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IndiceCaptulos (contedos) PginaApresentao 3O que Estatstica? 4Cap. 1 - Conceitos fundamentais 4Cap. 2 Arredondamento de dados 5Critrio de Arredondamento de dados 6Cap. 3 Freqncias 8Freqncias absoluta e absoluta acumulada 8Freqncias relativa e relativa acumulada 9Cap. 4 Saiba um pouco mais 11A Estatstica o melhor calmante 11O que derruba uma aeronave? 11Cap. 5 Distribuio de freqncia 12Cap. 6 Representao grfica 14Grfico de Colunas e de Barras 14Histograma 15Grfico de Setores 16Cap. 7 Medidas de Tendncia Central 18Mdia Aritmtica 19Clculo da mdia aritmtica para dados agrupados em classes 21Mediana 21Moda 22Cap. 8 Medidas de Disperso 23Desvio padro e varincia 23Zona de normalidade 24Bibliografias 25

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ApresentaoCaros alunos e professores, este material visa proporcionar um aprendizado

mais dinmico e simplificado no estudo de Estatstica e tambm maismomentos de participao e acompanhamento na confeco dos exerccios eaprendizado efetivo, de uma forma simples e direta.

A Estatstica nos dias de hoje uma ferramenta indispensvel para os cursostcnicos em geral, pois aplicvel em qualquer rea de conhecimento, pormcaber ao professor faz-lo bom uso e no ser somente a nica ferramenta detrabalho, sendo indispensvel adapt-la com outras fontes paralelas de estudo( jornais, revistas, computador, pesquisas, etc. ).

Quaisquer dvidas e sugestes entre em contato via e-mail:valdecimath@ig.com.br.

Bom estudo!

Professor Valdeci (Agosto/2002)

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ESTATSTICAO que Estatstica?De origem muito antiga, a Estatstica teve durante sculos um carter meramente descritivo e de registro deocorrncias. As primeiras atividades datam de cerca de 2000 a.C. e refere-se a iniciativas como orecenseamento das populaes agrcolas chinesas.No incio do sculo XIX, os estudos estatsticos ganharam a contribuio de grandes matemticos. Nostrabalhos de dois deles, o francs Simon Laplace e o alemo Carl Friedrich Gauss (1777 1855), surge aidia de distribuio normal de freqncia. Essa idia levou a uma teoria muito til para fazer previses.A teoria da distribuio normal foi usada pelo astrnomo e matemtico belga Adolphe Qutelet (1796 1874), no estudo estatstico de diversas caractersticas das populaes humanas: altura, peso, natalidade,mortalidade, renda mensal, etc.Fisher (1890 1962) Ronald Aylmer Fisher, geneticista e estatstico britnico, concentrou seus estudosna gentica das populaes, campo em que obteve importantes resultados, sendo considerado um dosgrandes criadores do neodarwinismo. Na Estatstica trabalhou com ajustes de curvas de freqncias, comcoeficientes de correlao, os chamados coeficientes de Fisher, na anlise de varincia e nas tcnicas deestimao de um parmetro.Influenciado pelos trabalhos de Karl Pearson, outro importante geneticista e estatstico britnico, Fisherutilizou os resultados que obteve na Estatstica como ferramentas para aplicao nos seus estudos degentica, sendo hoje considerado um dos maiores nomes na Teoria de Estatstica e na Estatstica aplicada Biologia.A Estatstica trata do conjunto de mtodos utilizados para a obteno dedados , sua organizao em tabelas e grficos e a anlise desses dados.Grande parte das informaes divulgadas pelos meios de comunicaoatual provm de pesquisas e estudos estatsticos.Captulo 1 Conceitos FundamentaisPopulao e Amostra Em Estatstica ao estudarmos um conjunto de objetos, de indivduos ou deocorrncias, podemos considerar todo o conjunto, chamado de populao, ou parte deste conjunto,chamado de amostra.Imagine, por exemplo, um campeonato quadrangular entre Flamengo, Botafogo, Atltico Mineiro eGrmio, sendo realizado em um nico dia, no Maracan. Se quisermos saber qual a composio datorcida que est no estdio, podemos desenvolver o estudo entrevistando: o conjunto de todos os torcedores que esto no estdio (populao); ou parte desse conjunto de torcedores (amostra).Portanto:Populao so grupos, geralmente numerosos de mesmas caractersticasque podem ser estudados estatisticamente.Exemplos: 48 alunos que estudam na 5 srie de uma escola;Clubes campees paulistas de futebol, etc.Amostras so partes de grupos de mesmas caractersticas, que geralmenteso muito numerosos e que para ser verificado em sua totalidade seriamuito dispendioso.Exemplos: 10 alunos de uma escola com 995 alunos;2000 brasileiros ouvidos para uma pesquisa de opinio poltica, etc.

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Captulo 2 Arredondamento de dadosSe pedirmos a diferentes pessoas que meam um segmento, certamente obteremos resultados diversos.Alguns podero dar como resposta 3,4 cm, outros, 3,5 cm. Quem poder nos garantir que tal medida noseria 3,45 cm ou 3,449 cm? A medida que encontraremos vai depender de quem a efetuou e doinstrumento utilizado.

Qualquer medio, por mais bem feita que seja, sempre nos dar um resultado aproximado.Assim, tambm clculos que envolvem divises nem sempre resultam em nmeros exatos. Observemos oresultado de 146 : 99. O nmero 1,474747... envolve uma dzima peridica. , portanto, um nmerodecimal no-exato.Para calcularmos o valor da expresso 3,578 + 146 : 99, poderamos pensar em usar apenas trs casasdecimais, considerando: Um nmero menor que o valor real: 3,578 + 1,474 = 5,052 Um nmero maior que o valor real: 3,578 + 1,475 = 5,053Nos dois casos estaramos cometendo erros: para menos, no primeiro, e para mais no segundo.O erro a diferena entre o valor real do nmero e o valor considerado.A quantidade de algarismos a conservar aps a vrgula depende do problema que estamos resolvendo. Oerro de 0,5m na medida do comprimento de uma rua diferente do erro de 0,5m na medida docomprimento de uma sala. Vejamos isso por meio de duas situaes prticas:Exemplo:

a) Um funcionrio da prefeitura mede uma rua com o objetivo de numerar as casas em relao smedidas obtidas. O porto da casa do Sr. Francisco est a 21,5 m do incio da rua, no lado dosnmeros mpares. O funcionrio d o nmero 21 residncia em questo. Cometeu, assim, um errode 0,5 m.

b) Um operrio mede o comprimento de uma sala, para a colocao de um carpete em seu piso. Amedida obtida 3,5 m. O operrio anota 3m, cometendo, portanto, um erro de 0,5m.Nos dois exemplos, o nmero que representa os erros o mesmo, mas o significado dos erroscometidos diferente, uma vez que as situaes so diversas.

