educapes.capes.gov.br · 2019. 4. 17. · f iel a sua missão de interiorizar o ensino superior no...

Fiel a sua missão de interiorizar o ensino superior no estado Ceará, a UECE, como uma ins� tuição que par� cipa do Sistema Universidade Aberta do Brasil, vem ampliando a oferta de cursos de graduação e pós-graduação

na modalidade de educação a distância, e gerando experiências e possibili-dades inovadoras com uso das novas plataformas tecnológicas decorren-

tes da popularização da internet, funcionamento do cinturão digital e massifi cação dos computadores pessoais.

Comprome� da com a formação de professores em todos os níveis e a qualifi cação dos servidores públicos para bem servir ao Estado,

os cursos da UAB/UECE atendem aos padrões de qualidade estabelecidos pelos norma� vos legais do Governo Fede-

ral e se ar� culam com as demandas de desenvolvi-mento das regiões do Ceará. Li

ngua

gem

de

Prog

ram

ação

I

Ricardo Reis Pereira

Computação

Computação

Linguagem de Programação I

Uni

vers

idad

e Es

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do

Bras

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ComputaçãoQuímica Física Matemá� ca PedagogiaArtes Plás� cas

Ciências Biológicas

Geografi a

Educação Física

História

9

12

3

Flaudio José Gonçalves do Nascimento

Matemática II

Computação

InformáticaArtes

PlásticasCiências

BiológicasQuímica Física Matemática

3ª ediçãoFortaleza - Ceará

2015

ComputaçãoQuímica Física Matemática PedagogiaArtes Plásticas


Geografia

Educação Física

História

9

12

3

Copyright © 2015. Todos os direitos reservados desta edição à UAB/UECE. Nenhuma parte deste material poderá ser reproduzida, transmitida e gravada, por qualquer meio eletrônico, por fotocópia e outros, sem a prévia autorização, por escrito, dos autores.

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N244m Nascimento, Flaudio José Gonçalves.Matemática II / Flaudio José Gonçalves do Nascimento. – 3. ed. – Fortaleza : EdUECE, 2015.126 p. : il. ; 20,0cm x 25,5cm. (Computação)

Inclui bibliografia.

ISBN: 978-85-7826-451-2

1. Matemática. 2. Lógica – I. Título.

CDD 510

Dados Internacionais de Catalogação na PublicaçãoSistema de Bibliotecas

Luciana Oliveira – CRB-3 / 304Bibliotecário

Sumário

Apresentação .............................................................................................5

Parte 1 – As Funções Trigonométricas e as Funções Trigonométricas Inversas .......................................................................................................7

Capítulo 1 – O Teorema do Confronto (Sanduíche) ...............................91. O Teorema do Confronto (Sanduíche) ..................................................9

Capítulo 2 – As Funções Trigonométricas e suas Derivadas .............151. As Funções Trigonométricas e suas Derivadas ..................................15

1.1. A Função Seno .................................................................................15

1.2. A Função Cosseno ...........................................................................15

1.3. A Função Tangente ..........................................................................16

1.4. A Função Cotangente ......................................................................16

1.5. A Função Secante ............................................................................17

1.6. A Função Cossecante ......................................................................17

1.7. A Derivada da Função Seno ............................................................18

1.8. A Derivada da Função Cosseno ......................................................19

1.9. A Derivada da Função Tangente ......................................................19

1.10. A Derivada da Função Cotangente ................................................19

1.11. A Derivada da Função Secante ......................................................19

1.12. A Derivada da Função Cossecante................................................20

Capítulo 3 – As Funções Trigonométricas Inversas e suas Derivadas .........................................................................................21

1. As Funções Trigonométricas Inversas e suas Derivadas ...................21

1.1. A Função Arco Seno e sua Derivada ...............................................21

1.2. A Função Arco Cosseno e sua Derivada .........................................23

1.3. A Função Arco Tangente e sua Derivada .........................................24

1.4. A Função Arco Cotangente e sua Derivada ....................................25

1.5. A Função Arco Secante e sua Derivada ..........................................26

1.6. A Função Arco Cossecante e sua Derivada ....................................27

Parte 2 – As Funções Exponencial e Logarítmica ...............................31

Capítulo 4 – Função Exponencial ..........................................................331. A Função Exponencial ........................................................................33

2. O Número de Euler .............................................................................35

3. A Função Exponencial Natural ............................................................37

4. A Função Logarítmica .........................................................................38

5. A Função Logarítmica Natural .............................................................39

6. A Derivada da Função Exponencial Natural .......................................40

7. A Derivada da Função Logarítmica Natural ........................................41

Parte 3 – A Antiderivada: a Integral Indefinida .....................................45

Capítulo 5 – Antidiferenciação (Integração) .........................................471. Antidiferenciação (Integração) ............................................................47

2. Integrais das Principais Funções Elementares ...................................49

Parte 4 – Técnicas de Integração ...........................................................53

Capítulo 6 – Integração por Partes ........................................................551. Integração por Partes ..........................................................................55

2. Integração de Produtos de Potências de Seno e Cosseno ................57

3. Integração de Produtos de Potências de Tangente, Cotangente, Secante e Cossecante ............................................................................58

4. Integração por Substituição Trigonométrica .......................................60

Parte 5 – A Integral Definida: a Integral de Riemann ...........................65

Capítulo 7 – O Teorema Fundamental do Cálculo ...............................671. O Teorema Fundamental do Cálculo ..................................................67

2. A Integral Definida ...............................................................................70

2.1. Propriedades das Integrais Definidas ..............................................74

Parte 6 – Aplicações da Integral Definida .............................................81

Capítulo 8 – Áreas ....................................................................................831. Áreas ...................................................................................................83

2. Área Limitada por Duas Curvas ..........................................................85

Capítulo 9 – Volumes de Sólidos por Cortes (Fatiamento de Sólidos) ..........................................................................89

1. Volumes de Sólidos por Cortes (Fatiamento de Sólidos) ....................89

2. Volume de um Sólido de Revolução ...................................................91

3. Método do Disco Circular....................................................................92

4. Método do Anel Circular (Arruela Circular) .........................................95

Capítulo 10 – Método das Cascas Cilíndricas ................................... 101

Capítulo 11 – Comprimento de Curvas Planas .................................. 1071. Comprimento de Curvas Planas .......................................................107

Parte 7 – Acomplementos: Integrais Impróprias, Equações Diferenciais e Tempo de Computação.................................................113

Capítulo 12 – Integração Imprópria .....................................................1151. Integração Imprópria ......................................................................... 115

2. Integrais Impróprias com Limites de Integração Infinitos .................. 117

3. Equações Diferenciais ...................................................................... 119

4. Tempo de Computação .....................................................................122

Sobre o autor ......................................................................................... 126

Apresentação

Este livro é a continuação do livro de Matemática I. Ele foi desenvolvido para dar suporte aos alunos que cursam Sistemas de Informações, Ciência da Computação, e, de um modo geral, para aqueles que precisam entrar no mundo do cálculo e que não têm tempo de estudar pelos tradicionais livros de cálculo. Nele, vamos estudar, de forma simples e objetiva, as derivadas das funções: trigonométricas, trigonométricas inversas, exponenciais, logarítmicas e outras funções matemáticas. Além disso, o grande objetivo deste livro é estudar a operação inversa da derivação, chamada de antidiferenciação ou integração.

Na parte 1, apresentamos as funções trigonométricas e suas derivadas, bem como as funções trigonométricas inversas com suas respectivas derivadas. A parte 2 contém as funções: exponencial e logarítmica, com suas respectivas derivadas. Na parte 3, apresentarmos a antiderivada de uma função, e nele vamos conhecer as integrais das principais funções elementares. Nesta parte, apresentamos a mudança de variável, que é a primeira técnica de integração a se aprender.

Na parte 4, vamos estudar algumas técnicas de integração: integração por partes, integração de produtos de potências de seno, de cosseno, de tangente, de cotangente, de secante e de cossecante e integração por substituição trigonométrica. A parte 5 é dedicada ao Teorema Fundamental do Cálculo, que é apresentado e demonstrado de forma simples; a integral definida é apresentada de forma tradicional: como o limite de uma soma. Na parte 6, usamos as integrais definidas para achar áreas, volumes e comprimento de arco de curvas. Já na parte 7, apresentamos algumas integrais impróprias, falamos um pouco de equações diferenciais e apresentamos um problema sobre tempo de computação.

Para compreender bem esse texto, o pré-requisito fundamental é que você, leitor, tenha noções de limites e de derivadas. Além disso, é importante, mas não fundamental, ter noções de matemática do ensino médio, tais como funções, logaritmos, trigonometria elementar, geometria plana, espacial e geometria analítica. No entanto, mais do que conhecimento, gostaríamos de que o estudante tivesse vontade de aprender. Se esse for o seu caso, meu caro leitor, então você vai gostar muito deste livro, principalmente pela objetividade e pela simplicidade, com as quais os tópicos são abordados.

Omitimos as demonstrações mais difíceis, pois entendemos que, apesar das demonstrações serem importantes, o aluno do curso de Computação não precisa se aprofundar tanto em matemática. No entanto, apelamos muito para

as ideias intuitivas e exploramos bastante as ideias geométricas. Para os alunos com maior vocação para matemática, sugerimos fontes bibliográficas que podem ser consultadas para maior aprofundamento de cada tema abordado.

Para facilitar o desenvolvimento da matéria, o livro está dividido em unidades, e cada unidade está dividida em seções, nas quais discorremos um pouco sobre cada um dos tópicos citados anteriormente. Colocamos exercícios na medida certa para você treinar, pois achamos que é fundamental que você exercite matemática se você quer aprendê-la.

Ao final das seções, de cada unidade, o leitor encontrará um breve resumo e sugestões de outros materiais para complementar e aprofundar o estudo dos assuntos discutidos. Sendo assim, só nos resta dizer: arregace as mangas e bom estudo!

O Autor

Parte 1As Funções Trigonométricas

e as Funções Trigonométricas Inversas

Capítulo 1O Teorema do Confronto

(Sanduíche)

Objetivos

• Utilizar o Teorema do Confronto no cálculo de limites;

• Compreender como realizar o cálculo, derivados dos limites funda-mentais no teorema de confronto.

Neste capítulo. enunciamos, sem demonstração, o Teorema do Confronto,

conhecido popularmente como Teorema do “Sanduíche”, e usamos esse

teorema para demonstrar que h 0

senhlim 1h→

= , para, em seguida, encontrar a

derivada da função seno. Logo depois, deduzimos as derivadas de todas as

outras funções trigonométricas.

Apresentamos também as funções trigonométricas inversas e suas respectivas derivadas.

1. O Teorema do Confronto (Sanduíche)

Sejam f, g e h funções com o mesmo domínio D e f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) para todo x em D. Se a é um número real, não necessariamente em D, tal que

x a x alim f(x) lim h(x) L→ →

= = , então, x alim g(x) L.→

=

Como se pode ver, o teorema do sanduíche possui um enunciado bastante simples, mas de um valor inestimável, fundamental para se achar certos limites.

Exemplo 1: Calcular x 0

1lim x.cosx→

.

Para calcular este limite, lembre-se que 1 cos 1− ≤ q ≤ ,qualquer que seja

q. Assim, 11 cos 1x

− ≤ ≤ e 1x x.cos xx

− ≤ ≤ . Agora, como x 0 x 0lim ( x) lim x 0→ →

− = = ,

pelo teorema do sanduíche, x 0

1lim x.cos 0.x→

=

NASCIMENTO, F. J. G. do.10

Exemplo 2: Admita que f(x) é uma função que satisfaz a seguinte condição: 2 2x x1 f(x) 1

4 2− ≤ ≤ + para todo x ≠ 0. Nestas condições, determine

x 0lim f(x)→

.

Veja que 2

x 0

xlim 1 14→

− =

e

2

x 0

xlim 1 12→

+ =

, então, pelo teorema do

sanduíche, x 0lim f(x) 1→

= .

No que segue, vamos admitir que as funções seno e cosseno

são contínuas1 em todos os números reais. Assim, x alim senx sena→

= e

x alim cos x cosa→

=, para todo número real a.

Como casos particulares, tem-se que: x 0lim senx sen0 0→

= = ,

x2

lim senx sen 12p

→

p= = ,

x 0lim (1 cos x) 1 cos0 1 1 0→

− = − = − = .

Agora, estamos em condições de provar que h 0

senhlim 1h→

= . Veja que,

de modo intuitivo, usando uma calculadora, temos, para h > 0, que:

h senhh

0,5 0,958851077

0,1 0,998334166

0,01 0,999983333

0,001 0,999999833

0,0001 0,999999998

0,00001 1

0,000001 1

Na nossa demonstração, vamos supor que h > 0, isto é sufi ciente, pois,

como a função senhf(h)h

= é uma função par2, o limite para h < 0 terá o

mesmo valor.

Sendo assim, observe a fi gura 1 a seguir. Nela temos uma circunferência

de centro na origem do plano cartesiano e raio igual a 1.

1 Dizemos que uma função f é contínua no número a se, e somente se as seguintes condições forem satisfeitas:i) f (a) existe;

ii) →x alim f(x)

existe;

iii) →x a→x a→

lim f(x) f(a)=lim f(x) f(a)=.

2 Dizemos que uma função f é:i) par: quando f(–x) = f(x) para todo x no domínio de f.ii) ímpar: quando f(–x) = – f(x) para todo x no domínio de f.

Matemática II 11

Figura 1

Veja que a área do triângulo OAC é menor que a área do setor circular OBC, a qual é menor que a área do triângulo OBD, isto é,

OA AC raio h OB BD2 2 2⋅ ⋅ ⋅

< <

Como o raio da circunferência é igual a 1, OA = cos h, AC = sen h e BD = tg h, obtemos:

cosh senh 1 h 1 tgh2 2 2⋅ ⋅ ⋅

< <

senhcosh senh hcosh

⋅ < <

Dividindo a última desigualdade por senh, obtemos:

h 1coshsenh cosh

< <

Invertendo os três membros dessas desigualdades, temos:

senh 1coshh cosh

> > \ 1 senh coshcosh h

< <

Agora, como h 0 h 0

1lim cosh lim 1cosh→ →

= = , então, pelo teorema do sanduíche,

temos:

h 0

senhlim 1h→

= .

Como queríamos demonstrar.


Para fi car mais claro, veja o gráfi co a seguir, representado na fi gura 2,

da função senxf(x)x

= , para x pertencente ao intervalo [–10, 10].

Figura 2

Exemplo 3: Agora, vamos mostrar que h 0

cosh 1lim 0h→

−= .

Para tanto, veja que:

2 2

h 0 h 0 h 0 h 0

h 0

cosh 1 (cosh 1)(cosh 1) cos h 1 sen hlim lim lim limh h(cosh 1) h(cosh 1) h(cosh 1)

1 senh 1lim . .senh .1.0 0cosh 1 h 2

→ → → →

→

− − + − −= = =

+ + +− −

= = =+

Exemplo 4: Calcular 2

2x 0

tg xlimx→

22 22

2 2 2 2 2x 0 x 0 x 0 x 0

sen xtg x sen x senx senx 1cos xlim lim lim lim . . 1.1.1 1

x xx x x .cos x cos x→ → → →= = = = =

Matemática II 13

Atividades de avaliação

1. Use o teorema do sanduíche para achar os limites a seguir:

x 0

1a) lim x.senx→

x 1b) lim f(x)

→, sabendo que 2| f(x) 2 | 3(x 1)− ≤ −

2. Encontre os limites a seguir:

x 0

x 0

x 0

x 03

2x 0

sen3xa) lim5x

xb) limsen 3x

sen2xc) limsen6xtg6xd) lim2x

senxe) limsenx

+

→

→

→

→

→

x 0

x 0

x 0

x 03

2x 0

sen3xa) lim5x

xb) limsen 3x


senxe) limsenx

+

→

→

→

→

→

x 0

x 0

x 0

x 03

2x 0

sen3xa) lim5x

xb) limsen 3x


senxe) limsenx

+

→

→

→

→

→

x 0

x 0

x 0

x 03

2x 0

sen3xa) lim5x

xb) limsen 3x


senxe) limsenx

+

→

→

→

→

→

x 0

x 0

x 0

x 03

2x 0

sen3xa) lim5x

xb) limsen 3x


senxe) limsenx

+

→

→

→

→

→

5

5x 0

sen 2xf ) lim4x→

Capítulo 1Capítulo 2As Funções Trigonométricas e

suas derivadas

Objetivos

• Usar as derivadas para determinar os valores máximo e mínimo de uma função, para prever e analisar a forma de um gráfico, bem como tirar conclusões sobre o comportamento das funções;

• Compreender e aplicar as técnicas do cálculo integral para funções por substituição trigonométrica.

1. As Funções Trigonométricas e suas Derivadas

Neste capítulo, vamos apresentar, sem muitos detalhes, as funções trigono-métricas. Nosso principal objetivo aqui é dar uma ideia geral dessas funções e chegar rapidamente nas suas respectivas derivadas.

1.1 A Função Seno

A função f : R → R definida por f(x) = sen x é chamada de função seno. A figura 3 mostra seu gráfico.

23r

23r

2r

y

xr r

2r

1

1

Figura 3


1.2 A Função Cosseno

A função f : R → R definida por f(x) = cos x é chamada de função cosseno. A figura 4 mostra seu gráfico.

23r

rr 2r

2r

23r

y

x

1

1

Figura 4

1.3 A Função Tangente

A função f definida por f(x) = tg x é chamada de função tangente3. A figura 5 mostra seu gráfico.

23r

r 23r

r2r

2r

1

1

y

x

Figura 5

Neste caso, observe que o domínio da função tangente é formado por todos os números reais x, tais que x k

2p

≠ + p , onde k é um número inteiro.

Veja que, para esses valores de x, temos assíntotas verticais4.

1.4 A Função Cotangente

A função f definida por f(x) = cotg x5 é chamada de função cotangente. O domínio da função cotangente é formado por todos os números reais x tais que x k≠ p , onde k é um número inteiro. Para esses valores de x, temos assíntotas verticais.

3 Às vezes, é conveniente

trocar tgx por

senxcosx

.

4 Uma assíntota vertical do gráfico de uma função y = f(x) é uma reta vertical x = a, que satisfaz, pelo menos, uma das seguintes condições:

i) +→= +∞

x alim f(x)

ii) +→= −∞

x alim f(x)

iii) −→= +∞

x alim f(x)

iv) −→= −∞

x alim f(x)

Às vezes, é conveniente

trocar cotgx por

cosxsenx

.

Matemática II 17

23r

23rr r2

r2r

1

1

y

x

Figura 6

1.5 A Função Secante

A função definida por f(x) = sec x6 é chamada de função secante. O domínio de

f é o conjunto formado por todos os números reais x, tais que x k2p

≠ + p . Para

esses valores de x, temos assíntotas verticais. A figura 7 mostra seu gráfico.

x

23r

23r r

2r

2r r

y

1

1

Figura 7

1.6 A Função Cossecante

A função definida por f(x) = cossec x é chamada de função cossecante7. O domínio de f é o conjunto formado por todos os números reais x tais que x k≠ p . Para esses valores de x, temos assíntotas verticais. A figura 8 mostra seu gráfico.


trocar sec x por 1cosx

.


trocar cossec x por 1senx

.


23r r 2

r2r

23rr

1

1

y

x

Figura 8

1.7 A Derivada da Função Seno

Agora, vamos encontrar a derivada da função f(x) = sen x.

Antes, lembre-se de que a derivada de uma função pode ser encontrada

pela expressão h 0

f(x h) f(x)f '(x) limh→

+ −= . Além disso,

[1] sen(a + b) = sen a.cos b + sen b.cos a.

[2] sen(a – b) = sen a.cos b – sen b.cos a.

[3] cos(a + b) = cos a.cos b – sen a.sen b.

[4] cos(a – b) = cos a.cos b + sen a.sen b.

