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28/08/14 Prof. Alvaro AugustoPag.1


Lost in translation...Lost in translation...“Engineering Economics” (Economia da Engenharia) nasceu nos EUA, em 1877, com o livro “The Economic Theory of Railway Location”, de Arthur Wellington;No Brasil, o termo foi traduzido incorretamente para “Engenharia Econômica”..., mas já há vários autores e instituições usando o termo “Economia da Engenharia” (UFSC, PUC-RJ, UDESC, etc).


Objetivos da Engenharia EconômicaObjetivos da Engenharia Econômica

Engenharia Econômica é uma ferramenta analítica de auxílio à tomada de decisão.

O objetivo básico é responder às perguntas: O projeto se paga?Em quanto tempo?;Qual a rentabilidade?Qual a melhor alternativa de financiamento?Qual o impacto dos impostos e outros encargos?


Resumindo...Resumindo...

“Antes de entrar pelo cano, tenha certeza que você passa por ele!”

Murphy


Lost in translation 2...Lost in translation 2...

Em inglês, “project” significa muito mais “empreendimento” do que “projeto”.

Em inglês, “projeto” é “design”...E “desenho” é “drawing”...


Por que existem juros?Por que existem juros?Teoria da abstinência (Nassau Sênior, sec. XIX):

● Emprestador deve ser remunerado pela abstinância da poupança.

Teoria da produtividade do capital (Say, Malthus e Ricardo):● Tomador se beneficia do empréstimo e deve

remunerar o emprestador.Teoria da depreciação do futuro (Turgot):

● É melhor dispor de um bem hoje do que no futuro.


Juros e RiscoJuros e RiscoModernamente, os juros são vistos como um prêmio pelo risco. O risco pode ser:Sistêmico: todos estão sujeitos a ele:

Risco-Brasil.Risco internacional.

Não sistêmico: apenas os empreendedores do projeto estão sujeitos a ele:

Risco próprio do negócio.Lucro cessante.Inadimplência.Problemas administrativos.Dificuldades tributárias, etc.


Capital Próprio e CMPCCapital Próprio e CMPCCusto do Capital Próprio (CCP):

Retorno mínimo exigido pelos acionistas (não necessariamente igual ao retorno desejado).

Custo do Capital de Terceiros (CCT):Custo do financiamento junto a instituições financeiras ou bancárias.

Custo Médio Ponderado do Capital (CMPC, ou WACC):

CCTCTCCPCPCMPC ×+×= )(%)(%


EXEMPLO 1EXEMPLO 1Uma empresa de fruticultura tem 60% de seu capital em poder dos acionistas, que exigem rentabilidade mínima de 20% ao ano. O restante do capital é repartido igualmente entre FINAME (TJLP + spread de 6% ao ano) e PRODEFRUTA (8,75% ao ano). Determine o CMPC da empresa.


EXEMPLO 1 - ConsideraçõesEXEMPLO 1 - ConsideraçõesFINAME:

Financiamento para aquisição de equipamentos novos;TJF = TJLP + Custo BNDES + Custo Banco Credenciado = TJLP +

Spread;TJLP – Taxa de Juros de Longo Prazo;

Fixada trimestralmente, sendo definida como o custo básico dos financiamentos do BNDES;

Abril a Junho de 2005: TJLP = 9,75% aahttp://www.bndes.gov.br/produtos/custos/juros/tjlp.asp

PRODEFRUTAInvestimentos para o desenvolvimento da fruticultura, que não envolvam equipamentos.


EXEMPLO 1 - SoluçãoEXEMPLO 1 - Solução

169,00875,020,0)06,00975,0(2,02,06,0 =×++×+×=CMPC

%9,16=∴ CMPC

8,75%9,75%+6%=15,75%20%Custo

20%20%60%Participação

CT2 (Prodefruta)CT1 (Finame)CP (Sócios)ITEM

CMPC=(%CP)xCCP+(%CT1)xCCT

1+(%CT

2)xCCT

2


Taxa Mínima de AtratividadeTaxa Mínima de AtratividadeTaxa Mínima de Atratividade (TMA) é o retorno mínimo que deve ser exigido de um determinado PROJETO.

CCP EmpresaTMA Projeto


Diagrama do Fluxo de CaixaDiagrama do Fluxo de CaixaPermite a representação gráfica de entradas e saídas de capital ao longo do tempo.

-

+

0

1 2 3 5 6 7 9 10

4

-

+ + + + +


Capitalização SimplesCapitalização SimplesNesse tipo de capitalização, os juros incidem somente sobre o capital inicial da operação.Os juros se comportam de maneira linear no tempo.

C = Capital inicial ou em um determinado instante.i = taxa de juros, expressa de forma por unidade.n = prazo.J = valor dos juros, em unidades monetárias.

niCJ ××=


EXEMPLO 2EXEMPLO 2Um negociante tomou um empréstimo a uma taxa de juros de 6% ao mês durante 10 meses, sob regime de capitalização simples. Ao final deste período, calculou em $ 290.000,00 o total dos juros incorridos na operação. Determinar o valor do empréstimo.


Montante e CapitalMontante e CapitalUm determinado capital C, quando aplicado a uma taxa periódica por um prazo determinado, produz um valor acumulado denominado montante M.

JCM +=

)1( niCM ×+=


Fatores de Juros SimplesFatores de Juros Simples

Fator de Capitalização ou Fator de Valor Futuro

niFCS ×+= 1

Fator de Atualização ou Fator de Valor Presente

niFAS

×+=

1

1


Representação GráficaRepresentação Gráfica

( ) FASCniCC ttt ×=×+= 1/

Ct Cn

t n

( ) FCSCniCC ttn ×=×+×= 1


EXEMPLO 3EXEMPLO 3Uma dívida de $ 1 milhão irá vencer em 5 meses. O credor está oferecendo um desconto de 2% ao mês caso o devedor antecipe o pagamento para hoje. Calcule o valor q ue o devedor pagaria caso antecipasse a liquidação da dívida.


EXEMPLO 3 - SoluçãoEXEMPLO 3 - SoluçãoM=$ 1.000.000,00n= 5 mesesi=2% ao mês (0,02)C=?

( )ni

MC

×+=

1

( ) 1,1

00,000.000.1

502,01

00,000.000.1 =×+

=C

91,090.909$=∴ C


Equivalência de CapitaisEquivalência de Capitais● A equivalência de capitais é o teorema básico da

Matemática Financeira.● Dois ou mais capitais, em certa data, são

equivalentes quando, a uma dada taxa de juros, produzirem resultados iguais em uma data comum.

● No regime de capitalização simples, os prazos não podem ser fracionados, sem alterar o valor final dos juros pagos. Logo, não há equivalência de capitais para períodos mútliplos.


EXEMPLO 4EXEMPLO 4Um capital de $ 100.000,00 foi emprestado a uma taxa de juros simples de 20% ao ano. Determine:a) O valor total da dívida após 2 anos;b) O valor total da dívida após 2 anos, considerando-se que esta tenha sido integralmente paga após o primeiro ano e reemprestada com os juros capitalizados incorporados.



2M

$ 100.000

0 21

1M 2M



“Non-stop”

( ) 00,000.140$22,01000.1002 =×+×=M

Fracionando o período

( ) 00,000.120$12,01000.1001 =×+×=M

( ) 00,000.144$12,01000.1202 =×+×=M


EXERCÍCIO 1EXERCÍCIO 1Em quanto tempo um capital de $ 4.000,00 aplicado a 29,3% ao ano renderá $ 1.940,00, pelo regime linear ?


EXERCÍCIO 1 - SoluçãoEXERCÍCIO 1 - SoluçãoEm quanto tempo um capital de $ 4.000,00 aplicado a 29,3% ao ano renderá $ 1.940,00, pelo regime linear ?C=$ 4.000,00i=29,3% aa (0,293)J=$ 1.940,00

anos 65529,1293,0000.4

940.1 =×

=×

=iC

Jn

niCJ ××=

meses 20≅∴ n


2) Uma TV em cores é vendida nas seguintes condições:●Preço a vista: $ 1.800,00;●Condições a prazo: 30% de entrada e $ 1.306,00 em 30 dias.●Determine a taxa de juros simples cobrada na venda a prazo.

EXERCÍCIO 2EXERCÍCIO 2


EXERCÍCIO 2 - SoluçãoEXERCÍCIO 2 - SoluçãoUma TV em cores é vendida nas seguintes condições:● Preço a vista: $ 1.800,00;● Condições a prazo: 30% de entrada e $ 1.306,00 em

30 dias.

M=$ 1.306n= 1 mês C=70%x$ 1.800 = $ 1.260i=?


EXERCÍCIO 2 - SoluçãoEXERCÍCIO 2 - Solução

( )( )11260.1306.1

1

×+×=×+×=

i

niCM

0365,1260.1

306.11 ==+ i

0365,0=i mês ao 3,65%i =∴


EXERCÍCIO 3EXERCÍCIO 3Uma aplicação rende juros simples de 64,8% aa.

Investindo-se $ 400.000,00, quanto tempo será necessário para se ter $ 194.400,00 a mais do que o investido?


EXERCÍCIO 3 - SoluçãoEXERCÍCIO 3 - Solução

C = $ 400.000; i= 64,8 aa = 5,4 % amM = $ 194.400 + C; n = ?

