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FACULDADE PARANAENSE FACCAR

Disciplina:

MATEMÁTICA FINANCEIRA

CURSO DE ADMINISTRAÇÃO

2º ANO

Profa. Msc. SANDRA MARA NERI VIDOTTO

2013

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PORCENTAGEM

PORCENTAGEM pode ser definida como a centésima parte de uma grandeza, ou o cálculo baseado em 100 unidades.

É visto com freqüência as pessoas ou o próprio mercado usar expressões de acréscimo ou redução nos preços de produtos ou serviços.

Alguns exemplos:

- O Leite teve um aumento de 25%

Quer dizer que de cada R$ 100,00 teve um acréscimo de R$ 25,00

- O cliente teve um desconto de 15% na compra de uma calça jeans

Quer dizer que em cada R$ 100,00 a loja deu um desconto de R$ 15,00

- Dos funcionários que trabalham na empresa, 75% são dedicados.

Significa que de cada 100 funcionários, 75 são dedicados ao trabalho ou a empresa.

* Noção da porcentagem em números

Exemplos:

a) 60% de 150

60 de 150 dias de trabalho = 90 dias

100

b) 70% de R$120,00

70 de R$ 120,00 de compra = R$ 84,00

100

* O que é taxa de porcentagem

É definido como taxa de porcentagem o valor obtido aplicando uma determinada taxa a um certo valor. Também pode-se fixar a taxa de porcentagem como o numerador de uma fração que tem como denominador o número 100.

3

* Como calcular porcentagem

Todo o cálculo de porcentagem, como informado, é baseado no número 100.

O cálculo de tantos por cento de uma expressão matemática ou de um problema a ser resolvido é indicado pelo símbolo (%), e pode ser feito, na soma, por meio de uma proporção simples.

Para que se possam fazer cálculos com porcentagem (%), temos que fixar o seguinte:

1) A taxa está para porcentagem (acréscimo, desconto, etc), assim como o valor 100 está para a quantia a ser encontrada.

Exemplificando:

1) Um título tem desconto 10%, sobre o valor total de R$ 100,00. Qual o valor do título?

* Exemplos para fixação de definição

1) Um jogador de basquete, ao longo do campeonato, fez 250 pontos, deste total 10% foram de cestas de 02 pontos. Quantas cestas de 02 pontos o jogador fez do total de 250 pontos.

2) Um celular foi comprado por R$ 300,00 e revendido posteriormente por R$ 340,00, qual a taxa percentual de lucro ?

* Fator Multiplicante

Há uma dica importante a ser seguida, no caso de cálculo com porcentagem. No caso se houver acréscimo no valor, é possível fazer isto diretamente através de uma operação simples, multiplicando o valor do produto/serviço pelo fator de multiplicação.

Veja:

Tenho um produto X, e este terá um acréscimo de 30% sobre o preço normal, devido ao prazo de pagamento. Então basta multiplicar o valor do mesmo pelo número 1,30. Caso o mesmo produto ao invés de 30% tenha 20% de acréscimo então o fator multiplicante é 1,20.Observe esta pequena tabela:

4

Exemplo: Aumente 17% sobre o valor de um produto de R$ 20,00, temos R$ 20,00 * 1,17 = R$ 23,40

E assim sucessivamente, é possível montar uma tabela conforme o caso.

Da mesma forma como é possível, ter um fator multiplicante quando se tem acréscimo a um certo valor, também no decréscimo ou desconto, pode-se ter este fator de multiplicação.

Neste caso, faz-se a seguinte operação: 1 – taxa de desconto (isto na forma decimal) Veja:

Tenho um produto Y, e este terá um desconto de 30% sobre o preço normal. Então basta multiplicar o valor do mesmo pelo número 0,70. Caso o mesmo produto ao invés de 30% tenha 20% de acréscimo então o fator multiplicante é 0,80.

Observe esta pequena tabela:

Exemplo: Desconto de 7% sobre o valor de um produto de R$ 58,00, temos R$ 58,00 * 0,93 = R$ 53,94

E assim sucessivamente, é possível montar uma tabela conforme o caso.

* Exercícios resolvidos de porcentagem

1) Qual valor de uma mercadoria que custou R$ 555,00 e que pretende ter com esta um lucro de 17%?

5

2) Um aluno teve 30 aulas de uma determinada matéria. Qual o número máximo de faltas que este aluno pode ter sabendo que ele será reprovado, caso tenha faltado a 30% (por cento) das aulas ?

3) Um imposto foi criado com alíquota de 2% sobre cada transação financeira efetuada pelos consumidores. Se uma pessoa for descontar um cheque no valor de R$ 15.250,00, receberá líquido quanto?

4) Uma loja está oferecendo 15% de desconto para pagamento à vista na

compra de um automóvel que custa R$ 11.500,00. Quanto uma pessoa irá

pagar por esse carro, à vista?

1º modo: Preço % 100x = 172500 11500-1725 = 9775

11500 100 x = 1725

x 15

2º modo: 15% de 11500 = 100

15.11500 = 0,15.11500 = 1725 então 11500-

1725 = 9775

HP � 11500 ENTER 15% = 1725 11500 ENTER 15% -

OU

11500 ENTER 85% = 9775

5) Efetuando o pagamento do imposto predial após o vencimento uma empresa

pagou R$ 30,00 de multa. Como o imposto devido era de R$ 120,00, qual foi a

taxa de multa?

1º) 120 100 12Øx = 300Ø

30 x x = 25% 120 ENTER 90∆%

Valor Negativo

2º) razão i = Ø

Ø

12

3=

12

3 =

4

1 = 0,25 = 25%

1) Calcular

15% de 360 =

18,5% de 180 =

0,4 de 200 =

1,5% de 60 =

6) Qual o principal cujos 40% são 60?

6

Calcular a taxa de porcentagem que deve incidir em 3600 para resultar 144.

7) Numa cidade, 45% da população são homens. Qual é a população dessa

cidade, se nela residem 60500 mulheres?

8) Ao pagar uma conta de luz no valor de R$ 98,00, tive que pagar R$ 4,90 de

multa. De quantos por cento foi a multa?

9) Um operário recebeu esse mês R$ 520,00 de salário. Sabendo-se que a

empresa onde trabalha concedeu um reajuste de 20%, qual o salário anterior

desse operário?

EXERCÍCIOS

1) Em quanto por cento aumentou a população de uma cidade que era de

67200 habitantes e agora é de 92400 habitantes?

2) Um terreno foi vendido por R$ 9600,00 recebendo o intermediário 3% de

comissão. Calcule a comissão.

3) Vendi uma mercadoria recebendo 25% de entrada e o restante em 3

prestações de R$ 160,00 e uma de R$ 180,00. Qual o preço da mercadoria?

4) Em uma cidade, 35% da população é constituída de homens e 40% de

mulheres. Qual a população da cidade, se o número de crianças é de 8000?

5) Um comerciante pagou 20% de uma dívida. Determine a dívida inicial

sabendo que com R$ 43.680,00 ele pagou 35% do restante.

6) Uma classe escolar é composta de 50 alunos entre moças e rapazes. As

moças totalizam 60% dos alunos da classe. A uma excursão, compareceram

75% dos rapazes e 50% das moças. Determinar:a) quantos alunos foram à

excursão:b) qual a porcentagem de moças que foram à excursão em relação

ao total de alunos da classe:

7) A produção de uma indústria de calçados passou, em um certo ano, de 600

mil para 720 mil pares.a) Qual foi o aumento percentual de produção?b) Se

esse percentual de aumento se repetir para o ano seguinte, qual será a

previsão da produção nesse ano?

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8) Em uma cidade, 30% dos habitantes são menores de 16 anos, 80% dos

maiores de 16 anos são eleitores e 87,5% dos eleitores compareceram às

urnas para votar. Qual a porcentagem dos habitantes da cidade que

manifestaram sua vontade por meio do voto?

9) Uma certa indústria retém 12% do que deve pagar a qualquer autônomo que

lhe prestar serviço. Após esse desconto, outros 6% são retidos para

pagamento de Imposto de Renda. Qual é o pagamento bruto de um trabalhador

que recebeu líquido R$ 992,64?

10) Um comerciante comprou R$ 205.000,00 em sapatos de homem e R$

160.000,00 em sapatos de mulher. Sobre os sapatos de homem lucrou 40%,

mas perdeu 5% nos sapatos de mulher. Qual foi aproximadamente a taxa de

porcentagem do lucro obtido na venda desses sapatos?

Revisão de Exercícios.

1) Uma nota promissória, cujo valor era de R$ 5000, foi paga com um desconto de R$ 250. Qual a taxa de desconto? 2) Em uma escola, 40% dos alunos são meninas. O total dos alunos é 750. Quantos são os meninos ? 3) Um comerciante comprou 120 bonés a R$ 8 cada um. Vendeu a metade a R$10 e o restante a R$12. De quanto por cento foi o lucro? 4) Uma casa, que está alugada por R$9.600 ao ano, foi comprada por R$98.000. O proprietário gastou com ela, durante o ano, R$1.180 em impostos e reparos . Qual foi a taxa de rendimento do capital empregado? 5 )Em um concurso prestado por certo número de candidatos houve 18% de aproveitamento, ou seja, 117 aprovados; num outro, a que concorreram 350 candidatos, houve 22% de aproveitamento. Determine quantos candidatos se submeteram ao primeiro concurso e quantos foram reprovados no segundo. 6)Uma pessoa deseja adquirir uma televisão por R$ 460,00. Se o pagamento for à vista, a loja oferecerá um desconto de 5%. Como a pessoa não pode fazê-lo, paga 2/5 à vista e o restante em 3 prestações, sofrendo um aumento de 25% sobre a parte relativa às prestações. a) qual o preço à vista da televisão? b) Qual o valor de cada prestação? 7) No mês de Janeiro de 2009 Paula ganhava de salário R$ 1.200,00. Nos meses de Fevereiro, Março e Abril seu salário foi aumentado 10%, 12% e 18%, respectivamente. Qual o salário de Paula referente ao mês de Abril?

8

8) Uma duplicata sofreu os seguintes descontos sucessivos: 5%, 12% e 8%. Encontre a taxa única que substitui as três taxas dadas. 9) Sobre uma fatura de R$ 2.000,00 obtive um desconto de 10% e em seguida outro, que reduziu minha fatura em um líquido de R$ 1.530,00. Qual foi o segundo desconto? 10) O salário base de um funcionário é acrescido de 20% correspondente a adicionais por tempo de serviço. Sobre este total é calculado o desconto de 8,5% de imposto, e o líquido é depositado em sua conta bancária e é correspondente à R$ 1.410,93. Qual é o seu salário base? 11) No mês passado, uma loja remarcou os preços de suas mercadorias com acréscimos de 32% e neste mês mais 34% sobre os preços remarcados: a) qual a taxa acumulada de aumento que sofreram os preços nesses dois meses? b) quanto custa hoje uma mercadoria que antes dessas duas remarcações custavam R$ 2.500,00? 12) Em quanto por cento aumentou a população que era de 77.200 habitantes e agora é de 90.400 ? 13)Um terreno foi vendido por R$9.600, recebendo o intermediário 5% de comissão. Calcule a comissão.

15) Seu ordenado é de R$ 6.870,00. Porque trabalhou horas extras, seu

contracheque indica um bruto de R$ 8.300,00. O percentual do salário correspondente às horas extras foi de, aproximadamente:

16) Na minha cidade, foi feita uma pesquisa sobre o meio de transporte utilizado pelos alunos para chegarem à escola. Responderam à essa pergunta 2 000 alunos. Os resultados, em forma de porcentagem, foram colocados na tabela abaixo:

Meio de

transporte Porcentagem

Ônibus 38 % Automóvel 17 % Bicicleta 20 % A pé 25 %

Quantos dos entrevistados responderam: a-) de ônibus? b-) de automóvel? c-) de bicicleta? d-) a pé?

17) O salário de uma pessoa era de R$ 1 400,00, até ser promovida e receber um aumento de 20 %. Qual o seu novo salário?

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18) O salário médio de uma indústria de 354 funcionários é de R$ 3.300,00 .

Se a indústria der um aumento de 20% para cada funcionário que possui , qual será o novo salário médio ?

19) O preço do papel sulfite , em relação ao primeiro semestre de 2006 , teve

um aumento de 40% em agosto e um outro de 32% em setembro . No mês de novembro , teve um desconto de 25% . Qual seria o aumento do papel se ele fosse único?

20) Um computador que custava R$2.000,00, apresentou um lucro de R$100,00. De quanto por cento foi o lucro sobre o preço de venda?

21) Um comerciante que não possuia conhecimentos de matemática, comprou uma mercadoria por R$200,00. Acresceu a esse valor, 50% de lucro. Certo dia, um freguês pediu um desconto, e o comerciante deu um desconto de 40% sobre o novo preço, pensando que, assim, teria um lucro de 10%. O comerciante teve lucro ou prejuízo? Qual foi esse valor?

