26 08 2010 23-36-54apostila 00 propriedades de areas planas
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FIEL FACULDADES INTEGRADAS EINSTEIN DE LIMEIRA
CURSO DE ENGENHARIA CIVIL
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
PROPRIEDADES DE ÁREAS PLANAS
4 41
0,5
5,5
4
6
6
xx
medidas em cm
C
1
2
3
2
1
3,5
9
0,5
3,75
2
5,75
1
x
h
1
x
y 2
y
b
x
2
y
d
1
d
Prof. Dr. José Luiz F. de Arruda Serra
Sumário
01. Introdução ............................................................................ 01
02. Momento estático de uma área ................................................. 02
03. Centróide de uma área ............................................................ 02
04. Exemplo 01 ............................................................................ 03
05. Centróide de área composta ..................................................... 04
06. Exemplo 02 ............................................................................ 05
07. Momento de inércia de uma área .............................................. 07
08. Exemplo 03 - Momento de inércia de seção retangular ................ 07
09. Exemplo 04 - Momento de inércia de área triangular ................... 08
10. Momento de inércia polar ......................................................... 09
11. Momento de inércia polar de um círculo ..................................... 10
12. Raio de giração ....................................................................... 10
13. Teorema do eixo paralelo ......................................................... 11
14. Exemplos 05 e 06 ................................................................... 12
15. Exemplo 07 - Área composta .................................................... 13
16. Produto de inércia ................................................................... 14
17. Rotação de eixos .................................................................... 15
18. Eixos principais ....................................................................... 17
19. Exemplo 08 ............................................................................ 18
20. Exercícios propostos ................................................................ 18
Tabela: Propriedades de áreas planas ........................................ 21
Tabelas: Elementos para projeto de perfis comerciais
Vigas I ..................................................................... 22
Vigas U .................................................................... 23
Cantoneiras de abas iguais ......................................... 24
Cantoneiras de abas desiguais .................................... 25
Trilhos ferroviários e vigas H ...................................... 26
1
PROPRIEDADES DE ÁREAS PLANAS
01. Introdução
A fim de definir momento estático e as coordenadas do centróide de uma área,
vamos nos referir ao sistema de coordenadas x, y e a área A mostrada na figura 01, na
qual também está indicado o elemento de área dA, de coordenadas x e y.
x
y
x
x
y
O
dA
C
A
y
Figura 01
C
C
Figura 01 - Área e centróide
A área total A é determinada por integração:
AdAA (01)
onde a integração, como indicada, deve ser executada sobre toda a área.
02. Momento estático de uma área
O momento estático ou momento de primeira ordem, representados pela
letra MS, de uma área em relação a um eixo vale, por definição:
em relação ao eixo x: ASx dAyM (02a)
em relação ao eixo y: ASy dAxM (02b)
nas quais x e y são as coordenadas centrais do elemento de área dA (ver figura 01).
Em vários textos, o momento estático MS é representado pela letra Q.
03. Centróide de uma área
As coordenadas xC e yC do centróide ou baricentro C da área são obtidas através
das equações:
A
M
dA
xdAx
Sy
A
Ac
e
A
M
dA
ydAy Sx
A
Ac
(03a,b)
2
É conveniente notar que para eixos baricêntricos, isto é, com origem no centróide
C, as coordenadas x e y são nulas, ou seja, os momentos estáticos MSx e MSy são nulos,
isto é:
o momento estático de uma área em relação
a qualquer eixo baricêntrico é nulo.
Existem muitos casos para os quais a posição do centróide pode ser determinada
por inspeção. Por exemplo, quando uma área tem dois eixos de simetria (figura 02a), o
baricentro está situado na sua interseção. Quando a área tem um eixo de simetria (figura
02b) ele está localizado em algum ponto deste eixo, necessitando-se então apenas uma
coordenada para localizá-lo. Finalmente, se a área for simétrica em relação a um ponto
(centro de simetria), apesar de não ter nenhum eixo de simetria, este ponto será o
centróide (figura 02c)
x
y
Cx
y
C Cx
y
a) b) c)
Figura 02 - Áreas com alguma simetria
Quando os contornos de uma área são curvas irregulares, pode-se dividi-la em
pequenos elementos A, e substituir as integrais por somatórios:
AxM;AyM;AA SySx (04a,b,c)
Os valores obtidos para estes somatórios substituídos nas expressões de xC e yC
fornecem as coordenadas do centróide da área. Os resultados obtidos com este
procedimento serão mais precisos conforme os elementos de área A forem menores.
04. Exemplo 01
Calcular a área A, os momentos estáticos MSx, MSy e as coordenadas xC e yC do
centróide da área parabólica mostrada na figura 03, cuja equação está indicada na
figura.
O elemento dA, sombreado na figura, tem área:
dxb
x1hdxydA
2
2
A área total vale:
bh3
2dx
b
x1hdAA
b
0 2
2
A
3
y/2
y
x
C
O
y
y
x
xdx
b
h
y=f(x)
C
C
= h(1- )x
b
2
2
dA
Figura 03 - Exemplo 01
As coordenadas do centróide do elemento dA de área sombreado são x e y/2;
portanto os momentos estáticos valem:
15
bh4dx
b
x1
2
hdA
2
yM
22
2
2b
0
2
ASx
4
hbdx
b
x1xhdAxM
2
A
b
0 2
2
Sy
Finalmente, as coordenadas do centróide valem:
h5
2
A
Myeb
8
3
A
Mx Sx
C
Sy
C
05. Centróide de área composta
Na prática freqüentemente são encontradas áreas compostas com formas
geométricas para as quais já são conhecidas as áreas e as posições dos centróides.
Exemplos destas áreas são as áreas da figura 02, formadas por retângulos. Para
determinar as áreas e os baricentros destas figuras, pode-se subdividi-las em partes
adequadas e usar o somatório ao invés de integração. Nestes casos as expressões para
as coordenadas do CG ficam:
i
ii
CA
xAx e
i
ii
CA
yAy (05a,b)
Como ilustração deste método, considere-se a área composta da figura 04. Esta
área pode ser subdividida em 2 retângulos de áreas A1 e A2 e centróides C1 e C2, cujas
localizações são conhecidas. Representando por x1, y1 e x2, y2 as coordenadas de C1 e C2,
respectivamente, obtém-se para as coordenadas do baricentro da área composta as
expressões:
21
2211C
21
2211C
AA
yAyAye
AA
xAxAx
4
A1
A2
O x
y
x
y
C
C1
C2
C
C
Figura 04 - Centróide de área composta
Nota-se que no caso particular em que a área é dividida em somente duas partes,
o centróide da área total se localizará sempre na linha que une os centróides C1 e C2.
