3.1 Ondas Mecânicas

As ondas mecânicas são perturbações que se propagam devido à continuidade de um determinado meio material. A Figura 3.1. mostra alguns exemplos de ondas mecânicas: a) numa mola, b) numa corda , c) num lago. O próprio som é um exemplo de um uma onda mecânica de pressão que se propaga no ar ou nos sólidos. Quando a perturbação se propaga através de um meio, a energia cinética da porção do meio excitada é transmitida às regiões seguintes do meio, resultando na transmissão de energia através do meio. Se ao invés de um simples pulso, tivermos um movimento periódico com uma frequência bem definida, dizemos que tempos uma onda.

Figura 3.1 Exemplos de ondas mecânicas transversais e longitudinais

A frequência de uma onda (f) é sempre determinada pela fonte que a produz (gerador). O comprimento da onda que se propaga no meio vai depender desta freqüência e da velocidade de propagação no meio (v).

Por exemplo, se supusermos, um gerador produzindo uma oscilação senoidal na ponta de uma corda, o deslocamento vertical (y) de cada elemento de corda, localizado numa terminada posição (x) da corda, variará com o tempo (t) segundo uma função:

( )tkxyy 0 ω−= cos [1]

Um gráfico da posição dos pontos da corda num dado instante t=0 é mostrado na Figura 3.2a. Isto corresponde a tirar uma fotografia da corda. Por outro lado podemos nos fixar numa dada posição x=x0 e observarmos o comportamento temporal deste elemento de corda, o resultado será a curva mostrada na Figura 3.2b.

Figura 3.2 Onda na corda a) em função da posição e b) em função do tempo

Numa onda k é chamado de número de onda, ω frequência angular. Estas grandezas

estão relacionadas com o comprimento de onda (λ) e com o período de repetição temporal (T) da onda por:

λπ2k = [3.2]

f2T2 ππω == [3.3]

A velocidade de propagação está relacionada com estas grandezas por:

Tkv λω

== [3.4]

As ondas na corda são chamadas de ondas transversais porque o deslocamento dos

elementos de corda ocorre na direção (y), perpendicular à direção de propagação da corda (x). Existem, entretanto, ondas em que o deslocamento ocorre na mesma direção da propagação, neste caso as ondas são chamadas de longitudinais. São exemplos de ondas longitudinais as ondas numa mola, as ondas sonoras, etc.

3.2 Ondas Eletromagnéticas no Vácuo

As ondas eletromagnéticas são ondas de campos elétricos e magnéticos acoplados. Como os campos elétricos e magnéticos são grandezas vetoriais, durante a propagação eles podem variar periodicamente em módulo, direção e sentido, porém sua direção é sempre perpendicular à direção de propagação da onda. Por este motivo as ondas eletromagnéticas são ondas transversais.

O acoplamento entre os campos elétricos e magnéticos vem do fato da variação do campo magnético induzir a geração de campo elétrico (Lei de Faraday) e vice-versa. Além disso, como os campos elétricos e magnéticos existem mesmo no vácuo, as ondas eletromagnéticas, diferentemente das ondas mecânicas, não precisam de um meio material para se propagar. A velocidade de propagação da luz no vácuo é uma constante universal e é definida como:

00

1cεµ

= = 3X108m/s [3.5]

A medida da velocidade da luz no vácuo e sua comparação com 00εµ1 , com 0µ (permeabilidade magnética no vácuo) e 0ε (permissividade elétrica no vácuo) medidos independentemente em experimentos de eletricidade e magnetismo se constituiu na prova definitiva de que a luz era uma onda eletromagnética. Como os campos elétricos e magnéticos estão acoplados, para descrever a propagação de uma onda eletromagnética basta escrever um deles, que o outro fica automaticamente determinado pelas leis indução eletromagnética. A onda de campos elétricos pode ser descrita na forma real ou complexa (fasores) por: rrr

( ) ( )wtkxi00 eEtkxEE −=−= ωcos [3.7]

As definições de k, ω, T e λ são as mesmas que para ondas mecânicas e as relações entre das são dadas também pelas Equações 3.2 e 3.3.

