3. Movimento Ondulatório

1 O que é uma onda?

Embora todos tenhamos a experiência do que é uma onda, como podemos for-malizar este conceito?

Figura 1: Katsushika Hokusai, The Great Wave Of Kanagawa (1823-29)

Pensemos em vários exemplos:

• Ondas no mar

• Uma onda numa corda

Figura 2: Uma onda numa corda

1

Figura 3: Uma onda humana

• Uma onda de espectadores num estádio de futebol

• Uma onda num tanque...

Figura 4: A superfície da água num tanque, depois de lá cair uma pedra

Em todos estes casos temos um meio que sustenta a onda. Esse meio estáinicialmente em repouso, mas depois há uma perturbação de alguma das suaspropriedades que se vai propagar. Então, de uma forma geral, podemos considerarque uma onda é o movimento de uma perturbação.

Uma outra característica comum ao fenómeno das ondas é que embora aperturbação se propague, as partículas constituintes do meio não se deslocam(ou pelo menos em média não se deslocam). Isto é muito claro no exemplo daonda humana. Mas se pusermos uma rolha no tanque, vemos que a onda nãotransporta a rolha. Da mesma forma, as moléculas de água da superfície tambémnão são transportadas pela onda.

♦ Um outro exemplo é o de um boato: imagine-se um boato tãoperigoso que só é propagado de boca a boca. O boato vai de Faro ao

2

Porto, mas os seus propagadores não saíram do sítio, ou pelo menosandaram muito menos (até à casa do vizinho).♦

Figura 5: Num boato a informação prpopaga-se mas os �boateiros� não!

Em resumo, uma onda é a propagação de uma perturbação, mas não do meioque a sustenta.

Uma boa de�nição encontra-se na wikipedia [www.wikipedia.com]:

A wave is a disturbance that propagates, carrying energy. A mechanical waveexists in a medium (which on deformation is capable of producing elastic restor-ing forces) through which they travel and can transfer energy from one place toanother without any of the particles of the medium being displaced permanently;there is no associated mass transport. Instead, any particular point oscillatesaround a �xed position. However, electromagnetic radiation, and probably grav-itational radiation are not mechanical waves, and can travel through a vacuum,without a medium.

Vejamos esta de�nição mais em detalhe:

1. A wave is a disturbance that propagates, carrying energy

Uma onda é uma perturbação que se propaga, transportando energia. Isto éo que já vimos. Aparece no entanto o conceito novo de energia. Realmente,é preciso energia para perturbar um dado meio. Por exemplo, quando umapedra cai num lago, a energia cinética da pedra é transferida em partepara as moléculas da água que sofreram o impacto. Essa energia é depoistransferida para as moléculas vizinhas, o que as faz oscilar. A propagaçãoda oscilação é pois propagação de energia.

2. A mechanical wave exists in a medium (which on deformation is capable ofproducing elastic restoring forces) through which they travel...

3

Também já vimos isto. Uma onda mecânica necessita de um meio para sepropagar. O parêntesis do texto em inglês acrescenta outro conceito novo,o de força restauradora. Pensemos de novo em ondas num lago. Imag-inemos uma molécula de água que está a oscilar e que num dado instanteestá na posição mais baixa da oscilação. Se não houvesse uma força a �puxá-la� para cima, ela continuaria a mover-se para baixo inde�nidamente. Naverdade, quando o meio (a água) se deforma (através das cristas e vales dasondas) gera-se uma força restauradora proporcional à deformação e que acontraria. Assim, quanto mais para baixo vai uma molécula, maior é a forçaque a puxa para cima, até que num dado ponto o deslocamento para baixopára por acção da força restauradora. O mesmo é válido para o movimentopara cima que se inicia a seguir (neste caso a força restauradora apontapara baixo). A origem das forças restauradoras está nas interacções inter-moleculares do meio que tendem a manter as suas moléculas coesas. Nocaso da água essas interacções são sobretudo feitas através das pontes dehidrogénio.

3. ...and can transfer energy from one place to another without any of theparticles of the medium being displaced permanently; there is no associatedmass transport.

Esta é a outra característica que também já vimos, a onda desloca-se masas partículas do meio não. Portanto a energia propaga-se e há transportede energia, mas as partículas não se propagam, o que quer dizer que nãohá transporte de massa.