Além deste fato o segmento C1C2 é dividido segundo a proporção:
1
2
2
1
A
A
CC
CC
06. Exemplo 02
Determinar a coordenada yC do centróide C de um trapézio de bases a, b e altura
h conforme figura 05
O
y
x
b
h
a
C1
C
2C
yC
Figura 05 - CG de um trapézio
Dividindo o trapézio em dois triângulos de centróides C1 e C2, as coordenadas y1 e
y2 destes centróides, conforme se sabe, valem respectivamente:
3
h2ye
3
hy 21
As áreas dos triângulos valem:
5
2
bhAe
2
ahA 21
Aplicando-se a equação (05b) que fornece yC obtém-se:
)ba(
)b2a(h
3
1
2
hb
2
ha3
h2
2
hb
3
h
2
ah
A
yAy
i
iiC
É conveniente observar que caso a = b, o trapézio se transforma em um retângulo
e a equação anterior resulta yC = h/2, conforme esperado para ordenada do centróide do
retângulo. Caso a=0, teríamos um triângulo e yC = h/3, conforme esperado.
Como complemento, deseja-se provar que o baricentro C de uma área trapezoidal
qualquer pode ser determinado, graficamente, conforme a construção apresentada na
figura 06, ou seja, pela interseção das retas pq e mn. A reta pq que une os pontos
médios dos lados paralelos do trapézio recebe o nome de eixo de simetria oblíquo.
b/2
C
C
a/2
y
h
m
n
p
q
a/2
b/2a
b
Figura 06 - Centróide de trapézio
Os triângulos hachurados mpC e nqC têm os ângulos iguais, sendo portanto
semelhantes, o que permite escrever:
2ba
b2
a
yh
y
C
C
Resolvendo para yC, chega-se a:
)ba(3
)b2a(hyC
Valor idêntico ao obtido anteriormente.
6
07. Momento de inércia de uma área
Os momentos de inércia, também chamados momentos de segunda ordem,
de uma área plana (ver figura 01), em relação aos eixos x e y, são definidos,
respectivamente, pelas integrais:
A
2y
A
2x dAxIedAyI (06a,b)
nas quais o elemento de área dA é multiplicado pelo quadrado da distância do seu
baricentro ao eixo correspondente, e a integral é estendida sobre toda a área A.
08. Exemplo 03 - Momento de inércia de seção retangular
Seja o retângulo da figura 07. Deseja-se calcular o momento de inércia em
relação ao eixo x, que é um eixo de simetria, portanto passando pelo centróide C.
x
y
y
dy
h
b
C
O retângulo pode ser dividido em áreas
infinitesimais conforme é mostrado pela área
sombreada. Neste caso, dA = b dy e então,
12
hbdybydAyI
32/h
2/h
2
A
2x
(07a)
Com procedimento análogo determina-se o
momento de inércia do retângulo em relação ao eixo
y, obtendo-se:
12
bhI
3
y (07b)
Figura 07
A equação (07a), Ix = bh3/12, também pode ser usada no cálculo de Ix para o
paralelogramo mostrado na figura 08a). O paralelogramo pode ser obtido do retângulo
mostrado pelas linhas pontilhadas, por um deslocamento paralelo ao eixo x dos
elementos, tal como o sombreado na figura. As áreas dos elementos e suas distâncias ao
eixo x permanecem inalteradas durante tais deslocamentos, de modo que Ix é o mesmo
que para o retângulo.
h x
b
y
dy
y
C
h/2
b
x x
a) b)
h/2
Figura 08
7
Estendendo este raciocínio, o momento de inércia da figura 08b) também vale
Ixx=bh3/12, desde que as larguras dos retângulos sejam constantes iguais a b e o eixo xx
esteja a meia altura de h. Notar que o eixo xx contém o centróide da área, ou seja, o
eixo xx é lugar geométrico do centróide da área da figura 08b).
O cálculo do momento de inércia em relação a um eixo, pode ser simplificado caso
a área possa ser dividida em partes que tenham momento de inércia conhecidos.
Por exemplo o perfil tipo caixa, vazado, mostrado na figura 09a). O momento de
inércia em relação ao eixo x, que é eixo de simetria e passa pelo centróide C, é
naturalmente a diferença dos momentos de inércia de dois retângulos, ou seja,
12
hb
12
hbI
311
3
x
Esta mesma fórmula obviamente pode ser aplicada ao perfil C mostrado na figura
09b) e também ao perfil I da figura 09c) e perfil Z da figura 09d).
C
y
x
a)
xC
y
b
b1
h h1
b)
1b
b
C
y
x
c)
1b /2
b
b /21
d)
b1
b
Cx
y
b1
hh1
Figura 09 - Perfis com o mesmo momento de inércia
09. Exemplo 04 - Momento de inércia de área triangular
Seja o triângulo da figura 10, de base b e altura h. Deseja-se calcular o momento
de inércia do triângulo em relação ao eixo x, que contém a sua base.
Como no caso anterior, divide-se a área em elementos de altura infinitesimal. A
área do elemento sombreado da figura vale dA = x dy. Por semelhança de triângulos,
determina-se o valor de x = b(h-y)/h. Assim, a área dA fica:
h
Ob
x
y
y
dy
x
Figura 10 - Momento de inércia de área triangular
8
dyh
)yh(bdA
e daí, 12
hb)
4
y
3
hy(
h
bdyy
h
)yh(bdAyI
3h
0
432
A
h
0
2x
(08)
O método de cálculo usado nestes exemplos pode, teoricamente, ser usado nos
casos mais gerais. O momento de inércia é obtido pela divisão da área em tiras
infinitesimais paralelas ao eixo, procedendo-se então a integração. Caso a expressão de
dA e a integração apresente dificuldade, pode-se determinar um valor aproximado para o
momento de inércia seguindo o procedimento: divide-se a área em um número finito de
tiras e multiplica-se a área de cada tira pelo quadrado da distância de seu centróide ao
eixo. A soma aritmética destes produtos é um valor aproximado do momento de inércia.
10. Momento de inércia polar
O momento de inércia de uma área plana, em relação a um eixo perpendicular ao
plano da área, é chamado momento de inércia polar, e é definido pela integral
A
2dAJ (09)
na qual cada elemento de área dA é multiplicado pelo quadrado da distância ao ponto O,
onde o eixo intercepta o plano, conforme ilustra a figura 11.
O
y
x
x dA
y
A
Figura 11 - Momento de inércia polar
Como pode ser observado na figura 11, 222 yx , e dai,
yxA
22 IIdA)yx(J (10)
ou seja, o momento de inércia polar em relação a qualquer ponto O é igual a soma dos
momentos de inércia em relação a dois eixos perpendiculares x e y que passem pelo
ponto O (origem do sistema xy).
9
11. Momento de inércia polar de um círculo em relação ao seu centro
Seja o círculo da figura 12. Dividindo-se a área do círculo em anéis elementares
de raio e espessura d, tem-se que a área do anel vale dA=2 d e, por definição seu
momento de inércia polar em relação ao centro vale dJ=23d. Para obter o momento
polar de inércia de toda a área do círculo, basta integrar dJ sobre toda a área.
Ox
y
d
d
Figura 12 - Momento polar de inércia de um círculo
32
d
2
rd2J
4r
0
43
(11)
Conhecido o momento de inércia polar em relação ao seu centro, pode-se
facilmente determinar seus momentos de inércia em relação a qualquer eixo baricêntrico,
ou seja, em relação a qualquer diâmetro. Como o momento de inércia é o mesmo para
todos os diâmetros e J = Ix + Iy tem-se:
64
d
4
r
2
JII
44
yx
(12)
12. Raio de giração
Por definição raio de giração de uma área em relação a um eixo é a raiz
quadrada do resultado obtido da divisão do momento de inércia I da área em relação ao
mesmo eixo pela área A. Usando o símbolo i para raio de giração, tem-se:
A
Iie
A
Ii
y
yx
x (13a,b)
Nota-se pela definição de momento de inércia que sua dimensão é de
comprimento elevado a quarta potência. Como a dimensão de área é comprimento ao
quadrado, o cociente I/A tem dimensão comprimento ao quadrado e sua raiz, ou seja, o
raio de giração tem dimensão de comprimento.
