2º trabalho de sistemas de controle

7/22/2019 2º Trabalho de Sistemas de Controle

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INSTITUTO FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO

ENGENHARIA DE CONTROLE E AUTOMAÇÃO

MIGUEL GONÇALVES SCHROEFFER

SEGUNDO PROJETO DE SISTEMAS DE CONTROLE

SERRA

2014



MIGUEL GONÇALVES SCHROEFFER

SEGUNDO PROJETO DE SISTEMAS DE CONTROLE

Trabalho apresentado à disciplina Sistemas de

Controle do curso de Engenharia de Controle e Automação do Instituto Federal do Espírito

Santo, como requisito parcial de avaliação.

Professor Dr..Saul da Silva Munareto

SERRA

2014



Sendo os parâmetros do motor CC:

R = 3.33 ohms ; L = 4,56 mH ; J = 4,96e-5 Kg.m² ; b = 4,59e-5 MKS ;

k = 0,0332 Vs

Sendo:

, , e

Logo:

,

O modelo do sistema é baseado em espaço de estados. Espaço de estados é

a descrição interna que é capaz de fornecer a informação completa sobre todos

os possíveis sinais do sistema (Lathi, B.P., Sinais e Sistemas Lineares, página

119). Percebe-se, portanto, que os estados do modelo apresentado são função

da corrente de armadura, velocidade angular do motor e sua posição angular.

Saída controlada a posição angular e entrada de referência sua tensão dearmadura.

1 – Definição do comportamento desejado e discretização do sistema

A – A técnica dos polos dominantes pode ser utilizada para o controle doMotor CC?

A técnica dos polos dominantes permite que todos os polos da função de

transferência sejam situados na posição desejada. Para a localização de todos

os polos é necessária a medição de diversas variáveis do sistema. (Charles L.

Philips, Royce D. Harbor, Sistemas de Controle e Realimentação, página 467).

Neste caso, as variáveis já são fornecidas. Caso o sistema seja controlável,

podemos alocar os polos de malha fechada em qualquer posição do plano

complexo s esquerdo. Neste processo podemos obter um sistema em malha

fechada estável e também garantir desempenho transitório e em regime. (Prof.

José Felipe Haffner – PUC-RS e Cristiano Quevedo Andrea – UTFPR).



Um sistema é dito controlável se for possível encontrar alguma entrada u(t) que

transfira o estado inicial do sistema x(0) para a origem do espaço de estados, , com finito. (Charles L. Philips, Royce D. Harbor, Sistemas de

Controle e Realimentação, página 498).

Controlabilidade é uma função do estado do sistema e não pode ser analisada

a partir de uma função de transferência. (Franklin, Powell, Emani-Naeini,

Sistemas de Controle para Engenharia, página 373).

Para verificar a controlabilidade, calculamos :Como n = 3:C = [ B AB A²B ];

O posto calculado é igual ao número de estados do sistema. Ou seja, o sistema

é controlável. Portanto a técnica de alocação de polos dominantes pode ser

utilizada para o motor CC.

B – Escolha o fator de amortecimento, frequência natural e fator de

afastamento aos polos dominantes; e determinação dos polos da malha

fechada. , e

A equação característica do sistema de malha fechada é: )

Por decomposição do sistema em malha fechada: .00

Com um fator de amortecimento de 0.69 o overshoot do sistema

esperado é de



C - Escolha do tempo de amostragem; discretização dos polos de malha

fechada e determinação do polinômio característico de malha fechada

discretizado.

O tempo de amostragem é calculado da seguinte forma:

√

√ Sendo assim,√ , o tempo de

amostragem deve ser um valor T < 0.1085 s

Escolhendo um valor de N = 15, o tempo de amostragem é igual a √ √ Utilizando os seguintes passos, encontramos o sistema discretizado e os polos

de malha fechada:

Utilizando Matched pole-zero mapping, que corresponde ao método de

discretização do mapeamento de polos e zeros.

fs = tf(conv([1 11.04 64],[1 80]),1)

Transfer function:

s^3 + 91.04 s^2 + 947.2 s + 5120

>> fz = c2d(fs,0.07234,'matched')

Transfer function:2.289e004 z^3 - 2.812e004 z^2 + 1.038e004 z - 31.58

Sampling time: 0.07234



Sendo assim, o polinômio característico de malha fechada discretizadocalculado foi:

Os polos discretos de malha fechada são:z1 = 0.6125 + 0.2730i

z2 = 0.6125 - 0.2730i

z3 = 0.0031

D – Discretização da equação de estado do motor CC; e polinômio

característico da dinâmica do motor CC.