4. Instead, any particular point oscillates around a �xed position.

O movimento das partículas é simplesmente oscilatório em torno de umdado ponto. Pode ser para cima e para baixo, ou para a frente e para trás,ou uma mistura das duas, mas em média a posição da partícula é �xa.

5. However, electromagnetic radiation, and probably gravitational radiation arenot mechanical waves, and can travel through a vacuum, without a medium.

É importante notar que as ondas mecânicas necessitam de um meio parase propagar, mas que nem todas as ondas são mecânicas. O som é umaonda mecânica, e todos os exemplos de que falámos pertencem à classedas ondas mecânicas. No entanto a radiação electromagnética (a luz, oinfravermelho, o UV, os raios X, as microondas, as ondas de rádio...) nãosão ondas mecânicas e propagam-se no vácuo. Se assim não fosse a luznão nos chegaria do Sol! Outro tipo de ondas não mecânicas são as on-das gravitacionais, previstas por Einstein a partir da teoria da relatividadegeral.

Para �nalizar, aqui está a de�nição de onda do Dicionário de Língua Por-tuguesa da Porto Editora:

4

onda (fís.) perturbação, contínua ou transitória, que se propaga com trans-porte de energia através de um meio, quer em virtude das propriedades elásticase de inércia do meio, quer em virtude das propriedades eléctricas ou magnéticasdo espaço; uma grandeza variável no tempo, que também é função da posição.A característica de uma onda é transferir energia de uma região para outra semdeslocamento de�nitivo das partículas do meio. As partículas oscilam apenas emtorno da sua posição de equilíbrio. O progresso de uma onda é descrito pela pas-sagem da forma de onda através do meio com uma certa velocidade, a velocidadede fase da onda. A energia é transferida à velocidade de grupo das ondas queformam a forma de onda.

2 Ondas periódicas e não periódicas

Uma onda pode ou não ser periódica, isto é, pode ou não exibir um padrãorepetitivo no tempo. Do ponto de vista do movimento das partículas constituintesdo meio há sempre uma oscilação em torno de uma posição média. Essa oscilaçãopode ser periódica, ou seja, repetir-se exactamente da mesma forma passado umdado intervalo de tempo, e depois repetir-se, e depois...; ou então pode dar-se uma oscilação (sempre em torno de uma posição mádia �xa), mas de formaimprevisível. Por exemplo, se uma pedra cair num lago, produz-se um padrão deondas periódicas. Mas imaginemos agora que a origem da perturbação da água éo despejar irregular de um saco de areia. Neste caso a energia é transferida para aágua de uma forma também irregular. A oscilação das moléculas de água tambémvai ser irregular, umas vezes mais intensa, outras vezes menos, e o padrão dasondas também será irregular. Não se vislumbrará nenhum padrão repetitivo. Aoscilação das moléculas de água conduz neste caso a uma onda não periódica.

Consideremos a �gura 6. Podemos pensar que se trata de uma perturbaçãodo nível médio da altura da água num dado instante. Podemos ainda pensar quese trata de um conjunto de cristas e fossos originada pelo despejar do tal sacode areia no lago. Estamos apenas a ver algumas das cristas e fossos. Outrasaparecerão, mas com aspecto diferente e de forma irregular no tempo. No eixodas ordenadas temos a variação ada altura relativamente à altura média. Éimportante ter em conta os seguintes factos:

• trata-se de uma �fotogra�a� � o grá�co mostra os valores tirados num dadoinstante t;

• as �bossas� e os �fossos� vão mover-se nos instantes posteriores.

A onda da �gura 6 é não periódica, pois não se detecta nenhum padrão regular.A onda da �gura 7 é periódica. A escala das abcissas marca as distância ao

longo da qual se �zeram as medições da altura de uma onda de água relativamenteao nível de repouso. Esse nível está marcado na escala das ordenadas. O nível 0é o nível de repouso.

5

Figura 6: Uma onda não periódica

Figura 7: Uma onda periódica - grá�co para t=constante (fotogra�a)

Uma onda para ser periódica não precisa de ser um seno. Podemos observarisso no exemplo da �gura 8:

6

Figura 8: Uma onda periódica que não é um seno- grá�co para t=constante(fotogra�a)

3 Comprimento de onda

Claro que todas as medições são feitas no mesmo instante de tempo. O grá�coda �gura 7 é como se fosse uma fotogra�a da onda. Nesse instante de tempoveri�camos que os máximos são atingidos em x=0, 120 e 240 m. O padrãorepete-se portanto a cada 120 metros. Dizemos então que o comprimento deonda é 120 m:

λ = 120 m. (1)

O comprimento de onda é a distância entre pontos que estão na mesma fase dociclo da onda; por exemplo, entre dois máximos ou entre dois mínimos?