Fisicamente o raio de giração de uma área qualquer em relação a um eixo, é a
distância ao eixo que deve ser concentrada toda a área, para ter o mesmo momento de
inércia.
Em vários textos o raio de giração é representado pela letra r.
Analogamente define-se raio de giração em relação à origem O:
10
A
Jio (14)
Como J = Ix + Iy pode-se concluir que:
2y
2x
2o iii (15)
13. Teorema do eixo paralelo
O momento de inércia de uma área em relação a um eixo qualquer relaciona-se
com o momento de inércia em relação ao eixo centroidal paralelo através do teorema
do eixo paralelo. Para deduzir este teorema, considere-se a área mostrada na figura
13. Sendo C o centróide da área e os eixos x e y com origem em qualquer ponto O,
paralelos aos eixos xC e yC baricêntricos. O momento de inércia da área em relação ao
eixo x vale, por definição:
O
y
d1
x
x
C
dA
2d
y y
x
C
C
r
Figura 13 - Teorema do eixo paralelo
AA
21
A A1
221x dAddAyd2dAydA)dy(I
A primeira integral do segundo membro é o momento de inércia IXc em relação ao
eixo xc; a segunda integral é nula porque o eixo xc é baricêntrico e a terceira é a área da
figura. Assim, tem-se: 21xx dAII
C (16)
Analogamente, mostra-se que
22yy dAII
C (17)
Estas duas equações anteriores representam o teorema dos eixos paralelos:
O momento de inércia de uma área, em relação a
qualquer eixo em seu plano, é igual ao momento de
inércia em relação a um eixo baricêntrico paralelo mais
o produto da área pelo quadrado da distância entre os
dois eixos.
11
Somando Ix e Iy das equações anteriores e observando que 22
21
2 ddr conforme
se verifica na figura 13, obtém-se
)dd(AIIII 22
21yxyx cc
ou, 2co rAJJ (18)
Desta última expressão (18) resulta o teorema do eixo paralelo para momentos
de inércia polar:
O momento de inércia polar de uma área, em
relação a qualquer ponto O em seu plano, é igual ao
momento de inércia polar em relação ao centróide C
mais o produto da área pelo quadrado da distância
entre O e C.
14. Exemplo 05 e 06
A figura 14 a) mostra uma área retangular e a figura 14 b) uma área triangular,
para as quais já foram determinados momentos de inércia.
C hx
b
y
O
y
b
h
xx
y
c
c
C
h/3
x
yc
c
a) b)
Figura 14 - Teorema do eixo paralelo - exemplos
No caso da área retangular foi determinado o momento de inércia em relação ao
eixo baricêntrico xc, que conforme equação (07) vale Ixc = bh3/12. Deseja-se, conhecido
este valor, determinar o momento de inércia Ix em relação ao eixo x passando pela base.
De acordo com o teorema do eixo paralelo, tem-se:
3
bhI,daíe
4
hbh
12
bhIou)
2h(AII
3
x
23
x2
xcx
No caso da área triangular, foi determinado o momento de inércia em relação ao
eixo x que contém a base, e vale segundo a equação (08), Ix=bh3/12. Aplicando o
teorema do eixo paralelo, determina-se facilmente o momento de inércia em relação ao
eixo baricêntrico xc:
36
bhI,daíe
18
bh
12
bh
18
bhIIou)
3h(AII
3
xc
333
xxc2
xcx
12
15. Exemplo 07 - Área composta.
O teorema do eixo paralelo é especialmente útil no cálculo dos momentos de
inércia das áreas compostas como, por exemplo a área da figura 15.
4 41
0,5
5,5
4
6
6
xx
medidas em cm
C
a) b)
1
2
3
2
1
3,5
9
0,5
3,75
2
5,75
1
Figura 15 - Momento de inércia de área composta
Como ilustração vamos calcular o momento de inércia desta área relativamente ao
eixo x, que é eixo de simetria e passa pelo centróide C. A área consiste de um estreito
retângulo de 1 por 12 centímetros e quatro cantoneiras iguais de 4 por 4 por 0,5 cm
como mostra a figura 15a).
Para determinar o momento de inércia em relação ao eixo x, subdividimos a área
em retângulos, fazendo os cálculos para apenas uma metade, cujo resultado multiplicado
por 2 obviamente dará o resultado para toda a área. A figura 15b) mostra a divisão
usada para os cálculos.
Designando por A1, A2 e A3 as áreas desses retângulos e, por y1, y2 e y3 as
ordenadas dos respectivos centros de gravidade e usando a equação Ixc = bh3/12 já
conhecida (equação 07) para o momento de inércia do retângulo em relação ao eixo
baricêntrico paralelo à base b, temos:
A1 = 4,50 cm2 A2 = 7,00 cm2 A3 = 2,00 cm2
y1 = 5,75 cm y2 = 3,75 cm y3 = 1,00 cm
I1 = 0,09375 cm4 I2 = 7,14583 cm4 I3 = 0,66667 cm4
O momento de inércia de toda a área em relação ao eixo x, vale:
Ix = 2 (I1 + A1y12 + I2 + A2y2
2 + I3 + A3y32)
Substituindo os valores numéricos dados acima, chega-se ao valor procurado:
Ix = 514,25 cm4
Há várias maneiras de subdividir uma área composta como a da figura anterior
(figura 15), para o cálculo do momento de inércia relativamente a um dado eixo. Para
13
cantoneiras padronizadas como as da figura 15, as posições dos centróides e os
momentos de inércia, relativamente aos eixos baricêntricos paralelos as abas, podem ser
achados em tabelas e ou manuais. Usando, então, o teorema dos eixos paralelos, o
momento de inércia da área da figura 15, relativamente a qualquer eixo horizontal ou
vertical pode ser determinado fazendo-se a subdivisão como mostrada na figura 15a), ou
seja, as figuras do retângulo e das cantoneiras.
16. Produto de inércia
O produto de inércia de uma área plana em relação aos eixos x e y (ver figura
01) é definido pela integral:
Axy dAxyP (19)
na qual cada elemento de área, dA, é multiplicado pelo produto das coordenadas de seu
baricentro e a integral, como indicado, é estendida sobre toda a área.
Apesar dos momentos de inércia serem sempre positivos, pois é a integral de uma
função ao quadrado, observa-se pela equação (19) que o produto de inércia pode ser
positivo, negativo ou nulo, dependendo da posição dos eixos xy em relação à área. Se a
área estiver toda no primeiro quadrante, como a área da figura 01, o produto de inércia
será positivo. Se a área estiver no segundo quadrante, o produto de inércia será
negativo, porque todos os elementos de área terão coordenadas y positivas, mas
coordenadas x negativas. Analogamente, as áreas no terceiro e quarto quadrante terão
produtos de inércia positivo ou negativo, respectivamente. Quando a área está localizada
em mais de um quadrante, o sinal do produto de inércia dependerá da distribuição da
área em relação aos eixos.
