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7/17/2019 3.3.dualidade3

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Capítulo 3. Dualidade e Análise de Sensibilidade

Apontamentos de Investigação Operacional 51 Alberto Mulenga

Para x1: 1*3 + 1*0 + 7*0 – 5 = -2, logo ∆1 = -2

Para x2: 2*3 + 1*0 + 4*0 – 6 = 0, logo ∆2 = 0

O que confere com os resultados obtidos na resolução do problema. Como ∆1 < 0, isto

significa que a solução ainda não é óptima, x1 deve entrar na base e por outro lado asolução do dual não é viável, o que nos leva a concluir que:

• Enquanto o primal não for óptimo, o dual será inviável;

• As restrições do dual, correspondentes às variáveis básicas, são satisfeitas comoequações, o que significa que a respectiva variável de excesso é nula;

• O problema primal começa com uma solução viável não óptima que deve seroptimizada, enquanto que o dual começa com uma solução inviável com valorsuperior ao óptimo e continua inviável até que a solução óptima seja atingida.

3.2 MÉTODO DUAL – SIMPLEX

Até agora, nos problemas de programação linear que consideramos era obrigatório quetodos os elementos do lado direito da tabela simplex fossem positivos. Isto significa que

todas as soluções eram viáveis. Pela propriedade 4, sabemos que as soluções duais sãoinviáveis até que a solução óptima seja obtida. No entanto é possível que durante o

processo de solução, venhamos a ter uma solução dual viável, o que significa inviável noprimal.

O método Dual – Simplex se destina a resolver esse tipo de problema. As diferenças em

relação ao método simplex se resumem nas regras de entrada e saída de variáveis na base.

3.2.1 Regras de entrada e saída de variáveis na base

Dado um problema de minimização para resolvé-lo pelo método Dual - Simplex deve-se

transformar as inequações do tipo ≥ para ≤ , em seguida aplicar as regras 1 e 2 para oproblema de minimização.

Regra 1. Variável que sai: é a variável básica com o valor mais negativo. Se todas asvariáveis básicas tiverem valores positivos, a solução é óptima.

Regra 2. Variável que entra: é escolhida entre as variáveis fora da base, da seguinte

forma:

• Dividir os coeficientes do lado esquerdo da equação z transformada (coeficientes dafunção objectivo) pelos correspondentes coeficientes negativos da equação da

variável que sai. 0a ; a

cα ij

ij

iij <=

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• A variável que entra é a que tem o menor valor entre os quocientes encontrados (parao problema de minimização) ou o menor valor absoluto (para o problema de

maximização).

Quando, em ambos os casos, não houver coeficientes negativos na linha da variável que

sai da base, o problema não tem solução viável.

Exemplo 3.5. Resolver o seguinte problema pelo método dual - simplex.

Minimizar W = 2x1 + 1x2

Sujeito à

≥

≤+

≥+

0

321

634

21

21

i x

x x

x x

Resolução

Para resolver o problema sem usar o método de duas fazes nem do grande M, vamos

escrever o problema na forma padrão e introduzimos depois as variáveis de folga.

Minimizar W = 2x1 + 1x2 Min W = 2x1 + 1x2 + 0x3 + 0x4

Sujeito à

≥

≤+

−≤−−

0

321

634

21

21

i x

x x

x x

Suj. à

≥

=+++

−=++−−

0

3021

6034

4321

4321

i x

x x x x

x x x x

Tabela inicial simplexBase x1 x2 x3 x4 bi

x3

x4

-4 -3 1 0

1 2 0 1

-6

3

W -2 -1 0 0(1/2) (1/3)

0

A variável que sai é x3 porque x3 = -6; e x2 entra na base porque 1/3 < 1/2.

1a iteração

Base x1 x2 x3 x4 bi

x2

x4

4/3 1 -1/3 0

-5/3 0 2/3 12 → l1’=-1/3l1

-1 → l2’=l2-2l1’

W -2/3 0 -1/3 0

(2/5)2 → l3’=l3+l1

’

2a iteração

Base x1 x2 x3 x4 Bi

x2

x1

0 1 1/5 4/5

1 0 -2/5 -3/56/5 → l1’=l1- 4/3l’2

3/5 → l2’=-3/5l2

W 0 0 -3/5 -2/5 12/5→ l3’=l3+2/3l2’

Solução X = {3/5; 6/5; 0; 0} Wmin = 12/5Para a solução dual temos Y = (3/5; 2/5; 0; 0} Zmax = 12/5

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Exemplo 3.6. Resolver o problema de programação linear.

(a) pelo método gráfico (b) pelo método dual - simplex.

Minimizar W = 3x1 +2x2

Sujeito à

≥

≤+

≥+

≥+

0

3

634

33

21

21

21

i x

x x

x x

x x

54

3

2

1

,

...

...

