3° em 3° bimestre

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Matemática – 3 a série – Volume 2 5 SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 1 GRANDEZAS, INTERDEPENDÊNCIA: UM PANORAMA SOBRE FUNÇÕES PESQUISA INDIVIDUAL Muitos livros didáticos de Matemática, destinados aos alunos do Ensino Médio, tratam de funções. Utilize alguns títulos dessas séries para pesquisar e anote, em uma folha avulsa, as principais características das seguintes funções, como tipo de curva que representa seu gráfico, crescimento, raízes, continuidade etc. Função de 1 o grau: y = ax + b, com a e b constantes, a 0. Função de 2 o grau: y = ax 2 + bx + c, com a, b e c constantes, a 0. Função y = k __ x , com k constante, k 0. Funções exponencial e logarítmica: y = a x e y = log a x, com a > 0 e a 1. Funções trigonométricas: y = sen x, y = cos x, y = tg x. Leitura e análise de texto Uma grandeza é algo que pode ser medido; seu valor é o resultado dessa medida e pode ser constante ou variável em uma dada situação concreta. Chamaremos uma grandeza variável (ou constante) apenas de variável (ou constante). Quando uma variável y depende de outra variável x, de tal forma que a cada valor que atribuímos livremente a x correspon- de um único valor para y, dizemos que y é uma função de x e escrevemos y = f(x). Dizemos que x é a variável independente e que y é a variável dependente. Naturalmente, qualquer letra pode representar as variáveis dependente e independente. Quando escrevemos w = f(z), por exemplo, queremos dizer que a variável dependente w é uma função da variável independente z. Uma grandeza pode depender dos valores atribuídos a duas outras; a área A de um retângulo, por exemplo, depende dos comprimentos de seus dois lados, x e y. Dizemos, nesse caso, que A é uma função das duas variáveis independentes x e y. No Ensino Fun- damental, somente estudamos funções de uma variável, mas podemos facilmente imagi- nar situações práticas em que uma grandeza depende simultaneamente de várias outras, sendo uma função de diversas variáveis.

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Page 1: 3° em   3° bimestre

Matemática – 3a série – Volume 2

5

SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 1 GRANDEZAS, INTERDEPENDÊNCIA: UM PANORAMA SOBRE FUNÇÕES

PESQUISA INDIVIDUAL

Muitos livros didáticos de Matemática, destinados aos alunos do Ensino Médio, tratam de funções. Utilize alguns títulos dessas séries para pesquisar e anote, em uma folha avulsa, as principais características das seguintes funções, como tipo de curva que representa seu gráfico, crescimento, raízes, continuidade etc.

• Funçãode1o grau: y = ax + b, com a e b constantes, a ≠ 0.

• Funçãode2o grau: y = ax2 + bx + c, com a, b e c constantes, a ≠ 0.

• Funçãoy = k __ x , com k constante, k ≠ 0.

• Funçõesexponencialelogarítmica:y = ax e y = loga x, com a > 0 e a ≠ 1.

• Funçõestrigonométricas:y = sen x, y = cos x, y = tg x.

Leitura e análise de texto

Uma grandeza é algo que pode ser medido; seu valor é o resultado dessa medida e pode ser constante ou variável em uma dada situação concreta. Chamaremos uma grandeza variável (ou constante) apenas de variável (ou constante). Quando uma variável y depende de outra variável x, de tal forma que a cada valor que atribuímos livremente a x correspon - de um único valor para y, dizemos que y é uma função de x e escrevemos y = f(x). Dizemos que x é a variável independente e que y é a variável dependente. Naturalmente, qualquer letra pode representar as variáveis dependente e independente. Quando escrevemos w = f(z), por exemplo, queremos dizer que a variável dependente w é uma função da variável independente z.

Uma grandeza pode depender dos valores atribuídos a duas outras; a área A de um retângulo, por exemplo, depende dos comprimentos de seus dois lados, x e y. Dizemos, nesse caso, que A é uma função das duas variáveis independentes x e y. No Ensino Fun-damental, somente estudamos funções de uma variável, mas podemos facilmente imagi-nar situações práticas em que uma grandeza depende simultaneamente de várias outras, sendo uma função de diversas variáveis.

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Matemática – 3a série – Volume 2

6

VOCÊ APRENDEU?

1. Com base na pesquisa realizada anteriormente, foi possível relacionar determinado tipo de função com seu respectivo gráfico. A seguir, temos uma tabela que traz, na coluna da esquerda, alguns desses tipos de funções e, na coluna da direita, a representação de alguns gráficos. Rela-cione cada função à sua respectiva imagem gráfica:

I. O comprimento C de uma circunferência é uma função de seu raio x: C = 2πx.

( )

II. A área A de um quadrado é uma função de seu lado x: A = x2.

( )

III. A massa m de uma substância radioativa diminui com o tempo, ou seja, é uma fun-ção do tempo de decomposição t: m = f(t). Para certa substância, tem-se m = mo⋅ 2

– 0,1t, onde mo é a massa inicial e t, o tempo de decomposição em horas.

( )

IV. Uma pequena bola é presa a uma mola perfeitamente elástica. Afastada da posição O de equilíbrio, a uma distância a, a bola osci-la em torno da mola, deslocando-se em uma superfície horizontal e lisa. A distância x da bola até o ponto O depende do instante t con-siderado, ou seja, é uma função de t: x = f(t). No caso, temos x = a ⋅ cos (kt), onde k é uma constante que depende da elasticidade da mola e da massa da bola.

( )C

2p

1x

t

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Matemática – 3a série – Volume 2

7

V. Mantendo-se a temperatura constante, a pressão P de um gás no interior de um reci-

piente de volume variável V é uma função de V: P = f(V). No caso, temos P = k __ V , em que k é uma constante.

( ) x

t

a

–a

O

2. Na figura seguinte está representada uma viga reta AB, que sustenta um arco AB de parábola, construído em ferro e apoiado em hastes verticais. A largura L do vão é de 40 m e a flecha f do arco de parábola tem 5 m. Sabendo que as hastes verticais são igualmente espaçadas no vão, calcule seus comprimentos y1, y2 e y3.

A B

y

xx1

y1

0L

f

x2

y2

x3

y3

3. Entre todos os retângulos com perímetro de 24 m, como os exemplificados a seguir, qual tem a maior área? Registre sua resposta no espaço a seguir.

6 m

6 m

1 m

11 m

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8

4. A população N de determinado município cresce exponencialmente desde a sua fundação, há 20 anos, de acordo com a expressão N = 3 000 ⋅ 100,1t, sendo t em anos.

a) Esboce o gráfico de N como função de t. (Sugestão: atribua para t valores múltiplos de 10.)

