ANLISE DE CORRENTES DE MALHASINTRODUO As fontes de tenso em circuito eltrico ou estrutura produzem correntes em cada um dos braos e conseqentes tenses nos elementos do circuito. A soluo da estrutura consiste em determinarem-se as correntes nos braos ou as tenses nos elementos. CORRENTES DE MALHA Para aplicao do mtodo das correntes de malha escolheram-se percursos fechados simples para as chamadas correntes de malha, como mostra a fig. 9-1. Escrevem-se, ento, no caso, trs equaes em funo das incgnitas I1, I2 e I3 e resolve-se o sistema. A corrente em cada brao , ento, determinada, ou diretamente por uma das correntes de malha, ou por uma combinao das mesmas,

Assim, a corrente em ZA I1, e a corrente em ZB, admitindo-se positivo o sentido para baixo, atravs da impedncia, I1 I2. A corrente em qualquer brao da estrutura obtida de forma semelhante. A tenso em qualquer elemento de circuito ser, ento, o produto do fasor corrente no elemento pela impedncia complexa.

Para se obter o conjunto de trs equaes, aplica-se a lei de Kirchhoff para as tenses a cada corrente de malha. Na fig. 9-2 foi destacada a malha de I1 e escreve-se, ento, a equao que iguala a soma das quedas de tenso, ao longo da malha, s elevaes de tenso. I1ZA+(I1I2)ZB=VA (1) A segunda malha no contem fonte, portanto, a soma das quedas de tenso nula.

I2ZC + (I2 + I3)ZD + (I2 I1)ZB = 0

(2)

Aplicando a lei de Kirchhoff para as tenses terceira malha, I3ZE + (I3 + I2)ZD = VB (3)

Reunindo e reagrupando,(ZA + ZB)I1 ZBI2 ZDI3 = VA = 0 (1) (2) (3)

- ZBI1+(ZB + ZC + ZD)I2 +

ZDI2 + (ZD + ZE)I3 = VB

Pode-se deduzir diretamente esse conjunto de equaes. Consideramos a primeira malha da fig. 9-2 toma-se o sentido horrio para a corrente I1 e todas as quedas de tenso nos elementos dessa malha, produzidas por I1, so positivas. A corrente de malha I2 de segunda malha tambm circula em ZB, porm em sentido oposto a I1; assim, a queda de tenso em ZB, produzida por I2, ZBI2. A tenso VA positiva porque tem o mesmo sentido de I1. Feitas estas consideraes, aplicando-se a lei de Kirchhoff malha um, obtm-se a equao. (1). As equaes (2) e (3) so obtidas de maneira semelhante. As expresses elevao de tenso e queda de tenso so mais adequadas ais circuitos de corrente contnua, onde seu significado mais claro do que nos circuitos em excitaes senoidais, nos quais tenses e correntes instantneas assumem valores positivos e negativos. Em regime estacionrio senoidal, segundo a 2 lei de Kirchhoff para as tenses, aplicada a um circuito fechado, resulta uma igualdade com fasores, em que a soma dos fasores das tenses na impedncias da malha igual a soma dos fasores de todas as fontes de tenso agindo na malha.

ESCOLHA DAS CORRENTES DE MALHA Aplicando o mtodo das correntes de malha, possvel simplificar-se a soluo de um dado problema pela escolha conveniente das malhas no circuito. Se, na fig. 9-1, desejssemos apenas determinar a corrente no ramo que contm ZB, conveniente deixar apenas uma malha passar em ZB.

Precisaremos, assim, determinar apenas I1. a fig. 9-3 mostra as

novas malhas escolhidas.

O conjunto de equaes das correntes de malha (ZA + ZB)I1 ZAI1 + + ZAI2 ZDI3 = VA = VA

(ZA + ZC + ZD)I2 + ZDI2 +

(ZD + ZE)I3 = VB

Quaisquer que sejam as correntes de malha escolhidas, cada elemento de circuito dever ser percorrido, pelo menos, por uma corrente e no h como haver dois ramos com a mesma corrente ou igual combinao algbrica de correntes. No pargrafo seguinte, so apresentadas regras que indicam o numero de correntes de malha necessrias para a resoluo de um circuito; um nmero inferior de correntes no ser suficiente.

NMERO NECESSRIO DE CORRENTES DE MALHA Para um circuito simples e plano, o nmero de correntes de malha necessrio evidente. As estruturas mais elaboradas exigiro um mtodo que fornea o nmero necessrio de equaes.

A fig. 9-4(b) mostra o grfico da estrutura, onde os ns so pequenos crculos e os ramos foram substitudos por linhas. A seguir, a fig. 9-4(c), rvore da estrutura, obtida com a incluso apenas de ramos que no formam percursos fechados. A rvore da estrutura no obtida. As linhas cheias da fig. 9-4(c) chamamse ramos da rvore e as tracejadas, ramos de ligao. Cada ramo de ligao completa um percurso fechado. O nmero de correntes de malha exigido pela estrutura igual ao nmero de ramos de ligao, 4.

Obtm-se o mesmo resultado cortando os ramos do circuito original, de modo de que cada corte abra um percurso fechado. Quando no houver mais percursos fechados a abrir, o nmero de cortes feitos indica o nmero necessrio de correntes de malha.

Um terceiro mtodo consiste em contarem-se os ramos e ns da estrutura. O nmero necessrio de correntes de malha dado por

Nmero de equaes = ramos - ( ns 1)

A estrutura da fig. 9-4(a) contm se ramos e quatro ns. O nmero de correntes de malha 7 ( 4 1 ) = 4.

