de hipóteses (significâncias) para os coeficientes

Uma hipótese nula, H0

Uma hipótese alternativa, H1

Um teste estatístico

Uma região de rejeição

Intervalo de confiança para previsão pontual.

2 2 2var( ) [ ( )] ( )t t t t

e E e E e E e= σ = − =

0 1 2 0y b b x= +

0 0 1 2 0 1 2 0 0

1 1 2 2 0 0

ˆ ( )

( ) ( )

f y y b b x x e

b b x e

= − = + − β +β +

= −β + −β −

( ) 0E f = ˆvar( ) 1f = σ + +

2[ ep( ) ep( )] 1k c k k c kP b t b b t b− ≤ β ≤ + = − α

0 0 0ˆ ˆ[ ep( ) ep( )] 1c cP y t f y y t f− ≤ ≤ + = − α

Formulário de Econometria – Prof. Roberto C. Leoni da reta de regressão

(desvio-padrão) do erro de previsão

Intervalo de confiança para os coeficientes

Teste de hipóteses (significâncias) para os coeficientes

H0: βk = c

H1: βk ≠ c ou H1: βk > c ou H1: β

bicaudal unicaudal

Intervalo de confiança para previsão pontual.

ou

2 2 2var( ) [ ( )] ( )t t t t

e E e E e E e= σ = − =

0 0 1 2 0 1 2 0 0

1 1 2 2 0 0

( )f y y b b x x e

b b x e

= − = + − β +β +

22 0

2

( )1ˆvar( ) 1

( )t

x x

T x x

−= σ + +

− ∑

2

2ˆ

ˆ2

te

Tσ =

−

∑

[ ep( ) ep( )] 1k c k k c kP b t b b t b− ≤ β ≤ + = − α

( 2 )~ep( )

kT

k

b ct t

b−

−=

( ) ( ) / 2c c

P t t P t t≥ = ≤ − = α

[ ep( ) ep( )] 1c cP y t f y y t f− ≤ ≤ + = − α 0ˆ

cy t f±

Página 2 de 5

Prof. Roberto C. Leoni

βk < c

caudal unicaudal

( ) ( )ˆvarep f f=

( ) ( ) / 2 ( )cP t t≥ = α

ep( )cy t f

Quando β1=0:

22 0

2ˆ ˆvar( ) 1

t

xf

x

= σ +

∑

Formulário de Econometria

Tabela de análise de variância: Fonte de Variação Graus de Liberdade

Explicado 1

Não explicado T-2

Total T-1

Coeficiente de Determinação

�� � ���

���� 1 ��

��� SQR=soma de quadrados da regressão; SQE=soma de quadrados do erro; SQT=soma de quadrados total.

Coeficiente de correlação.

Formulário de Econometria – Prof. Roberto C. Leoni

Graus de Liberdade Soma de Quadrados Quadrado Médio

SQR(Regressão) = ∑� �� ����

SQE(Erro) = ∑����� = ∑� � ���� SQE/(T

SQT = SQR + SQE = ∑� � ����

SQR=soma de quadrados da regressão; SQE=soma de quadrados do erro; SQT=soma de quadrados total.

Notação: r pode ser expandido e representado por outras

relações.

1. r=rXY

2. T=n=total de observações.

3. Sx=desvio padrão de x

4. Sy=desvio padrão de y

5. Cox(x,y)=covariância entre x e y

6. Var(x)=variância de x

7. Var(y)=variância de y

Página 3 de 5

Prof. Roberto C. Leoni

Quadrado Médio

SQR/1

SQE/(T-2)

-----

SQR=soma de quadrados da regressão; SQE=soma de quadrados do erro; SQT=soma de quadrados total.

����

Notação: r pode ser expandido e representado por outras

T=n=total de observações.

Sx=desvio padrão de x

Sy=desvio padrão de y

y)=covariância entre x e y

Var(x)=variância de x

Var(y)=variância de y

Formulário de Econometria Outra fórmula para β2

Mudanças na escala de x

Mudanças na escala de y

Formas funcionais comuns:

β2

Tipo

Formulário de Econometria – Prof. Roberto C. Leoni

Modelo Estatístico Coeficiente

angular

Página 4 de 5

Prof. Roberto C. Leoni

Elasticidade Coeficiente

angular

Página 5 de 5

Formulário de Econometria – Prof. Roberto C. Leoni

Regressão Múltipla Variância do erro da reta de regressão

Variância do coeficiente β2 (para k=3)

Teste de hipóteses

Estimação de intervalos

ou

Coeficiente de determinação Coeficiente de determinação ajustado

Estatística F (com restrição)

F crítico (J;T-K)

Estatística F (global- testamos todos os coeficientes = 0)

F crítico (K-1;T-K)

1 2 2 3 3t t t K tK ty x x x e= β + β + β +…+ β +2

2 ˆˆ t

e

T K

Σσ =

−

( )

2

2 2

2 2 23

var( )(1 )t

bx x r

σ=

− −∑( )( )

( ) ( )

2 2 3 3

232 2

2 2 3 3

t t

t t

x x x xr

x x x x

− −=

− −

∑∑ ∑

2 2

1 2 2~ ( ), ~ (0, )t t K tK ty N x x e N β + β + + β σ ⇔ σ …

( )~ , vark k kb N b β ( )

( )~ˆvar

k k

T K

k

bt t

b−

− β= ˆep( ) var( )k kb b=

[ ]ep( ) ep( ) 1k c k k k c k

P b t b b t b− ≤ β ≤ + = − α [ ep( ), ep( )]k c k k c kb t b b t b− +

( )

( )

( )

2

2

2

2

2

ˆ

ˆ1 1

t

t

t

t

y ySQRR

SQT y y

eSQE

SQT y y

Σ −= =

Σ −

Σ= − = −

Σ −

2 / ( )1

/ ( 1)

SQE T KR

SQT T

−= −

−

( )2 2T 1

R 1 1 RT K

− = − ⋅ −

−

( )( )

R U

U

SQE SQE JF

SQE T K

−=

−

( ) / ( 1)

/ ( )

SQT SQE KF

SQE T K

− −=

−

SQEU = SQE

J=K-1 (número de hipóteses)

SQER = soma de quadrados dos erros restrito

SQEU = soma de quadrados dos erros não restrito

J-número de hipóteses