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Matemática – 3a série – Volume 2

9

b) Calcule o valor da população N, 15 anos após a fundação do município.

c) Depois de quanto tempo, após a fundação, o valor de N atingiu 216 000 habitantes?

5. Certa substância radioativa se decompõe de tal forma que sua massa m reduz-se à metade do valor inicial a cada 4 horas, ou seja, m = mo⋅ 2

–0,25t, sendo mo o valor inicial da massa (t em horas). Partindo de 60 g da substância, pede-se:

a) o gráfico de m como função de t;

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Matemática – 3a série – Volume 2

10

b) a massa m restante após 8 horas;

c) a expressão de t como uma função de m;

d) após quanto tempo a massa restante será igual a 12 g?

6. Uma pequena bola é presa a uma mola perfeitamente elástica, apoiada em uma superfí-cie horizontal lisa, conforme mostra a figura. Com a mola em seu comprimento normal, a bolinha fica em equilíbrio, parada. Afastando-se a bolinha 10 cm da posição de equilíbrio, a mola fica esticada; abandonando-se, então, a bolinha, ela passa a oscilar em torno da posição inicial, reali zando um movimento de vai e vem. É possível mostrar que o afastamento x da bolinha em relação à posição de equilíbrio é uma função periódica do tempo t e pode ser expressa pela fórmula x = 10 ⋅ cos (kt), com x em centímetros e t em segundos.

posição inicial

x = a ⋅ cos (kt)onde a é a amplitude

x

a

O

Considerando que a bolinha retorna à posição em que foi abandonada (x = 10) a cada 4 segundos:

a) determine o valor de k;

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Matemática – 3a série – Volume 2

11

b) calcule o valor de x para t = 1 s, t = 2 s, t = 3 s e t = 10 ___ 3 s;

c) construa o gráfico de x como função de t.

Leitura e análise de texto

Para esboçar o gráfico de funções polinomiais como f(x) = (x – 1) ⋅ (x – 2) ⋅ (x – 5) é importante considerar os seguintes passos:

Calcular as raízes da função, isto é, pontos que cruzam o eixo x.

Podemos perceber que o gráfico corta o eixo x nos pontos (1; 0), (2; 0) e (5; 0), ou seja, x = 1, x = 2 e x = 5 são raízes da equação polinomial de grau 3, correspondente à igual - dade f(x) = 0. Isso é suficiente para um esboço do gráfico de f(x), pelas seguintes razões:

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Matemática – 3a série – Volume 2

12

• acurvaquerepresentaográficodeumafunçãopolinomialécontínuaesuave,as-sumindo todos os valores intermediários entre dois valores dados;

• onúmeroderaízesreaisdeumaequaçãopolinomial(algébrica)degrau3é,nomáximo, 3;

• emconsequência,ográficonãocortaráoeixox em outro ponto, além dos 3 já identificados;

• opontodográficoquecruzaoeixoy é o valor de f(0), isto é:

f(0) = (–1) ⋅ (–2) ⋅ (–5) = –10, ou seja, é o ponto (0; –10).

Reunindo as informações anteriores, temos o esboço do gráfico:

f(x) = (x – 1) ⋅ (x – 2) ⋅ (x – 5)

0

– 10

y

1 2 5x

Construindo o gráfico por meio de um software, obtemos:

–14

2

–10

6

–6

10

–2

14 y

–1 1 2 3 54 6 7x

–16

0

–12

4

–8

8

–4

12

É interessante notar que, na função polinomial f(x) = ax3 + bx2 + cx + d, quando x assume valores muito altos, os valores de f(x) acompanham de perto os valores absolutos de ax3. Esses valores serão muito altos se a > 0; ou muito baixos, se a < 0. No exemplo, como a = 1, temos valores de f(x) muito altos para valores muito grandes de x e valores de f(x) muito baixos para valores muito pequenos de x.

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LIÇÃO DE CASA

7. Esboce o gráfico da seguinte função polinomial:

f(x) = x ⋅ (x + 1) ⋅ (x – 2) ⋅ (x – 3)

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8. Esboce o gráfico da função polinomial f(x) = x · (x + 1) · (x – 2) · (3x – 7).

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Matemática – 3a série – Volume 2

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SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 2 CONSTRUÇÃO DE GRÁFICOS: UM OLHAR “FUNCIONAL”

Leitura e análise de texto

Geralmente, traçamos gráficos de funções apoiados na construção de tabelas. Con-tudo, muitos gráficos podem ser obtidos sem tomar por base as conclusões que resultam de uma representação de pontos isolados. Nesse trabalho, é importante “ler” e interpretar as indicações de quais operações devemos realizar com a variável independente x para obter valores referentes à variável dependente y.

Para ilustrar o que pretendemos dizer, vamos explorar a construção de alguns gráficos. A função f(x) = x2 – 7 indica, por exemplo, que, para encontrar os valores de y = f(x),

devemos elevar a variável independente x ao quadrado e diminuir 7 unidades do resultado obtido. Desse modo, para representar os pontos (x; y) em que y = x2 – 7, podemos imagi-nar que o gráfico de y = x2 foi deslocado 7 unidades para baixo na direção do eixo y. Dessa forma, o gráfico de f(x) = x2 – 7 pode ser construído a partir da elaboração de um gráfico mais simples: f(x) = x2.

0

5

10

−5−2−4−6 642

y

x

f(x) = x2 – 7

y = x2

No caso da função de f(x) = 2 + sen x, os valores de y serão determinados depois que encon trarmos o valor do seno da variável independente x e a esse valor adicionarmos 2 unidades. Nesse caso, podemos imaginar que o gráfico mais simples da função de y = sen x será deslocado 2 unidades para cima na direção do eixo y.

0

y

−5−10−155 10 15

2

4

−2

−4

y = sen x

f(x) = 2 + sen x

x

−7

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Matemática – 3a série – Volume 2

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VOCÊ APRENDEU?

1. Utilizando o mesmo sistema de coordenadas, esboce os gráficos das seguintes funções:

a) f(x) = x2 + 9 c) h(x) = 9 – x2

b) g(x) = x2 – 9 d) m(x) = –9 – x2

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2. Agora, esboce os gráficos das funções indicadas a seguir no mesmo sistema de coordenadas:

a) f(x) = cos x c) h(x) = –3 + cos x

b) g(x) = 5 + cos x d) m(x)= 5cos x

3. Para o gráfico de f(x) = (x – 3)2, podemos imaginar o gráfico de y = x2 deslocado 3 unidades para a direita na direção do eixo x. O gráfico de y = (x – 3)2 é como se fosse o de y = m2, sendo m = x – 3. O vértice da parábola desloca-se do ponto em que x = 0 para o ponto em que x = 3. A seguir, construa o gráfico dessa função.

