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  • 75

    3. Conveco Forada no Interior de Dutos

    Neste item sero considerados escoamento internos em dutos e canais com

    conveco trmica forada. Os escoamentos podem ser laminares ou turbulentos e

    podem ocorrer as seguintes combinaes: 1) escoamento laminar hidrodinmica e

    termicamente desenvolvidos; 2) escoamento laminar hidrodinamicamente desenvolvido

    e termicamente em desenvolvimento; 3) escoamento laminar com desenvolvimento

    simultneo e 4) escoamentos turbulentos

    3.1 Escoamento laminar num tubo com simetria axial

    Considere o problema ilustrado na Figura 3.1. Um fluido com velocidade U e

    temperatura 0T entra num tubo de raio wr , de comprimento L, cuja temperatura de

    parede mantida temperatura wT . O escoamento se desenvolve hidrodinamicamente e

    se a temperatura de parede for diferente da temperatura do fluido haver troca de calor e

    o desenvolvimento do perfil de temperatura.

    Figura 3.1 Escoamento laminar num tubo.

  • 76

    Em coordenadas cilndricas, sob hiptese de regime permanente, propriedades

    constantes e simetria axial, este escoamento pode ser modelado pelo conjunto de

    equaes a seguir, j simplificadas:

    1) Equao de Continuidade

    ( ) 01 =

    +

    rrv

    rzu (3.1)

    2) Equaes e Quantidade de Movimento em z e r

    z: zFrur

    rrzu

    zp

    ruv

    zuu +

    +

    +

    =

    + 11

    2

    2

    ; (3.2)

    r: rFrv

    rv

    rrv

    zv

    rp

    rvv

    zvu +

    +

    +

    +

    =

    +

    22

    2

    2

    2 11

    (3.3)

    3) Conservao de Energia Trmica

    qrTr

    rrzT

    rTv

    zTu +

    +

    =

    + 1

    2

    2

    (3.4)

    As condies de escoamento completamente desenvolvido podem ser expressas

    por:

    )()(

    0

    zppruu

    v

    ===

    (3.5)

    Desta forma a Eq. (3.2) pode ser simplificada resultando

    +=

    drdu

    rdrud

    dzdp 1

    2

    2

    . (3.6)

  • 77

    A Eq. (3.6) implica que ambos os lados devem ser iguais a uma constante, ou

    seja,

    +==

    drdu

    rdrudtecons

    dzdp 1tan 2

    2

    (3.7)

    Se o comprimento de desenvolvimento for muito menor do que o comprimento do tubo,

    LLe

  • 78

    Substituindo a Eq. (3.12) na Eq. (3.10) obtm o perfil de velocidade do escoamento

    completamente desenvolvido, na forma:

    =

    2

    12wrr

    Uu (3.13)

    3.2 Escoamento laminar em um canal de placas paralelas

    Um canal de placas paralelas possui a largura muito maior do que o espaamento

    entre as placas. Uma anlise similar a que foi para o tubo leva ao seguinte resultado para

    o perfil de velocidade

    =

    2

    123

    hy

    Uu (3.14)

    em que a velocidade mdia dada por

    ( )

    =

    dxdphU

    122 2 (3.15)

    e h metade do espaamento entre as placas.

    3.3 Fator de atrito de Fanning e Queda de Presso

    A tenso na parede definida por, no caso do escoamento laminar no tubo,

    como

    wrrw r

    Udrdu

    w

    4=

    =

    =

    (3.16)

    O fator de atrito de Fanning definido por

  • 79

    Dw

    w

    UDUrU

    Uf

    Re1616

    21

    14

    21 22

    ====

    (3.17)

    com

    UDD =Re . Na literatura tambm aparece o fator de atrito de Darcy-Weisbach

    D

    ffRe644* == (3.18)

    Em dutos de seo no circular define-se o dimetro hidrulico na forma

    PADh

    4=

    ==

    molhado permetro Pal transversseo da rea A

    (3.19)

    Alguns casos de dutos de sees no circulares so:

    a) duto de seo quadrada; aDh = (onde a o lado do quadrado)

    b) duto de seo retangular 4a a ; aDh 58

    = (onde a o comprimento do menor

    lado)

    c) canal de placas paralelas; aDh 2= (onde a o espaamento entre as placas)

    d) tringulo equiltero; 3

    aDh = ( onde a o lado do tringulo)

    A queda de presso no duto ou tubo pode ser calculada a partir de um balano de

    foras

    PLpA w=

    2

    21

    /U

    PALfp =

    2

    214 U

    DLfp

    h

    = (3.20)

  • 80

    Em geral o fator de atrito pode ser definido na forma:

    hD

    CfRe

    = (3.21)

    na qual C depende da forma da seo transversal do duto. /Re hD UDh = . Na

    literatura encontram-se correlaes do tipo

    )318,0068,0294,0exp(16 2 + BBC (3.22)

    com A

    DB h

    4/2= .

    Ex. 3.1 Calcule LP / para escoamento de gua a 20oC num tubo de D=2,7 cm e

    U = 6 cm/s. Determine tambm p comprimento da regio de entrada. Compare com o

    comprimento adotado na prtica ( De DL Re05,0= ).