( )niCM ×+×= 1

( )nCC ×+=+ 054,01400.194

n××= 000.400054,0400.194 mesesn 9=


EXERCÍCIO 4EXERCÍCIO 4Um investimento rende juros simples de 230%

aa. No ato da retirada, é cobrado imposto de renda, com alíquota de 9%, sobre a rentabilidade. Qual a taxa de rentabilidade líquida?


EXERCÍCIO 4 - SoluçãoEXERCÍCIO 4 - Soluçãoi= 230% aa ( simples)IR = 9% sobre valor nominal dos rendimentos

( ) RCiCCinCM +=××+=+×= 11

CiCR ×=××= 3,21

CRIR ××=×= 3,209,009,0

CIR ×= 207,0 CCCCM ×=×−×+= 093,3207,03,2

( ) CiC ×=+× 093,31 %3,209=i


Taxas de Juros VariáveisTaxas de Juros Variáveis

Quando um capital é aplicado durante um certo prazo, com diferentes taxas para períodos desse prazo, teremos

nn niCniCniCCM ××++××+××+= ...2211

( )nn nininiCM ×++×+×+×= ...1 2211

+×= ∑

=

n

1k

1CM kk ni


EXEMPLO 5EXEMPLO 5Um capital de $ 2.300 foi emprestado durante seis

meses com as seguintes taxas:2% am para o primeiro mês;2,5% am para o segundo e terceiro meses;3% am para o restante do prazo.Determine a taxa equivalente de juros ao final do

prazo de empréstimo.



( )668.2$

303,02025,0102,01300.2

=×+×+×+×=

M

M

( ) 668.261300.2 =×+×= iM

1300.2

668.26 −=×i

%67,2=i


Juros Simples e PAsJuros Simples e PAs

Suponha que alguém empresou $ 1.000,00 durante cinco anos a uma taxa de 10% aa.

AnoSaldo no iníciode cada ano

Juros anuaisSaldo ao finalde cada ano

1 - - $ 1.000,002 $ 1.000,00 0,1 x 1.000 = $ 100,00 $ 1.100,003 $ 1.100,00 0,1 x 1.000 = $ 100,00 $ 1.200,004 $ 1.200,00 0,1 x 1.000 = $ 100,00 $ 1.300,005 $ 1.300,00 0,1 x 1.000 = $ 100,00 $ 1.400,00

O saldo evolui de acordo com uma Progressão Aritmética (PA).


NotaçãoNotaçãoA notação para Juros Compostos é um pouco

diferente:VP = Capital (Valor Presente);VF = Montante (Valor Futuro).

Assim:

JVPVF +=


FormulaçãoFormulaçãoNo final do primeiro ano:

00,210.1$)1,01(100.1)1()1()1( 212 =+×=+×+×=+×= iiVPiVFVF

No final do segundo ano:

Generalizando:

00,100.1$)1,01(000.1)1(1 =+×=+×= iVPVF

niVPVF )1( +×=


Fatores de Juros CompostosFatores de Juros Compostos

Fator de Capitalização ou Fator de Valor Futuro, a Juros Compostos

Fator de Atualização ou Fator de Valor Presente, a Juros Compostos

( ) niFAC

+=

1

1

( ) niFCC += 1


Cálculo dos Juros CompostosCálculo dos Juros Compostos

Considerando que

niVPVF )1( +×=

E que

JVPVF +=

Teremos

[ ]1)1( −+×= niVPJ


ComparaçãoComparação

1.000,00

2.000,00

3.000,00

4.000,00

5.000,00

6.000,00

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Saldo Juros Compostos Saldo Juros Simples

Juros compostos evoluem de acordo com uma Progressão Geométrica (PG).


Equivalência de JurosEquivalência de Juros

( ) 22 1 miVPVF +×=( )miVPVF +×= 11

( )qiVPVF +×= 12

0 21

VP 2VF


Equivalência de JurosEquivalência de JurosPara que as duas operações sejam equivalentes,

devemos ter

)1()1(ou

)1()1(2

22

qm

qm

ii

iVPiVPVF

+=+

+×=+×=

11 −+=∴ qm ii

Generalizando para m meses dentro de um período

11 −+= mqm ii ou

( ) 11 −+= mmq ii


EXEMPLO 6EXEMPLO 6A taxa Selic é a taxa de juros média dos

financiamentos diários com lastro em títulos federais, apurados por um sistema de liquidação diária dos títulos públicos, chamado de Sistema Especial de Liquidação e Custódia (Selic), e é fixada nas reuniões do Copom (Comitê de Política Monetária). Em junho de 2005, a taxa Selic era de 1,4924% ao mês. Considerando que esta taxa permaneça constante durante os próximos 12 meses, determine:

A taxa semestral equivalente;A taxa anual equivalente.


EXEMPLO 6 - SoluçãoEXEMPLO 6 - SoluçãoTaxa semestral equivalente

( ) 05281,01100/8614,01i 6s =−+=

Taxa anual equivalente

( ) 1084,01100/86144,01i 12a =−+=

%28,5is =

%84,10ia =


EXEMPLO 7EXEMPLO 7

Um título vence daqui a 4 meses, apresentando um valor nominal (resgate) de $ 403.621,45. É proposta a troca desse título por outro de valor nominal de $ 480.000,00, vencível daqui a 8 meses. Sabendo que a rentabilidade exigida pelo aplicador é de 5% ao mês, pede-se analisar se a troca é vantajosa.


EXEMPLO 7 - SoluçãoEXEMPLO 7 - SoluçãoUma maneira simples de resolver o problema é

calcular o valor presente do título que vence em 8 meses no momento do vencimento do outro título.

0 84

VP 00,000.480$V

( ) 20,897.394$05,1

00,000.4804

==VP

Como o VP é inferior ao valor nominal do título, a troca não é recomendada.


EXEMPLO 8EXEMPLO 8

Para um empréstimo de $ 12.000,00, um banco exige o pagamento de duas prestações mensais e consecutivas de $ 7.000,00 cada. Determinar o custo mensal da operação.


EXEMPLO 8 - SoluçãoEXEMPLO 8 - SoluçãoO Valor Presente das prestações deve igualar o valor

do empréstimo em uma data qualquer. Supondo que seja a data inicial, teremos

000.12$

0 21

000.7$000.7$


EXEMPLO 8 - SoluçãoEXEMPLO 8 - SoluçãoO VP será: 00,000.12

)1(

00,000.7

)1(

00,000.72

=+

++ ii

ou7

12

)1(

1

)1(

12

=+

++ ii

Multiplicando por (1+i)2, vem

0)1(7

121)1( 2 =+−++ ii

Resolvendo a equação do segundo-grau, teremos

%92,10=∴ i


ObservaçõesObservaçõesO cálculo anterior foi possível analiticamente porque

há apenas duas saídas de capital. Para mais de duas saídas, a solução analítica é muito difícil ou simplesmente impossível. Nesse caso, deve-se usar uma calculadora financeira ou uma planilha eletrônica;

A taxa de juros que iguala os fluxos de entrada e de saída, em uma mesma data, é denominada Taxa Interna de Retorno, ou TIR. A TIR é bastante usada para se avaliar a atratividade de projetos.


EXEMPLO 9EXEMPLO 9

Um devedor emprestou $ 100 em uma financeira. Devido a vários problemas, só conseguiu saldar a dívida dois anos depois. Considerando que a taxa de juros mensal da financeira é de 12% ao mês:

Qual o valor da dívida?Qual a taxa anual de juros cobrada pelo

banco?


EXEMPLO 9 - SoluçãoEXEMPLO 9 - Soluçãoa) O valor da dívida será

niVF )1(100 +×=

86,517.1$=∴ VF24)12,01(100 +×=VF

b) A taxa de juros anualizada será

( ) 11 −+= mma ii

( ) 112,01 12 −+=ai %6,289=∴ ai


ObservaçõesObservaçõesNo Brasil, até março de 2000, valia um artigo da Lei

da Usura (Decreto 22.626/1933), que proibia a aplicação de juros compostos (anatocismo) em períodos inferiores a um ano;

Com a edição da MP 1.963-17/2000, a aplicação do anatocismo em períodos inferiores a um ano foi liberada, mas somente para instituições financeiras (não se enquadram construtoras, pessoas físicas, etc)!

Por causa de suas restrições técnicas (falta de equivalência de capitais), os juros simples têm aplicação prática limitada.


EXEMPLO 10EXEMPLO 10

Um empresário irá necessitar de $ 35.000,00 em 11 meses e $ 48.000,00 em 14 meses. Quanto ele deverá depositar hoje em uma conta de investimento que oferece rentabilidade efetiva de 17% ao ano?


EXEMPLO 10 - SoluçãoEXEMPLO 10 - SoluçãoA rentabilidade mensal é

01317,0117,0112 =−+=mi

O Valor Presente da primeira aplicação é

36,308.30$)01317,01(

000.35111 =

+=VP

O Valor Presente da segunda aplicação é

82,965.39$)01317,01(

000.48142 =

+=VP

O depósito total deverá ser 18,274.70$21 =+=∴ VPVPVP


ObservaçõesObservaçõesOs devedores sempre reclamam da aplicação de

juros compostos, mas há várias situações em que o sistema de “capitalização exponencial” é usado de forma natural. Por exemplo:

Reajustes salariais;Cálculo da inflação anual;Reajustes tarifários.