2

1

4

3

6

5

7

0x

y

−3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7

8

9

8 9

4. O gráfico de f(x) = 3(x + 2) pode ser construído a partir do gráfico de y = 3x, deslocado para a esquerda na direção do eixo x. O gráfico de y = 3(x + 2) é como se fosse o de y = 3m, sendo m = x + 2. É como se o eixo y se deslocasse horizontalmente de tal forma que o antigo ponto em que x = 0 coincidisse com o novo ponto em que x = –2 (ou seja, m = 0). Faça um esboço dessa situação no sistema de eixos a seguir.

6

–2

4

–4

2

p

y

x0

–6

p

23p

25p

27p

29p

22p 3p 4p 5p–p –p

2

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19

0

10

20

15

25

y

x

5

–0,5 0,5 2,51,5 3,5 4,51 32 4–2 –1–2,5–4 –1,5–3,5 –3–4,5

5. Para obter o gráfico de y = 4 + log2 (x – 5), podemos imaginar o gráfico de y = log2 x deslo-cado 5 unidades para a direita, como se estivéssemos construindo o gráfico de y = log2 m, sendo m = x – 5. Faça o esboço da situação descrita para obter o gráfico de y = 4 + log2 (x – 5).

8

6

–2

4

–4

2

0 1 32 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14–1–2

y

x

6. Vamos agora pensar no gráfico de f(x) = 1 _____ x2 + 1

. Para construir o gráfico de f(x), podemos começar com o de y = x2. Depois, fazemos o de y = x2 + 1, deslocando uma unidade para cima o gráfico de y = x2, na direção do eixo y. A partir daí, para obter o gráfico de f(x), repre sentamos os pontos (x ; y) tais que o valor de y seja o inverso de x2 + 1, para cada valor de x.

Page 16: 3° em   3° bimestre

Matemática – 3a série – Volume 2

20

É importante notar que:

• no ponto onde x = 0, x2 + 1 vale 1 e o inverso de x2 + 1 também é igual a 1;

• em todos os outros pontos, x2 + 1 é positivo e maior que 1; logo, seu inverso é positivo e menor que 1;

• assim, o gráfico de f(x) = 1 _____ x2 + 1

situa-se sempre acima do eixo x, aproximando-se mais e

mais dele à medida que o valor de x aumenta, pois quanto maior for o valor de x2 + 1, menor será o valor de seu inverso.

Resumindo, na construção do gráfico de f(x) = 1 _____ x2 + 1

, podemos observar os seguintes passos:

• construir o gráfico de y = x2;

• construir o gráfico de y = x2 + 1;

• construir o gráfico de f(x) = 1 _____ x2 + 1

.

Faça o esboço da situação descrita para traçar o gráfico de f(x) = 1 _____ x2 + 1

.

7

6

5

4

3

2

1

0 1 2 3 4 5–1–2–3–4–5

y

x

Page 17: 3° em   3° bimestre

Matemática – 3a série – Volume 2

21

8. Para o gráfico de f(x) = 1 __ x , podemos fazer o gráfico de y = x e representar, para cada valor de x,

a ordenada y, que é o inverso de x.

É importante notar que:

• quandox= 0, não existe o inverso de x, ou seja, a função f(x) não está definida;

7. Para o gráfico de f(x) = , podemos fazer o gráfico de y = x2, depois o de y = x2 – 1 e em

seguida representar os pontos com abscissa x e ordenada o inverso de x2 – 1.

É importante notar que:

• quando x2 – 1 = 0, ou seja, quando temos x = 1 ou x = –1, então a função f(x) não está definida;

• quando x assume valores próximos de 1 ou de –1, os valores absolutos dos inversos tor- nam-se muito grandes. Se x se aproxima de 1 por valores maiores do que 1, os inversos tornam-se muito grandes (positivos); por outro lado, se x se aproxima de 1 por valores menores do que 1, os inversos tornam-se muito grandes em valor absoluto, mas negativos. Algo similar ocorre quando x se aproxima de –1.

Faça o esboço da situação descrita para traçar o gráfico de f(x) =

1x2 – 1

1x2 – 1.

6

543

2

1

0 1 2 3 4 5 6–1–2–3–4–5–6

y

x

–1

–2–3–4

–5–6

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Matemática – 3a série – Volume 2

22

• quantomaispróximode0éovalordex, maior é o valor absoluto do inverso de x, sendo que os valores de x positivos têm inversos positivos e os valores de x negativos têm inversos negativos;

• quantomaioréovalorabsolutodex, tanto positivo quanto negativo, mais próximo de 0 é o inverso de x, sendo o sinal de x sempre igual ao sinal de seu inverso.

Faça o esboço da situação descrita para obter o gráfico de f(x) = 1 __ x .

0

1

2

– 1

– 2

– 3

– 4

– 5

3

4

5y

x–0,5 0,5 2,51,5 3,5 4,51 32 4–2 –1–2,5– 4 –1,5– 3,5 –3– 4,5

LIÇÃO DE CASA

9. O gráfico de f(x) = 3 sen x é análogo ao de y = sen x, com a amplitude aumentando de 1 para 3 unidades, ou seja, os valores de f(x) oscilarão entre +3 e –3. Faça o esboço des se gráfico no plano a seguir.

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23

10

20

30

40

50

60

–60

–50

–40

–30

–20

–10p2

p 3p2

5p2

7p2

9p2

11p2

13p2

15p2

2p 3p 4p 5p 6p 7p–p2

–3p2

–5p2

–7p2

–9p2

–p–2–3–4

3

–1

2

–2

1

y

x0

–3

p

23p

2p 2p–p –p

2

4

–3p

2

10. Para construir o gráfico de f(x) = 3x · sen x, basta imaginar o gráfico de y = A · sen x, sendo que o valor de A varia de acordo com x segundo a reta y = 3x. Assim, o gráfico oscilará entre as retas y = 3x e y = –3x. Faça o esboço desse gráfico no plano a seguir.