...

r r

r

r

r

a) Resolução pelo método gráfico

R1: x1 x2 R2 : x1 x2 R3: x1 x2 recta W: x1 x2 0 3 0 2 0 3 0 01 0 3/2 0 3 0 1 -3/2

1

1

432

4

3

2

-1

x1

x2

r1r2

r3

W

Do gráfico o ponto extremo e mínimo é P = r1∩ r2

Resolvendo o sistema das rectas

=+

=+

634

313

21

21

x x

x x teremos a solução

X = (3/5; 6/5) com Wmin = 21/5

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b) Resolvendo pelo método dual – simplex, temos:

Minimizar W = 3x1 +2x2 + 0x3 +0x4 +0x5

Sujeito à

≥

=+++++

−=+++−−

−=+++−−

0

31001160034

30013

54321

54321

54321

i x

x x x x x x x x x x

x x x x x

Tabela inicial simplexBase x1 x2 x3 x4 x5 bi

x3

x4

x5

-3 -1 1 0 0

-4 -3 0 1 0

1 1 0 0 1

-3

-6

3

W -3 -2 0 0 0

(3/4) (2/3)

0

1a Iteração

Base x1 x2 x3 x4 x5 bi

x3

x2

x5

-5/3 0 1 -1/3 0

4/3 1 0 -1/3 0

-1/3 0 0 1/3 1

-1 → l1’=l1+l2’

2 → l2’=-1/3l2’

1 → l3’=l3 -l2’

W -1/3 0 0 -2/3 0

(1/5) (2)4 → l4’=l4+2l2

’

2a Iteração

Base x1 x2 x3 x4 x5 Bi

x1

x2

x5

1 0 -3/5 1/5 0

0 1 4/5 -3/5 0

0 0 -1/5 2/5 1

3/5 → l1’=-3/5l1

6/5 → l2’=l2 -4/3l1’

6/5→ l3’=l3 –1/3l1’

W 0 0 -1/5 -3/5 0 21/5→ l4’=l4+1/3l1’

Solução X = (3/5; 6/5; 0;0;6/5) com Wmin = 21/5

3.2.2 EXERCÍCIOS PROPOSTOS

Exercício 3.1. Escreva os problemas na forma canónica e transforme – os em duais.

a) Minimizar W = 9y1 + 2y2 b) Maximizar Z = 16x1 + 12x2

Sujeito à

≥

≤+

≥+

0

123

134

21

21

i y

y y

y y

Sujeito à

≥

≤+

−≤−

≥+

0

213

9

16

21

21

21

i x

x x

x x

x x

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Exercício 3.2. Considere o seguinte problema de programação linear:

Minimizar W = 5x1 + 2x2

Sujeito à

≥

≥+

≥+

≥+

0

42

16

82

21

21

21

i x

x x

x x

x x

a) Escreva o problema dual correspondente.

b) Obtenha a solução do primal a partir da resolução do dual pelo método simplex.( Resp. X = (0; 8; 0; 2; 4) com Wmin = 16 u.m)

Exercício 3.3. Considere o seguinte problema de programação linear.Maximizar Z = 12x1 + 15x2

Sujeito à

≥

≤+

≤+

0

1052

1234

21

21

i x

x x

x x

Usando o método simplex resolva o problema e apresente as soluções do primal e dual.

(Primal: Resp. X = (15/7; 8/7; 0; 0) com Zmax = 300/7)(Dual : Resp: Y = (15/7; 12/7; 0; 0) com Wmin = 300/7)

Exercício 3.4. Nos seguintes casos transformar em duais e depois resolver os problemas.a) Min W = 5y1 + 2y2 b) Min W = 2y1 + 1y2 + 3y3

Sujeito à

≥

≥+

≥+

0

712

632

21

21

i y

y y

y y

Sujeito à

≥

≥++

≥++

0

50012

100111

321

321

i y

y y y

y y y

c) Min W = 7y1 + 5y2 d) Min W = 2y1 + 1y2

Sujeito à

≥

−≥+−

−≥−

≥+

0

82

821

412

21

21

21

i y

y y

y y

y y

Sujeito à

≥

≥+

=+

0

1012

2012

21

21

i y

y y

y y

a) Resp. Y = (0; 7; 15; 0) com Wmin = 14b) Resp. Y = (0; 100; 0; 0; 50) com Wmin = 100

c) Resp. Y = (2; 0; 0; 10; 4) com Wmin = 14d) Resp. Y = (10; 0; 0; 0; 10) com Wmin = 20

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Exercício 3.5. Uma empresa de transporte dispõe de dois tipos de camiões que podem

operar em três percursos diferentes. A capacidade semanal de transporte em cada um dostipos de camiões e a procura semanal mínima de serviços de carga, expressos em

toneladas estão indicados no quadro seguinte.

Tipos de camiõesPercursosTipo A Tipo B

Procura mínima

1

23

10

1210

10

1510

180

200220

Sabendo que os custos de operação de cada camião são 50 e 80 u.m por semana

respectivamente, quantos veículos de cada tipo deve a empresa utilizar nos percursosindicados, de modo a minimizar os custos. (use o procedimento dual se necessário).

( Resp. Y = (22; 0; 40; 64; 0) com Wmin = 1100 u.m.)

Exercício 3.6. Resolva o seguinte problema de programação linear, primeiro

graficamente e depois pelo algoritmo dual do método simplex.Minimizar W = 4y1 + 5y2

Sujeito à

≥

≥+

≥+

0

753

802

21

21

i y

y y

y y

( Resp. Y = (14; 33; 0; 0) com Wmin = 221)

Exercício 3.7. Resolva os seguintes problemas pelo método dual simplex, se necessárioapresente a solução pelo método gráfico. Nota: substituir as equações por duas

inequações.

a) Min W = 4x1 + 2x2

suj. à

≥

≥−

=+

0

23

1

21

21

i x

x x

x x

b) Min W = 2x1+3x2

suj. à

≥

=+

≥+

0

211

312

21

21

i x

x x

x x

Respostas:

a) X = (3/4; 1/4 ; 1/6; 0; 0) Wmin = 7/2

b) X = (2; 0; 1; 0; 0) Wmin = 4

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