EXEMPLO 11EXEMPLO 11Considerando a tabela abaixo, dos IGPMs mensais,

calcule o IGPM acumulado dos últimos 12 meses.



IGMPa=10,0131∗10,0122∗10,0069∗10,0039∗10,0082

10,0074∗10,0039∗10,0030∗10,0085

10,0086∗1−0,0022∗1−0,0044−1

IGMPa=7,12% a.a.


EXERCÍCIOSEXERCÍCIOSPara um poupador que deseja ganhar 2,5% ao mês, o

que é mais vantajoso: a) receber $ 18.500,00 daqui a 4 meses ou; b) receber $ 25.500,00 daqui a 12 meses?

Uma pessoa deve uma importância de $12.400. Para a liquidação da dívida, propõe-se os seguintes pagamentos: $3.500,00 ao final de 2 meses; $4.000,00 ao final de 5 meses; $1.700,00 ao final de 7 meses e o restante em 12 meses. Considerando que a taxa efetiva de juros é 3% ao mês, calcule o valor do último pagamento.


DescontosDescontosDesconto é a liquidação de uma operação antes de seu

vencimento, envolvendo um prêmio ou recompensa;Valor Nominal, Valor de Resgate ou Valor de Face é o valor

de um título na data de vencimento.Tipos de desconto:

Desconto “por dentro” (ou racional);Desconto “por fora” (ou bancário, ou comercial).

DescontoNominalValor DescontadoValor −=


Desconto RacionalDesconto RacionalO valor do desconto é:

rVND −=r

Dr = Valor do desconto;N = Valor nominal;Vr = Valor do resgate na data da operação.

Como N e Vr devem ser calculados na mesma data, devemos aplicar uma taxa de juros sobre Vr. No desconto racional, usamos juros simples:

niVD ××= rr


Desconto RacionalDesconto RacionalPor outro lado

( )niVniVVDVN rrrrr ×+=××+=+= 1

ni

niND

×+××=∴

1r

ou

ni

NVr ×+

=1

Assim

( )ni

NniN

ni

NNDr ×+

−×+×=×+

−=1

1

1


Desconto RacionalDesconto RacionalO valor do resgate pode ser escrito como

( )ni

niNniN

ni

niNNDNV rr ×+

××+×+=×+××−=−=

1

1

1

ni

NV

×+=∴

1r

ou


EXEMPLO 12EXEMPLO 12Seja um título de valor nominal $ 4.000,00 vencível

em um ano, que está sendo liquidado 3 meses antes de seu vencimento. Sendo de 42% aa a taxa nominal de juros corrente, pede-se calcular o desconto e o valor descontado desta operação.



000.4$=NrV

0 129

i=42% aa, ou i=42%/12 = 3,5% am

3035,01

3035,000,000.4

1 ×+××=

×+××=ni

niNDr

10,380$r =∴ D

3035,01

00,000.4

1 ×+=

×+=

ni

NVr 90,619.3$r =∴ V


Desconto BancárioDesconto BancárioNo desconto racional, os juros incidem somente

sobre o valor de resgate.No desconto bancário, os juros incidem sobre todo

o valor nominal.Desconto bancário:

É mais usado no mercado;Implica em maiores encargos na operação.


Desconto BancárioDesconto BancárioO valor do desconto é

ndND ××=F

Onde:N = Valor nominal;d = taxa de desconto “por fora”

O valor descontado, ou de resgate, será

FF DNV −= ( )ndNV ×−= 1F


EXEMPLO 13EXEMPLO 13Repita o Exemplo 11, considerando agora que a operação de

desconto é por fora.

000.4$=NFV

0 129


EXEMPLO 13 - SoluçãoEXEMPLO 13 - SoluçãoO valor do desconto será

3035,000,000.4 ××=××= ndNDF 00,420$F =∴ D

( ) ( )3035,0100,000.41 ×−=×−= ndNVF 00,580.3$F =∴ V

O valor de resgate será

A taxa de juros efetiva será

trimestreao %73,1100,580.3$

00,420$ ==i a.m. %77,3=∴ i


ObservaçõesObservaçõesO devedor do título assume encargos maiores do

que os declarados para a operação;A operação equivale a pagar juros de $ 420,00 sobre

um valor atual de $ 3.580,00, resultando em uma taxa implícita i > d;

A taxa implícita será

nd

ndi

×−×=∴

1( )ndN

ndN

V

Di

F

F

×−××==

1


Desconto Bancário e ICMSDesconto Bancário e ICMSUma situação comum em que o critério “por fora” é

usado refere-se ao cálculo do ICMS;No Paraná, a alíquota do ICMS sobre venda de

energia é 27%;Contudo, se multiplicarmos o valor sem impostos

pelo fator 1.27, o resultado difere do apresentado pela concessionária;

A razão é que a alíquota do ICMS incide “sobre ela mesma”, caracterizando uma operação “por fora”.


Desconto Bancário e ICMSDesconto Bancário e ICMSSe d for a alíquota nominal do ICMS, e considerando

que o prazo da operação é sempre n=1, teremos:

d

diICMS −

=1

O valor total a pagar será

( )

−+=+=

dViVN ICMS 1

111

−=∴

dVN

1

1


EXEMPLO 14EXEMPLO 14Calcule as alíquotas efetivas de ICMS para os

estados de SP, SC, PR e RJ.

Estado d iicms

SP 18,00% 21,95%SC 25,00% 33,33%PR 27,00% 36,99%RJ 30,00% 42,86%


EXERCÍCIO 7EXERCÍCIO 7A taxa de desconto “por fora” do banco A é de 3,1%

ao mês para operações com prazo de 90 dias. O banco B oferece taxa de desconto de 2,9% ao mês, também “por fora”, com prazo de 120 dias. Determine qual banco está cobrando a menor taxa efetiva mensal de juros.


Fluxo de CaixaFluxo de CaixaUm fluxo de caixa representa uma série de pagamentos

ou recebimentos que se estima ocorrer em determinado intervalo de tempo;

Os pagamentos são genericamente representados por PMT, sendo que as demais variáveis já foram abordadas:

VP – Valor Presente;VF – Valor Futuro;n – número de períodos;i – taxa de juros.


Fluxos de Caixa - ClassificaçãoFluxos de Caixa - Classificação

Quanto ao período de ocorrência:

Postecipados;

Antecipados;Diferidos.

Quanto à periodicidade:

Periódicos;

Não periódicos.

Quanto à duração:

Limitados (finitos);

Indeterminados (indefinidos).

Quanto aos valores:

Constantes;Variáveis.


O “Modelo Padrão”O “Modelo Padrão”Postecipado:

Os pagamentos ou recebimentos começam a ocorrer no final do primeiro intervalo de tempo. Não há carência.

Limitado:

O prazo total dp fluxo de caixa é conhecido a priori.

Constante:

Todos os termos (pagamentos ou recebimentos) são iguais entre si.

Periódico:

Os intervalos de tempo entre os termos são idênticos entre si.


O “Modelo Padrão”O “Modelo Padrão”PMT PMT PMT PMT PMT PMT

1 2 3 4 n−1 n0

VP

VP=PMT1i

PMT1i2

PMT1i 3...

PMT1in

VP=PMT∗FVP i , n

FVP (i, n) é conhecido como Fator de Valor Presente


O Fator de Valor PresenteO Fator de Valor PresenteO Fator de Valor Presente é uma Progressão Geométrica

de n termos, com primeiro termo (a1) e razão (q) iguais a

(1+i)-1, e enésimo termo (an) igual a (1+i)-n.

A soma dos termos de uma PG é:

FVP i , n=a1−an∗q

1−q

FVP i , n=1i −1

−1i −n∗1i −1

1−1i −1 FVP i , n=1−1i−n

i


EXEMPLO 15EXEMPLO 15 Um software é vendido em 7 pagamentos mensais,

iguais e consecutivos de $ 3.000,00. Considerando que a taxa de juros é 3,6% am, até que preço compensa adquirir o produto a vista?


EXEMPLO 15 - SoluçãoEXEMPLO 15 - SoluçãoPMT = $ 3.000,00;

i = 2,6% am = 0,026;

n = 7 meses;

VP = ?

VP=PMT∗FVP i , n=3.000,00∗FVP i , n

VP=3.000,00[1−1,026−7

0,026]

VP=$18.975,88VP=3.000,00∗6,325294


Usando o Excel ou o CalcUsando o Excel ou o CalcO Microsoft Excel e o Open Office Calc têm funções

financeiras para cálculo direto do PMT e do VP:VP (Taxa, NPER, PGTO);

PGTO (Taxa, NPER, VP);

PGTO = PMT;

NPER = número de períodos;

Taxa = taxa de juros unitária.


Usando o Excel ou o CalcUsando o Excel ou o Calc



Um empréstimo de $ 20.000,00 é concedido para pagamento em 5 prestações mensais, iguais e sucessivas de $ 4.300,00. Determine o custo mensal do empréstimo.



VP = $ 20.000,00;PMT = $ 4.300,00;n = 5;

VP=PMT∗FVP i , n

20.000=4.300∗FVP i , n

20.000=4.300∗1−1i−5

i

i=2,46% a.m.Resolvendo em uma calculadora financeira...