11. Esboce, no mesmo sistema de coordenadas, os gráficos das funções indicadas a seguir:

a) f(x) = 3x

b) g(x) = 3x – 1

Page 20: 3° em   3° bimestre

Matemática – 3a série – Volume 2

24

c) h(x) = 3x + 1

d) m(x) = 3–x

e) n(x) = 3–x + 1

10

20

15

y

x

5

–7 –6 –5 – 4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 10 119

12. Esboce, no mesmo sistema de coordenadas, os gráficos das funções indicadas:

a) f(x) = –x2

b) g(x)= 3 – x2

c) h(x) = 13 – x2

4

8

6

y

x2

–6 –5 – 4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6

–6

–2

–4

–8

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Matemática – 3a série – Volume 2

25

13. Esboce, no mesmo sistema de coordenadas, os gráficos das funções indicadas:

a) f(x) = 3x2

b) g(x) = – 3x2

c) h(x) = sen x

d) m(x) = 3x2 ⋅ sen x

10121416182022242628

y

x2468

–7 –6 –5 – 4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7

–22–20–18–16–14–12–10

–8–6–4–2

–28–26–24

MAT-SPFE-2014_3S_CAA_VOL2A.indd 25 08/07/14 12:14

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SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 3 AS TRÊS FORMAS BÁSICAS DE CRESCIMENTO OU DECRESCIMENTO: A VARIAÇÃO E A VARIAÇÃO DA VARIAÇÃO

As funções de 1o grau, expressas na forma f(x) = ax + b, são crescentes (a > 0) ou são decrescentes (a < 0), sendo que o coeficiente a representa a variação em f(x), quando x aumenta em 1 unidade a partir de qualquer valor inicial. O valor de a é chamado taxa de variação unitária de f(x), ou somente taxa de variação de f(x). Naturalmente, se a = 0, ou seja, se a taxa de variação é zero, então a função f(x) é constante: f(x) = b.

Leitura e análise de texto

taxa de variação = a = variação de f(x) por unidade a mais de x

a = f(x + 1) = f(x) = constante

(a > 0, função crescente)

f(x) = ax + b

(a < 0, função decrescente)

1a

1a

y

a = 0 (função constante)b

x

De modo geral, dizemos que uma função f(x) é crescente nos intervalos em que ocorre o seguinte: se os valores de x crescem, então os correspondentes valores de f(x) também crescem. Dizemos que f(x) é decrescente nos intervalos em que ocorre o seguinte: se os valores de x crescem, então os correspondentes valores de f(x) decrescem. O significado do crescimento ou do decrescimento no gráfico de f(x) é bastante expressivo:

x1 x2

x aumenta

x

y

y2

y1

y aumenta

f(x) crescentey

xx1 x2

x aumenta

f(x) decrescentey1

y2

y diminui

x1 x2

x aumenta

x

y

y2

y1

y aumenta

f(x) crescentey

xx1 x2

x aumenta

f(x) decrescentey1

y2

y diminui

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Matemática – 3a série – Volume 2

27

Consideremos uma função que não é de 1o grau, ou seja, cujo gráfico não é uma reta. Ao observá-lo, constatamos que a taxa de variação unitária de f(x), ou seja, a variação de f(x) por unidade a mais de x, não é mais constante, isto é, a diferença f(x + 1) – f(x) passa a depender do valor de x a partir do qual ela é calculada.

Por exemplo:

• sef(x)= 5x + 7, então f(x + 1) – f(x) = 5(x + 1) + 7 – (5x + 7) = 5, ou seja, a taxa de variação unitária de f(x) = 5x + 7 é constante e igual a 5; exatamente o valor de a na função a = 5;

• noentanto,sef(x)= 5x2 + 7, então f(x + 1) – f(x) = 5(x + 1)2 + 7 – (5x2 + 7) = 10x + 5, ou seja, a taxa de variação unitária de f(x) = 5x2 + 7 é igual a 10x + 5; portanto, a taxa varia com o valor de x para o ponto considerado.

No que segue, chamaremos de taxa de variação unitária de uma função, para cada valor de x, o valor da diferença f(x+1) – f(x).

Quando uma função f(x) cresce a taxas crescentes, seu gráfico fica encurvado para cima; quando ela cresce a taxas decrescentes, seu gráfico fica encurvado para baixo.

Basicamente, em cada intervalo considerado, estas são as três formas de crescimento:

• crescer linearmente, com taxa de variação constante;

• crescer cada vez mais rapidamente, ou seja, com taxas de variação crescentes, o que faz com que o gráfico resulte encurvado para cima;

f(x) cresce a taxas decrescentesa > a’ > a’’

f(x) = ax + b cresce a uma taxa constante

f(x) cresce a taxas crescentesa < a’ < a’’

B

A

C

y

x

1

1

1

a

a’

a’’

a

a’1

1

1

1

1

a

a

a

a’’1

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Matemática – 3a série – Volume 2

28

Nas atividades a seguir, sempre que fizermos menção a decrescimentos, as taxas serão consideradas em valor absoluto, isto é, em módulo.

Observação!

Quando uma função decresce a taxas decrescentes, seu gráfico fica encurvado para cima; quando ela decresce a taxas crescentes, seu gráfico fica encurvado para baixo.

B

C

1

1

1

1

1

1

1

1

a

1 a

a a

a

a’

a’

a’’

a’’

x

y

A

f(x) decresce a taxas decrescentes

(em valor absoluto)

f(x) decresce a uma taxa constantef(x) decresce a taxas

crescentes (em valor absoluto)

• crescer cada vez mais lentamente, o que faz com que o gráfico resulte encurvado para baixo.

De forma análoga, em dado intervalo, uma função pode decrescer de três modos distintos:

• decrescer linearmente, com taxa de variação constante;

• decrescer cada vez mais rapidamente, ou seja, com taxas de variação crescentes em valor absoluto (as taxas são negativas);

• decrescer cada vez mais lentamente, ou seja, com taxas de variação decrescentes em valor absoluto (as taxas são negativas).

O gráfico a seguir ilustra as três formas de decrescimento:

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Matemática – 3a série – Volume 2

29

A forma-padrão de crescimento ou decrescimento: f(x) = ax + b

Os gráficos a seguir representam o preço médio P dos alimentos da mesma cesta básica, em diferentes países, em função do tempo t, ao longo de determinado ano.

Desafio!

t

t

t

t

P

P

P

P

P

P

P

P

t

t t

país A

país B

país E

país F

país G

país H

t

país C

país D

t

t

t

t

P

P

P

P

P

P

P

P

t

t t

país A

país B

país E

país F

país G

país H

t

país C

país D

t

t

t

t

P

P

P

P

P

P

P

P

t

t t

país A

país B

país E

país F

país G

país H

t

país C

país D

t

t

t

t

P

P

P

P

P

P

P

P

t

t t

país A

país B

país E

país F

país G

país H

t

país C

país D

Page 26: 3° em   3° bimestre

Matemática – 3a série – Volume 2

30

t

t

t

t

P

P

P

P

P

P

P

P

t

t t

país A

país B

país E

país F

país G

país H

t

país C

país D

t

t

t

t

P

P

P

P

P

P

P

P

t

t t

país A

país B

país E

país F

país G

país H

t

país C

país D

t

t

t

t

P

P

P

P

P

P

P

P

t

t t

país A

país B

país E

país F

país G

país H

t

país C

país D

t

t

t

t

P

P

P

P

P

P

P

P

t

t t

país A

país B

país E

país F

país G

país H

t

país C

país D

país J

P

t

P

t

país I

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Matemática – 3a série – Volume 2

31

Pergunta-se:

a) Em que país os preços estiveram estabilizados ao longo do ano?

b) Em que país os preços aumentaram a uma taxa constante?

c) Em que país os preços aumentaram a taxas crescentes?

d) Em que país os preços diminuíram a uma taxa constante?

e) Em que país os preços aumentaram a taxas decrescentes?

f ) Em que país os preços diminuíram a taxas decrescentes?

g) Em que país os preços inicialmente aumentaram a uma taxa constante e, posterior-mente, a taxas decrescentes?

h) Em que país os preços diminuíram a taxas crescentes?

i) Em que país os preços inicialmente aumentaram a taxas crescentes e depois a taxas decrescentes?

j) Em que país os preços inicialmente diminuíram a taxas crescentes, e depois a aumentaram taxas decrescentes?