Continuemos nosso raciocnio completando o problema do exemplo b: o operrio, ao medir a sala, obtevecomprimento 3,5 m e largura 2,3 m. Assim, a rea do piso da sala 3,5 m . 2,3 m = 8,05 m2. O erro de0,5m cometido pelo operrio na anotao da medida levar ao seguinte clculo de rea:

3 m . 2,3 m = 6,9 m2O erro na medida da rea seria, portanto, de:

8,05 m2 6,9 m2 = 1,15 m2Voc j deve ter percebido que devemos ter certo cuidado no arredondamento de dados. Deve ter notadotambm a importncia do arredondamento e da definio de critrios para reduzir o efeito dos erros.Convm notar que as formas de representao 2; 2,0 e 2,00 no so equivalentes.

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O valor 2 est compreendido entre os valores 1,5 e 2,5:-----|--------------------|--------------------|--------------------|--------------------|-----

1 1,5 2 2,5 3O valor 2,0 est compreendido entre 1,95 e 2,05:-----|--------------------|--------------------|--------------------|--------------------|-----

1,9 1,95 2,0 2,05 2,1

O valor 2,00 est compreendido entre 1,995 e 2,005:1,995 2,005

-----|--------------------|----------|----------|----------|----------|--------------------|-----1,98 1,99 2,00 2,01 2,02

Critrio de Arredondamento de DadosA definio de critrios para considerar nmeros prximos aos que representam os valores reais necessria par reduzir ao mnimo os efeitos dos erros.Exemplos:

a) O melhor arredondamento para o inteiro mais prximo de 72,8 seria 72 ou 73? Veja o esquemaabaixo:

----------|----------|----------|----------|----------|----------|----------|----------|----------|----------|----------|----------72 72,8 73

Vemos que 72,8 est mais prximo de 73.Considerando 73, o erro ser: 73 72,8 = 0,2Considerando 72, o erro ser: 72,8 72 = 0,8No segundo caso o erro maior. Conclui-se que ser melhor a aproximao (arredondamento) para 73.

b) Qual o melhor arredondamento do nmero 72,814 com aproximao par o dcimo mais prximo?(chamamos aproximao para o dcimo mais prximo o arredondamento do nmeroconsiderando a casa dos dcimos, ou seja, considerando uma casa decimal.)

72,814----------|----------|-----|-----|----------|----------|----------|----------|----------|----------|----------|----------|---------

72,8 72,9

Vemos que 7,814 est mais prximo de 72,8. Seu arredondamento para o mais prximo , ento, 72,8.c) Aproximar 72,814 para o centsimo mais prximo (2 casas decimais).

---------|--------------------------------|----------|-------------------------------------------|---------------72,81 72,814 72,815 72,82

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A aproximao para o centsimo mais prximo 72,81 porque est mais prximo do que 72,82 (o erro menor).

d) Qual a melhor aproximao do nmero 72,815 para o centsimo mais prximo?---------|-------------------------------------------|-------------------------------------------|---------------

72,81 72,815 72,82Deparamos agora com um nmero que tem a mesma distncia tanto de 72,81 de 72,82. Na prtica,costuma-se aproxima o algarismo que precede o 5 para o nmero par mais prximo. Assim, a aproximaode 72,815 para o centsimo mais prximo 72,82.Esta prtica valiosa para reduzir ao mnimo os erros acumulados por arredondamento. Vejamos oexemplo seguinte:

e) Adicionar os nmeros: 7,35 + 8,65 + 3,25 + 3,15 + 2,95 + 0,75 e 4,85. Soluo: Adicionamos diretamente (sem arredondamento): total = 30,95 Com arredondamentos para dcimos considerando o nmero par no algarismo que precedeo 5: 7,4 + 8,6 + 3,2 + 3,2 + 3,0 + 0,8 + 4,8 = 31,0 Com arredondamentos para dcimos acrescendo 1 ao algarismo que precede o 5:

7,4 + 8,7 + 3,3 + 3,2 + 3,0 + 0,8 + 4,9 = 31,3O erro no segundo processo 31,0 30,95 = 0,05 e no terceiro processo 31,3 30,95 = 0,35. Logo

o segundo nos leva a um erro menor que o terceiro arredondamento, o que torna o segundo processo maisaconselhvel.

Exerccios Propostos1- Faa o arredondamento dos nmeros conforme a preciso indicada:

a) 47,8 para a unidade mais prxima;b) 37,257 para o dcimo mais prximo;c) 37,257 para o centsimo mais prximo;d) 7,314 para o centsimo mais prximo;e) 2,484 para o dcimo mais prximo;f) 136,5 para a unidade mais prxima;g) 0,0435 para o milsimo mais prximo;h) 4,50001 para a unidade mais prxima;i) 5,56500 para o centsimo mais prximo;j) 5,56501 para o centsimo mais prximo.

2- Efetue as operaes indicadas e calcule o erro, em cada caso de arredondamento (se possvel, usecalculadora):

a) 3,253 + 1,725 + 1,23001 + 2,471 + 5,6451b) 3,150 2,335c) 4,75 1,2d) 3,112 - 1,3374e) 45 + 29,12 - 14,3303 + 9,99

Para cada operao considere: sem arredondamento; com arredondamentos para dcimos; com arredondamentos para centsimos;

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com arredondamentos para milsimos; com arredondamentos para a unidade.Em cada caso indique qual o arredondamento que traz o menor acmulo de erros.Captulo 3 FreqnciasFreqncia absoluta e freqncia absoluta acumuladaA primeira fase de um estudo estatstico consiste em recolher, contar e classificar os dados colhidos sobreuma populao estatstica.Escolhida uma caracterstica estatstica sobre os elementos de uma populao estatstica, devemos elaboraruma tabela de dados denominada distribuio estatstica.Exemplo1 - Considerem primeiramente as idades de 15 pessoas de um grupo de alunos num curso deartesanato: 15 18 19 17 17 19 16 19 17 20 16 18 19 15 20Nesse caso temos:Populao estatstica: 15 alunos de um curso de artesanato;Amostras: alguns alunos (3 ou 4) desse grupo de 15 alunos;Varivel estatstica: as idades desses 15 alunos.A partir desses conhecimentos, vamos elaborar uma tabela:

Idades(Xi)

Contagem Nmero de Alunos(Fi)

15 1+1 216 1+1 217 1+1+1 318 1+1 219 1+1+1+1 420 1+1 2

Total = 15Na primeira coluna aparecem os diferentes valores da varivel estatstica, que representamos por Xi. Naltima coluna aparece o nmero de vezes que cada valor se repete; essa coluna chamada freqnciaabsoluta, que representamos por Fi.