Com auxílio de uma planilha...Com auxílio de uma planilha...O Excel e o Calc têm a função financeira Taxa (NPER, PGTO, VP), que permite o cálculo das

taxas de juros de fluxos padrão. Detalhe: VP e PGTO devem ter sinais trocados.


Valor FuturoValor FuturoPMT PMT PMT PMT PMT PMT

1 2 3 4 n−10 n

VF

VF=PMT PMT∗1iPMT∗1i 2...PMT∗1in

VF=PMT [11i1i 21i 3

...1in]

VF=PMT∗FVF i , n

FVF (i, n) é conhecido como Fator de Valor Futuro


O Fator de Valor FuturoO Fator de Valor FuturoO Fator de Valor Futuro é uma Progressão Geométrica de

n termos, com primeiro termo a1 = 1 e razão q = (1+i), e

enésimo termo an = (1+i)n.

A soma dos termos de uma PG é:

FVF i , n=a1−an∗q

1−q

FVF i , n=1−1in

∗1i1−1i

FVF i , n=1i n

−1i



Uma pessoa irá necessitar de $ 22.000,00 daqui a 12 meses. Para tanto, está fazendo uma poupança mensal de $ 1.250,00, com tyaxa de juros compostos de 4% am Determine se esta pessoa terá acumulado o montante necessário.



PMT = $ 1.250,00n = 12 meses;i = 4,0 % am;VF = ?

VF=PMT∗FVF

FVF i , n=1in

−1

i=

10,0412−1

0,04=15,025805

VF=$18.782,26VF=1.250,00∗15,025805



Um jovem executivo de 25 anos deseja se aposentar aos 55 anos com um patrimônio de $ 1.000.000,00. Qual valor mensal ele deve depositar em uma conta-investimento que rende 1,2% am?


EXEMPLO 18 - SoluçãoEXEMPLO 18 - SoluçãoPMT = ?

n = 55 - 25 = 30 anos = 360 meses;

i = 0,012 am;

VF = $ 1.000.000,00

VF=PMT∗FVF

FVF i , n=1in

−1

i=

10,012360

−1

0,012=6.023,32

PMT=$166,02PMT =1.000.0006.023,32

ou PMT=VF

FVF


EXEMPLO 19EXEMPLO 19 Uma empresa contraiu um empréstimo de $

100.000,00 para ser pago em 6 prestações mensais uniformes de $ 18.094,33. Após o pagamento da segunda prestação, a empresa solicita ao banco o refinanciamento do saldo da dívida em 12 prestações mensais, iguais e sucessivas, sendo que a primeira vence 30 dias a partir dessa data. Sabendo que a taxa de juros cobrada pelo banco é de 3,5% aa, determine o valor da prestação do refinanciamento.


EXEMPLO 19 - SoluçãoEXEMPLO 19 - SoluçãoA taxa de juros do empréstimo original é

VP=PMT∗FVP=18.094,33∗FVP i ,6

Resolvendo-se com uma calculadora financeira ou planilha eletrônica:

i=2,4% a.m.

Após o pagamento da segunda prestação, faltam ainda quatro. O valor presente destas, a uma taxa de juros de 2,4% am seráVP=18.094,33∗FVP 2,4 , 4=18.094,33∗3,771054

VP=$68.234,68


EXEMPLO 19 - SoluçãoEXEMPLO 19 - SoluçãoO fluxo de 12 prestações a uma taxa de 3,5% am deve

ser equivalente ao valor presente das prestações faltantes:

68.234,68=PMT∗FVP 3,5 ,12

PMT =68.234,689,663334

68.234,68=PMT∗[1−1,035

−12]

0,035

PMT=$7.061,19


Fluxo com CarênciaFluxo com Carência

O valor presente na data 1 seráVP=PMT∗FVP 1, n

Na data zero, teremos

VP=PMT∗FVP 1, n∗1

1i ou VP=PMT∗FVP 1, n∗FAC 1,1

Generalizando para um período de carência c

PMT PMT PMT PMT PMT

1 2 3 4 n−10 n

Carência

VP=PMT∗FVP i , n∗FAC i , c


PerpetuidadePerpetuidade

VP=PMT1i

PMT1i2

PMT1i 3... PMT

1i ∞=PMT∗FVP i ,∞

Considerando que an = 0, a soma da PG será

FVP= limn∞

a1−an∗q

1−q=

a1

1−q

VP=PMT

i

PMT PMT PMT PMT PMT PMT

1 2 3 4 ∞0

VP

FVP=1i−1

1−1i −1=1i


EXEMPLO 20EXEMPLO 20 Um pequeno investidor têm um apartamento que

rende aluguel mensal constante de $ 720,00. Determine o Valor Presente dos aluguéis, avaliado pela taxa da poupança e considerando: Prazo de 10 anos; Prazo de 40 anos; Perpetuidade.


EXEMPLO 20 - SoluçãoEXEMPLO 20 - Soluçãon = 10 anos = 120 meses

VP=720∗FVP 0,5% ,120=$64.852,89

n = 40 anos = 480 meses

VP=720∗FVP 0,5% ,480=$130.858,26

n = ∞

VP=720

0,005=$144.000,00


EXEMPLO 21EXEMPLO 21 Um determinado fluxo de caixa consiste de 12

prestações mensais de $ 120.000,00. Determine o fluxo de caixa equivalente para 5 prestações trimestrais iguais, considerando que a taxa de juros seja 1,5% am


EXEMPLO 21 - SoluçãoEXEMPLO 21 - SoluçãoDois fluxos de caixa são equivalentes quando

produzem o mesmo valor em um mesmo momento. Este momento é frequentemente denominado “data focal”. Admitindo o momento atual como data focal, teremos:

VP=PMT∗FVP i , n

VP=$13.089,00VP=1.200∗FVP 1,5% ,12

1.200 1.200

1 2 3 4 120

VP 1.200 1.200 1.200 1.200

11

(meses)


EXEMPLO 21 - SoluçãoEXEMPLO 21 - SoluçãoO fluxo trimestral será:

i=1,0153−1=0,0457

PMT =VP

FVP 4,57% ,5=

13.89,004,381427

A taxa de juros trimestral será

i=4,57% a.t.

PMT=$ 2.987,40

PMT PMT

1 2 3 40

$13.089 PMT PMT PMT

5 (trimestres)


EXERCÍCIO 8EXERCÍCIO 8 Um empréstimo no valor de $ 12.500,00 deve ser pago em 4

parcelas trimestrais de valores linearmente crescentes na razão de 12%. A primeira parcela vence em 3 meses, e as demais sequencialmente. A taxa de juros efetiva contratada é 27 % ao ano. Determine o valor de cada pagamento.

PMT1 = $ 3.091,80

PMT2 = $ 3.462,80

PMT3 = $ 3.833,80

PMT4 = $ 4.204,80


Principais SistemasPrincipais SistemasSistema de Amortização Constante – SAC;Sistema de Amortização Francês – SAF;Sistema de Amortização Misto – SAM;Sistema de Amortização Americano - SAA;

Obs.: O SAF, quando usado com taxas proporcionais (lineares) é denominado “Tabela Price”.


Conceitos BásicosConceitos BásicosEncargos Financeiros (J) – representam os juros da operação, podendo ser

préfixados ou pós-fixados;

Principal (P) – é o capital emprestado, na data de empréstimo;

Amortização (A) – refere-se exclusivamente ao pagamento do principal,

por meio de parcelas periódicas;

Saldo Devedor (SD) – é o valor principal da dívida, após a dedução da

amortização;

Prestação (PMT) – é a soma da amortização e dos encargos financeiros;

Carência – período inicial no qual, em geral, são pagos apenas os juros da

operação.


EXEMPLO GERALEXEMPLO GERAL

A operação a seguir será usada para ilustrar todos os sistemas de amortização:Principal = $ 100.000,00;Prazo = 10 anos;Taxa efetiva de juros = 30% ao ano.


Sistema de Amortização ConstanteSistema de Amortização Constante

No SAC, a amortização é constante, sendo igual ao principal dividido pelo número de prestações;

O saldo devedor decresce linearmente;Os juros incidem sobre o saldo devedor e também

são decrescentes;Como os juros são decrescentes e a amortização é

constante, as prestações também são decrescentes.



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

R$ 0,00

R$ 10.000,00

R$ 20.000,00

R$ 30.000,00

R$ 40.000,00

R$ 50.000,00

R$ 60.000,00

R$ 70.000,00

R$ 80.000,00

R$ 90.000,00

R$ 100.000,00

Saldo Devedor Amortização Juros Prestação

Anos


SAC - FORMULAÇÃOSAC - FORMULAÇÃOA=

Pn

A amortização é fácil de calcular:

Os juros decrescem linearmente:J t=

Pn∗n−t1∗i

As prestações são PMT = J + A, ou:PMT t=

Pn∗[1n−t1∗i]

O saldo devedor também descrece linearmente:

SDt=S t−1−Pn=SD t−1−A


SAC – Valor Presente das PrestaçõesSAC – Valor Presente das Prestações

VP PMT =PMT 1

1i

PMT 2

1i2PMT 3

1i3...PMT n

1i n

VP PMT =40.000

1,3

37.000

1,32

34.000

1,33

31.000

1,34

28.000

1,35

25.000

1,36 +

+22.000

1,37

19.000

1,38

16.000

1,39

13.000

1,310

VP PMT =100.000,00

VP PMT =PO valor presente das prestações é igual ao Principal



Um empréstimo de $ 80.000,00 será liquidado pelo SAC em 40 parcelas mensais. A taxa de juros contratada é de 4% ao mês. Determine:O valor da amortização;O valor dos juros correspondentes ao 22°

pagamento;O valor da última prestação;O saldo devedor logo após o 10° pagamento.