Page 28: 3° em   3° bimestre

Matemática – 3a série – Volume 2

32

VOCÊ APRENDEU?

1. No gráfico a seguir, identifique os intervalos nos quais:

x1 x9x5x3 x11x7

y

x

x2 x10x6x4 x12x8

a) a função f(x) é positiva;

b) a função f(x) é negativa;

c) a função f(x) é constante;

d) a função f(x) é crescente;

e) a função f(x) é decrescente;

Page 29: 3° em   3° bimestre

Matemática – 3a série – Volume 2

33

f ) a função f(x) cresce a taxa constante;

g) a função f(x) decresce a taxa constante;

h) a função f(x) cresce a taxas crescentes;

i) a função f(x) cresce a taxas decrescentes;

j) a função f(x) decresce a taxas crescentes;

k) a função f(x) decresce a taxas decrescentes.

2. Quando uma pedra é lançada verticalmente para cima com uma velocidade inicial de 40 m/s, a partir de uma altura inicial de 45 m, ela sobe com velocidade cada vez menor, até atingir uma altura máxima em relação ao solo, quando momentaneamente para. A partir daí, ela desce cada vez mais rapidamente até voltar ao solo. Sabemos que, por causa da for-ça da gravidade (peso), que age sobre a pedra, sua velocidade diminui a uma taxa constante de aproximadamente 10 m/s a cada segundo, no movimento de subida. Podemos descrever o movimento da pedra por meio de uma função de 1o grau, que representa sua velocidade,

Page 30: 3° em   3° bimestre

Matemática – 3a série – Volume 2

34

e de uma função de 2o grau, que representa sua altura em relação ao solo. Nesse caso, as funções que repre-sentam a velocidade e a altura são as seguintes:

v = 40 – 10t

(a partir do valor inicial 40 m/s, a velocidade di-minui 10 m/s a cada segundo, ou seja, a taxa de variação da velocidade é de –10 m/s por s, que se escreve –10 m/s2)

h = 45 + 40t – 5t2

(a partir do valor inicial 45 m, a altura aumenta até um valor má ximo, diminuindo posteriormente até atingir o valor zero).

Pede-se:

a) construa o gráfico de v em função de t;

b) construa o gráfico de h em função de t;

c) determine o valor máximo de h(t);

d) determine o valor de t quando a pedra voltar a passar pela posição inicial;

e) calcule depois de quanto tempo a pedra atinge o solo;

f ) observando os gráficos de h(t) e v(t), assinale V (Verdadeiro) ou F (Falso) nas frases seguintes:

( ) “A velocidade decresce a uma taxa constante.”

( ) “A altura h cresce cada vez mais lentamente até atingir o valor máximo; depois decresce cada vez mais rapidamente.”

( ) “A altura cresce a taxas decrescentes até o valor máximo; depois decresce a taxas crescentes.”

0

v = 40 m/s

2

3

t = 0

45 m

h máx

v =0

1

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Matemática – 3a série – Volume 2

35

Page 32: 3° em   3° bimestre

Matemática – 3a série – Volume 2

36

LIÇÃO DE CASA

3. Considere o gráfico da função de 2o grau f(x) = (x – 5) ⋅ (x + 1) indicado a seguir.

y

0 1 2 3 4 6 7

f(x) = (x + 1) ⋅ (x – 5)

−1−2−3

−8

1

−3

−7

−11

2

−2

–6

−10

3

−1

−9

−5−4

x

5

a) Identifique os intervalos em que f(x) > 0 e os intervalos em que f(x) < 0.

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Matemática – 3a série – Volume 2

37

b) Identifique os intervalos em que f(x) é crescente e os intervalos em que é decrescente.

c) Qualifique o crescimento e o decrescimento de f(x), informando se eles ocorrem a taxas crescentes ou a taxas decrescentes.

4. Construa o gráfico das funções a seguir:

a) f(x) = 3x

b) g(x) = 3‒x

c) h(x) = log3 x

d) m(x) = log 1 __ 3 x

Identifique, em cada caso, se a função é crescente ou decrescente, bem como se o crescimento ocorre a taxas crescentes ou a taxas decrescentes.

0

2

–2

–4

4

6

8

y

x0,5 2,51,5 3,5 4,51 32 4–1–1,5–3 –0,5–2,5 –2–3,5

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Matemática – 3a série – Volume 2

38

VOCÊ APRENDEU?

5. No mesmo sistema de coordenadas, construa o gráfico das funções f(x) = sen x e g(x) = cos x entre x = 0 e x = 2π.

0

1

0,5

–0,5

–1

–1,5

1,5

2

y

x

p 2pp

23p

2

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Matemática – 3a série – Volume 2

39

a) No intervalo considerado, identifique os trechos em que f(x) e g(x) são crescentes e os trechos em que são decrescentes.

b) Compare os gráficos de f(x) e de g(x), observando que os valores máximos de uma das fun-ções ocorrem nos pontos em que a outra se anula e vice-versa.

c) Compare os gráficos de f(x) e de g(x), verificando que a concavidade de f(x) muda (de gráfico encurvado para baixo para gráfico encurvado para cima ou vice-versa) nos pontos em que g(x) assume valores extremos (máximo ou mínimo) e vice-versa em relação a g(x).

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Matemática – 3a série – Volume 2

40

SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 4OS FENÔMENOS NATURAIS E O CRESCIMENTO OU DECRESCIMENTO EXPONENCIAL: O NÚMERO ℮

Leitura e análise de texto

As funções são instrumentos fundamentais para a representação das relações de inter-dependência entre grandezas, conforme estamos vendo neste volume. As funções de 1o grau f(x) = ax + b, por exemplo, prestam-se muito bem para representar relações que envolvem proporcionalidade. Já na representação de fenômenos periódicos, utilizamos funções trigonométricas como f(x) = sen x ou f(x) = cos x e, para expressar crescimento ou decrescimento exponenciais, entram em cena as funções na forma f(x) = ax.