22) Uma compra foi efetuada no valor de R$ 1.500,00. Obteve-se um desconto de 5%. Qual foi o valor pago em reais?

23) Um carro, que custava R$ 12.000,00, sofreu uma valorização (acréscimo) de 0,12% sobre o seu preço. Quanto ele passou a custar?

24) Uma impressora a laser custou R$ 2.000,00 para uma gráfica. No período

de um mês, ela apresentou um lucro de R$ 100,00. De quanto por cento foi o lucro sobre o preço de compra?

25) Um determinado produto teve um acréscimo de 10%, sobre o seu preço

de tabela. Após certo período, teve um decréscimo também de 5% sobre o preço que foi aumentado, obtendo assim o preço atual. Qual é o percentual que o preço atual corresponde em relação ao primeiro valor (preço de tabela)?

26) De um exame para habilitação de motoristas participaram 380 candidatos;

sabe-se que a taxa percentual de reprovação foi de 15%. Calcule o número de aprovados.

27) Um investidor comprou um lote de ações por R$ 1.500,00 e as revendeu

um mês depois, por R$2.100,00. Qual foi o percentual de lucro por ele obtido?

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OPERAÇÕES COMERCIAIS

Operações de compra, venda, permuta, etc. de mercadorias, feitas com o

objetivo de obter lucro são chamadas operações comerciais, sendo o lucro a

diferença entre o preço de venda e o preço de custo.

Convém ressaltar que o custo de uma mercadoria não se limita ao seu

preço de aquisição. No custo também entram alguns fatores: gastos de

armazenamento, transporte, comercialização, etc. O levantamento sistemático

do custo de uma mercadoria é feito, nas empresas mais estruturadas, através

de uma planilha. No entanto ,é muito comum empresários simplesmente

arbitrarem uma determinada taxa de lucro a qual imaginam cobrir suas

despesas e permitir um lucro líquido razoável.

Antes de iniciarmos nossos estudos sobre esse assunto, vamos fazer

um importante esclarecimento preliminar. Em diversas situações envolvendo

operações comerciais, é comum ouvirmos frases como:

“Vendi uma mercadoria com 20% de lucro.”

“Vendi uma mercadoria com 30% de prejuízo.”

Frases como estas são, muitas vezes, motivo de dúvida e confusão:

20% de lucro sobre o quê? Trinta por cento de prejuízo sobre o quê?

É claro que, na maioria das vezes, a taxa de lucro (ou prejuízo) refere-se

ao preço de compra da mercadoria, pois este é o capital empregado pelo

comerciante. No entanto, algumas vezes, é mais prático trabalhar com taxas

sobre o preço de venda, pois esse, em geral, é o que está escrito nas tabelas,

cartazes, etiquetas, etc.

Exemplos:

Um comerciante fixou em 80% o lucro sobre o preço da aquisição de

suas mercadorias. Uma delas custou R$ 12.000,00. Por quanto deverá vendê-

la?

Quanto mais estiver especificado o tipo de preço sobre o qual a taxa

deverá incidir, subtende-se preço de custo.

11

Como se pode observar, a solução envolvendo operações comerciais,

no nível em que se apresenta neste tópico, pode ser obtida sem o uso de

fórmulas e com pouco trabalho. No entanto, é possível estabelecer um

formulário, que será útil para agilizar o cálculo, sobretudo quando for

necessário executá-lo de forma rotineira.

Dividimos os problemas de lucro e prejuízo em três casos básicos.

Lucro sobre o preço de custo

Considerando-se:

Pc = preço de custo

Pv = preço de venda

i c = taxa de lucro sobre o preço de custo

tem-se:

Pv = Pc + i c.Pc � Pv = Pc (1+ i c) � Pv = Pc (1+ i c)

Exemplo: Um comerciante deseja lucrar 40% em relação ao preço de aquisição

de suas mercadorias. Uma delas custou R$ 70,00. Por quanto deverá vendê-

la?

Lucro sobre o preço de venda

Considerando-se:



iv = taxa de lucro sobre o preço de venda

L = lucro

Tem-se

L = iv .Pv e Pc = Pv – L � Pc = Pv - iv .Pv � Pc= v (1- iv )

� PV= vi

Pc

−1

Exemplo: Uma mercadoria custou R$ 16,00. Pretendo vendê-la com 20% de

lucro sobre o preço de venda. A que preço devo vendê-la?

12

As operações envolvendo descontos ou abatimentos sobre preços de

mercadorias, ou sobre quaisquer valores, são comuns em nosso dia-a-dia. A

antecipação de um pagamento, muitas vezes, recebe um desconto; nas

liquidações promovidas pelo comércio, há desconto; em nosso salário, há

desconto do IAPAS, do imposto de renda.

O estudo do desconto é, portanto, muito útil e será desenvolvido nessa e

em outras oportunidades.

Considerando-se:

p = preço ou valor inicial, o qual sofrerá desconto

i = taxa de desconto

d = desconto concedido

V = valor final (ou valor descontado)

O desconto é proporcional ao valor inicial, onde a constante de

proporcionalidade é a taxa percentual de desconto, isto é:

d = ip

O valor final, o valor descontado, é o resultado da diferença entre o valor

inicial e o desconto, ou seja:

V = p – d � V = p – ip � V = p(1-i)

V = p(1-i)

V = valor final ou valor descontado

p = preço ou valor inicial

i = taxa de desconto

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

1)Quanto se deve pagar por uma mercadoria de R$ 300,00, se houver um desconto de 30%? 2)Um brinquedo foi comprado por R$ 43,46, incluindo um desconto de 18%. Qual seu preço normal? 3)Qual a taxa de desconto que está sendo oferecida na venda de uma mercadoria, remarcada de R$ 150,00 para R$ 132,00?

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OPERAÇÕES COM PREJUÍZO

O prejuízo é caracterizado por uma taxa de lucro negativa, o que

provoca mudança nos sinais dos números que exprimem as taxas nas fórmulas

27 e 28.

Considerando:



ic = taxa de prejuízo sobre o preço de custo

iv = taxa de prejuízo sobre o preço de venda

tem-se:

prejuízo sobre o preço de custo � Pv = Pc(1-ic)

prejuízo sobre o preço de venda � vi

PcPv

+=

1

Exemplo: Comprei um aparelho de som por R$ 450,00. Precisando de dinheiro,

fui obrigado a vendê-lo, com 22% de prejuízo. Por quanto vendi o aparelho?


1) Um objeto que custou R$ 2.850,00 foi vendido por R$ 3.192,00. Qual foi a

taxa de lucro sobre o preço de custo?

2) Vendi um objeto por R$ 585,00 e ganhei 30% sobre o preço de custo.

Quanto paguei pelo objeto?

3) Na venda de um objeto um comerciante ganhou 15% sobre o preço de

venda, isto é, R$ 105,00. Qual foi o preço de custo?

4)Um comerciante comprou 40Kg de feijão e quer vendê-los no varejo de modo

a poder comprar com o dinheiro da venda, 50Kg do mesmo feijão. Qual deve

ser a taxa de lucro sobre a compra?

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DESCONTOS SUCESSIVOS

Se a um valor p for aplicado um desconto i1, obteremos V1. Se a este V1

for aplicada uma taxa i2 obteremos V2, formando assim um desconto sucessivo.

V1 = p (1-i1)

V2 = V1 (1- i2) � V2 = p (1 – i1 ) (1 – i2) ... e, assim, sucessivamente.

V = p ( 1 – i1).(1 – i2).(1 – i3) ... (1 – in)

V = valor final

p = valor inicial

i1, i2, i3, ..., in = taxa de desconto

Ex.1: Uma indústria resolve diminuir sua produção mensal, de 50.000

unidades, em 5%. Um mês depois, resolve diminuir novamente sua produção

em mais 7%. Qual a produção atual dessa indústria?

Ex.2: Uma fábrica que tem preços tabelados para suas mercadorias remarcou

com 30% de abatimento as unidades que apresentavam defeito de fabricação.

As pessoas que comprassem dez ou mais unidades teriam ainda 20% de

abatimento sobre o preço remarcado. Uma pessoa comprou 12 dessas

unidades. Pergunta-se:

a) Qual a taxa de desconto que lhe foi feita?

b) Quanto pagou de total se o desconto era de R$ 1.852,00?

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

1) Por quanto devo vender um objeto que comprei por R$ 150,00, se desejo obter um lucro de 30% sobre o preço de custo?

2) Calcule o preço de venda de um objeto que comprei por R$ 500,00 e, a seguir, vendi com 10% de prejuízo sobre o preço de custo.

3) Calcule o preço de venda de um objeto que comprei por R$ 499,40 e, a seguir vendi com 10% de prejuízo sobre o preço de venda.

4) Um lojista vende uma mercadoria no atacado por R$ 1.230,00. A mesma mercadoria, no varejo, é vendida por R$ 1414,50. Que taxa percentual representa a diferença entre os dois em relação ao preço no atacado?

5) Comprei uma máquina de calcular na loja A por R$ 500,00. Minutos depois passei pela loja B e verifiquei que a mesma máquina custava nessa loja R$ 475,00. Que taxa de porcentagem representa o meu prejuízo em relação ao preço da loja A?

6) Um objeto foi vendido por R$ 450,00 com 30% de prejuízo sobre o preço de custo. Qual foi o preço de custo?

15

7) Na venda de um objeto, ganhou-se 25% sobre o preço de venda, o que significou R$ 100,00. Qual o preço de custo desse objeto?

8) Uma operação comercial foi realizada com 30% de lucro sobre a venda e rendeu R$ 60.000,00. Qual foi o preço de compra?

9) Vendi um automóvel por R$ 7.000,00 e tive um prejuízo de 30% sobre o preço de compra. Qual foi esse preço?

10) Qual o percentual de prejuízo que tive sobre a venda de um objeto que me custou R$ 2.300,00 e foi vendido por R$ 1.200,00?

11) Um objeto cujo preço normal é de R$ 80,00 foi vendido a R$ 50,00. Qual foi a taxa de desconto?

12) Uma empresa demitiu em um determinado mês 20% de seus 30.000 funcionários. No mês seguinte, a empresa resolveu demitir 8% dos que ficaram. Quantos funcionários permaneceram na empresa?

13) Uma pessoa empregou seu capital, sucessivamente, em 4 empresas. Na primeira, ganhou 80% e, em cada umas das outras, perdeu 10%. Que taxa ganhou sobre o capital empregado?

Exercícios 1) Um objeto foi comprado por R$ 5000,00 e vendido por R$ 6.500. De quanto por cento foi o lucro sobre o preço de compra?

2) Quanto custou um objeto vendido por R$ 248 com um prejuízo de 20% sobre o PREÇO DE CUSTO?

3) Por quanto devo vender um lote de tecidos comprados por R$ 2.000,00 para obter 40% de lucro sobre a venda?

4) Calcular o prejuízo de um objeto que comprei por R$ 800,00 tendo perdido 25% sobre o preço de venda?

5) Na venda de certa mercadoria, um comerciante teve um prejuízo de 5% do custo. Se o preço de venda foi de R$ 95.500,00, qual foi o preço de custo?

6) Na venda de um equipamento eletrônico, houve um lucro equivalente a 60% do preço de custo. Que porcentagem representa o lucro, quando relacionado com o preço de venda?

7) Um objeto foi comprado por R$ 2.800,00 e vendido por R$ 3500,00.

a) Qual a taxa de lucro sobre o preço de custo?

b) Qual a taxa de lucro sobre o preço de venda?

8) Quanto custou um objeto vendido por R$ 248 com um lucro de 20% sobre o preço de venda?

9) Uma agência vendeu um carro por R$ 4.500,00.Sabendo que na venda teve um prejuízo de 15% sobre preço de venda , quanto custou esse carro?

10)Calcule o preço de venda de um objeto comprado por R$184,00, para ganhar 30% sobre o preço de venda.

16

.11) Quanto por cento sobre o custo se perdeu ao se vender por R$ 238,00 um objeto que custou R$280,00?

12) Na venda de certa mercadoria, um comerciante teve um prejuízo de 5% do custo. Se o preço de venda foi de R$ 85.500,00, qual foi o preço de custo?

13) Na venda de um equipamento eletrônico, houve um lucro equivalente a 80% do preço de custo. Que porcentagem representa o lucro, quando relacionado com o preço de venda? REVISÃO DE PORCENTAGEM

1) Por quanto devo vender um lote de tecidos comprados por R$ 2.000,00 para obter 40% de lucro sobre a venda?

2) Calcular o prejuízo de um objeto que comprei por R$ 800,00 tendo perdido 25% sobre o preço de venda?

3) Uma mercadoria de R$ 520,00 remarcada três vezes neste mês, um acréscimo de 2,5% e dois seguintes de 4% cada um. Qual o novo preço da mercadoria?