♦ E como medir o período através dos zeros? É a distância entredois zeros consecutivos? Ou entre o primeiro e o terceiro zero? ♦

4 Período e Frequência

Os outros dois conceitos básicos importantes são os de Período e Frequência.Para compreendê-los vamos ver a �gura 9.

Desta vez o grá�co tem em abcissas valores de tempo. Isto quer dizer que osvalores de y são as alturas medidas relativamente ao nível de equilíbrio da águano mesmo ponto x. Então, enquanto o grá�co 7 é feito com t=constante, ou

7

Figura 9: Uma onda periódica - grá�co para x=constante (o memso ponto)

seja, uma fotogra�a, este é feito com x=constante, ou seja, é feito no mesmoponto do espaço.

Tal como no grá�co anterior, vemos que o padrão é repetitivo, desta vez notempo (vimos antes que também é repetitivo no espaço). O ponto de observação�vê� passar uma onda nos instantes t=0, 37 e 74 s, o que quer dizer que o períododesta onda é 37 s:

T = 37 s. (2)

Então com que frequência é que passa um pico da onda neste ponto? Se passa umpico a cada 37 s, então podemos dizer que em cada segundo passam 1/37=0.027picos, ou seja, 0.027 picos por segundo. Calculámos a frequência como sendo oinverso do período. Podemos ainda escrever 0.027 picos/s. Na verdade não vale apena estar a dizer �picos�, dizemos simplesmente que a frequência desta ondaé de 0.027/s=0.027 s−1:

f =1

T= 0.027 s−1 = 0.027 Hz. (3)

Na última igualdade usou-se a unidade de frequência, que é o Hertz (Hz).Uma onda com 1 Hertz de frequência repete-se no período de 1 segundo.

5 Velocidade de propagação

Consideremos de novo uma onda, que pode ser ou não periódica. Inicialmente,para ser mais fácil de visualizar, consideremos apenas uma �bossa� ou pulso de

8

uma dada onda. O grá�co da �gura 10 é uma �fotogra�a�: num dado instantet = t1 medem-se as alturas da água ao longo de vários pontos de um canal com300 metros.

E se agora tirarmos outra fotogra�a num instante posterior t = t2 > t1? Essafotogra�a está sobreposta à inicial no grá�co da �gura 10. Na segunda fotogra�apode ver-se que o pico desloca-se para a esquerda ou para a direita.

Figura 10: A onda move-se com uma dada velocidade. No grá�co estão sobre-postas as fotogra�as para t = 1 s e t = 5 s

A velocidade com que a onda se desloca é portanto dada por

vonda =espaço percorrido pelo picotempo gasto neste percurso

= (4)

posição do pico em t2 − posição do pico em t1t2 − t1

No caso ilustrado na �gura temos portanto

vonda =x2 − x1

t2 − t1=

200− 100

5− 1= 25 ms−1 (5)

Esta é a velocidade de propagação da onda.

Podemos fazer o mesmo raciocínio a partir de um grá�co com uma ondasinusoidal. Basta identi�carmos um máximo particular e segui-lo, como �zemoscom o pulso da onda anterior. A velocidade de propagação da onda de�ne-seexactamente da mesma forma.

9

Valores típicos

No Sistema Internacional (SI) de unidades a veloidade exprime-se em m/sou ms−1, pois

v =distância [m]

tempo[s]≡ [m/s]. (6)

Sendo assim,

• velocidade do som no ar a 20o C: 344 m/s;

• velocidade do som nos sólidos > 344 m/s;

• velocidade da luz no vácuo: 3× 108 m/s;

• carro a 72 km/h: 20 m/s.

6 Tipos de ondas

As ondas dividem-se em duas classes fundamentais:

• ondas transversais;

• ondas longitudinais.

Já vimos que a propagação de uma onda corresponde à propagação de umaperturbação no meio. As partículas do meio movem-se portanto de alguma formadevido à passagem da onda. É o tipo de movimento das partículas que distigueo tipo da onda.

