3. Convecção Forçada no Interior de ?· Convecção Forçada no Interior de Dutos ... A vazão mássica…

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  • 75

    3. Conveco Forada no Interior de Dutos

    Neste item sero considerados escoamento internos em dutos e canais com

    conveco trmica forada. Os escoamentos podem ser laminares ou turbulentos e

    podem ocorrer as seguintes combinaes: 1) escoamento laminar hidrodinmica e

    termicamente desenvolvidos; 2) escoamento laminar hidrodinamicamente desenvolvido

    e termicamente em desenvolvimento; 3) escoamento laminar com desenvolvimento

    simultneo e 4) escoamentos turbulentos

    3.1 Escoamento laminar num tubo com simetria axial

    Considere o problema ilustrado na Figura 3.1. Um fluido com velocidade U e

    temperatura 0T entra num tubo de raio wr , de comprimento L, cuja temperatura de

    parede mantida temperatura wT . O escoamento se desenvolve hidrodinamicamente e

    se a temperatura de parede for diferente da temperatura do fluido haver troca de calor e

    o desenvolvimento do perfil de temperatura.

    Figura 3.1 Escoamento laminar num tubo.

  • 76

    Em coordenadas cilndricas, sob hiptese de regime permanente, propriedades

    constantes e simetria axial, este escoamento pode ser modelado pelo conjunto de

    equaes a seguir, j simplificadas:

    1) Equao de Continuidade

    ( ) 01 =

    +

    rrv

    rzu (3.1)

    2) Equaes e Quantidade de Movimento em z e r

    z: zFrur

    rrzu

    zp

    ruv

    zuu +

    +

    +

    =

    + 11

    2

    2

    ; (3.2)

    r: rFrv

    rv

    rrv

    zv

    rp

    rvv

    zvu +

    +

    +

    +

    =

    +

    22

    2

    2

    2 11

    (3.3)

    3) Conservao de Energia Trmica

    qrTr

    rrzT

    rTv

    zTu +

    +

    =

    + 1

    2

    2

    (3.4)

    As condies de escoamento completamente desenvolvido podem ser expressas

    por:

    )()(

    0

    zppruu

    v

    ===

    (3.5)

    Desta forma a Eq. (3.2) pode ser simplificada resultando

    +=

    drdu

    rdrud

    dzdp 1

    2

    2

    . (3.6)

  • 77

    A Eq. (3.6) implica que ambos os lados devem ser iguais a uma constante, ou

    seja,

    +==

    drdu

    rdrudtecons

    dzdp 1tan 2

    2

    (3.7)

    Se o comprimento de desenvolvimento for muito menor do que o comprimento do tubo,

    LLe

  • 78

    Substituindo a Eq. (3.12) na Eq. (3.10) obtm o perfil de velocidade do escoamento

    completamente desenvolvido, na forma:

    =

    2

    12wrr

    Uu (3.13)

    3.2 Escoamento laminar em um canal de placas paralelas

    Um canal de placas paralelas possui a largura muito maior do que o espaamento

    entre as placas. Uma anlise similar a que foi para o tubo leva ao seguinte resultado para

    o perfil de velocidade

    =

    2

    123

    hy

    Uu (3.14)

    em que a velocidade mdia dada por

    ( )

    =

    dxdphU

    122 2 (3.15)

    e h metade do espaamento entre as placas.

    3.3 Fator de atrito de Fanning e Queda de Presso

    A tenso na parede definida por, no caso do escoamento laminar no tubo,

    como

    wrrw r

    Udrdu

    w

    4=

    =

    =

    (3.16)

    O fator de atrito de Fanning definido por

  • 79

    Dw

    w

    UDUrU

    Uf

    Re1616

    21

    14

    21 22

    ====

    (3.17)

    com

    UDD =Re . Na literatura tambm aparece o fator de atrito de Darcy-Weisbach

    D

    ffRe644* == (3.18)

    Em dutos de seo no circular define-se o dimetro hidrulico na forma

    PADh

    4=

    ==

    molhado permetro Pal transversseo da rea A

    (3.19)

    Alguns casos de dutos de sees no circulares so:

    a) duto de seo quadrada; aDh = (onde a o lado do quadrado)

    b) duto de seo retangular 4a a ; aDh 58

    = (onde a o comprimento do menor

    lado)

    c) canal de placas paralelas; aDh 2= (onde a o espaamento entre as placas)

    d) tringulo equiltero; 3

    aDh = ( onde a o lado do tringulo)

