23 matemÁtica - ?· tÓpicos de anÁlise matemÁtica ... 1 – integrais mÚltiplos e equaÇÕes...

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  • PANTONE 180C

    MATEMTICA

    EDIES SLABO

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    ColeoMatemtica

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    ATEMTICA

    23 COLEO MATEMTICA

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    Visite a Slabo na rede:

    www.silabo.pt

    TPICOSDE ANLISEMATEMTICAEM IRn

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    ALTINO SANTOS SANDRA RICARDO

    ALTINO SANTOS. Licenciado em Matemtica (ramo de Especializao em Matemtica Pura) pela Facul-dade de Cincias da Universidade do Porto (1996), obteve o grau de Mestre em Matemtica Aplicada namesma faculdade (1998) e o grau de Doutor em Matemtica (especialidade em Matemtica Pura) naUniversidade de Trs-os-Montes e Alto Douro (2006). Foi membro do Centro de Matemtica e Aplicaesda Universidade de Aveiro (2003 a 2008); atualmente membro do Centro de Matemtica da Universidadedo Minho (Plo CMAT-UTAD), desenvolvendo investigao na rea de Geometria Combinatria e Topologia.Desde 1998 docente da Universidade de Trs-os-Montes e Alto Douro, onde tem desempenhado funesdocentes nas reas de lgebra e Anlise e autor de vrios artigos cientficos em Geometria/Topologia.

    SANDRA RICARDO. Licenciada em Matemtica (ramo Educacional) pela Faculdade de Cincias e Tecno-logia da Universidade Nova de Lisboa (1995), obteve o grau de Mestre em Matemtica (especialidade emMatemtica Pura) pela Faculdade de Cincias e Tecnologia da Universidade de Coimbra (2000) e o graude Doutor em Matemtica (especialidade em Matemtica Aplicada) pelo Institut National des SciencesAppliques de Rouen, Frana (2008). membro do Instituto de Sistemas e Robtica (ISR) da Universi-dade de Coimbra desde 1997 e membro do Centro de Matemtica da Universidade do Minho (Polo CMAT--UTAD) desde 2015, desenvolvendo investigao na rea de Sistemas de Controlo No Lineares. Desde 1996 docente da Universidade de Trs-os-Montes e Alto Douro, onde tem desempenhado funes docentesnas reas de lgebra e Anlise.

    Este livro fruto da experincia dos autores a lecionar unidades curricu-lares de Anlise Matemtica em IR na Universidade de Trs-os-Montes eAlto Douro, e destina-se a estudantes dos cursos de Engenharia, Economia,Gesto e Matemtica.

    Incidindo no estudo de funes de variveis reais, o livro aborda as ques-tes fundamentais da continuidade, diferenciabilidade, integrao mltipla eos Teoremas do Clculo Vetorial.

    Ao longo do livro, os conceitos tericos so apresentados e exemplificadoscom vrios exerccios resolvidos. No fim de cada captulo, uma lista de exerc-cios propostos fornecida com o intuito de ajudar o estudante a consolidaros contedos apresentados.

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  • COLEO MATEMTICA

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  • COLEO MATEMTICA

    1 INTEGRAIS MLTIPLOS E EQUAES DIFERENCIAIS

    2 CLCULO DIFERENCIAL EM IR n

    3 PRIMITIVAS E INTEGRAIS

    4 FORMULRIO DE MATEMTICA

    5 LGEBRA LINEAR Vol. 1 Matrizes e Determinantes

    6 LGEBRA LINEAR Vol. 2 Espaos Vectoriais e Geometria Analtica

    7 PROGRAMAO MATEMTICA

    8 CLCULO INTEGRAL EM IR PRIMITIVAS

    9 PRIMITIVAS E INTEGRAIS EXERCCIOS

    10 SUCESSES E SRIES

    11 LGEBRA LINEAR Exerccios Vol. 1 Matrizes e Determinantes

    12 CLCULO DIFERENCIAL EM IR

    13 CLCULO DIFERENCIAL EM IR n EXERCCIOS

    14 LGEBRA LINEAR Exerccios Vol. 2 Espaos Vectoriais e Geometria Analtica

    15 SUCESSES E SRIES EXERCCIOS

    16 EQUAES DIFERENCIAIS E SRIES

    17 INTEGRAIS MLTIPLOS E EQUAES DIFERENCIAIS EXERCCIOS

    18 INTEGRAIS DUPLOS, TRIPLOS, DE LINHA E DE SUPERFCIE

    19 FUNDAMENTOS DE ANLISE NUMRICA

    20 MTODOS NUMRICOS Introduo, Aplicao e Programao

    21 CLCULO INTEGRAL Teoria e Aplicaes

    22 PRIMITIVAS E INTEGRAIS Exerccios Resolvidos

    23 TPICOS DE ANLISE MATEMTICA EM IR n

    24 EXERCCIOS SOBRE PRIMITIVAS E INTEGRAIS

    25 LGEBRA LINEAR Teoria e Prtica

    26 PRIMITIVAS E INTEGRAIS Com Aplicaes s Cincias Empresariais

  • TPICOS DE ANLISEMATEMTICA EM Rn

    ALTINO SANTOS

    SANDRA RICARDO

    EDIES SLABO

  • expressamente proibido reproduzir, no todo ou em parte, sob qualquer forma ou meio grfico, eletrnico ou mecnico, inclusive fotocpia, esta obra. As transgresses sero passveis das penalizaes previstas na legislao em vigor. No participe ou encoraje a pirataria eletrnica de materiais protegidos. O seu apoio aos direitos dos autores ser apreciado.