    3.3 Transferencia de Calor em Escoamento Laminar - Entrada Trmica

    No caso de escoamentos internos define-se a temperatura mdia de mistura na

    forma

    1m pA

    p

    T c uTdAc UA

    = (3.23)

    O coeficiente de transferncia de calor pode ento ser definido como

    mw

    w

    TTq

    h

    = (3.24)

    No caso de escoamento completamente desenvolvido termicamente num tubo

    tem-se

  • 81

    w

    mw

    rr rTT

    rT

    w

    =

    (3.25)

    Um balano de energia num elemento de fluido de comprimento dz resulta

    PdzqdAiiu wA

    zdzz = + )(

    PdzqdTdAuc wA

    p =

    ( )p wAd c uTdA q Pdz =

    Ucq

    AP

    dzdT

    p

    wm

    = (3.26)

    No caso de tubo resulta

    p

    mw

    p

    w

    w

    m

    cmTTDh

    Ucq

    rdzdT )(2

    =

    =

    (3.27)

    A equao de energia em escoamento completamente desenvolvido

    hidrodinmica e termicamente :

    =

    rTr

    rrk

    zTrucp

    1)( (3.28)

    Uma anlise de ordem de grandeza dos termos nesta equao mostra que

    2

    1

    wp

    w

    wp r

    TkUc

    qr

    Uc

    ou

    wrkh (constante) (3.29)

  • 82

    Como o nmero de Nusselt definido por k

    hDNu hDh = , ento, )1(ONuD .

    Para satisfazer a condio de h constante o perfil de temperatura deve ser da

    forma:

    [ ]

    =

    wmww r

    rzTzTzTzrT )()()(),( (3.30)

    na qual uma funo apenas de r. No caso de parede com fluxo de calor uniforme

    resulta

    dzdT

    dzdT mw = (3.31)

    e

    dzdT

    dzdT

    zT mw == (3.32)

    Neste caso, pode-se obter

    =

    drdr

    drd

    rTkrq

    Uru

    w

    w 1)( (3.33)

    Com

    =

    2

    12wrr

    Uu e

    )(0)0(0)(

    simetriarw

    ==

    (3.34)

  • 83

    resulta a soluo da Eq. (3.33) na forma

    +

    =42

    41

    43)(

    ww

    ww

    rr

    rr

    Tkrq

    r (3.35)

    Assim com fluxo de calor constante na parede resulta o nmero de Nusselt

    ( )cteqNu wD === 364,411/48 (3.36)

    Churchill & Ozoe propuseram uma expresso vlida tanto para o comprimento

    de entrada quanto para a regio completamente desenvolvida:

    ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]

    3/12/3

    3/122/13/26/12 6,29/10207,0Pr/1

    04,19/16,29/1364,4

    +++=

    + Gz

    Gz

    Gz

    NuD (3.37)

    na qual Gz o nmero de Graetz definido como

    12

    PrRe/

    44

    ==

    D

    DzzUDGz

    (3.38)

    Para parede isotrmica o fluxo de calor calculado como

    ( ))(zTThq mww = (3.39)

    e o gradiente da temperatura mdia de mistura ser:

    [ ])(2 zTTUcr

    hdz

    dTmw

    pw

    m =

    (3.40)

    Integrando a Eq. (3.40) de 1z onde 1,mm TT = , obtm-se

  • 84

    =

    Ucrzzh

    TTzTT

    pwmw

    mw

    )(2exp

    )( 11,

    (3.41)

    No caso de temperatura uniforme na parede do tubo, o nmero de Nusselt do

    escoamento completamente desenvolvido ser

    66,3=DNu (3.42)

    e o fluxo de calor na parede pode ser calculado como

    ( ) ( )11 23 66

    3 66w w m,w

    , z zkq , T T expD r U

    =

    (3.43)

    Ex. 3.2 Uma corrente de gua temperatura ambiente aquecida quando escoa atravs

    de um tubo com fluxo de calor uniforme na parede 21,0 cmWqw = . O escoamento

    completamente desenvolvido hidrodinmica e termicamente. A vazo mssica

    sgm /10= e o raio do tubo cmrw 1= . As propriedades da gua na temperatura so

    scmg

    = 01,0 e Kcm

    Wk

    = 006,0 . Calcule a) a velocidade mdia U; b) o nmero de

    Reynolds baseado no dimetro; c) o coeficiente de troca de calor h e d) a diferena entre

    a temperatura local de parede e a temperatura mdia local.

    3.4 Escoamentos Turbulentos

    A maioria dos escoamentos ocorrendo na natureza e em aplicaes industriais

    so turbulentos. No caso de escoamento em tubo de seo circular a transio de

    escoamento laminar para turbulento ocorre para nmero de Reynolds em na faixa de

    2000 a 2300. Geralmente, considera-se

  • 85

    >

    =

    o)(turbulent 2300)(transio 2300 a 2000

    (laminar) 2000 at ReD

    As equaes para anlise de escoamentos turbulentos so as equaes mdias de

    Reynolds, que no caso do escoamento no tubo so:

    1) Equao de Continuidade

    ( ) 01 =

    +

    rvr

    rzu (3.44)

    2) Equaes e Quantidade de Movimento em z e r

    z: ( ) ( ) ztt Fzu

    zrur

    rrzp

    ruv

    zuu +

    +

    +

    +

    +