09/08/20101Dicotomia DicotomiaO que Clculo Numrico O que Clculo NumricoApresentao do mtodo da Dicotomia Apresentao do mtodo da DicotomiaExerccios ExercciosLucas Alves da Motalucas@facens.brLucas A. Mota - lucas@facens.brO que Clculo Numrico? O que Clculo Numrico?A Clculo Numrico o ramo da matemticaaplicada que estuda os mtodos e algoritmos paraencontrar solues numricas (aproximadas) paravrios problemas matemticos, usando para issouma seqncia finita de operaes aritmticas elgicas. A maior parte das solues de problemasnumricos baseiam-se na teoria da lgebra linear.O Clculo Numrico corresponde a um conjunto deferramentas ou mtodos utilizados para se obter asoluo de problemas matemticos de formaaproximada. Esses mtodos se aplicamprincipalmente a problemas que no apresentamuma soluo exata, portanto precisam serresolvidos numericamente.Lucas A. Mota - lucas@facens.br09/08/20102Mtodos Iterativos para obteno de Razes Mtodos Iterativos para obteno de Razes(Zero de Funes) (Zero de Funes) Mtodo da Dicotomia ou Bisseco. Mtodo das Cordas ou Falsa Posio. Mtodo de Newton-Raphson. Mtodo da Iterao LinearO objetivo de nossa aula estudar um dos mtodosnumricos para obteno de zeros reais defunes;O mtodo que iremos estudar o mtodo iterativochamado de Mtodo da Bisseco ou Mtodo daDicotomia.Lucas A. Mota - lucas@facens.brO que o zero de uma funo? O que o zero de uma funo?Um nmero real um zero da funo f(x) ou uma raiz da equao f(x)=0 se f()=0;Lucas A. Mota - lucas@facens.br09/08/20103Como obter razes reais de umaComo obter razes reais de uma equao qualquer? equao qualquer?Sabemos que, para algumas equaes, como porexemplo as equaes polinomiais do segundograu, existem frmulas explcitas que do as razesem funo dos coeficientes;No entanto, no caso de polinmios de grau mais altoe no caso de funes mais complexas, praticamente impossvel se achar os zerosexatamente;Por isso, devemos saber como encontraraproximaes para esses zeros de funes;Mas como?Lucas A. Mota - lucas@facens.brMtodos iterativos paraMtodos iterativos para obteno de razes obteno de razesA idia central desses mtodos partir de uma aproximao inicial para a raiz e em seguida refinar essa aproximao atravs de um processo iterativo;Esses mtodos contemplam duas fases: Fase I: Localizao ou isolamento das razes, que consiste em obter um intervalo que contm a raiz; Fase II: Refinamento, que consiste em melhorar as aproximaes iniciais obtidas na Fase I, at atingir uma aproximao para raiz dentro de uma preciso prefixada.Lucas A. Mota - lucas@facens.br09/08/20104Fase I Fase I-- Isolamento das Razes Isolamento das Razes Nesta fase feita uma anlise terica e grfica da funo f(x); Na anlise terica usamos o teorema: Seja f(x) uma funo contnua num intervalo [a,b]. Se f(a).f(b) < 0 ento existe pelo menos um ponto (x=) entre a e b que zero de f(x), ou seja, f()=0. Caso contrrio no podemos garantir que exista uma raiz nesse intervalo.Lucas A. Mota - lucas@facens.brIsolamento das Razes Isolamento das RazesAnlise Terica (Graficamente) Anlise Terica (Graficamente)Lucas A. Mota - lucas@facens.br09/08/20105Isolamento das Razes Isolamento das RazesAnlise Terica Anlise TericaComo garantir que s existe uma raiz em um intervalo [a, b]? Atravs da anlise do sinal da derivada de f(x); Se f(x) existir e preservar sinal no intervalo [a, b], ento esse intervalo contm um nico zero de f(x).Lucas A. Mota - lucas@facens.brIsolamento das Razes Isolamento das RazesAnlise Grfica Anlise GrficaA anlise grfica da funo f(x) fundamental para se obter boas aproximaes para a raiz, para tal, temos os seguintes processos: Esboar o grfico da funo f(x) e localizar as abscissas dos pontos onde a curva intercepta o eixo x; A partir da equao f(x)=0, obter a equao equivalente g(x) = h(x), esboar os grficos das funes g(x) e h(x) e localizar os pontos x onde as duas curvas se interceptam; Usar programas que traam grficos de funes.Lucas A. Mota - lucas@facens.br09/08/20106Isolamento de Razes Isolamento de RazesAnlise GrficaAnlise Grfica Exemplo Esboo Exemplo EsbooLucas A. Mota - lucas@facens.brIsolamento de Razes Isolamento de RazesAnlise GrficaAnlise Grfica -- Equao Equivalente Equao EquivalenteA partir da equao inicialx3 9x + 3 = 0,podemos obter a equao equivalentex3= 9x 3Neste caso, temos:g(x) = x3e h(x) = 9x 3.Lucas A. Mota - lucas@facens.br09/08/20107Fase IIFase II -- Refinamento RefinamentoComo j mencionado anteriormente estamos estudando mtodos iterativos. Mas o que um mtodo iterativo?Um mtodo iterativo consiste em uma seqncia de instrues que so executadas passo a passo, algumas das quais so repetidas em ciclos.A execuo de um ciclo recebe o nome de iterao.Lucas A. Mota - lucas@facens.brMtodo da Dicotomia ouMtodo da Dicotomia ou Bisseco BissecoSeja uma funo f(x) contnua em um intervalo [a,b] onde a Se o n. de iteraes k ainda no foi alcanado, segundo a frmula:(Onde a0e b0constituem o intervalo inicial que contma raiz da funo)Se pelo menos uma das condies no for satisfeita, voltar para o 2 passo.6 64 , 5) 2 log() 01 , 0 log( |) ) 5 , 1 ( 1 log(|) 2 log() log( ) log(0 0 a bkLucas A. Mota - lucas@facens.brExerccios Exercciosf(x) = x3+ 4x2 10Intervalo [1, 2] =0,03 f(x) = ex 5xIntervalo [2,5 ; 2,6] = 0,004f(x) = 3x3 4Intervalo [0, 2] =0,03Lucas A. Mota - lucas@facens.br