UNIME – União Metropolitana de Educação e Cultura S/C LtdaCURSO: Engenharia Elétrica.

DISCIPLINA: Vetores e Geometria Analítica ANO/SEM: 2012.1PROFESSOR: Sonia Ferreira

3a Lista de exercícios – Vetores, retas e planos.

1. Dados os vetores , e , determine:a) Um vetor , tal que e .b) Um vetor ortogonal aos vetores e .c) A projeção de na direção de .

d) A área do triângulo ABC, tal que e .

e) O volume do tetraedro de arestas AB, AC e AE, tais que: , e .

f) Um vetor tal que e .

2. Do paralelogramo ABCD sabe-se que:

(i) Dois dos cossenos diretores de são e e .

(ii) A( 0, 0, 1 ) e C( 1, 0, 3 ). Determine:

a) As coordenadas do ponto B.b) As coordenadas do ponto M que é ponto médio de AC. c) A área do triângulo ABD e a área do retângulo ABCD.

3. Do paralelepípedo de arestas AB, AD e AE sabe-se que:

(i) Dois dos cossenos diretores de são e .

(ii) A = ( 1,0,1) , B( 1, 0, -3) , e | | = 5. Determine:

a) As coordenadas do vetor .

b) A projeção do vetor na direção de .

c) A área da base ABCD.d) O volume desse paralelepípedo.

4. Considere um paralelogramo ABCD, B(4, 0, 2) e a reta AD: . Seja E o ponto da reta AD tal que o segmento BE é perpendicular à reta AD.Determine:

a) As coordenadas do ponto E do item anterior.b) A distância entre as retas AD e BC.c) Uma equação da reta BC.d) Uma equação da reta r perpendicular à reta AD passando por B.

5. Dados os pontos A(1,3,-2), B(0,2,4) e C( 1,1,1) e determine:a) Uma equação vetorial da reta AB;b) As equações paramétricas da reta AC;c) As equações simétricas da reta BC, se possível;d) As equações paramétricas do plano ABC.e) A equação geral do plano ABC.

6. Dados o plano e o ponto R (1,0,2), determine:a) Uma equação vetorial do plano . b) Uma equação de uma reta m contida no plano .c) Uma equação da reta s que passa por R e é perpendicular ao plano .d) Uma equação do plano paralelo ao plano e que passa por Q.

AD

CB

Erv

7. Considere o ponto A( 3, 1, 1 ) e a reta r: . Determine:

a) As equações simétricas da reta s paralela à reta r e que passa por A .b) As equações paramétricas da reta m perpendicular à reta r e que passa por A .c) A distância do ponto A à reta r.d) A equação geral do plano perpendicular à reta r e que passa por A.

8. Considere o ponto P(1,4,1) e as retas r e s dadas a seguir.

,

Determine:a) As equações simétricas da reta m que passa por P e é paralela à reta r.b) Uma equação vetorial da reta n que passa por P e é perpendicular à reta r.c) A distância do ponto P à reta s.

9. Do paralelepípedo de arestas AB, AD e AE sabe-se que: A( 0, 0, 0) ,

B(1, 0, 1), D(0, 1, 2) e E pertence à reta . Determine

as coordenadas do ponto E para que o volume desse paralelepípedo seja igual a 5 u.v.

10. Do paralelepípedo retângulo dado a seguir, sabe-se que:(i) plano ABC: (ii) ponto E(0, 9,0 ) .

Determine:a) As equações paramétricas da reta AE.b) A altura desse paralelepípedo em relação à base ABCD.c) A equação geral do plano EFG.

Respostas:1. a) b) c) d) unidades de área.

e) 2/3 unidades de volume. f) 2. a) B = ( 0, 4, 5 ). b) c) unidades de área. d) unidades de área.

3. a) b) . c) 8 unidades de área. d) 32 unidades de volume.

4. a) E = ( 2, 2, -2). b) unidades de distância. c) reta BC: d)

5. a) b) . c) .

d) e)

7. a) b) . c) unidades de distância.

c) .

8. a) b) c) unidades de distância.

9. ou .

10. a) . b) 3 unidades de comprimento. c)