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  • 3.1 Ondas Mecnicas

    As ondas mecnicas so perturbaes que se propagam devido continuidade de um determinado meio material. A Figura 3.1. mostra alguns exemplos de ondas mecnicas: a) numa mola, b) numa corda , c) num lago. O prprio som um exemplo de um uma onda mecnica de presso que se propaga no ar ou nos slidos. Quando a perturbao se propaga atravs de um meio, a energia cintica da poro do meio excitada transmitida s regies seguintes do meio, resultando na transmisso de energia atravs do meio. Se ao invs de um simples pulso, tivermos um movimento peridico com uma frequncia bem definida, dizemos que tempos uma onda.

    Figura 3.1 Exemplos de ondas mecnicas transversais e longitudinais

    A frequncia de uma onda (f) sempre determinada pela fonte que a produz (gerador). O comprimento da onda que se propaga no meio vai depender desta freqncia e da velocidade de propagao no meio (v).

  • Por exemplo, se supusermos, um gerador produzindo uma oscilao senoidal na ponta de uma corda, o deslocamento vertical (y) de cada elemento de corda, localizado numa terminada posio (x) da corda, variar com o tempo (t) segundo uma funo:

    ( )tkxyy 0 = cos [1]

    Um grfico da posio dos pontos da corda num dado instante t=0 mostrado na Figura 3.2a. Isto corresponde a tirar uma fotografia da corda. Por outro lado podemos nos fixar numa dada posio x=x0 e observarmos o comportamento temporal deste elemento de corda, o resultado ser a curva mostrada na Figura 3.2b.

    Figura 3.2 Onda na corda a) em funo da posio e b) em funo do tempo

    Numa onda k chamado de nmero de onda, frequncia angular. Estas grandezas

    esto relacionadas com o comprimento de onda () e com o perodo de repetio temporal (T) da onda por:

    2k = [3.2]

    f2T2 == [3.3]

    A velocidade de propagao est relacionada com estas grandezas por:

    Tkv == [3.4]

    As ondas na corda so chamadas de ondas transversais porque o deslocamento dos

    elementos de corda ocorre na direo (y), perpendicular direo de propagao da corda (x). Existem, entretanto, ondas em que o deslocamento ocorre na mesma direo da propagao, neste caso as ondas so chamadas de longitudinais. So exemplos de ondas longitudinais as ondas numa mola, as ondas sonoras, etc.

  • 3.2 Ondas Eletromagnticas no Vcuo

    As ondas eletromagnticas so ondas de campos eltricos e magnticos acoplados. Como os campos eltricos e magnticos so grandezas vetoriais, durante a propagao eles podem variar periodicamente em mdulo, direo e sentido, porm sua direo sempre perpendicular direo de propagao da onda. Por este motivo as ondas eletromagnticas so ondas transversais.

    O acoplamento entre os campos eltricos e magnticos vem do fato da variao do campo magntico induzir a gerao de campo eltrico (Lei de Faraday) e vice-versa. Alm disso, como os campos eltricos e magnticos existem mesmo no vcuo, as ondas eletromagnticas, diferentemente das ondas mecnicas, no precisam de um meio material para se propagar. A velocidade de propagao da luz no vcuo uma constante universal e definida como:

    00

    1c

    = = 3X108m/s [3.5]

    A medida da velocidade da luz no vcuo e sua comparao com 001 , com 0 (permeabilidade magntica no vcuo) e 0 (permissividade eltrica no vcuo) medidos independentemente em experimentos de eletricidade e magnetismo se constituiu na prova definitiva de que a luz era uma onda eletromagntica. Como os campos eltricos e magnticos esto acoplados, para descrever a propagao de uma onda eletromagntica basta escrever um deles, que o outro fica automaticamente determinado pelas leis induo eletromagntica. A onda de campos eltricos pode ser descrita na forma real ou complexa (fasores) por: rrr

    ( ) ( )wtkxi00 eEtkxEE == cos [3.7] As definies de k, , T e so as mesmas que para ondas mecnicas e as relaes entre das so dadas tambm pelas Equaes 3.2 e 3.3.