Assim, temos que:

h 0 h 0 h 0

h 0 h 0 h 0

f(x h) f(x) sen(x h) senx senx cosh senh cos x senxf '(x) lim lim limh h h

senx (cosh 1) senh cos x cosh 1 senhlim senx lim cos x limh h h

senx 0 cos x 1 cos x

→ → →

→ → →

+ − + − ⋅ + ⋅ −= = =

⋅ − + ⋅ −= = ⋅ + ⋅

= ⋅ + ⋅ =

Isto é, se f(x) =senx, então f’(x) = cosx.

Uma propriedade muito útil na hora de calcularmos a derivada de uma função é a regra da função composta, popularmente conhecida como a regra da cadeia. De um modo bem simples, podemos enunciar a regra da cadeia assim: se f e g são duas funções e fog é a composta de f e g, então (f g)'(x) f '(g(x)).g'(x)= .

Aplicando a regra da cadeia na função f(x) = sen(g(x)), tem-se que:

f '(x) cos(g(x)) g'(x)= ⋅ .

Matemática II 19

Exemplos: A derivada da função 2f(x) sen(3x )= é a função 2f '(x) cos(3x ) 6x= ⋅

2f '(x) cos(3x ) 6x= ⋅ ,, e a derivada da função f(x) sen(2x )2p

= − é a função

.

1.8 A Derivada da Função Cosseno

Para encontrarmos a derivada da função cosseno, basta lembrar que cos x sen( x)

2p

= − e usar a regra da cadeia, como aprendemos acima. Assim,

se f(x) = cosx, tem-se:

f(x) cos x sen( x)2p

= = − e f '(x) cos( x).( 1) senx2p

= − − = − .

Isto é, se f(x) = cosx, então f’(x) = –senx.

Com os resultados que acabamos de encontrar e com as regras de derivação, vistas em Matemática I, podemos descobrir as derivadas das demais funções trigonométricas.

1.9 A Derivada da Função Tangente

Se f(x) = tgx, então,

Isto é, se f(x) = tgx, então, f’(x) = 2sec x .

1.10 A Derivada da Função Cotangente

Se f(x) = cotgx, então,' 2 2

22

22

cosx senx senx cosx cosx (sen x cos x)f '(x) cotgx 'senx sen x sen x

1 cossec xsen x

− ⋅ − ⋅ − + = = = =

−= = −

( )

Isto é, se f(x) = cotgx, então, f’(x) = 2cossec x− .

1.11 A Derivada da Função Secante

Se f(x) = secx, então,f' (x) (secx) ' ( cosx

1 ) cos x0.senx 1. ( cosx)

cos xsenx

cosx1 . cosx

senx2 2= = = - - = =

cos .x tgx=- .

Isto é, se f(x) = secx, então, f’(x) = secx.tgx .


1.12 A Derivada da Função Cossecante

Se f(x) = cossecx, então,

f' (x) (cossecx) ' ( senx1 ) ' cos x

0.senx 1.cosxsen xcosx

senx1 . senx

cosx

cossenx.cotgx

2 2= = = - = - = -

= -

Isto é, se f(x) = cossecx, então, f’(x) = cossecx.cotgx− .

Resumindo:

[1] se f(x) = senx, então, f’(x) = cosx.

[2] se f(x) = cosx, então, f’(x) = –senx.

[3] se f(x) = tgx, então, f’(x) = sec2x.

[4] se f(x) = cotgx, então, f’(x) = –cossec2x.

[5] se f(x) = secx, então, f’(x) = secx.tgx.

[6] se f(x) = cossecx, então, f’(x) = –cossecx.cotgx.


1. Encontre as derivadas das funções a seguir:

a) f(x) 3senxb) g(x) senx cos x

== +

2

2

i) f(x) senx.cos x

j) f(x) sen xk) f(x) sen3xl) g(x) 4cos3x 3sen4x

m) f(x) senx

=

=== −

=

a) f(x) 3senxb) g(x) senx cos x

== +

2

2

i) f(x) senx.cos x


m) f(x) senx

=

=== −

=

c) g(x) tgx cot gx= +

2

2

i) f(x) senx.cos x


m) f(x) senx

=

=== −

=d) f(x) 4sec x 2cossec xe) f(x) xcos x

= −=

2

2

i) f(x) senx.cos x


m) f(x) senx

=

=== −

=d) f(x) 4sec x 2cossec xe) f(x) xcos x

= −=

2

2

i) f(x) senx.cos x


m) f(x) senx

=

=== −

=

== +

2f) f(x) x .cos xg) f(x) x.senx cos x

2n) f(x) cos(3x 1)= +

== +

2f) f(x) x .cos xg) f(x) x.senx cos x

31o) g(x) sec 2x sec 2x

3= −

h) f(x) 3senx x.cos x= −

2. Ache uma equação da reta tangente à curva y = 4tg2x no ponto x .8p

=

Capítulo 3As Funções Trigonométricas

Inversas e suas Derivadas

Objetivos • Realizar uma revisão dos diversos conceitos e propriedades envol-

vendo as funções trigonométricas e suas derivadas, relacionando e aplicando os conceitos estudados;

• Aprender a diferenciação das funções lineares, exponenciais, inver-sas, trigonométricas, bem como os conceitos das funções seno, cos-seno, tangente, cotangente, secante e cossecante.

1. As Funções Trigonométricas Inversas e suas Derivadas

Vamos apresentar as inversas das funções seno, cosseno, tangente, cotangente, secante e cossecante. Antes de qualquer coisa, não esqueça que uma função é inversível se, e somente se, for bijetora8.

1.1 A Função Arco Seno e sua Derivada

Mas a função f(x) = sen x não é bijetora se definida no conjunto dos números reais. Veja a figura 9.

1.0

0.5

6 4 2x

y

642

0.5

1.0

Figura 9

8 Uma função é bijetora se for injetora e sobrejetora simultaneamente.

i) f é injetora quando: quaisquer dois elementos distintos do domínio estão associados a elementos distintos no contradomínio.

ii) f é sobrejetora quando: a imagem de f é igual ao seu contradomínio.


Para contornarmos esse problema, vamos restringir o domínio e o

contradomínio da função seno como segue: considere f : , [ 1,1]2 2

−p p → − ,

dada por f(x) = sen x. Veja a figura 10.y

x

1.0

0.5

1.00.5

0.5

1.0

0.51.01.5 1.5

Figura 10

Agora sim, f é bijetora, portanto, inversível, e a sua inversa é a função 1f : [ 1,1] ,

2 2− −p p − →

, dada por 1f (x) arcsenx− = . Veja o gráfico na figura 11.

y

x

1.0

0.5

1.00.50.5

1.0

0.51.0

1.5

1.5

Figura 11

Para encontrarmos a derivada da função f(x) = arcsenx9, vamos observar que: y = arcsen x ⇔ sen y = x.

Derivando implicitamente essa última expressão, em relação a x, temos:

dycos y. 1dx

= .

Lembrando que 2 2cos y sen y 1+ = , tem-se que 2 2cos y 1 sen y 1 x= − = −

2 2cos y 1 sen y 1 x= − = − , e isolando dydx

, obtemos: 2

dy 1 1dx cos y 1 x

= =−

.

Assim, se 2

1f(x) arcsenx, então f '(x)1 x

= =−

.

9 Outra notação comum para arcsen é −1sen .

Matemática II 23

E usando a regra da cadeia na função f(x) = arcsen(g(x)), tem-se que:

2

g'(x)f '(x)1 (g(x))

=−

.

Logo, a derivada da função 3f(x) arcsen(2x )= é 2 2

3 2 6

6x 6xf '(x)1 (2x ) 1 4x

= =− −2 2

3 2 6

6x 6xf '(x)1 (2x ) 1 4x

= =− −

.

1.2. A Função Arco Cosseno e sua Derivada

A função f(x) = cos x não é uma função bijetora no conjunto dos números reais, como podemos ver na figura 12.

Figura 12

No entanto, do mesmo modo que fizemos na função seno, vamos restringir o domínio e o contradomínio do cosseno, de forma que ela se torne bijetora.

Considere a função f : [0, ] [ 1,1]-"r , dada por f(x) = cos x. Veja a

figura 13 a seguir. É claro que f é bijetora, portanto, f é inversível, e sua inversa f : [ 1,1] [0, ]1 - " r- é dada por 1f (x) arccos x− = arccosx10. Veja a figura 14.

1.0

0.5

0.5

1.0

0.5 1.0x

y

1.5 2.0 2.5 3.0 x

y

1

2r

r

1

Figura 14Figura 13

10 Outra notação comum para arccos é −1cos .


Para encontrarmos a derivada da função f(x) = arccosx, vamos observar que:

y = arccos x ⇔ cos y = x.

Derivando implicitamente essa última expressão, em relação a x, temos:

dyseny. 1dx

− = .

Lembrando que 2 2cos y sen y 1+ = , tem-se que 2 2seny 1 cos y 1 x= − = −

2 2seny 1 cos y 1 x= − = − , e isolando dydx

, obtemos: 2

dy 1 1dx seny 1 x

− −= =

−.

Assim, se 2

1f(x) arccos x, então f '(x)1 x

−= =

−.

1.3 A Função Arco Tangente e sua Derivada

A função arco tangente é definida de maneira análoga ao arco

seno. Inicialmente, considere a função f : , R2 2

−p p → , dada por f(x) = tgx,

(veja a figura 15). Nessas condições, f é bijetora, e sua inversa é a função

1f : R ,2 2

− −p p → , dada por f –1 (x) = arctgx11, como podemos ver na figura 16.

y

x

2

4

6

1.5 1.0 0.52

4

6

0.5 1.0 1.5

y

x

1.0

0.5

12

0.5

1.0

1 2

Figura 15 Figura 16

Para encontrarmos a derivada da função arco tangente, observe que:

y = arctg x ⇔ tg y = x.

Derivando implicitamente essa última expressão, em relação a x, temos: 2 dysec y. 1

dx= .

11 Outra notação comum para arctg é −1tg .

Matemática II 25

Lembrando que 2 21 tg y sec y+ = , temos que:

2 2 2dy 1 1 1dx sec y 1 tg y 1 x

= = =+ +

.

Assim, se 21f(x) arctgx, então f '(x)

1 x= =

+.

1.4. A Função Arco Cotangente e sua Derivada

Vamos considerar, agora, a função arco cotangente. Como 1 cos xcotgxtgx senx

= = ,

1 cos xcotgxtgx senx

= = , então, a função f(x) = cotg x é bijetora para 0 < x < p e y ∈ R, (veja

figura 17), e a sua inversa (veja a figura 18), é a função dada por f–1(x) = arc-

cotgx12, x ∈ R e 0 < y < p.y

x

2r r

1

1

2r

r

y

x212 1

Figura 17 Figura 18

Para encontrarmos a derivada da função f(x) = arccotg x, observe que:

y = arccotg x ⇔ cotg y = x.

Derivando implicitamente essa última expressão, em relação a x, temos: 2 dycossec y. 1

dx− = .

Lembrando que 2 21 cotg y cossec y+ = , temos que:

2 2 2dy 1 1 1dx cossec y 1 cotg y 1 x

− − −= = =

+ +.

12 Outra notação comum para arccotg é −1cotg .


Assim, se 21f(x) arccotgx, então f '(x)

1 x−

= =+

.

1.5 A Função Arco Secante e sua Derivada

Temos: y = arcsec x13 ⇔ sec y = x

Para encontrarmos a derivada da função arco secante, derivamos implicitamente, em relação a x, a última expressão acima. Temos, então,

dysecy.tgy. 1dx

= .

Lembrando que 2 21 tg y sec y+ = , temos: 2 2 2tg y sec y 1 x 1= − = − e

2tgy x 1= − . Assim, 2

dy 1 1dx sec y.tgy x x 1

= =−

.

Ou seja, se 2

1f(x) arcsecx, então f '(x)x x 1

= =−

.

Aqui, estamos supondo que x ] , 1] [1, [∈ − ∞ − ∪ +∞ e y [0, [ ] , ]2 2p p

∈ ∪ p .

A explicação para essa escolha é a seguinte. Primeiro, veja, na figura 19, o

esboço do gráfico da função secante, f(x) = sec x, para y [0, [ ] , ]2 2p p

∈ ∪ p .

y

x4 2

5

42

5

Figura 19

Observe que a função secante é crescente no intervalo [0, [ ] , ]2 2p p

∪ p .

Além disso, para x [0, [ ] , ]2 2p p

∈ ∪ p , y sec x ] , 1] [1, [= ∈ − ∞ − ∪ +∞ , o que torna

a função secante bijetora neste intervalo e, portanto, inversível. A figura 20

mostra um esboço do gráfico da função arco secante.

13 Outra notação comum para arcsec é −1sec .

Matemática II 27

y

x3 2 1 1 32

3.0

2.5

2.0

1.5

1.0

0.5

Figura 20

1.6 A Função Arco Cossecante e sua Derivada

Temos: y = arccossec x14 ⇔ cossec y = x.

Para encontrarmos a derivada da função arco cossecante, derivamos,

implicitamente, em relação a x, a última expressão acima. Temos, então,

dy-cossecy.cotgy. 1dx

= .

Lembrando que 2 21 cotg y cossec y+ = , temos:

2 2 2cotg y cossec y 1 x 1= − = − e 2cotgy x 1= − . Assim,

2

dy 1 1dx cossecy.cotgy x x 1

− −= =

−.

Ou seja, se 2

1f(x) arccossecx, então f '(x)x x 1

−= =

−.

1,0 1,5 0,5 0,5 1,0 1,5

4

2

2

4

y y

x

1,51,00,5

1 23 12 30,5

1,0

1,5

Figura 21 Figura 22

14 Outra notação comum para arccossec é

−1cossec .


A figura 21 mostra o esboço do gráfico da função cossecante, e a figura 22 mostra o esboço do gráfico da função arco cossecante.

Resumindo:

[1] se 2

1f(x) arcsenx, então f '(x)1 x

= =−

.

[2] se 2

1f(x) arccos x, então f '(x)1 x

−= =

−.

[3] se 21f(x) arctgx, então f '(x)

1 x= =

+.

[4] se 21f(x) arccotgx, então f '(x)

1 x−

= =+

.

[5] se 2

1f(x) arcsecx, então f '(x)x x 1

= =−

.

[6] se 2

1f(x) arccossecx, então f '(x)x x 1

−= =

−.

Síntese do capítuloNeste capítulo, vimos o teorema do sanduíche, que afirma que se três funções f, g e h são tais que f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) e se

x a x alim f(x) lim h(x) L→ →

= = , então,

x alim g(x) L.→

= Em seguida, usamos esse teorema para provar que h 0

senhlim 1h→

= .

Depois, usamos esse resultado para demonstrar que a derivada da função seno é a função cosseno.

Encontramos as derivadas das funções cosseno, tangente, cotangente, secante e cossecante.

Vimos que as funções trigonométricas: seno, cosseno, tangente, cotangente, secante e cossecante não são bijetoras, portanto, a princípio, não são inversíveis. Mas, ao restringirmos, de modo adequado, o domínio e o contradomínio dessas funções, todas transformam-se em funções bijetoras e passam a admitir inversas. Encontramos essas inversas, que são: arco seno, arco cosseno, arco tangente, arco cotangente, arco secante e arco cossecante e, em seguida, encontramos suas respectivas derivadas.

Matemática II 29


1. Ache a derivada da função dada em cada item a seguir.

xa) f(x) arcsen2

b) f(x) arccos3xc) f(x) arctg2xd) f(x) arccossec 2x

=

===

2

e) f(x) 2arccos x1f ) f(x) arcsenx2

=

=

2g) f(x) arc sec 5x arccossec 5x

h) f(x) arccotg(2x )

= +

=

2i) f(x) arcsen 1 x1j) f(x) 2arctgx

= −

=

2 xk) f(x) arc cot g arctgx 2

= +

2l) f(x) x.arcsen2x

m) f(x) x .arccos x

=

=

2

n) f(x) arccos(senx)2x0) f(x) arctg

1 x

=

=−

2

3p) f(x) arc sec x 4

q) f(x) arccossec(2x )

= +

=

x 1r) f(x) arcsenx 1

−=

+

2i) f(x) arcsen 1 x1j) f(x) 2arctgx

= −

=xa) f(x) arcsen2


=

===

xa) f(x) arcsen2


=

===

xa) f(x) arcsen2


=

===

2l) f(x) x.arcsen2x

m) f(x) x .arccos x

=

=

2

n) f(x) arccos(senx)2x0) f(x) arctg

1 x

=

=−

2

3p) f(x) arc sec x 4

q) f(x) arccossec(2x )

= +

=2g) f(x) arc sec 5x arccossec 5x

h) f(x) arccotg(2x )

= +

=

2

e) f(x) 2arccos x1f ) f(x) arcsenx2

=

=

2. Mostre que 1arctgx arctgx 2

p+ = , para todo x > 0.

@

SitesTodos os gráficos foram feitos no software Mathematica, que pode ser acessado por meio do seguinte endereço www.wofram.com

Funções trigonométricas inversas - Wikipédia, a enciclopédia livre

pt.wikipedia.org/.../Funções_trigonométricas_inversas

Derivadas das Funções Trigonométricas Inversas

www.somatematica.com.br/superior/.../logexp11.php

Lição 8 – Funções trigonométricas e trigonométricas inversas

www.estig.ipbeja.pt/~cmmmp/matIGE/teoricas/Licao8.pdf

Site do livro Cálculo - volume 1, de George B. Thomaswww.aw.com./thomas_br

o)


Referências

ÁVILA, Geraldo. Cálculo I, Funções de uma Variável, 6ª Edição, São Paulo, LTC Editora, 1994.

LEITHOLD, Louis. O Cálculo com Geometria Analítica, 3ª Edição, São Pau-lo, Vol. 1, Editora Harbra, 1994.

THOMAS, George B. Cálculo, Vol. 1, 10ª Edição, São Paulo, Pearson, 2006.

Parte 2As Funções Exponencial

e Logarítmica

Capítulo 4Função Exponencial

Objetivos

• Estudar aplicações práticas das funções exponenciais;

• Identificar a construção e a análise do gráfico de uma função exponencial.

Neste capítulo, vamos fazer uma breve revisão de função exponencial e de função logarítmica, ambas já estudadas no Ensino Médio, No entanto, nessa breve revisão, introduziremos importantes observações sobre limites de funções, assunto que já foi visto no Curso de Matemática I.

Apresentamos, de forma simples, um dos números mais importantes da Matemática, conhecido como número de Euler, e, em seguida, enunciamos as derivadas das funções exponenciais e logarítmicas.

Ao final, o leitor deverá ser capaz de fazer aplicações simples envolvendo as funções exponenciais e logarítmicas, bem como fazer uso dos seus limites e de suas derivadas.

1. A Função Exponencial

Seja a um número real positivo e diferente de 1. A função f : →R R dada por xf(x) a= é chamada de função exponencial de base a.

Os exemplos mais simples de funções exponenciais são: xf(x) 2=

ex1f(x)

2 =

.

Estamos interessados na construção dos gráficos dessas funções. O método tradicional de se fazer isso se dá ao atribuirmos valores a x, calcularmos o y correspondente, marcarmos os pontos obtidos no plano cartesiano e, em seguida, consideramos a curva que passa por esses pontos. Nas figuras a seguir, estão representados os gráficos das funções xf(x) 2= (figura 1) e

x1f(x)2

=

(figura 2).


y

x

8

6

4

2

3 2 1 321

y

x

8

6

4

2

3 2 1 321

Figura 1 Figura 2

Observando esses gráficos, é fácil perceber que: xxlim 2→+∞

= +∞ ,

xxlim 2 0→−∞

= , x

x

1lim 02→+∞

=

e x

x

1lim2→−∞

= +∞

.

De um modo geral, podemos observar que o gráfico de toda função dada por xf(x) a= , com a > 1, comporta-se da mesma forma que o gráfico da função xf(x) 2= , esboçado na figura 1; enquanto que o gráfico de toda função da forma xf(x) a= , com 0 < a < 1, comporta-se de forma idêntica ao gráfico

da função x1f(x)

2 =

, esboçado na figura 2. Além disso, se a > 1 a função15

xf(x) a= é crescente, e, se 0 < a < 1, essa função é decrescente.