4) De um exame para habilitação de motoristas participaram 380 candidatos; sabe-se que a taxa percentual de reprovação foi de 15%. Calcule o número de aprovados.

5) Um comerciante aumentou os preços de suas mercadorias em 150%. Como a venda não estava satisfatória, volta aos preços praticados antes do aumento. Em relação aos preços aumentados, qual foi o percentual de redução?

6) O aluguel que uma pessoa paga por um imóvel passou de R$ 4500,00 para R$ 7.515,00. A porcentagem de aumento é;

7) Comprei uma casa cujo preço estipulado foi de R$ 50.000,00. Além disso, paguei 8% desse valor a título de impostos e 3% para o corretor. Quanto paguei no total?

8) Um objeto foi comprado por R$ 4.250,00 é vendido com um prejuízo de 25% do preço de custo. Qual foi esse preço de venda.

9) Por quanto se deve vender um automóvel que custou R$ 80.000,00 , para se obter um lucro equivalente a 40% do preço de venda?

10) Num certo ano, uma empresa automobilística produziu um total de 20.000 unidades. Nos dois anos seguintes a produção aumentou de 10% e 15%, respectivamente. A produção anual após esses dois aumentos foi:

11) Um relojoeiro adquiriu um lote de 120 relógios a razão de R$ 80,00 cada um. Vende 2/3 a R$ 95,00 cada um e o restante a R$ 102,00 cada um. De quanto por cento foi o lucro?

12) O senhor Z contrata um advogado; este consegue receber 90% do valor da questão avaliada em R$ 30.000,00e cobra, a título de honorários, 15% da quantia recebida. Qual a importância que resta para o senhor Z?

13) Quanto por cento sobre o custo se perdeu ao se vender por R$ 238,00 um objeto que custou R$ 280,00?

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14) Suponha que, em dois meses, um determinado título de capitalização teve seu valor reajustado em 38%. Sabendo-se que o reajuste no 1º mês foi de 15%, podemos afirmar que o do 2º mês foi de:

15) O preço do papel sulfite, em relação ao primeiro semestre de 2006, teve um aumento de 40% em agosto e um outro de 32% em setembro . No mês de novembro, teve um desconto de 25% . Qual seria o aumento do papel se ele fosse único?

16) Um comerciante que não possuía conhecimentos de matemática, comprou uma mercadoria por R$200,00. Acresceu a esse valor, 50% de lucro. Certo dia, um freguês pediu um desconto, e o comerciante deu um desconto de 40% sobre o novo preço, pensando que, assim, teria um lucro de 10%. O comerciante teve lucro ou prejuízo? Qual foi esse valor?

17) Um objeto foi comprado por R$ 4.250,00 é vendido com um prejuízo de 25% do preço de custo. Qual foi esse preço de venda.

18) Um funcionário público tem um reajuste salarial de 47% num certo ano; no ano seguinte, tem um novo reajuste de 74%. Se está ganhando R$ 3.069,36, quanto ganhava antes dos dois reajustes?

19) Em uma liquidação, várias mercadorias tiveram seus preços remarcados, depois de sofrer descontos em seus preços normais.

a) quanto se deve pagar por uma mercadoria de R$ 54,00, sujeita a um desconto de 15%?

b) Qual o preço normal de uma mercadoria que, com desconto de 20%, está sendo oferecida por R$ 20,64?

c) Qual a taxa de desconto que está sendo oferecida em uma mercadoria cujo preço foi remarcado de R$ 350,00 para R$ 290,50?

20) A venda de um objeto que custou R$612,00 deu, ao vendedor, um lucro de 40% sobre o preço de venda.

a) qual o preço de venda?

b)De quanto foi o lucro?

c) qual a taxa de lucro sobre o preço de custo?

21) Um comerciante tem um lucro de 20% sobre o custo das mercadorias que vende. Qual seu lucro sobre o preço de venda?

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MATEMÁTICA FINANCEIRA

Questão Fundamental:

Quanto vale RS 1.000,00 daqui a três meses?

A Matemática Financeira

A Matemática Financeira estuda e avalia as alterações ocorridas nos Fluxos de Caixa ao longo do tempo, isto é, entradas e saídas de dinheiro. Trata essencialmente do estudo do valor do dinheiro ao longo do tempo, fornecendo técnicas para se compararem as quantias movimentadas em datas distintas, efetuando análises e comparações através de relações formais.

Dominar os fundamentos básicos da Matemática Financeira, bem como conhecer e utilizar as ferramentas adequadas, capacita os usuários a tomarem decisões quanto a investimentos e a empréstimos, otimizando os seus recursos e avaliando as melhores alternativas disponíveis.

O Valor do Dinheiro no Tempo

Um dos fundamentos da atividade financeira é a variação do valor do dinheiro ao longo do tempo. Por exemplo: é melhor ter hoje R$ 100, 00. do que numa data futura qualquer. Independente da existência de inflação, alguém que disponha de R$ 100,00 hoje pode aplicá-los a uma certa taxa de juros, por menor que seja e, numa data futura, ter os mesmos R$ 100,00, mais algum valor complementar. Como conseqüência disso, o dinheiro tem valor diferenciado ao longo do tempo, o que significa que somente podem ser comparados valores quando estiver na mesma data.

Juros

Os fatores de produção considerados em economia - trabalho, terra, capacidade administrativa, técnica e capital - são remuneradas cada um de uma forma. Ao trabalho o salário, á terra o aluguel, á capacidade administrativa o lucro, á técnica o royalty e, finalmente, ao capital os juros. Os juros também podem ser considerados como sendo o preço da moeda ou da liquidez. Os juros são, portanto, o custo do capital ou o custo do dinheiro, sendo estas expressões freqüentemente utilizadas como sinônimo de juros. Mais especificamente, os juros são o pagamento pela oportunidade de poder dispor de um capital durante determinado tempo.

Na sociedade atual, quase todas as pessoas estão envolvidas em transações de juros. As compras a crédito, os cheques especiais, as compras de casas próprias são alguns exemplos deste envolvimento.

Na administração de empresas, a ocorrência dos juros é ainda mais intensa. Alguns exemplos são: desconto de duplicatas, compras a prazo, venda a prazo e obtenção de empréstimos.

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Quando situações econômicas são investigadas, as quantias de dinheiro envolvidas são sempre relacionadas com um fator indispensável e incontrolável: o tempo. Neste estudo, todas as quantias de dinheiro serão referidas a urna data, e somente poderão ser transferidas para outra data considerando os juros envolvidos nesta transferência. Será, pois, proibido somar ou subtrair quantias de dinheiro que não se referirem à mesma data.

O Conceito Matemático de Juros

Pelo que foi exposto, sabe-se que durante uma operação que envolva urna particular mercadoria - dinheiro - aparecerão os juros, os juros são o cesto da operação. A duração da operação é denominada prazo é nesse intervalo de tempo que os juros são produzidos, e que são fração direta do prazo e da mercadoria (denominada capital).

Matematicamente, os juros são diretamente proporcionais ao capital e ao prazo da aplicação.

• IMPORTANTE NÃO CONFUNDIR

Juros - remuneração do capital aplicado (vem expresso em unidades monetárias),

Taxas de Juros - razão entre os juros pagos e o capital (vem expresso na forma unitária ou porcentagem)

O conceito de juros como remuneração (ou rendimento) de um capital é importante, pois uma operação (de investir ou emprestar) envolve sempre um risco, e quanto maior o risco, maior serão os juros e, conseqüentemente, maior será a taxa de juros.

Considerações sobre TEMPO e TAXA

• TEMPO

O tempo pode ser contado a partir de duas convenções:

EXATO: é aquele que leva em conta o chamado ano civil, no qual são contados pelo calendário, isto é, o mês pode ter 28, 29, 30 ou 31 dias e o ano pode ter 365 dias ou 366 dias (anos bissextos).

Obs.: No final do livro você encontrará uma tabela para facilitar a contagem do número de dias.

COMERCIAL (ou aproximado): é o que leva em conta o chamado ano comercial, isto é, aquele em que o mês (qualquer que seja ele) é considerado como tendo 30 dias e o ano (qualquer que seja ele), 360 dias.

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• TAXA

A taxa é por convenção, a razão entre o juro obtido no fim do primeiro período e o capital. A taxa de juro refere-se sempre a um dado período financeiro: ao dia (ad), ao mês (am), ao bimestre (ab), ao semestre (as), ao ano (aa), etc. A taxa de juro (i) costuma apresentar-se, principalmente de duas maneiras.

Forma Percentual:

Representa o juro de 100 unidades do capital, no período tomado como unidade de tempo.

Exemplo: i = 5% am (lê-se: cinco por cento ao mês)

Forma Unitária:

Representa o juro de 1 unidade do capital, no período tomado como unidade de tempo.

Exemplo: i 6% am = 0,06 am.

Classificação:

As taxas podem ser proporcionais, equivalentes, nominais, efetivas e reais. Nos capítulos seguintes será detalhada a característica, cálculos e quando aplicar cada uma delas.

Os Sistemas de Capitalização

O processo pelo quais os juros se formam e são incorporados ao capital é chamado capitalização. Existem três sistemas de capitalização:

a) Capitalização Simples - é aquela em que os juros são calculados fazendo a taxa incidir sempre sobre o Capital inicial, qualquer que seja o número n de períodos de capitalização.

b) Capitalização Composta - é aquele em que os juros, a partir do 2º período de capitalização são calculados fazendo a taxa incidir sobre o montante formado no período anterior.

c) Capitalização Contínua - é um caso mais geral de capitalização composta, onde os juros produzidos em um instante t são imediatamente incorporados ao capital, produzindo juros no instante t1 seguinte. O capital, nesse caso, varia a intervalos infinitesimais de tempo.

21

IMPORTANTE!!!

Neste curso iremos aplicar somente a capitalização simples e a composta.

Exemplo de Capitalização Simples e Composta

Exemplo: No dia 01/02/2005 uma pessoa fez um empréstimo R$ 1.000,00 para pagamento em 90 dias. A taxa de juros acertada foi de 10% ao mês, com capitalização mensal. Determine o montante ao final dos 3 meses pelos dois sistemas.

CAPITALIZAÇÃO SIMPLES

Data Capital Juros Saldo devedor

01/02/2005

28/02/2005

31/03/2005

30/04/2005

CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA

Data Capital Juros Saldo devedor

01/02/2005

28/02/2005

31/03/2005

30/04/2005

Analisando esse exemplo, pode-se observar que, no fim do primeiro mês, os montantes são iguais nos dois sistemas de capitalização. No entanto, do segundo mês em diante, os montantes diferem, dando valores cada vez maiores no sistema de capitalização composta pelo fato dos juros compostos serem calculados sobre valores maiores do que os juros simples.

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CAPITALIZAÇÃO SIMPLES

Juros e Descontos Simples

Introdução

Neste capítulo vamos desenvolver as fórmulas básicas de juros simples e descontos simples e suas aplicações.

O regime de juros e descontos simples é utilizado no mercado financeiro, notadamente nas operações de curto prazo, em função da simplicidade de cálculo e também para reduzir ou aumentar ficticiamente a verdadeira taxa de juros das operações. Somente o regime de juros compostos permite uma avaliação correta dos fluxos de caixa das operações financeiras.

A rigor o fenômeno da capitalização só ocorre no regime de juros compostos, onde os juros se transformam em capital e passam a render juros. Entretanto é comum o emprego da expressão “capitalização simples” para se referir ao crescimento do dinheiro no regime de juros simples.

Para a determinação dos JUROS SIMPLES envolvidos em certa operação financeira, alguns fatores merecem destaque especial.

• CAPITAL INICIAL (C) - dinheiro aplicado.

• TAXA (i) - porcentagem de remuneração.

• TEMPO (n) - período de aplicação (anos, meses, dias, etc.).

Taxas Proporcionais

O conceito de taxas proporcionais está diretamente ligado ao regime de juros simples.

Duas taxas se dizem proporcionais quando há uma proporção entre as grandezas em que se expressam e as durações dos períodos de tempo a que se referem.

As taxas de 2% am e 24% aa são proporcionais, pois, formam uma proporção que se lê: 2 está para 1 mês assim como 24 está para 12 meses. Na prática, basta efetuar uma multiplicação ou uma divisão conveniente.

Exemplo 1

Encontrar a taxa de juro anual, proporcional a 3% am

23

Exemplo 2

Encontrar a taxa de juro mensal, proporcional a 48% aa

Exemplo 3

Dada a taxa de 2% ad, encontrar as taxas proporcionais abaixo:

a) Mensal b) Trimestral c) Anual

Cálculo dos Juros Simples

De modo geral, os juros simples (J), resultante da aplicação de um capital C a uma taxa (i) durante um período (n) de tempo, podem ser calculados através da fórmula:

J = C.i.n

IMPORTANTE:

• A taxa e o tempo sempre deverão estar na mesma unidade.

• A taxa sempre deverá estar na forma unitária.