    3.2.1 Estados de Polarizao da Luz

    3.2.1.1 Ondas Linearmente Polarizadas

    r Se o vetor real, durante a propagao, descrita pela Equao 4.7, sua direo permanece constante, apenas seu mdulo oscila periodicamente. Neste caso a onda dita linearmente polarizada. Isto equivalente a uma onda mecnica numa corda onde a direo do deslocamento dos elementos de corda sempre a mesma. A Figura 3.3 ilustra a propagao de uma onda linearmente polarizada deste tipo.

    0E

  • Figura 3.3 Onda linearmente polarizada

    3.2.1.2 Ondas Circularmente Polarizadas

    Por outro lado, se E um vetor complexo, como sempre um vetor perpendicular direo de propagao:

    0

    r

    r ( ) ( ) ( ) ( )wtxKkEwtxKjEekiEjEE z0y0wtxKiz0y0 ++= sencos [3.8] Para t=0, z=0 =E

    rjE y0

    r t= T/4, z=0 kEE z0 = r

    Os vetores Er

    e H descrevem uma hlice no espao, amarrados um ao outro. Durante um perodo eles completam uma rotao completa. Se z0y0 EE = , a onda dita circularmente polarizada, e o mdulo do vetor campo eltrico permanece constante durante a propagao, apenas girando com velocidade angular . Um esquema desta forma de propagao est mostrado na Figura 3.4. Se z0y0 EE tanto a direo como o mdulo do vetor campo eltrico oscilam durante a propagao e a onda chamada de elipticamente polarizada.

  • Figura 3.4 Onda circularmente polarizada

    3.2.2 Energia e Momento As ondas eletromagnticas transportam energia e momento. Se num dado volume no h cargas, o trabalho mecnico zero e a potncia eletromagntica, por unidade de rea que de uma onda definida como:

    HESrrr

    = [3.9] Como a energia uma grandeza real, devemos tomar uma representao real para os campos, ou seja:

    { } { }HReEReS rrr = [3.10]

    Esta grandeza chamada de vetor de Poynting e tem unidade de energia por unidade de tempo por unidade de rea. A mdia temporal deste vetor chamada de Irradiana de uma onda eletromagntica. Para uma onda descrita matematicamente pela Equao 3.7 esta Irradiana vale:

    2

    0E

    Z21SI

    rr== [3.11]

    com 377Z 000 == [3.12]

    Por outro lado, a densidade volumtrica do momento associado uma onda eletromagntica por unidade de volume dada por :

    ( )HEp 00emrrr

    = [3.13] Da mesma forma como a energia, o momento uma grandeza real e devemos ento tomar a representao real dos campos:

    { } { }HEp 00em

    vvv ReRe = [3.14]

  • Quando a luz incide numa superfcie, a presso eletromagntica exercida sobre esta superfcie pode ser calculada como:

    A1

    tp

    AFp

    == [3.15]

    A variao de momento da luz, depender da densidade volumtrica de momento da onda e do tipo de superfcie. Para incidncia normal, numa superfcie totalmente refletora a variao de momento ser duas vezes o momento da onda, se a superfcie for totalmente absorvedora ser igual ao momento da onda. O momento mdio da onda eletromagntica ser a mdia temporal da densidade volumtrica de momento, integrada no volume que atinge a superfcie durante o tempo t:

    tAcpp em = [3.16] 2

    0

    00em EZ2

    pr

    = [3.17]

    Portanto a presso de radiao exercida sobre a superfcie ser :

    cIE

    Z2p

    2

    0

    00 ==r

    [3.18]

    3.3 Propagao dos Meios Materiais Quando uma onda eletromagntica se propaga num meio material, principalmente na faixa de freqncias prximas as da luz, a interao da luz com a matria determinada, preponderantemente pela interao do campo eltrico (da luz incidente) com os eltrons da matria (momentos de dipolos eltricos atmicos). Por este motivo, para a maioria dos meios materiais, exceto os materiais magnticos, a constante 0, e a resposta do meio pode ser representada atravs de e um permissividade eltrica complexa:

    ir i += [3.19] Desta forma, a relao entre a frequncia angular e o nmero de onda k da onda eletromagntica assume a forma complexa:

    22

    2

    022 N

    ck == [3.20]

    Onde podemos tambm, alternativamente, representar esta permissividade complexa atravs de um ndice de refrao complexo para o meio:

    inN += [3.21]

  • Como consequncia do fato de e N serem complexos, o nmero de onda k tambm ser complexo:

    ir kkk += [3.22] com

    21

    220 11

    2

    +

    +=

    r

    irrk

    [3.23]

    21

    220 11

    2

    +=

    r

    irik

    [3.24]

    Substituindo-se a Equao 3.22 em 3.7, teremos que a onda eletromagntica

    propagante ser uma onda amortecida. Seu decaimento ser tanto mais rpido quando maior a parte imaginria do ndice de refrao complexo ki.

    A grandeza chamada de comprimento de penetrao no material ou skin depth e representa a distncia no meio em que a amplitude da onda cai a 1/e do seu valor inicial:]

    ik1

    = [3.25]

    3.3.1 Propagao em Dieltricos

    Nos meios materiais dieltricos, a parte imaginria da permissividade i (assim como a parte imaginria do ndice de refrao ) geralmente muito pequena, a no ser para determinadas freqncias onde ocorre ressonncia. Na ressonncia, a freqncia da onda coincide com uma das freqncias naturais de oscilao do tomo ou eltron. Fora da ressonncia podemos desprezar a parte imaginria do ndice de refrao e temos ento:

    0

    r

    00vcnN

    === [3.26]

    Neste caso a propagao muito semelhante propagao no vcuo, sem amortecimento da onda propagante, e com os campos eltricos e magnticos oscilando em fase e perpendiculares entre si e com a direo de propagao. Apenas ocorre uma reduo da velocidade de propagao da onda eletromagntica, e conseqentemente de seu comprimento de onda no meio:

    n0 = [3.27]

    3.3.2 Propagao em Condutores

  • Nos meios condutores, pelo contrrio, esta atenuao pode ser muito forte, porque a parte imaginria da permissividade eltrica est diretamente relacionada com a condutividade do meio por:

    =i [3.28]

    Por este motivo, para o caso de um condutor infinito i ik e consequentemente o comprimento de penetrao 0. Neste caso o material se comporta como um bom refletor. O comprimento de onda e a velocidade de fase da onda so respectivamente determinadas por k atravs das relaes: r

    r

    rf

    r

    ckn,k

    v,k2

    === [3.29]

    As ondas para o campo magntico tambm sero ondas planas amortecidas: rr ( )txkixk0

    ri eeHH = [3.30] S que agora devido ao fato do nmero de onda (que relaciona E

    r e H

    r nas equaes

    de Maxwell) ser complexo, teremos que Er

    continua a Hr

    e ambos perpendiculares e direo de propagao, s que agora E

    r e H

    rno oscilam mais em fase, e sim com uma

    diferena de fase dada por:

    r

    i

    kktg = [3.31]

    A Figura 3.5 mostra um esquema da propagao num meio condutor para uma onda linearmente polarizada.

    Figura 3.5 Onda linearmente polarizada se propagando num condutor

    3.3.3 Propagao em meios Anisotrpicos (no condutores)

    Nestes meios, a permissividade eltrica assim como o ndice de refrao (e a velocidade de propagao da luz) so reais, mas dependem da direo do campo eltrico. Consequentemente o nmero de onda k tambm ser diferente para cada direo do vetor

  • campo eltrico. Uma forma de representar o nmero de onda para estes materiais a representao de uma superfcie no espao de k, semelhante mostrada na Figura 3.6.