Freqncia absoluta (Fi) do valor de Xi o nmero de vezes que cadavarivel estatstica assume o valor de Xi.A distribuio de freqncias absolutas pode ser completada com mais uma coluna, chamada freqnciasabsolutas acumuladas (F. i. a.), cujos valores so obtidos adicionando a cada freqncia absoluta, osvalores das freqncias anteriores. Veja o complemento da tabela anterior:

Idades(Xi)

Nmero de Alunos(Fi)

Soma dos nmerosde alunos (Fia)

15 2 216 2 417 3 718 2 919 4 1320 2 15

Total = 15 Total = 15

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Pelo quadro e usando a freqncia acumulada, podemos fazer algumas observaes como:a) 9 pessoas possuem menos que 19 anos de idade, ou seja, entre 15 e 18 anos;b) 15 9 = 6 pessoas possuem idade acima de 18 anos, ou seja, entre 19 e 20 anos.

Portanto, a freqncia absoluta acumulada permite uma anlise mais abrangente na tabela de freqncias,possibilitando visualizao globalizada de alguns parmetros estatsticos.

Exerccios Propostos3- Em uma escola, o conceito de cada bimestre representado por letras: A, B, C, D e E. Em umdeterminado bimestre, os conceitos dos alunos da 6 srie A, em Geografia foram os seguintes:

Disciplina: GeografiaNmero 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20Conceito B A C C D C D A A C E D D C B C B C C B

Nessas condies, elabore um quadro de distribuio de freqncias absolutas e freqncias absolutasacumuladas, sabendo que a nota mais alta A e a mais baixa E.Analise tambm os resultados obtidos em alguns aspectos.4- Um dado foi lanado 15 vezes, tendo-se obtido os seguintes pontos: 2, 5, 6, 6, 1, 4, 2, 6, 5, 1, 3, 3, 2,4 e 6. Construa uma tabela de distribuio de freqncias absolutas e freqncias absolutasacumuladas.

5- Os salrios mensais, em reais, dos 20 funcionrios de uma empresa so:720, 720, 800, 880, 840, 720, 760, 800, 920, 720, 760, 800, 840, 720, 680, 760, 800, 720, 880 e 760.Elabore um, quadro de distribuio de freqncias absolutas e freqncias absolutas acumuladas,analisando em seguida os resultados obtidos, fazendo um comparativo desses salrios com a situaoatual de nosso pas.Sugesto: tome com extremos o menor e o maior salrio.6- Agora vamos fazer uma pesquisa em nossa classe para verificar as idades de todos os alunos, emseguida vamos elaborar uma tabela de distribuio de freqncias absolutas e freqncias absolutasacumuladas e analisar os resultados obtidos.

Freqncia relativa e freqncia relativa acumuladaChama-se freqncia relativa (fi) do valor Xi da varivel, o quociente entre a freqncia absoluta e onmero de elementos da populao estatstica, ou seja:

Devemos observar que a freqncia relativa dada na forma de porcentagem (%), ou seja, vai sernecessrio multiplicar o resultado do quociente acima por 100; ela vai nos tornar mais clara a anlise decertos dados.Se tomarmos como exemplo o quadro de freqncias das idades das 15 pessoas num curso de artesanato,temos:f 15 = 2 = 0,13333... = 13,33% f 17 = 3 = 0,2 = 20% (0,2 x 100 = 20)

15 15

f i = F i (%)N

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Podemos ento, completar o quadro de distribuio de freqncias com mais duas colunas: a coluna dasfreqncias relativas (f i) e a coluna das freqncias relativas acumuladas (f i a).

Idades(Xi)

Nmero deAlunos

(Fi)

Soma dosnmeros dealunos (Fia)

freqnciarelativaf.i. (%)

freq. relat.acumuladaf.i.a. (%)

15 2 2 2/15 = 13,33 13,3316 2 4 2/15 = 13,33 26,6617 3 7 3/15 = 20 46,6618 2 9 2/15 = 13,33 59,9919 4 13 4/15 = 26,67 86,6620 2 15 2/15 = 13,33 99,99

Total = 15 Total = 15 Total = 99,99 Total = 99,99

Observando essa tabela, podemos dizer que: 20% dos alunos possuem 17 anos de idade; 59,99% possuem idade inferior a 19 anos; 99,99% 59,99% = 40% possuem idades superior a 18 anos.Observao: Quando tratarmos com valores dizimais (f.i. e f.i.a.), podemos fazer o arredondamentoutilizando 2 casas decimais, totalizando aproximadamente 100% com margem de erro de 2 dcimos,superando-se esse erro o aluno deve rever seus clculos e melhorar sua aproximao.

Exerccios Propostos7- Um dado foi jogado 20 vezes, sendo obtido os seguintes pontos: 1, 5, 6, 5, 2, 2, 2, 4, 6, 5, 2, 3, 3, 1,6, 6, 5, 5, 4, 2. Elabore um quadro com distribuio de freqncias absolutas, freqncias absolutasacumuladas, freqncias relativas e freqncias relativas acumuladas.8- Observando a tabela do exerccio cima, responda:

a) Quantas vezes o nmero 2 foi obtido no dado?b) Quantas vezes o nmero obtido no dado foi menor que 5?c) Qual o ndice em % em que o nmero 6 foi obtido no dado?d) Qual o ndice em % em que nmeros maiores que 4 foram obtidos no dado?