Um caso especial surge quando um dos eixos é eixo de simetria da área. Um
exemplo é dado na figura 16,onde o eixo y é eixo de simetria.
Ox
y
dA dA
Para todo elemento dA com coordenada x
positiva, existe um elemento dA igual e simetrica-
mente situado, com a mesma coordenada y, po-
rém com x negativa. Por esta razão, os produtos
xydA se cancelam e a integral da equação (19) se
anula, ou seja, o produto de inércia em relação a
qualquer par de eixos é nulo se um deles for eixo
de simetria.
Considerando-se, por exemplo as áreas da
figura 09, observa-se que para os casos a), b) e
c), os produtos de inércia em relação aos eixos xy
são nulos. Esta conclusão porém não é válida
para a área da figura 09d). Figura 16
Suponha que o produto de inércia Pxc,yc seja conhecido para um par de eixos
centrais, tais como os eixos xc, yc mostrados na figura 13. O produto de inércia em
relação a um par de eixos paralelos x, y pode ser determinado como segue:
A21A A2A 1A 12xy dAdddAyddAxddAxydA)dy)(dx(P
A primeira integral da última expressão é o produto de inércia Pxc,yc em relação
aos eixos centrais; a segunda e a terceira são os momentos estáticos em relação a eixos
baricêntricos, portanto nulas e a última integral é a área. Assim a expressão se reduz a:
14
21yc,xcxy ddAPP (20)
na qual d1 e d2 são as coordenadas do centróide C, em relação aos eixos xy. Esta
equação (20), é a expressão do Teorema do eixo paralelo para produto de inércia.
C hx
b
y
x
y
c
c
Como ilustração da aplicação do teorema
do eixo paralelo para produto de inércia, vamos
determinar o produto de inércia de um retângulo
em relação aos eixos xy que passam por um
vértice, conforme figura 17.
Como o produto de inércia em relação aos
eixos centrais xc, yc é nulo devido a simetria,
segue que o produto de inércia em relação aos
eixos x e y vale:
4
hb)
2b()
2h(bhP
22
xy
Figura 17
17. Rotação de eixos
Seja a área plana da figura 18, para a qual admite-se conhecidos os momentos de
inércia:
AxyA
2yA
2x dAxyPedAxI;dAyI
y
y1
x
1x
O
y
y
x
x 11
dA
Figura 18 - Rotação de eixos
Deseja-se calcular os momentos de inércia IX1, IY1e PX1,Y1, relativamente aos eixos
x1 e y1, girados do ângulo em relação ao sistema xy.
O elemento de área dA, de coordenadas x e y no sistema de eixos original, tem as
coordenadas x1 e y1 segundo o sistema de eixos girado:
15
x1 = x cos + y sen ; y1 = -x sen + y cos (21)
O momento de inércia IX1 vale:
A A
221x dA)senxcosy(dAyI
1
ou, A A
2
A
222x dAxycossen2dAxsendAycosI
1
ou ainda, cossenP2senIcosII xy2
y2
xx1 (22a)
Substituindo-se as identidades trigonométricas:
2sencossen2e)2cos1(2
1sen);2cos1(cos 2
212
a equação anterior fica:
2senP2cos2
II
2
III xy
yxyxx1
(22b)
Procedendo-se de modo análogo, determina-se o momento de inércia IY1:
cossenP2cosIsenII xy2
y2
xy1 (23a)
2senP2cos2
II
2
III xy
yxyxy1
(23b)
As equações (22) e (23) exprimem os momentos de inércia em relação aos eixos
girados, em termos dos momentos e produto de inércia relativos aos eixos originais.
É interessante notar que tomando-se a soma de IX1 e IY1, obtém-se:
yxyx IIII11
(24)
Esta equação mostra que, quando um sistema de eixos gira em torno da origem,
a soma dos momentos de inércia em relação a estes eixos permanece constante. Este
fato era de se esperar, pois esta soma é, conforme definição, o momento de inércia polar
(ver equação 10) da área em relação à mesma origem.
O produto de inércia em relação aos eixos girados, vale:
dA)senxcosy()cosycosx(dAyxPA A11yx 11
ou, )sen(cosPcossenIcossenIP 22yxyxyx 11
(25a)
Usando as identidades trigonométricas, obtém-se:
2cosP2sen2
IIP yx
yxyx 11
(25b)
Esta equação fornece o produto de inércia para qualquer conjunto de eixos
girados.
16
18. Eixos principais
É interessante notar a variação do produto de inércia em relação ao ângulo .
Analisando a equação (25b), caso o ângulo seja igual a zero, obtém-se PX1Y1 = PXY
como era de esperar; caso = 90o, resulta PX1Y1 = -PXY, isto é, durante uma rotação de
90o, o produto de inércia muda de sinal. Como o produto de inércia varia continuamente
com , devem existir certas direções dos eixos para as quais o produto de inércia se
anula. Esses eixos são denominados eixos principais da área. Caso a origem destes
eixos seja o centróide da área, os eixos principais são chamados eixos principais
centrais.
Como foi visto no item 16 (figura 16), o produto de inércia, em relação a um par
de eixos, sendo um deles eixo de simetria é igual a zero. Assim, caso a área tenha um
eixo de simetria, este, e qualquer outro perpendicular a ele, constituirá um conjunto de
eixos principais.
Para localizar os eixos principais basta igualar na equação (25b), PX1Y1 a zero e
resolver para :
02cosP2sen2
IIyx
yx
xy
xyp
II
P22tg,sejaou
(26)
O símbolo P é usado para representar o valor de que define os eixos principais.
A equação (26) dá dois valores para o ângulo 2, diferindo de . Os valores
correspondentes de P diferindo de um do outro por /2, definem as direções ortogonais
dos eixos principais.
Pode-se também pesquisar os valores de que fazem do momento de inércia um
valor extremo, máximo ou mínimo. Para tanto basta tomar a derivada de IX1 e IY1 nas
expressões 22b e 23b, igualando-se a zero. Iniciando com a equação 22b, tem-se:
(Ix - Iy) sen 2 - 2 Pxy cos 2= 0
Resolvendo para chega-se ao mesmo resultado da equação (26). Usando-se a
equação (23b), obtém-se o mesmo resultado. Pode-se então concluir:
Os eixos principais são aqueles em relação aos
quais produto de inércia é nulo e os momentos
de inércia são máximo e mínimo.
Os valores dos momentos de inércia principais, denominados I1 e I2, podem ser
obtidos mais facilmente, a partir da interpretação gráfica para a tg 2P (equação 26), a
partir da qual tira-se o seno e coseno do ângulo 2P.
Pxy
12
(Ix- Iy)
2I
(
)I-xy
xyP+2
2
2p
xy
2yx
xyp
P2
II
P2sen
xy
2yx
xy
p
P2
II
)II(2
1
2cos
Figura 19
17
Substituindo-se estas expressões nas equações 22b e 23b, obtém-se os valores
dos momentos de inércia principais:
2xy
2yxyx
2,1 P2
II
2
III
(27)
Nesta equação I1 representa o maior dos dois momentos de inércia principais e I2
o menor deles.