Sem muita discussão, assumimos que a função exponencial é contínua em todo o seu domínio, ou seja, se xf(x) a= e 0 < a ≠ 1, então, x k

x klim a a→

= para todo número real k.

Para refletir1. Especialistas em organização afirmaram que a função t

oN N .R= é apropriada para descrever o crescimento inicial de uma companhia em desenvolvimento rápido, onde N é o número de indivíduos de uma companhia no instante t, N0 é o número inicial de indivíduos da companhia (no instante zero), e R é a taxa de crescimento. A Organização Nacional de Pesquisas Aeroespaciais iniciou suas operações com um grupo de 5 homens. Ao fim de cada ano de operação, cada um dos empregados irá contratar 3 assistentes. Quantos empregados a Organização possuirá ao final de 5 anos de operação?

2. Encontre os limites a seguir:

2

x

x3x 2x 1

x 0

1 xx 1

x 1

1a) lim3

b) lim 2

1c) lim2

→−∞

+−

→

−−

→

2

x

x3x 2x 1

x 0

1 xx 1

x 1

1a) lim3

b) lim 2

1c) lim2

→−∞

+−

→

−−

→

2

x

x3x 2x 1

x 0

1 xx 1

x 1

1a) lim3

b) lim 2

1c) lim2

→−∞

+−

→

−−

→

x 1x 1

x 1d) lim 3

−−

→

15 Dizemos que uma função f é:i) crescente: quando ∀ x1 e x2 no domínio de f, x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2)ouii) decrescente: quando ∀ x1 e x2 no domínio de f, x1 < x2 ⇒ f(x1) > f(x2).

Matemática II 35

2. O Número de Euler

Um dos números mais importantes da Matemática é conhecido como nú-mero de Euler16 (pronuncia-se: Óiler). Esse número, representado pela letra e, primeira letra da palavra Euler, é a base do que vamos chamar de Função Exponencial Natural e de Função Logarítmica Natural, sobre as quais trata-remos a pouco.

Infelizmente, por falta de espaço, não entraremos em detalhes so-bre esse importantíssimo número. Sendo assim, considere a função

x1f(x) 1 ,x 0 e x 1.x

= + ≠ ≠ − x1f(x) 1 ,x 0 e x 1.

x = + ≠ ≠ −

Vamos atribuir alguns valores a x e, em seguida, com

a ajuda de uma calculadora, calcular o y correspondente. Temos, então, a seguinte tabela:

xx1y 1

x = +

100 2,70481382...

1.000 2,71692393...

10.000 2,71814592...

100.000 2,71826823...

1.000.000 2,71828046...

10.000.000 2,71828169...

100.000.000 2,71828181...

Observando esta tabela, percebemos, de um modo intuitivo, que, aumentando os valores de x, ou seja, fazendo x tender a mais infinito, o valor de y tende ao número 2,7182818....

Com outras palavras, podemos dizer que x

x

1lim 1 2,71828182...x→+∞

+ =

.

Sendo assim, vamos definir o número de Euler como o x

x

1lim 1x→+∞

+

e

representá-lo pela letra e, ou seja, x

x

1e lim 1 2,71828182...x→+∞

= + =

.

Queremos deixar bem claro que isto é apenas uma ideia intuitiva. Existe muito a se fazer para se ter um estudo mais completo sobre o número e, faltam muitas coisas. EEEEntre elas, a mais importante é provar que tal número realmente existe. Outra, seria provar que e é irracional, que é transcendente. Mas não é este o nosso propósito.

16 O número de Euler é uma homenagem ao matemático e físico suíço Leonhard Euler (1707-1783). Para saber mais sobre esse número, consulte pt.wikipedia.org/wiki/Número_de_Euler ou meusite.mackenzie.com.br/giselahgomes/arquivos/numero_e.pdf, ou ainda coloque, no Google, “número de Euler” e divirta-se.


É interessante observar que, na função x1f(x) 1 ,x 0 e x 1

x = + ≠ ≠ −

,

quando x tende a menos infinito f(x), ele continua se aproximando do número

e = 2,718282.... E, para ficarmos um pouco mais convencidos da existência

desse número e = 2,71..., a figura 3, a seguir, mostra o esboço do gráfico da

função x1f(x) 1 ,x 0 e x 1,

x = + ≠ ≠ −

feito no software Mathematica17.

100000 50000

2.71840

2.71835

2.71830

2.71825

2.71820

50000 100000

y

x

Figura 3

Para refletirEncontre os limites a seguir:

3x

xx

xx 2

x

1a) lim 1x

3b) lim 1x

1c) lim 1x

→+∞

→−∞

+

→−∞

+

+

+

x

x

td) lim 1x→+∞

+

17 Para saber mais sobre o software Mathematica, acesse o site www.wolfram.com

Matemática II 37

3. A Função Exponencial Natural

Agora podemos definir a função exponencial de base e. Considere a função f : →R R definida por xf(x) e= . Esta é a função exponencial natural, usada para modelar fenômenos físicos, químicos, comparar algoritmos etc. É claro que, como e > 1, então, o seu gráfico comporta-se de forma idêntica ao gráfico da função xf(x) 2 .=

De um modo geral, a função kxf(x) P.e= é um modelo para crescimento exponencial, quando k > 0, e para decrescimento exponencial, quando k < 0.

Exemplo: Suponha que a função 0,02xf(x) 35.000 25.000e−= − representa o custo anual de manutenção de computadores de uma empresa, onde x é o uso mensal médio dos computadores, em centenas de horas. Qual é o custo anual de manutenção desses computadores, para um uso mensal médio de 200 horas?

Solução: Veja que x = 2, assim0,04f(2) 35.000 25.000e 35.000 25.000x0,135 31.625−= − = − =

Resposta: R$ 31.625,00

Para refletir1. Esboce o gráfico da função |x|y e= .2. Os custos de produção (em centenas de reais) de uma companhia são descritos

pela equação 0,02xC 100 70e−= − , onde x é o número de unidades de produção.a) Quais são os custos fixos da companhia?b) Quando a produção é de 100 unidades, que porcentagem dos custos de produção

representa custo fixo?3. Se V(t) é o valor de certo equipamento t anos após sua compra, então,

0,2tV(t) B.e−= , onde B é uma constante. Se o equipamento foi comprado por R$ 8.000,00, qual será o seu valor após 2 anos?

4. Um operário típico em uma certa fábrica pode produzir f(t) unidades por dia, onde ktf(t) 50(1 e )−= − . Se um operário pode produzir 37 unidades por dia após 4 dias, quantas unidades ele poderá produzir após 7 dias?

5. Em uma certa população, se f(t) indivíduos estão presentes em t minutos , então, 0,04tf(t) B.e= , onde B é uma constante. Se 1.500 indivíduos estão presentes ini-

cialmente, quantos indivíduos existirão após 1 hora?6. O crescimento de uma certa população obedece à função f(t) = ktA.e , em que

f(t) é número de indivíduos no tempo t, dado em horas, e A e k são constantes positivas. Verificando que o número inicial de indivíduos f(0) duplica em 4 horas, quantos se pode esperar no fim de 6 horas?

7. A lei de decomposição de substância radioativa no tempo t, dado em anos, é dada por ktf(t) A.e−= , em que f(t) é a quantidade de substância no tempo t, e A e k são constantes positivas. Se a metade da quantidade inicial f(0) desaparece em 1600 anos, qual a quantidade perdida em 100 anos?


4. A Função Logarítmica

Seja a um número real positivo e diferente de 1. A função *f : + →R R dada por

af(x) log x= é chamada de função logarítmica de base a. Vale lembrar que a função logarítmica é a inversa da exponencial.

Nas figuras a seguir, estão representados os gráficos das funções

2f(x) log x= (figura 4) e 12

f(x) log x= (figura 5).

y

x2 1 1 2 3 4

2

1

1

2

y

x2 1 1 2 3 4

2

1

1

2

Figura 4 Figura 5

Observe que 2xlim log x→+∞

= +∞ , 2x 0lim log x

+→= −∞ , 1x

2

lim log x→+∞

= −∞ e

1x 0 2

lim log x+→

= +∞ .

De um modo geral, podemos observar que o gráfico de toda função logarítmica dada por af(x) log x= , com a > 1, comporta-se da mesma forma que o gráfico da função 2f(x) log x= , esboçado na figura 4, enquanto que o gráfico de toda função logarítmica dada por af(x) log x= , com 0 < a < 1, comporta-se de forma idêntica ao gráfico da função 1

2

f(x) log x= , esboçado

na figura 5. Além disso, se a > 1 a função logarítmica é crescente, e se 0 < a < 1, a função logarítmica é decrescente.

Sem muita discussão, assumiremos que a função logarítmica é contínua em todo o seu domínio, ou seja, se af(x) log x= e 0 < a ≠ 1, então,

a ax klim log x log k→

= para todo número real k > 0.

No que segue, é muito útil se você recordar algumas propriedades operatórias dos logaritmos, tais como:

1. Regra do produto: a a alog (b.c) log b log c= + .2. Regra do quociente: a a a

blog log b log cc

= −

.

3. Regra da potência: ma alog b m.log b= .

4. Mudança de base: ca

c

log blog b

log a= .

Matemática II 39

Exemplo: Chamamos de meia-vida de uma substância radioativa o tempo necessário para que se desintegre a metade da massa de um corpo formado por aquela substância. Sendo assim, considere o polônio 210, sobre o qual se sabe que o número y de átomos radioativos remanescentes após t dias em uma amostra com P átomos radioativos iniciais é dado pela expressão

0,005ty P.e−= . Agora determine a meia-vida, em dias, do polônio 210.

Solução: Temos que resolver a equação 0,005t PP.e2

− = . Assim,

0,005t 1 1e 0,005t ln 0,005t 0,693 t 1392 2

− = \ − = \ − ≅ − ⇒ ≅ .

Resposta: 139 dias.

5. A Função Logarítmica Natural

Quando a base do logaritmo for o número de Euler, o número e = 2,71..., chamaremos a função correspondente de função logarítmica natural e passaremos a representá-la por f(x) = lnx. É claro que, como e > 1, então, o seu gráfico comporta-se de forma idêntica ao gráfico da função 2f(x) log x.=

Para refletir1. Encontre os limites a seguir:

2

22x 2

x e

x 0

x 3

x 4a) lim logx 2

b) lim lnx

c) lim lnx

6x 2d) lim log4x 3

+

→

→

→

→

− −

++

2. A meia-vida de uma certa substância radioativa é 12 horas. Inicialmente, há 8 gra-mas da substância radioativa.

a) Expresse a quantidade remanescente da substância em função do tempo t.b) Em quanto tempo restará apenas 1 grama de material contendo o elemento radio-

ativo?

3. A equação para o decaimento do gás radônio 222 é 0,18ty P.e−= , sendo t expres-so em dias. Quanto tempo será necessário para que o radônio presente em uma amostra de ar (em recipiente hermético) decaia 90% de sua quantidade inicial?


6. A Derivada da Função Exponencial Natural

Nesta seção, vamos aprender a derivar as funções exponencial e logarítmica.

Para isso, vamos, inicialmente, demonstrar que h

h 0

e 1lim 1h→

−= .

Faça he 1 x− = , assim, temos que: he 1 x= + e que h = ln( 1 + x). E,

portanto, h

1h 0 x 0 x 0 x 0x

e 1 x 1 1lim lim lim lim1h ln(1 x) .ln(1 x) ln(1 x)x→ → → →

−= = =

+ + +

.

Fazendo agora 1 tx

= , temos que 1xt

= . Além disso, quando x tende a 0,

1tx

= tende ao infinito. Portanto, o limite acima pode, então, ser escrito como:

h

1 th 0 x 0 tx

e 1 1 1 1lim lim lim 1h lne1ln 1ln(1 x) t

→ → →+∞

−= = = =

++

.

Agora podemos achar a derivada da função xf(x) e= .

Lembre-se que a derivada de uma função pode ser encontrada pela

expressão h 0

f(x h) f(x)f '(x) limh→

+ −= .

Assim,x h x x h x x h h

x xh 0 h 0 h 0 h 0

e e e .e e e (e 1) e 1f '(x) lim lim lim e . lim e .h h h h

+

→ → → →

− − − −= = = = =

Acabamos de descobrir que a derivada da função exponencial natural é ela mesma. E isto é sensacional!

Portanto, não esqueça! Se xf(x) e= , então, xf '(x) e= .

Aplicando a regra da cadeia na função g(x)f(x) e= , podemos concluir que sua derivada é g(x)f '(x) e .g'(x)= .

Exemplos:

1) A derivada da função 3x 5f(x) e −= é 3x 5 3x 5f '(x) e .3 3e− −= = .

2) A derivada da função x 1x 1f(x) e

+−= é

x 1x 1

21.(x 1) (x 1).1f '(x) e .

(x 1)

+− − − +

=−

. Assim,

simplificando, obtemos,

x 1x 1

22ef '(x)

x 2x 1

+−−

=− +

.

Matemática II 41

Para refletir1. Encontre as derivadas das funções a seguir:

2

3x

x 2x

x

x x

x x

a) f(x) e

b)f(x) e

c) f(x) x.e

e ed)f(x)e e

−

−

−

=

=

=

−=

+

2. Ache dydx

por derivação implícita.

x y x y

x y

x y

y x

a)e e e

b)x.y e e

c)x.e y.e 1

d)x.e y.e x y 0

++ =

= +

+ =

+ + + =

3. Ache uma equação da reta tangente à curva xy e−= , que é perpendicular à reta 2x – y = 5.

7. A Derivada da Função Logarítmica Natural

Chegamos ao momento mais esperado desta unidade, que é a determinação da derivada da função f(x) = lnx.

Lembre-se de que y = lnx equivale a yx e= . Assim, derivando

implicitamente, e lembrando que dyf '(x)dx

= , obtemos: y dy1 e .dx

= . Mas, como

yx e= , então, dy1 x.dx

= e, finalmente, dy 1dx x

= .

Acabamos de demonstrar que: se f(x) = lnx, então, 1f '(x)x

= . E, se

usarmos a regra da cadeia na função f(x) = ln(g(x)),podemos concluir que

g'(x)f '(x)g(x)

= .

Assim, a derivada da função f(x) = ln(3x + 1) é 3f '(x)3x 1

=+

.

E se quiséssemos encontrar a derivada da função exponencial xf(x) a= xf(x) a= ?

Ou a derivada da função logarítmica af(x) log x= ?


A resposta para a segunda pergunta é mais simples que a primeira. Assim,

vamos começar por ela. É só mudar de base, e obtemos: alnxf(x) log xlna

= = .

Agora, obtemos

11xf '(x)

lna x lna= = .

Para responder a primeira pergunta, observe que xy a= equiva-le a xlny lna lny x.lna= \ = . Agora, derivando implicitamente, obtemos: 1 dy. lnay dx

= e, como xy a= , concluímos que xdy a .lnadx

= . Assim, desco-

brimos que:

1) se xf(x) a= , então, xf '(x) a .lna= .

2) se af(x) log x= , então, 1f '(x)

x lna= .


1. Encontre as derivadas das funções a seguir:

a) f(x) = ln(4 + 5x) h) xf(x)

lnx=

b) g(x) = ln(1 + 4x2) i) f(x) = 3 3lnx

c) f(x) = ln(8 – 2x) 2

2

5x

x 2x

5x 4x

23

j) f(x) 3

k) f(x) 10

l) f(x) 2 .3

m)f(x) log (2x 1)

−

=

=

=

= +

d) f(x) = ln 21 4x+ 2

2

5x

x 2x

5x 4x

23

j) f(x) 3

k) f(x) 10

l) f(x) 2 .3

m)f(x) log (2x 1)

−

=

=

=

= +e) f(x) = ln 3 24 x−

2

2

5x

x 2x

5x 4x

23

j) f(x) 3

k) f(x) 10

l) f(x) 2 .3

m)f(x) log (2x 1)

−

=

=

=

= +f) f(x) =ln(lnx)

2

2

5x

x 2x

5x 4x

23

j) f(x) 3

k) f(x) 10

l) f(x) 2 .3

m)f(x) log (2x 1)

−

=

=

=

= +

g) f(x) = x.lnx

2. Ache uma equação da reta tangente à curva y = lnx no ponto de abscissa 2.

3. Ache uma equação da reta normal à curva y = lnx que seja paralela à reta de equação x – y + 7 = 0.

Síntese do capítulo

Nesta capítulo, revisamos um pouco sobre função exponencial e definimos função exponencial de base a, 0 < a ≠ 1, como aquela função que associa a cada número real x a expressão xa . Vimos que se a > 1, a função é crescente e que, se 0 < a < 1, então, a função é decrescente. Conhecemos o número de Euler representado pela letra e, que é aproximadamente igual a 2,71. Aprendemos que a função exponencial natural é aquela que possui, como base, o número e.

Vimos que a função logarítmica é a inversa da função exponencial. Revisamos as principais propriedades dos logaritmos, tais como o logaritmo de um produto, logaritmo do quociente, o logaritmo da potência e a mudança de base. Vimos que a função logarítmica natural é aquela que possui, como base, o número e. Relembramos que a função logarítmica de base a é crescente quando a > 1 e é decrescente quando 0 < a < 1.

Mostramos que h

h 0

e 1lim 1h→

−= e usamos esse limite para mostrar que a

derivada da função exponencial natural xf(x) e= é ela mesma. Relembramos a regra da cadeia e concluímos que a derivada da função g(x)f(x) e= é

g(x)f '(x) e .g'(x)= .

Vimos também que a derivada da função logarítmica natural f(x) = lnx é o inverso de x e que a derivada da função f(x) = ln(g(x)) é o inverso de g(x) multiplicado pela derivada de g(x).

E, por último, entendemos que a derivada da função exponencial xf(x) a=

é xf '(x) a .lna= e que a derivada da função af(x) log x= é 1f '(x)x lna

= .

@

Sites

Todos os gráficos foram feitos no software Mathematica, que pode ser visto no endereço www.wofram.com

Função Exponencial - Wikipédia, a enciclopédia livre

pt.wikipedia.org/wiki/Função_exponencial

Função Exponencial

ecalculo.if.usp.br/.../exponencial/fexponencial.htm


Logaritmo - Wikipédia, a enciclopédia livre

pt.wikipedia.org/wiki/Logaritmo

Função logarítmica

www.educ.fc.ul.pt/icm/.../funcaologaritmica.htm

Site do livro Cálculo - volume 1, de George B. Thomas

www.aw.com./thomas_br

Referências




Parte 3A Antiderivada:

A integral Indefinida

Capítulo 5Antidiferenciação (Integração)

Objetivos

• Apresentar aos alunos a operação inversa da diferenciação, bem como o que significa integração;

• Instrumentalizar o aluno na compreensão dos conceitos do Cálculo Diferencial e Integral de funções reais a uma variável, objetivando re-solver atividades que envolvem a integração.

Nesta unidade, apresentamos a operação inversa da diferenciação, que é a antiderivação ou a integração. Inicialmente, definimos antiderivada de uma função e, em seguida, apresentamos as notações usadas para a antidiferen-ciação ou a integração.

Enunciamos algumas propriedades elementares de integrais decorrentes da definição. Apresentamos as integrais das principais funções elementares, e, ao final da unidade, fazemos alguns exercícios envolvendo a integração.

1. Antidiferenciação (Integração)

Uma função F(x) é chamada de antiderivada18 de uma função f(x) se F’(x) = f(x), para todo x no domínio de f.

Por exemplo, a função F(x) = x3 é uma antiderivada da função f(x) = 3x2, pois F’(x) = f(x).

Observe que as funções G(x) = x3 + 5 e H(x) = x3 – 10 também são antiderivadas da função f(x) = 3x2. Veja que uma função tem mais de uma antiderivada. De um modo geral, toda função da forma x3 + C, onde C é um número real qualquer, é uma antiderivada de 3x2.

Veja outro exemplo: a função F(x) = x2 + 5x + 2 é uma antiderivada da função f(x) = 2x + 5. E, mais uma vez, toda função da forma x2 + 5x + C, sendo

C um número real qualquer, é uma antiderivada de f(x) = 2x + 5.