3.2.1 Estados de Polarização da Luz

3.2.1.1 Ondas Linearmente Polarizadas

r Se o vetor é real, durante a propagação, descrita pela Equação 4.7, sua direção permanece constante, apenas seu módulo oscila periodicamente. Neste caso a onda é dita linearmente polarizada. Isto é equivalente a uma onda mecânica numa corda onde a direção do deslocamento dos elementos de corda é sempre a mesma. A Figura 3.3 ilustra a propagação de uma onda linearmente polarizada deste tipo.

0E

Figura 3.3 Onda linearmente polarizada

3.2.1.2 Ondas Circularmente Polarizadas

Por outro lado, se E é um vetor complexo, como é sempre um vetor perpendicular à direção de propagação:

0

r

r ( ) ( ) ( ) ( )wtxKkEwtxKjEekiEjEE z0y0wtxKi

z0y0 −⋅+−⋅→+= −⋅ senˆcosˆˆˆ [3.8] Para t=0, z=0→ =E

rjE y0ˆ

r t= T/4, z=0 kEE z0

ˆ=→ r

Os vetores Er

e H descrevem uma hélice no espaço, amarrados um ao outro. Durante um período eles completam uma rotação completa. Se z0y0 EE = , a onda é dita circularmente polarizada, e o módulo do vetor campo elétrico permanece constante durante a propagação, apenas girando com velocidade angular ω. Um esquema desta forma de propagação está mostrado na Figura 3.4. Se z0y0 EE ≠ tanto a direção como o módulo do vetor campo elétrico oscilam durante a propagação e a onda é chamada de elipticamente polarizada.

Figura 3.4 Onda circularmente polarizada

3.2.2 Energia e Momento As ondas eletromagnéticas transportam energia e momento. Se num dado volume não há cargas, o trabalho mecânico é zero e a potência eletromagnética, por unidade de área que de uma onda é definida como:

HESrrr

×= [3.9] Como a energia é uma grandeza real, devemos tomar uma representação real para os campos, ou seja:

HReEReSrrr

×= [3.10]

Esta grandeza é chamada de vetor de Poynting e tem unidade de energia por unidade de tempo por unidade de área. A média temporal deste vetor é chamada de Irradiança de uma onda eletromagnética. Para uma onda descrita matematicamente pela Equação 3.7 esta Irradiança vale:

2

0E

Z21SI

rr== [3.11]

com Ωεµ 377Z 000 == [3.12]

Por outro lado, a densidade volumétrica do momento associado à uma onda eletromagnética por unidade de volume é dada por :

( )HEp 00em

rrr×= εµ [3.13]

Da mesma forma como a energia, o momento é uma grandeza real e devemos então tomar a representação real dos campos:

HEp 00em

vvv ReRe ×= εµ [3.14]

Quando a luz incide numa superfície, a pressão eletromagnética exercida sobre esta superfície pode ser calculada como:

A1

tp

AFp

∆∆

== [3.15]

A variação de momento da luz, dependerá da densidade volumétrica de momento da onda e do tipo de superfície. Para incidência normal, numa superfície totalmente refletora a variação de momento será duas vezes o momento da onda, se a superfície for totalmente absorvedora será igual ao momento da onda. O momento médio da onda eletromagnética será a média temporal da densidade volumétrica de momento, integrada no volume que atinge a superfície durante o tempo ∆t:

tAcpp em ∆∆ = [3.16] 2

0

00em E

Z2p

rεµ= [3.17]

Portanto a pressão de radiação exercida sobre a superfície será :

cIE

Z2p

2

0

00 ==rεµ

[3.18]

3.3 Propagação dos Meios Materiais Quando uma onda eletromagnética se propaga num meio material, principalmente na faixa de freqüências próximas as da luz, a interação da luz com a matéria é determinada, preponderantemente pela interação do campo elétrico (da luz incidente) com os elétrons da matéria (momentos de dipolos elétricos atômicos). Por este motivo, para a maioria dos meios materiais, exceto os materiais magnéticos, a constante µ ≅µ0, e a resposta do meio pode ser representada através de e um permissividade elétrica complexa:

ir iεεε += [3.19] Desta forma, a relação entre a frequência angular ω e o número de onda k da onda eletromagnética assume a forma complexa:

22

2

022 N

ck ωεµω == [3.20]

Onde podemos também, alternativamente, representar esta permissividade complexa através de um índice de refração complexo para o meio:

κinN += [3.21]

Como consequência do fato de ε e N serem complexos, o número de onda k também será complexo:

ir kkk += [3.22] com

21

220 11

2

+

+=

r

irrk

εεεωµ

[3.23]

21

220 11

2

−

+=

r

irik

εεεωµ

[3.24]

Substituindo-se a Equação 3.22 em 3.7, teremos que a onda eletromagnética

propagante será uma onda amortecida. Seu decaimento será tanto mais rápido quando maior a parte imaginária do índice de refração complexo ki.

A grandeza δ é chamada de comprimento de penetração no material ou “skin depth” e representa a distância no meio em que a amplitude da onda cai a 1/e do seu valor inicial:]

ik1

=δ [3.25]

3.3.1 Propagação em Dielétricos

Nos meios materiais dielétricos, a parte imaginária da permissividade εi (assim como a parte imaginária do índice de refração κ) é geralmente muito pequena, a não ser para determinadas freqüências onde ocorre ressonância. Na ressonância, a freqüência da onda coincide com uma das freqüências naturais de oscilação do átomo ou elétron. Fora da ressonância podemos desprezar a parte imaginária do índice de refração e temos então:

0

r

00vcnN

εε

εµµε

≅=== [3.26]

Neste caso a propagação é muito semelhante à propagação no vácuo, sem amortecimento da onda propagante, e com os campos elétricos e magnéticos oscilando em fase e perpendiculares entre si e com a direção de propagação. Apenas ocorre uma redução da velocidade de propagação da onda eletromagnética, e conseqüentemente de seu comprimento de onda no meio:

n0λλ = [3.27]

3.3.2 Propagação em Condutores

Nos meios condutores, pelo contrário, esta atenuação pode ser muito forte, porque a parte imaginária da permissividade elétrica está diretamente relacionada com a condutividade do meio σ por:

ωσε =i [3.28]

Por este motivo, para o caso de um condutor infinito ∞→iε ⇒ ∞→ik e consequentemente o comprimento de penetração δ→ 0. Neste caso o material se comporta como um bom refletor. O comprimento de onda e a velocidade de fase da onda são respectivamente determinadas por k através das relações: r

ωωπλ r

rf

r

ckn,k

v,k2

=== [3.29]

As ondas para o campo magnético também serão ondas planas amortecidas: rr ( )txkixk0

ri eeHH ω−− ⋅= [3.30] Só que agora devido ao fato do número de onda (que relaciona E

r e H

r nas equações

de Maxwell) ser complexo, teremos que Er

continua a Hr

e ambos perpendiculares e à direção de propagação, só que agora E

r e H

rnão oscilam mais em fase, e sim com uma

diferença de fase φ dada por:

r

i

kktg =φ [3.31]

A Figura 3.5 mostra um esquema da propagação num meio condutor para uma onda linearmente polarizada.

Figura 3.5 Onda linearmente polarizada se propagando num condutor

3.3.3 Propagação em meios Anisotrópicos (não condutores)

Nestes meios, a permissividade elétrica assim como o índice de refração (e a velocidade de propagação da luz) são reais, mas dependem da direção do campo elétrico. Consequentemente o número de onda k também será diferente para cada direção do vetor

campo elétrico. Uma forma de representar o número de onda para estes materiais é a representação de uma superfície no espaço de k, semelhante à mostrada na Figura 3.6.