Exercícios da Aula

01. Qual é o juro simples que um capital de R$ 30 000,00 produz, quando aplicado durante 5 meses, a uma taxa de 3,5% am?

02. Qual é o juro simples que um capital de R$ 2 500,00 rende quando aplicado durante um ano, à taxa mensal de 2%?

24

03. Um capital de R$ 10000,00, investido a juros simples de 63% ao ano, foi sacado após três meses e 10 dias, a contar da data do investimento. Qual foi o juro?

04. Qual é a taxa mensal de juros simples que deve incidir sobre um capital de R$ 5 000,00 para que este, em quatro meses e meio, renda R$ 720,00?

05. Que capital inicial, em cinqüenta dias, a uma taxa simples de 0,5% ad rende RS 2 000,00?

06. Calcular o juro simples que um capital de RS 2 500,00 rende a taxa de 7% am, quando aplicado de primeiro de fevereiro até 4 de maio.

07. Um investimento a juros simples, realizado com base no ano civil, em 18 de julho, rendeu em 30 de setembro, à taxa anual de 80%, juros de RS 118,40. Calcular a quantia investida.

08. Um investidor aplicou certo capital por 3 meses, à taxa de juro simples de 7%am. Decorridos os três meses, o mesmo capital foi aplicado por mais 2 meses, à taxa de 48% aa. A soma dos juros obtidos nas duas transações foi de R$ 362 500,00. Qual foi o capital inicial aplicado?

09. Coloquei 3/7 do meu capital aplicados a 8% aa, e o restante a 10% aa recebendo juro anual de R$ 4 850,00. Qual era o meu capital?

10. Dois capitais colocados - o primeiro a 1 30% aa durante 8 meses, e o segundo a 90% aa durante 9 meses - rendem juros iguais. Determinar esses capitais, sabendo que a diferença entre eles é de R$ 2 800,00.

11. Metade de um capital foi colocado a juros, à taxa de 18 % ao ano, e a outra metade a 12 % ao ano. No final de 4 meses, os juros somaram R$ 640,00. Calcular o capital total.

Montante

Existem problemas em que é necessário trabalhar com a soma do capital mais juro. O resultado dessa soma recebe o nome de MONTANTE, ou seja:

M = C + J

Como J = Cit, podemos escrever a expressão acima da seguinte acima da seguinte maneira:

M = C + Cm

Colocando C em evidéncia, obtemos: M = C(1 + in)

25

Exercícios da Aula

01. Qual é o montante resultante de uma aplicação de RS 2 980,00 à taxa de 2% am durante 6 meses?

02. Coloquei certa quantia em banco a 48% aa e retirei, depois de 4 anos, R$ 9 280,00. Quanto recebi de juros, sabendo que a aplicação foi feita à base de juros simples?

03. Emprestei uma certa quantia a 80% ao ano e recebi R$ 3 230,00 depois de 2 anos e 4 meses. Quanto emprestei?

04. Calcular o montante de uma aplicação a juros simples de um capital de R$ 2 500,00 à taxa mensal de 8%, feita em 14 de março e resgatada em 3 de abril do mesmo ano.

Exercícios Propostos

01. Calcular os juros mensais de R$ 1 680,45 à taxa de 9% aa.

02. Qual é o rendimento de R$ 1 800,00 a 10% aa em 2 anos e 6 meses?

03. Qual o capital que, á taxa de 18% aa produz R$ 1 485,80 em 2 anos?

04. Depositei certa quantia em um banco e recebi o montante de R$ 6 400,00 no fim de 40 dias. Se a aplicação foi feita à taxa de 6% aa, quanto recebi de juros?

05. A que taxa anual um capital de R$ 8 400,00, em 1 mês e 10 dias, renderia R$ 300,00?

06. Qual deveria ser a taxa anual para que um capital qualquer rendesse, em 3 anos, 3/5 do seu valor?

07. Em quanto tempo R$ 120,00 aplicados a 15% aa produziriam juros de R$ 80,00?

08. A que taxa mensal um capital quintuplica em 10 anos?

09. O montante, após um empréstimo por 18 meses, é 8/5 do capital emprestado. Qual é a taxa anual usada na operação?

10. Um capital ficou depositado durante 2 anos, à taxa de 4% aa. Findo este período, o montante foi reaplicado a 6% aa durante 18 meses. Determinar os capitais iniciais, sabendo que o montante final foi de R$ 17658,00.

11. Dividir R$ 360,00 em duas partes de tal forma que a primeira parte produza em 6 meses o mesmo juro que a segunda em 3 meses, ambas com a mesma taxa de aplicação.

26

12. Um capital de R$ 29 000,00 foi dividido em duas partes. A primeira está empregada a 16% aa e, a segunda, a 11% aa. Determinar essas partes, sabendo que a soma do rendimento anual das duas partes perfaz R$ 4 440,00.

13. Que capital inicial, aplicado à taxa de juro simples de 72% aa, eleva-se a R$ 131 600,00 em 1 ano, 2 meses e 20 dias?

14. Uma loja oferece um aparelho por R$ 500, 00, a vista. Na compra desse aparelho a prazo, pede-se 20% do valor a vista, como entrada, e mais um pagamento de R$ 550,00 no prazo de 2 meses. Que taxa de juro a loja esta cobrando nessa operação?

Respostas

1)12,60 2) 450 3) 4127,22 4) 42,38 5) 32,14% aa 6) 20% aa

7)4a 5m 10d 8)3,33% am 9)40% aa. 10) 15000 11)120 e 240 12) 25000 e 4000 13) 70000 14) 18,75% am

Descontos Simples

Ao contrair uma dívida a ser paga no futuro, é muito comum o devedor oferecer ao credor um documento denominado TÍTULO, que é o comprovante dessa operação. De posse do título, que é usado para formalizar uma divida que não será paga imediatamente, mas dentro de um prazo estipulado, o credor poderá negociar o pagamento antecipado da divida através de um banco.

Outra aplicação do cálculo do desconto é quando o pagamento é feito antes do vencimento, dando direito ao devedor a um desconto por pagamento antecipado.

Há dois tipos de títulos bastante utilizados: nota promissória e duplicata.

Assim como no juro, também no desconto a capitalização poderá ser simples ou composta. Neste capítulo estudaremos apenas o desconto com capitalização simples.

Desconto é o valor resultante da aplicação de uma determinada taxa, durante um determinado tempo, sobre um determinado capital. A diferença reside, contudo, no sentido da operação. Enquanto nos problemas de juros simples o valor obtido (juros) é somado ao capital para se obter o montante, nos problemas de desconto o valor obtido (desconto) é subtraído do capital, obtendo-se, assim, o seu valor líquido.

Nas operações envolvendo um título de crédito, destacamos alguns elementos.

27

VALOR NOMINAL (N): é o valor do título em sua data de vencimento.

VALOR ATUAL(A): é o valor do titulo em data anterior à de seu vencimento. (o valor líquido também pode ser chamado de valor atual)

Assim, por exemplo, no caso de uma pessoa possuidora de uma duplicata de R$ 20 000,00 que a descontou em um banco, numa data anterior à de seu vencimento, por R$ 15 000, 00, temos:

Valor nominal: N = R$ 20 000,00

Valor líquido: A= R$ 15 000,00

Desconto: D = R$ 5 000,00

No cálculo do desconto, o correto seria calcular o desconto com base no valor líquido, uma vez que este é o valor efetivamente pago pelo título. No entanto, na maioria das vezes, o desconto é cobrado com base no valor nominal do título, não só para facilitar os cálculos, como por representar maior rentabilidade para o “comprador do título”, no caso o banco.

Esse fato gera o aparecimento de dois tipos de descontos simples: o racional e o comercial, os quais estudaremos a seguir.

Desconto racional simples

Desconto racional simples, também chamado d por dentro ou desconto

real, é o desconto simples aplicado sobre o valor atual do título. Indicaremos o

desconto racional por d.

Esse tipo de desconto equivale a uma espécie de juro simples, em que o

capital inicial corresponde ao valor atual de título. Assim, para um título

descontado n períodos de tempo antes de sua data de vencimento, a uma taxa

i e com um certo valor atual A, temos:

d = Ain

No entanto, na maioria das situações envolvendo descontos, tem-se

conhecimento do valor nominal e não do valor atual do título. Por esse motivo,

faz-se necessária a dedução de uma relação para o desconto racional, que

envolva o valor nominal do título.

Por (43), sabemos que: A = N – d

d = Ain � d = (N – d) in � d = Nin – din � d + din = Nin � d (1 + in) =

Nin

28

Daí temos, in

Nind

+=

1

Agora, acompanhe a dedução de uma importante relação para o trato do

desconto racional: a relação entre o valor nominal e um dado valor atual

racional.

A = N – d � A = N - in

Nin

+1 � A =

in

NininN

−

−−

1

)1( � A =

in

NinNinN

−

−−

1 � A =

in

N

−1 ou N = A.(1-in)

Percebe-se que nada mais do que a fórmula do montante: M = C (1+it),

adpatada ao desconto.

in

Nind

+=

1

in

NA

−=

1 ou N = A (1 + in)

d = desconto racional

i = taxa de desconto racional

n = prazo de antecipação do título

A = valor atual racional

N = valor nominal

OBS: i e n devem re Esse tipo de desconto equivale a uma espécie de juro simples, em que o

capital inicial corresponde ao valor atual de título. Assim, para um título

descontado n períodos de tempo antes de sua data de vencimento, a uma taxa

i e com um certo valor atual A, temos:

d = Ain

No entanto, na maioria das situações envolvendo descontos, tem-se

conhecimento do valor nominal e não do valor atual do título. Por esse motivo,

faz-se necessária a dedução de uma relação para o desconto racional, que

envolva o valor nominal do título.

Por (43), sabemos que: A = N – d

d = Ain � d = (N – d) in � d = Nin – din � d + din = Nin � d (1 + in) =

Nin

Daí temos, in

Nind

+=

1

29

Agora, acompanhe a dedução de uma importante relação para o trato do

desconto racional: a relação entre o valor nominal e um dado valor atual

racional.

A = N – d � A = N - in

Nin

+1 � A =

in

NininN

−

−−

1

)1( � A =

in

NinNinN

−

−−

1 � A =

in

N

−1 ou N = A.(1-in)

Percebe-se que nada mais do que a fórmula do montante: M = C (1+it),

adaptada ao desconto.

in

Nind

+=

1

in

NA

−=

1 ou N = A (1 + in)

d = desconto racional

i = taxa de desconto racional


A = valor atual racional

N = valor nominal


1) Uma pessoa pretende saldar uma dívida cujo valor nominal é de R$ 6.462,50, 2 meses antes da data de vencimento. Qual o desconto a que fará jus se a taxa corrente no mercado é de 60% a.a. e o critério adotado foi o do desconto racional simples?

2) Qual o valor atual de uma nota promissória de R$ 7.500,00, 4 meses antes

de seu vencimento, à taxa de 60% a.a.? ( Considere o desconto racional simples).

3) Uma nota promissória, resgatada 90 dias antes de seu vencimento foi

negociada por R$ 53.409,00, à taxa de desconto racional de 84% a.a. Qual era o valor nominal desse título?

4) Dois títulos, A e B, foram resgatados racionalmente 2 e 3 meses,

respectivamente, antes de suas datas de vencimento. A soma dos valores nominais dos dois títulos é de R$ 201.000,00 enquanto o valor de resgate do título A supera o do título B em R$ 20.000,00. Encontre o valor de resgate de cada título, sabendo que ambos forma negociados à taxa de 10% a.m.

5) Um título foi resgatado racionalmente 2 meses antes de seu vencimento.

Qual foi a taxa simples adotada nessa operação, se o desconto concedido foi igual à metade do seu valor atual na data de resgate?

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Desconto comercial simples

Desconto comercial simples, também chamado desconto “por fora”, é o

desconto simples aplicado sobre o valor nominal do título, indicaremos o

desconto comercial por dc.

Esse tipo de desconto equivale a uma espécie de juro simples, em que o

capital inicial (C ou A) foi substituído pelo valor nominal do título (N).

Assim, para um título de valor nominal N, descontado n períodos de

tempo antes de seu vencimento, a uma taxa de desconto comercial L, temos:

d = Ain

dc = Nicn

A relação entre o valor nominal e o valor atual, sob o critério do desconto

comercial:, pode ser deduzida como se segue;

Ac = N – dc � Ac = N - N.ic.n � Ac = N (1 - icn) ou ni

AN

c

c

−=

1

Em resumo, temos as seguintes relações básicas para o trato do

desconto comercial:

dc = Nicn

dc = desconto comercial

ic = taxa de desconto comercial


Ac = N (1 - icn) ou ni

AN

c

c

−=

1

Ac = valor atual comercial N = valor nominal

OBS: ic e n devem referir-se a um mesmo período de tempo.

1) Em 2002 um título com valor nominal de Cr$ 35.000,00 foi resgatado 40

dias antes de sua data de vencimento, à taxa de 3% a.m. Qual o

desconto comercial concedido?