18 A antiderivada é também chamada de primitiva ou de integral indefinida.


Explique o porquê de o número 2 ter “desaparecido” ao escrevermos a expressão geral das antiderivadas.

A antidiferenciação é o processo de encontrar todas as antiderivadas de uma dada função. A notação usada para representar todas as antiderivadas de uma função f(x) é simbolizada por f(x)dx∫ , que se lê: "integral indefinida de f(x) dx", e se escreve:

f(x)dx F(x) C= +∫ ,

onde F(x) é uma antiderivada de f(x), ou seja, F’(x) = f(x), e C é uma constante real qualquer.

Queremos deixar bem claro que, ao escrevermos que f(x)dx F(x) C= +∫ ,

isto equivale a dizer que F'(x)dx F(x) C= +∫ , ou seja, que a integral da derivada

de uma função é a própria função somada a uma constante real C qualquer.

Voltando aos nossos primeiros exemplos, podemos escrever:

2 33x dx x C= +∫

e

2(2x 5)dx x 5x C+ = + +∫ .

Decorre imediatamente da definição que:

n 1n xx dx C

n 1

+= +

+∫ , onde n é um número racional, n ≠ –1.

Como dissemos no começo desta unidade, a integração é o inverso da derivação. Assim, algumas regras de integração podem ser obtidas pelas regras de derivação correspondentes:

Propriedade 1: [f(x) g(x)]dx f(x)dx g(x)dx± = ±∫ ∫ ∫ .

Propriedade 2: a.f(x)dx a. f(x)dx=∫ ∫ , onde a é uma constante real qualquer.

Propriedade 3: dx x C= +∫ .

Por exemplo, a 3 2(x 5x 4x 7)dx− + +∫ pode ser calculada assim:

3 2 3 2(x 5x 4x 7)dx x dx 5 x dx 4 xdx 7 dx− + + = − + +∫ ∫ ∫ ∫ ∫

=4 3 2x x x5. 4. 7x C4 3 2

− + + + .

E, portanto,

Matemática II 49

3 2(x 5x 4x 7)dx− + +∫

4 32x 5x 2x 7x C

4 3= − + + +

.

Para refletirEncontre as integrais indefinidas a seguir:

4 3

2

2 3

3

1) (x 3x 1)dx

2) (2 2t 3t )dt

1 13) 1 dxx x

x 14) dxx

15) x dxx

− +

+ +

+ +

+

−

∫

∫

∫

∫

∫

4 3

2

2 3

3

1) (x 3x 1)dx

2) (2 2t 3t )dt

1 13) 1 dxx x

x 14) dxx

15) x dxx

− +

+ +

+ +

+

−

∫

∫

∫

∫

∫4 3

2

2 3

3

1) (x 3x 1)dx

2) (2 2t 3t )dt

1 13) 1 dxx x

x 14) dxx

15) x dxx

− +

+ +

+ +

+

−

∫

∫

∫

∫

∫

16) x(x )dxx

+∫

4 3

2

2 3

3

1) (x 3x 1)dx

2) (2 2t 3t )dt

1 13) 1 dxx x

x 14) dxx

15) x dxx

− +

+ +

+ +

+

−

∫

∫

∫

∫

∫

2

13

2x 57) dx

x

+∫

4 3

2

2 3

3

1) (x 3x 1)dx

2) (2 2t 3t )dt

1 13) 1 dxx x

x 14) dxx

15) x dxx

− +

+ +

+ +

+

−

∫

∫

∫

∫

∫2. Integrais das Principais Funções Elementares

As integrais, a seguir, são decorrências imediatas da definição e são extrema-mente importantes:

(1) senx dx cos x C= − +∫ .

(2) cos x dx senx C= +∫ .

2(3) sec x dx tgx C= +∫ .

2(4) cossec x dx cotgx C= − +∫ .

(5) sec x.tgx dx sec x C= +∫ .

(6) cossecx.cotgx dx cossecx C= − +∫ .

2

dx(7) arcsenx C1 x

= +−

∫ .

2dx(8) arctgx C

1 x= +

+∫ .

2

dx(9) arcsec x Cx x 1

= +−

∫ .

x x(10) e dx e C= +∫ .

Por que

= +∫dx ln | x | Cx

?

Porque, se f(x) = ln|x|,

então, =1f '( x )x

, para x >

0, e −

= =−

1 1f '( x )x x

, para

x < 0. Em qualquer caso,

tem-se =1f '( x )x

.


xx a(11) a dx C

lna= +∫ , se 0 < a ≠ 1

dx(12) ln | x | Cx

= +∫ .

Junto a essas integrais, que são elementares, uma grande ferramenta

que ajuda a resolver muitas integrais aparentemente difíceis é a chamada

mudança de variável19, que consiste no seguinte:

Para achar a integral 2x.dx

x 1−∫ , basta fazermos x2 – 1 = u e, em seguida,

derivar implicitamente, encontrando 2xdx = du.

Agora, substituindo os novos valores na integral 2x.dx

x 1−∫ , obtemos:

22

dux.dx du 1 du 1 12 .ln | u | C .ln | x 1| C

u 2u 2 u 2 2x 1= = = = + = − +

−∫ ∫ ∫ ∫ .


Nesta unidade, vimos a operação inversa da derivação, que chamamos de antidiferenciação ou de integração. Vimos que f(x)dx F(x) C= +∫ , onde

F’(x) = f(x), e F é a antiderivada de f. Isto é, a integral de f(x)dx é uma função F(x) tal que a derivada dessa função é a própria f.

Vimos que as integrais das principais funções elementares são decor-rências da definição de integral, já que a integração é a operação inversa da derivação, ou seja:

n 1n xx dx C

n 1

+= +

+∫ , onde n é um número racional, n ≠ –1, pois a derivada

n 1x Cn 1

++

+ é

n 1 1n(n 1)x x

n 1

+ −+=

+. Vimos que a senx dx cos x C= − +∫ , pois a

derivada da função cos x C− + é a função senx etc, vimos que dx ln | x | Cx

= +∫ ,

pois a derivada da função f(x) = ln|x| é 1x

, x ≠ 0.

Vimos a primeira técnica de integração, chamada mudança de variável, que consiste em observar que se F(x) é tal que f(x)dx F(x) C= +∫ , então,

f(g(x)) g'(x)dx F(g(x)) C⋅ = +∫ .

19 A mudança de variável é, algumas vezes, chamada de regra da cadeia para a antidiferenciação. De um modo bem simples, ela diz que: se F(x) é tal que

= +∫ f ( x )dx F( x ) C ,

então,

⋅ =

+∫ f (g( x )) g '( x )dx

F(g( x )) C

Matemática II 51


1. Nos exercícios a seguir, encontre a integral indefinida.

5

2

3 2

3 4 2

9

a) 2(2x 4) dx

1b) dx6x 1

xc) dx(x 1)

d) (t t) t 2t 1dt

e) (x 1)(x 2) dx

f ) x 1 xdx

−

+

+

+ + +

+ −

+

∫

∫

∫

∫

∫

∫

3

2 5x

2x

x

2 2x

x

x

k) e dx

1 el) dxe

m) x e dx

e dxn)1 e

−

+

+

∫

∫

∫

∫

5

2

3 2

3 4 2

9

a) 2(2x 4) dx

1b) dx6x 1

xc) dx(x 1)

d) (t t) t 2t 1dt

e) (x 1)(x 2) dx

f ) x 1 xdx

−

+

+

+ + +

+ −

+

∫

∫

∫

∫

∫

∫

3

2 5x

2x

x

2 2x

x

x

k) e dx

1 el) dxe

m) x e dx

e dxn)1 e

−

+

+

∫

∫

∫

∫

5

2

3 2

3 4 2

9

a) 2(2x 4) dx

1b) dx6x 1

xc) dx(x 1)

d) (t t) t 2t 1dt

e) (x 1)(x 2) dx

f ) x 1 xdx

−

+

+

+ + +

+ −

+

∫

∫

∫

∫

∫

∫

3

2 5x

2x

x

2 2x

x

x

k) e dx

1 el) dxe

m) x e dx

e dxn)1 e

−

+

+

∫

∫

∫

∫

5

2

3 2

3 4 2

9

a) 2(2x 4) dx

1b) dx6x 1

xc) dx(x 1)

d) (t t) t 2t 1dt

e) (x 1)(x 2) dx

f ) x 1 xdx

−

+

+

+ + +

+ −

+

∫

∫

∫

∫

∫

∫

3

2x

2 x

o) 3 dx

p) x 10 dx

∫

∫

5

2

3 2

3 4 2

9

a) 2(2x 4) dx

1b) dx6x 1

xc) dx(x 1)

d) (t t) t 2t 1dt

e) (x 1)(x 2) dx

f ) x 1 xdx

−

+

+

+ + +

+ −

+

∫

∫

∫

∫

∫

∫

3

2x

2 x

o) 3 dx

p) x 10 dx

∫

∫

5

2

3 2

3 4 2

9

a) 2(2x 4) dx

1b) dx6x 1

xc) dx(x 1)

d) (t t) t 2t 1dt

e) (x 1)(x 2) dx

f ) x 1 xdx

−

+

+

+ + +

+ −

+

∫

∫

∫

∫

∫

∫

2

3

2

x dxq)x 1

x 2r) dxx 1

lnxs) dxx

+

++

∫

∫

∫

10

2

7 2

2

g) (senx) (cos x)dx

h) (cos x)(senx)dx

i) (tgx) (sec x)dx

j) (sec x)(tgx)dx

∫

∫

∫

∫

2

3

2

x dxq)x 1

x 2r) dxx 1

lnxs) dxx

+

++

∫

∫

∫

10

2

7 2

2

g) (senx) (cos x)dx

h) (cos x)(senx)dx

i) (tgx) (sec x)dx

j) (sec x)(tgx)dx

∫

∫

∫

∫

2

3

2

x dxq)x 1

x 2r) dxx 1

lnxs) dxx

+

++

∫

∫

∫

10

2

7 2

2

g) (senx) (cos x)dx

h) (cos x)(senx)dx

i) (tgx) (sec x)dx

j) (sec x)(tgx)dx

∫

∫

∫

∫

2

2x

2x

2x 4x

3et) dx1 e

u) e (x 1)dx−

+

−

∫

∫

10

2

7 2

2

g) (senx) (cos x)dx

h) (cos x)(senx)dx

i) (tgx) (sec x)dx

j) (sec x)(tgx)dx

∫

∫

∫

∫ 2

2x

2x

2x 4x

3et) dx1 e

u) e (x 1)dx−

+

−

∫

∫

3

2 5x

2x

x

2 2x

x

x

k) e dx

1 el) dxe

m) x e dx

e dxn)1 e

−

+

+

∫

∫

∫

∫

2.Calcule a integral indefinida.

2

2

2

2

dxa) 1 4x

dxb) x 25

dxc) 9x 16

dxd) 1 16x

−

+

+

−

∫

∫

∫

∫

2

dxi) 2 5x−

∫2

2

2

2

dxa) 1 4x

dxb) x 25

dxc) 9x 16

dxd) 1 16x

−

+

+

−

∫

∫

∫

∫

2

4

2

x

2x

3dxj) x x 9

xdxk) 16 9x

dxl) x 16x 9

e dxm) 7 e

−

−

−

+

∫

∫

∫

∫

2

2

2

2

dxa) 1 4x

dxb) x 25

dxc) 9x 16

dxd) 1 16x

−

+

+

−

∫

∫

∫

∫

2

4

2

x

2x

3dxj) x x 9

xdxk) 16 9x

dxl) x 16x 9

e dxm) 7 e

−

−

−

+

∫

∫

∫

∫

d)

e)

f)


2

2

2

2

dxa) 1 4x

dxb) x 25

dxc) 9x 16

dxd) 1 16x

−

+

+

−

∫

∫

∫

∫

2

4

2

x

2x

3dxj) x x 9

xdxk) 16 9x

dxl) x 16x 9

e dxm) 7 e

−

−

−

+

∫

∫

∫

∫2

2

2

dxe) 4 (x 1)

dxf ) 9 (3 x)

dxg) 4x x 16

+ −

+ −

−

∫

∫

∫

2

4

2

x

2x

3dxj) x x 9

xdxk) 16 9x

dxl) x 16x 9

e dxm) 7 e

−

−

−

+

∫

∫

∫

∫2

2

2

dxe) 4 (x 1)

dxf ) 9 (3 x)

dxg) 4x x 16

+ −

+ −

−

∫

∫

∫

2

senxdxn) 2 cos x

dxo) (1 x) x

−

+

∫

∫

2

2

2

dxe) 4 (x 1)

dxf ) 9 (3 x)

dxg) 4x x 16

+ −

+ −

−

∫

∫

∫

2

senxdxn) 2 cos x

dxo) (1 x) x

−

+

∫

∫

4xdxh)

x 16+∫

@

Sites

Integral - Wikipédia, a enciclopédia livre

pt.wikipedia.org/wiki/Integral

Cálculo Diferencial e Integral II

http://cursos.unisanta.br/quimica/rocha.html


www.alunospgmat.ufba.br/...2/1a_uni_calc2_2006_2_1.pdf



Referências

ÁVILA, Geraldo. Cálculo I, Funções de uma Variável, 6ª Edição, São Pau-lo, LTC Editora, 1994.

LEITHOLD, Louis. O Cálculo com Geometria Analítica, 3ª Edição, São Paulo, Vol. 1, Editora Harbra, 1994.


g)

h)

i)

j)

k)

Parte 4Técnicas de Integração

Capítulo 6Integração por Partes

Objetivos

• Instrumentalizar o aluno com técnicas de integração;

• Apresentar, discutir e utilizar o Método de Integração por Partes.

Apesar da ideia simples de antiderivada de uma função, encontrar uma antiderivada não é uma tarefa simples. Você já deve ter percebido isso ao tentar fazer as atividades de avaliação da parte 3.

Neste capítulo, vamos apresentar algumas técnicas que ajudarão você a resolver esse problema. Como dissemos, não é uma tarefa simples. Mas acreditamos que, com boa vontade e determinação, você vai conseguir.

Começamos com uma técnica chamada de integração por partes. Em seguida, apresentamos integrais que envolvem produtos de potências de expressões trigonométricas, como seno, cosseno, tangente, cotangente, secante e cossecante.

Apresentamos também uma técnica de substituição por expressões tri-gonométricas, que mostra-se bastante eficaz quando, no integrando, apare-

cem expressões do tipo 2 2a x− , 2 2a x+ ou 2 2x a− , onde a > 0.

E, por fim, recomendamos aos mais interessados no assunto, já que esse material é apenas uma pequena via de acesso ao fantástico mundo do cálculo integral, que procurem ler um bom livro de cálculo. Entre os muitos que existem, recomendamos os indicados na bibliografia.

1. Integração por partes

A regra de derivação de um produto de duas funções u = u(x) e v = v(x) diz que: (u.v)' u'.v u.v '= +

Nós já sabemos que f '(x)dx f(x) C= +∫ . Sendo assim, segue que:

(u.v)'(x)dx (u.v)(x) (u'.v)(x)dx (u.v ')(x)dx= = +∫ ∫ ∫ .

Ou, de forma equivalente, num modo mais simplificado:

u.v u'.vdx u.v 'dx= +∫ ∫ .


Como u = u(x) e v = v(x), tem-se que u’dx = du e v’dx = dv, assim podemos escrever a expressão acima na forma:

u.v vdu u.dv= +∫ ∫ .

Ou ainda:

u.dv u.v vdu= −∫ ∫ .

Esta é a nossa fórmula de integração por partes, que permite encontrar a integral u.dv∫ em função da integral vdu∫ . A princípio, parece meio estranho, mas, com escolhas adequadas para u e dv, a segunda integral pode ser mais simples que a primeira.

Vamos a um exemplo: queremos achar a seguinte integral xx.e dx∫ . Veja que a integral seria imediata se não houvesse o fator x ou fator xe . Para determinar o que vai ser u e o que vai ser dv, devemos ter em mente que vamos derivar u. Logo, a derivada deve ser mais simples que o próprio u, e temos que integrar dv. Desse modo deve ser fácil integrar. Pareceu difícil? Tenha calma. Vamos lá!

Faça x = u e xe dx dv= . Veja que dx = du e xv e= . Viu? Foi fácil derivar u e foi fácil integrar dv. Essa é a ideia. Logo,

x x x x xx.e dx u.dv u.v v.du x.e e dx xe e C= = − = − = − +∫ ∫ ∫ ∫ .

Simples, não?!

Para refletirCalcule a integral indefinida.

2

3x

3 x

a) xlnx dx

b) xcosx dx

c) xe dx

d) x e dx

∫

∫

∫

∫

2

2

h) x sec x tgx dx

i) (lnx) dx

j) x sec x dx

∫

∫

∫

2

3x

3 x

a) xlnx dx

b) xcosx dx

c) xe dx

d) x e dx

∫

∫

∫

∫

2

2

h) x sec x tgx dx

i) (lnx) dx

j) x sec x dx

∫

∫

∫

2

3x

3 x

a) xlnx dx

b) xcosx dx

c) xe dx

d) x e dx

∫

∫

∫

∫

x

2

2

xek) dx(x 1)

l) x sen3x dx

m) senx ln(cosx)dx

+∫

∫

∫

2

3x

3 x

a) xlnx dx

b) xcosx dx

c) xe dx

d) x e dx

∫

∫

∫

∫

x

2

2

xek) dx(x 1)

l) x sen3x dx

m) senx ln(cosx)dx

+∫

∫

∫x

e) xcos2x dx

f ) x3 dx

g) arctgx dx

∫

∫

∫

x

2

2

xek) dx(x 1)

l) x sen3x dx

m) senx ln(cosx)dx

+∫

∫

∫x

e) xcos2x dx

f ) x3 dx

g) arctgx dx

∫

∫

∫

x

n) sen(lnx)dx

o) e cos x dx

∫

∫

x

e) xcos2x dx

f ) x3 dx

g) arctgx dx

∫

∫

∫ x

n) sen(lnx)dx

o) e cos x dx

∫

∫

2

2

h) x sec x tgx dx

i) (lnx) dx

j) x sec x dx

∫

∫

∫

Matemática II 57

2. Integração de Produtos de Potências de Seno e Cosseno

Certas funções trigonométricas podem ser integradas facilmente; outras, nem tanto. O caso das expressões do tipo

m nsen x.cos x dx∫ ,

onde m e n são inteiros não negativos.

Para isso, vamos dividir em casos, conforme os expoentes m e n sejam pares ou ímpares.

1º caso: Se, pelo menos, um dos expoentes é ímpar, então, faça u = cosx ou u = senx, o que for melhor para você, e use a relação fundamental da trigonometria para simplificar.

Veja o exemplo: achar 3 4sen x.cos x dx∫ .

Faça u = cosx. Assim, du = –senxdx, e, como 2 2sen x cos x 1+ = , temos3 4sen x.cos x dx∫ = 2 4 2 4sen x.cos x.senxdx (1 cos x).cos x.senxdx= −∫ ∫4 6(cos x cos x).senxdx= −∫

5 74 6 u u(u u )( du) C

5 7= − − = − + +∫

5 7cos x cos x C

5 7= − + + .

2º caso: Se m e n são ambos pares, então, temos que usar as relações 2 1 cos2xcos x

2+

= e 2 1 cos2xsen x2

−= .

Veja o exemplo: achar 2sen x dx∫ .

Temos que:

2 1 cos2x 1 1 1sen x dx dx (1 cos2x)dx .x .sen2x C2 2 2 4

−= = − = − +∫ ∫ ∫ .

Para refletirNos exercícios a seguir, encontre a integral indefinida.