Efetuando os seguintes passos no Matlab, a partir da obtenção do modelo domotor CC em espaço de estados no tempo contínuo, consegue-se discretizar:

%Parâmetros do Motor CC:R=3.33;L=4.56e-3;J=4.96e-5;b=4.59e-5;K=0.0332;

A=[-R/L -K/L 0; K/J -b/J 0; 0 1 0];B=[1/L; 0; 0];C=[0 0 1];D=[0];EspEstCont=ss(A,B,C,D);

%Discretizacão:EspEstDisc=c2d(EspEstCont,T)%Discretização por ZOH

Matrizes de Espaço de Estados discreto:



Assim:

Transfer function:

z^3 - 1.574 z^2 + 0.5742 z + 4.98e-019

Sampling time: 0.07234

Como o termo independente da equação é praticamente nulo.

O polinômio característico da dinâmica do motor:

E –

Simulações comparando as variáveis de estado contínuas com asdiscretas (simulações em malha aberta); verifique se a discretização está

correta.

Simulação feita no Matlab/Simulink:

Para efeitos da simulação, as matrizes C do sistema contínuo e do discreto,

foram estabelecidas como “eye(3)”, matriz identidade de ordem 3.

Na saída do sistema percebemos todos os estados do motor CC.



Pela plotagem do gráfico, percebemos que a discretização está comoesperada, já que o sinal discreto “percorre” o mesmo caminho do sinal

contínuo.

A posição é a cor roxa no tempo contínuo e a amarela no tempo discreto.

A cor verde é a representação do tempo contínuo e a cor vermelha é a

representação do tempo discreto da velocidade.

A corrente é representada pela cor azul escuro no tempo contínuo e a cor azul

claro representa o tempo discreto. Ao contrário da posição, que cresce de

forma contínua para uma velocidade constante, percebemos um aumento

grande de corrente no início do gráfico, porém há uma queda e o valor

permanece constante após a queda.



2 – Realimentação de Estado

A – O motor CC é controlável?

Uma forma para determinar a controlabilidade de um sistema é montar a matriz

controlabilidade e fazer a verificação do seu determinantes, caso o

determinante da matriz controlabilidade seja zero o sistema é não controlável,

do contrário o sistema é controlável.

Sendo a matriz controlabilidade, como mostrada no item (a) da questão 1:

O seu determinante é: 4.7252e+012.

Logo, como o determinante é diferente de zero, conclui-se que o motor CC écontrolável.

B - Matriz transformação de similaridade; e forma canônica controlável do motor

CC.

A Matriz Transformação de Similaridade conseguimos obter de acordo com os

passos percorridos na execução de exercícios na sala de aula e alguma

anotações de aula.

q3 = EspEstDisc.b;

Az = poly(EspEstDisc.a);

q2 = EspEstDisc.a*q3+Az*q3;

q1 = EspEstDisc.a*q2+Az*q3;

Q = [q1 q2 q3];

P = inv(Q)



Matriz de Transformação de Similaridade:

As matrizes na forma canônica controlável do motor CC serão obtidas daseguinte forma, sendo:

̅ ; ̅

Abarra = P* EspEstDisc.a*Q;Bbarra = P* EspEstDisc.b;

Cbarra = EspEstDisc.c*Q;

Os resultados obtidos são:

̅ ̅ C – Determinação dos vetores de ganhos de realimentação Kbarra e K.

Sendo o polinômio característico desejado para o sistema em malha fechada

definido por:

Polinômio característico de malha aberta: O ganho de realimentação K é o produto da matriz com a Matriz de

Transformação de Similaridade P.