• Se as partículas se movem perpendicularmente à direcção de propagação daonda, então temos uma onda transversal.

Figura 11: Uma onda transversa: as partículas movem-se perpendicularmente àdirecção de propagação da onda

Um exemplo de onda transversa através de uma corda:

• Se as partículas se movem paralelamente à direcção de propagação da onda,então temos uma onda logitudinalal.

10

Figura 12: Uma onda transversa numa corda.

6.1 Exemplos de ondas transversas

• Como já vimos, as ondas provocadas numa corda são um bom exemplode ondas transversas. A direcção de propagação é a direcção da corda,mas os segmentos de corda que propagam a onda sofrem um movimentoperpendicular à corda. As �gura 12 ilustra bem este ponto.

• O movimento dos espectadores numa �ola� também é um exemplo de ondatransversa. A onda propaga-se ao nível das cadeiras, mas os espectadoreslevantam-se das cadeiras, o que é portanto um movimento perpendicular àdirecção da �ola�.

• As ondas sísmicas do tipo S são transversas: a terra move-se perpendicu-larmente à direção de propagação da onda sísmica (ver a �gura 13).

Figura 13: Numa onda sísmica do tipo S a terra move-se perpendicularmente àdirecção de propagação da onda

11

6.2 Exemplos de ondas longitudinais

• Como já vimos, um exemplo claro de onda longitudinal é o da oscilaçãode uma mola. Uma mola oscila através de zonas alternadas de compressãoe descompressão. Estes movimentos de compressão e descompressão sãofeitos na mesma direcção em que a mola propaga a oscilação. A �gura 14ilustra claramente este ponto.

Figura 14: Uma onda longitudinal: as partículas movem-se na direcção de propa-gação da onda

• As ondas sísmicas do tipo P são longitudinais: a terra move-se na direcçãode propagação do sismo (�gura 15).

Figura 15: Numa onda sísmica do tipo P a terra move-se na direcção de propa-gação da onda

12

6.3 E o som?

O som é uma onda longitudinal. Como vimos, as ondas de som são uma sériede regiões de altas e baixas pressões (altas e baixas densidades) e o movimentodas partículas, oscilando entre essas zonas, é feito na direcção de propagação daonda (�gura 16).

Figura 16: O som é uma onda longitudinal

7 Ondas Progressivas

Até agora vimos grá�cos de ondas de dois tipos:

• �fotogra�as�, o que quer dizer que se faz o grá�co da onda y = y(x) (em quey é a alteração ao n�vel de referência, por exemplo, o nível da água numtanque) em t =constante;

• �no mesmo ponto�, o que quer dizer que se faz o grá�co da onda y = y(t)no memso ponto x =constante;

Como já foi referido, as ondas propagam-se, e por isso podemos pensar naevolução da onda ao longo do tempo através da sucessão de grá�cos-fotogra�aem instantes sucessivos.

Podemos então pensar que talvez haja uma função que dê o valor da ondapara quaisquer valores de x e t. Essa função seria da forma

y = f(x, t). (7)

Substituindo os valores de x e t pretendidos na função obteríamos o valor da onda(nível da água, por exemplo) para essa posição e tempo escolhidos.

13

Um resultado muito importante é o seguinte: se a onda viaja para a direita(esquerda) com velocidade (-)v e a sua forma não se altera, então a dependênciade y em x e t só pode ser da forma

y = f(x, t) = f(x∓ vt). (8)

Isto quer dizer que a função f não pode envolver x ou t separados, mas apenasatravés da combinação x∓ vt. Por exemplo,

y = f(x, t) =1

x2t2 + 2(9)

NÃO pode ser uma onda progressiva, mas

y = f(x, t) =1

(x− vt)2 + 2(10)

pode.Vamos tentar compreender porque é que a onda progressiva tem esta forma.Suponhamos que y = f(x− vt) é uma onda progressiva que tem um máximo

em y = f(5), ou seja, tem um máximo sempre que u ≡ x − vt = 5. A função festá ilustrada na �gura 17.

Figura 17: A função f(u = x− vt) tem um máximo em u = 5 m.