9- A tabela abaixo mostra a mdia dos 25 alunos da 1 srie do curso de ensino mdio de umdeterminado colgio, em Qumica, no primeiro bimestre de um determinado ano:

Disciplina: QumicaNmeros 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25Mdias 4 7 5 5 5 4 9 4 5 6 6 7 6 6 5 4 4 8 7 6 6 8 5 5 8

Tomando como extremos a menor e a maior nota:a) Elabore um quadro com distribuio de freqncias absolutas, freqncias absolutas acumuladas,

freqncias relativas e freqncias relativas acumuladas.b) Quantos alunos obtiveram mdia 6?c) Quantos alunos obtiveram mdia menor que 6?d) Quantos alunos obtiveram mdia maior que 6?e) Qual o ndice em % de reprovao em Qumica neste bimestre?f) Qual o ndice em % de alunos que obtiveram mdia maior que 7?g) Qual o ndice em % de alunos que obtiveram mdia maior ou igual a 5 e menor que 7?

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Captulo 4 -Saiba um pouco maisA ESTATSTICA OMELHOR CALMANTE inevitvel. Depois de um ano sombrio para a aviao comercial, como foi o de 1996, at o passageiromais viajado sente medo. Diante de tantos desastres areos nas manchetes dos jornais, no h quem oconvena de que as quedas so raras, de que o normal tudo dar certo. Mas exatamente isso que dizemas estatsticas. A chance de algum bater o carro e morrer a caminho do aeroporto 500 vezes maior doque a de o avio cair. Segundo a Administrao Federal de Aviao, americana, de cada 1000 mortes, 228acontecem em acidentes rodovirios e 0,45 em aerovirios. At nadar mais perigoso. A cada 1000fatalidades, 26 so por afogamento.Seria preciso viajar todos os dias, durante 712 anos, para que algum se envolvesse com certeza emum acidente areo, disse a SUPER Stuart Matthews, da FSF (sigla para a fundao de segurana no vo,em ingls).O que aconteceu no dia 31 de outubro em So Paulo, quando um fokker 100 despencou sobrevrias casas segundos depois de decolar, foi uma tremenda falta de sorte, levando-se em conta asestatsticas. Pesquisas mostram que desde o final da dcada de 50 o nmero de desastres caiu bastante,embora eles tenham matado mais de 20.000 pessoas. H 37 anos, eram sessenta casos para cada milho dedecolagens. Hoje so trs. E Brasil segue a tendncia. Em 1987, quando o pas tinha 7.890 avies, houve226 acidentes. Hoje com uma frota quase 20% maior, o nmero baixou para menos da metade.

Mas a matemtica nem sempre tranqiliza. A lei da gravidade parece ser mais cruel na Amrica Latina.Aqui, a cada milho de pousos e decolagens 32,4 no do certo. Na Amrica do Norte a freqncia oitovezes menor. E o maior problema a tripulao, diz Stuart Mattews. Ou seja, em geral a culpa no datecnologia.

Os nmeros animadores tambm no valem para avies pequenos. No Brasil, entre 1982 e 1984, osdesastres com jatinhos aumentaram 55%. Alguns viraram notcia. Na noite de 2 de maro de 1996, umLearjet chegou ao aeroporto de Guarulhos com velocidade superior indicada para pouso. O piloto subiu evirou esquerda. Chocou-se com uma montanha. Morreram nove pessoas. Eram os Mamonas assassinas ea tripulao. Concluso do inqurito policial: erros do piloto, do co-piloto e da torre.O que derruba uma aeronave15,7% Falha mecnica O atrito com o ar e os processos de compresso e descompresso provocamtrincas na fuselagem, que o corpo do avio. Quando no so percebidas e reparadas a tempo, parte dacarcaa se solta em pleno vo.Informaes sobre o vo chegam ao painel por fios conectados a aparelhos espalhados pelo avio.Interferncias eletromagnticas alteram os dados, confundem os pilotos e podem acionar equipamentos emhora errada.O desgaste na ligao entre as turbinas e a asa pode fazer com que uma delas se solte parcialmente e deixede funcionar.As turbinas empurram a aeronave, mantendo-a no ar, e ajudam na freagem, com o mecanismo chamadoreverso. So partes delicadas do aparelho, que j causaram muitos acidentes.Cadeiras mal fixadas esmagam os passageiros. Alm disso, sob elas que se colocam as bombas. Oterrorismo no entra nas estatsticas, mas um dado importante, tal qual a tragdia de 11 de Setembro de2001, nos EUA.

3,4% Manuteno Antes do vo, todo o aparelho deve ser avaliado. Peas desgastadas que jderrubaram muitos avies poderiam ter sido trocadas nessa fase.

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4,8% Clima Nevoeiros diminuem a visibilidade e correntes de vento podem desestabilizar o aparelho. Orelmpago uma fatalidade que no se pode evitar.Fagulhas surgidas em possveis atritos entre partes do avio podem chegar ao tanque de combustvel eprovocar exploses.69,2% Falhas humanas Piloto e co-piloto causam nada menos que 64,4% das quedas. Por inexperinciaou cansao, confundem-se com aparelhos e orientaes da torre e cometem deslizes. Pela lei, podem ficarno comando at 9 horas e 30 minutos por dia. Mas o sindicato Nacional dos Aeronautas garante que anorma no respeitada.A torre de controle orienta o trfego no aeroporto e crucial no pouso e na decolagem. Falhas nacomunicao e orientaes erradas causam 4,8% dos acidentes.7,1% Outras causas (Testes e vos militares) O trem de pouso controlado por um sistemahidrulico. s vezes ele no funciona e o avio tem que pousar de barriga.Captulo 5 - Distribuio de freqnciaAlgumas coletas com muitos dados no favorecem a elaborao de tabelas detalhadas.Nesses casos, mais interessante agrupar os valores em determinados intervalos que apresentam a mesmaamplitude.Exemplo: Em uma olimpada estudantil, com alunos do ensino fundamental, foi medida a altura de cadaum dos participantes, encontrando-se os seguintes valores, em centmetros.

152 155 167 176 155 156 166 178 153 162155 160 155 160 162 158 178 162 152 160163 161 155 160 164 158 179 162 160 167151 150 152 174 167 156 154 166 162 152156 152 171 161 170 157 151 153 172 157

Para fazermos a distribuio de freqncia, procedemos da seguinte forma:1 passo Organizamos todas as medidas em ordem crescente ou decrescente.Essa relao, assim organizada, chama-se rol.

150 152 154 155 157 160 162 163 167 174151 152 155 156 158 160 162 164 167 176151 152 155 156 158 160 162 166 170 178152 153 155 156 160 161 162 166 171 178152 153 155 157 160 161 162 167 172 179

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2 passo Notamos que a menor estatura 150cm e a maior 179cm.Assim, a variao de 179cm 150cm = 29cm. Esse valor chamado de amplitude total (H).