Os raios de giração (ver item 12) em relação aos eixos principais são chamados
raios de giração principais. São, sem dúvida o maior e o menor valor dos raios de
giração.
Em resumo, observa-se em relação aos eixos principais:
São ortogonais, com orientação definida pelos ângulos P;
O momento de inércia em relação a um eixo principal é
máximo, e em relação ao outro é mínimo;
Um eixo de simetria é sempre um eixo principal;
O produto de inércia é nulo para os eixos principais.
19. Exemplo 08
Determinar os momentos principais centrais para a cantoneira de abas desiguais
da figura 20.
3cm
18cm
3cm 15cm
x
y
1
2
Cx
y
C
C
Xc
Yc
1
1
2
2
P
C
C
1
2
Figura 20 - Exemplo 08
Subdividindo a área em dois retângulos, 1 e 2, de áreas A1 = 18x3 = 54 cm2 e A2
= 18x3 = 54 cm2, calcula-se as coordenadas do centróide:
18
cm25,5542
)95,1(54
AA
xAxAx
21
2211c
cm75,6542
)5,112(54
AA
yAyAy
21
2211c
Aplicando o teorema do eixo paralelo, determina-se, lembrando que o momento
de inércia de um retângulo em relação a eixo baricêntrico paralelo à base vale bh3/12:
423
23
x cm25,4754)5,175,6(5412
318)75,612(54
12
183I
C
423
23
y cm25,0173)25,59(5412
183)5,125,5(54
12
318I
C
4Yx cm25,1262)5,175,6()25,59(54)75,612()5,125,5(54PCC
Os ângulos que os eixos principais centrais formam com o eixo xC valem:
ooP
xy
yxp 075,251e075,712,sejaou91667.2
25,475425,0173
)25,2126(2
II
P22tg
CC
CC
Ou, P = 35,538o e 125,538o
Substituindo o valor 2P = 71,075o na equação 22b, aqui repetida, tem-se:
PyxPyxycx
1 2senP2cos2
II
2
III
cc
CCC
41 cm9945946,025,2126324,0
2
25,017325,4754
2
25,017325,4754I
Substituindo na mesma equação o segundo valor de 2P, ou seja, 2P = 251,075o:
42 cm5,4981)946,0(25,2126)324,0(
2
25,017325,4754
2
25,017325,4754I
As expressões 27 fornecem os mesmos valores para os momentos principais, sem
entretanto definir em relação a qual eixo se refere. A determinação dos eixos que
produzem o momento de inércia máximo ou mínimo precisa ser verificado através da
equação 22b.
2xy
2yxyx
2,1 P2
II
2
III
22
2,1 25,12622
25,017325,4754
2
25,017325,4754I
Ou seja,
I1 = 5.994 cm4
I2 = 1.498,5 cm4
19
Na maioria dos casos que ocorrem na prática, analisando-se a distribuição de
áreas em torno dos eixos principais, é possível determinar-se qual o eixo que
corresponde ao momento de inércia máximo. É, naturalmente, aquele em torno do qual a
distribuição das áreas se encontram mais afastadas, pois sempre nas fórmulas aparecem
o quadrado das distâncias até o eixo.
No final deste trabalho foram incluídas tabelas com as principais propriedades das
figuras planas mais usuais e também tabelas com as propriedades dos perfis comerciais
de aço.
20. Exercícios propostos
Para as seções da figura 21, determinar os momentos principais centrais I1 e I2
(por convenção I1>I2). Calcular também o ângulo P1 que o eixo principal 1-1
correspondente ao momento de inércia central máximo I1 forma com a horizontal.
7,5cm
3cm 7,5cm
18cm
3cm
3cm
3cm
15cm
6cm 6cm 6cm
3cm
3cm
3cm12cm
15cm
3cm
3cm
3cm
6cm
6cm
12cm
9cm 9cm
3cm
3cm
3cm
3cm
15cm
12cm
12cm
3cm
C
C
C
C CC
a) b) c)
d) e) f)
Figura 21 - Exercícios propostos
Respostas:
a) altura do baricentro: 12 cm I1 = 13.446,0 cm4 I2 = 2.956,5 cm4 1 = 0o
b) altura do baricentro: 10,875 cm I1 = 4.461,75 cm4 I2 = 1.728,00 cm4 1 = 0o
c) altura do baricentro: 7,125 cm I1 = 6.588,00 cm4 I2 = 4.461,75 cm4
1 = 90o
d) altura do baricentro: 9,931 cm I1 = 8.552,47 cm4 I2 = 2.960,38 cm4 1 = 0o
e) altura do baricentro: 10,5 cm I1 = 8.187,75 cm4 I2 = 897,75 cm4 1 = 26,565o
f) altura do baricentro: 4,833 (igual na horizontal - abas iguais)
I1 = 2.490,75 cm4 I2 = 690,75 cm4 1 = 45o
20
Propriedades de Figuras Planas
Notação: A = área
In = momento de inércia em relação ao eixo nn Pmn = produto de inércia em relação aos eixos m e n Jmn = Im + In = momento polar de inércia em relação aos eixos m e n in = raio de giração em relação ao eixo nn Wn = módulo de resistência em relação ao eixo nn
Seção Propriedades
3
11
34 2
b
24
h
bhA 3
bhI
3
3 4
hbP
22
34 12
bii mín2 (b<h)
12
bhI
3
1 3
hbI
3
4 )bh(12
bhJ 2212
6
bhW
2
1
12
hbI
3
2 0P12 )bh(3
bhJ 2234
6
hbW
2
2
4
1
b
2
4
2
1h
3 3
h/3
triângulo isosceles
2
bhA
4
bhI
3
3 )b3h4(144
bhJ 2212
24
bhW
2
eriorsup1
36
bhI
3
1 12
bhI
3
4 h6
2i1
12
bhW
2
eriorinf1
48
hbI
3
2 0P12 b12
6i2
24
hbW
2
2
1 1
2
2
3 3
D 2R
4
DRA
22
64
D
4
RII
44
21
64
D5
4
R5I
44
33
32
D
2
RJ
44
12
4
D
2
Rii 21
32
D
4
RWW
33
21
3
D 1
2
1
3
d
2
)dD(4
A 22
)dD(64
II 4421
)dD(
64
5I 4433
)dD(32
J 4412
4
dDii
22
21
D32
)dD(WW
44
21
2
D=
2R
1
2
1
(valo
r m
édio
)
t<<D
Anel circular – Fórmulas aproximadas para o caso de t pequeno
tDtR2A 8
tDtR2II
33
21
maior precisão com )D
t1(
8
tDI
2
23
4
tDtR2J
33
12
D4
2ii 21
4
tDWW
2
21
3
1
D=2R
3
2
1
2
R
yc
8
D
2
RA
22
44
1 R1098,0R9
8
8I
8
RII
4
32
3
R4yc R2643,0
9
16
4
1Rii
2mínimo1
2
Ri2
3eriorsup1 R1907,0W 3
eriorinf1 R2587,0W 8
RW
3
2
Serra 05
21
TABELAS DE PERFIS COMERCIAIS
b
y
t
x xh
d
y
VIGAS I - PADRÃO AMERICANO
ELEMENTOS PARA PROJETO
O perfil I é identificado pela dimensão h, em polegadas, e pelo peso por me- tro, precedidos da letra I.