EXEMPLO 24 - SoluçãoEXEMPLO 24 - SoluçãoAmortização Juros do 22° pagamento

A=Pn

A=80.000,00

40

A=$ 2.000,00

J t=Pn∗n−t1∗i

J 22=89.000,00

40∗40−221∗0,04

J=$1.520,00


EXEMPLO 24 - SoluçãoEXEMPLO 24 - SoluçãoÚltima prestação

Saldo após o 10° pagamento

PMT=$ 2.080,00

PMT t=Pn∗[1n−t−1∗i]

SD10=$ 60.000,00

PMT 40=80.000,00

40∗[140−401∗0,04]

SD t=P−A∗t

SD10=80.000,00−2.000,00∗10


Sistema de Amortização FrancêsSistema de Amortização Francês

O SAC não é muito usado no Brasil, pois as prestações variáveis causam alguma confusão, especialmente em empréstimos para pessoas físicas;

Assim, o SAF é mais usado, pois apresenta prestações constantes, sendo mais próximo ao Modelo Padrão dos fluxos de caixa;

No SAF, os juros decrescem com o tempo, e a amortização cresce;

O saldo devedor também é decrescente, embora não de maneira linear.


Sistema de Amortização FrancêsSistema de Amortização FrancêsPrestação constante, amortização variável


Sistema de Amortização FrancêsSistema de Amortização Francês

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

R$ 0,00

R$ 10.000,00

R$ 20.000,00

R$ 30.000,00

R$ 40.000,00

R$ 50.000,00

R$ 60.000,00

R$ 70.000,00

R$ 80.000,00

R$ 90.000,00

R$ 100.000,00


Anos


SAF - FormulaçãoSAF - FormulaçãoPMT =

PFVP i , n

=P∗i

1−1i−nA prestação é fácil:

Os juros são calculados sobre o saldo anterior: J t=SD t−1∗i

A amortização é mais fácil de calcular assim:At=PMT −J t

O saldo é o VP das

PMTs a pagarSD t=PMT∗FVP i , n−t =PMT∗

1−1i−n−t

i



Um financiamento no valor de $ 90.000,00 é amortizado em 30 parcelas mensais pelo SAF. A taxa de juros contratada é 2,8% ao mês. Determine:O valor de cada prestação mensal;O valor da amortização e dos juros referentes ao

19° mês.



Prestações mensais

PMT=$ 4.473,81

PMT=P

FVP i , n=P∗

i1−1i−n

PMT =90.000∗0,028

1−10,028−30

SDt=PMT∗1−1i −n−t

i

Juros e amortização no 19° mês

SD18=4.473,81∗1−10,028

−30−19

0,028=$ 45.068,70



J 19=$1.261,92

J t=SDt−1∗i

At=PMT t−J t

J 19=SD18∗i

J 19=45.068,70∗0,028

A19=PMT 19−J 19

A19=4.473,81−1.261,92 A19=$ 3.211,89


Sistema PRICE de AmortizaçãoSistema PRICE de Amortização

O Sistema Price (ou Tabela Price) foi desenvolvido originalmente

pelo inglês Richard Price. Tendo sido usado amplamente na

França, a invenção de Price passou a se denominar SAF;

Modernamente, a Tabela Price é uma variante do SAF, sendo usado

quando o período das prestações é menor do que o período da

taxa de juros, usando-se taxas proporcionais em vez de taxas

compostas;

Uma vez determinada a taxa de juros, as prestações, amortizações e

juros da Tabela Price são calculados de maneira idêntica ao SAF.



Um empréstimo de $ 10.000,00, com período de 10 semestres é concedido à taxa de juros de 30% aa Sabendo que será usada a Tabela Price, determine o valor das prestações semestrais.


EXEMPLO 26 - SoluçãoEXEMPLO 26 - SoluçãoTaxa de juros contratada = 30% aa;Taxa proporcional semestral = 30/2 = 15% as;Taxa efetiva anual = (1,15)2 – 1 = 32,25% aa

PMT=P

FVP i , n

PMT=P∗i

1−1i−n

PMT=$1.992,52PMT =10.000,00∗

0,15

1−10,15−10


Sistema de Amortização MistoSistema de Amortização Misto



O Sistema de Amortização Misto (SAM) foi originalmente desenvolvido para as operações do Sistema Financeiro da Habitação;

O SAM é a média aritmética entre SAC e SAF, representando um compromisso entre prestações constantes e amortizações constantes.



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10R$ 0,00

R$ 10.000,00

R$ 20.000,00

R$ 30.000,00

R$ 40.000,00

R$ 50.000,00

R$ 60.000,00

R$ 70.000,00

R$ 80.000,00

R$ 90.000,00

R$ 100.000,00


Anos


SAM - FormulaçãoSAM - FormulaçãoO SAM é a média aritmética entre SAC e SAF

SDt=SDt SAC SDt SAF

2At=

At SAC At SAF

2

PMT t=PMT t SAC PMT t SAF

2J t=

J t SAC J t SAF

2


Sistema de Amortização AmericanoSistema de Amortização Americano

Nesse sistema, a amortização é paga de uma única vez, ao final do prazo da operação;

Os juros são pagos periodicamente, incidindo sobre o saldo devedor, que permanece constante;

As prestações, com exeção do último período, são iguais aos juros;

Para possibilitar o pagamento da amortização, é frequente a formação de um fundo de capitalização. Por esta razão, o SAA também é chamado de Sistema do Fundo de Amortização - SFA.


Sistema de Amortização AmericanoSistema de Amortização Americano


Formação do Fundo de AmortizaçãoFormação do Fundo de Amortização

1 2 3 40 5 6 7 8 9 10

PMT PMT PMT PMT PMT PMT PMT PMT PMT PMT

VF=$100.000,00

PMT=VF

FVFi ,n

PMT=$3.852,28

PMT=100.000,00

FVF 20% ,10=

100.000,0025,9587


SAA com Fundo de AmortizaçãoSAA com Fundo de Amortização


EXERCÍCIO 10EXERCÍCIO 10Um banco empresta $ 850.000,00 a uma empresa para

ser devolvido em prestações quadrimestrais, pelo sistema americano, em 4 anos. A taxa de juros a ser cobrada a cada quadrimestre é 8,5%. Pede-se:Elaborar a planilha financeira do empréstimo pelo

SAA;Sendo 4% a.q. a taxa de aplicação, determinar os

depósitos quadrimestrais para a constituição do fundo de amortização.


Métodos de AnáliseMétodos de Análise

Valor Presente Líquido (VPL):

Fácil de entender, fácil de calcular;

Depende do conhecimento prévio de uma taxa de desconto.

Taxa Interna de Retorno (TIR):

Difícil de calcular;

Não depende de uma taxa de desconto;

Sensível ao ritmo de desembolso do projeto;

Depende da reaplicação dos fluxos à mesma taxa;

Útil para vender o projeto.



Índice de Lucratividade (IL):

Relação entre o valor presente das receitas e o valor presente dos desembolsos;

Também conhecido como Return On Investment (ROI);

Bastante usado em projetos de informática.

Taxa de Rentabilidade (TR):

Relação entre o Valor Presente Líquido e o valor presente dos desembolsos;

Pouco intuitiva.



Pay Back

Bastante usado, mas frequentemente de maneira errada;

Índice intuitivo e fácil de entender;

Possui grande apelo, especialmente junto aos donos do capital.

Valor Uniforme Anual Equivalente (VAUE)

Corresponde à série uniforme (Modelo Padrão) que tem o mesmo valor presente do fluxo original;

Método equivalente ao do VPL.


Valor Presente Líquido - VPLValor Presente Líquido - VPL

O VPL é o valor líquido de todas as receitas e desenbolsos de capital, trazidos a valor presente por meio de uma taxa de desconto.

VPL=−I o∑j =1

n FC j

1i j

VPL=−I oFC 1

1i

FC 2

1i 2...FCn

1i n



Determine o VPL do fluxo de caixa abaixo, para taxas de juros de 20% aa e 30% aa.

1 2 3 40

$750.000,00

$ 250.000,00 $320.000,00 $380.000,00 $ 280.000,00



i = 20% aa

VPL=−I o∑j =1

n FC j

1i j

VPL=−750.000[250.0001,2

320.000

1,22

380.000

1,23

280.000

1,24 ]

VPL=$35.493,82

VPL=−750.000785.493,82



i = 30% aa

VPL=−I o∑j =1

n FC j

1i j

VPL=−750.000[250.0001,3

320.000

1,32

380.000

1,33

280.000

1,34 ]

VPL=$ 97.344,29

VPL=−750.000652.655,71


EXEMPLO 27 - SoluçãoEXEMPLO 27 - SoluçãoA taxa de desconto para o qual o VPL é nulo é denominada Taxa Interna de Retorno - TIR.