3 passo Agrupamos os valores em intervalos de classe.Podemos considerar, por exemplo, a classe de 150 ( inclusive ) 154 ( exclusive). Em smbolos, denotada por 150 | 154. Nesse caso, 150 o limite inferior e 154 o limite superior da classe. A

diferena entre o limite inferior e o limite superior igual amplitude da classe (h).Adotando-se a amplitude da classe igual a h = 4, teremos oito classes.Construmos, ento, uma tabela de freqncias com classes.

Estatura (cm) Freqncia Absoluta Freqncia Relativa (%)150 |------ 154 10 0,20 ou 20%154 |------ 158 11 0,22 ou 22%158 |------ 162 9 0,18 ou 18%162 |------ 166 7 0,14 ou 14 %166 |------ 170 5 0,10 ou 10%170 |------ 174 3 0,06 ou 6 %174 |------ 178 2 0,04 ou 4%178 |------ 182 3 0,06 ou 6%

TOTAL 50 100%

Exerccios Propostos10- O exame de quarenta pacientes de um hospital constatou o seguinte nmero de leuccitos (glbulosbrancos) por mm3.

5800 3900 7100 3500 2800 4500 6900 57002000 2400 1500 1400 5900 7200 3100 58001300 2100 4100 3400 2000 3100 2900 16004000 2500 8300 4200 3200 2400 1900 68005900 2600 6100 8900 2900 1900 1900 1100

Com esses dados, construir uma tabela de freqncias absoluta e relativa, considerando a amplitude daclasse igual a 2000 (h = 2000 ).

11- Um comerciante de calados masculinos pretendendo renovar seu estoque fez um levantamentodos pares vendidos no ms anterior e levando em conta apenas o nmero do sapato, chegou a seguinteralao:

40 36 38 41 41 40 38 41 39 34 40 36 38 41 41 40 38 41 39 3442 40 39 39 41 41 39 42 40 34 42 40 39 39 41 41 39 42 40 3436 40 40 38 40 39 42 39 38 35 36 40 40 38 40 39 42 39 38 3538 41 39 39 41 38 43 40 36 37 38 41 39 39 41 38 43 40 36 3736 42 34 40 39 38 37 38 35 36 36 42 34 40 39 38 37 38 35 36

- 14 -

Estabelea o rol desses dados, em seguida divida em intervalos de 2 em 2 nmeros e construa umatabela completa de freqncias, analisando em seguida os resultados obtidos.

Captulo 6 Representao GrficaDados estatsticos podem ser representados tanto por tabelas e por quadros de distribuio porfreqncia quanto por grficos. O uso grfico para representar uma situao estatstica pode muitasvezes expor melhor visualmente do que uma tabela estatstica, porm o seu uso deve ser feito combastante cautela, utilizando o grfico adequado em cada situao, veja alguns casos:A) Grfico de Colunas - um tipo de grfico muito utilizado em diversas situaes, indica

quantidades, porcentagens e de fcil comparao entre suas variveis.

0246810

1o Bim. 2o Bim. 3o Bim. 4o Bim.

JooJosMaria

O grfico acima mostra o desempenho de 3 alunos durante o ano num determinado curso, pode-seperfeitamente verificar que Joo teve o melhor desempenho, seguido de Maria e Jos teve o piordesempenho.

B) Grfico de Barras tambm um tipo de grfico muito utilizado para comparar diversos tipos dedados e uma outra variante do grfico de colunas, sendo amplamente utilizado em jornais, revistas,empresas, etc.

0 5 10 151o Bim.2o Bim.3o Bim.4o Bim.

MariaJosJoo

O grfico demonstra a mesma situao do grfico de colunas acima, ou seja, as notas de 3 alunos.

- 15 -

C) Histograma um grfico construdo no plano cartesiano por retngulos em nmero igual aonmero de classes da distribuio. Cada classe representada por uma coluna de altura correspondente asua freqncia.

Trata-se tambm de um grfico de rea. utilizado para variveis contnuas, por isso, o grficotambm contnuo: as colunas so justapostas. A rea de cada coluna proporcional freqncia da classeque representa. Logo, a rea de todo histograma proporcional soma total das freqncias.

Para construir um histograma, representamos as classes no eixo das abscissas de um sistemacartesiano, utilizando segmentos de mesma medida. Para cada um deles, registramos os limites superior einferior. No pice do eixo das ordenadas, registramos o maior valor da freqncia, dividindo o restanteproporcionalmente aos outros valores. Levantamos ento as colunas, justapostas.Quantid. de

alunos10

8

6

4

2

0 150 155 160 165 170 175 180 185 Altura (cm)

Exerccios propostos12- Sessenta jurados escolheram as sedes das prximas olimpadas entre cinco pases( A, B, C, D e E).

Uma entrevista com esses jurados revelou que nove deles optaram pelo pas A, seis por B, 27 porC, trs por D e 15 por E.a) Construa uma tabela relacionando os pases escolhidos e as freqncias absoluta e relativa.b) Construa o grfico de colunas para representar os dados dessa tabela.

13- Um laboratrio realizou, num certo dia, noventa coletas de sangue. Um dos itens analisados foi ogrupo sanguneo do sistema ABO. Desse total, constatou-se que 27 coletas eram do grupo sanguneoA, 36 do B, 18 do AB e 9 do O.

a) Construa uma tabela relacionando os grupos sanguneos e as freqncias absoluta e relativa.b) Construa o grfico de barras para representar os dados dessa tabela.

14- A tabela abaixo representa o salrio de famlias de uma pequena comunidade.Salrio ( Reais) Frequncia8.000,00 a 9.000,00 189.000,00 a 10.000,00 31

10.000,00 a 11.000,00 1511.000,00 a 12.000,00 312.000,00 a 13.000,00 113.000,00 a 14.000,00 114.000,00 a 15.000,00 1

Construa com esses dados um histograma e analise os resultados.