2) Em 2002 resolvi quitar uma dívida de Cr$ 8.500,00, faltando 23 dias

para o seu vencimento. Que valor devo pagar, se meu credor exigiu que

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a operação se realizasse com base na taxa de desconto comercial de

3,6% a.m.?

3) Por uma duplicata de R$ 20.000,00, um banco pagou o líquido de R$

19.250,00. Quantos dias ainda faltavam par o vencimento do título, se a

operação deu-se à taxa comercial de 30% a.a.?


01. Qual o desconto comercial, a 5% am, sobre um título de R$ 750,00, pago 2 meses e 10 dias antes do vencimento?

02. Um título no valor de R$ 1 200,00, pago 5 meses antes do vencimento, ficou reduzido a R$ 900,00. Qual foi a taxa mensal usada?

03. Resgatei, em 16 de abril, uma nota promissória cujo vencimento estava marcado para o dia 10 de junho do mesmo ano. Obtive um desconto de R$ 4 400, 00, calculado com uma taxa mensal de 6%. Qual era o valor nominal da promissória, sabendo que o desconto foi comercial?

04. Um banco opera no desconto de título a taxa comercial de 9% am. O sacador de uma duplicata de R$ 3 000,00 deseja “vendê-la” a este banco 12 meses antes de sua data de vencimento. Vale a pena realizar essa operação?

05. Dois títulos A e B foram resgatados 3 e 4 meses, respectivamente, antes de suas datas de vencimento e receberam desconto por fora”, à taxa de 5% am. A diferença entre os descontos obtidos pelo título B e pelo título A foi de R$ 4 500,00. Encontre o valor nominal de cada título, sabendo-se que os dois somam R$ 39 000,00.

06. Devo a um amigo R$ 11.00000 Desejo liquidar a dívida endossando-lhe um título que possuo de R$9.000,00 vencível a um mês e 25 dias. Se o desconto for feito a 8% aa, qual a quantia em dinheiro que devo dar?

07. Determinar o desconto bancário sofrido por uma nota promissória de R$ 1 000,00, à taxa de 8% am, 3 meses antes do seu vencimento.

08. A que taxa anual, uma duplicata de R$ 3 000,00, em 6 meses, dá R$ 600,00 de desconto por fora?

09. Em que prazo um título de R$ 2 500,00, descontado por fora, à taxa de 6% am, da R$ 600,00 de desconto?

10. Encontrar o valor nominal de um titulo que, descontado por fora, à taxa de 4% am, três meses e meio antes do seu vencimento, teve um desconto de R$ 28 000,00.

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11. Determine o desconto por dentro sofrido por uma letra de R$ 1 000,00, descontada à taxa de 3% am, 6 meses antes de seu vencimento.

12. Determinar o líquido produzido por uma letra que, descontada por dentro, 60 dias antes do seu vencimento, à taxa de 5% am produziu R$ 140,00 de desconto.

13. Determinar a diferença entre os descontos por fora e por dentro de uma nota promissória de R$ 2000,00 quando descontada 1 mês e 10 dias antes do vencimento, à taxa mensal de 3.

14. Um título, no valor de R$ 1 800, 00, ficou reduzido a R$ 1 200,00 quando descontado por fora 3 meses antes de seu vencimento. Qual foi a taxa mensal do desconto?

15. Um titulo com valor nominal de R$ 2 000,00 deveria ter sido resgatado pelo critério do desconto “por fora”. No entanto, na hora de efetuar os cálculos, o critério usado, por engano, foi o do desconto “por dentro”. Quem levou vantagem, o devedor ou o credor? Qual o valor da vantagem financeira, se isso ocorreu 2 meses antes do vencimento, a 4% am?

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CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA

JURO COMPOSTO

Introdução

No regime de capitalização composta, como já foi visto, apenas no fim do primeiro período os juros são calculados sobre o capital inicialmente aplicado; nos períodos seguintes a partir do segundo, os juros incidem sobre o montante constituído no período anterior ( o chamado “juro sobre juro”).

Cálculo do Montante Composto

Podemos encontrar uma equação que nos permite calcular diretamente o montante a partir de uma taxa constante i e um capital C.

Sabemos que M = C + J. Como J = C.i, então cada montante poderá ser calculado assim:

1º período: M1 C + C.i = C(1+i)

2° período: M2 = C(1+i).(1+i) = C(1+i)2

3° período: M3 = C(1+i)2.(1+i) = C(1+i)3

n período: Mn = C(1+i)n-1 .(1+i) = C(1+i)n

Podemos concluir, então, que para um período n de tempo, o montante M será dado por:

M = C(1+i)n

Nessa fórmula, C é o capital e i, a taxa.

O cálculo do montante poderá ser feito de quatro maneiras:

• Usando logaritmos decimais.

• Recorrendo à tabela que determina (1+i)n (a tabela encontra-se no final da apostila)

• Usando calculadoras financeiras (HP-12c) ou científicas que possuam tecla exponencial (yx).

• Planilhas eletrônicas (Excel).

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Uso da Calculadora Financeira HP-12C

A HP - 12C possui cinco registradores especiais onde são armazenados os dados com os quais são realizados os cálculos financeiros. Encontram-se localizados nas teclas:

[n] - corresponde ao número de períodos de capitalização ( prazo de aplicação ) ou ao número de prestações de uma série uniforme.

[i] - corresponde à taxa de juros ou de aplicação por período de capitalização, sendo expressa em sua forma percentual.

[PV] - corresponde ao Valor Presente, Valor de Aplicação, Capital (do inglês Presente Value).

[FV] - corresponde ao Valor Futuro, Valor de Resgate, Montante (do inglês Future Value).

Comparando com a fórmula temos:

M = C(1 + i)n

FV = PV (1 + i) n

IMPORTANTE

• Nos problemas em que são conhecidos PV e FV, introduza-os com sinais trocados, a fim de respeitar o diagrama de fluxo de caixa.

• A taxa (i) e o período (n) devem ser iguais.

Fórmula do Juro Composto

J = M - C

J = C(1 + i)n - C

J = C [(1+i)n-1]

Fluxo de Caixa

Uma das ferramentas mais importantes nas análises do valor tempo é o diagrama de fluxo de caixa, que nos ajuda a visualizar o que está ocorrendo em um problema específico e então a organizá-lo para ser resolvido.

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O fluxo de caixa é o movimento de entrada e saída de numerário de uma empresa ou pessoa física, previsto de ocorrer em determinado intervalo de tempo. Ele pode ser representado por um diagrama em que, numa reta horizontal orientada da esquerda para a direita, se encontra assinalada a linha do tempo subdividida em períodos unitários (dia, mês, ano).

O ponto O (zero) representa a data hoje ou de formalização da operação financeira. O ponto 1, o final do primeiro dia, mês ou ano conforme o período unitário considerado.

As entradas são os recebimentos [+] previstos para o períodos e indicadas por setas voltadas para cima. As saídas são pagamentos [-] representados por setas voltadas para baixo.

Qualquer problema financeiro pode ser representado por um diagrama de fluxo de caixa, o que facilita sua resolução. Como em toda negociação existem sempre duas partes envolvidas, teremos um diagrama representativo da negociação, para cada uma delas. Ambos os diagramas são simétricos em relação à linha do tempo, pois o que é recebimento para uma parte, é pagamento para outra e vice-versa.

REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DO DIAGRAMA DO FLUXO DE CAIXA

Exemplo:

Representar, pelo diagrama de fluxo de caixa, de acordo com a ótica da empresa e do banco:

Um banco está concedendo um financiamento de R$ 10 000,00 a uma empresa para ser amortizado em seis prestações mensais de R$ 2 000, 00, vencendo-se a primeira um mês após a concessão do financiamento?

Exercícios da Aula

01. Qual o montante de uma aplicação a juros compostos, com depósito inicial de R$ 800,00 à taxa de 3% am, durante 5 meses?

02. Calcular o capital que produz um montante de R$ 10.000,00 a juros compostos de 4% a.m. durante 8 meses.

03. Um capital de R$ 25 000,00 aplicado por 180 dias produziu um montante de R$ 33 502,39. Qual o taxa mensal de juros?

04. Um capital de R$ 15.000,00 foi aplicado por 4 meses e produziu um montante de R$ 19.957,60. Qual a taxa de aplicação?

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5. Na porta de um banco, encontra-se um cartaz onde se lê: “Aplique hoje R$ 1.788,80 e receba R$ 3.000,00 daqui a 6 meses. Qual é a taxa mensal de juros que o banco está aplicando sobre o dinheiro investido?

Taxas Equivalentes

Duas taxas são equivalentes quando, referindo-se a períodos de tempo diferentes, fazem com que um capital produza o mesmo montante, em mesmo intervalo de tempo.

Por exemplo, a taxa de 2% ao mês é equivalente à taxa de 26,82% ao ano, pois um capital colocado a 2% ao mês produz o mesmo montante que produz quando colocado a 26,82% ao ano.

Cálculo da taxa equivalente

Seja: i = taxa período maior.

k = número de períodos de capitalização.

lk= taxa equivalente a i (período menor).

Para que uma taxa de um período menor (mês) se transforme em equivalente a uma taxa num período maior (ano) devemos capitalizar essa taxa.

FÓRMULA PARA CAPITALIZAÇÃO

i = 1+ ik100k-1 .100

Agora, se a taxa for de um período maior (ano), para encontrar a taxa equivalente em um período menor (mês) devemos descapitalizar essa taxa.

FÓRMULA DE DESCAPITALIZAÇÃO

ik = [(1+ i100)1/k -1 ].100

Exemplo 1

Uma taxa de 2% am equivale a que taxa anual?

Exemplo 2

Uma taxa de 8% am equivale a que taxa diária?

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Programa para Calculadora HP-12C para Capitalizar/ Descapitalizar uma Taxa

Comando

f P/R Coloca no modo de programação

f PRGM Apaga o programa (quando no modo de programação)

RCL i Recupere taxa armazenada em i

Enter

100 : 1 +

RCL n Recupera o valor do k armazenado em n

yx

1 - 100 x

f P/R Encerra o programa

Entrada de dados:

Taxa i

k ou 1/k n

R/S

Observação:

• Utiliza-se k quando for para capitalizar

• Utiliza-se 1/k quando for para descapitalizar

Vamos resolver os dois exemplos anteriores utilizando o programa:

01. Uma taxa de 1,05% am equivale a que taxa anual?

02. O seu banco de investimento remunera a 6% aa, o que equivale a qual taxa mensal?

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03. Calcular na capitalização composta:

a) a taxa mensal equivalente a 108% ao ano;

b) a taxa trimestral equivalente a 120% ao ano;

c) a taxa anual equivalente a 10% ao mês;

d) a taxa trimestral equivalente a 15% ao mês;

e) a taxa quadrimestral equivalente a 20% ao bimestre;

f) a taxa quadrimestral equivalente a 15% ao trimestre;

g) a taxa diária equivalente a 200% ao ano;

h) a taxa diária equivalente a 20% ao mês;

04. Calcular a taxa trimestral equivalente a 16% ao quadrimestre na capitalização composta.

05. Supondo que um capital vai ser aplicado à taxa de juros compostos de 15% por trimestre ou 70% ao ano, qual é a melhor aplicação?

06. Qual o capital de um montante de R$ 4 600,00 à taxa de juros de 48% aa aplicado por 2 meses?

Respostas:

1)13,35% aa 2) 0.48676%am 3)a) 6,29%am b)21,79%at c)213,84%aa d) 52,09% at e) 44,00% aq f) 20,48% aq g)0,3056% ad h) 0,6096% k) 21,41% am 4)11,77% at 5) esta é com você 6)4309,04

Cálculo do Prazo “n”

Vamos resolver o seguinte problema:

Um capital de R$ 1 250,00 à taxa de juros de 6% ao mês produziu um montante de R$ 1 920,00 após quanto tempo de aplicação?

PELA FÓRMULA PELA HP-12C

FV = PV (1 + i)n

O cálculo do prazo pela hp-12c e pela fórmula apresentam uma diferença, pois a calculadora pressupõe que os períodos devem ser inteiros e os arredonda. A maneira de contornar este inconveniente, nos problemas de juros compostos, consiste em calcular sempre o prazo em dias, vale dizer, introduzir no registrador financeiro [i] a taxa diária equivalente à taxa dada.

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Exercícios da Aula

01. Qual o prazo que na, capitalização composta, devemos aplicar R$ 15.000,00 à taxa de 38% ao semestre, para resgatarmos R$ 19 098,56?

02. Qual o prazo que, na capitalização composta, devemos aplicar R$ 20.000,00 à taxa de 25% ao trimestre, para resgatarmos R$ 23 555,77?

03. Qual o prazo que, na capitalização composta, devemos aplicar R$ 35 000.00, à taxa de 29,4% em 45 dias, para resgatarmos R$ 47 685,81?