    A queda de presso no duto ou tubo pode ser calculada a partir de um balano de

    foras

    PLpA w=

    2

    21

    /U

    PALfp =

    2

    214 U

    DLfp

    h

    = (3.20)

  • 80

    Em geral o fator de atrito pode ser definido na forma:

    hD

    CfRe

    = (3.21)

    na qual C depende da forma da seo transversal do duto. /Re hD UDh = . Na

    literatura encontram-se correlaes do tipo

    )318,0068,0294,0exp(16 2 + BBC (3.22)

    com A

    DB h

    4/2= .

    Ex. 3.1 Calcule LP / para escoamento de gua a 20oC num tubo de D=2,7 cm e

    U = 6 cm/s. Determine tambm p comprimento da regio de entrada. Compare com o

    comprimento adotado na prtica ( De DL Re05,0= ).

    3.3 Transferencia de Calor em Escoamento Laminar - Entrada Trmica

    No caso de escoamentos internos define-se a temperatura mdia de mistura na

    forma

    1m pA

    p

    T c uTdAc UA

    = (3.23)

    O coeficiente de transferncia de calor pode ento ser definido como

    mw

    w

    TTq

    h

    = (3.24)

    No caso de escoamento completamente desenvolvido termicamente num tubo

    tem-se

  • 81

    w

    mw

    rr rTT

    rT

    w

    =

    (3.25)

    Um balano de energia num elemento de fluido de comprimento dz resulta

    PdzqdAiiu wA

    zdzz = + )(

    PdzqdTdAuc wA

    p =

    ( )p wAd c uTdA q Pdz =

    Ucq

    AP

    dzdT

    p

    wm

    = (3.26)

    No caso de tubo resulta

    p

    mw

    p

    w

    w

    m

    cmTTDh

    Ucq

    rdzdT )(2

    =

    =

    (3.27)

    A equao de energia em escoamento completamente desenvolvido

    hidrodinmica e termicamente :

    =

    rTr

    rrk

    zTrucp

    1)( (3.28)

    Uma anlise de ordem de grandeza dos termos nesta equao mostra que

    2

    1

    wp

    w

    wp r

    TkUc

    qr

    Uc

    ou

    wrkh (constante) (3.29)

  • 82

    Como o nmero de Nusselt definido por k

    hDNu hDh = , ento, )1(ONuD .

    Para satisfazer a condio de h constante o perfil de temperatura deve ser da

    forma:

    [ ]

    =

    wmww r

    rzTzTzTzrT )()()(),( (3.30)

    na qual uma funo apenas de r. No caso de parede com fluxo de calor uniforme

    resulta

    dzdT

    dzdT mw = (3.31)

    e

    dzdT

    dzdT

    zT mw == (3.32)

    Neste caso, pode-se obter

    =

    drdr

    drd

    rTkrq

    Uru

    w

    w 1)( (3.33)

    Com

    =

    2

    12wrr

    Uu e

    )(0)0(0)(

    simetriarw

    ==

    (3.34)

  • 83

    resulta a soluo da Eq. (3.33) na forma

    +

    =42

    41

    43)(

    ww

    ww

    rr

    rr

    Tkrq

    r (3.35)

    Assim com fluxo de calor constante na parede resulta o nmero de Nusselt

    ( )cteqNu wD === 364,411/48 (3.36)

    Churchill & Ozoe propuseram uma expresso vlida tanto para o comprimento

    de entrada quanto para a regio completamente desenvolvida:

    ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]

    3/12/3

    3/122/13/26/12 6,29/10207,0Pr/1

    04,19/16,29/1364,4

    +++=

    + Gz

    Gz

    Gz

    NuD (3.37)

    na qual Gz o nmero de Graetz definido como

    12

    PrRe/

    44

    ==

    D

    DzzUDGz

    (3.38)

    Para parede isotrmica o fluxo de calor calculado como

    ( ))(zTThq mww = (3.39)

    e o gradiente da temperatura mdia de mistura ser:

    [ ])(2 zTTUcr

    hdz

    dTmw

    pw

    m =

    (3.40)