    Visite a Slabo na rede www.si labo.pt

    FICHA TCNICA: Ttulo: Tpicos de Anlise Matemtica em n Autores: Altino Santos, Sandra Ricardo Edies Slabo, Lda. Capa: Pedro Mota 1 Edio Lisboa, fevereiro de 2014 2 Edio Lisboa, janeiro de 2018 Impresso e acabamentos: ARTIPOL Artes Tipogrficas, Lda. Depsito Legal: 436107/18 ISBN: 978-972-618-929-9

    EDIES SLABO, LDA. R. Cidade de Manchester, 2 1170-100 Lisboa Tel.: 218130345 Fax: 218166719 e-mail: silabo@silabo.pt www.silabo.pt

  • Contedo

    Prefcio 2aedio 7

    Prefcio 9

    1 Funes de vrias variveis reais 11

    1.1 O espao Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

    1.2 Noes topolgicas em Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

    1.3 Funes vetoriais reais de n variveis reais . . . . . . . . . . . . . 22

    1.4 Limites e continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

    1.5 Diferenciabilidade em Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

    1.5.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

    1.5.2 Derivadas parciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

    1.5.3 Interpretao geomtrica da derivada parcial no caso de

    z = f (x,y) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

    1.5.4 Derivadas de ordem superior . . . . . . . . . . . . . . . . 37

    1.5.5 Funo diferencivel num ponto . . . . . . . . . . . . . . 38

    1.5.6 Matriz das derivadas parciais . . . . . . . . . . . . . . . . 40

    1.6 Nota sobre curvas em Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

    1.7 Derivada da funo composta - regra da cadeia . . . . . . . . . . 43

    1.8 Teorema da funo implcita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

    1.9 Plano tangente e reta normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

  • 6

    1.10 Derivadas direcionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

    1.11 Extremos, pontos crticos e sua classificao . . . . . . . . . . . . 56

    1.12 Extremos condicionados: mtodo dos multiplicadores de Lagrange 62

    1.13 Exerccios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

    2 Integrao em Rn 87

    2.1 Integrais duplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

    2.1.1 Integrais duplos em coordenadas polares . . . . . . . . . 94

    2.1.2 Algumas aplicaes do integral duplo . . . . . . . . . . . 98

    2.2 Integrais triplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

    2.2.1 Integrais triplos em coordenadas cilndricas . . . . . . . . 104

    2.2.2 Integrais triplos em coordenadas esfricas . . . . . . . . . 108

    2.2.3 Algumas aplicaes dos integrais triplos . . . . . . . . . . 111

    2.3 Integrais curvilneos de campos vetoriais . . . . . . . . . . . . . . 114

    2.4 Campos conservativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

    2.5 O Teorema de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

    2.6 Superfcies parametrizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

    2.7 Superfcies de revoluo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

    2.8 Integral de um campo vetorial sobre uma superfcie . . . . . . . . 143

    2.8.1 O Teorema de Stokes e o Teorema de Gauss (divergncia) 144

    2.9 Exerccios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

    Bibliografia 167

  • Prefcio 2aedio

    com agrado que registamos a aceitao que teve a edio anterior. Nesta 2a

    edio corrigimos algumas gralhas, melhormos alguns aspetos cientficos e am-

    plimos o nmero de exemplos e exerccios propostos.

    Janeiro, 2018

    Altino Santos

    Sandra Ricardo

  • Prefcio

    Quando decidimos escrever este texto, o nosso primeiro propsito foi elaborar

    umas notas terico/prticas de apoio aos nossos alunos de Anlise Matemtica II;

    sendo, por isso, um texto que introduz o aluno nos tpicos de Anlise Matemtica

    em Rn, como o caso da Continuidade, Diferenciabilidade e Integrabilidade...

    Pretendamos um texto que, sem descurar o rigor, fosse claro e de fcil leitura para

    um qualquer aluno duma licenciatura cuja formao requeira uma forte compo-

    nente matemtica, como Matemtica, Engenharia, etc., facultando-lhe os concei-

    tos e resultados tericos tradicionalmente lecionados. Por isso, decidimos no nos

    prender demasiado com detalhes tcnicos ou demonstraes pesadas, mas em vez

    disso adotar um estilo mais acessvel e atrativo para o aluno, recheando o texto de

    exemplos, exerccios resolvidos, exerccios propostos e aplicaes que ilustrem os

    resultados tericos e manifestem claramente a importncia dos tpicos abordados.

    Este texto segue de perto as aulas de Anlise Matemtica II, por ns lecionadas

    na Universidade de Trs-os-Montes e Alto Douro, e so o culminar de vrios anos

    de lecionao destas matrias a alunos de diversas licenciaturas.

    Sendo o ensino da Anlise Matemtica em Rn de importncia crucial na formao

    de alunos de Engenharia e de Matemtica, em qualquer instituio do ensino uni-

    versitrio e politcnico