04. Qual o prazo que, na capitalização composta, devemos aplicar R$ 45 000,00, à taxa de 27,4% em 63 dias, para auferirmos juros de R$ 8 850,22?

05. Uma aplicação de R$ 5 000,00 foi feita no dia 13/01/2006 em um banco que paga uma taxa de juros compostos 3,2% am. Qual a data do vencimento da aplicação, se os rendimentos auferidos foram de R$ 102,30?


01. Qual o valor de resgate de um capital de R$ 50 000,00 aplicado à taxa de 7% am durante seis meses?

02. Qual o valor que deveremos aplicar R$ hoje, à taxa de 6% AM para que no final de oito meses possamos resgatar R$ 87 066,51?

03. Qual a taxa a que devemos aplicar R$ 50 000,00 para que no final de quatro meses venhamos a resgatar R$ 65 051,16?

04. Por quanto tempo deveremos aplicar R$ 10 000,00, à taxa de 3% AM para obtermos R$ 11 132,55?

05. Qual o valor dos juros obtidos por um capital de R$ 80 000,00 aplicados à taxa de 8% AA no final de cinco anos?

06. Quanto devemos aplicar hoje, à taxa de 2% AM, para que possamos resgatar R$ 63 230,01 no final de 21 dias?

07. Um capital de R$ 45 000,00 investidos durante um ano foram resgatados por R$ 63 521,17. Qual a taxa trimestral da aplicação?

08. Qual o valor de resgate obtido numa aplicação de R$ 30 000,00 durante quatro anos, à taxa de 10% ao semestre?

09. Um capital de R$ 35 000,00 aplicados por 15 dias no regime de capitalização composta renderem R$ 1 064,83 de juros. Qual a taxa diária obtida?

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10. Um capital investido durante 10 dias, no regime de capitalização composta, foi resgatado por R$ 28.417,69 obtendo um rendimento de R$ 617,69. Qual a taxa diária de juros da aplicação?

11. Qual o prazo que, na capitalização composta, devemos aplicar R$ 25 000,00 à taxa de 125% AA, para resgatarmos R$ 28 811,90?

12. Qual o prazo que, na capitalização composta, devemos aplicar R$ 30 000,00, à taxa de 12,5% AM, para resgatarmos R$ 35 938,10?

Respostas:

1) 75036,52 2) 54626,60 3) 6,8% 4) 3m e 19d 5) 37546,25 6) 62359,57

7) 9% 8) 64307,66 9) 0,2%ad 10) 0,22% ad 11) 64 dias 12) 46 dias

Considerações sobre Taxa Nominal e Taxa Efetiva para Juros Compostos

Como já vimos no desconto simples à taxa de juros contratada numa operação financeira chama-se taxa nominal. Vimos também que essa taxa nem sempre é igual à taxa efetiva que é a taxa de rendimento que a operação financeira proporciona efetivamente.

No sistema de juros compostos também temos que dar uma atenção especial para estas taxas, pois é costume indicar uma taxa para um período com capitalização em período distinto. Assim, é comum falar em taxa de 60% aa capitalizada trimestralmente ou taxa de 100% ao semestre capitalizada mensalmente, e assim por diante.

Essa forma de expressar a taxa, largamente utilizada no mercado financeiro, também é responsável por divergências entre as taxas nominal e efetiva. Convencionou-se, então, que, quando o período mencionado na taxa não corresponde ao período de capitalização, prevalece este último, devendo-se tomar a taxa proporcional correspondente como taxa efetiva e considerar a taxa dada como nominal.

Taxa Efetiva é a taxa de juros em que a unidade referencial de seu tempo coincide com a unidade de tempo dos períodos de capitalização. São exemplos de taxas efetivas:

• 2% ao mês, capitalizados mensalmente.

• 5% ao trimestre, capitalizados trimestralmente.

• 7% ao semestre, capitalizados semestralmente.

Taxa Nominal é a taxa de juros em que a unidade referencial de seu tempo não coincide com a unidade de tempo dos períodos de capitalização. A taxa nominal quase sempre é fornecida em termos anuais, e os períodos de

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capitalização podem ser semestrais, trimestrais, mensais ou diários. São exemplos de taxas nominais:

• 12% ao ano, capitalizados mensalmente.

• 24% ao ano, capitalizados semestralmente.

• 10% ao ano, capitalizados trimestralmente.

Toda taxa nominal traz em seu enunciado uma taxa efetiva implícita, que é a taxa de juros a ser aplicada em cada período de capitalização. Essa taxa efetiva implícita é sempre calculada de forma proporcional.

Exercícios da Aula

01. A Caderneta de Poupança, além da atualização monetária, paga juros de 6% aa capitalizados mensalmente.

a) Qual a taxa nominal de juros pagos pela Caderneta de Poupança?

b) Qual a taxa efetiva mensal?

c) Qual a taxa efetiva anual?

02. Sabendo que a taxa nominal é de 120% ao ano capitalizado mensalmente. Determinar a taxa efetiva anual.

3. Qual o montante produzido por um capital de R$ 20 000,00 aplicado por um ano à taxa nominal de 10.87% ao trimestre, capitalizado mensalmente?

04. Pretendo comprar um carro daqui a dois anos que, suponho, custará R$ 50.000,00. Para ter dinheiro necessário, quanto devo aplicar hoje, considerando que a taxa efetiva anual de aplicação é de 30% ao ano com capitalização trimestral?

05. Uma pessoa tomou um empréstimo de R$ 5 000,00 para pagar após cinco meses com juros nominais de 90% aa. capitalizados mensalmente. Na data da liberação do empréstimo pagou uma taxa de serviço de 5% sobre o valor do empréstimo. Qual a taxa efetiva anual paga pelo tomador?


01. Um capital de R$ 12.000.00 foi colocado por 2 anos a 36% ao ano, capitalizados quadrimestralmente. Qual o montante?

02. Qual o montante de um capital inicial de R$ 3.000,00, a juros compostos de 2% ao mês, durante 1 ano e meio com capitalização trimestral?

03. Qual o capital que aplicado a juros compostos de 3% ao bimestre, durante dois trimestres com capitalização mensal produz um montante de R$ 8.747,54?

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04. Um capital de R$ 1.500,00 foi aplicado durante 2 anos e produziu um montante de R$ 2.360,27. Sabendo que a capitalização é semestral, determine a taxa nominal ao trimestre.

05. Aplicando R$ 4.300,00 a juros compostos de 5% ao mês durante 6 meses com capitalização bimestral, quanto vou ganhar de juros?

06. Determine o montante de uma aplicação de R$ 1.260,00 a juros compostos de 8% ao quadrimestre, durante 2 anos, com capitalização bimestral.

07. Qual a taxa efetiva anual equivalente a 130% aa, capitalização trimestral?

08. Qual a taxa nominal anual, capitalizada mensalmente, equivalente a 635% ao ano?

09. Qual o montante de um capital de R$ 10.000,00, colocado no regime de capitalização composta, à taxa de 180% aa, capitalizada semestralmente durante dois anos?

1) 23685,87 2) 4255,55 3) 8000 4)6% at 5)1423,30 6) 2017,30 7) 208,22% aa a

8)217%aa 9)130321,00


1) Qual o montante que resulta da aplicação de um capital de R$ 45 000,00,

quando aplicado a 8% am, pelo prazo de 18 meses?

2) Um agiota emprestou a uma pessoa a quantia de R$ 100 000,00 pelo prazo

de 15 dias, exigindo por esse empréstimo o pagamento de R$ 55 796,70 de

juro. Que taxa de juro composto o agiota está cobrando?

3) Que capital, aplicado à taxa de juro composto de 15% aa, durante 10 anos,

produz juro de R$ 1 065 945,30?

4) Que taxa mensal de juro composto é recebida por um investidor que aplicou

R$ 50 000,00 e resgatou após 8 meses a quantia de R$ 92 546,50?

5) Com a finalidade de comprar um aparelho que custa R$ 42.076,56,uma

pessoa fez uma aplicação de R$ 30.000,00 em um banco que paga 7% am de

juro composto. Quanto tempo levou essa aplicação para atingir o valor

desejado?

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6) Uma pessoa investiu em um banco R$ 150.000,00, á taxa composta de 10%

am, por 4 meses e 10 dias. Qual o montante relativo a essa aplicação?

7) Por quanto tempo deve-se aplicar um capital de R$ 10.000,00, à taxa

composta de 5% am, para obter-se, no final do prazo, um montante de 14

489,01?

8) Um investidor aplicou um capital à taxa de juro composto de 4% am e no

final de n meses, produziu um montante igual a 1.48 de si mesmo. Qual o valor

de n?

9) Em 1992 depositei R$ 180 000,00 a juro composto e recebi após 3 meses

R$ 311 040,00. Quanto receberia se tivesse aplicado esse mesmo capital, à

mesma taxa, por 8 meses?

10) Em 1992, depositei R$ 300 000,00 a juro composto e recebi, após 4

meses, R$856 830,00. Por quanto tempo deveria aplicar esse capital, à

mesma taxa, para obter Cr$ 1 882 455,51?

11) O preço de um objeto é R$ 1 200,00, podendo esse valor ser pago daqui a

3 meses. Na compra desse objeto, a vista, dá-se um desconto de 15%. Qual a

taxa de juro envolvida nessa operação?

12) Um objeto custa, à vista, R$ 2 000,00. Na compra a prazo, dá-se R$

700,00 de entrada e mais um pagamento de R$ 1 800,00 para 60 dias. Qual a

taxa de juro composto envolvida nessa operação?

13) Uma pessoa aplicou, em um banco, R$ 100 000,00 no dia 1/3/90. No dia

1/6/90, foi ao banco verificar os resultados da aplicação e foi informada que os

rendimentos de março, abril e maio foram baseados, respectivamente, nas

taxas de 8%, 10% e 12%. Qual o montante dessa aplicação?

14) Apliquei certa quantia em um banco que me remunerou, nos 4 primeiros

meses, à taxa composta de 8% am e, nos 3 meses seguintes à taxa composta

de 15% am. No final dos 7 meses de aplicação, retirei montante de R$ 20

691,34. Qual era o meu capital inicial?

15) Apliquei R$ 74 000,00 em uma instituição financeira, com promessa de

obtenção de juro de 7% no primeiro mês, 9% no segundo mês e 15% no

terceiro mês. Quanto ganharei de juro no final dos 3 meses?

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16) Um capital de R$ 80 000,00 esteve aplicado durante 1 ano à taxa de 3%

am no 1º bimestre, 4% am no trimestre seguinte e 5% am no restante do ano.

Qual o juro composto obtido no final dessa aplicação?

17) Qual o tempo necessário para que um capital, aplicado à taxa composta de

20% aa, duplique de valor?

18) Qual a taxa mensal de juro composto que faz um capital triplicar de valor

em 5 meses?

DESCONTO COMPOSTO E

EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS

Introdução

O objetivo desse capítulo é o inverso do Juro Composto, ou seja, o da diminuição das grandezas futuras ao serem trazidas para o presente, mediante as operações de Desconto Composto. Considere um título de valor nominal N. Caso o resgate ocorra antes da data de seu vencimento, ele o será por um valor diferente (no caso menor) do nominal.

A expressão “DESCONTO DE TÍTULOS” é muito utilizada porque, normalmente, o VALOR NOMINAL é sempre representado por um título: Nota promissória, duplicata ou cheque.

O conceito de desconto composto é análogo ao de desconto simples, a diferença está no sistema de capitalização, o qual agora é composto.

Analogamente aos juros compostos, os descontos compostos também são obtidos por cálculos exponenciais, visto que o desconto é, na verdade, uma sucessão de descontos simples, calculados períodos a períodos.

Da mesma maneira que os descontos simples, os descontos compostos podem ser de dois tipos: o desconto comercial composto ou “por fora” e o desconto racional composto ou “por dentro”. No entanto, o desconto comercial composto ou “por fora” não apresenta aplicação prática no Sistema Financeiro Brasileiro, pois a taxa de juros é sempre aplicada sobre o valor do empréstimo e não do valor a ser pago.

Podemos considerar o desconto de uma duplicata em um banco como um empréstimo que o cliente faz, deixando a duplicata como garantia. Assim, por exemplo, uma duplicata de valor nominal de R$ 1.000,00 depois de descontada sobrou um líquido de R$ 920,00. A taxa de juros deverá ser calculada sobre o valor líquido, que é o valor financiado pelo cliente.

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Cálculo do Desconto Composto

A fórmula do desconto racional “por dentro” é semelhante ao do montante composto:

M = C(1 + i)n

FV = PV (1 + i)

N = AR (1 + i)n

do período Exercícios da Aula

01. Um título de valor nominal de R$ 15 000,00, resgatado 2 meses antes de seu vencimento, à taxa de juros compostos de 8% ao mês . Qual o valor atual (líquido)?

2. Encontrar o desconto racional composto, concedido no resgate de um título de R$ 50 000,00 recebido 2 meses antes de seu vencimento, à taxa de 3% am.