    Integrando a Eq. (3.40) de 1z onde 1,mm TT = , obtm-se

  • 84

    =

    Ucrzzh

    TTzTT

    pwmw

    mw

    )(2exp

    )( 11,

    (3.41)

    No caso de temperatura uniforme na parede do tubo, o nmero de Nusselt do

    escoamento completamente desenvolvido ser

    66,3=DNu (3.42)

    e o fluxo de calor na parede pode ser calculado como

    ( ) ( )11 23 66

    3 66w w m,w

    , z zkq , T T expD r U

    =

    (3.43)

    Ex. 3.2 Uma corrente de gua temperatura ambiente aquecida quando escoa atravs

    de um tubo com fluxo de calor uniforme na parede 21,0 cmWqw = . O escoamento

    completamente desenvolvido hidrodinmica e termicamente. A vazo mssica

    sgm /10= e o raio do tubo cmrw 1= . As propriedades da gua na temperatura so

    scmg

    = 01,0 e Kcm

    Wk

    = 006,0 . Calcule a) a velocidade mdia U; b) o nmero de

    Reynolds baseado no dimetro; c) o coeficiente de troca de calor h e d) a diferena entre

    a temperatura local de parede e a temperatura mdia local.

    3.4 Escoamentos Turbulentos

    A maioria dos escoamentos ocorrendo na natureza e em aplicaes industriais

    so turbulentos. No caso de escoamento em tubo de seo circular a transio de

    escoamento laminar para turbulento ocorre para nmero de Reynolds em na faixa de

    2000 a 2300. Geralmente, considera-se

  • 85

    >

    =

    o)(turbulent 2300)(transio 2300 a 2000

    (laminar) 2000 at ReD

    As equaes para anlise de escoamentos turbulentos so as equaes mdias de

    Reynolds, que no caso do escoamento no tubo so:

    1) Equao de Continuidade

    ( ) 01 =

    +

    rvr

    rzu (3.44)

    2) Equaes e Quantidade de Movimento em z e r

    z: ( ) ( ) ztt Fzu

    zrur

    rrzp

    ruv

    zuu +

    +

    +

    +

    +

    =

    +

    11 ; (3.45)

    r: ( ) ( ) ( ) rttt Fzv

    zrv

    rvr

    rrrp

    rvv

    zvu +

    +

    ++

    +

    +

    =

    +

    211

    (3.46)

    3) Conservao de Energia Trmica

    ( ) ( )

    +

    +

    +

    =

    +

    zT

    zrTr

    rrrTv

    zTu tt

    1 (3.47)

    No caso de considerar o conceito de camada limite, pode-se definir a tenso e o

    fluxo de calor aparentes como

    ru

    ru

    tap

    = (3.48)

    rTc

    rTkq tpap

    = (3.49)

  • 86

    O perfil de velocidade e a tenso aparente so ilustradas na Figura 3.2

    Figura 3.2. Perfil de velocidade turbulento e tenso aparente.

    No caso do escoamento turbulento ser completamente desenvolvido

    hidrodinmica e termicamente tem-se

    )()(

    0

    zppruu

    v

    ===

    (3.50)

    As equaes de quantidade de movimento e energia ficam na forma simplificada

    ( )r

    rrdz

    pd ap

    =

    110 (3.51)

    [ ]app

    rqrrcz

    Tu

    =

    1 (3.52)

    Integrando a Eq. (3.51) obtm-se

    +=ww r

    ap

    r

    rdrdrdzpd

    00)(0

  • 87

    02

    2

    =+ www r

    rdzpd

    w

    w

    rdzpd 2= (3.53)

    Substituindo a Eq. (3.53) em (3.51) e integrando at um r genrico resulta

    ww

    ap

    rr

    =

    (3.54)

    Bem prximo da parede, wap e com as coordenadas de parede, ( ) 2/1// wuu =+ ,

    ( ) 2/1/ wyy =+ resulta

    >>+

    >>=

    +

    +

    +

    tvByk

    yu

    se )ln(1 se t

    (3.55)

    ou

    ( ) 7/17,8 ++ = yu (3.56)

    Para calcular o fator de atrito e a queda de presso no tubo, pode-se, por

    exemplo, integrar a Eq. (3.56). A velocidade mdia no, caso ser

    =wr

    w

    rdrudr

    U0

    2

    02

    1

    (3.57)