    Figura 3.6 Superfcie do nmero de onda para um cristal biaxial

    Normalmente esta propriedade apresentada por cristais, devido a anistropia das ligaes dos tomos na rede. Existem, entretanto, determinadas direes de propagao para as quais o nmero de onda k tem o mesmo valor para direes ortogonais do campo eltrico, conforme mostrado na Figura 3.6. Estas direes so chamadas de eixos pticos do material. A superfcie mostrada na Figura 3.6 apresenta dois eixos deste tipo, por isto denominada de cristal biaxial. Existem casos, entretanto, em que dois dos seus trs valores distintos de ks so coincidentes. Neste caso, a superfcie da Figura 3.6 degenera para uma esfera e um elipside, e o cristal chamado de uniaxial. Se a esfera toda o elipsoide no seu eixo menor (esfera est inscrita dentro do elipside) o cristal chamado de uniaxial positivo. So exemplos deste tipo de cristal o gelo, e o quartzo. Por outro lado se o elipside toda a esfera no seu eixo maior (elipside fica inscrito dentro da esfera) o cristal dito unixial negativo como por exemplo a calcita. Nos cristais isotrpicos os nmeros de onda so iguais em todas as direes k1=k2=k3 (cristais cbicos, NaCl, diamante). Esta propriedade de apresentar ndices de refrao diferentes para direes ortogonais de polarizao da luz, chamada de birrefringncia. Um exemplo clssico de fenmeno envolvendo estes materiais a dupla refrao quando um feixe despolarizado incide obliquamente numa lmina de faces paralelas de um material birrefringente. Para cada direo ortogonal de polarizao haver um ngulo de refrao diferente, resultando dentro do material e na sada da lmina o aparecimento de um duplo feixe refratado (cada um apresentando uma polarizao ortogonal ao outro). Um esquema e exemplo desta dupla refrao mostrado na Figura 3.7. O mesmo efeito aplicado a imagem de objetos, produz a dupla imagem (mostrada na Figura 3.7).

  • Figura 3.7 Dupla Refrao e dupla imagem

    A birrefringncia dos materiais pode ser natural como no caso de cristais ou

    induzida. Quando a birrefringncia induzida por campos eltricos chamada de efeito Eletro-ptico ou Efeito Kerr, e pode ser utilizada para se construir moduladores pticos. Quando a birrefrigncia induzida por campos magnticos chamada de efeito Cotton-Mouton. A birrefringncia tambm pode ser induzida por tenses no material, neste caso chamada de foto-elasticidade (ou bifringncia de stress). Note que para a propagao num material birrefringente, o vetor campo eltrico no mais perpendicular direo de propagao da onda e a direo de propagao de energia Sr

    no mais a direo de propagao da fase da onda.

    3.4 Formas de se alterar o estado de polarizao da luz

    Para se modificar ou analisar o estado de polarizao da luz existem atualmente disponveis no mercado elementos pticos que se utilizam destas propriedades anisotrpicas dos materiais. Entre estas propriedades podemos citar o dicroismo e a birrefringncia.

    3.4.1 Dicroismo Quando a parte imaginria da permissividade complexa ou do ndice de refrao varia com a direo do campo eltrico incidente da onda incidente (polarizao) o material chamado de dicrico. Neste caso a espessura do material pode ser cortada de forma a ter absoro total para uma dada direo de campo eltrico sem reduzir significativamente a outra componente. So exemplos destes materiais os filtros polarides e os polarizadores convencionais para mquina fotogrfica. Nestes materiais a direo em que o material puxado define uma assimetria e o material absorve diferentemente as direes ortogonais de polarizao. Geralmente a eficincia destes polarizadores mxima da ordem de 30 %

  • (luz polarizada/luz incidente despolarizada) e a atenuao mxima da ordem de 1/100. Fora da faixa de luz visvel 400-650 nm a eficincia destes polarizadores cai rapidamente.