7

3 2

5 3

6

4 2

1) cos x dx

2) sen xcos x dx

3) sen xcos x dx

4) sen x dx

5) sen xcos x dx

∫

∫

∫

∫

∫

7

3 2

5 3

6

4 2

1) cos x dx

2) sen xcos x dx

3) sen xcos x dx

4) sen x dx

5) sen xcos x dx

∫

∫

∫

∫

∫7

3 2

5 3

6

4 2

1) cos x dx

2) sen xcos x dx

3) sen xcos x dx

4) sen x dx

5) sen xcos x dx

∫

∫

∫

∫

∫

3

3

6) senx cos x dx

cos x7) dxsenx

∫

∫

7

3 2

5 3

6

4 2

1) cos x dx

2) sen xcos x dx

3) sen xcos x dx

4) sen x dx

5) sen xcos x dx

∫

∫

∫

∫

∫

3

3

6) senx cos x dx

cos x7) dxsenx

∫

∫

7

3 2

5 3

6

4 2

1) cos x dx

2) sen xcos x dx

3) sen xcos x dx

4) sen x dx

5) sen xcos x dx

∫

∫

∫

∫

∫


3. Integração de Produtos de Potências de Tangente, Cotangente, Secante e Cossecante

Antes de atacarmos as integrais nesta seção, é conveniente lembrar que:

(1) 2sec x dx tgx C= +∫ .

(2) 2cossec x dx cotgx C= − +∫ .

(3) sec x.tgx dx sec x C= +∫ .

(4) cossecx.cotgx dx cossecx C= − +∫ .

Agora, vamos lá! São vários casos a considerar:

Comecemos com tgx dx∫ .

Veja que senxtgx dx dxcos x

=∫ ∫ .

Fazendo u = cosx, obtemos du = –senxdx , e, portanto,

1senx dutgx dx dx ln | u | C ln | cos x | C ln | cos x | C ln | sec x | Ccos x u

−= = − = − + = − + = + = +∫ ∫ ∫ 1senx dutgx dx dx ln | u | C ln | cos x | C ln | cos x | C ln | sec x | Ccos x u



−= = − = − + = − + = + = +∫ ∫ ∫1senx dutgx dx dx ln | u | C ln | cos x | C ln | cos x | C ln | sec x | C

cos x u−= = − = − + = − + = + = +∫ ∫ ∫ 1senx dutgx dx dx ln | u | C ln | cos x | C ln | cos x | C ln | sec x | C



cos x u−= = − = − + = − + = + = +∫ ∫ ∫ .

Assim, tgx dx ln | sec x | C= +∫ tgx dx ln | sec x | C= +∫ .

A próxima é sec x dx∫ .

Veja que 2(secx tgx)secx sec x sec x.tgxsecx dx dx dx

secx tgx secx tgx+ +

= =+ +∫ ∫ ∫ .

Fazendo secx + tgx = u, obtemos du = (secx.tgx + sec2x)dx, e, portanto,

dusecx dx Ln | u | C Ln | sec x tgx | Cu

= = + = + +∫ ∫dusecx dx Ln | u | C Ln | sec x tgx | Cu

= = + = + +∫ ∫dusecx dx Ln | u | C Ln | sec x tgx | Cu

= = + = + +∫ ∫ .

Assim, secx dx Ln | sec x tgx | C= + +∫ C.

Agora é a vez da 2tg x dx∫ .

Veja que 2 2tg x dx (sec x 1)dx tgx x C= − = − +∫ ∫ .

Matemática II 59

Vamos, agora, para uma situação mais geral, que é ntg x dx∫ , onde n é

um inteiro positivo, e nsec x dx∫ , onde n é um inteiro positivo e par.

Nesse caso, basta observar que n n 2 2tg x dx tg x.tg x dx−=∫ ∫ e n n-2 2sec x dx sec x.sec x dx=∫ ∫ n n-2 2sec x dx sec x.sec x dx=∫ ∫ , para depois usar a relação 2 21 tg x sec x+ = .

Veja o exemplo: Achar 3tg x dx∫ .

Temos que 3 2 2tg x dx tg x.tgxdx (sec x 1).tgxdx= = −∫ ∫ ∫ =

2tgx.sec xdx tgxdx−∫ ∫

Para resolver a primeira integral, fazendo tgx = u, temos 2sec xdx du= ,

e, portanto, 2 2

2 u tg xtgx.sec xdx udu2 2

= = =∫ ∫ .

A segunda integral já é conhecida, tgxdx Ln | sec x |=∫ .

Assim, 3tg x dx∫ =2tg x2

+ Ln | sec x | C+Ln | sec x | C+ .

Outro caso interessante ocorre quando vamos resolver nsec x dx∫ , onde n é um inteiro positivo ímpar. Nesse caso, só conseguimos resolver usando integração por partes.

Veja o exemplo: Achar 3sec x dx∫ .

Faça u = secx e dv = sec2xdx, então, du = secx.tgxdx e v = tgx.

Logo,

3sec x dx sec x.tgx tgx.sec x.tgxdx= −∫ ∫ .

3 2sec x dx sec x.tgx tg x.sec xdx= −∫ ∫ .

3 2sec x dx sec x.tgx ( sec x 1).sec xdx= − −∫ ∫ .

3 3sec x dx sec x.tgx sec xdx sec xdx= − +∫ ∫ ∫ .


Como secx dx Ln | sec x tgx | C= + +∫ C, temos:32 sec x dx sec x.tgx Ln | sec x tgx | C= + + +∫ C

E finalmente,3 1 1sec x dx .sec x.tgx .Ln | sec x tgx | C

2 2= + + +∫ C

Bem, existem muitas outras situações envolvendo expressões trigono-métricas; no entanto, não é de nosso interesse aprofundar-nos tanto assim. Quem quiser saber um pouco mais sobre essas integrais, recomendamos a leitura mais minuciosa de algum dos livros de cálculo citados na bibliografia.

Para refletirCalcule a integral indefinida dada a seguir.

2

1) cotgx dx

2) cossecx dx

3) cotg x dx

∫

∫

∫

3

3 4

6

3 2

3

6

4

4) cot g x dx

5) tg x sec x dx

6) sec x dx

7) tg x sec x dx

8) tg x sec x dx

9) tg x dx

10) cot g x dx

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

2

1) cotgx dx

2) cossecx dx

3) cotg x dx

∫

∫

∫

3

3 4

6

3 2

3

6

4

4) cot g x dx

5) tg x sec x dx

6) sec x dx

7) tg x sec x dx

8) tg x sec x dx

9) tg x dx

10) cot g x dx

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

2

1) cotgx dx

2) cossecx dx

3) cotg x dx

∫

∫

∫

3

3 4

6

3 2

3

6

4

4) cot g x dx

5) tg x sec x dx

6) sec x dx

7) tg x sec x dx

8) tg x sec x dx

9) tg x dx

10) cot g x dx

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

3

3 4

6

3 2

3

6

4

4) cot g x dx

5) tg x sec x dx

6) sec x dx

7) tg x sec x dx

8) tg x sec x dx

9) tg x dx

10) cot g x dx

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

3

3 4

6

3 2

3

6

4

4) cot g x dx

5) tg x sec x dx

6) sec x dx

7) tg x sec x dx

8) tg x sec x dx

9) tg x dx

10) cot g x dx

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

3

3 4

6

3 2

3

6

4

4) cot g x dx

5) tg x sec x dx

6) sec x dx

7) tg x sec x dx

8) tg x sec x dx

9) tg x dx

10) cot g x dx

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

3

3 4

6

3 2

3

6

4

4) cot g x dx

5) tg x sec x dx

6) sec x dx

7) tg x sec x dx

8) tg x sec x dx

9) tg x dx

10) cot g x dx

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

4. Integração por Substituição Trigonométrica

Se o integrando contiver expressões do tipo 2 2a x− , 2 2a x+ ou 2 2x a− , onde a > 0, então, uma substituição trigonométrica específica pode ser útil. A

seguir, consideramos algumas regras.

(1) o integrando contém uma expressão do tipo 2 2a x− , a > 0.

Regra: faça x = a.senq.

(2) o integrando contém uma expressão do tipo 2 2a x+ , a > 0.

Regra: faça x = a. tgq.

(3) o integrando contém uma expressão do tipo 2 2x a− , a > 0.

Regra: faça x = a.secq.

Veja um exemplo: achar 2 2

dx

x 4 x−∫ .

Matemática II 61

Para resolvermos essa integral, façamos x = 2.senq. Assim, dx =

2cosqdq. A partir disso,

2 2 2 2

dx 2cos d

x 4 x 4sen 4 4sen

q q=

− q − q∫ ∫ =

22 2

2cos d 2cos d8sen .cos4sen 4(1 sen )

q q q q=

q qq − q∫ ∫ =

θd cotgθ C= θ = − +2

21 d 1 1cossec4 4 4sen

θ

θ∫ ∫ .

Ainda falta descobrir cotg q. Para isso, podemos usar um triângulo retângulo, como na figura 1, a seguir:

x 2

θ 24 x−

FIGURA 1

Figura 1

De acordo com a figura 1, podemos concluir que cotg q = 24 xcotgè

x−

= .

Sendo assim, 2 2

dx

x 4 x−∫ =2 21 4 x 4 x. C C

4 x 4x− − −

− + = + .


Como já falamos, achar integrais é mais difícil do que achar derivadas. Nesta unidade, apresentamos algumas técnicas, mas ainda falta muito. Existem outras técnicas poderosas, como frações parciais, integração numérica etc., as quais, por falta de espaço, não vamos colocá-las aqui.

Reiteramos que este livro não substitui um bom livro de cálculo. Caso haja interesse por parte do leitor, favor consultar um dos livros de cálculo indicados na bibliografia.


Nesta unidade, vimos algumas técnicas de integração, tais como:

integração por partes, que consiste em achar uma integral envolvendo um

produto de expressões em função de uma outra integral envolvendo um

produto mais simples. Isto é, u.dv u.v vdu= −∫ ∫ .

Vimos como achar integrais que envolvem potências e produtos de potências de seno, cosseno, tangente, cotangente, secante e cossecante.

No final da unidade, vimos um método de substituição usando trigonometria, para integrais que contivessem, no integrando, expressões do tipo

2 2a x− , 2 2a x+ ou 2 2x a− , onde a > 0.

Observamos ainda, que existem outras técnicas de integração e que o

leitor interessado em aprender um pouco mais, deve buscar aprofundamento em

um dos livros da bibliografia.

Atividades de avaliaçãoCalcule a integral indefinida dada a seguir.

2

11) dxx 4 x−∫

32 2

2

2 2

2

19) dx

(x 1)

110) dx4x 25

111) dx(36 x )

112) dx49 x

−

−

+

+

∫

∫

∫

∫

2

2

2

4 x2) dxx

13) dxx 9 x

−

+

∫

∫

32 2

2

2 2

2

19) dx

(x 1)

110) dx4x 25

111) dx(36 x )

112) dx49 x

−

−

+

+

∫

∫

∫

∫

2

2

2

4 x2) dxx

13) dxx 9 x

−

+

∫

∫

32 2

2

2 2

2

19) dx

(x 1)

110) dx4x 25

111) dx(36 x )

112) dx49 x

−

−

+

+

∫

∫

∫

∫2 2

2 2

3 2

14) dxx x 9

15) dxx x 25

16) dxx x 25

+

−

−

∫

∫

∫

2

2 2

3

13) x x 9dx

(4 x )14) dxx

−

+

∫

∫

2 2

2 2

3 2

14) dxx x 9

15) dxx x 25

16) dxx x 25

+

−

−

∫

∫

∫

2

2 2

3

13) x x 9dx

(4 x )14) dxx

−

+

∫

∫

2 2

2 2

3 2

14) dxx x 9

15) dxx x 25

16) dxx x 25

+

−

−

∫

∫

∫ 2

dx15)4x x+∫

2

x7) dx4 x−∫

2 3 / 2

4

2

2 3 / 2

dx16)(5 4x x )

dx17)x x 4

sec xdx18)(4 tg x)

− −

−

−

∫

∫

∫

2x8) dx

x 9+∫

2 3 / 2

4

2

2 3 / 2

dx16)(5 4x x )

dx17)x x 4

sec xdx18)(4 tg x)

− −

−

−

∫

∫

∫32 2

2

2 2

2

19) dx

(x 1)

110) dx4x 25

111) dx(36 x )

112) dx49 x

−

−

+

+

∫

∫

∫

∫

2 3 / 2

4

2

2 3 / 2

dx16)(5 4x x )

dx17)x x 4

sec xdx18)(4 tg x)

− −

−

−

∫

∫

∫

Matemática II 63

2

x

2x

dx19) x 16x 9

e dx20) 7 e

−

+

∫

∫

2

senxdx21) 2 cos x

dx22) (1 x) x

−

+

∫

∫

2

x

2x

dx19) x 16x 9

e dx20) 7 e

−

+

∫

∫

2

senxdx21) 2 cos x

dx22) (1 x) x

−

+

∫

∫

@

Sites

Calculo A - Integração por Partes - 1

www.mtm.ufsc.br/.../calculos/Acalculo/.../intpart1.html







Referências




Parte 5A Integral Definida: a Integral

de Riemann

Capítulo 9O Teorema Fundamental do

Cálculo

Objetivos

• Mostrar a importância do Teorema Fundamental do Cálculo, demons-trar e aplicar com uma linguagem simples e de fácil compreensão, práticas presentes na vida cotidiana do educando;

• Desenvolver as capacidades para organização das ideias e do racio-cínio lógico do educando, bem como suas habilidades para compre-ensão, interpretação e resolução de cálculos.

1. O Teorema Fundamental do Cálculo

O mais antigo problema de cálculo integral de que se tem notícia é o do cálculo da área de uma superfície plana limitada por curvas dadas.

No que segue, sejam y = f(x), uma função contínua num intervalo I, e suponha que o gráfi co de f, neste intervalo, seja o arco de curva, como na fi gura 1, a seguir.

Figura 1


Consideremos a e t dois pontos pertencentes ao intervalo I e representemos por A a área da superfície plana sombreada na fi gura 1. Veja que a superfície considerada está limitada pelo eixo das abscissas, pela curva y = f(x) e pelas duas retas paralelas ao eixo das ordenadas, x = a e x = t. Veja que, para cada valor de t, corresponde um, e somente um, valor para a área A; consequentemente, a área é uma certa função de t, que representaremos por F(t), isto é: A = F(t).

Podemos agora enunciar o teorema fundamental do cálculo que diz: a função F(t), defi nida como a área da fi gura 1 acima, é uma antiderivada para a função y = f(t).

Para demonstrá-lo, basta mostrarmos que F’(t) = f(t), ou seja, que

t 0

Flim f(t)t∆ →

∆=

∆.

Sendo assim, considere a fi gura 2.

y = f(x)

Figura 2

Veja que F F(t t) F(t)∆ = + ∆ − nada mais é do que a área da superfície compreendida entre o eixo dos x, a curva y = f(x) e as duas retas paralelas ao eixo dos y, x = t e x = t + ∆t.

Como f é contínua no intervalo fechado [t, t + ∆t], existem dois pontos x1 e x2 no intervalo [t, t + ∆t], tal que f(x1) é o menor possível, e f(x2) é o maior possível (vide fi gura 2).

Assim, podemos escrever: 1 2f(x ). t F f(x ). t∆ ≤ ∆ ≤ ∆ .

E, portanto, 1 2Ff(x ) f(x )t

∆≤ ≤

∆.

Agora, veja que 1t 0lim f(x ) f(t)

∆ →= e 2t 0

lim f(x ) f(t)∆ →

= . Assim, pelo teorema

do sanduíche, temos que:

Matemática II 69

t 0

Flim f(t)t∆ →

∆=

∆.

Mas t 0

FF'(t) limt∆ →

∆=

∆.

O que demonstra que F(t) é uma antiderivada de f(t).

Na unidade 3, afi rmamos que, se F(x) é uma antiderivada da função f(x),

então, F’(x) = f(x). E, em seguida, escrevemos:

f(x)dx F(x) C= +∫ ,

onde C é uma constante.

Agora, acabamos de mostrar que, se A = F(t) é a área da superfície plana compreendida entre o eixo dos x, a curva y = f(x) e as duas retas paralelas ao eixo dos y, x = a e x = t. Veja a fi gura 3. Então, F’(t) = f(t).

A = F(f)

y = f(x)

Figura 3

Sendo assim, vamos representar, daqui para frente, que

t

aF(t) f(x)dx= ∫ .

Logo, o teorema fundamental do cálculo pode ser enunciado da seguinte forma:

Seja f uma função contínua no intervalo fechado [a, b] e seja t ∈ [a, b].

Se F for a função defi nida por t

aF(t) f(x)dx= ∫ , então, F’(t) = f(t).


Para refletirCalcule as seguintes derivadas

x6

0

x

42

senx

23

da) 4 t dtdx

d 1b) dtdx t 4

d 1c) dtdx 1 t

+

+

−

∫

∫

∫

2. A Integral Definida

A área A da superfície plana limitada pelo eixo dos x, pela curva y = f(x) e pelas retas x = a e x = b é usualmente chamada de integral definida da função f(x), quando x varia de a até b, e é representada pelo símbolo:

b

af(x)dx∫ .

O teorema fundamental do cálculo permite calcular a integral definida de uma função, quando x varia de a até b, como veremos a seguir. Afirmamos que, se F(x) é uma antiderivada de f(x), então,

b

af(x)dx F(b) F(a)= −∫ .

Senão, vejamos: já sabemos, pelo teorema fundamental do cálculo

integral, que a área A = A(t) =

t

af(x)dx∫

da superfície plana limitada pelo eixo

dos x, pela curva y = f(x) e pelas retas x = a e x = t, que é uma antiderivada de

f(t), e, como F(t) é também uma antiderivada de f(t), então, elas diferem por uma constante C, isto é,

A(t) = F(t) + C.

É claro que A(a) = 0, logo C = –F(a) e, portanto, A(t) = F(t) – F(a).

Para t = b, A(b) = F(b) – F(a), mas A(b) é a área da superfície plana limitada pelo eixo dos x, pela curva y = f(x) e pelas retas x = a e x = b. Ou seja,

A(b) =

b

af(x)dx∫ = F(b) – F(a).

Matemática II 71

A diferença F(b) – F(a) é usualmente representada pelo símbolo baF(x) .

Assim, podemos escrever b

ba

af(x)dx F(x) F(b) F(a)= = −∫ ,

onde f(x) é chamada de integrando, e a e b são os limites de integração.

Como aplicação, vamos calcular

32

0x dx∫ , que equivale a encontrar

a área da região plana limitada pelo eixo dos x, pela curva y = x2 e pela reta

x = 3, como podemos ver na fi gura 4.

Figura 4

Assim, 33 3

2

0 0

xx dx 93

= =

∫ .

Não esqueça! Se y = f(x) é uma função contínua num certo intervalo que contém os pontos a e t, a < t, então, a área da região limitada pelo eixo

dos x, pela curva y = f(x) e pelas retas x = a e x = t é dada por A =t

af(x)dx∫ .

Agora, suponha que o intervalo [a, t] foi dividido em n subintervalos20, cada um deles de comprimento igual a ∆x, e considere os retângulos, representados na fi gura 5, cujas bases são os subintervalos de comprimento ∆x e cujas alturas são ordenadas correspondentes a pontos da curva

y = f(x).

20 Os subintervalos não precisam ter o mesmo comprimento ∆x.


y = f(x)

Figura 5

Veja que a soma das áreas desses retângulos é aproximadamente igual a A, e a aproximação vai fi cando cada vez melhor quanto maior for o número de divisões do intervalo [a, t]. Representando por iA∆ a área do i – ésimo retângulo, pode-se escrever, então, que:

n

iA A=

≅ ∆∑i 1=

.

Lembrando que i iA f(x ). x∆ = ∆ , onde xi é um ponto pertencente ao i-ésimo subintervalo, então:

n

ii 1

A f(x ). x=

≅ ∆∑n

=∑i 1=

n

ii 1

A f(x ). x=

≅ ∆∑ .

Quanto maior for n, mais aproximada da área A será a soma das áreas dos retângulos considerados. Podemos, pois, escrever:

n

ini 1

A lim f(x ). x→+∞

=

= ∆∑n

=∑i 1=

.

Ou seja, como A = t

af(x)dx∫ , então:

t

af(x)dx∫ =

n

ini 1

lim f(x ). x→+∞

=

∆∑ .

Veja que essa expressão mostra que a nossa integral defi nida pode ser considerada como limite de uma soma.