Exemplo: I 3” (8,48 kgf/m).
Dimensões Peso por m
Área
A
Eixo x - x Eixo y - y
h b d t I W i I W i
pol. mm mm mm mm kgf/m cm2 cm4 cm3 cm cm4 cm3 cm
3
3
3
76
76
76
59
61
64
4,3
6,4
8,9
6,6
6,6
6,6
8,45
9,68
11,16
10,8
12,3
14,2
105,1
112,6
121,8
27,6
29,6
32,0
3,12
3,02
2,93
18,9
21,3
24,4
6,41
6,95
7,67
1,33
1,31
1,31
4
4
4
4
102
102
102
102
68
69
71
73
4,8
6,4
8,3
10,2
7,4
7,4
7,4
7,4
11,46
12,65
14,14
15,63
14,5
16,1
18,0
19,9
252
266
283
299
49,7
52,4
55,6
58,9
4,17
4,06
3,96
3,87
31,7
34,3
37,6
41,2
9,37
9,91
10,6
11,3
1,48
1,46
1,45
1,44
5
5
5
127
127
127
76
80
83
5,3
8,8
12,5
8,3
8,3
8,3
14,88
18,23
21,95
18,8
23,2
28,0
511
570
634
80,4
89,8
99,8
5,21
4,95
4,76
50,2
58,6
69,1
13,2
14,7
16,6
1,63
1,59
1,57
6
6
6
152
152
152
85
87
91
5,8
8,7
11,8
9,1
9,1
9,1
18,60
21,95
25,67
23,6
28,0
32,7
919
1003
1095
121
132
144
6,24
5,99
5,79
75,7
84,9
96,2
17,9
19,4
21,2
1,79
1,74
1,72
8
8
8
8
203
203
203
203
102
104
106
108
6,9
8,9
11,2
13,5
10,8
10,8
10,8
10,8
27,38
30,50
34,22
37,94
34,8
38,9
43,7
48,3
2400
2540
2700
2860
236
250
266
282
8,30
8,08
7,86
7,69
155
166
179
194
30,5
32,0
33,9
35,8
2,11
2,07
2,03
2,00
10
10
10
10
254
254
254
254
118
122
126
129
7,9
11,4
15,1
18,8
12,5
12,5
12,5
12,5
37,80
44,65
52,09
59,53
48,1
56,9
66,4
75,9
5140
5610
6120
6630
405
442
482
522
10,30
9,93
9,60
9,35
282
312
348
389
47,7
51,3
55,4
60,1
2,42
2,34
2,29
2,26
12
12
12
12
305
305
305
305
133
136
139
142
11,7
14,4
17,4
20,6
16,7
16,7
16,7
16,7
60,71
66,97
74,41
81,85
77,3
85,4
94,8
104,3
11330
11960
12690
13340
743
785
833
881
12,1
11,8
11,6
11,3
563
603
654
709
84,5
88,7
94,0
99,7
2,70
2,66
2,63
2,61
15
15
15
15
381
381
381
381
140
141
143
146
10,4
11,5
14,0
16,5
15,8
15,8
15,8
15,8
63,3
66,5
73,9
81,4
80,6
84,7
94,2
103,6
18580
19070
20220
21370
975
1001
1061
1122
15,2
15,0
14,7
14,4
598
614
653
696
85,7
87,3
91,2
95,5
2,73
2,70
2,63
2,59
18
18
18
18
457
457
457
457
152
155
151
159
11,7
13,9
16,0
18,1
17,6
17,6
17,6
17,6
81,4
89,3
96,8
104,3
103,7
113,8
l23,3
132,8
33460
35220
36880
38540
1464
1541
1613
1686
18,0
17,6
17,3
17,0
867
912
957
1004
113,7
117,9
l22,1
126,5
2,89
2,83
2,79
2,75
20
20
20
20
20
508
508
508
508
508
178
179
181
183
185
15,2
16,6
18,4
20,3
22,2
23,3
23,3
23,3
23,3
23,3
121,2
126,6
134,0
141,5
148,9
154,4
161,3
170,7
180,3
189,7
61640
63110
65140
67190
69220
2430
2480
2560
2650
2730
20,0
19,8
19,5
19,3
19,1
1872
1922
1993,
2070
2140
211
215
220
226
232
3,48
3,45
3,42
3,39
3,36
22
TABELAS DE PERFIS COMERCIAIS
xh
y
d
x
b
y
t
x
C
VIGAS U - PADRÃO AMERICANO
ELEMENTOS PARA PROJETO
O perfil U é identificado pela dimensão h, em polegadas, e pelo peso por me- tro, precedidos da letra U.
Exemplo: U 3” (6,11 kgf/m).
Dimensões Peso
por
m
Área
A
Eixo x - x Eixo y - y
h b d t I W i I W i x
pol. mm mm mm mm kgf/m cm2 cm4 cm3 cm cm4 cm3 cm cm
3
3
3
76
76
76
35,8
38,0
40,5
4,3
6,6
9,0
6,9
6,9
6,9
6,11
7,44
8,93
7,78
9,48
11,4
68,9
77,2
86,3
18,1
20,3
22,7
2,98
2,85
2,75
8,25
10,3
12,7
3,3
3,8
4,4
1,03
1,04
1,06
1,11
1,11
1,16
4
4
4
102
102
102
40,1
41,8
43,7
4,6
6,3
8,1
7,5
7,5
7,5
7,95
9,30
10,79
10,1
11,9
13,7
159,5
174,4
190,6
31,4
34,3
37,5
3,97
3,84
3,73
13,1
15,5
18,0
4,6
5,1
5,6
1,14
1,14
1,15
1,16
1,15
1,17
6
6
6
6
152
152
152
152
48,8
51,7
54,8
57,9
5,1
8,0
11,1
14,2
8,7
8,7
8,7
8,7
12,20
15,63
19,35
23,07
15,5
19,9
24,7
29,4
546
632
724
815
71,7
82,9
95,0
107
5,94
5,63
5,42
5,27
28,8
36,0
43,9
52,4
8,1
9,2
10,5
11,9
1,36
1,34
1,33
1,33
1,30
1,27
1,31
1,38
8
8
8
8
8
203
203
203
203
203
57,4
59,5
61,8
64,2
66,5
5,6
7,7
10,0
12,4
14,7
9,9
9,9
9,9
9,9
9,9
17,11
20,46
24,18
27,90
31,62
21,8
26,1
30,8
35,6
40,3
1356
1503
1667
1830
1990
133
148
164
180
196
7,89
7,60
7,35
7,17
7,03
54,9
63,6
72,9
82,5
92,6
12,8
14,0
15,3
16,6
17,9
1,59
1,56
1,54
1,52
1,52
1,45
1,41
1,40
1,44
1,49
10
10
10
10
10
254
254
254
254
254
66,0
69,6
73,3
77,0
80,8
6,1
9,6
13,4
17,1
20,8
11,1
11,1
11,1
11,1
11,1
22,77
29,76
37,20
44,65
52,09
29,0
37,9
47,4
56,9
66,4
2800
3290
3800
4310
4820
221
259
299
339
379
9,84
9,31
8,95
8,70
8,52
95,1
117
140
164
192
19,0
21,6
24,3
27,1
30,4
1,81
1,76
1,72
1,70
1,70
1,61
1,54
1,57
1,65
1,76
12
12
12
12
12
305
305
305
305
305
74,7
77,4
80,5
83,6
86,7
7,1
9,8
13,0
16,1
19,2
12,7
12,7
12,7
12,7
12,7
30,81
37,20
44,65
52,09
59,53
39,1
47,4
56,9
66,4
75,9
5370
6010
6750
7480
8210
352
394
443
491
539
11,7
11,3
10,9
10,6
10,4
161
186
214
242
273
28,3
30,9
33,7
36,7
39,8
2,03
1,98
1,94
1,91
1,90
1,77
1,71
1,71
1,76
1,83
15
15
15
15
15
15
381
381
381
381
381
381
86,4
86,9
89,4
91,9
94,4
96,9
10,2
10,7
13,2
15,7
18,2
20,7
16,5
16,5
16,5
16,5
16,5
16,5
50,45
52,09
59,53
66,97
74,41
81,85
64,2
66,4
75,8
85,3
94,8
104,3
13100
13360
14510
15650
16800
17950
688
701
762
822
882
942
14,3
14,2
13,8
13,5
13,3
13,1
338
347
387
421
460
498
51,0
51,8
55,2
58,5
62,0
66,5
2,30
2,29
2,25
2,22
2,20
2,18
2,00
1,99
1,98
1,99
2,03
2,21
23
TABELAS DE PERFIS COMERCIAIS
x
x
d
y
y
b
xd
x
b
1
1
2
2
CANTONEIRAS DE ABAS IGUAIS
PADRÃO AMERICANO
ELEMENTOS PARA PROJETO
O perfil L é identificado pelas dimensões nominais b x b x d, em polegadas, precedidas pela letra L.
