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  • 3.1 Ondas Mecnicas

    As ondas mecnicas so perturbaes que se propagam devido continuidade de um determinado meio material. A Figura 3.1. mostra alguns exemplos de ondas mecnicas: a) numa mola, b) numa corda , c) num lago. O prprio som um exemplo de um uma onda mecnica de presso que se propaga no ar ou nos slidos. Quando a perturbao se propaga atravs de um meio, a energia cintica da poro do meio excitada transmitida s regies seguintes do meio, resultando na transmisso de energia atravs do meio. Se ao invs de um simples pulso, tivermos um movimento peridico com uma frequncia bem definida, dizemos que tempos uma onda.

    Figura 3.1 Exemplos de ondas mecnicas transversais e longitudinais

    A frequncia de uma onda (f) sempre determinada pela fonte que a produz (gerador). O comprimento da onda que se propaga no meio vai depender desta freqncia e da velocidade de propagao no meio (v).

  • Por exemplo, se supusermos, um gerador produzindo uma oscilao senoidal na ponta de uma corda, o deslocamento vertical (y) de cada elemento de corda, localizado numa terminada posio (x) da corda, variar com o tempo (t) segundo uma funo:

    ( )tkxyy 0 = cos [1]

    Um grfico da posio dos pontos da corda num dado instante t=0 mostrado na Figura 3.2a. Isto corresponde a tirar uma fotografia da corda. Por outro lado podemos nos fixar numa dada posio x=x0 e observarmos o comportamento temporal deste elemento de corda, o resultado ser a curva mostrada na Figura 3.2b.

    Figura 3.2 Onda na corda a) em funo da posio e b) em funo do tempo

    Numa onda k chamado de nmero de onda, frequncia angular. Estas grandezas

    esto relacionadas com o comprimento de onda () e com o perodo de repetio temporal (T) da onda por:

    2k = [3.2]

    f2T2 == [3.3]

    A velocidade de propagao est relacionada com estas grandezas por:

    Tkv == [3.4]

    As ondas na corda so chamadas de ondas transversais porque o deslocamento dos

    elementos de corda ocorre na direo (y), perpendicular direo de propagao da corda (x). Existem, entretanto, ondas em que o deslocamento ocorre na mesma direo da propagao, neste caso as ondas so chamadas de longitudinais. So exemplos de ondas longitudinais as ondas numa mola, as ondas sonoras, etc.

  • 3.2 Ondas Eletromagnticas no Vcuo

    As ondas eletromagnticas so ondas de campos eltricos e magnticos acoplados. Como os campos eltricos e magnticos so grandezas vetoriais, durante a propagao eles podem variar periodicamente em mdulo, direo e sentido, porm sua direo sempre perpendicular direo de propagao da onda. Por este motivo as ondas eletromagnticas so ondas transversais.

    O acoplamento entre os campos eltricos e magnticos vem do fato da variao do campo magntico induzir a gerao de campo eltrico (Lei de Faraday) e vice-versa. Alm disso, como os campos eltricos e magnticos existem mesmo no vcuo, as ondas eletromagnticas, diferentemente das ondas mecnicas, no precisam de um meio material para se propagar. A velocidade de propagao da luz no vcuo uma constante universal e definida como:

    00

    1c

    = = 3X108m/s [3.5]

    A medida da velocidade da luz no vcuo e sua comparao com 001 , com 0 (permeabilidade magntica no vcuo) e 0 (permissividade eltrica no vcuo) medidos independentemente em experimentos de eletricidade e magnetismo se constituiu na prova definitiva de que a luz era uma onda eletromagntica. Como os campos eltricos e magnticos esto acoplados, para descrever a propagao de uma onda eletromagntica basta escrever um deles, que o outro fica automaticamente determinado pelas leis induo eletromagntica. A onda de campos eltricos pode ser descrita na forma real ou complexa (fasores) por: rrr

    ( ) ( )wtkxi00 eEtkxEE == cos [3.7] As definies de k, , T e so as mesmas que para ondas mecnicas e as relaes entre das so dadas tambm pelas Equaes 3.2 e 3.3.

    3.2.1 Estados de Polarizao da Luz

    3.2.1.1 Ondas Linearmente Polarizadas

    r Se o vetor real, durante a propagao, descrita pela Equao 4.7, sua direo permanece constante, apenas seu mdulo oscila periodicamente. Neste caso a onda dita linearmente polarizada. Isto equivalente a uma onda mecnica numa corda onde a direo do deslocamento dos elementos de corda sempre a mesma. A Figura 3.3 ilustra a propagao de uma onda linearmente polarizada deste tipo.

