334 problemas de matemÁtica0001

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  • Cel. MAURCIO PIRAJ

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    Pft~~HMUu M~HMnl[l

    RESOLVIDOS E RACIOCINADOS

    '.

    (1." Srie - 1.0 Semestre)

    ..e~ ~6j;~~ Badtu 9.,Q.rit5ir~

    RIO DE JANEIRO SO PAULOLargo da Cano" R. 15 de Novembro.62/68

    Prof.lSAlAS MAURCIO DE CARV ALHO.....

  • \NDICE

    Explicao necessriaNUMERAO:

    Lembrete terico .Problemas .

    AS QUATRO OPERAES:Lembrete terico .Problemas .Adio .Subtrao .Multiplicao " .Diviso .Problemas gerais .......................................

    NMEROS RELATIVOS:Lembrete terico' ; .Problemas .

    DIVISIBILIDADE NUMRICA:Lembrete terico .Problemas .

    Pgs.5

    NMEROS PRIMOS:Lembrete terico 107Problemas 109~

    MAXIMO DIVISOR COMUM (m.d.e.):Lembrete terico 122Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

    MNIMO MLTIPLO COMUM (m. m. c.):Lembrete terico 137Problemas ............................................. 139

    FRAES ORDINARIASLembrete terico ,........................ 152Problemas ; .:: : ;'.':~:";".:"';t:':: '159

    ~'

    915

    27-"""363637445059

    8589

    94101

  • EXPLICAO NECESSARIA

    Ao tentar a publicao da presente obra, tenho como nicoobjetivo, pr em mos da mocidade estudiosa um guia, umauxiliar til, capaz de resolver as dificuldades naturais doestudante de matemtica, quando procura aplicar prticada resoluo dos problemas concretos, os princpios tericosaprendidos em aula.

    No tenho absolutamente a inteno de ensinar teoria, aodar no princpio de cada captulo um pequeno LEMBRETETERICO; desejo apenas tornar presentes ao esprito do estu-dante, aqules princpios e frmulas de que vai necessitar edos quais possa estar esquecido. O estudo da teoria est natu-ralmente a cargo dos professres de cada um e deve ser feitopelos estudantes, com o auxlio dos livros adotados nos diversosginsios do pas.'

    Para tornar o meu trabalho mais interessante aos gna-sianos, fiz uma coletnea de enunciados de problemas, tirando-osde -diversos livros adotados oficialmente e resolvendo-os parao aluno. Vez por outra, desci a detalhes quase desnecessriospara quem j tem uma certa prtica de clculo e facilidadede raciocnio. Procurei escrever para o aluno que tem dificul-dades, para o que precisa de explicador e deve ser auxiliadonos raciocnios mais elementares. Evidentemente, tal particula-ridade ser tambm de grande utilidade aos demais estudantesque se utilizarem do presente trabalho.

    Embora mais da metade dos problemas que se encontramnesta obra tenham seus enunciados constando do excelentelivro- do professor Ary Quintela, adotado no Colgio Militar,dela tambm constam problemas cujos enunciados foram colhi-dos nas seguintes obras:

    CURSO DE ARITMTICA de F. T.D.MATEMATICA do Professor Thales de Carvalho.PROBLEMAS DE MATEMATICA do Professor, Jcomo

    Stavale eCURSO DE MATEMATICA do Professor Algacyr Munhoz

    Maeder.

  • /6 CEL. MAURICIO PffiAJA

    Algum problema que por demais interessante Ja se encon-trasse resolvido em alguma das obras consultadas, no tivedvidas em transcrever para esta, embora s vzes, desenvol-vendo-o mais um pouco, visando registrar os detalhes elemen-tares, a meu ver necessrios para certa espcie de estudantes,portadores de uma base deficiente de estudos primrios. Isto-foi feito, porque como disse, esta obra uma coletnea de'problemas, no se destinando a concorrer de alguma formacom quem quer que seja. O meu nico e exclusivo intento o' de ajudar, .o de facilitar a vida do estudante e o de fazercom que aproveite melhor o tempo de que' dispe para o es-tudo. Viso, habilit-lo a resolver problemas prticos de ma-temtica eiementar sem maiores dificuldades. O meu livro no-se destina a anular o esfro prprio de ningum e deve serconsultado pelo aluno, com respeito a soluo dos problemas,quando de todo o estudante se convencer de que no os con-segue resolver apenas com os seus prprios recursos.

    Quero frisar tambm, que aqui se encontram problemasresolvidos por meio. de equaes simples e pequenos sistemas:do primeiro grau. So problemas que, se resolvidos pelo ra-ciocnio puramente aritmtico, apresentariam dificuldades quase-insuperveis para alunos que apenas se iniciam no estudo damatria. No entretanto, podero ser aproveitados pelos alunos:das outras sries ginasiais e mesmo pelos da primeira srie,desde que com les haja sido feito um estudo mais completoe mais objetivo das iguldadese tendo tambm em vista, que-o estudo dos nmeros relativos consta do programa da primeirasrie ginasial. O que a meu ver no se justificaria, seria deixarde incluir tais problemas nesta obra tornando-a incompleta;apenas porque exigem um pouco mais de conhecimentos tericos.Dado porm o grande nmero de problemas que aqui se en-contram resolvidos e raciocinados, o estudante ter muito por'onde escolher.