Exemplo: L 3” x 3” x 3/8”.
Dimensões
nominais
Dimensões Peso
por
m
Área
A
Eixos xx e yy Eixo
1 - 1
Eixo
2 - 2
b d b d I W i x imáx imín
pol. pol. mm mm kgf/m cm2 cm4 cm3 cm cm cm cm
2
2
2
2
3/16
1/4
5/16
3/8
50,8
50,8
50,8
50,8
4,76
6,35
7,94
9,53
3,63
4,75
5,83
6,99
4,58
6,06
7,41
8,76
11,6
14,5
17,4
19,9
3,1
4,1
4,9
5,7
1,57
1,55
1,52
1,50
1,45
1,50
1,55
1,62
1,97
1,95
1,91
1,88
1,02
0,99
0,99
0,99
2 1/2
2 1/2
2 1/2
1/4
5/16
3/8
63,5
63,5
63,5
6,35
7,94
9,52
6,10
7,44
8,78
7,68
9,48
11,2
29,1
35,4
40,8
6,4
7,8
9,3
1,95
1,93
1,90
1,83
1,88
1,93
2,45
2,43
2,41
1,25
1,24
1,22
3
3
3
3
5/16
3/8
7/16
1/2
76,2
76,2
76,2
76,2
7,94
9,53
11,11
12,70
9,08
10,72
12,35
13,99
11,5
13,6
15,7
17,7
62,4
74,9
83,2
91,6
11,6
13,6
15,6
17,4
2,34
2,31
2,31
2,28
2,21
2,26
2,31
2,36
2,94
2,92
2,91
2,86
1,50
1,47
1,47
1,47
3 1/2
3 1/2
3 1/2
3 1/2
5/16
3/8
7/16
1/2
76,2
76,2
76,2
76,2
7,94
9,53
11,11
12,70
9,08
10,72
12,35
13,99
11,5
13,6
15,7
17,7
62,4
74,9
83,2
91,6
11,6
13,6
15,6
17,4
2,34
2,31
2,31
2,28
2,21
2,26
2,31
2,36
2,94
2,92
2,91
2,86
1,50
1,47
1,47
1,47
4
4
4
4
4
3/8
7/16
1/2
9/16
5/8
101,6
101,6
101,6
101,6
101,6
9,53
11,11
12,70
14,29
15,88
14,58
16,82
19,05
21,28
23,36
18,5
21,4
24,2
27,0
29,7
183
208
233
254
279
25,1
28,7
32,4
35,6
39,4
3,12
3,12
3,10
3,07
3,05
2,90
2,95
3,00
3,07
3,12
3,96
3,94
3,91
3,86
3,86
2,01
1,98
1,98
1,98
1,96
5
5
5
5
5
1/2
9/16
5/8
11/16
3/4
127,0
127,0
127,0
127,0
127,0
12,70
14,29
15,88
17,46
19,05
24,11
26,94
29,76
32,44
35,12
30,6
34,3
37,8
41,3
44,8
470
516
566
612
654
51,8
57,5
63,4
68,8
74,0
3,91
3,88
3,86
3,85
3,81
3,63
3,71
3,76
3,81
3,86
4,95
4,89
4,89
4,86
4,82
2,49
2,49
2,46
2,46
2,46
6
6
6
6
6
6
6
6
6
3/8
7/16
1/2
9/16
5/8
11/16
3/4
13/16
7/8
152,4
152,4
152,4
152,4
152,4
152,4
152,4
152,4
152,4
9,53
11,11
12,70
14,29
15,88
17,46
19,05
20,64
22,33
22,17
25,60
29,17
32,59
36,01
39,44
42,71
46,13
49,26
28,1
32,6
37,1
41,5
45,9
50,2
54,5
58,6
62,8
641
787
828
920
1010
1090
1170
1250
1330
58,1
67,0
75,8
84,4
93,5
101,5
109,8
118,0
125,5
4,77
4,75
4,72
4,70
4,67
4,66
4,65
4,63
4,60
4,17
4,22
4,27
4,34
4,39
4,45
4,52
4,57
4,62
6,05
6,02
5,97
5,95
5,94
5,90
5,84
5,81
5,80
3,02
3,02
3,00
3,00
2,97
2,97
2,97
2,97
2,97
8
8
8
8
8
8
8
8
8
1/2
9/16
5/8
11/16
3/4
13/16
7/8
15/16
1
203,2
203,2
203,2
203,2
203,2
203,2
203,2
203,2
203,2
12,70
14,29
15,88
17,46
19,05
20,64
22,23
23,81
25,40
39,29
44,05
48,66
53,28
57,89
62,50
66,97
71,58
75,90
50,0
56,0
62,0
67,9
73,8
79,6
85,4
91,1
96,8
2020
2250
2470
2690
2900
3110
3310
3510
3710
137,0
153,3
168,7
184,6
200,0
215,0
230,0
245,0
260,0
6,37
6,35
6,32
6,30
6,27
6,25
6,22
6,21
6,20
5,56
5,61
5,66
5,72
5,79
5,84
5,89
5,94
6,02
8,05
8,02
7,97
7,95
7,92
7,89
7,86
7,84
7,81
4,01
4,01
4,01
4,01
3,99
3,99
3,96
3,96
3,96
24
TABELAS DE PERFIS COMERCIAIS
y
h
x
y
d2
1
x
b
y
1
x
d
2
CANTONEIRAS DE ABAS DESIGUAIS
PADRÃO AMERICANO
ELEMENTOS PARA PROJETO
O perfil L é identificado pelas dimensões nominais h x b x d, em polegadas, precedidas pela letra L.