    A velocidade no centro do tubo ( 0=r ) cuu = . Assim obtm-se

    ( )

    7/12/1

    2/1 7,8/

    =

    ww

    w

    c ru (3.58)

  • 88

    Da definio do fator de atrito, 2

    21 U

    f w

    = resulta

    2/12/1

    2

    =

    fUw

    (3.59)

    Combinando as Eqs. (3.58) e (3.59) pode-se mostrar que

    ( ) 4/1Re079,0

    D

    f ; 43 102Re102 xx D

  • 89

    ap

    r

    p rqrdrzTuc 22

    0=

    (3.64)

    Para wrr = , resulta

    ww

    r

    p qrrdrzTuc

    w

    =0 (3.65)

    Combinando as Eqs. (3.64) e (3.65) resulta

    ww

    ap

    rrM

    qq

    =

    (3.66)

    em que

    =wr

    w

    r

    rdrzTu

    r

    rdrzTu

    rM

    02

    02

    1

    1

    (3.67)

    Se wq independente de z, zT independente de r, a Eq. (3.67) fica ento na forma

    =wr

    w

    r

    rdrur

    rdrurM

    02

    02

    1

    1

    (3.68)

    O perfil de velocidade )(ru quase plano, desta forma, 1M , obtendo-se a

    relao do calor aparente para o calor da parede

    ww

    ap

    rr

    qq

    (3.69)

  • 90

    Para wrr , wap qcteq == . O coeficiente de troca de calor pode ser calculado pela

    analogia entre transferncia de quantidade de movimento e transferncia de calor.

    Sabe-se o nmero de Stanton e definido como

    5,0Pr;Pr/21 3/2 == f

    UchSp

    t (3.70)

    Para tubos lisos resulta a correlao para clculo do coeficiente de transferncia

    de calor

    643/15/4 10Re102;PrRe023,0

  • 91

    ( )( )( ) ( )

  • 92

    ( )( )

  • 93

    lmw ThAq = (3.78)

    Para escoamento turbulento completamente desenvolvido com parede isotrmica,

    mw TTT = decresce exponencialmente na direo jusante, entre um certo valor na

    entrada do tubo e o menor valor na sada do tubo. Se ewe TTT = e sws TTT = ,

    lmT est entre eT e sT . Tambm a taxa de calor pode ser calculada como

    ( ) ( ) ( )[ ] ( )sepswewpesp TTcmTTTTcmTTcmq === (3.79)

    O fluxo de calor na parede pode ser estimado como

    ( )mww TThq = (3.80)

    como Uc

    qAP

    dzdT

    p

    wm

    = , obtm-se

    dzUc

    hAP

    TTdT

    pmw

    m

    =

    (3.81)

    a qual integrada entre )(;0 em TTz == e )(; sm TTLz == resulta

    psw

    ew

    UAchPL

    TTTT

    =

    ln ou

    p

    w

    s

    e

    cmhA

    TT

    =

    ln (3.82)

    Comparando as Eqs. (3.79) e (3.82) pode-se concluir que

    =

    s

    e

    elm

    TT

    TTT

    ln (3.83)

  • 94

    que denominada de diferena mdia logartmica de temperatura. Alternativamente a

    taxa total de transferncia de calor pode ser calculada como

    =

    p

    wep cm

    hATcmq exp1 (3.84)

    Se o coeficiente )(zhh = , ento LdzzhhL

    /)(= . Pode-se verificar imediatamente que no caso de fluxo de calor uniforme na

    parede:

    selm TTT == (3.85)

    que um caso especial da Eq. (3.83) quando 1

    s

    e

    TT

    .

  • 95

    3.7 Experimento 01: Conveco Forada em Dutos

    O objetivo nesta primeira experincia determinar o coeficiente de transferncia

    de calor por conveco forada, h, o nmero de Reynolds e uma correlao para o

    nmero de Nusselt, (Re,Pr)Nu f= , para escoamento no interior de dutos.