    Espero que os senhores professres que por acaso venham, ter conhecimento dste meu trabalho, me ajudem a difundi-o10 entre a mocidade estudiosa da minha terra; especialmenteentre aqules, que no tendo recursos para pagar um expli-cador particular, muita vez, por isso mesmo, abandonam o es-tudo da matemtica, por julg-lo acima das suas possibilidades.

    ~ste trabalho ser tambm de grande utilidade para aqulesque se candidatam a concursos de admisso; especialmente nos:colgios Pedro lI, Militar e Instituto de Educao. Com exceo-de alguns problemas que no puderam ser abordados por per-

  • CEL. MAURICIO PIRAJA 7

    tencerem a programas mais avanados, aqui se encontram quasetodos os tipos de problemas exigidos para tais concursos.

    Certo de que serei compreendido por aqules que snce-ramente se interessam pelas questes relativas ao ensino noBrasil, deixo aqui consignados os meus agradecimentos a firmaFREITAS BASTOS S. A., pela acolhida que deu ao originalque submeti a sua apreciao.

    MAURICIO PIRAJA - Cel. do Exrcito.

    Rio de Janeiro, 1 de agsto de 1955.

  • LEMBRTE TERICO

    NUMERAAO

    1.) - Numerao a parte da aritmtica que ensina a enun-ciar e escrever os nmeros. A numerao pode serfalada e escrita.

    2.) - Numerao falada aquela que por meio de um certonmero de palavras que constituem a CONVENAOBASE DE UM SISTEMA DE NUMERAAO, nos per-mite enunciar todos os nmeros por maiores que sejam.

    3.) - Adotando como base do sistema de numerao o n-mero 10, teremos o sistema de numerao chamado de-cimal e universalmente adotado.a) No sistema decimal de numerao, dez unidades de

    uma certa ordem, formam uma unidade de ordemimediatamente superior.

    b) As diversas ordens se numeram da direita para a es-querda do nmero e sero respectivamente: 1.', 2.",3.', 4.", etc ...A 1.a ordem, chamada das unidades.A 2.', chamada das dezenas.A 3.', a das centenas.Estas trs primeiras ordens formam a primeira classe,ou classe das unidades. Da por diante e de trs emtrs ordens, teremos as outras diversas classes: asegunda classe, ou dos milhares; a terceira, ou dosmilhes; a quarta, ou dos bilhes, etc.Em cada uma das classes, os algarismos que represen-tam as suas trs ordens, tomam da direita para a es-querda os nomes de: unidades, dezenas, centenas,acompanhados respectivamente das palavras: simples,de milhar, de milho, de bilho, etc.Poderemos te,r ento:unidade, dezena, centena, simples (1." classe)unidade, dezena, centena, -de milhar (2." classe)

  • 10 CEL. MAURICIO PIRAJA

    unidade, dezena, centena, .... de milho (3.' classe}'etc .

    4.) - NUMERAO ESCRITA.

    A conveno fundamental da numerao escrita des--coberta Indiana. Diz o seguinte: todo algarismo colocado- esquerda de outro, exprime unidades dez vzes.maiores do que as unidades expressas por sse outro..

    a) Um algarismo que faa parte de um nmero, podeser considerado com dois valores: o valor absoluto e'o valor relativo.

    b) O valor absoluto de um algarismo, sempre o seu;valor como nmero abstrato, qualquer que seja a.posio que .le ocupe no nmero.

    c) O valor relativo de um algarismo dentro de um n-mero, o valor que le tem de acrdo com a posio-que ocupa, em relao aos demais algarismos do-onmero.

    d) Colocando-se zeros direita de um nmero, le se-torna dez, cem, mil, etc. vzes maior.

    e) Colocando-se zeros esquerda de um nmero, le no-se altera.

    5.) - MUDANA DE BASE DE NUMERAO.a) Dado um certo nmero na base decimal, se quisermos'

    represent-l o em uma outra qualquer, divide-se sem--pre e sucessivamente o nmero dado pela nova base,.at que a diviso no seja mais possvel. O nmerodado ser expresso na nova base, pelo nmero for-omado pelos quocientes e restos das diversas divises,colocados a partir do ltimo quociente da dreta..at o ltimo resto da esquerda e na ordem em que-aparecem no clculo. O ltimo quociente da direitaser sempre escrito em primeiro lugar e por isso,ser o _algarismo de ordem mais elevada do nmero-procurado.

    NOTA: 1l;ste um meio prtico de fazermos a mu--dana de base, tdas s vzes que os restose quocientes o permitirem e quando passa-mos o nmero da base decimal para outra.qualquer.

  • 6.) - ALGARISMOS ROMANOS.Os romanos escreviam as nmeros atribuindo. valores.convencionais a certas letras da alfabeto, e estabelecendo-regras que permitissem representar todos os demais va--lores. Os algarismos romanos e seus valores conven-cionais so. os seguintes:I 5 10 50 100 500 1000I V X L C D Ma) Na numerao romana, um algarismo s pode ser-

    repetido, na mximo trs vzes na mesma ordem.b) Um algarismo colocado ao lado de um outro de maior

    valor, ser somado sse outra quando escrita sua.direita e subtrado, quando escrito esquerda.

    c) Um trao horizontal colocado acima de um algarismo-ou de um grupo dles, torna a seu valor 1000 vzes:maor , Dois traas nas mesmas condies, aumentam,a nmero. de 1.000.000 de vzes e assim par diante.

    334 PROBLEMAS DE MATEMTICA lI-

    b) Para passar um nmero. escrita numa base qualquer-para a sistema de base decimal, proce