    Figura 3.8 Princpio de Funcionamento de um polarizador tipo Glan prisma

    3.4.2 Birrefringncia Uma outra forma de polarizar a luz utilizar a dupla refrao descrita na seo 3.3.3. Como o ndice de refrao diferente para cada uma das polarizaes ortogonais, o ngulo crtico (ngulo de reflexo total) tambm ser diferente para cada polarizao. Desta forma, se construrmos um prisma com o material birrefringente de forma a obter reflexo total para uma das polarizaes, teremos tanto a luz refletida como a transmitida linearmente polarizadas (conforme mostrado no esquema da Figura 3.8). Com polarizadores deste tipo (tambm chamados tipo Glan), possvel se obter razes de atenuao de at 1:1000. Por outro lado, no basta obter luz linearmente polarizada a partir de luz despolarizada, as vezes necessrio se alterar o estado de polarizao da luz: transformar luz linearmente polarizada em circularmente polarizada e vice-versa. Girar a polarizao de 90o, etc. Para isto se utilizam elementos pticos chamados de lminas de onda. Se tomarmos a lmina birrefringente descrito na seo 3.3.3, e incidirmos a luz perpendicularmente sobre esta lmina, no haver dupla refrao, mas cada polarizao se propagar dentro do material com velocidade diferente, resultando num atraso de fase dado por:

    ( lr nn2

    = ) [3.32]

    onde nr= ndice de refrao para a direo de polarizao que caminha mais rapidamente e nl=ndice de refrao para a direo de polarizao que caminha mais lentamente. Este atraso de fase altera o estado de polarizao da luz incidente. Se esta lmina for cortada com uma espessura tal de forma a produzir um atraso de fase entre as duas polarizaes ortogonais de exatamente /2 para um determinado comprimento de onda, e se incidirmos na lmina uma onda linearmente polarizada a 45o em relao aos eixos rpido e lento do cristal, teremos na sada uma onda circurlarmente polarizada. Neste caso esta lmina chamada de lmina de quarto de onda (/4).

    Por outro lado se cortarmos a lmina de forma a obtermos um atraso de fase de e incidirmos, tambm com luz linearmente polarizada a 45o em relao aos eixos rpido e lento da lmina, na sada a polarizao estar girada de 90o para este comprimento de onda.

    A birrefringncia pode tambm ser induzida pela aplicao de campos eltricos ou por campos magnticos em determinadas direes de um cristal. Quando a birrefringncia

  • induzida num material slido ou lquido (antes isotrpico) pela aplicao de um campo eltrico recebe o nome de efeito eletro-ptico ou efeito Kerr. Este efeito pode ser utilizado juntamente com dois polarizadores para se produzir moduladores de luz, que recebem o nome de clula de Kerr. A birrefringncia induzida proporcional ao quadrado do campo eltrico aplicado:

    02

    lr KEnn = [3.33] com K= constante de Kerr e 0 o comprimento de onda no vcuo.

    Analogamente a birrefringncia pode ser induzida pela aplicao de um campo magntico em determindada direo, este efeito chamado de Efeito Cotton-Mouton.

    Da mesma forma materiais j birrefringentes podem ter seus ndices de refrao alterados pela aplicao de campos eltricos. Este efeito chamado de efeito Pockels e a clula construda utilizando este efeito para modulao da luz transmitida recebe o nome de clula de Pockels.

    3.4.3 Atividade ptica Existem materiais que apresentam a propriedade de girar a direo de polarizao da luz incidente. Este efeito chamado de atividade ptica. A atividade ptica pode ser descrita supondo que cada direo de rotao da luz circularmente polarizada tem velocidade diferente. Desta forma aps atravessar uma espessura L deste meio ela ter sofrido uma rotao.

    ( ) ( ) lnn

    c2lnn LRLR == [3.34]

    com nR o ndice de refrao para luz circularmente polarizada girando para a direita e nL o ndice de refrao para luz circularmente polarizada girando para a esquerda. Podemos definir para estes materiais o poder de rotao como:

    l = [3.35]

    Diversos cristais apresentam atividade ptica, como o caso do quartzo, entretanto muito lquidos tambm apresentam esta propriedade devido forma helicoidal de suas molculas. Cristais lquidos, por exemplo apresentam um extraordinrio poder de rotao da ordem de 40.000o/mm. A medida da atividade ptica em lquidos tambm pode ser utilizada para se determinar a concentrao de glicose, sacarose, etc. A atividade ptica tambm pode ser induzida por campos magnticos, neste caso ela chamada de efeito Faraday, e a atividade ptica () proporcional ao campo magntico aplicado(B) :

    VBe= [3.36] com V= constante de Verdet que depende do material.

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