    0E

  • Figura 3.3 Onda linearmente polarizada

    3.2.1.2 Ondas Circularmente Polarizadas

    Por outro lado, se E um vetor complexo, como sempre um vetor perpendicular direo de propagao:

    0

    r

    r ( ) ( ) ( ) ( )wtxKkEwtxKjEekiEjEE z0y0wtxKiz0y0 ++= sencos [3.8] Para t=0, z=0 =E

    rjE y0

    r t= T/4, z=0 kEE z0 = r

    Os vetores Er

    e H descrevem uma hlice no espao, amarrados um ao outro. Durante um perodo eles completam uma rotao completa. Se z0y0 EE = , a onda dita circularmente polarizada, e o mdulo do vetor campo eltrico permanece constante durante a propagao, apenas girando com velocidade angular . Um esquema desta forma de propagao est mostrado na Figura 3.4. Se z0y0 EE tanto a direo como o mdulo do vetor campo eltrico oscilam durante a propagao e a onda chamada de elipticamente polarizada.

  • Figura 3.4 Onda circularmente polarizada

    3.2.2 Energia e Momento As ondas eletromagnticas transportam energia e momento. Se num dado volume no h cargas, o trabalho mecnico zero e a potncia eletromagntica, por unidade de rea que de uma onda definida como:

    HESrrr

    = [3.9] Como a energia uma grandeza real, devemos tomar uma representao real para os campos, ou seja:

    { } { }HReEReS rrr = [3.10]

    Esta grandeza chamada de vetor de Poynting e tem unidade de energia por unidade de tempo por unidade de rea. A mdia temporal deste vetor chamada de Irradiana de uma onda eletromagntica. Para uma onda descrita matematicamente pela Equao 3.7 esta Irradiana vale:

    2

    0E

    Z21SI

    rr== [3.11]

    com 377Z 000 == [3.12]

    Por outro lado, a densidade volumtrica do momento associado uma onda eletromagntica por unidade de volume dada por :

    ( )HEp 00emrrr

    = [3.13] Da mesma forma como a energia, o momento uma grandeza real e devemos ento tomar a representao real dos campos:

    { } { }HEp 00em

    vvv ReRe = [3.14]

  • Quando a luz incide numa superfcie, a presso eletromagntica exercida sobre esta superfcie pode ser calculada como:

    A1

    tp

    AFp

    == [3.15]

    A variao de momento da luz, depender da densidade volumtrica de momento da onda e do tipo de superfcie. Para incidncia normal, numa superfcie totalmente refletora a variao de momento ser duas vezes o momento da onda, se a superfcie for totalmente absorvedora ser igual ao momento da onda. O momento mdio da onda eletromagntica ser a mdia temporal da densidade volumtrica de momento, integrada no volume que atinge a superfcie durante o tempo t:

    tAcpp em = [3.16] 2

    0

    00em EZ2

    pr

    = [3.17]

    Portanto a presso de radiao exercida sobre a superfcie ser :

    cIE

    Z2p

    2

    0

    00 ==r

    [3.18]

    3.3 Propagao dos Meios Materiais Quando uma onda eletromagntica se propaga num meio material, principalmente na faixa de freqncias prximas as da luz, a interao da luz com a matria determinada, preponderantemente pela interao do campo eltrico (da luz incidente) com os eltrons da matria (momentos de dipolos eltricos atmicos). Por este motivo, para a maioria dos meios materiais, exceto os materiais magnticos, a constante 0, e a resposta do meio pode ser representada atravs de e um permissividade eltrica complexa:

    ir i += [3.19] Desta forma, a relao entre a frequncia angular e o nmero de onda k da onda eletromagntica assume a forma complexa:

    22

    2

    022 N

    ck == [3.20]

    Onde podemos tambm, alternativamente, representar esta permissividade complexa atravs de um ndice de refrao complexo para o meio:

    inN += [3.21]

  • Como consequncia do fato de e N serem complexos, o nmero de onda k tambm ser complexo:

    ir kkk += [3.22] com

    21

    220 11

    2

    +

    +=

    r

    irrk

    [3.23]

    21

    220 11

    2

    +=

    r

    irik

    [3.24]

    Substituindo-se a Equao 3.22 em 3.7, teremos que a onda eletromagntica

    propagante ser uma onda amortecida. Seu decaimento ser tanto mais rpido quando maior a parte imaginria do ndice de refrao complexo ki.

    A grandeza chamada de comprimento de penetrao no material ou skin depth e representa a distncia no meio em que a amplitude da onda cai a 1/e do seu valor inicial:]

    ik1

    =

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