Os dados necessários para os cálculos, como os coeficientes do polinômio

característico foram obtidos na 1ª questão.

Sendo: 1 -1.2286 0.4534 0.001379 coeficientes do polinômio

característico de malha fechada

1.0000 -1.5742 0.5742 0.0000 coeficientes do polinômio característico

de malha aberta

D – Autovalores de A-bK

Para efetuar o cálculo dos autovalores no Matlab utilizamos o seguinte

procedimento:

Av = eig(EspEstDisc.a - EspEstDisc.b*k)

Av = 0.0031

0.6125 + 0.2730i

0.6125 - 0.2730i

Os autovalores (valores característicos) são iguais aos polos de malha fechada

discretos calculados no item (c) da 1. O que mostra que o cálculo está correto.

Em álgebra matricial os autovalores são precisamente os polos do sistema

discreto. (Franklin, Powell, Emani-Naeini, Sistemas de Controle para

Engenharia, página 374).

E – Determinação de Nx e Nu

O vetor Nx transforma a entrada de referência, num estado de

referência, isto é, o valor de um estado de equilíbrio para a respectiva entrada.

(Antonio Ruano – Controle Digital em Referências Adicionais).



Nx e Nu são obtidos a partir da seguinte relação: No Matlab, conseguimos calcular as matrizes da seguinte forma:

N = inv([EspEstDisc.a-eye(3) EspEstDisc.b; EspEstDisc.c 0])*[0;0;0;1]

N = 0.0000; 0.0000; 1.0000; 0.0000

>> Nx = [N(1);N(2);N(3)]

Nx = 0.0000; 0.0000; 1.0000

>> Nu = N(4)

Nu = 9.2830e-016

Nu é praticamente zero.

;

F – Simulações comprovando o comportamento desejado com arealimentação; e o seguimento da posição de 90 graus.

Primeiramente a simulação é feita para uma entrada degrau unitário, comseguimento normalmente em 1.

O Valor da matriz C = [0 0 1] e D é uma matriz nula. A posição angular écorrespondida pela saída da planta.



Os gráficos demonstram que pelo fato de o coefiente de amortecimento ser

igual a 0.69, o overshoot ou sobressinal máximo será igual a 5%. No modelo de

simulação de diagrama de blocos é utilizado um ganho Nu+k*Nx, ganho este

chamado de Nbarra. Comprova-se pelos gráficos que realmente utilizando um

ganho K e com o ganho Nbarra, ambos na entrada, o sistema realimentado,

segue realmente a referência.



A mesma simulação com planta contínua foi feita para um seguimento daposição em 90 graus. Seguindo a referência em pi/2, o que equivale a

aproximadamente 1.57.

É percebida pela plotagem do gráfico uma estabilidade no sistema. Assim

como a estabilização também foi cumprida, já que a entrada do sistema foi ,

o valor esperado foi é de 1,57 que é o esperado e visto no gráfico.



G – Utilização do Controle Integral para compensar um distúrbio detorque do tipo degrau com amplitude 0.01.

3 – Observador de ordem completa

A – O motor CC é observável?Observabilidade Um sistema é completamente observável se e somente se

existe um tempo finito T tal que o estado inicial x(0) pode ser determinado a

partir do histórico de observações de y(t) dado o controle u(t), 0 t T.

Considerando o sistema com entrada única e saída única:

̇

(Dorf, Sistemas de Controle Modernos, pág. 545)

Devemos verificar o seu determinante. Caso o determinante seja zero, o

sistema é não observável, caso tenha alguma valor diferente de zero, o sistema

é observável.

O = [C; C*A;C*A^2];

Det(O) = -669.3548.

Como o determinante é diferente de zero, logo o sistema é observável.

B – Escolha do fator de rapidez do observador; e polos do observador.