EQUAES DAS MALHAS Em notao geral as equaes de um circuito de trs malhas so Z11 I1 Z12 I2 Z13 I3 = V1 Z21 I1 + Z22 I2 Z3 I3 = V2

Z31 I1 + Z32 I2 + Z33 I3 = V3

Z11 a impedncia da malha um, igual soma de todas as impedncias que I1, percorre. Z22 e Z33 so as impedncias das malhas dois e trs, dadas pelas somas das impedncias das respectivas malhas. Z12 a soma das impedncias comuns s correntes de malha I1 e I2. Segue-se que Z12 = Z21. As impedncias Z13, Z31, Z23, e Z32 so as somas das impedncias comuns s correntes de malha indicadas por seus ndices. O sinal positivo aplica-se caso as duas correntes percorrem a impedncia comum no mesmo sentido. Caso contrrio, o sinal o negativo. V1 a soma de todas as tenses de geradores na malha um. O sinal ser positivo se a fonte debita no sentido da corrente de malha e negativo se em sentido contrrio. V2 e V3 so as somas das tenses das fontes das respectivas malhas.

Exemplo. Escrever as equaes das correntes de malha do circuito da fig. 9-5.

As correntes de malha esto traadas no diagrama do circuito. Como no existe gerador na malha um, a soma das quedas de tenso igual a zero. I1(-j8) + (I1 I2)10 + (I1 I3)5 = 0 A fonte de 5/30 volts da malha dois debita em sentido contrrio ao da corrente de malha; seu sinal , portanto, negativo. I2 (j4) + (I2 I3)8 + (I2 I1)10 = - (530) Aplicando terceira malha de Kirchhoff para as tenses, obtemos I3 (3+j4) + (I3 I1)5 + (I3 I2)8 = -(100) Reagrupando os termos, o conjunto das trs equaes fica sendo (15 j8)I1 10I2 5I3 = 0 -10I1 + (18 + j4)I2 8I3 = -(530) -5I1 8I2 + (16 +j4)I3 = -(100)

Compara-se o grupo de equaes acima com as equaes do circuito de trs malhas, dadas em notao geral. A impedncia da malha um Z11 = (5 + 10 j8) = 15 j8. A impedncia comum s malhas um e dois Z12 = 10. Entretanto, o sentido de I2 oposto ao de I1; ento, o sinal de Z12 negativo. Da mesma maneira, a impedncia comum s malhas um e trs Z13 = - 5. Observe-se que Z12 = Z21, Z13 = Z31 e Z23 = Z32. A tenso do gerador na malha dois 5/30, porm seu sentido contrrio ao da corrente na malha portanto, seu sinal negativo. Cada termo do conjunto de equaes acima pode ser comparado com a notao geral.

MATRIZES (Reviso)

O MTODO DAS MATRIZES E A ANLISE DE CIRCUITOS As equaes das correntes de trs malhas Z11 I1 Z12 I2 Z13 I3 = V1 Z21 I1 + Z22 I2 Z3 I3 = V2 Z31 I1 Z32 I2 + Z33 I3 = V3

So escritas agora sob a forma de matrizes

ou

[Z] [I] = [V]

que se designa como lei de Ohm sob a forma de matrizes, onde [Z] a matriz impedncia, [I] a matriz corrente e [V] a matriz tenso. As correntes de malha I1, I2, I3 so encontradas pelas relaes de dois determinantes.

Se o determinante numerador de cada uma for desenvolvido pelos elementos da coluna que contm as tenses, obtemos o seguinte conjunto de equaes para as correntes de malha. I1 = V1 (11/ z) + V2 (21/ z) + V3 (31/ z) I2 = V1 (12/ z) + V2 (22/ z) + V3 (32/ z) I3 = V1 (13/ z) + V2 (23/ z) + V3 (33/ z) (1) (2) (3)

Os termos dos segundos membros das equaes (1), (2) e (3) so componentes fasores que resultam das vrias tenses de excitao. Assim, em (1), a corrente de malha I1 consta de trs partes: V1 (11/Z) devida tenso V1; V2 (21/Z) devida tenso V2 e V3(31/Z) devida tenso V3.

IMPEDNCIA NO PONTO DE EXCITAO Seja um circuito passivo, ou isento de fontes de alimentao, com dois terminais externos, como mostra a fig. 9-6. Apliquemos ai uma fonte de tenso V1 e chamemos I1 a corrente de malha resultante.

Como no h outras fontes no circuito, a equao da corrente de malha I1 I1 = V1 (11/ z)+(0) (21/ z)+(0) (31/ z)+...=V1 (11/ z) A impedncia de entrada ou impedncia no ponto de excitao a relao entre a tenso aplicada V1 e a corrente resultante I1. Assim, Ze1 = V1/I1 = z/ 11

Define-se a impedncia de entrada de um circuito como elementos ativos como a impedncia apresentada pelo circuito nos terminais especificados, quando todas as fontes so substitudas por suas respectivas impedncias internas. Assim, relao Z/11 a impedncia no ponto de excitao da malha um, independentemente de ser a estrutura passiva ou ativa. IMPEDNCIA DE TRANSFERNCIA Uma fonte de tenso que excita uma malha produzir uma corrente em cada uma das outras malhas da estrutura. Impedncia de transferncia a relao entre uma tenso de excitao em uma malha e a corrente resultante em outra malha, anuladas todas as demais fontes.

Seja o circuito da fig. 9-7, onde Vr a tenso de excitao da malha r e Is a corrente produzida na malha s. Ento,

Is = (0) (1s/ z)+ ... + Vr(rs/ z)+ ... + (0) (ns/ z) = Vr (rs/ z) e Ztransf rs = Vr/Is = z/ rs

O ndice duplo na impedncia de transferncia, rs, indica o sentido da ao, isto , a fonte est na malha r e a corrente resultante est na malha s. O determinante do denominador o co-fator da posio rs, rs, com os mesmos ndices que a impedncia de transferncia.