5,00% 15,00% 25,00% 35,00% 45,00% 55,00% 65,00%

-R$ 400.000,00

-R$ 350.000,00

-R$ 300.000,00

-R$ 250.000,00

-R$ 200.000,00

-R$ 150.000,00

-R$ 100.000,00

-R$ 50.000,00

R$ 0,00

R$ 50.000,00

R$ 100.000,00

R$ 150.000,00

R$ 200.000,00

R$ 250.000,00

R$ 300.000,00

R$ 350.000,00

VPL


ObservaçõesObservações

O método do VPL é frequentemente denominado “Fluxo de Caixa Descontado”;

Este método pode ser usado para analisar:Atratividade de investimentos;Viabilidade de empreendimentos;Valor de uma empresa para fins de venda

ou investimento;etc.


Vantagens do VPLVantagens do VPL

Fácil de calcular, mesmo com uma calculadora de quatro operações;

Leva em consideração o valor do dinheiro no tempo;

Abrange toda a vida útil do projeto.


Desvantagens do VPLDesvantagens do VPL

Necessita o conhecimento prévio de uma taxa de desconto;

Não é uma medida muito intuitiva. Sabemos que projetos com VPL negativo não podem ser aceitos, mas o que significa um projeto com VPL de $ 120.000,00? O projeto é certamente bom, mas quão bom?


Custo do Capital PróprioCusto do Capital PróprioUma estimativa para a taxa de desconto é o CMPC

(Custo Médio Ponderado do Capital), como já visto;O Custo do Capital de Terceiros é razoavelmente fácil

de estimar, pois depende de contratos de financiamento previamente assinados;

O Custo do Capital Próprio, por outro lado, é difícil de estimar. Poucas empresas no Brasil conhecem seu custo de capital.


CCP – Método RápidoCCP – Método Rápido

Quando uma empresa abre seu capital, emitindo ações no mercado, ela passa a ser valorizada por estas ações;

O valor de uma ação, determinado pelo mercado, é também o valor presente de todos os dividendos futuros esperados, e a taxa de desconto destes dividendos é o Custo do Capital Próprio.


CCP – Método RápidoCCP – Método Rápido

Sendo D1 o valor dos dividendos

esperados, Po o valor atual das ações e g

a taxa de crescimento dos dividendos, o Custo do Capital Próprio será:

CCP=D1

P0

g


EXEMPLO 28EXEMPLO 28Uma empresa tem hoje 100 milhões de ações e pagará,

dentro de um semestre, dividendos de R$ 0,20/ação. Estima-se que os dividendos totais que a empresa pagará no futuro devem cerscer geometricamente à taxa de 2% ao semestre. Sabendo-se que o preço da ação hoje é $ 4,00, determine:

O Custo do Capital Próprio;

Considerando que 30% do capital total da empresa encontra-se financiado à taxa de 25% aa, determine o Custo Médio Ponderado do Capital.



CCP=0,20

40,02

CCP=0,07

CCP=7% a.s.

CCP=10,072−1=0,1449

CCP=14,49% a.a.

CMPC=0,7∗0,14490,3∗0,25

CMPC=0,1764 CMPC=17,64 % a.a.


EXEMPLO 29EXEMPLO 29Considere que a empresa do exemplo anterior

pretende implantar um projeto com o fluxo de caixa líquido mostrado abaixo. Calcule o VPL usando como taxa de desconto: a) o CCP; b) o CMPC.

1 2 3 40

$75.000,00

$ 20.000,00 $ 25.000,00 $30.000,00 $35.000,00


EXEMPLO 29 - SoluçãoEXEMPLO 29 - SoluçãoVPL=−75.000,00[

20.000,001i

25.000,00

1i 2 30.000,00

1i3 35.000,00

1i4 ]

a) i = CCP = 14,49% aa

VPL=$1.901,74

b) i = CMPC = 17,64% aa

VPL=−$3.232,64


Taxa Interna de Retorno - TIRTaxa Interna de Retorno - TIRA TIR é a taxa de desconto que iguala, em

determinado momento do tempo, o valor presente das entradas e das saídas de caixa. Geralmente adota-se a data de início de operação, o momento zero, como a data focal para comparação dos fluxos de caixa;

A TIR pode ser considerada como a rentabilidade média ponderada geometricamente, de acordo com o critério dos juros compostos.


EXEMPLO 30EXEMPLO 30Um projeto exige investimento de $ 80.000,000 e

promete rendimentos de $ 21.000,00, $ 41.000,00, $ 46.000,00 e $ 31.000,00, respectivamente, ao final dos próximos quatro anos. Determine: A TIR;A rentabilidade total;O Valor Futuro das receitas;A relação entre o Valor Futuro das receitas e o

Valor Presente do investimento inicial.



1 2 3 40

$80.000,00

$ 21.000,00 $ 41.000,00 $ 46.000,00 $31.000,00

−80.000,00[21.000,00

1i

41.000,00

1i 2 46.000,00

1i 3 31.000,00

1i 4 ]=0

Resolvendo em uma planilha eletrônica ou calculadora financeira:

TIR=24,54% a.a.

a)



Rentabilidade=1TIRn−1

c) Valor Futuro das receitas - VF(R):

Rentabilidade=140,55%

b) A Rentabilidade total nada mais é do que a TIR calculada

para todas a vida útil do projeto:

Rentabilidade=1,24544−1=1,4055

VF R== 21.000∗1,2454

341.000∗1,2454

246.000∗1,245431.000

VF R=$192.439,07



VF R

VP I =

192.439,0770.000

=2,4055

Não por coincidência:

VF R=VP I ∗1TIR

d) Relação entre VP(I) e VF(R):

VF R

VP I =TIR1

Assim, a TIR é também a taxa de juros que transforma o

investimento inicial na riqueza VF(R) ao final da vida útil. Mas

esse valor futuro só existirá se todas as receitas forem

reaplicadas a uma taxa igual à TIR!


TIR ModificadaTIR ModificadaA TIR, quando calculada da maneira anterior, é

frequentemente denominada Taxa Externa de Retorno, ou TIR Modificada (Modified TIR):

MTIR=VF R

VP I −1

Para calcular a MTIR, devemos definir:

Uma taxa de financiamento, para cálculo do valor presente do investimento;

Uma taxa de reinvestimento, para cálculo do valor futuro das receitas.



No exemplo 28, considere que a taxa de reinvestimento é 15%, e que a taxa de financiamento é 24,54%. Determine a MTIR.


EXEMPLO 31 - SoluçãoEXEMPLO 31 - SoluçãoO Valor Presente do Investimento é $ 80.000, pois a

taxa de desconto é a própria TIR;O Valor Futuro das Receitas é:

VF R=21.000∗1,15341.000∗1,15

246.000∗1,1531.000

VF R=$170.060,88

MTIR=VF R

VP I −1=

170.060,8880.000

−1=1,1258

MTIR=20,75% a.a.

(para toda a vida útil)

MTIR=11,12581/4

−1=0,2075


Considerações sobre a MTIRConsiderações sobre a MTIR

O MS Excel e o Open Office Calc têm a função MTIR (valores, taxa de financiamento, taxa de reinvestimento), que permite o cálculo da MTIR;

Por causa disso, o uso da TIR e da MTIR multiplicou-se nos últimos 10 anos. Mas quando usar a MTIR?

Em uma palavra: NUNCA!

Justificativa: A MTIR exige o conhecimento prévio de duas taxas de juros. Já é difícil determinar uma delas. Determinar duas taxas, durante toda a vida útil de um projeto, é transformar a análise financeira em jogo de adivinhação.


ConclusãoConclusãoSó se pode dizer que um projeto apresenta TIR de X% se

todos os fluxos de caixa do projeto forem reaplicados, em uma outra aplicação, a uma taxa de juros igual à TIR do projeto

Mas por que um investidor investiria em um projeto se existisse uma aplicação com a mesma rentabilidade?

Isso mostra que o conceito da TIR é tecnicamente confuso e de difícil aplicação, embora seja usado rotineiramente, especialmente para vender o projeto;

Mas há ainda mais problemas...


EXEMPLO 32EXEMPLO 32Uma distribuidora decidiu instalar um novo depósito

de produtos acabados. Para isso, alugou um galpão por 15 anos, pagando anualmente $ 120.000,00, e comprometeu-se a realizar uma reforma estimada em $ 300.000,00 após 5 anos. As reduções de custos de distribuição do produto foram estimadas em $ 144.000,00 anuais. Faça uma análise do VPL para taxas de desconto variando de 0% a 50% aa


EXEMPLO 32 - SoluçãoEXEMPLO 32 - SoluçãoFluxo de Caixa (em mil $)

0,00% 5,00% 10,00% 15,00% 20,00% 25,00% 30,00% 35,00% 40,00% 45,00% 50,00%

-10

-5

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

Taxa de Desconto

VP

L (m

il $)


ObservaçõesObservaçõesO fluxo de caixa anterior não é usual, pois a única saída líquida de

capital ocorre no quarto ano;

Quando isso acontece, ou quando há mais de uma inversão de capital, o VPL pode ter mais de uma raiz. Consequentemente, o projeto terá mais de uma TIR;

No caso em questão, temos:

TIR1 = 8,43% aa

TIR2 = 33,57% aa

Nesse caso, o uso da TIR é inviável. A MTIR resolveria o problema das raízes múltiplas, mas cairíamos de novo no problema de conhecer duas taxas e juros.