Figura 3.6 Superfície do número de onda para um cristal biaxial

Normalmente esta propriedade é apresentada por cristais, devido a anistropia das ligações dos átomos na rede. Existem, entretanto, determinadas direções de propagação para as quais o número de onda k tem o mesmo valor para direções ortogonais do campo elétrico, conforme mostrado na Figura 3.6. Estas direções são chamadas de eixos ópticos do material. A superfície mostrada na Figura 3.6 apresenta dois eixos deste tipo, por isto é denominada de cristal biaxial. Existem casos, entretanto, em que dois dos seus três valores distintos de ks são coincidentes. Neste caso, a superfície da Figura 3.6 degenera para uma esfera e um elipsóide, e o cristal é chamado de uniaxial. Se a esfera toda o elipsoide no seu eixo menor (esfera está inscrita dentro do elipsóide) o cristal é chamado de uniaxial positivo. São exemplos deste tipo de cristal o gelo, e o quartzo. Por outro lado se o elipsóide toda a esfera no seu eixo maior (elipsóide fica inscrito dentro da esfera) o cristal é dito unixial negativo como por exemplo a calcita. Nos cristais isotrópicos os números de onda são iguais em todas as direções k1=k2=k3 (cristais cúbicos, NaCl, diamante). Esta propriedade de apresentar índices de refração diferentes para direções ortogonais de polarização da luz, é chamada de birrefringência. Um exemplo clássico de fenômeno envolvendo estes materiais é a dupla refração quando um feixe despolarizado incide obliquamente numa lâmina de faces paralelas de um material birrefringente. Para cada direção ortogonal de polarização haverá um ângulo de refração diferente, resultando dentro do material e na saída da lâmina o aparecimento de um duplo feixe refratado (cada um apresentando uma polarização ortogonal ao outro). Um esquema e exemplo desta dupla refração é mostrado na Figura 3.7. O mesmo efeito aplicado a imagem de objetos, produz a dupla imagem (mostrada na Figura 3.7).

Figura 3.7 Dupla Refração e dupla imagem

A birrefringência dos materiais pode ser natural como no caso de cristais ou

induzida. Quando a birrefringência é induzida por campos elétricos é chamada de efeito Eletro-óptico ou Efeito Kerr, e pode ser utilizada para se construir moduladores ópticos. Quando a birrefrigência é induzida por campos magnéticos é chamada de efeito Cotton-Mouton. A birrefringência também pode ser induzida por tensões no material, neste caso é chamada de foto-elasticidade (ou bifringência de stress). Note que para a propagação num material birrefringente, o vetor campo elétrico não é mais perpendicular à direção de propagação da onda e a direção de propagação de energia Sr

não é mais a direção de propagação da fase da onda.

3.4 Formas de se alterar o estado de polarização da luz

Para se modificar ou analisar o estado de polarização da luz existem atualmente disponíveis no mercado elementos ópticos que se utilizam destas propriedades anisotrópicas dos materiais. Entre estas propriedades podemos citar o dicroismo e a birrefringência.

3.4.1 Dicroismo Quando a parte imaginária da permissividade complexa ou do índice de refração varia com a direção do campo elétrico incidente da onda incidente (polarização) o material é chamado de dicróico. Neste caso a espessura do material pode ser cortada de forma a ter absorção total para uma dada direção de campo elétrico sem reduzir significativamente a outra componente. São exemplos destes materiais os filtros polaróides e os polarizadores convencionais para máquina fotográfica. Nestes materiais a direção em que o material é puxado define uma assimetria e o material absorve diferentemente as direções ortogonais de polarização. Geralmente a eficiência destes polarizadores máxima é da ordem de 30 %

(luz polarizada/luz incidente despolarizada) e a atenuação máxima é da ordem de 1/100. Fora da faixa de luz visível 400-650 nm a eficiência destes polarizadores cai rapidamente.