Suponhamos ainda que se propaga com uma velocidade v = 1 m/s. Então,

• Em t = 0 s f é máxima em x− 1 · 0 = 5 ⇒ x = 5 m;

14

• Em t = 1 s f é máxima em x− 1 · 1 = 5 ⇒ x = 6 m;

• Em t = 2 s f é máxima em x− 1 · 2 = 5 ⇒ x = 7 m;

• Em t = 3 s f é máxima em x− 1 · 3 = 5 ⇒ x = 8 m;

• ...

Isto quer dizer que se tirarmos fotogra�as da onda nos instantes t =0, 1, 2,3, 4,... (s) vemos que o seu máximo está inicialmente em x = 5 m, depois passapassa a posição x = 6 m, depois para a posição x = 7 m, depois...

Com efeito,

• A fotogra�a em t = 0 s mostra o máximo em x = 5 m;

• a fotogra�a em t = 1 s mostra o máximo em x = 6 m;

• a fotogra�a em t = 2 s mostra o máximo em x = 7 m;

• a fotogra�a em t = 3 s mostra o máximo em x = 8 m;

• ...

A evolução da onda está ilustrada na �gura 18:

Figura 18: A onda f(x− t) desloca-se para a direita vom velocidade de 1 m/s.

Em qualquer instante t o máximo é dada por x− vt = 5 ⇒ x = 5 + vt

posição do máximo = 5 + vt = 5 + t. (11)

15

Portanto, à medida que t aumenta (que é como quem diz, à medida que o tempopassa) a posição x do máximo vai também aumentando. Isto quer dizer que aposição do máximo se vai deslocando para a direita, ao longo do eixo dos xx.

Exemplos

• f(x− 5t) é uma onda progressiva que se desloca para a direita, com veloci-dade de 5 m/s.

• f(x + 9t) é uma onda progressiva que se desloca para a esquerda, comvelocidade de 9 m/s.

8 Sobreposição e Interferência de ondas

A maior parte dos fenómenos ondulatórios que encontramos na natureza não podeser descrito apenas em termos de uma onda sinusoidal (com a forma de um senoou co-seno) ou de um pulso (como o da �gura 6). Na verdade, a maior parte dosfenómenos ondulatórios só se pode compreender em termos de uma combinação deuma série de ondas progressivas. Isto quer dizer que um movimento ondulatóriocomplicado é a soma de muitos movimentos ondulatórios mais simples. É isto ofundamento do princípio de sobreposição:

Se duas ou mais ondas progressivas se propagam através de um dado meio, afunção de onda resultante em cada ponto é a soma algébrica das funções de ondadas ondas individuais.

Nem todas as ondas obedecem ao princípio da sobreposição. As que obe-decem chamam-se ondas lineares e as que não obedecem chamam-se ondasnão-lineares.

Uma as consequências do princípio de sobreposição é que duas ondas progres-sivas podem passar uma pela outra sem se alterar. Imaginemos uma onda quevem da esquerda e outra que vem da direita. Para simpli�car a visualização,imaginemos que são duas bossas que se deslocam. Enquanto as duas bossas es-tão muito distantes vemo-las claramente diferenciadas, aproximando-se uma daoutra. Quando as bossas se encontram as suas amplitudes somam-se e se am-bas forem positivas a bossa resultante tem uma altura igual à soma das alturasindividuais. Depois as bossas separam-se de novo, cada uma viajando na suadirecção e de novo as vemos claramente diferenciadas.

O efeito da sobreposição de ondas pode ver-se claramente numa tina de ondas.Numa tina de ondas duas esferas batem periodicamente na água, produzindo on-das que podemos observar. No caso da �gura 19 vemos claramente a sobreposiçãodas ondas produzidas por cada esfera.

16

Figura 19: Sobreposição numa tina de ondas.

Vemos ainda o padrão que se produz entre as esferas por causa da sobreposição.É o padrão de interferência. Podemos também observar a sobreposição das on-das produzidas pela queda de gotas num tanque, como se vê na �gura 20 :

Figura 20: A sobreposição das ondas provocadas pela queda de gotas num tanque.

Vejamos agora em mais detalhe a evolução de duas ondas progressivas, desdeque se dirigem uma para a outra até que se voltam a afastar. O processo estádescrito nas �guras 21 e 22.

Estas duas últimas �guras permitem-nos compreender as noções de interfer-ência construtiva e de interferência destrutiva.

• No caso da �gura 21 as amplitudes das duas ondas somam-se e a resul-tante é maior que cada amplitude individual. Trata-se de interferênciaconstrutiva.