EXERCÍCIO 11EXERCÍCIO 11Dado o fluxo de caixa abaixo, determine o VPL, a TIR e a

MTIR, para uma taxa de desconto de 12% aa Considere que as taxas de financiamento e de reinvestimento também são iguais a 12% aa


EXERCÍCIO 11 - RespostasEXERCÍCIO 11 - Respostas

VPL = $ 55.194,28TIR = 16,33% aaMTIR = 14,78% aa


TIR e ritmo de desembolsoTIR e ritmo de desembolsoConsidere as duas alternativas de investimento a seguir,

com taxa de desconto de 12 % aa

É fácil concluir que os VPLs de ambas as alternativas são idênticos: $ 78.912,59

Contudo, as TIRs são diferentes:

TIR1 = 28,65% aa

TIR2 = 32,99% aa

Isso acontece porque a TIR é sensível ao ritmo de desembolso do projeto.


TIR e ritmo de desembolsoTIR e ritmo de desembolso

0 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47-50.000,00

-25.000,00

0,00

25.000,00

50.000,00

75.000,00

100.000,00

125.000,00

150.000,00

175.000,00

200.000,00

VPL 1 VPL 2

Taxa de desconto anual (% a.a.)

VP

L (

$) Intersecção de Fischer


VPL x TIRVPL x TIR

O VPL está associado ao conceito de maximização da riqueza;

A TIR está associada ao conceito de maximização da lucratividade;

Projetos com o mesmo VPL podem ter TIRs diferentes.


Índice de LucratividadeÍndice de Lucratividade

O IL é uma maneira um pouco diferente de expressar o VPL. Em vez de ser uma subtração, como o VPL, o IL é uma divisão entre os valores presentes das entradas e das saídas de capital:

IL=VP Receitas

VP Desembolsos


Taxa de Rentabilidade - TRTaxa de Rentabilidade - TR

A TR é a a divisão entre o VPL e o valor presente dos desembolsos de capital:

TR %=VPL

VP Desembolsos


Tempo de Retorno Tempo de Retorno - Payback- PaybackO Tempo de Retorno do Capital, ou Payback,

mede o tempo que o projeto leva para pagar o investimento inicial;

A forma mais correta de calcular o Payback é levando-se em conta o valor do dinheiro no tempo. O método resultante é denominado Paybak descontado;

O Payback é aquele tempo para o qual o VPL acumulado se torna zero.


EXEMPLO 33EXEMPLO 33Para o fluxo abaixo, calcule o Payback descontado

considerando taxa de desconto de 12% aa


EXEMPLO 33 -SoluçãoEXEMPLO 33 -SoluçãoO VPL no primeiro ano é:

VPL1=−100.0015.000

10,12=−$86.607,00

No segundo ano:

VPL2=−100.0015.000

10,12

20.000

10,122=−$ 66.607

No terceiro ano:

VPL3=−100.0015.000

10,12

20.000

10,122

30.000

10,123=−$11.607


EXEMPLO 33 -SoluçãoEXEMPLO 33 -SoluçãoDesenhando-se o gráfico VPL=f(tempo), o Payback

resultando é aproximadamente 4,4 anos.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-100.000

-75.000

-50.000

-25.000

0

25.000

50.000

75.000

100.000

125.000

150.000

175.000

200.000

225.000

Variação do VPL Acumulado

Anos

VP

L A

cum

ula

do (

$)


Valor Uniforme Anual Equivalente - VAUEValor Uniforme Anual Equivalente - VAUE

O VAUE, Valor Uniforme Anual Equivalente, consiste na série uniforme de pagamentos que são equivalentes ao fluxo de caixa original do projeto;

O VAUE é também denominado:SUL – Série Uniforme Líquida;BLAU – Benefício Líquido Anual Uniforme.


CÁLCULO DO VAUECÁLCULO DO VAUEPara calcular o VAUE, basta calcular o VPL e, a

partir deste, usar o Modelo Padrão para obter os pagamentos equivalentes:

VAUE=PMT =VPL

FVP i , n

VAUE=i∗VPL

1−1i−n

VAUE=i

1−1i−n∗VPL


EXEMPLO 34EXEMPLO 34Calcule o VAUE para o fluxo de caixa abaixo,

considerando taxa de desconto de 12% aa



VPL=−200.000−250.000

1,12

100.000

1,122

120.000

1,23

200.000

1,24

300.000

1,25

VPL=$39.250,40

VAUE=i∗VPL

1−1i−n=0,12∗39.250,40

1−1,12−6

VAUE=$ 9.546,71



0 0,01 0,03 0,05 0,07 0,090,10,11 0,13 0,15 0,17 0,190,20,21 0,23 0,25-100000

-75000-50000-25000

0250005000075000

100000125000150000175000200000225000250000275000

VPL

VAUE

Taxa de Desconto

Os gráficos do VPL e do VAUE em função da taxa de desconto

mostram que o VAUE é mais “comprimido”, sendo mais fácil de

analisar.


EXERCÍCIO 12EXERCÍCIO 12

Para o fluxo de caixa abaixo, calcule o VPL, a TIR, a MTIR, o IL, a TR, o Payback e o VAUE. Considere taxa de desconto de 16% aa


Alternativa ÚnicaAlternativa ÚnicaA seleção de um único projeto diz respeito à

viabilidade econômica do mesmo. Trata-se de decidir se o projeto deve ser implementado ou não

Na prática, não existe projeto com alternativa única, pois sempre existe a opção de não se fazer nada;

Assim, a pergunta a ser feita é: devemos investir no projeto ou deixar o dinheiro no banco?


Critérios de SeleçãoCritérios de Seleção

Os critérios para seleção de projetos de alternativa única são:VPL: o projeto é aceito se VPL>0;TIR: o projeto é aceito se TIR>TMA;IL: o projeto é aceito se IL > 1;

Os métodos do Payback, VAUE e TR não permitem conclusões sobre um projeto de alternativa única.


Alternativas MúltiplasAlternativas Múltiplas

Os projetos de alternativas múltiplas se dividem em dois tipos:Alternativas de mesma duração;Alternativas de durações diferentes.


Alternativas de mesma duraçãoAlternativas de mesma duração

Os métodos que podem ser usados para se comparar duas os mais alternativas de mesma duração de um projeto são:VPL, VAUE, Payback, IL e TR.

A TIR não deve ser usada nesses casos, pois, como já vimos, alternativas de mesmo VPL podem ter TIRs diferentes.


EXEMPLO 35EXEMPLO 35Uma empresa enfrenta sérios problemas de produtividade em

uma determinada etapa de produção. Estudos técnicos evidenciaram duas alternativas para solucionar o problema, expostas abaixo. Supondo os investimentos concentrados na data zero, determine a alternativa mais viável.


EXEMPLO 35 - SoluçãoEXEMPLO 35 - SoluçãoAlternativa A

Receita Líquida=Receita Operacional−CustoOperacional−Custo de Manutenção

Receita Líquida=27.500−12.500−2.000=$13.000

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

0

$30.000,00

$13.000,00 $10.000,00

TIR=42,93% VPL=$53.093,62


EXEMPLO 35 - SoluçãoEXEMPLO 35 - SoluçãoAlternativa B

Receita Líquida=Receita Operacional−CustoOperacional−Custo de Manutenção

Receita Líquida=38.500−19.800−2.600=$16.100

$50.000,00

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

0

$16.100,00 $ 20.000,00

TIR=31,46 % VPL=$54.862,93


EXEMPLO 35 - SoluçãoEXEMPLO 35 - SoluçãoA alternativa B é mais atrativa, pois tem VPL maior,

quando calculado com TMA=12%aa;

Contudo, para se fazer uma melhor avaliação da atratividade das alternativas, deve-se fazer uma análise de sensibilidade, variando-se a TMA e calculando-se os VPLs;

A análise de sensibilidade mostra que ambas as alternativas são igualmente atrativas para TMA=13,6%aa;

Para TMA>13,6% aa, a alternativa A é mais atrativa.



8,0% 10,0% 12,0% 14,0% 16,0% 18,0% 20,0% 22,0% 24,0% 26,0% 28,0% 30,0%0

10000

20000

30000

40000

50000

60000

70000

80000

Análise de Sensibilidade

VPL (A) VPL (B)

TMA (%)


Durações diferentesDurações diferentesQuando as alternativas em análise têm durações (vidas

úteis) diferentes, não podemos fazer a comparação dos VPLs, ILs, etc, diretamente, pois isto violaria o princípio da equivalência dos capitais.

Nesse caso, um método que pode ser usado consiste em repetir os fluxos de caixa das alternativas, de maneira que as durações resultantes coincidam;

Por exemplo, se a alternativa A tem duração m, e a alternativa B tem duração n, as alternativas resultantes deverão ter duração mxn.