Exemplo: L 6” x 4” x 1/2”.
Dimensões
nominais
Dimensões Peso
por
m
Área
A
Eixo x - x Eixo y - y Eixo
1 - 1
Eixo
2 - 2
h b d h b d I W i y I W i x imáx imím tg
pol. pol pol. mm mm mm kgf/m cm2 cm4 cm3 cm cm cm4 cm3 cm cm cm cm
3 1/2
3 1/2
3 1/2
2 1/2
2 1/2
2 1/2
1/4
5/16
3/8
88,9
88,9
88,9
63,5
63,5
63,5
6,35
7,94
9,53
7,29
9,08
10,71
9,3
11,5
13,5
75
92
108
12,3
15,2
18,0
2,84
2,82
2,79
2,82
2,90
2,95
33
39
46
6,7
8,2
9,7
1,88
1,85
1,83
1,55
1,63
1,68
3,13
3,10
3,10
1,37
1,37
1,37
0,506
0,501
0,496
4
4
4
4
3
3
3
3
5/16
3/8
7/16
1/2
101,6
101,6
101,6
101,6
76,2
76,2
76,2
76,2
7,94
9,53
11,11
12,70
10,71
12,65
14,58
16,52
13,5
16,0
18,5
21,0
142
167
187
208
19,7
24,6
27,9
31,1
3,22
3,20
3,18
3,18
3,20
3,25
3,30
3,38
71
79
92
100
12,0
14,3
16,4
18,0
2,26
2,24
2,21
2,18
1,93
1,98
2,03
2,11
3,62
3,56
3,53
3,47
1,65
1,63
1,63
1,63
0,554
0,551
0,547
0,543
4
4
4
4
4
3 1/2
3 1/2
3 1/2
3 1/2
3 1/2
1/4
5/16
3/8
7/16
1/2
101,6
101,6
101,6
101,6
101,6
88,9
88,9
88,9
88,9
88,9
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5
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5
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3 1/2
3 1/2
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127,0
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127,0
127,0
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88,9
88,9
88,9
88,9
88,9
88,9
88,9
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11,11
12,70
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19,7
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1,93
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6
6
6
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4
4
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1/2
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152,4
152,4
l52,4
152,4
I52,4
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152,4
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101,6
101,6
101,6
101,6
101,6
101,6
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12,70
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1020
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101,0
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287
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362
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2,21
2,21
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7
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4
4
4
1/2
9/16
5/8
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3/4
177,8
117,8
177,8
l77,8
177,8
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101,6
101,6
101,6
101,6
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29,76
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1230
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6,38
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300
325
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2,21
2,21
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8
8
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8
3 1/2
3 1/2
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3 1/2
3 1/2
3 1/2
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9/16
5/8
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3/4
13/16
7/8
15/16
1
203,2
203,2
203,2
203,2
203,2
203,2
203,2
203,2
203,2
88,9
88,9
88,9
88,9
88,9
88,9
88,9
88,9
88,9
12,70
14,29
15,88
17,46
19,05
20,64
22,23
23,81
25,40
27,83
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34,53
37,65
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35,5
39,7
43,9
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2020
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225
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7,6
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7,7
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8,1
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325
26
29
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36
38
41
44
48
49
2,3
2,3
2,3
2,3
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2,2
2,2
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1,9
2,0
2,0
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1,9
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1,9
1,9
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1,9
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8
8
8
8
8
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8
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4
4
4
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4
4
4
1/2
9/16
5/8
11/16
314
13/16
7/8
15/16
1
203,2
203,2
203,2
203,2
203,2
203,2
203,2
203,2
203,2
101,6
101,6
101,6
101,6
101,6
101,6
101,6
101,6
101,6
12,70
14,29
15,88
17,46
19,05
20,64
22,23
23,81
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32,59
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50,2
54,5
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1950
2l20
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2900
123
138
151
165
179
191
205
218
231
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6,55
6,52
6,50
6,47
6,46
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6,42
6,40
7,26
7,32
7,39
7,44
7,49
7,57
7,62
7,67
7,75
279
308
337
362
391
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437
462
483
36,0
39,3
42,6
46,4
50,8
54,2
57,3
61,0
63,8
2,74
2,72
2,72
2,69
2,67
2,66
2,64
2,63
2,62
2,18
2,24
2,31
2,36
2,41
2,49
2,54
2,59
2,67
6,78
6,75
6,71
6,69
6,67
6,64
6,61
6,58
6,56
2,18
2,18
2,18
2,16
2,16
2,16
2,16
2,16
2,16
0,267
0,265
0,262
0,260
0,258
0,256
0,253
0,250
0,247
25
TABELAS DE PERFIS COMERCIAIS
b'
b
y
xh
x
d
TRILHOS FERROVIÁRIOS
Os trilhos são identificados pela classificação da Companhia Siderúrgica Nacional (C.S.N)
Exemplo: TR - 50
TIPO Dimensões Peso
por m
Área
A
Eixo x - x
Nacional (C.S.N.) Americano
h b b’ d I W y
mm mm mm mm kgf/m cm2 cm4 cm3 cm
TR - 25
TR - 32
TR - 37
TR - 45
TR - 50
TR - 57
A.S.C.E. 5040
A.S.C.E. 6540
A.S.C.E. 7540
A.R.E.A. 9020
A.R.E.A. 10025
A.R.E.A. 11525
98,4
112,7
122,2
142,9
152,4
168,3
98,4
112,7
122,2
130,2
136,5
139,7
54,0
61,1
62,7
65,1
68,3
69,1
11,1
12,7
13,5
14,3
14,3
15,9
24,65
32,05
37,11
44,65
50,36
56,90
31,5
40,8
47,3
56,9
64,2
72,5
413
702
951
1605
2037
2735
81,6
121
149
205
247
295
4,77
5,44
5,84
6,45
6,98
7,56
y
x
d
b
x
t
y
b
VIGAS H - PADRÃO AMERICANO
ELEMENTOS PARA PROJETO
O perfil H é identificado pela dimensão b, em polegadas, e pelo peso por me- tro, precedidos da letra H.
Exemplo: H 4” (20,5 kgf/m)
Dimensões
nominais Dimensões Peso
por
m
Área
A
Eixo x - x Eixo y - y
b d b d t I W i I W i
pol. pol. mm mm mm kgf/m cm2 cm4 cm3 cm cm4 cm3 cm
4
5
6
6
0,313
0,313
0,313
0,438
101,6
127,0
152,4
152,4
7,9
7,9
7,9
11,1
9,5
11,1
12,7
12,7
20,5
28,1
37,2
40,9
25,7
35,3
47,3
52,1
445
990
1956
2052
87
156
257
269
4,17
5,28
6,43
6,27
150
325
620
666
30
51
82
87
2,41
3,05
3,63
3,58