3. Qual o valor atual de um título de R$ 100 000,00, resgatado racionalmente à taxa composta de 4% em 3 meses antes de seu vencimento?

4. Por ter pagado uma dívida de R$ 300 000,00, 4 meses antes de seu vencimento, uma pessoa obteve um desconto de R$ 22 846,50. Qual a taxa de desconto envolvida nessa operação?


01. Calcule o valor atual de um título de R$ 12 000,00 à taxa de 9% am disponível em 8 meses.

02. Que taxa de desconto composto sofreu um título de R$ 20 000,00 que, pago 5 meses antes do prazo, se reduziu a R$ 14 950,00?

03. Qual foi o desconto composto obtido ao saldar uma dívida de R$ 8 000,00 , 2 meses antes do vencimento, a uma taxa de 5% am?

04. Calcular o valor atual de um título de R$ 125 000,00 a 8% am pago 2 meses e 10 dias antes do vencimento.

05. Uma letra paga 4 meses antes do vencimento, com um desconto composto de 9% am, se reduziu a R$ 75 600,00. Qual era o valor da letra?

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06. Em quanto tempo foi antecipado o pagamento de R$ 35 000,00, sabendo que descontado a juros compostos de 7% am seu valor se reduziu a R$ 14 000,00?

07. Devia pagar um título em 23 de junho mas resolvi fazê-lo em 16 de abril. Seu valor nominal era de R$ 70 000,00 e tive um desconto composto de 8% am. Quanto tive que desembolsar?

08. Encontre a taxa de juro composto adotada no desconto racional de um título de R$ 975 000,00, sabendo que, a 4 meses de seu vencimento, o título sofreu um desconto de R$ 124 344,50.

09. Por um título de R$ 1 000 000,00, paguei R$ 887 971,00. Qual o prazo de antecipações desse título, se o desconto racional composto deu-se a 2% am?

1)6022,40 2)6% am 3)743,76 4)104453,08 5)106715,57 6) 13m e 17d

7)58794,61 8)185941.04 9)3,47% am

Equivalência de Capitais

Dois (ou mais) capitais, com datas de vencimento diferentes são ditos capitais equivalentes quando, “transportados” para uma mesma data, à mesma taxa, produzirem, nessa data, valores iguais.

A data para a qual os capitais serão “transportados” é chamada data focal.

Os problemas envolvendo equivalência de capitais surgem, principalmente, quando necessitamos mudar a data de vencimento de um título.

A determinação do valor atual dependerá sempre do regime de capitalização e do tipo de desconto. Na prática, bem como nos exemplos abaixo foi adotados o regime de capitalização composta e o desconto racional composto.

Exercícios da Aula

1. Uma pessoa deve, em um banco, dois títulos R$ 10 000,00 para pagamento imediato e R$ 7 000,00 para pagamento em 6 meses. Por lhe ser conveniente, o devedor propõe ao banco a substituição da dívida por um pagamento de R$ 15 000,00 em 2 meses e o saldo restante em 5 meses. Qual o valor do saldo restante se o banco realiza essa operação a 3% am?

2. Uma empresa imobiliária está vendendo uma casa por R$ 40 000,00 de entrada e um pagamento adicional de R$ 40 000,00 no sexto mês após a compra. Um determinado comprador propõe alterar o valor do pagamento adicional para R$ 50 000,00, deslocando-o para o oitavo mês após a compra. A uma taxa de juros compostos de 2% am, qual o valor da entrada no esquema proposto?

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03. Um título no valor nominal de R$ 8 500.00, com vencimento para 5 meses, é trocado por outro de

R$ 7 934.84 com vencimento para 3 meses. Sabendo-se que a taxa de juros corrente de mercado é de 3,5% a.m. Pergunta-se: a substituição foi vantajosa?

04. Uma pessoa deseja substituir um título de valor nominal R$ 5 000,00, com vencimento daqui a 2 meses, por outro título, com vencimento para 5 meses. Qual o valor nominal do novo título, sabendo-se que o banco em questão adota, nesse tipo de operação, a taxa composta de 3% am?

5. Um comerciante deve dois títulos: um de R$ 9 000,00, com vencimento para 5 meses, e outro de R$ 14 000,00, com vencimento para 7 meses, e deseja pagá-los daqui a 2 meses. Quando deverá desembolsar, se a operação vai se realizar a 4% am?

06. Uma pessoa deve, em um banco, dois títulos R$ 10 000,00 para pagamento imediato e R$ 7000,00 para pagamento em 6 meses. Por lhe ser conveniente, o devedor propõe ao banco a substituição da dívida por um pagamento de R$ 15 000,00 em 3 meses e o saldo restante em 9 meses. Qual o valor do saldo restante se o banco realiza essa operação a 3% am?

07. Uma pessoa deve para um banco R$ 12.400,00, com vencimento para hoje. Não podendo efetuar esse pagamento, propõe a troca do título por outros dois, sendo o primeiro de R$ 7 500,00, com vencimento para 30 dias, e o restante, para 60 dias. Qual o valor desse saldo restante, se o banco em questão opera a 5% am?


01. Tomei emprestado R$ 1 000,00 a juros compostos de 10% a.m. Um mês após o empréstimo, paguei R$ 500,00 e dois meses após esse pagamento, liquidei a dívida. Qual foi o valor deste último pagamento?

02. Um comerciante deve dois títulos, ambos com o mesmo valor nominal de R$ 1 000,00. O vencimento do primeiro ocorre dentro de 2 meses e do segundo em 4 meses, mas ele deseja substituir ambos os títulos por um outro, com vencimento em 3 meses. Se o banco realizar a transação a uma taxa de juros compostos de 8% am, qual será o valor do novo título?

03. Uma empresa imobiliária está vendendo uma casa por R$ 40 000,00 de entrada e um pagamento adicional de R$ 40 000.00 no sexto mês após a compra. Um determinado comprador propõe alterar o valor do pagamento adicional para R$ 50 000,00, deslocando-o para o oitavo mês após a compra. A uma taxa de juros compostos de 2% am, qual o valor da entrada no esquema proposto?

04. Um terreno é posto a venda por R$ 10 000,00 à vista, ou, caso o comprador opte por financiamento, poderá pagar R$ 4 330,00 no ato e mais duas parcelas mensais, sendo a primeira de R$ 3 000,00 e a segunda também

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de R$ 3 000,00. Qual é a melhor alternativa para o comprador, se a taxa de juros compostos corrente é de 4% am?

05. Maria irá receber R$ 6 600,00 dentro de um ano, como parte de seus direitos na venda de um carro. Contudo, aceita a proposta de um amigo e transfere seus direitos, recebendo uma nota promissória no valor de R$ 4 500.00 com vencimento para 6 meses. Maria fez bom negócio, se a taxa de juros compostos for de 6% am?

RENDAS

Conceito

Rendas é um conjunto de dois ou mais pagamentos, realizáveis em épocas distintas, destinadas a constituir um capital ou amortizar uma dívida.

Os pagamentos, que podem ser prestações ou depósitos, constituem os termos (PMT) da renda. Denomina-se n o número de termos e i a taxa unitária de juros.

Classificação das Rendas

De conformidade com a duração, periodicidade, valores e vencimentos dos termos (PMT), as rendas têm a classificação seguinte:

Imediata Antecipadas

Constantes

Periódicas Diferida Postecipadas

Temporárias Variáveis

Não periódicas

RENDAS

Perpétuas

Quanto ao Prazo

Temporárias — quando o número de termos for finito.

Perpétuas — quando o número de termos for infinito.

• Quanto à Periodicidade

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Periódicas — quando o intervalo de tempo entre dois pagamentos consecutivos é constante.

Não-periódicas — quando o intervalo de tempo entre dois pagamentos consecutivos não é constante.

• Quanto ao Valor dos Termos

Constantes — quando todos os pagamentos são do mesmo valor.

Variáveis - quando um dos pagamentos for de valor diferente dos demais.

• Quanto ao Pagamento da 1ª parcela

Imediata — quando os pagamentos são feitos a partir do primeiro período. (sem carência)

Diferida – quando os pagamentos são feitos após um certo numero de períodos (com carência)

• Quanto a Forma de Pagamento

As rendas imediatas e diferidas ainda se classificam em:

Antecipada — se os pagamentos são feitos no inicio do período. (com entrada)

Postecipada — se os pagamentos são feitos no fim do período. (sem entrada)

Se o objetivo da renda for para pagar uma dívida, o valor dessa dívida será o VALOR PRESENTE (PV) da renda e teremos um caso de AMORTIZAÇÃO. Agora, se o objetivo for constituir um capital, esse capital será o MONTANTE (FV) da renda e teremos um caso de CAPITALIZAÇÃO.

Rendas Imediatas Antecipadas - com entrada

Primeira prestação paga no ato

Essa expressão relaciona a quantia total a ser amortizada (PV), a parcela periódica antecipada de amortização (PMT) o número de parcelas (n) e a taxa (i).

Solução pela HP-12C

Se para os problemas de juros e descontos compostos, o uso da calculadora financeira facilitou bastante a resolução dos problemas que envolvem rendas torna o uso dessas calculadoras quase imprescindível.

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Teclas que serão utilizadas:

[n] = números de períodos;

[i] = taxa de juros por períodos de capitalização;

[PV] = valor a ser amortizado (M);

[PMT] = valor da prestação;

[g] [BEG] = deve ser digitada quando a renda for antecipada (1 prestação paga no ato), aparecerá no visor a palavra inglesa BEGIN que significa “início”.

[g] [END] = deve ser digitada quando a renda for postecipada ( 1 prestação paga no final do primeiro período) - sem anunciador.

IMPORTANTE

1. Nos problemas em que são conhecidos PV e PMT, introduza-os com sinais trocados, a fim de respeitar o diagrama de fluxo de caixa.

2. O intervalo entre as prestações e a unidade de capitalização da taxa deve ser igual.

FÓRMULA GERAL

( )

( ) na

n

iii

ianli

)1(.1

11

++

−+=

a = 0 post.

a = -1 antec.

a = m def.

Exercícios da Aula

01. Calcular o valor da prestação na compra de um carro de R$ 6 700,00 feito em 12 parcelas mensais iguais com taxa de mercado de 3% am, sendo a primeira parcela paga no ato.

02. Qual o valor atual de uma renda antecipada de 9 parcelas iguais a R$ 1 200.00 com taxa, no período, de 5% am?

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03. Um computador está sendo anunciado a vista por R$ 4 000,00 ou em cinco prestações mensais de R$ 847,98, sendo a primeira de entrada. Qual a taxa de juros cobrada pela loja?

04. Uma geladeira custa a vista R$ 800,00 e pode ser paga em quatro prestações trimestrais, sendo a primeira de entrada. Sabendo que a taxa de juros é de 8% am, qual o valor da prestação?

Rendas Imediatas Postecipadas - sem entrada

Primeira prestação paga no fim do primeiro período

PV = PMT.1+in- 1i.1+in PV = PMT. an i

Onde: PV é o total a ser amortizado e PMT é a parcela que periodicamente vai ser amortizada.

Exercícios da Aula

01. Qual é o valor da prestação mensal de um financiamento de R$ 3 500,00 feito à base de 2% am em 10 prestações. Sendo a primeira paga no fim do primeiro período.

02. Pagando 20 prestações de R$ 300,00 num financiamento feito à base de 6% am, que dívida estarei amortizando?

03. Comprei um automóvel, cujo preço à vista era de R$ 12 000,00, pagando-o em 12 prestações mensais de R$ 1 205,54. Qual foi a taxa mensal de juros cobrada no financiamento?

Rendas Diferidas

As parcelas diferidas são aquelas em que há um período de carência, isto é, vencem após um certo período (maior que 1) a contar da ocasião do contrato.

Neste caso devemos corrigir o valor a ser financiado (PV) pelo período de carência usando a fórmula:

FV = PV (1+i)n

e depois as fórmulas das rendas postecipadas (sem entrada) ou rendas antecipadas (com entrada). Uma outra maneira de resolver é utilizando a tabela e a fórmula abaixo:

PV = PMT am┐i- ak┐i

Nessa expressão, k é o período de carência e m é o período da última prestação.

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02. Uma pessoa compra um terreno, que irá pagar em quatro prestações mensais de R$ 2 626,24. As prestações serão pagas a partir do primeiro dia do quarto mês da compra. O vendedor afirmou estar cobrando uma taxa de juros compostos de 2% am. Qual será o preço do terreno á vista?

03. Uma pessoa compra um terreno, que irá pagar em quatro prestações mensais de R$ 2 626,24. As prestações serão pagas a partir do último dia do quarto mês da compra. O vendedor afirmou estar cobrando uma taxa de juros compostos de 2% am. Qual será o preço do terreno à vista?