• No caso da �gura 22 as amplitudes das duas ondas subtraem-se (a somaalgébrica de uma amplitude positiva e uma amplitude negativa) e a resul-tante é menor que cada amplitude individual. Trata-se de interferênciadestrutiva.

17

Figura 21: A sobreposição de duas ondas progressivas numa corda, com interfer-ência construtiva.

Figura 22: A sobreposição de duas ondas progressivas numa corda, com interfer-ência destrutiva.

18

9 Re�exão e Transmissão de ondas

9.1 Descrição geral

O que é que acontece quando uma onada (onda incidente) que se propaga nummeio (por exemplo, água) chega a outro meio (por exemplo, ar)? De uma formageral dão-se dois processos, ilustrados na �gura 23:

• Re�exão: parte da energia da onda é reenviada para o meio de origem (nocaso do exemplo, a água) na forma de uma onda re�ectida.

• Transmissão: a parte restante da energia atravessa para o outro meio (nocaso do exemplo, o ar) na forma de uma onda transmitida.

Figura 23: Ondas incidente, re�ectida e transmitida.

Tanto a onda re�ectida como transmitida têm menor amplitude do que a ondaincidente. Em ambos os casos pode ou não dar-se uma inversão da onda.

Para entender melhor o que isto quer dizer comecemos por observar a �gura24.

Nesta �gura uma onda propaga-se numa corda à qual está �xa. Quandoa onda se aproxima do ponto de �xação dá-se a re�exão: a onda volta paratrás. Podemos ver na �gura que, além de voltar para trás, a onda também éinvertida: a bossa transforma-se numa depressão após a re�exão.

Este fenómeno dá-se com uma onda numa corda, mas também se dá de umaforma geral com outras ondas. No caso da corda precisamos de aprender uma leibásica da física para compreender o seu comportamento: é a lei da acção-reacção,ou 3a lei de Newton.

19

Figura 24: Re�exão com inversão.

♦Lei da acção-reacção: se um corpo 1 exerce uma força num outro

corpo 2, este reage exercendo uma força igual e de sentido oposto nocorpo 1.

É por isso que nos dói dar um murro na parede: porque ela exerceuma força igual e de sentido contrário na nossa mão!♦

Assim, vemos que quando a onda chega à parede a corda exerce uma forçapara cima (a corda tenta ccontinuar o seu movimento, o que implicaria puxarpara cima as partículas da parede). Então, pela lei da acção-reacção, a paredeexerce uma força igual e para baixo na corda. Assim as partículas da corda sãopuxadas para baixo e a onda re�ectida passa a propaga-se como uma depressãoe não como uma bossa.

Mas nem sempre a onda é re�ectida om inversão. Para ilustrar este pontovejamos agora a �gura 25.

Nesta �gura a orda está �xa a um poste através de uma argola muito leve, oque quer dizer que a extremidade da corda se pode mover. Assim, quando a ondachega ao poste a argola move-se para cima. A certa altura a argola já não podesubir mais porque a corda começa a �car tensa. Então a argola omeça a descer,originando uma onda re�etida que não é invertida.

No caso da re�exão só há um meio e uma fronteira (corda e parede ou poste).Mas, omo indicado na �gura 23, o caso geral inclui dois meios de propagação.

20

Figura 25: Re�exão com inversão.

Podemos também ilustrar este ponto com cordas, imaginando que uma ligaçãoentre duas ordas de propriedades físicas diferentes (diâmetros diferentes, por ex-emplo).

O primeiro caso possível está ilustrado na �gura 26.

Figura 26: Re�exão com inversão.

Uma onda numa corda leve incide na junção com uma corda pesada. Vairesultar uma onda re�ectida e uma onda transmitida.

• A onda transmitida propaga-se na corda mais pesada no sentido inicial.Como a corda mais pesada vai apresenta maior inércia, é de esperar que aonda transmitida tenha muito menor amplitude do que a incidente. Alémdisso a onda transmitida não é invertida relativamente à onda incidente.

• A onda re�ectida propaga-se de novo na corda mais leve. Como a amplitudedo movimento da junção é muito pequena comparativamente à amplitudeda onda, dá-se um processo muito pareceido com o da �gura 24 e a onda

21

re�ectida é invertida. Também se espera que a amplitude da onda re�etidaseja maior do que a da transmitida.