CLASSES

FREQUNCIAS

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D) Setores Dos grficos de Estatstica, mais importante que a contribuio de Descartes foi a doescocs William Playfair, que trabalhava com estatsticas comerciais. Em 1786 ele comeou a inventarmaneiras de representar dados numricos por meio de figuras. Uma de suas criaes foram os grficos debarras ou colunas, como aqueles de Joo, Jos e Maria e suas notas bimestrais. Depois de 1801, eleinventou os grficos de setores, tambm chamados de tortas ou pizzas. Vejamos um exemplo:

O grfico acima mostra a distribuio populacional nas grandes metrpoles brasileiras epermite um comparativo entre as quantidades de habitantes existentes em cada metrpole, sendo que noconfunde o leitor e sim permite uma anlise mais ampla da situao no momento. Veja tabela a seguir,geratriz desse grfico:

Foi feita uma enquete a 1200 alunos de uma escola sobre as atividades esportivas que gostariam de ter naescola. O resultado obtido foi o seguinte:

POPULAO DE REGIES METROPOLITANAS - BRASIL/1992

37%

24%

8%

7%

7%

6%

6%5%

Grande S.P. (37 municpios)Grande R.J. (15 municpios)Grande B.H. (14 municpios)Grande Porto Alegre (14 municpios)Grande Recife (9 minicpios)Grande Salvador (8 municpios)Grande Fortaleza (5 municpios)Grande Curitiba (14 municpios)

REGIES METROPOLITANAS POPULAO PERCENTUALGrande S.P. (37 municpios) 15.444.900 37,3%Grande R.J. (15 municpios) 9.814.600 23,7%Grande B.H. (14 municpios) 3.436.100 8,3%Grande Porto Alegre (14 municpios) 3.026.800 7,3%Grande Recife (9 municpios) 2.874.500 6,9%Grande Salvador (8 municpios) 2.496.500 6,0%Grande Fortaleza (5 municpios) 2.307.000 5,6%Grande Curitiba (14 municpios) 2.000.800 4,8%TOTAL 41.401.200 100,0%

- 17 -

AtividadeEsportiva

Nmero deAlunos

voleibol 600basquete 200futebol 100natao 50outras 250

Com esses dados pode-se construir uma representao grfica de setores dessa distribuio, em queusaremos um crculo. Lembrando que uma circunferncia completa tem 360, podemos calcular por meiode uma regra de trs simples e direta o ngulo central correspondente a cada uma das atividades desejadaspelos alunos.Assim, temos:1200 ------------ 360 v = 600 x 360 = 180

600 ------------ v 1200

1200 ------------ 360 b = 200 x 360 = 60200 ------------ b 1200

1200 ------------ 360 f = 100 x 360 = 30600 ------------ f 1200

1200 ------------ 360 n = 50 x 360 = 1550 ------------ n 1200

1200 ------------ 360 o = 250 x 360 = 75250 ------------ o 1200

Com essas medidas, poderemos, ento construir com o uso de rgua e compasso um grfico de setores deforma correta, utilizando-se de cores e legenda para representar melhor a opinio dos alunos quanto aoesporte praticado. Veja a construo do professor.

Exerccios propostos15- Uma pesquisa sobre atividades culturais extraclasse foi feita entre 1000 alunos de uma escola. Oresultado est no quadro seguinte:

Atividade N de AlunosVisita a museus 400

Visita a outras cidades 200Palestras 250

Exposies 100Outras 50

Usando um grfico de setores, faa a representao grfica dessa distribuio. Faa tambm uma pesquisana sala sobre a mesma preferncia, construa tambm um grfico de setores e faa uma anlise comparativaentre as duas situaes.

- 18 -

16- Usando a tabela do exerccio 11, construa um grfico de setores para as colunas Xi e Fi.17- A tabela abaixo o resultado de uma pesquisa feita em uma escola de ensino mdio do Rio de Janeiro,onde foram ouvidas 40 pessoas. Complete-a e faa o grfico de setores correspondente:

Time preferido Frequncia Taxa PercentualVasco 10 25%

Flamengo 12Fluminense 8 20%Botafogo 6Outros 10%

18- Usando a tabela com a freqncia do exerccio anterior, faa o grfico de colunas; em seguidacompare: qual dos dois ideal para esse estudo?Captulo 7 Medidas de tendncia centralH certas medidas que so tpicas numa distribuio: as de tendncia central (mdias, medianas) e as dedisperso.Mdias

Consideremos, em ordem crescente, um rol de notas obtidas por alunos de duas turmas (A e B):Turma A: 2 3 4 4 5 6 7 7 7 7 8Turma B: 2 3 4 4 4 5 6 6 7 8 9

Observemos para cada turma: O valor que ocupa a posio central:Turma A: 2 3 4 4 5 6 7 7 7 7 8

cinco notas abaixo de 6 cinco notas acima de 6

posio centralTurma B: 2 3 4 4 4 5 6 7 7 8 9

cinco notas abaixo de 6 cinco notas acima de 6

posio central O valor que aparece com maior freqncia:

Turma A: 7 aparece com maior freqnciaTurma B: 4 aparece com maior freqncia.

O quociente da somatria () dos dados (x) pela quantidade de dados (n): xn

Turma A: 2+3+4+4+5+6+7+7+7+7+8 = 60 = 5,4511 11

- 19 -

Turma B: 2+3+4+4+4+5+6+7+7+8+9 = 59 = 5,3611 11

Colocando estes trs valores lado a lado, temos:Turma Posio Central Maior Freqncia x

n

A 6 7 5,45

b 5 4 5,36

Observando os resultados, podemos afirmar que a turma A teve melhor que a turma B. Esses trs valorescaracterizam as distribuies. So chamados valores tpicos. Eles tendem a se localizar em um pontocentral de um conjunto de dados ordenados segundo suas grandezas, o que significa a denominaomedidas de tendncia central ou mdias.

O valor que ocupa a posio central chama-se mediana ( Md ) :Para a turma A, a mediana 6: Md = 6.Para a turma B, a mediana 5: Md = 5.

O valor que aparece com maior freqncia chama-se moda ( Mo ) :Para a turma A, a moda 7: Mo = 7.Para a turma B, a moda 4: Mo = 4.

O quociente da soma pelos valores pela quantidade deles a mdia aritmtica ( Ma ) :Para a turma A, a mdia aritmtica Ma = 5,45.Para a turma B, a mdia aritmtica Ma = 5,36.