    O aparato experimental consiste de um tubo com aquecimento por resistncia

    eltrica (efeito Joule) equipado com um medidor de vazo do tipo placa de orifcio e

    doze termopares: um para medir a temperatura na entrada do tubo, outro parta medir a

    temperatura na sada do tubo e dez termopares para medir as temperaturas em dez

    pontos na superfcie do tubo. A resistncia enrolada em torno do tubo e o conjunto

    isolado termicamente do meio externo. O tubo possui um comprimento de 2002 mm e a

    resistncia eltrica possui comprimento de 1830 mm. Os dimetros interno e externo do

    tubo so 32 e 38 mm respectivamente. A razo entre as reas do furo da placa de

    orifcio e rea da seo transversal do tubo / 0,45d stA A = . A Figura 3.5 ilustra o

    aparato experimental.

    Figura 3.5 Aparato experimental para medida de h em escoamento de ar. (por mvtn)

    No caso, a taxa de transferncia de calor constante para ar escoando dentro do

    tubo dada por

    q E I= (3.86)

  • 96

    Na qual E a tenso eltrica e I a corrente passando pela resistncia.

    Consequentemente, o fluxo de calor ser

    E IqDL = (3.87)

    Da definio do coeficiente de transferncia de calor

    , ,w z m z

    qhT T

    =

    (3.88)

    na qual ,w zT a temperatura da parede na posio z e ,m zT pode ser obtida diretamente

    da integrao da equao (3.89)

    Ucq

    AP

    dzdT

    p

    wm

    = (3.89)

    resultando, no presente caso, de fluxo de calor constante, a equao

    , ,er w

    m z m ep

    P qT T zc m

    = + (3.90)

    A vazo mssica de ar determinada como ar stm UA= . Pelo uso da placa de

    orifcio, mede-se a diferena de presso atravs da placa de orifcio e determina-se a

    velocidade no orifcio, a partir da Equao de Bernoulli e de conservao da massa, por

    ( ) 421 2 1 2

    11 /d

    ar ard st

    p puA A

    = =

    ; /d D = (3.91)

    A vazo mssica terica determinada como t ar d dm u A= , ou seja

    4 4

    2 21 1

    ar dt d ar

    ar

    Apm A p

    = =

    (3.92)

  • 97

    Pode-se demonstrar tambm que a diferena de presso est relacionada com diferena

    de coluna do fluido manomtrico

    1 2 aguap p p g H = = (3.93)

    Para se calcular a vazo mssica real, multiplica-se a vazo mssica terica pelo

    coeficiente de descarga

    42 2

    1d d

    d t ar q d arC Am C m p C A p

    = = =

    (3.94)

    A velocidade mdia do escoamento ser

    22 0,45 aguadq qst ar ar

    g HA pU C CA

    = = (3.95)

    O nmero de Reynolds do escoamento calculado como

    0,45 2Re ar q aguaarD

    ar

    DC g HUD

    = = (3.96)

    O coeficiente de vazo da placa de orifcio funo do Reynolds, por sua vez o

    nmero de Reynolds depende de qC , desta foram o clculo de qC feito de forma

    iterativa, resolvendo a equao, por exemplo, pelo mtodo de Newton-Raphson:

    ( )Re 0,45 2Re 0ar q D aguaD

    ar

    DC g H

    = (3.97)

    Calculado o nmero de Reynolds, determina-se a vazo mssica por

    Re4

    DDm = (3.98)

    Portanto, a sequncia de clculo e de medidas :

    1) Calcula-se ReD : ( )Re 0,45 2

    Re 0ar q D aguaDar

    DC g H

    = ; aps medir H e

    estimar o coeficiente de vazo: ( ) 60000 ReRe 0,67522 0,01164exp30806,98q

    C = +

    2) Calcula-se Re4

    DDm =

    3) Calcula-se a temperatura mdia de mistura , , er wm z m ep

    P qT T zc m

    = + aps calcular

    E IqDL = com E e I medidos

  • 98

    4) Mede-se a temperatura ,w zT nas posies: z [m] = 0,06; 0,14; 0,4; 0,6; 0,8; 1,0; 1,2;

    1,4; 1,6 1,8

    5) Calcula-se h: , ,w z m z

    qhT T

    =

    6) Calcula-se o nmero de Nusselt local, para cada vazo medida: ,zar

    hDNuk

    =

    7) Calcula-se o nmero de Nusselt mdio, para cada vazo medida: 1,

    N

    zi

    NuNu

    N==

    8) Obtenha uma correlao ( )Re PrNu Nu=

    9) Compare o Nu experimental com o Nu da literatura.

    Os dados medidos podem ser organizados numa tabela como

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