Matemática II 73

Essa integral é chamada de integral de Riemann21, e a soma correspondente, soma de Riemann.

Exemplo

Calcule a soma de Riemann para f(x) = x2 no intervalo [0, 3] usando 5 subintervalos de igual comprimento, onde xi é o ponto final no i-ésimo subintervalo.

Veja que, como os subintervalos são de mesmo comprimento, então,

b a 3 0 3xn 5 5− −

∆ = = = .

A soma de Riemann para os 5 subintervalos é:

5

5 i 1 2 3 4 5i 1

S f(x ) x f(x ). x f(x ). x f(x ). x f(x ). x f(x ). x=

= ∆ = ∆ + ∆ + ∆ + ∆ + ∆∑5 1 2 3 4 5S f(x ) f(x ) f(x ) f(x ) f(x ) . x= + + + + ∆

53 6 9 12 15S f( ) f( ) f( ) f( ) f( ) . x5 5 5 5 5

= + + + + ∆

59 36 81 144 225 3S .25 25 25 25 25 5

= + + + +

5495 3S .25 5

=

5297S25

=

5S 11,88=

Compare este resultado com o que obtemos ao calcular 3

2

0x dx∫ .

2.1 Propriedades das Integrais Definidas

A seguir, listamos as propriedades mais comuns das integrais definidas.

[1] a

af(x)dx 0=∫ .

[2] b a

a bf(x)dx f(x)dx= −∫ ∫ .

[3] b

ac.dx c(b a)= −∫ , onde c é uma constante qualquer.

21 Bernhard Riemann (1826 – 1866), matemático alemão. Para saber mais sobre a soma de Riemann, consulte um dos livros indicados na bibliografia.


[4] b b

a ac.f(x)dx c. f(x)dx=∫ ∫ , onde c é uma constante.

[5] b b b

a a a[f(x) g(x)]dx f(x)dx g(x)dx+ = +∫ ∫ ∫ .

[6] b b b

a a a[f(x) g(x)]dx f(x)dx g(x)dx− = −∫ ∫ ∫ .

[7] Se f(x) ≥ 0 para todo x em [a, b], então, b

af(x)dx 0≥∫ .

[8] Se f(x) ≤ 0 para todo x em [a, b], então, b

af(x)dx 0≤∫ .

[9] Se f(x) ≥ g(x) para todo x em [a, b], então, b b

a af(x)dx g(x)dx≥∫ ∫ .

[10] Se c ∈ [a, b], então, b c b

a a cf(x)dx f(x)dx f(x)dx= +∫ ∫ ∫ .

[11] (Teorema do valor médio para integrais).

Se a função f for contínua no intervalo fechado [a, b], existe um número

c em ]a, b[, tal que b

af(x)dx f(c).(b a)= −∫ . O valor de f(c) é chamado de valor

médio da função f(x) sobre o intervalo [a, b], e b

a

1f(c) f(x)dxb a

=− ∫ .

Matemática II 75

Exemplos

1. Para calcular 6

23dx∫ , podemos observar que

6

23dx 3.(6 2) 12= − =∫ .

2. Sabendo que 3

2

0x dx 9=∫ , calcule

32

04x dx−∫ .

Veja que 3 3

2 2

0 04x dx 4 x dx 4.9 36− = − = − = −∫ ∫ .

3. Sabendo que 6

2

3(x 2)dx 57− =∫ , encontre todos os valores que satisfazem

o teorema do valor médio para a função f(x) = x2 – 2 sobre o intervalo

fechado [3, 6].

Pelo teorema do valor médio, b

a

1f(c) f(x)dxb a

=− ∫ , para algum c em ]a, b[.

Assim, 6

2

3

1 1f(c) (x 2)dx .57 196 3 3

= − = =− ∫ .

Mas f(x) = x2 – 2. Logo, f(c) = c2 – 2 = 19 e 2c 21 c 21 4,58= \ = ± = ± .

Assim, c = 4,58.

4. Calcule 4

1x dx∫ .

Temos que: 4 4 41 3 3114 4 2 2 2 3 32

1 11 1 1

x x 2x 2 14x dx x dx ( 4 1 )1 3 3 3 312 2

+

= = = = = − = +

∫ ∫ .

5. Calcule 2

2 31

x dx(x 2)+∫ .

Usando o método da substituição com u = x2 + 2, tem-se que du = 2x dx.

Os limites de integração devem ser convertidos de x para os novos valores correspondentes. Assim, quando x = 1, u = 3 e quando x = 2, u = 6. Portanto,

22 Todas as regras usadas para encontrar as integrais indefinidas são válidas para a resolução das integrais definidas.


2 2 6 63

2 3 2 3 31 1 2 2

x dx 1 2x dx 1 du 1 u du2 2 2(x 2) (x 2) u

−= = =+ +∫ ∫ ∫ ∫

62

2

1 u 1 1 1 1.2 2 4 36 4 18

− = = − − = −

.

6. Calcule

32 cos x senx 1dxp

p+∫ .

Usando o método da substituição com u = senx + 1, tem-se que du =

cosx dx.

Para x , u 1= p = e para 3x , u 02p

= = . Portanto,

133 10 1 22 21 0

0

u 2cos x senx 1dx u du u du 3 32

p

p

+ = = − = − = −

∫ ∫ ∫ .

7. Calcule 2

3

x.senx dxp

p∫ .

Veja que esta integral só pode ser resolvida usando-se integração por partes. Sendo assim, fazendo u = x e dv = senx dx, tem-se, respectivamente, du = dx e v = –cosx.

Assim,

x.senx dx x.cos x cos x dx x.cos x senx= − − − = − +∫ ∫ .

Logo,

2

3

x.senx dxp

p∫ =

2

3

( x.cos x senx) ( .cos sen ) ( .cos sen )2 2 2 3 3 3

p

pp p p p p p

− + = − + − − +

2

3

x.senx dxp

p∫ = 316 2p

+ − .

Matemática II 77

Veja que, no método de integração por partes, não é necessário mudar os limites de integração.

8. Calcule 2 4

4

cotg x dxp

p∫ .

Veja que:

2 2 24 2 2 2 2

4 4 4

cotg x dx cotg x.cotg x dx cotg x.(cossec x 1)dxp p p

p p p= = −∫ ∫ ∫

= 2 2 2 2

4

(cotg x.cossec x cotg x)dxp

p−∫

2 22 2 2

4 4

cotg x.cossec x dx cotg x dxp p

p p= −∫ ∫

2 22 2 2

4 4

cotg x.cossec x dx (cossec x 1)dxp p

p p= − −∫ ∫ .

Para a primeira integral, fazendo u = cotgx, tem-se 2cossec x dx du− = .

Quando x , u 14p

= = , e quando x , u 02p

= = . Portanto,

2 4

4

cotg x dxp

p∫0

2

1u du= −∫ + 2

4

(cotgx x)p

p+

=03

1

u3

−

+(cotg ) (cotg )

2 2 4 4p p p p

+ − +

= 1 2+ 13 2 4 4 3

p p p− − = − .

9. Calcule 3

23

dxx 9− +∫ .

Para esta integral, fazendo x = 3tgq, tem-se que dx = 3sec2qdq.


Quando x = –3, 4

−pq = ,

e quando x = 3,

4p

q = . Assim,

3

23

dxx 9− +∫ =

∫ ∫ ∫

2 24 4 42 2

4 4 4

3sec θd 3sec θd 1 d39tg 9 9secθ

π π π

−π −π −π

θ θ= = θ

θ +

4

4

1( )3 3 4 4 6

π

−π

θ π π π= = + =.

10. Calcule 5

23

2x dxx 5−∫ .

Fazendo 2x 5 u− = , tem-se que 2xdx = du. Para x = 3, u =4, e para x = 5,

u = 20.

Assim,

5 202042

3 4

2x dx du Ln | u | Ln20 Ln4 Ln5ux 5

= = = − =−∫ ∫ .


Neste capítulo, vimos algumas técnicas de integração, tais como integração por partes, que consiste em achar uma integral envolvendo um produto de expressões em função de uma outra integral e envolvendo um produto mais simples. Isto é, u.dv u.v vdu= −∫ ∫ .

Vimos como achar integrais que envolvem potências e produtos de potências de seno, cosseno, tangente, cotangente, secante e cossecante.

No final da unidade, vimos um método de substituição usando trigonometria, para integrais que contivessem, no integrando, expressões do

tipo 2 2a x− , 2 2a x+ ou 2 2x a− , onde a > 0.

Observamos ainda, que existem outras técnicas de integração e que o leitor interessado em aprender um pouco mais, deve buscar aprofundamento em um dos livros da bibliografia.

Matemática II 79

Atividades de avaliaçãoCalcule as integrais definidas a seguir:

42

15

3

32 2

21

1) (x 6x 3)dx

2) (x 4x)dx

x 13) dxx

−

+ +

−

+

∫∫∫

2 3

204

2 3 / 20

x dx13)16 x

dx14)(16 x )

−

+

∫∫

42

15

3

32 2

21

1) (x 6x 3)dx

2) (x 4x)dx

x 13) dxx

−

+ +

−

+

∫∫∫

2 3

204

2 3 / 20

x dx13)16 x

dx14)(16 x )

−

+

∫∫

42

15

3

32 2

21

1) (x 6x 3)dx

2) (x 4x)dx

x 13) dxx

−

+ +

−

+

∫∫∫

6

243

4 21

dx15)x x 4

dx16)x x 3

−

+

∫∫4

15

2

0

4) x(2 x)dx

5) x x 1dx

+

+

∫∫

6

243

4 21

dx15)x x 4

dx16)x x 3

−

+

∫∫4

15

2

0

4) x(2 x)dx

5) x x 1dx

+

+

∫∫

52 2

08

2 3 / 24

17) x 25 x dx

dx18)(x 4)

−

−

∫∫3

21

5

24

dx6)(x 2)

x7) dx4 x

− +

−

∫∫

52 2

08

2 3 / 24

17) x 25 x dx

dx18)(x 4)

−

−

∫∫3

21

5

24

dx6)(x 2)

x7) dx4 x

− +

−

∫∫

2

1

4 3x

0

19) ln(x 2)dx

20) e .sen4x dx

−p

+∫

∫3

1

2x 18) dxx 1

++∫

2

1

4 3x

0

19) ln(x 2)dx

20) e .sen4x dx

−p

+∫

∫4

23 x x

0

lnx9) dxx

e e10) dx2

−+

∫∫

1

04

2

21) x.arcsenx dx

22) arcsec x dx

∫∫

4

23 x x

0

lnx9) dxx

e e10) dx2

−+

∫∫

1

04

2

21) x.arcsenx dx

22) arcsec x dx

∫∫

224 x

01

2x 2

0

11) xe dx

12) (e 1) dx

−

+

∫∫

12 3

16

23) tg (4x)dxp

p∫224 x

01

2x 2

0

11) xe dx

12) (e 1) dx

−

+

∫∫


@

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Referências




Parte 6Aplicações da Integral Definida

Capítulo 8Áreas

Objetivos

• Apresentar a noção de Integral Definida, a partir do cálculo da varia-ção total, por meio de soma de variações acumuladas;

• Aprender a calcular áreas entre curvas, utilizando o conceito de Inte-gral Definida, apresentando suas propriedades.

A integral definida de uma função possui inúmeras aplicações na Geometria, na Estatística, na Física, na Engenharia, na Economia, na Computação etc.

Nesta unidade, vamos mostrar algumas dessas aplicações. A primeira aplicação será no cálculo de áreas de regiões limitadas por curvas. Em seguida, calcularemos volumes de sólidos, por fatiamento e volumes de sólidos de revolução. No final, vamos calcular o comprimento de arco de curvas.

1. Áreas

A área de uma região limitada pelo gráfico de uma função y = f(x), pelo eixo dos x, e por duas retas verticais, x = a e x = b, pode ser determinada diretamente pelo cálculo da integral definida.

[1] Se f(x) ≥ 0 no intervalo [a, b], então, a área A = b

af(x)dx∫ . (Figura 1)

[2] Se f(x) ≤ 0 no intervalo [a, b], então, a área A = b b

a af(x)dx f(x)dx= −∫ ∫ .

(Figura 2)


Figura 1 Figura 2

Exemplos

1. Ache a área da região limitada pela curva y = x2, pelo eixo dos x, e pelas

retas x = –2 e x = 3.

Inicialmente, veja, na fi gura 3, o gráfi co dessa função com a região pedida.

x321

y

8

6

4

2 1

2

Figura 3

Se A é área pedida, então, A = 333 2

22

x 8 35x dx 93 3 3−

−

= = + =

∫ .

2. Ache a área da região limitada pela curva y = x2 – 4x e pelo eixo dos x.

A fi gura 4 ilustra a região pedida.

Matemática II 85

y

x

2

4

4

Figura 4

Veja que, neste caso, já está subentendido que os limites de integração

são x = 0 e x = 4.

E, como f(x) ≤ 0 no intervalo [0, 4], temos:

A =434 2

00

x 64 40(4x x )dx ( 2x ) 83 3 3

− − = − + = − =

∫ .

3. Ache a área da região limitada pela curva y = x3 + x2 – 6x e pelo eixo dos x.

Este gráfico é um pouquinho mais difícil de esboçar. A figura 5 mostra um esboço do gráfico desta função.

4 3 2 1

8

4

1 2 3

Figura 5

Veja que f(x) ≥ 0 no intervalo [–3, 0], e f(x) ≤ 0 no intervalo [0, 2]. Assim,

A = 0 23 2 3 23 0(x x 6x)dx (x x 6x)dx

−+ − − + −∫ ∫

A = 0 24 3 4 3

2 2

3 0

x x x x( 3x ) ( 3x )4 3 4 3

−

+ − − + −


A = 81 8( 9 27) (4 12)4 3

− − − − + −

A = 81 836 84 3

− + −

A = 25312

2. Área Limitada por duas Curvas

Consideremos duas funções f(x) e g(x) contínuas no intervalo fechado [a, b], tais que f(x) ≥ g(x) no intervalo [a, b]. Veja a figura 6.

a b x

y fxr

ry gx

Figura 6

A área A da região entre os gráficos de f(x) e g(x) e as retas x = a e x = b é

A = b

a[f(x) g(x)]dx−∫ .

Exemplo: Ache a área da região limitada pelas curvas f(x) = 4x – x2 e g(x) = x2.

A figura 7 mostra a região procurada.

yg

f

1 2 3x

1

4

Figura 7

Os pontos de interseção das duas curvas são (0, 0) e (2, 4). Portanto, se A é a área procurada, temos que:

Matemática II 87

A = 2

0[f(x) g(x)]dx−∫

A = 232 22 2 2 2

0 00

2x[4x x x ]dx [4x 2x ]dx (2x )3

− − = − = −

∫ ∫

A = 16 883 3

− =


1. Ache a área da região limitada pelas curvas e pelas retas dadas em cada item a seguir:

a) y = 4 – x2 ; eixo x

b) y = x2 – 2x + 3; eixo x; x = –2; x = 1

c) y = x 1+ ; eixo x; eixo y; x = 8

d) y = senx; eixo x; x3p

= ; 2x3p

=

e) y = x ; y = x3

f) x = y2 – 2; x = y – y2

2. Ache a área da região limitada pelas curvas y = x2, x = y3, e pela reta x + y = 2.

3. Ache a área da região limitada pela curva 2yx 3

=−

, pelo eixo dos x e pelas retas x = 4 e x = 5.

4. Ache a área da região limitada pela curva xy e= , pelos eixos coordenados e pela reta x = 2.

5. Ache a área da região limitada pelas curvas xy 2= e xy 2−= , e pela reta x = 2.

6. Ache a área da região, no primeiro quadrante, limitada pela curva 21y

1 x=

+,

pelo eixo dos x, pelo eixo dos y e pela reta x = 1.

7. Ache a área da região limitada pela curva y = lnx, pelo eixo dos x e pela reta 2x e= .

8. Ache a área da região limitada pela curva 2y sen x= , pelo eixo dos x e pelas retas x = 0 e x = p.

9. Mostre, usando integral, que a área do círculo delimitado pela curva 2 2 2x y r+ = , onde r > 0 e 2A r= p .

10. Mostre, usando integral, que a área da elipse delimitada pela curva 2 2

2 2x y 1a b

+ = , onde a e b são números reais positivos, e A ab= p .

Capítulo 9Volumes de Sólidos por Cortes

(Fatiamento de Sólidos)

Objetivos

• Determinar o volume de um sólido usando fatiamento;

• Apresentar comparações com expressões de volume de alguns sólidos.

1. Volumes de Sólidos por Cortes (Fatiamento de Sólidos)

A integral definida pode ser usada para achar o volume de um sólido com cortes (fatiamentos) específicos sobre um intervalo, desde que conheçamos uma fórmula para a área da região determinada por cada corte. Esses cortes (fatiamentos) são também chamados de seções transversais.

Suponha que queremos determinar o volume de um sólido e que os cortes obtidos são perpendiculares ao eixo dos x, como o da figura 8.

A(x)

x

Figura 8

Se a área de cada seção, representada por A(x), for uma função contínua para cada x no intervalo [a, b], então, o volume V desse sólido é

b

aV A(x)dx= ∫ .

Se as seções transversais são perpendiculares ao eixo dos y, então, suas áreas serão funções de y, representadas por A(y). Neste caso, o volume V do sólido sobre [a, b] é

b

aV A(y)dy= ∫ .


Método resumido

[1] Esboce uma seção transversal qualquer.

[2] Encontre uma fórmula para A(x) ou A(y), conforme o caso.

[3] Encontre os limites, os intervalos, de integração.

[4] Use a fórmula b

aV A(x)dx= ∫ ou

b

aV A(y)dy= ∫ , conforme o caso.

Exemplo 1: Ache o volume do sólido cuja base é a região delimitada pelo círculo 2 2x y 9+ = , sabendo que as seções planas tomadas per-pendiculares ao eixo dos y são quadrados.

Como as seções planas são quadrados perpendiculares ao eixo dos y, a área de cada seção deverá ser expressa em função de y. Além disso, as medidas dos lados do quadrado são determinadas por dois pontos sobre o círculo 2 2x y 9+ = . Veja as fi guras 9 e 10.

Figura 9 – Base Figura 10 - Seção Transversal

A área A de uma seção quadrada arbitrária é A = L2 , onde L = 22 9 y− .

Assim,

3 3 23 3

V A(y)dy 4(9 y )dy− −

= = −∫ ∫33

3

yV 4(9y )3

−

= −

V 4[(27 9) ( 27 9)] 4[18 18]= − − − + = +

V 144=

Exemplo 2: Uma pirâmide com 3 metros de altura tem base quadrada com 3 metros de lado. A seção transversal da pirâmide, perpendicular à altura x metros abaixo do vértice, é um quadrado com x metros de lado. Determine o volume da pirâmide.

Matemática II 91

A fi gura 11 mostra um esboço do sólido com uma seção transversal

qualquer.

Figura 11

É claro que a área desta seção é A(x) = x2, e os limites de integração variam de

x = 0 até x = 3. Assim, o volume V desta pirâmide é dado por

333 3 20 0

0

xV A(x)dx x dx 93

= = = =

∫ ∫ .

O leitor familiarizado com a geometria espacial, assunto abordado no Ensino Médio, deve estar lembrando que o volume de uma pirâmide é dado

pela fórmula b1V A .h3

= , onde Ab é a área da base, e h é altura da pirâmide.

Portanto, 1V .9.3 93

= = .

2. Volume de um Sólido de Revolução

As integrais defi nidas também podem ser usadas para achar o volume de um sólido obtido a partir da revolução (rotação de 360º) de uma região plana em torno de uma reta horizontal ou vertical desse plano, chamada eixo de revolução. Em princípio, esse eixo pode ou não passar pelo interior da região plana. Vamos estudar o caso em que o eixo não passa pelo interior da região a ser rotacionada (girada).

Por exemplo, se a região limitada por um semicírculo e seu diâmetro, fi gura 11, for rotacionada em torno desse diâmetro, encontramos uma esfera, fi gura 12.