Portanto, mediana, moda e mdia aritmtica so medidas de tendnciacentral ou mdias da distribuio.Existem outros tipos de mdia, como a mdia geomtrica e a harmnica, que no constaro deste captulopor no serem muito utilizadas neste nvel de ensino.Mdia aritmtica

A mdia aritmtica (Ma) a medida de tendncia central mais conhecida. J sabemos que ela oquociente da soma dos valores (x) pela quantidade (n).Exemplo 1 Consideremos os dados abaixo:18 17 17 16 16 15 15 15 14 1413 13 13 13 13 12 12 12 11 11

A quantidade de dados n = 20A soma dos dados x = 18 + 17 + ... + 11 + 11 = 280A mdia aritmtica : Ma = x = 280 = 14

n 20

- 20 -

Exemplo 2 Consideremos os mesmos dados do exemplo1 dispostos em uma distribuio por freqncia:

x Fi

18 117 2

16 215 314 2

13 512 311 2

TOTAL 20

Veja que o nmero de observaes igual ao da soma das freqncias absolutas Fi = n = 20, que pode serefetuado da seguinte forma:x = 1 . 18 + 2 . 17 + 2. 16 + 3 . 15 + 2 . 14 + 5 . 13 + 3 . 12 + 2 . 11 = 280Os fatores que multiplicam os dados so as freqncias que aparecem na tabela da distribuio. Logo:Ma = x = Fix

n FiNa prtica, quando temos a distribuio por freqncia, acrescentamos tabela uma coluna com osprodutos Fi x de cada valor pela sua freqncia, veja:

x Fi Fi x

18 1 1817 2 3416 2 3215 3 4514 2 2813 5 6512 3 3611 2 22

TOTAL 20 280

Ma = 280 Ma = 1420

- 21 -

Clculo da mdia aritmtica para dados agrupados em classesQuando, numa distribuio por freqncia, os dados esto agrupados em classes, so considerados

coincidentes com os pontos mdios das classes s quais pertencem. Para o clculo da Ma, usaremos osprodutos dos pontos mdios pelas freqncias de cada classe. (Pm . Fi). Acrescentamos, ento, tabeladada a coluna Pm . Fi.

Exemplo 3 Seja a tabela que nos d altura (x) dos estudantes de uma classe de primeiro grau:

x (cm)Pm

Ponto mdio Fi Pm . Fi150 |--- 155 152,5 6 915,0155 |--- 160 157,5 9 1417,5160 |--- 165 162,5 16 2600,0165 |--- 170 167,5 5 837,5170 |--- 175 172,5 3 517,5175 |--- 180 177,5 1 177,5TOTAL 40 6465,0

Queremos, a partir da tabela, calcular a mdia aritmtica.Soluo: completando a tabela, com a coluna Pm . Fi, direita temos a coluna com os dados emvermelho acima:

Ma = Pm . Fi Ma = 6465 Ma = 161,625 Fi 40Este o clculo da mdia aritmtica pelo chamado processo longo.Voc deve ter notado que a mdia aritmtica um valor que engloba todos os dados. Se houver

dados discrepantes, eles influiro no valor da Ma.Mediana

Mediana o valor que divide a distribuio ao meio de tal modo que 50% dos dados estejam acimadesse valor e os outros 50% abaixo dele.Exemplo 4 Sejam as nove observaes: 1 2 3 4 5 6 7 8 9Md = 5

Mediana o nmero que tem antes e depois de si a mesma quantidade de valores. Quando aquantidade de observaes um nmero par, a mediana a mdia aritmtica dos valores centrais.Exemplo 5 Sejam as seis observaes: 10 11 15 17 18 20Nesse caso a mediana : 15 + 17 = 16 Md = 16

2

Obs.: Para o efetivo clculo ou localizao da mediana, os dados observados devem estar em ordemcrescente, vejam os exemplos 4 e 5.

Mediana

- 22 -

ModaA moda de um conjunto de nmeros o valor que ocorre com maior freqncia. A moda pode no

existir, e se existir pode no ser nica.Exemplo 6 O conjunto de nmeros: 2, 2, 5, 7, 9, 9, 9, 10, 11, 12, 18 tem Mo = 9Exemplo 7 No conjunto de dados: 3, 5, 7, 9, 10, 11, todos os dados tm a mesma freqncia. Noexiste nenhum valor que apresente maior freqncia do que os outros. um caso em que a moda noexiste.

Exemplo 8 Seja o rol de dados: 3 3 4 4 4 5 6 7 7 7 8 e 9. Os nmeros 4 e 7apresentam freqncia 3, maior que a os demais. Nessa distribuio h, portanto, duas modas:Mo = 4 e 7

Uma distribuio com duas modas denominada bimodal.A rigor, a moda no uma medida empregada para um pequeno nmero de observaes. Existem

frmulas para o clculo da moda, mas, na prtica, ela determinada pelo valor ou pela classe que apresentamaior freqncia. Neste ltimo caso, ela chamada classe modal, que representa uma aproximao damoda.

Exerccios propostos19- Calcular a Ma, Md e a Mo dos seguintes dados:

a) 3 5 2 6 5 9 5 2 8 6;b) 51 6 48 7 3 50 49 5;c) 10 12 8 7 9 12 15 22 17 7.

20- Certo pesquisador aplicou um teste aos alunos de um colgio e obteve os seguintes resultados:32 13 14 20 23 21 22 12 30 20 16 25 21 29 17 25 21 2115 22 19 22 22 19 28 15 27 25 26 19 20 10 22 31 22 2126 13 23 23 29 26 30 15 36 19 29 12 22 30 21 27 22 1616 17 20 16 23 19 20 33 15 17 27 21 23 32 12 22 22 2222 23 38 38 19 19 34 24 17 20 31 11 11 30 20 15 24 1737 31 16 18 21 40 24 20 34 17 40 18 36 29 21 24 31 35

Pede-se para:a) Organizar o rol dessa distribuio;b) Indicar a amplitude total (diferena entre o maior e o menor valor);c) Fazer uma distribuio por freqncia;d) Calcular a mdia (Ma) de acertos;e) Calcular o nmero mediano (Md) de acertos;f) Calcular a moda (Mo);g) Representar o histograma da distribuio e assinalar nele a Ma, Mo e Md.h) Analisar os resultados obtidos.

21 Elabore uma pesquisa, em grupo (5 alunos), utilizando um tema para que a coleta de dados permita oclculo de medidas de tendncia central, construa um grfico para essa situao e a concluso do grupo,justificando o porque da escolha do tema e qual a sua importncia.22- Verifique as idades de todos os alunos da classe at o presente momento, em seguida, calcule a mdia,mediana e moda desses dados, construindo um grfico para essa situao e analise seus resultados.

