Matrizes e Determinantes

1. (IME 1998-1999) Determine uma matriz não singular P que satisfaça à equação matricial P-1 A = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−1006

,

onde A = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡4521

.

2. (IME 2002-2003) Considere uma matriz A, n x n, de coeficientes reais, e k um número real diferente de 1. Sabendo-se que A3 = k A, prove que a matriz A + I é invertível, onde I é a matriz identidade n x n. 3. (IME 1990-1991) Determine todas as matrizes X, reais, de dimensões 2 x 2, tais que AX = XA, para toda matriz A real 2 x 2. 4. (IME 1987-1988) Sejam A, B e C matrizes 5 x 5, com elementos reais. Denotando-se por At a matriz transposta de A, a) Mostre que se AAt = 0, então A = 0 b) Mostre que se BAAt = CAAt então BA = CA.

5. (IME 2006-2007) Considere as matrizes A=

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

43

41

41

43

e B=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

21001

, e seja P uma matriz inversível tal que B= P-1 AP.

Sendo n um número natural, calcule o determinante da matriz An. 6. (IME 2001-2002) Uma matriz quadrada é denominada ortogonal quando a sua transposta é igual a sua inversa. Considerando esta definição, determine se a matriz [R], abaixo, é uma matriz ortogonal, sabendo-se que n é um número inteiro e α é um ângulo qualquer. Justifique a sua resposta.

[R] = ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −

1000)ncos()nsen(0)nsen()ncos(

αααα

7. (IME 1999-2000) Calcule o determinante:

D =

131111111111111111911111117111111151111111311111111

8. (IME 1992-1993) Determine o valor de x para que:

0

2x104x4x40x

1002xx642x

2 =

−

+

9. (IME 1989-1990) Calcule o determinante da matriz n x n que possui zeros na diagonal principal e todos os outros elementos iguais a 1. 10. (IME 2005-2006) Seja Dn = det(An), onde

An =

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−−−

−

21...000012...0000

.....................00...121000...012100...0012

Determine Dn em função de n(n ∈, n ≥ 1). 11. (IME 2003-2004) Calcule o número natural n que torna o determinante abaixo igual a 5.

)1(log)1(log)1(log)1(log1100

01100011

2222 −−+−−

−−

nnnn

12. (IME 1993-1994) Um aluno, ao inverter a matriz

[ ]ija

fe4

dc0

ba1

A =

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

= , 3j,i1 ≤≤ cometeu um engano, e considerou o elemento 13a igual a 3, de forma que acabou

invertendo a matriz

[ ]ijb

fe3

dc0

ba1

B =

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

= .Com esse engano o aluno encontrou

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

−

=−

2/102/3

113

2/102/5

B 1 .

Determinar 1A− .

13. (IME 2008-2009) Dada uma matriz quadrada A de ordem n, definida da seguinte forma: • os elementos da linha i da coluna n são da forma

ain = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+− 1in

n;

• os elementos imediatamente abaixo da diagonal principal são unitários, isto é, aij = 1 para i – j = 1; • todos os demais elementos são nulos. Sendo I a matriz identidade de ordem n e det(M) o determinante de uma matriz M, encontre as raízes da equação det(x . I – A) = 0. 14. (IME 2004-2005) Calcule o determinante da matriz n x n em função de b, onde b é um número real tal que b2 ≠ 1.

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

++

++

++

1bb....0000b1b....0000.......................

....1bb0000....b1bb000....0b1bb00....00b1b

2

2

2

2

2

2

15. (IME 1991-1992) Calcule o valor do determinante abaixo:

Dn =

xmmmmm

m..........mxmmmm..........mmxmmm..........mmmxm

+

++

+

MOMMMMMOMMMM

16. (IME 1988-1989) Calcule o determinante da matriz

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+++

+++

+++

+++

2222

2222

2222

2222

)3d()2d()1d(d

)3c()2c()1c(c

)3b()2b()1b(b

)3a()2a()1a(a

17. (IME 1986-1987) Sejam

A =

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

hgfedcba

e B = ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛qponmlji

Duas matrizes de elementos inteiros.Verifique se a matriz AB é inversível.

18. (IME 1983-1984) Seja D o determinante da matrix A = [aij ] de ordem n, tal que aij = i – j . Mostre que:

D = (–1)n–1 : (n – 1):2n–2 19. (IME 1982-1983) Seja um determinante definido por ∆1 = ⎟ 1 ⎟ e

∆n =

21...0000

00...210000...021000...002111...1111

−

−−

−

a) Pede-se a fórmula de recorrência (isto é, a relação entre ∆n e ∆n–1). b) Calcule a expressão de ∆n em função de n. Gabarito:

1- ⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−

465

261

2- 3- C,I2 ∈λ∀λ 4-

5- *n

INn,21

∈⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

6- 7- 46.080

8- ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −=

74,0,2S

9- 10- n+1 11- { }3S =

12- ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−

104218105

13- { }1S −=

14- 1b

1b2

2n2

−

−+

15- 1nn xmnx −+ 16- 0 17- 18-

19- 12)b

2)an

n

1n1n

n

−=∆

∆+=∆ −−