A função exponencial – uma propriedade característica

Já conhecemos a função f(x) = ax, com a > 0 e a ≠ 1. Vamos agora destacar uma pro-priedade característica dessa função que pode ter passado despercebida.

Consideremos a função f(x) = 2x e seu gráfico. Calculemos f(x) para os valores inteiros de x, começando com x = 0.

f(x) = 2x

0 1 3 5−2 2

2

6

10

14

18

22

26

30

4

88

12

16

1620

24

28

32

4 6−1

y

x2

4

1

x 2x f(x + 1) – f(x)0 1 11 2 22 4 43 8 84 16 165 32 326 64 647 128 ...

Notamos que quando x aumenta em 1 unidade, a partir de x = 0, a variação em f(x) é igual, sucessivamente, a 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, ..., ou seja, a taxa de variação unitária, que é igual a f(x + 1) – f(x), é igual ao valor de f(x):

f(1) – f(0) = f(0) f(3) – f(2) = f(2) f(5) – f(4) = f(4) f(2) – f(1) = f(1) f(4) – f(3) = f(3) e assim por diante.

A taxa de variação unitária de f(x) = 2x é, portanto, igual a f(x).

Chamaremos essa taxa de f1(x). Calculando f1(x) para um valor qualquer de x, temos, de fato: f1(x) = f(x + 1) – f(x) = 2x + 1 – 2x = 2x ⋅ (2 – 1) = 2x.

Page 37: 3° em   3° bimestre

Matemática – 3a série – Volume 2

41

VOCÊ APRENDEU?

1. Analogamente ao que foi feito antes para f(x) = 2x, calcule a taxa de variação unitária para f(x) = 3x. Para isso, inicialmente complete a tabela a seguir:

0−1 1 2 3

54

18

6

4 5

24

6

30

48

66

12

36

54

72

18

42

60

78

3

27

9

33

51

69

15

39

57

75

21

45

63

81 y

x

x 3x f(x + 1) – f(x)0 1 212345

De modo geral, calculando a taxa unitária f1(x) para a função f(x) = ax, obtemos:

f1(x) = f(x + 1) – f(x) = ax + 1 – ax = ax ⋅ (a – 1); ou seja, o valor de f1(x) é diretamente proporcional ao valor de f(x).

Quadro-resumo

Page 38: 3° em   3° bimestre

Matemática – 3a série – Volume 2

42

2. Uma população P de bactérias aumenta com uma rapidez que é diretamente proporcional ao seu valor em cada instante, ou seja, quanto maior é o valor de P, mais rapidamente a população aumenta. Partindo de um valor P0 = 1 000, observa-se que a população dobra a cada hora, ou seja, o valor de P pode ser expresso pela função:

P = f(t) = 1 000 ⋅ 2t (t em horas)

a) Calcule a taxa de variação unitária nos instantes t = 1 h e t = 2 h.

b) Mostre que o aumento no valor de P entre os instantes t = 6 h e t = 7 h é igual ao valor da população para t = 6 h.

LIÇÃO DE CASA

3. A população N de cães de certa região cresce exponencialmente de acordo com a expressão N = f(t) = 600 ⋅ 10t, sendo t em décadas.

a) Calcule a taxa de variação unitária para t = 2 décadas.

b) Mostre que o aumento no valor de P entre os instantes t = 7 e t = 8 é igual a 9 vezes o valor da população para t = 7.

Page 39: 3° em   3° bimestre

Matemática – 3a série – Volume 2

43

Leitura e análise de texto

Fenômenos naturais e crescimento exponencial – o nascimento do número ℮ (℮ ≅ 2,71828)

Quando se estuda o crescimento de uma população, seja de seres humanos, seja de animais, consideram-se as taxas porcentuais de crescimento ou decrescimento. Quando se diz, por exemplo, que certa população N cresce a uma taxa de 20% ao ano, isso significa que, considerando N uma função do tempo t em anos, a taxa de variação unitária, ou seja, o aumento de N por unidade a mais de t é igual a 0,20N. Quer dizer, então, que o aumento de N por ano é diretamente proporcional ao valor de N; ou seja, N deve ser uma função exponencial do tempo t em anos.

Para descobrir qual é a base dessa função exponencial, vamos examinar o significado do crescimento populacional em situações concretas. O que significaria, então, dizer que o valor de N aumenta 20% em um ano? Certamente não seria o caso de imaginar que a população ficaria constante ao longo do ano, aumentando em 20% tão logo se inicie o ano seguinte. Na verdade, uma pressuposição mais razoável, mais natural em todos os sentidos, é a de que o crescimento anunciado distribui-se uniformemente ao longo do ano. É justamente quando se tenta descrever matematicamente tal distribuição que surge o número ℮ de que falamos inicialmente. Vamos acompanhar o raciocínio a seguir para compreender como surge tal número na descrição de processos naturais de crescimento (ou decrescimento).

Certa população N é uma função do tempo: N = f(t), t em anos. Os dados disponíveis informam que N cresce a uma taxa de 100% ao ano, ou seja, dobra a cada ano. Como podemos expressar o valor de N em função de t?

Uma primeira hipótese, bem pouco natural (na verdade, absurda), é de que N ficaria constante ao longo de cada ano, dobrando de valor ao final, na passagem para o ano se-guinte. O gráfico de N em função de t seria o seguinte:

4No

N

0 1 2 3

t

2No

No

Uma hipótese mais razoável seria a de que o crescimento de 100% ao ano distribui-se ao longo do ano. Vamos considerar, inicialmente, que tal distribuição ocorra do modo

Page 40: 3° em   3° bimestre

Matemática – 3a série – Volume 2

44

mais simples: 50% em cada semestre. Nesse caso, após o primeiro semestre, a população

seria No + 50% de No, ou seja, a população inicial seria multiplicada pelo fator ª 1 + 1 __ 2 º ,

tornando-se No ª 1 + 1 __ 2 º . Após o segundo semestre, novamente a população inicial

seria multiplicada por ª 1 + 1 __ 2 º , tornando-se No ª 1 + 1 __ 2 º 2. No período seguinte, a população

seria No ª 1 + 1 __ 2 º 3, e assim por diante. O gráfico da população N em função do tempo seria

o representado a seguir:

No ª 1 + 1 __ 2 º 5

N

t

3 210

No

No ª 1 + 1 __ 2 º 4

No ª 1 + 1 __ 2 º 3

No ª 1 + 1 __ 2 º 2

No ª 1 + 1 __ 2 º

1 __ 2 3 __ 2 5 __ 2

Para se aproximar ainda mais de uma situação concreta envolvendo crescimento, seria ainda mais razoável supor que os 100% de crescimento se distribuam ao longo do ano, sendo 25% a cada trimestre. Nesse caso, ao final do primeiro trimestre, a população

seria No + 25% de No, ou seja, No ª 1 + 1 __ 4 º . Ao final do segundo trimestre, o valor inicial

do trimestre terá sido multiplicado novamente por ª 1 + 1 __ 4 º , tornando-se No ª 1 + 1 __

4 º

2;

após o terceiro trimestre, a população seria No ª 1 + 1 __ 4 º

3, e assim por diante. O gráfico da

população N em função do tempo seria o representado a seguir:

Page 41: 3° em   3° bimestre

Matemática – 3a série – Volume 2

45

N

No ª 1 + 1 __ 4 º 8

No ª 1 + 1 __ 4 º

4

No ª 1 + 1 __ 4 º

7

No ª 1 + 1 __ 4 º

3

No ª 1 + 1 __ 4 º

6

No ª 1 + 1 __ 4 º

2

No ª 1 + 1 __ 4 º

5

No ª 1 + 1 __ 4 º

1 2 30

No

1 __ 4 5 __

4 9 __

4 2 __

4 6 __

4 10 __

4 3 __

4 7 __

4 11 __

4

Se imaginarmos o crescimento de 100% ao ano distribuído mês a mês, sendo o cresci-

mento mensal igual a 1 ___ 12 de 100%, então teríamos o valor da população:

• ao final do primeiro mês igual a No ª 1 + 1 ___ 12 º ;

• ao final do segundo mês igual a No ª 1 + 1 ___ 12 º 2;

• ao final do terceiro mês igual a No ª 1 + 1 ___ 12 º 3;

• e assim por diante, de modo que, ao final do primeiro ano, teríamos N = No ª 1 + 1 ___ 12 º 12

.

Se o ano fosse dividido em 100 partes iguais, sendo o crescimento de 100% ao ano

distribuído ao longo delas, sendo de 1% em cada uma, a população, ao final do ano, seria

igual a: N = No ª 1 + 1 ____ 100 º 100

.

Como se pode observar nos gráficos, se uma população cresce a uma taxa de 100% ao ano, o valor da população ao final do primeiro ano é igual a:

t

N

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Matemática – 3a série – Volume 2

46

• 2No, quando se considera que seu valor permaneceu constante ao longo do ano, dobrando ao final;

• No ª 1 + 1 __ 2 º 2, ou seja, 2,25No, quando se considera o crescimento uniformemente

distribuído, sendo 50% em cada semestre;

• No ª 1 + 1 __ 4 º 4, ou seja, aproximadamente 2,44No, quando o crescimento é distribuí-

do ao longo dos trimestres, sendo 25% ao trimestre;

• No ª 1 + 1 ___ 12 º 12

, ou seja, aproximadamente 2,61No, quando ele é uniformemente

distribuído mês a mês, e assim por diante. Se imaginarmos o crescimento de 100% ao ano distribuído uniformemente ao longo

do ano, subdividido em n partes, o valor de N ao final do ano será N = No ª 1 + 1 __ n º n.

No cálculo anterior, chama a atenção o número ª 1 + 1 __ n º n para valores grandes de n.

Recorrendo a uma calculadora, podemos verificar que, quanto mais aumenta o valor

de n, mais os valores da expressão ª 1 + 1 __ n º n se aproximam de um determinado número:

• para n = 100, temos: ª 1 + 1 ____ 100 º 100

= 2,704813829...

• para n = 365, temos: ª 1 + 1 ____ 365

º 365

= 2,714567485...

• para n = 1 000, temos: ª 1 + 1 _____ 1 000 º 1 000

= 2,716923932...

• para n = 10 000, temos: ª 1 + 1 ______ 10 000 º 10 000

= 2,718145927...

• para n = 1 000 000, temos: ª 1 + 1 ________ 1 000 000 º 1 000 000

= 2,718280469...

• para n = 100 000 000, temos: ª 1 + 1 __________ 100 000 000 º 100 000 000

= 2,718281815...

Dizendo de outra maneira: quanto maior é o valor de n, mais o valor da expressão

ª 1 + 1 __ n º n se aproxima do número 2,7182818... Esse número diferente é representado

pela letra ℮ e escrevemos: ℮ ≅ 2,7182818. Assim, concluímos que, se uma população No cresce a uma taxa de 100% ao ano,

distribuída uniformemente ao longo do ano, seu valor ao final do ano será igual a No ⋅ ℮, ou seja, aproximadamente, 2,718 ⋅ No.

Page 43: 3° em   3° bimestre

Matemática – 3a série – Volume 2

47

Seguindo esse raciocínio, podemos mostrar que, ao final de dois anos, o valor da po - pulação será igual a No ⋅ ℮2, ao final de três anos será No ⋅ ℮3 e, generalizando, ao final de t anos, teremos N = No ⋅ ℮

t.

Se a taxa k não for 100%, isto é, k ≠ 1, mas sim 20%, ou seja, k = 0,2, teremos, ao final de t anos: N = No ⋅ ℮

0,2t. De modo geral, para uma taxa porcentual k qualquer (0 < k < 1) teremos, ao final de t anos, N = No ⋅ ℮

kt.

Em muitas outras situações práticas, em diferentes contextos, nos deparamos com o número ℮. Apesar de ser um número de aparência diferente, sua presença é muito fre-quente no estudo de fenômenos naturais que envolvem crescimento ou decrescimento exponencial, como desintegração radioativa e juros compostos.

Tal como o número π, o número ℮ é irracional e transcendente. Isso significa que irra-cionais, como ®

__ 2 , não são razões entre inteiros, mas são raízes de equações algébricas com

coeficientes inteiros (por exemplo, x2 – 2 = 0). Um irracional é transcendente quando não existe equação algébrica com coeficientes inteiros que o tenha como raiz, e esse é o caso de números como π e ℮. Tais fatos, no entanto, não nos interessarão no presente momento. Interessa-nos apenas conhecer uma função exponencial particular, que vai ampliar signifi-cativamente o repertório de recursos para o tratamento matemático de diversos fenômenos em diferentes contextos.

Vejamos como o número ℮ pode ser aplicado ao cálculo de juros em uma situação similar à que foi descrita anteriormente. Quando um capital Co é aplicado a uma taxa de 100% ao ano, se os juros forem incorporados ao capital apenas no final do ano, o valor do capital, depois de um ano, será igual a 2Co; depois de dois anos, será 4Co, e assim por diante. Entretanto, se os juros forem distribuídos uniformemente ao longo do ano, de modo que

a cada período de 1 __ n do ano sejam incorporados os juros de 100% ______ n , no final do ano o novo

capital será igual a Co ª 1 + 1 __ n º n. Se os juros forem incorporados continuamente ao capital, o

valor montante, ao final de um ano, será C = Co ⋅ ℮ e, ao final de t anos, será C = Co ⋅ ℮t.