E o que acontece se os papéis das cordas forem invertidos? É o que estáilustrado na �gura 27.

Figura 27: Re�exão com inversão.

• A onda transmitida é semelhante à anterior, excepto que agora a sua am-plitude é pouco menor do que a da onda incidente.

• Quanto ao mecanismo de re�exão, ele é agora semelhante ao da �gura 25:como a corda leve não oferee grande resistênia, a junção move-se quaselivremente e a onda re�ectida não é invertida.

Os casos aqui apresentados, todos com cordas, têm correspondênia para todasas ondas em geral. No entanto, em cada caso particular, �corda leve� ou �cordapesada� têm de ser traduzidos pela grandeza física pertinente.

9.2 Quanti�cação da re�exão e transmissão

Consideremos de novo a �gura 23. Consideremos que as ondas incidente, re�ec-tida e transmitida têm respectivamente amplitudes Ai, Ar e At. De�nimos entãoos coe�cientes de re�exão e transmissão por

R =Ar

Ai

(12)

T =At

Ai

. (13)

Estes coe�cientes dão a relação entre as amplitudes das 3 ondas. Vamos ver issoa seguir, mas a energia das ondas não é igual à sua amplitude. Podemos pensarqual é a fracção da energia incidente que é re�ectida e qual é a fracção que é

22

transmitida. Pode mostrar-se que os coe�cientes de re�exão e transmissãoda intensidade do som são dados por

RI = R2 (14)

TI =z1

z2

T 2, (15)

em que z1 e z2 são as impedâncias acústicas características dos meios 1 e 2.É o conceito de impedância acústica que está relacionado com a analogia anteriorde �corda mais pesada� e �corda mais leve�. A impedância acústica característicade um meio de densidade ρ (kg/m3) onde a velocidade do som é c (m/s) é

z = ρ× c. (16)

A uidade de impedância acústica é o Rayle (=1 kg/(m2s)).Consideremos então a �gura 28, onde se ilustra o caso mais geral da incidência

de uma onda sonora na interface de dois meios.

Figura 28: Re�exão e refracção na interface de dois meios.

A incidência não é feita segundo a perpendicular à superfície. É feita segundoum dado ângulo αi com a perpendicular à interface, a que chamamos de normalà interface. A chamada lei da re�exão diz-nos que a onda re�ectida faz omesmo ângulo com a normal. Portanto

αr = αi. (17)

23

Quanto à onda transmitida, o ângulo vai ser diferente, e depende das caracterís-ticas dos dois meios. Quando se dá a mudança de direcção de uma onda sonora(ou de luz) dizemos que se dá a refracção. A lei de Snell relaciona alphai comαt:

sin αi

c1

=sin αt

c2

, (18)

em que c1 e c2 são as velocidades do som nos meios 1 e 2 respectivemente.O cálculo de R dá

R =z2/z1 − cos αt/ cos αi

z2/z1 + cos αt/ cos αi

=z2/z1 −

√1− (c2/c1)2 sin2 αi

z2/z1 +√

1− (c2/c1)2 sin2 αi

, (19)

onde a igualdade se deve à aplicação de lai de Snell. Se a incidência for normal(αi = αr = αt = 0), então a expressão acima simpli�ca-se para

R =z2 − z1

z2 + z1

. (20)

Quanto a T , obtém-se simplesmente a partir de

T = 1 + R. (21)

Os coe�cientes de intensidade são, para incidência normal,

RI =(

z2 − z1

z2 + z1

)2

(22)

eTI =

4z2z1

(z1 + z2)2, (23)

e obecem aRI + TI = 1. (24)

A tabela 1 mostra impedâncias acústicas características de várias substânciase coe�ciente de re�exão para meio 2 = água do mar.

24

Material Impedância z (Rayles) RAr 415 -1água 1 480 000 0.04

água do mar 1 540 000 0carne de peixe 1 600 000 0.02osso de peixe 2 500 000 0.24borracha 1 810 000 0.08granito 16 000 000 0.82quartzo 15 300 000 0.81argila 7 700 000 0.67arenito 7 700 000 0.67concreto 8 000 000 0.68

aço 47 000 000 0.94latão 40 000 000 0.92

alumínio 17 000 000 0.83

Tabela 1: Impedâncias acústicas características de várias substâncias e coe�cientede re�exão para meio 2 = água do mar

10 Ondas Sinusoidais

Agora vamos considerar um pouco mais em detalhe o caso em que as ondas têma forma de um seno ou co-seno. hamam-se de ondas sinusoidais.