O fator de rapidez do observador está relacionado com a rapidez da dinâmica

do sistema. O fator de rapidez escolhido foi a0 = 4;

Para determinação dos polos do observador, no matlab foram seguidos os

seguintes passos, encontramos a equação característica e logo após os polos:

function = tf(conv[1 2*E*a0*wn (a0*wn)^2],[1 a1*a0*wn] ), 1);

function = tf(conv[1 2*0.69*8*4 (4*8)^2],[1 10*4*8]),1);

Transfer function:



s^3 + 364.2 s^2 + 1.516e004 s + 327680

Polos do observador:

S1 = -320.03 ; S2 = -22.09 + 23.15i ; s3 = -22.09 – 23.15i

C – Discretização dos polos do observador e determinação do polinômio

característico discretizado.

Os polos do observador utilizando o método de mapeamento de polos e zeros

são os seguintes:

fz = c2d(function,0.07234,’matched’)

Transfer function:

3.025e005 z^3 + 1.28e004 z^2 + 1.24e004 z - 1.096e-006

S1 = -0.0212 + 0.2013i ; s2 = -0.0212 - 0.2013i; s3 = 0

Para conseguirmos obter a equação característica, existe um comando no

matlab denominado poly():

z^3 + 0.04233 z^2 + 0.04099 z - 3.624e-012

Equação característica

D – Matriz transformação de similaridade; e forma canônica observável do

motor CC.

Com o método utilizado na questão 1. O polinômio característico de Az é da

seguinte forma:



[

]

Utilizando o matlab para efetuar os cálculos, faz-se:

P1 = [0.5742 -1.5742 1; -1.5742 1 0; 1 0 0]*obsv(EspEstDisc)

A forma canônica controlável consegue-se obter por:

[n,d] = ss2tf(EspEstDisc.a, EspEstDisc.b, EspEstDisc.c, EspEstDisc.d);

Ac = [0 0 –d(4); 1 0 –d(3); 0 1 –d(2)]

Bc = [n(4); n(3); n(2)]

Cc = [0 0 1]

Dc = [n(1)]



E – Determinação dos vetores de ganhos e L .

Para obtenção dos vetores de ganhos

e L, utilizamos os coeficientes da

equação discretizada característica do observador () e os coeficientes da

equação característica do motor (. Com a posse desses coeficientes,

conseguimos obter transposto e por conseguinte e L.

Sendo o polinômio característico de A dado por:

Obtemos da seguinte forma efetuando os cálculos no matlab:

Lbarrat = [(-3.6244e-012 - 4.9802e-019) (0.0410 - 0.5742) (0.0423 +1.5742)]

Lbarra = Lbarrat’

L = inv(P1)*Lbarra

F – Autovalores de A – LC.

Conseguimos da seguinte forma calcularmos os autovalores de A-LC

ALC = eig(EspEstDisc.a – L*EspEstDisc.c);

ALC = 0.0000

-0.0212 + 0.2013i

-0.0212 - 0.2013i

Para confirmarmos a validade dos cálculos, verificamos que os autovalores de

(A – LC) coincidem com as raízes do polinômio característico desejado.

Verificamos na letra ( c ) da questão [3].



G – Simulações comparando os estados do observador com os estados

do motor CC em condições iniciais nulas e em condições iniciais

diferentes de zero.

H – Simulações da realimentação usando estados do observador; eusando estados do observador com seguimento de referência 90 graus.

Use Nx e Nu do item 2.

I – Utilização do estimador de bias para compensar um distúrbio de

torque do tipo degrau com amplitude 0.01.

4 – Observador de ordem (n-1)

Em projetos de sistemas de controle em que se torna necessária a

realimentação de estados, é desejável que todas as variáveis de estado

estejam disponíveis para realimentação. Na prática, porém, pode ocorrer que

nem todas as variáveis de estado estejam disponíveis, sendo necessária a

utilização de um sistema conhecido como observador de estados, capaz de

estimar as variáveis de estado de forma indireta do modelo estudado ( OGATA,

2002).

Observador de estados de ordem reduzida onde o observador de

estados irá apenas estimar as variáveis de estado não mensuráveis do

sistema, dispensando a estimação das variáveis que permitem a medição

direta.

REFERÊNCIAS ADICIONAIS

Antonio Ruano – Controle Digital

http://intranet.deei.fct.ualg.pt/ContD/Apontamentos%20Controlo%20Digital.pdf

2º trabalho de sistemas de controle

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