Se a taxa k não for 100%, isto é, k ≠ 1, mas sim 10%, ou seja, k = 0,1, teremos, ao final de t anos: C = Co ⋅ ℮

0,1t. De modo geral, para uma taxa k (0 < k < 1), teremos, ao final de t anos, C = Co ⋅ ℮

kt.

Quando se estuda o fenômeno da propagação de doenças, também se considera o fato de que a rapidez com que o número de doentes aumenta é diretamente proporcional ao número de doentes em cada instante. Na descrição matemática do fenômeno, nos depara-mos novamente com o número ℮.

Assim, reafirmamos: sempre que tentamos descrever matematicamente o modo como variam funções presentes em fenômenos naturais de diferentes tipos, mas que têm em co-mum o fato de que envolvem grandezas que crescem ou decrescem com uma rapidez que é

Page 44: 3° em   3° bimestre

Matemática – 3a série – Volume 2

48

diretamente proporcional ao valor da grandeza em cada instante, naturalmente encon-tramos o número ℮. Um valor aproximado de ℮ pode ser obtido a partir da expressão

ª 1 + 1 __ n º n: quanto maior o valor de n, mais próximos estaremos do número ℮. Para todos os

fins práticos, ℮ ≅ 2,71828, ou, com uma aproximação melhor, ℮ ≅ 2,718281828459045.Em consequência, em situações concretas que descrevem fenômenos naturais

que apresentem crescimento ou decrescimento exponencial, a função f(x) = ℮x, cujo gráfico apresentamos a seguir, tem uma presença marcante.

036

12

18

24

30

9

15

21

27

3336

−1 2 3 4 5 x

yf(x) = ℮xy = 3x y = 2x

1

Assim como o número ℮ serve de base para uma particular e importante função ex-ponencial, ele também serve para a correspondente função logarítmica: se y = ℮x, então x = loge y. Em outras palavras, à função exponencial de base ℮ corresponde sua inversa, a função logarítmica de base ℮.

A função g(x) = loge x costuma ser representada por g(x) = ln x, uma abreviatura para “logaritmo natural de x”. Os gráficos de f(x) = ℮x e de sua inversa, g(x) = ln x, são repre-sentados a seguir. É interessante notar que, como funções inversas, a cada ponto (a; b) do gráfico de f(x) corresponde um ponto (b; a) do gráfico de g(x), ou seja, os gráficos são simétricos em relação à reta y = x.

2

6

10

4

8

1214

−14−12−10−8−6−4

0 2 106 14 204 12 188 16 22x

y

−2−2−8 −4−10 −6−12−16−18−20−22 −14

f(x) = ℮x y = x g(x) = ln x

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Matemática – 3a série – Volume 2

49

VOCÊ APRENDEU?

4. Um investidor aplica uma quantia de R$ 1 000,00 a uma taxa de juros de 12% ao ano. Calcule o valor do capital investido ao final do primeiro ano, supondo que:

a) os juros sejam incorporados ao capital apenas no final de cada ano (juros simples);

b) os juros sejam distribuídos uniformemente, sendo incorporados ao capital ao final de cada mês;

c) os juros sejam incorporados continuamente ao capital (juros compostos) ao longo do ano. (Dado: ℮0,12 ≅ 1,1275.)

5. Um investidor aplica uma quantia Co a uma taxa de juros de 12% ao ano. Calcule depois de quanto tempo o capital investido dobrará de valor, supondo que:

a) os juros sejam incorporados ao capital apenas ao final de cada ano;

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Matemática – 3a série – Volume 2

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b) os juros sejam incorporados ao capital ao final de cada mês;

c) os juros sejam incorporados continuamente ao capital (juros compostos).

6. Esboce o gráfico das funções:

a) f(x) = ℮(x – 5)

b) g(x) = ℮(–x)

c) h(x) = 13 · ℮(x + 1)

d) m(x) = – 7 · ℮(1 – x)

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Matemática – 3a série – Volume 2

51

LIÇÃO DE CASA

7. Quando uma substância radioativa se decompõe, a rapidez com que ela se transforma é dire-tamente proporcional à quantidade restante, em cada momento, ou seja, seu decrescimento é exponencial. Sabendo que a massa inicial mo de certa substância radioativa é 60 g e reduz-se à metade a cada 4 h, determine a expressão de sua massa m em função do tempo t em horas:

a) supondo que m(t) = mo ⋅ 2bt, determine o valor de b;

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Matemática – 3a série – Volume 2

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b) supondo que m(t) = mo ⋅ ℮at, determine o valor de a;

c) mostre que as expressões obtidas nos itens a e b são equivalentes;

d) calcule a massa restante após 8 horas;

e) após quanto tempo a massa restante será igual a 12 g?

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Matemática – 3a série – Volume 2

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PESQUISA INDIVIDUAL

Construção de gráficos com o auxílio de um software

Alguns softwares livres, como o Graphmatica, o Geogebra ou o Winplot, podem ser utilizados para construir gráficos de funções de vários tipos.

Para o estudo dos gráficos das funções, procure “baixar” da internet um software para construção de gráficos ou, se possível, utilize a sala de informática de sua escola. Com o auxílio de um desses softwares, desenhe os gráficos indicados.

8. Faça os gráficos das quatro funções a seguir, em um mesmo sistema de eixos, e res-ponda às perguntas.

f(x) = ℮x g(x) = ℮–x h(x) = ln x (x > 0) m(x) = ln (–x) (x < 0)

a) Qual das funções cresce a taxas crescentes?

b) Qual das funções cresce a taxas decrescentes?

c) Qual das funções decresce a taxas crescentes?

d) Qual das funções decresce a taxas decrescentes?

9. O gráfico da função f(x) = ℮–x2 é chamado curva normal e representa a distribuição em torno do valor médio das frequências de ocorrência de um experimento aleatório em uma população. Muitas medidas de características físicas como altura, massa, dimensões dos pés, dos colarinhos, entre outras, ao serem representadas estatistica-mente, conduzem a uma curva normal. De forma geral, as diversas curvas do tipo normal (ou curva de Gauss) são do tipo f(x) = a ⋅ ℮–b ⋅ x2, com diversos valores para os parâmetros a e b. Utilizando um programa para construção de gráficos, elabore algumas curvas de Gauss, variando os valores dos parâmetros a e b.