INSTITUTO SUPERIOR DE ENGENHARIA DE COIMBRA

DEPARTAMENTO DE FSICA E MATEMTICA

Resultados da Aprendizagem

Equaes diferenciais

B.Compreenso

1.Justifique que a equao diferencial:

a. 0)1( 11 dxyedye xx linear de 1 ordem

b. xyxydy

dx de variveis separveis

Determine o integral particular/soluo particular que passa pelos respetivos pontos: )2,0(),( yx e

)4,9(),( yx .

2.Considere a seguinte equao diferencial 0)(2 22 dyxyxydx .

a. Justifique que se trata de uma equao diferencial homognea.

b. Resolva a equao dada mediante a substituio vyx .

3.Considere a seguinte equao diferencial 4442' yxyxy .

a. Justifique que se trata de uma equao diferencial de Bernoulli.

b. Justifique qual a mudana de varivel conveniente que permita transformar a equao diferencial dada numa equao linear de 1 ordem.

c. Resolva a equao diferencial dada.

C.Aplicao

Resolva as seguintes equaes diferenciais:

a. )(2')( xlnyyxlnx b. 2yeye

dy

dx xx

c. 43yxyyx d. yxyxy 22

e. 2 0yy xe f. 0462 2 yxxxy

g. 2

1 01

y

y

h. 22

1yyy

x

i. 0)1( 32 dxxdyyx j. 21

1xe

y yx x

D.Anlise

De entre as equaes seguintes identifique as que so equaes diferenciais e distinga as equaes

diferenciais de variveis separveis e as lineares de 1 ordem, justificando convenientemente a sua

resposta.

a. 0)(' 4 xxey y b. 0 tcosydt

dy

c. 02 xxy d. 0'' tcosyy

e. tyty 22)'( f. 1'1

yyx

E.Sintese

1. Sejam 21, yy duas solues distintas da equao diferencial )()(' xqyxpy onde p e q so

funes contnuas num intervalo aberto D .

a. Mostre que cyycyy ),( 121 soluo geral da equao.

b. Qual a relao que deve ser satisfeita pelas constantes , , para que 21 yy seja tambm

soluo da equao dada

2. Considere a equao diferencial )(' xgyxy , com )(xg uma funo real de varivel real.

a. D exemplo de uma funo )(xg para a qual a equao seja de variveis separveis.

Resolva a equao exemplificada.

b. D exemplo de uma funo )(xg para a qual a equao seja linear de 1 ordem. Resolva a

equao exemplificada.

c. Imponha condies iniciais para determinar solues particulares em cada um dos casos

anteriores.

F.Avaliao.

a. Determine a famlia de funes que satisfazem em cada ponto ),( yx a condio: A soma da

derivada com o dobro da ordenada igual ao quadrado da abcissa. Obtenha o elemento da

famlia de curvas que passa pelo ponto de coordenadas )1,0( .

b. Seja f uma funo definida para todo o x , cujas derivadas de qualquer ordem existem e

so contnuas em . Suponha que )(3)(' xfxf e que 1)2( f . Nestas condies,

determine )2()20(f .