04. A propaganda de uma grande loja de eletrodomésticos anuncia: “Compre tudo e pague em 10 vezes. Leve hoje e só comece a pagar daqui a 3 meses”. Se a taxa de financiamento é de 3% am, qual é o valor da prestação de uma geladeira cujo preço à vista é de R$ 2 800,00?

05. Uma amortização constante de 20 parcelas mensais de R$ 860,00 tem carência de 6 meses e taxa mensal de 2%. Qual é o valor do financiamento na ocasião do contrato?

06. Calcular o valor atual de uma renda mensal de 12 termos iguais a R$ 2 000,00 com carência de 4 meses, sendo 5% am a taxa de juros.

EXERCÍCIOS

1. Um eletrodoméstico, cujo preço à vista é R$ 200,00, pode ser pago com

uma entrada de 20% e o restante em 4 pagamentos mensais à taxa de

4% a.m. Qual o valor de cada pagamento?

2. Qual o valor à vista de um maquinário que foi pago em 6 vezes,

mensalmente, à taxa de 5% a.m., com prestação de R$ 50,00.

3. Um televisor é pago em 6 prestações de R$ 36,00 e uma entrada de R$

200,00. Se a taxa é de 3,5% a.m., qual o valor à vista?

4. Um objeto de valor R$ 500,00 vai ser pago em 8 prestações mensais

antecipadas com juros de 4% a.m.. Qual o valor de cada prestação.

5. Uma mesa vai ser paga em 5 prestações mensais sendo a 1ª no ato da

compra. Se a taxa de mercado é de 8% a.m. e o valor de cada

prestação é R$ 30,00, qual o valor à vista?

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6. Um terreno foi comprado com uma entrada de R$ 5.000,00 e 12

prestações mensais imediatas de R$ 631,91. Qual o preço à vista do

terreno se a taxa do mercado imobiliário é 3,8% a.m.?

7. Um eletrodoméstico, cujo preço à vista é R$ 680,00, está sendo vendido

com uma entrada de 20% do preço e o restante em seis prestações

mensais imediatas com juros de 5,5% a.m.. De quanto serão a entrada e

as prestações?

8. Comprei uma calculadora para pagar em três pagamentos de R$ 240,00

cada um, sendo o primeiro no ato da compra e os demais em 30 e 60

dias respectivamente. Qual o preço à vista da calculadora se a taxa

cobrada pela loja que vendeu é 8,5% a.m.?

9. Qual o valor das prestações pagas em 1 ano, bimestralmente, se taxa

de mercado é de 5% a.m. e o valor financiado é R$ 800,00.

10. No início de cada período, faço o pagamento mensal de R$ 50,00,

durante 8 meses, com taxa de 3% a.m. Qual o valor financiado?

11. Comprei um televisor de R$ 530,00, em 6 parcelas mensais a vencer 3

meses após a compra. Se a taxa do financiamento é de 6% a.m., qual o

valor de cada prestação?

12. Um terreno foi comprado com uma entrada de R$ 5.000,00 e 12

prestações mensais de R$ 631,92. Qual o preço à vista do terreno se a

taxa do mercado imobiliário é de 3,8% a.m..

13. Um eletrodoméstico cujo preço à vista é de R$ 68,00 está sendo

vendido com uma entrada de 20% do preço e o restante em 8

prestações com juros de 5,5% a.m.. De quanto serão a entrada e as

prestações?

14. Comprei uma calculadora para pagar em 3 pagamentos de R$ 24,00

cada, sendo o 1º no ato da compra e os demais 30 e 60 dias

respectivamente. Se a taxa cobrada é de 6,5% a.m., qual o preço à

vista?

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15. Um empréstimo de R$ 80.000,00 deve ser pago com juros de 4,5 % a.m.

em 6 parcelas mensais iguais vencendo a 1º 120 dias depois após o

empréstimo. De quanto serão as parcelas?

Montante de uma Renda

Embora a situação financeira da grande maioria dos brasileiros não permita que o indivíduo reserve uma parte de seu salário para uso em uma eventualidade ou objetivando comprar algo no futuro, quando isto ocorre, tem-se o processo de capitalização.

De modo geral, o estudo da capitalização pretende responder á seguinte questão: quando se deve capitalizar por período, a fim de que, após algum tempo, se tenha um certo montante?

Consiste, portanto, na formação de uma poupança/montante (FV) em n prestações iguais (PMT), considerando uma taxa de juros de i% por período de capitalização.

A série postecipada não tem muito sentido, pois a última prestação coincide com a posição do montante FV. E como se depositássemos o valor da prestação e, no mesmo instante, efetuássemos o saque do total da poupança. A última prestação, portanto, não rende juros, o que inviabiliza a aplicação da série postecipada nos problemas da prática.

MONTANTE DE RENDAS CERTAS

Postecipada END FV = PMT. mni onde mni = ( )

i

in

11 −+

Antecipadas BGN FV’= PMT. M’ni onde M’ni = ( ) ( )

i

iin

+−++

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Exercícios da Aula

01. Calcular o valor do montante da aplicação antecipada de R$ 15000 por 10 meses, a uma taxa mensal de 1%.

02. Calcular o valor das prestações mensais antecipadas que, aplicados por 1 ano, à taxa de 2% am, dá um total capitalizado de R$ 50 000,00.

03. Calcular o montante produzido por 12 parcelas de R$ 1 000,00, colocadas mensalmente a juros de 3% am, sendo a primeira parcela antecipada.

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04. Uma pessoa capitalizará de forma antecipada 10 prestações mensais a 4% ao mês. Qual o valor da prestação para acumular um montante final de R$ 14 983,82.

05. Quanto deverei aplicar mensalmente em um banco, a partir de hoje, para que no final de dois anos possua R$ 2 000,00? Considere a taxa média de juros mensal de 2,5% am.

06. Se a partir de hoje, depositar mensalmente R$ 500,00 num Fundo de Renda Fixa cuja rentabilidade é de 10% am, quanto terei economizado no final de 12 meses?


01. Quanto deverá depositar mensalmente, a partir de hoje, num Fundo de Renda Fixa cuja rentabilidade é de 1.5% am para que no final de um ano possua R$ 200 000,00?

02. A partir do próximo mês, Pedro pretende aplicar R$ 8 300,00 mensais num Clube de Investimento cuja rentabilidade média tem sido de 4,2% am. Qual o valor de resgate esperado daqui a 18 meses?

03. A que taxa de juros deverei aplicar, a partir de hoje, mensalmente R$ 13 800,00 para que venha obter R$ 111 113,28 no final de sete meses?

04. Lucas necessita de R$ 120 000,00 daqui a um ano. Quanto deverá aplicar mensalmente, a partir do mês que vem, numa instituição financeira que lhe assegurou uma rentabilidade de 3,7% am?

05. Se, a partir de hoje, depositar mensalmente na Caderneta de Poupança R$ 100,00, quanto teremos no final de seis meses? Considerar a taxa de juros de 4% am.

EXERCÍCIOS DE REVISÃO

1)Uma pessoa deposita em uma financeira, no fim de cada mês, durante 5 meses, a quantia de R$ 100,00. Calcule o montante da renda, sabendo que essa financeira paga juros compostos de 2% ao mês, capitalizado mensalmente. 2)Quanto se deve depositar no início de cada ano, uma instituição financeira que paga 18% ao ano, para constituir o montante de R$ 50.000,00 no fim de 3 anos. 3) Uma motocicleta custa, à vista R$ 3.422,00. Compro-a a prazo dando 20% de entrada e pagando o restante em 12 prestações mensais , com taxa de 3% ao mês.Calcule o valor de cada prestação.

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4)Qual o valor da prestação mensal de uma compra de R$ 7.000,00, de uma renda de 15 termos mensais, com 3 meses de carência, à taxa de 1,5% ao mês? 5)Um eletrodoméstico, cujo preço a vista é R$ 1.350,00, pode ser pago com uma entrada de 20% e o restante em 04 pagamentos mensais a taxa de 4,5% ao mês. Qual o valor de cada pagamento? 6)Um objeto de valor R$ 600,00 vai ser pago em 5 prestações mensais antecipadas com juros de 5% ao mês. Qual o valor de cada prestação? 7)Comprei um televisor de R$ 680,00 em 6 parcelas mensais a vencer 2 meses após a compra. Se a taxa do financiamento é de 5,0% ao mês, qual o valor de cada prestação? 8)Uma pessoa deposita em uma financeira, no início de cada mês, durante 18 meses, a quantia de R$ 250,00. Calcule o montante de renda, sabendo que essa financeira paga juros de 3,5% ao mês, capitalizados semestralmente. 9)Marcelo paga uma prestação de R$ 375,2 5 por mês por conta do financiamento de seu apartamento, sabendo-se que a taxa do financiamento é de 6% ao ano e que o valor do imóvel foi estimado em R$ 50.000,00,qual a taxa de juros praticados?

10) Um apartamento é vendido por R$ 120.000,00 de entrada e o restante em 36 prestações. Sabendo que a taxa é de 2% ao mês. Qual o valor a vista do apartamento? 11)Um terreno é posto ‘a venda por R$ 60.000,00 a vista , ou a prazo com 10% de entrada e o restante em 10 prestações mensais , a juros de 3% ao mês. Qual o valor de cada prestação? 12)Qual o valor da prestação mensal de uma compra de R$ 7.000,00, de uma renda de 15 termos mensais, com 3 meses de carência, à taxa de 1,5% ao mês? 13)Um apartamento é vendido por R$ 120.000,00 de entrada e o restante em 36 prestações. Sabendo que a taxa é de 2% ao mês. Qual o valor a vista do apartamento? 14)Um terreno é posto ‘a venda por R$ 60.000,00 a vista , ou a prazo com 10% de entrada e o restante em 10 prestações mensais , a juros de 3% ao mês. Qual o valor de cada prestação?

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SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO E CAPITALIZAÇÃO DE JUROS

São formas de pagamento dos empréstimos.

Os sistemas de amortização são os mais variados, alguns prevendo

pagamento único, outros possibilitando parcelamentos. Alguns desses

sistemas de amortização são mais comuns e tem até denominações próprias,

como o sistema PRiCE, usado pelo sistema financeiro de habilitação ou o

sistema Americano, usado nos empréstimos internacionais.

É comum a elaboração de Demonstrativos, que acompanham cada pagamento

do empréstimo, devem constar o valor de cada pagamento e o saldo devedor,

devendo ainda o valor de cada pagamento a se subdividido em juros e

amortização.

Temos também alem de outros o sistema de amortizações constantes – SAC.

Por este sistema, o devedor paga o empréstimo em prestações, que incluem,

cada uma parcela constante de amortização e os juros sobre o saldo devedor.

Enquanto no sistema PRICE as prestações as iguais imediatas,incluindo, em

cada uma, uma amortização parcial do empréstimo e os juros sobre o saldo

devedor.

Ex. 1) Um empréstimo de R$ 100 000,00 deve ser pago após 4 meses, feito a

taxa de 10% a.m., devendo ser pago no sistema PRICE, determinar o

pagamento mensal e fazer um demonstrativo do estado da divida nesses

quatro meses.

Ex. 2) Um empréstimo de R$ 100 000,00 feito a taxa de 10% a.m. pelo prazo

de 4 meses, pelo sistema SAC pede-se: fazer o demonstrativo do estado da

dívida nesses quatro meses.

Ex. 3) Seja um financiamento com as seguintes características: prazo de 8

meses, Taxa 3% a.m., principal 10 000,00, pagamentos mensais iguais.

a) valor da prestação mensal;

b) desdobrar cada prestação em amortizações e juros;

c) principal remanescente logo após o 3º pagamento.

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Ex. 4) Um empréstimo de R$ 50 000,00 vai ser pago em 10 prestações

mensais. Se a taxa é de 12% a.m. pede-se pelo sistema PRICE e SAC:

a) demonstrativo

b) debito após 7º pagamento

EXERCÍCIOS

1) Uma financeira emprestou R$ 100 000,00, sem prazo de carência. Sabendo

que a taxa de juro cobrada pela financeira é de 18% ao ano (PRICE) e que

a amortização deve ser feita em 6 meses, calcule o valor da prestação, e

construa a planilha.

2) Uma financeira faz um empréstimo de 100 000 para ser pago pelo SAC em

4 prestações anuais, a taxa de 15% a.a. Monte a planilha de amortização.

3) Um banco de desenvolvimento empresta R$ 300 000 entregues no ato, sem

prazo de carência. Sabendo que o banco utiliza o sistema francês de

amortização à taxa de 12% a.a. e o principal deverá ser amortizado em 5

pagamentos anuais, construir a planilha.

4) E se utilizasse o sistema de amortização const.?

5) Um empréstimo de R$ 150.000 deve ser amortizado em 5 anos. Sabendo

que a taxa de juros é de 12% a.a. e que há carência de 3 anos, confeccione

as planilhas de amortização da dívida pelo sistema PRICE:

2adm_microsoft_word___apost_mat_finan_adm_2013_sandra.pdf

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