- 23 -

Captulo 8 Medidas de dispersoEm Estatstica importante saber como variam as caractersticas do conjunto de dados colhidos e

tabelados. Precisamos s vezes comparar fatos, como a produo de uma firma em um ano e em outro, oucaractersticas fsicas de indivduos, como sexo, raa, altura, etc. Para tal, necessitamos de uma mdia. Sesoubermos, por exemplo, que a mdia de altura das meninas recm-nascidas de certa idade 47,3 cm eque, nesse mesmo local nasceu uma menina medindo 50 cm, podemos afirmar que ocorreu umavariabilidade, ou uma disperso, em relao mdia. Dizemos que houve um desvio de 2,7 cm em relao mdia (50 47,3 cm).

O significado de desvio o mesmo que se tem comumente em relao a esse termo. Quandodizemos que um avio teve um desvio de 10 Km de sua rota, entendemos que havia uma rota (referncia)a ser percorrida e que o avio se desviou dela. Em Estatstica, a referncia a Ma, que seria o valorprovvel para todos os dados se eles fossem em qualquer caso, iguais; mas normalmente eles se desviamda Ma.

Desvio padro e varinciaO desvio padro a medida mais usada na comparao de diferenas entre grupos, por ser a mais

precisa. Ele determina a disperso dos valores em relao a mdia.Exemplo Consideremos os pesos de 20 crianas recm-nascidas, numa cidade X: 10 meninos e 10meninas. Meninos Peso (g) Meninas Peso (g)

1 3750 1 30002 3750 2 33003 3350 3 32004 3250 4 32505 3250 5 31006 3100 6 31007 3150 7 33008 3100 8 30009 3350 9 310010 3350 10 3150

As mdias aritmticas dos pesos so:Meninas: 3150g Meninos: 3340gPodemos observar que o peso dos meninos em mdia maior que o das meninas.Meninos Peso Desvio (d) d2 Meninas Peso Desvio (d) d21 3750 410 168100 1 3000 -150 225002 3750 410 168100 2 3300 150 225003 3350 10 100 3 3200 50 25004 3250 -90 8100 4 3250 100 100005 3250 -90 8100 5 3100 -50 25006 3100 -240 57600 6 3100 -50 25007 3150 -190 36100 7 3300 150 225008 3100 -240 57600 8 3000 -150 225009 3350 10 100 9 3100 -50 250010 3350 10 100 10 3150 0 0

- 24 -

d = xn Ma, onde xn o elemento considerado, exemplo x1 peso 3750g e Ma = mdia aritmtica dosdados. Para d1 (meninos), temos x1 Ma (meninos) = 3750 3340 = 410,e assim por diante.

A mdia aritmtica dos quadrados dos desvios chama-se varincia [var(x)]. Calculemos asvarincias das duas distribuies.

Para os meninos:Var(x)1 = (168100 . 2) + (100 . 3) + (8100 . 2) + (57600 . 2) + (36100 . 1) = 50400

10Para as meninas:Var(x)2 = (22500 . 4) + (2500 . 4) + (10000 . 1) = 11000

10A raiz quadrada da varincia o desvio padro.

Calculemos os desvios padres de cada uma das distribuies:Para os meninos s1 = 50400 = 224,5 gPara as meninas s2 = 11000 = 104,9 g

Comparando os dois valores, notamos que a variabilidade no peso dos meninos maior que no dasmeninas (s1 > s2).

O desvio padro a medida de disperso mais utilizada em casos de distribuies simtricas.Lembramos que, graficamente, distribuies desse tipo se aproximam de uma curva conhecida comocurva normal ou curva de Gauss:

|||||||||

O desvio padro tomado com os sinais e + (-s e +s) define em torno da mdia aritmtica umaamplitude (2s) chamada de zona de normalidade. Processos matemticos indicam que 68,26% dos casosse situam nessa amplitude.

||||

| | || | || | || | || | |-s Ma +s|--------zona de--------|normalidade

- 25 -

Exemplo Considerando os resultados do exemplo anterior, a respeito dos pesos das meninas:Ma = 3150g e s = 104,9 g, calcular a zona de normalidade.

Soluo: Devemos encontrar um intervalo de amplitude 2s, em torno de Ma:Ma + s = 3150 + 104,9 = 3254,9 gMa - s = 3150 - 104,9 = 3005,1 gSero consideradas dentro da normalidade todas as meninas com pesos entre 3005,1g e 3254,9g.

Exerccios propostos23- Consideremos a seguinte tabela:

NOTAS DE MATEMTICA DE UMA CLASSE XNOTAS P.m Fi

0 |-----2,0 1,0 32,0 |----- 4,0 3,0 94,0 |----- 6,0 5,0 166,0 |----- 8,0 7,0 88,0 |----- 10,0 9,0 4

Fi = 40Calcular :a) a mdia aritmtica;b) a varincia;c) o desvio padro:d) a zona de normalidade;e) analisar os resultados encontrados.

24- Um professor aplicou um teste a seus alunos e obteve os seguintes resultados:30 40 45 30 30 50 35 3040 45 40 35 50 60 50 5030 60 50 60 30 40 50 45Calcule:a) A mdia aritmtica dos resultados;b) A moda;c) A mediana;d) A varincia;e) O desvio padro;f) Zona de normalidade.

25- Se a mdia das alturas de um grupo de pessoas 175 cm e o desvio padro 20 cm, uma pessoa comestatura de 150 cm est dentro da normalidade? Por qu?26- Na pesagem de 24 crianas de quinta srie obtiveram-se os seguintes resultados, em Kg:

38 40 45 42 45 40 43 3845 45 40 41 41 38 46 3248 46 42 43 44 50 48 40

Nesse grupo de crianas, um menino com 35 Kg seria considerado com peso normal? Por qu?

- 26 -

Bibliografia Matemtica Benigno Barreto Filho e Cludio Xavier da Silva Editora FTD

Volume nico; Curso Bsico de Estatstica Helenalda Nazareth - Editora tica; Matemtica Jorge D. Silva, Valter dos S. Fernandes e Orlando D. Mabeleni

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Progresses; Matemtica Fundamental - Jos R. Giovanni, Jos R. Bonjorno e Jos R. Giovanni

Jr. Editora FTD Volume nico; Estatstica Murray R. Spiegel Coleo Schaum Editora McGraw-Hill do Brasil

LTDA.

Apostila Matemtica Sistema de Ensino IBEP Jorge D. Silva; Valter S.Fernandes; Orlando D. Mabelini Volume nico- Curso Completo;

Estatstica Pra que Serve a Matemtica? Imenes, Jakubo e Lellis Atual Editora 3a Edio.