Figura 12 Figura 13

Vamos usar as fórmulas que acabamos de encontrar para determinarmos o volume de tais sólidos.

3. Método do Disco Circular

Se o eixo de revolução é a fronteira da região plana, e as seções transversais são tomadas perpendiculares ao eixo de revolução, então, vamos usar o método chamado de disco circular para achar o volume do sólido obtido.

Para ficar mais claro o que vamos fazer, veja o que acontece com um retângulo, quando ele gira em torno de um dos seus lados. Figuras 14, 15 e 16.

Figura 14 Figura 15 Figura 16

Veja que vamos obter um cilindro, e as seções transversais são círculos. Se o retângulo rotacionado possuir base h e altura r, então, cada círculo possui raio r, e sua área é A = 2rp . Portanto, o volume do sólido (cilindro) obtido após a revolução é

2V r h= p .Esta fórmula é usada para se calcular o volume de um cilindro de raio r

e de altura h, já estudados no Ensino Médio.

Matemática II 93

Sendo assim, considere a função y = f(x) contínua no intervalo fechado [a, b] e suponha que f(x) ≥ 0 para todo x ∈ [a, b]. Seja R a região do plano limitada pelo gráfico de f, pelo eixo dos x e pelas retas x = a e x = b, veja a figura 17.

y = f(x)

Figura 17

Queremos que essa região gire em torno do eixo dos x. Veja a figura 18.

y = f(x)

Figura 18

Como as seções transversais do sólido obtido são círculos com área 2rp e como as seções são perpendiculares ao eixo dos x, então, a área dessa

seção pode ser expressa como uma função de x. Observe que o raio da seção da figura 18, para cada x, é f(x). Assim, se V é o volume desse sólido, então,

b b b2 2a a a

V A(x)dx [f(x)] dx [f(x)] dx= = p = p∫ ∫ ∫ .

Exemplo 1: Ache o volume do sólido gerado ao girar a região limitada pela curva y = x2, pelo eixo dos x e pelas retas x = –2 e x = 3, em torno do eixo dos x.


A figura 19 mostra a região que vai ser rotacionada.

3 2

y

1x

2 3

Figura 19

b 3 32 2 2 4a 2 2

V [f(x)] dx (x ) dx x dx− −

= p = p = p∫ ∫ ∫353 4

22

x 243 32V x dx ( )5 5 5−

−

= p = p = p +

∫

V 55= p

Exemplo 2: Ache o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo dos x, da região delimitada pela curva y x= , pelo eixo dos x e pelas retas x = 0 e x = 4.

A figura 20 mostra a figura que vai ser rotacionada.

2

4

y

x

Figura 20

Matemática II 95

b 4 42 2a 0 0

V [f(x)] dx ( x ) dx x dx= p = p = p∫ ∫ ∫42

0

xV 82

= p = p

4. Método do Anel Circular (Arruela Circular)

Se o eixo de revolução não é a fronteira da região plana, e as seções planas são tomadas perpendiculares ao eixo de revolução, então, vamos usar o método chamado de anel circular ou de arruela circular.

Para ficar mais claro, veja o que acontece quando giramos um retângulo em torno de uma reta paralela a um de seus lados. Figuras 21, 22 e 23.


O que vemos, na figura 23, é um cilindro circular reto com um “buraco” no centro, que nada mais é que um outro cilindro com o mesmo eixo de revolução do primeiro. Isto é, temos um cilindro externo e um cilindro interno, ambos com o mesmo eixo de revolução. Vamos chamar esse tipo de sólido de anel ou de arruela circular.

Se o cilindro externo possuir raio R e o cilindro interno possuir raio r, e ambos tiverem altura h, então, a área de qualquer seção transversal será A = 2 2R rp − p , e o volume do sólido obtido será

V = A.h = 2 2( R r )hp − p .

Agora, considere duas funções contínuas y = f(x) e y = g(x) no intervalo [a, b], onde f(x) ≥ g(x) para todo x no intervalo [a, b]. Feito isso, rotacione a região da figura 24 em torno do eixo dos x. Veja a figura 25.


Figura 24 Figura 25

Cada fatia (seção transversal) é uma coroa circular, como na figura 23. O detalhe importante é que o raio R do circulo externo é f(x), e o raio r do círculo interno é g(x). Assim, a área A dessa seção é uma função de x e pode ser expressa por

A(x) = 2 2[f(x)] [g(x)]p − p .

Logo, o volume do sólido obtido é dado por

V = b b b2 2 2 2a a a

A(x)dx ([f(x)] [g(x)] )dx ([f(x)] [g(x)] )dx= = p − = p −∫ ∫ ∫ .

Método resumido

[1] Esboce a região a ser rotacionada e desenhe um segmento de reta que atravesse a região perpendicularmente ao eixo de revolução. Esse segmento vai formar a arruela obtida após a rotação da região.


[3] Encontre os raios externo e interno da arruela gerada.

[4] Encontre uma fórmula para A(x).


aV A(x)dx= ∫ .

Exemplo 1: Encontre o volume do sólido gerado pela revolução da região limitada pelos gráficos das funções y = x2 + 2 e y = x + 4 em torno do eixo dos x.

Matemática II 97

A figura 26 mostra a região que vamos rotacionar.

x

y

7

6

4

2 2 311 1

Figura 26

Inicialmente, devemos encontrar os pontos de interseção. Para isso, basta resolver o sistema formado pelas equações y = x2 + 2 e y = x + 4. Resolvendo esse sistema, encontramos os pontos (–1, 3) e (2, 6). Assim, o volume V é:

V =b 22 2 2 2 2a 1

([f(x)] [g(x)] )dx [(x 4) (x 2) ]dx−

p − = p + − +∫ ∫

V = 2 2 4 21[(x 8x 16) (x 4x 4)]dx

−p + + − + +∫

V =

252 2 4 2 31

1

x(12 8x 3x x )dx (12x 4x x )5−

−

p + − − = p + − −

∫

V = 128 34 162( )

5 5 5p

p + =

Exemplo 2: Encontre o volume do sólido obtido pela rotação, em torno da reta y = –1, da região delimitada pela função y x= , pelo eixo dos x e pelas retas x = 0 e x = 4.

A figura 27 mostra a região que vai ser rotacionada em torno da reta y = –1.

Esta questão é mais interessante do que as outras, uma vez que o eixo de revolução não é fronteira da região a ser rotacionada.


2

14

R

r

x

y

Figura 27

Vamos resolver como se o eixo dos x tivesse sido transladado para a

posição da reta y = –1 e como se f(x) = x e g(x) = 0. Para isso, usamos o

raciocínio anterior, da arruela circular.

Veja que o raio externo R = f(x) + 1 = x 1+ e que o raio interno r = g(x) +

1 = 1. Assim, o volume do sólido procurado é

V = 4 42 20 0

( x 1) 1 )dx [(x 2 x 1) 1]dxp + − = p + + −∫ ∫

V=

442 3 / 2 2

3

00

x x x 4( 2 ( x )32 2 32

= p + = p +

V = 4 56(8 .8)3 3

p= p + =

Exemplo 3: Encontre o volume do sólido gerado pela rotação, em torno da reta x = –4, da região limitada pelas parábolas x = y – y2 e x = y2 – 3.

A questão acima é um pouquinho mais difícil. Veja que as curvas

intersectam-se nos pontos de coordenadas (–2, –1) e 3 3,4 2

−

. A figura 28

mostra um esboço da região que vai ser rotacionada.

Matemática II 99

y

x

f(x)

1

4 3 2

g(y)

2

34

34

Figura 28

Seja f(y) = y – y2 e g(y) = y2 – 3. Agora, veja que o raio externo R = f(y) + 4 e o raio interno r = g(y), + 4, e que estamos girando em torno de uma reta paralela ao eixo dos y logo, devemos integrar no dy.

Assim, o volume V do sólido será

V = 3

2 2 2 221[(y y 4) (y 3 4) ]dy

−p − + − − +∫

V = 3 3

2 2 2 2 22 21 1[(y y 4 y 3 4)(y y 4 y 3 4)dy [(y 2y 3)(y 5)dy

− −p − + − + − − + + − + = p − + +∫ ∫

3 32 2 2 2 22 2

1 1[(y y 4 y 3 4)(y y 4 y 3 4)dy [(y 2y 3)(y 5)dy

− −p − + − + − − + + − + = p − + +∫ ∫

V =

3322 3 2 3 42

1 1

1(15 8y 9y 2y )dy (15y 4y 3y y )2− −

p + − − = p + − − ∫

V 45 81 81 1[( 9 ) ( 15 4 3 )]2 8 32 2

= p + − − − − + + −

V 875

32p

=



1. Determine o volume do sólido cuja base é a região limitada pelas retas x + 4y = 4, x = 0 e y = 0, sabendo que as seções transversais tomadas perpendiculares ao eixo dos x são semicírculos.

2. Encontre o volume do sólido de revolução gerado quando a região limitada pela curva y = x3, pelo eixo dos x e pelas retas x = 1 e x = 2 é rotacionada em torno do eixo x.

3. Ache o volume do sólido de revolução gerado quando a região limitada pela curva y = x2 + 1, pelo eixo dos x e pelas retas x = 2 e x = 3 for rotacionada em torno do eixo x.

Em cada item, calcule o volume do sólido gerado ao se rotacionar a região dada na figura em torno do eixo indicado:

a) OAC em torno do eixo dos x.

b) OAC em torno em torno da reta AC.

c) OAC em torno do eixo dos y.

d) OAC em torno da reta BC.

e) OBC em torno do eixo dos x.

f) OBC em torno do eixo dos y.

g) OBC em torno da reta AC.

h) OBC em torno da reta BC.

5. Mostre, usando integral, que o volume de uma esfera obtida ao se rotacionar a

região limitada pela curva 2 2 2x y r+ = , em torno de um diâmetro, é V = 34 r3

p .

B

y

C

0A

4x

8

Capítulo 10Método das Cascas

Cilíndricas

Objetivos

• Conhecer o método das cascas cilíndricas;

• Aprender como é realizado o cálculo do volume de sólidos, somando cas-cas cilíndricas finas que crescem de dentro para fora do eixo de revolução.

Se as seções planas são tomadas paralelas ao eixo de revolução, vamos usar o método denominado cascas cilíndricas. Na verdade, em vez de somar as fatias, somamos volumes de cascas cilíndricas finas, que crescem de dentro para fora do eixo de revolução, como se fossem os anéis observados no corte transversal das árvores.

Para ficar mais claro, veja o que acontece quando giramos um retângulo em torno de um eixo paralelo à sua altura. Figuras 29, 30 e 31.



No que segue, vamos chamar o sólido da figura 31 de casca cilíndrica ou de invólucro cilíndrico. Veja que o volume desse sólido pode ser obtido usando-se o volume do cilindro externo menos o volume do cilindro interno. Assim, se o cilindro externo possuir raio R e o interno possuir raio r, e ambos possuírem a mesma altura, tem-se que o volume desse sólido é:

2 2 2 2V R h r h h(R r )= p − p = p − .

Agora, vamos chamar de cilindro médio o cilindro de mesma altura que está entre os dois cilindros que formam a casca cilíndrica, tal que o raio m desse cilindro é a média aritmética dos raios R e r dos dois cilindros. Isto é, o cilindro médio está entre os dois cilindros que formam a casca cilíndrica, possui

a mesma altura h que esses cilindros, e o seu raio m é dado por R rm2+

= .

Para achar o volume da casca cilindrica, podemos pensar também da seguinte forma: vamos desenrolar essa casca cilíndrica e “desamassá-la” até ela se transformar em uma fatia retangular, de tal forma que o comprimento dessa fatia seja igual a2 mp , altura h e largura R – r. Veja figura 32.

Figura 32

É claro que o volume dessa fatia (casca cilíndrica) é

cascaV 2 m.h.(R r)= p − .

Compare esse resultado com o obtido ao se fazer: volume do cilindro externo menos o volume do cilindro interno.

Agora, estamos em condições de enunciar o método das cascas cilíndricas.

Seja y = f(x) uma função contínua em um intervalo [a, b], com f(x) ≥ 0 para todo x em [a, b]. Se V é o volume do sólido gerado pela revolução da região limitada pela curva y = f(x), pelo eixo dos x e pelas retas x = a e x = b, em torno do eixo dos y, então, quando fizermos o somatório de todas as cascas cilíndricas e tomarmos o número de cascas indo para o infinito, obteremos

b

aV 2 (raiodacasca).(alturadacasca)dx= p∫ .

Matemática II 103

Figura 33

A figura 33 mostra a região dada, com uma casca arbitrária. Note que R – r será dx, que altura da casca será f(x) e que o raio médio da casca será o próprio x, quando passamos para o processo de integração. É claro que isso não é tão simples assim. O leitor que quiser se aprofundar mais no assunto deve consultar um dos livros de cálculo mencionados na bibliografia.

Exemplo 1: Determine o volume do sólido gerado pela revolução, em torno do eixo dos y, da região limitada pela curva y = x2, pelo eixo dos x e pelas retas x = 1 e x =3.

A figura 34 mostra a região que vai ser rotacionada em torno do eixo dos y.

y = f(x)y

9

1 3x

Figura 34

Veja que o raio da casca é x e que a altura é f(x) = x2. Assim, se V é o volume do sólido, tem-se

b

aV 2 (raiodacasca).(alturadacasca)dx= p∫

343 32 31 1

1

xV 2 x.x dx 2 x dx 24

= p = p = p

∫ ∫

V (81 1) 402p

= − = p


Exemplo 2: Encontre o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo y, da região limitada pelo gráfico de y = 3x – x3, pelo eixo dos y e pela reta y = 2.

A figura 35 mostra a região que vai ser rotacionada.

21

1

2

x

y

12

2

Figura 35

Veja que o raio da casca é igual a x e que a altura da casca é 2 – f(x) . Assim, o volume V do sólido é igual a

1

0V 2 x.(2 f(x))dx= p −∫

1 13 2 40 0

V 2 x(2 3x x )dx 2 (2x 3x x )dx= p − + = p − +∫ ∫15

2 3

0

x 1 2V 2 (x x ) 2 (1 1 )5 5 5

p= p − + = p − + =

Exemplo 3: A região limitada pela curva y = x2 e pelas retas x = 2 e y = 1 gira em torno da reta y = –3. Sabendo disso, aponte o volume do sólido gerado, usando o método das cascas cilíndricas.

Matemática II 105

A figura 36 mostra o esboço da região que vai ser rotacionada.

4

1 2

3

x

1

Figura 36

Vamos agora girar em torno da reta y = –3 com as cascas paralelas ao eixo de revolução. Assim, devemos integrar em relação a y. Logo, precisamos descobrir x como função de y. Nesse caso, x = x f(y) y= = .

Sendo assim, veja que o raio da casca é y + 3 e que a altura da casca é 2 – f(y).

Se V é o volume procurado, temos4

1V 2 (y 3)(2 y )dy= p + −∫

45 33 1 2 24 22 2

1

1

y yV 2 (2y y 3y 6)dy 2 (y 3 6y)5 32 2

= p − − + = p − − +

∫

64 2 62V 2 [(16 16 24) (1 2 6)] 2 (19 )5 5 5

= p − − + − − − + = p −

66V5

p=

Método resumido

[1] Esboce a região a ser rotacionada e desenhe um segmento de reta que atravesse a região paralelamente ao eixo de revolução. Esse segmento vai “formar” a casca cilíndrica após a rotação da região.


[2] O comprimento desse segmento será a altura da casca, e a distância desse segmento ao eixo de revolução será o raio da casca.



aV 2 (raiodacasca)(alturadacasca)dx= p∫ ou dy, conforme

o caso.


1. Considere a região limitada pelas curvas x = y2 – 2 e x = 6 – y2. Usando o método das cascas cilíndricas, encontre o volume do sólido obtido quando a região gira em torno:

a) do eixo dos x.

b) do eixo dos y

c) da reta x = 2.

d) da reta y = 2.

2. Na fi gura a seguir, têm-se várias regiões representadas por R1, R2 e R3. As curvas em questão são os gráfi cos de 2y x= .

Nessas condições, determine o volume do sólido gerado quando:

a) R1 gira em torno do eixo dos y.

b) R2 gira em torno do eixo x.

c) R3 gira em torno da reta y = 2.

d) R2 gira em torno da reta x = –2.

Capítulo 1Capítulo 11Comprimento de

curvas planasObjetivos

• Estudar as fórmulas de curvatura das curvas planas em suas diversas formas de representação;

• Caracterizar e identificar as curvas planas, por meio de sua curvatura e de sua torção.

1. Comprimento de curvas planas

Todo mundo sabe calcular o comprimento de uma circunferência de raio r.

Mas e o comprimento da curva 3xy

3= quando x varia de 0 até 5?

Para responder essa pergunta, podemos, mais uma vez, recorrer ao cálculo. E, com ajuda de uma integral definida, podemos responder não somente essa, mas também outras questões envolvendo o comprimento de uma curva.

Precisamos lembrar-nos da fórmula para a distância entre dois pontos quaisquer do plano cartesiano. Assim, dados dois pontos A(x1, y1) e B(x2, y2), a distância entre A e B é o comprimento do segmento de reta AB. Analiticamente falando, temos que a distância d, entre esses dois pontos é

2 2 2 22 1 2 1d (x x ) (y y ) ( x) ( y)= − + − = ∆ + ∆ .

Assim, considere uma função y = f(x), tal que f e sua derivada f’ sejam contínuas no intervalo fechado [a, b]. Admita, para efeitos didáticos, que f(x) > 0, para todo x no intervalo [a, b], e que a figura 37 representa um esboço do gráfico de f.

Considere que o intervalo [a, b] foi dividido em subintervalos e que os pontos i 1 i 1P(x ,y )− − e i iQ(x ,y ) sejam dois pontos consecutivos dessa divisão.


y

xa b

y = f(x)

P

Q

Figura 37

A distância entre P e Q é dada por

2 2 2 2i i i 1 i i 1 i id (x x ) (y y ) ( x) ( y)− −= − + − = ∆ + ∆ .

Se L é o comprimento da curva, quando x varia de a até b, podemos

aproximar L pela soma de todos os segmentos obtidos dessa forma. Assim,

n n2 2

i i ii 1 i 1

L d ( x) ( y)= =

≅ = ∆ + ∆∑ ∑ .

Agora, observe que

2 22 2 2 i i

i i i i ii i

y yd ( x) ( y) ( x) . 1 1 . xx x

∆ ∆ = ∆ + ∆ = ∆ + = + ∆ ∆ ∆ .

Assim, podemos escrever L na forma

2ni

iii 1

yL 1 . xx

=

∆≅ + ∆

∆ ∑ .

Passando para o limite, podemos afirmar que

2n b 2ii an ii 1

yL lim 1 . x 1 [f '(x)]x→+∞

=

∆= + ∆ = +

∆ ∑ ∫

Ou 2b

a

dyL 1dx

= + ∫ .

Agora, podemos responder a pergunta feita no inicio dessa seção.

Matemática II 109

Exemplo 1: Qual o comprimento da curva 3xy

3= quando x varia de 0 até 5?

Veja que basta derivarmos a curva 3xy

3= e substituirmos na fórmula

2b

a

dyL 1dx

= + ∫ .

Assim, 12dy 1 xx

dx 2 2= = e

5 5

0 0

x 1L 1 dx 4 x dx4 2

= + = +∫ ∫Fazendo 4 + x = u, temos dx = du. Portanto,

9319 9 22

4 44

1 1 1 uL u du u du . 32 2 22

= = =

∫ ∫1 19L (27 8)3 3

= − =

Exemplo 2: Encontre o comprimento do arco da curva f(x) = Ln(senx), quando

varia no intervalo [ , ]4 2p p .

Inicialmente, vamos achar f’(x).

Assim, cos xf '(x) cotgxsenx

= = .