Figura 3.8 Princípio de Funcionamento de um polarizador tipo Glan prisma

3.4.2 Birrefringência Uma outra forma de polarizar a luz é utilizar a dupla refração descrita na seção 3.3.3. Como o índice de refração é diferente para cada uma das polarizações ortogonais, o ângulo crítico (ângulo de reflexão total) também será diferente para cada polarização. Desta forma, se construírmos um prisma com o material birrefringente de forma a obter reflexão total para uma das polarizações, teremos tanto a luz refletida como a transmitida linearmente polarizadas (conforme mostrado no esquema da Figura 3.8). Com polarizadores deste tipo (também chamados tipo Glan), é possível se obter razões de atenuação de até 1:1000. Por outro lado, não basta obter luz linearmente polarizada a partir de luz despolarizada, as vezes é necessário se alterar o estado de polarização da luz: transformar luz linearmente polarizada em circularmente polarizada e vice-versa. Girar a polarização de 90o, etc. Para isto se utilizam elementos ópticos chamados de lâminas de onda. Se tomarmos a lâmina birrefringente descrito na seção 3.3.3, e incidirmos a luz perpendicularmente sobre esta lâmina, não haverá dupla refração, mas cada polarização se propagará dentro do material com velocidade diferente, resultando num atraso de fase ∆φ dado por:

( lr nn2−=

λπφ∆ ) [3.32]

onde nr= índice de refração para a direção de polarização que caminha mais rapidamente e nl=índice de refração para a direção de polarização que caminha mais lentamente. Este atraso de fase ∆φ altera o estado de polarização da luz incidente. Se esta lâmina for cortada com uma espessura tal de forma a produzir um atraso de fase entre as duas polarizações ortogonais de exatamente π/2 para um determinado comprimento de onda, e se incidirmos na lâmina uma onda linearmente polarizada a 45o em relação aos eixos rápido e lento do cristal, teremos na saída uma onda circurlarmente polarizada. Neste caso esta lâmina é chamada de lâmina de quarto de onda (λ/4).

Por outro lado se cortarmos a lâmina de forma a obtermos um atraso de fase ∆φ de π e incidirmos, também com luz linearmente polarizada a 45o em relação aos eixos rápido e lento da lâmina, na saída a polarização estará girada de 90o para este comprimento de onda.

A birrefringência pode também ser induzida pela aplicação de campos elétricos ou por campos magnéticos em determinadas direções de um cristal. Quando a birrefringência é

induzida num material sólido ou líquido (antes isotrópico) pela aplicação de um campo elétrico recebe o nome de efeito eletro-óptico ou efeito Kerr. Este efeito pode ser utilizado juntamente com dois polarizadores para se produzir moduladores de luz, que recebem o nome de célula de Kerr. A birrefringência induzida é proporcional ao quadrado do campo elétrico aplicado:

02

lr KEnn λ=− [3.33] com K= constante de Kerr e λ0 é o comprimento de onda no vácuo.

Analogamente a birrefringência pode ser induzida pela aplicação de um campo magnético em determindada direção, este efeito é chamado de Efeito Cotton-Mouton.

Da mesma forma materiais já birrefringentes podem ter seus índices de refração alterados pela aplicação de campos elétricos. Este efeito é chamado de efeito Pockels e a célula construída utilizando este efeito para modulação da luz transmitida recebe o nome de célula de Pockels.

3.4.3 Atividade Óptica Existem materiais que apresentam a propriedade de girar a direção de polarização da luz incidente. Este efeito é chamado de atividade óptica. A atividade óptica pode ser descrita supondo que cada direção de rotação da luz circularmente polarizada tem velocidade diferente. Desta forma após atravessar uma espessura L deste meio ela terá sofrido uma rotação.

( ) ( )λπωθ lnn

c2lnn LRLR −=−= [3.34]

com nR o índice de refração para luz circularmente polarizada girando para a direita e nL o índice de refração para luz circularmente polarizada girando para a esquerda. Podemos definir para estes materiais o poder de rotação σ como:

lθσ = [3.35]

Diversos cristais apresentam atividade óptica, como é o caso do quartzo, entretanto muito líquidos também apresentam esta propriedade devido à forma helicoidal de suas moléculas. Cristais líquidos, por exemplo apresentam um extraordinário poder de rotação da ordem de 40.000o/mm. A medida da atividade óptica em líquidos também pode ser utilizada para se determinar a concentração de glicose, sacarose, etc. A atividade óptica também pode ser induzida por campos magnéticos, neste caso ela é chamada de efeito Faraday, e a atividade óptica (θ) é proporcional ao campo magnético aplicado(B) :

VBe=θ [3.36] com V= constante de Verdet que depende do material.