Consideremos, para começar, uma onda que em t = 0 é descrita exactamentepor uma função seno. Além disso, assumamos que o seu comprimento de onda éλ. Como havemos de escrever a função de onda y = f(x)? Sabemos que o senotem período 2π. Portanto, se x = λ o argumento do seno deve ser 2π. E qual éo argumento do seno para x arbitrário?

abcissa = λ → argumento do seno = 2π

abcissa = x → argumento do seno = θ,

o que quer dizer θ = 2πx/λ. Portanto, a função de onda é

y = A sin(

2π

λx

), (25)

em que A representa a amplitude da onda.

Já sabemos que para uma onda progressiva a dependência em x e t é sempreda forma x± vt. Então a forma de uma onda sinusoidal progressiva é

y = A sin[2π

λ(x± vt)

]. (26)

25

Uma onda desloca-se um comprimento de onda num período.

♦ Para perceber isso pensemos em dois grá�cos �fotogra�a�.

Figura 29: Re�exão com inversão.

No primeiro grá�co um dos máximos do seno está no ponto x1. Osegundo grá�co �fotogra�a� foi tirado quando o o máximo seguinte já estáa passar em x1. Passou portanto um período, T . Onde está entretantoo primeiro máximo? Já está no ponto x2, como se pode ver na segundafotogra�a. Então, pela própria de�nição de comprimento de onda, x2 −x1 = λ. Mas a distânccia entre x1 e x2 foi percorrida no tempo T .Portanto λ = vT , em que v é a velocidade da onda. ♦

Então temos

λ = vT ⇒ v =λ

T. (27)

Substituindo este valor de v em (26) �camos com

y = A sin[2π(

x

λ± t

T)]. (28)

Esta expressão mostra as periodicccidades em x e em t.

• Se tomarmos uma fotogra�a, então t = const e y tem o mesmo valor nasposições x, x + λ, x + 2λ...

26

♦ É fácil de ver:

y(x + λ) = A sin

[2π(

x + λ

λ± t

T)

]= A sin

[2π(

x

λ+ 1± t

T)]

=

A sin[2π(

x

λ± t

T) + 2π

]= A sin

[2π(

x

λ± t

T)]

= y(x),

onde se usou o facto de que sin(x + 2π) = sin x. Para y(x + 2λ) =y(x + λ) pelo mesmo racioínio e assim sucessivamente. ♦

Portanto a onda tem periodiidade λ segundo x.

• Se tomarmos a história, então x = const e y tem o mesmo valor nas posiçõest, t + T , t + 2T ...

♦ Vê-se da mesma forma. ♦

Portanto a onda tem periodicidade T segundo t.

10.1 Número de onda e frequência angular

De�nem-se ainda duas outras quantidades: o número de onda é

k =2π

λ(29)

e a frequência angular é

ω =2π

T= 2πf, (30)

onde se usou o facto de que f = 1/T .Com estas de�nições a equação de onda ainda se pode escrever

y = A sin(kx± ωt). (31)

Note-se ainda que a velocidade se pode expressar através destas formas equiva-lentes:

v =λ

T= λf =

ω

k. (32)

10.2 Fase

Nem todas as ondas se podem escrever na forma sin(kx ± ωt) ou cos(kx ± ωt).Com efeito, estas funções só descrevem ondas que em x = 0 e t = 0 tenhamvalores iguais a 0 (caso do sin) ou 1 (caso do cos). E se a onda valer 0.5 emx = t = 0? Nesse caso a solução é escrever a onda na forma mais geral, incluindouma fase constante:

y = A sin(kx± ωt + φ). (33)

27

Então a determinação de φ faz-se da seguinte forma: sabemos que em x = t = 0 afunção de onda toma um dado valor, y = y0. Então temos y0 = A sin φ e portanto

sin φ =y0

A. (34)

Esta equação pode ser resolvida usando a função arcsin, que é a função inversado seno e nos diz qual é o ângulo a que corresponde a determinado valor do seno.

♦ Por exemplo,sin 30o = 0.5

quer dizer quearcsin 0.5 = 30o.

♦

φ é então determinado por

φ = arcsin(

y0

A

). (35)

28