EXEMPLO 36EXEMPLO 36 Uma fábrica está precisando de um novo grupo

motor-gerador e está em dúvida entre as marcas General Failure e La Bomba. Os custos de operação e manutenção são iguais, de modo que as econominas geradas pelas duas alternativas são idênticas. A única diferença é que o gerador da General Failure dura o dobro e custa o dobro. Sabendo que o valor residual de ambas as alternativas é desprezível, apresente uma solução para a tomada de decisão.


EXEMPLO 36 - SoluçãoEXEMPLO 36 - SoluçãoAlternativa A: General Failure

I A=2x

n

E

VPLA=−2xE∗FVP i ,n

VPLA=−2xE∗1−1i−n

i


EXEMPLO 36 - SoluçãoEXEMPLO 36 - SoluçãoAlternativa B: La Bomba

I B=x

n

E

VPLB=−x−x∗FAC i , n /2E∗FVP i , n

VPLB=−x−x

1i n /2E∗1−1i−n

i

n2

I B=x


EXEMPLO 36 - SoluçãoEXEMPLO 36 - SoluçãoVPLA=−2xE∗

1−1i−n

i

VPLB=−x−x

1i n /2E∗1−1i−n

i

VPLB−VPLA=−x−x

1i n /22x

VPLB−VPLA=x−x

1in/2 =x∗1i n /2

−1

1in/2

VPLB−VPLA0

VPLBVPLA

É melhor investir no gerador que custa a metade e dura a metade, independente da taxa de desconto.


EXEMPLO 36 – Calculando o VAUEEXEMPLO 36 – Calculando o VAUEVPLA=−2xE∗

1−1i−n

i

VPLB=−x−x

1i n /2E∗1−1i−n

i

VAUE A=i

1−1i−n∗VPLA=−2x [i

1−1i−n ]E

VAUE B=i

1−1i−n∗VPLB=−[ xx

1in/2 ]∗[i

1−1i −n ]E

VAUE B−VAUE A=x∗1in /2

−1

1i n /2 ∗[i

1−1i−n ]


EXEMPLO 36 – Calculando o VAUEEXEMPLO 36 – Calculando o VAUE

Comparando as expressões do VPL e do VAUE, concluímos que:

VAUE B−VAUE A=VPLB−VPLA∗[i

1−1i −n ]

Como esperado, as receitas intermediárias se cancelam, de modo que a comparação dos VPLs e dos VAUEs conduz ao mesmo resultado.

De maneira geral, é mais fácil comparar os VAUEs, pois isso evita o trabalho de repetir os fluxos de caixa.


EXEMPLO 37EXEMPLO 37 Para taxa de juros de 12% aa, determine qual das

alternativas abaixo é melhor.


EXEMPLO 37 - SoluçãoEXEMPLO 37 - SoluçãoAlternativa A

18.000

10.600

1

6.600

2 3 4 5

0

VPLA=−18.0006.6001,12

6.600

1,122

6.600

1,123+

+6.600

1,124

10.600

1,125

VPLA=$ 8.061,23

VAUE A=i∗VPL A

1−1i −n

VAUE A=0,12∗8.061,23

1−1,12−5 VAUE A=$ 2.236,26


EXEMPLO 37 - SoluçãoEXEMPLO 37 - SoluçãoAlternativa B VPLB=−16.000

5.2001,12

5.200

1,122

5.200

1,123 +

+5.200

1,124

5.200

1,125

5.200

1,126

8.200

1,127

VPLB=$ 9.088,58

VAUE B=i∗VPLB

1−1i −n

VAUE B=0,12∗9.088,58

1−1,12−7 VAUE B=$1.991,47

16.000

8.200

1

5.200

2 3 4 5

0

6 7


EXEMPLO 37 - ConclusõesEXEMPLO 37 - ConclusõesA Alternativa B, embora exija investimento menor e

dure menos do que a Alternativa A, é menos atraente para TMA=12%aa, pois tem VAUE menor;

Uma análise de sensibilidade indica que a Alternativa B só seria mais atrativa do que a Alternativa A para TMAs superiores a 29,32%aa. Contudo, nessa situação o VAUE de ambas as alternativas seria negativo;

Concluímos que a Alternativa A é mais atrativa.


EXEMPLO 37 EXEMPLO 37

12% 16% 20% 24% 28% 32% 36% 40% 44% 48%-R$ 3.500,00

-R$ 3.000,00

-R$ 2.500,00

-R$ 2.000,00

-R$ 1.500,00

-R$ 1.000,00

-R$ 500,00

R$ 0,00

R$ 500,00

R$ 1.000,00

R$ 1.500,00

R$ 2.000,00

R$ 2.500,00

Análise de Sensibilidade

VAUE A

VAUE B

TMA

VU

AE


Tipos de ImpostosTipos de ImpostosA maioria dos impostos empresariais pode ser

classificada em um dos seguintes grupos:Impostos do tipo custo fixo, que são pagos uma

única vez ou periodicamente (IPTU, IPVA, etc).Impostos do tipo custo variável, que incidem sobre

o faturamento (IPI, ICMS, ISS).Impostos que incidem sobre o lucro líquido (IRPJ e

CSLL, no caso de empresas que optaram pelo regime de lucro real).


Regimes tributáriosRegimes tributáriosTributação pelo lucro presumido: Nesse regime, o IRPJ e

a CSLL são calculadas presumindo-se lucro trimestral de 12% ou 32%, conforme o caso. Regime recomendado para empresas que tenham poucas despesas, como é o caso das prestadoras de serviços.

Tributação pelo lucro real. Nesse tipo de regime, o IRPJ e a CSLL são calculados mensalmente, incidindo sobre o lucro líquido efetivamente apurado. Recomendada para empresas que possam abater muitas despesas do lucro bruto.


Obrigatoriedade do Lucro RealObrigatoriedade do Lucro Real

As empresas obrigadas a recolher impostos pelo lucro real são aquelas que:

tiveram faturamento total, no ano-calendário anterior, acima de R$ 48 milhões.

exercem atividades de bancos comerciais, bancos de investimentos, bancos de desenvolvimento, caixas econômicas, sociedades de crédito, financiamento e investimento, sociedades de crédito imobiliário, sociedades corretoras de títulos, valores mobiliários e câmbio, distribuidora de títulos e valores mobiliários, empresas de arrendamento mercantil, cooperativas de crédito, empresas de seguros privados e de capitalização e entidades de previdência privada aberta;

tiverem lucros, rendimentos ou ganhos de capital no exterior.



Um determinado projeto de uma empresa apresenta lucro tributável de $ 30 mil mensais. Determine o valor do lucro após o pagamento do IRPJ e da CSLL.


EXEMPLO 42 - SoluçãoEXEMPLO 42 - SoluçãoIRPJ

CSLL

IRPJ 1=30.000∗0,15=$ 4.500,00

IRPJ 2=30.000−20.000∗0,10=$1.000,00

IRPJ =IRPJ 1 IRPJ 2=$5.500,00

CSLL=0,12∗30.000=$3.600

Lucro Líquido

LL=LT − IRPJ −CSLL=30.000−5.500−3600LL=$ 20.900,00


ATIVO PASSIVO

Balanço patrimonialBalanço patrimonial

Circulante

Realiz. Longo Prazo

Permanente:InvestimentosDiferidoImobilizado

Circulante

Exigível Longo Prazo

Patrimônio Líquido:Capital socialReservas de capitalReservas de lucrosLucros e prejuízos


EXEMPLO 46EXEMPLO 46Um grupo motor-gerador a diesel de 450 kVA apresenta as seguintes características:

Preço de aquisição: US$ 65.000,00 (incluindo IPI, frete e startup)

Consumo de combustível: 280 litros por MWh

Custos de manutenção: US$ 10/MWh

Custos com lubrificantes: US$ 1,5/MWh

O fator de potência médio do gerador é 0,95 e o gerador será usado com 90% de sua capacidade. Considerando ainda que a taxa de câmbio seja US$ 1,00 = R$ 2,50, que o preço do diesel seja R$ 1,50/litro, que a vida útil do gerador seja 15 anos, que 70% do custo do gerador seja financiado pelo SAF em 5 anos e taxa de juros de 15% aa, e que o custo do capital próprio da empresa seja 10% aa, determine:

a) VPL e o VAUE do equipamento, com e sem financiamento.

b) O custo efetivo em R$/MWh, com e sem financiamento.


EXEMPLO 46 - SoluçãoEXEMPLO 46 - SoluçãoEnergia Gerada

EG=300,105 MWh

Potência Ativa Gerada = Potência Instalada * Fator de Potência * Fator de Capacidade

Potência Ativa Gerada=PAG=450∗0,9∗0,92=384,75 kW

Energia Gerada=EG=PAG∗n° horas anuais

EG=384,75∗65 horas * 12 meses=300.105 kWh


EXEMPLO 46 - SoluçãoEXEMPLO 46 - SoluçãoCustos de Operação e Manutenção

O&M =R $134.672,12 /ano

Custo do Combustível =CC=280 litros/MWh∗R$ 1,50/litros∗300,105 MWh=R$126.044,10

Custo de Manutenção =CM =US$ 10/MWh∗R$ 2,50/US$∗300,105 MWh=R $7.502,63

Custo do Lubrificante =CL=US$ 1,5/MWh∗R$ 2,50/US$∗300,105 MWh=R $1.125,39

Custos de O&M = O&M =CCCM CL

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