Logo, se L é o comprimento da curva, temos

2 2 22 2

4 4 4

L 1 cotg x dx cossec x dx cossecx dxp p p

p p p= + = =∫ ∫ ∫

2

4

L [ Ln | cossecx cotgx |p

p= − +

L (Ln | 1 0 | Ln | 2 1| Ln( 2 1)= − + − + = +



Neste capítulo, vimos como usar a integral definida para encontrar a área de regiões delimitadas por uma curva y = f(x), pelo eixo dos x, pelas retas x = a e x = b. Vimos também como encontrar a área de uma região limitada por duas curvas planas. Além disso, calculamos o volume de um sólido, usando cortes por seções transversais, chamadas de fatiamento, utilizamos a área da seção transversal e integramos essa área para achar o volume.

Vimos como calcular volume de um sólido de revolução quando uma região limitada por uma curva gira em torno dos eixos coordenados (x ou y) ou quando essa região gira em torno de uma reta paralela a um dos eixos coordenados e usamos duas técnicas: a do disco e do anel circular e, depois, a das cascas cilíndricas.

Por último, vimos como se calcula o comprimento de uma curva plana, usando a derivada e a integral.


1. Apresente o comprimento do arco da curva 2 39y 4x= da origem ao ponto

(3, 2 3) .

2. Determine o comprimento do arco da curva 2 3x (2y 3)= + de (1, –1) a

(7 7, 2) .

3. Encontre o comprimento do arco da curva 4 28y x 2x−= + do ponto onde x

= 1 ao ponto onde x = 2.

4. Ache o comprimento do arco da curva 3

2 23y (x 2)= + do ponto onde x = 0

ao ponto onde x = 3.

5. Mostre que o comprimento da circunferência de equação 2 2 2x y r+ =

é L = 2 rp .

Matemática II 111

@

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Site do livro Cálculo - volume 1 de George B. Thomas


Referências




Parte 7Acomplementos: Integrais

Impróprias, Equações Diferenciais e Tempo de Computação

Capítulo 12Integração Imprópria

Objetivos

• Compreender o conceito de Integral Definida, apresentando, caracte-rizando e calculando Integrais Impróprias;

• Diferenciar os conceitos de Integral Definida e Indefinida, suas rela-ções e sua relação com o conceito de derivada.

Este é o último capítulo deste livro. O cálculo não acabou; na verdade, está apenas começando! Esperamos que você tenha gostado do que já aprendeu até agora e que este capítulo o motive mais ainda. Nesta unidade, vamos estudar um pouco sobre integração imprópria e, em seguida, vamos apresentar um pouco sobre equações diferenciais.

Encerramos esta unidade e este livro com um problema computacional, relativo a tempo de computação.

1. Integração Imprópria

Muitas vezes, deparamo-nos com situações em que os limites de integração são infinitos. Veja os exemplos a seguir:

Exemplo 1: Considere a curva dada por 1yx

= , x > 0. A figura 1 mostra um

esboço do gráfico dessa função.

Figura 1


Suponha que queremos encontrar a área da região delimitada por essa curva, pelo eixo dos x e pelas retas x = 1 e x = t.

Se A é a área procurada, então, temos que:

A = t

t1

1

1 dx Ln | x | Lnt Ln1 Lntx

= = − =∫É claro que se fizermos t tender ao infinito, Lnt tende ao infinito. Ou seja,

t

t t t1

1lim A lim dx lim Lntx→+∞ →+∞ →+∞

= = = +∞∫ .

Exemplo 2: Tomemos a mesma região do exemplo 1 e façamos uma rotação em torno do eixo dos x. Agora, determinemos o volume do sólido obtido.

Já sabemos que, se V é o volume do sólido procurado, temos que

t2t t 12

1 1 1

1 xV dx x dxx 1

−− = p = p = p − ∫ ∫

t1

1

x 1V ( 1)1 t

− = p = p − +

−

Tomando o limite, quando t tende ao infinito, temos

t t

1lim V lim ( 1)t→+∞ →+∞

= p − + = p .

No exemplo 1, fizemos algo equivalente a

t

t1 1

1 1dx lim dxx x

+∞

→+∞= = +∞∫ ∫ .

No exemplo 2,

22 t

t1 1

1 1dx lim dxx x

+∞

→+∞

= = p ∫ ∫ .

No que segue, vamos chamar integrais desse tipo de integrais impróprias com limites de integração infinitos. No 1º exemplo, dizemos que a integral diverge e, no 2º exemplo, que ela converge.

Matemática II 117

2. Integrais Impróprias com Limites de Integração Infinitos

[1] Se f(x) é contínua em [a, +∞[, então, b

ba af(x)dx lim f(x)dx

+∞

→+∞=∫ ∫ .

[2] Se f(x) é contínua em ] –∞, b], então, b b

a af(x)dx lim f(x)dx

→−∞−∞=∫ ∫ .

[3] Se f(x) é contínua em ]–∞, +∞], então,

c b

a ba cf(x)dx lim f(x)dx lim f(x)dx

+∞

→−∞ →+∞−∞= +∫ ∫ ∫ , onde c é um número real

qualquer.

Exemplo 3: Calcule 2dx

1 x

+∞

−∞ +∫ .

Veja que

c b

2 2 2a ba c

dx dx dxlim lim1 x 1 x 1 x

+∞

→−∞ →+∞−∞= +

+ + +∫ ∫ ∫ , onde c é qualquer

número real.

Vamos escolher c = 0. Assim,

0 ba 02 a b

dx lim arctgx lim arctgx1 x

+∞

→−∞ →+∞−∞= +

+∫

2 a b

dx lim (arctg0 arctga) lim (arctgb arctg0)1 x

+∞

→−∞ →+∞−∞= − + −

+∫

2 a b

dx lim (0 arctga) lim (arctgb 0)2 21 x

+∞

→−∞ →+∞−∞

p p= − + − = + = p

+∫Exemplo 4: Calcule a integral x

0xe dx

+∞−∫ se ela convergir.

Veja que b

x xb0 0

xe dx lim xe dx+∞

− −

→+∞=∫ ∫ .


Para calcular a integral, temos que usar integração por partes.

Faça u = x e xdv e dx−= .

Logo, du = dx e xv e−= − .

E. portanto,

bx x x x x0b b0

xe dx lim ( xe e dx) lim ( xe e )+∞

− − − − −

→+∞ →+∞= − + = − − ∫ ∫

x b bb bb b b0

b bxe dx lim ( be e 1) lim 1 1 lime e

+∞− − −

→+∞ →+∞ →+∞

−= − − + = + = −∫

Para calcular bb

blime→+∞

, vamos usar a regra de L’Hôpital, pois blim b→+∞

= +∞ , e

bblim e→+∞

= +∞ . Logo b bb b

b 1lim lim 0e e→+∞ →+∞

= = .

Assim, x

0xe dx 1

+∞− =∫ .

Para refletirCalcule as integrais, se convergirem.

212

2

dx1.x x 1

2dx2.x 4

+∞

−∞

−

+

∫∫

30

2

0

dx5.x

6. tgx dx

+∞

p

∫

∫212

2

dx1.x x 1

2dx2.x 4

+∞

−∞

−

+

∫∫

2

01

0

dx7.1 senx

8. x lnx dx

p

−∫∫

0

|x|

dx3.(1 x) x

4. e dx

+∞

+∞−

−∞

+∫∫

2

01

0

dx7.1 senx

8. x lnx dx

p

−∫∫

0

|x|

dx3.(1 x) x

4. e dx

+∞

+∞−

−∞

+∫∫

x

02

512

e dx9.x

dx10.x lnx

+∞ −

∫∫3

0

2

0

dx5.x

6. tgx dx

+∞

p

∫

∫

x

02

512

e dx9.x

dx10.x lnx

+∞ −

∫∫

Matemática II 119

3. Equações Diferenciais

Uma equação diferencial é uma equação envolvendo uma função desconhecida y e uma ou mais de suas derivadas y’, y’’, y’’’, e assim por diante.

Suponha que y seja uma função na variável x. Uma solução de uma equação diferencial é qualquer função f(x), para o qual a equação diferencial esteja satisfeita quando y for substituído por f(x), y’ por f’(x), y’’ por f’’(x) etc

A ordem de uma equação diferencial é a ordem da derivada de maior ordem que aparece na equação. Assim, a equação y ' 5y 0+ = é de primeira

ordem, enquanto a equação 2

2d y 4x 3dx

= + é de segunda ordem.

Exemplo 1: Mostre que a função 5xf(x) 3e−= é uma solução da equação diferencial y ' 5y 0+ = .

Veja que 5xf '(x) 15e−= − e que y’ + 5y = 5x 5x15e 5.3e 0− −− + = .Logo, 5xf(x) 3e−= é uma solução da equação diferencial dada.

Um problema que nos interessa é achar todas as soluções de uma equação diferencial. O processo de se encontrar todas as funções que são soluções de uma equação diferencial é chamado de resolução de uma equação diferencial.

A equação diferencial mais simples que existe é a equação de primeira

ordem da forma dy f(x)dx

= . Note que podemos escrever essa última expressão

na forma dy f(x)dx= .

Outro tipo de equação diferencial de primeira ordem é da forma dy g(x)dx h(y)

= , como 2

3dy 2xdx y

= . Veja que podemos escrever dy g(x)dx h(y)

= na forma

h(y)dy g(x)dx= . Veja também que o primeiro membro envolve somente

a variável y, enquanto o segundo membro, somente a variável x. Assim, as

variáveis estão separadas, e dizemos que elas são equações diferenciais

com variáveis separáveis.

Exemplo 2: Encontrar todas as soluções da equação diferencial dy 2xdx

= .

Veja que podemos separar as variáveis, escrevendo dy 2x dx= .Tomando integrais em ambos os lados, obtemos

dy 2x dx=∫ ∫Ou y + C1 = x2 + C2 \ y = x2 + C2 – C1.


Como C2 – C1 é uma constante, vamos substituí-la por C, assim, y = x2 + C é a solução completa da nossa equação diferencial.

Exemplo 3: Achar a solução completa da equação diferencial 2

3dy 2xdx y

= .

Escrevendo a equação dada na forma 3 2y dy 2x dx= e integrando dos

dois lados, obtemos 3 2y dy 2x dx=∫ ∫ .

4 3y 2x C

4 3= +

4 33y 8x C= + ,

que é a solução procurada.

Algumas vezes, queremos encontrar uma solução particular que satisfaça certas condições adicionais, chamadas de condições iniciais.

Exemplo 4: Dada a equação diferencial 2

2d y 4x 3dx

= + , encontre uma solução para a qual y = 2 e y’ = 3 quando x = 1.

Veja que 2

2d y 4x 3dx

= + equivale a d dy 4x 3dx dx

= +

. Fazendo dy y 'dx

= ,

temos dy ' (4x 3)dx= + e, portanto, dy ' (4x 3)dx= +∫ ∫ ou 21y ' 2x 3x C= + + .

Como y’ = 3 quando x = 1, obtemos que C1 =–2. Assim, 2y ' 2x 3x 2= + − , ou ainda:

2dy 2x 3x 2dx

= + − . Integrando mais uma vez, obtemos 2dy (2x 3x 2)dx= + −∫ ∫

ou 3 2

22x 3xy 2x C3 2

= + − + . Para x = 1, y = 2. Logo, 22 32 2 C3 2

= + − + e 211C6

= ,

e, finalmente, 3 22x 3x 11y 2x

3 2 6= + − + .

Exemplo 5 (Lei de Newton para resfriamento): Suponha que uma barra de aço com uma temperatura alta seja mergulhada em um banho de água fria. Seja f(t) a temperatura da barra no instante t, suponha que a água seja mantida a uma temperatura constante de 10º C. De acordo com a Lei de Newton para resfriamento, a taxa de variação de f(t) é proporcional à diferença entre as duas temperaturas 10º e f(t). Encontre a equação diferencial que descreve esta lei física.

Inicialmente, lembre-se de que a taxa de variação de f(t) é a derivada f’(t). Como ela é proporcional à diferença 10 – f(t), existe uma constante k, tal que

f’(t) = k(10 – f(t)).

Matemática II 121

O termo proporcional não especifica se k é positivo ou negativo. Devemos analisar as informações dadas e tirar tal conclusão. Veja que a barra de metal tem uma temperatura maior do que a água, assim, 10 – f(t) é negativo. Observe também que f(t) irá decrescer com o tempo, assim f’(t) deve ser negativo. Portanto, para fazer com que f(t) seja negativo, k precisa ser um número positivo. Por fim, se y = f(t), então,

y’ = k(10 – y), onde k é uma constante positiva.

Vamos supor agora que queremos resolver a equação acima. Então,

veja que podemos reescrever tal equação na forma dy k(10 y)dt

= − , ou ainda, dy dt

k(10 y)=

−. Integrando dos dois lados, obtemos

dy dtk(10 y)

=−∫ ∫ .

Para integrar o lado esquerdo, faça 10 – y = u, onde –dy = du. Portanto,1 du tk u

− =∫ ou 1t Ln | u | Ck−

= +

k(t C) Ln | u |− − = .Como u = 10 – y < 0, então,

k(t C) Ln(y 10)− − = − e kt kCy 10 e− +− = ,

Assim, kty 10 Ce−= + .

Para refletir1. Ache a solução completa da equação diferencial.

2

2

dya) 4x 5dxdyb) 3x 2x 5dxdyc) 3xydxdy x xd)dx y y

= −

= + −

=

+=

−

22

2

2

2

d ye) 4x 5xdxd yf ) sen3x cos3xdxdyg) 2x 3dx

= −

= +

= −


2. Ache a solução da equação diferencial dada, determinada pelas condições iniciais.

2dya) x 2x 4dx

= − − , y = –6 quando x = 3.

dy cos3xb)dx sen2y

= , y3p

= quando x2p

= .

2

2 4d y 3c)dx x

−= , 1y

2= , y ' 1= − quando x = 1.

4. Tempo de Computação

Considere a seguinte brincadeira infantil: uma criança brincando com blocos de madeira, todos idênticos, resolve colocá-los um sobre o outro, como se estivesse fazendo uma escada, de forma que forme uma reentrância, como na figura a seguir.

Figura 2

Admitamos que cada bloco tenha comprimento L, que a base da reentrância tenha comprimento P e que n seja o número de blocos. Admita ainda que a pilha de blocos é “estável”.

Esse é um problema clássico de Estática. Não vamos demonstrar aqui, mas afirmamos que

n 1

k 1

L 1P .2 k

−

=

= ∑ .

O nosso interesse nessa questão é: dado o valor P de uma reentrância, qual o número de blocos necessários para obtê-la, de modo que a pilha continue estável?

Matemática II 123

Para que o problema fique mais interessante, admita que o comprimento L de cada bloco seja igual a 30 cm e que queremos encontrar uma reentrância de 720 cm. O estudante de computação, que sabe programar, pode pensar assim: é só implementar um algoritmo que resolva a soma da série

n 1

k 1

30 1720 .2 k

−

=

= ∑

ou, para que valor de n,

n 1

k 1

1 48k

−

=

=∑ .

Pronto! Está resolvido! Achamos o número de blocos.

Antes de levar o problema ao computador, façamos uma análise

teórica da função 1f(k)k

= . Um esboço do gráfico dessa função está na

figura a seguir:

1 2 3 4k

fk -

Figura 3

Pelos nossos conhecimentos adquiridos ao longo desse curso, pode-mos imaginar que a soma pedida pode ser “pensada” como a área da região

limitada pelo gráfico da função 1f(k)k

= , pelo eixo dos k (eixo x) e pelas retas

k = 1 e k = n – 1. Em outras palavras, é possível escrever

n 1 n 1 n 1n 11

1 1k 1

1 dkf(k)dk Ln | k | Ln(n 1)k k

− − −−

=

≈ = = = −∑ ∫ ∫


Mas, como n 1

k 1

1 48k

−

=

=∑ ,

temos:

Ln(n 1) 48− = .

Tirando o valor de n nesta equação, encontramos 48 20n e 1 7x10= + ≅48 20n e 1 7x10= + ≅ blocos.

Achou o resultado interessante? Tem mais! Sabe-se que um computador doméstico faz, em média, 100 milhões de cálculos por segundo, ou seja, um computador doméstico consegue fazer 1 cálculo em 810− segundos. Agora, se cada bloco corresponde a 1 cálculo, ou seja 1 bloco corresponde a 810− segundos, então, para todos os cálculos, teríamos 7 x 10 12 segundos. Como em 1 ano temos 365 x 24 x 3600 segundos, então, o tempo necessário para o computador realizar essa tarefa é de 221.968 anos.

Tudo bem! Vamos agora usar o computador mais rápido do mundo. Ele faz, em média, 839 x 1012 cálculos por segundo, ou seja, o computador mais rápido do mundo consegue fazer 1 cálculo em 1510− segundos. O que dá 7 x 105 segundos para todos os cálculos, ou 8 dias aproximadamente.

O objetivo dessa questão é mostrar que devemos, sempre que possível, ter uma ideia geral da natureza da solução de nosso problema antes de efetuar os cálculos, ou pior ainda, de levá-los para o computador.


Neste capítulo, vimos que, algumas vezes, temos que calcular integrais em que os limites de integração são infinitos ou que o intervalo em que queremos achar a integral definida contém pontos onde a função não está definida. Nesses casos, usamos a técnica de fazer uma espécie de mudança de variável e usamos limite, fazendo com que o x se aproxime desse “valor” que

está causando “problemas”, tais como b

ba af(x)dx lim f(x)dx

+∞

→+∞=∫ ∫ .

Apresentamos também um pouco da teoria das equações diferenciais,

que são equações que envolvem a(s) derivada(s) de funções. E, por último, resolvemos um problema sobre tempo computacional, que mostra que nem sempre devemos transformar um algoritmo em um programa de computador e implementá-lo sem fazermos antes uma análise teórica do problema.

Matemática II 125

@

Sites







http://pt.wikipedia.org/wiki/Computador_quantico

Referências

ÁVILA, Geraldo. Cálculo I, Funções de uma Variável, 6ª Edição, São Paulo: LTC Editora, 1994.

LEITHOLD, Louis. O Cálculo com Geometria Analítica, 3ª Edição São Pau-lo: Vol. 1, Editora Harbra, 1994.

PACITTI, Tércio e ATKINSON, Cyril P. Programação e Métodos Computa-cionais, Vol, 2, 2ª edição, Rio de Janeiro: LTC, 1976.

THOMAS, George B. Cálculo, Vol. 1, 10ª Edição, São Paulo: Pearson, 2006.


Sobre o autor

Flaudio José Gonçalves do Nascimento: Mestre em Matemática pela Universidade Federal do Ceará (1987), Graduado em Matemática pela Universidade Federal do Ceará (1983). Foi professor substituto no Departamento de Matemática da Universidade Federal do Ceará (2003 - 2005). Foi também professor da rede estadual de educaçao do Ceará e de diversos colégios particulares de Fortaleza. Atualmente, é professor da Faculdade Sete de Setembro, da Faculdade Farias Brito e do Colégio 7 de Setembro. Tem experiência na área de Matemática, com ênfase em Metodologia do Ensino da Matemática e em Matemática Aplicada, atuando principalmente nos se-guintes temas: Olimpíadas de Matemática, técnicas de resolução de proble-mas, ensino e aprendizagem. Em 2011, fez o ENEM e está cursando Ciências Contábeis na Universidade Federal do Ceará.

A não ser que indicado ao contrário a obra Matemática II, disponível em: http://educapes.capes.gov.br, está licenciada com uma licença Creative Commons Atribuição-Compartilha Igual 4.0 Internacional (CC BY-SA 4.0). Mais informações em: <http://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.pt_BR. Qualquer parte ou a totalidade do conteúdo desta publicação pode ser reproduzida ou compartilhada. Obra sem fins lucrativos e com distribuição gratuita. O conteúdo do livro publicado é de inteira responsabilidade de seus autores, não representan-do a posição oficial da EdUECE.

Fiel a sua missão de interiorizar o ensino superior no estado Ceará, a UECE, como uma ins� tuição que par� cipa do Sistema Universidade Aberta do Brasil, vem ampliando a oferta de cursos de graduação e pós-graduação

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ral e se ar� culam com as demandas de desenvolvi-mento das regiões do Ceará.

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II

Flaudio José Gonçalves do Nascimento

Computação

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