2010 - volume 4 - caderno do aluno - ensino médio - 1ª série - matemática

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GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 1 a série – Volume 4 1 SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 1 RAMPAS, CORDAS, PARSECS – RAZÕES PARA ESTUDAR TRIÂNGULOS RETÂNGULOS Páginas 3 - 7 1. Adotando-se a escala 1 : 1 000, ou seja, 1 cm : 10 m, deve-se desenhar um triângulo retângulo de catetos 4 cm e 10 cm, como ilustrado a seguir: 2. Notamos, na figura, que + = 90º; logo, = 6º. Consultando uma tabela de tangentes, ou usando uma calculadora, encontramos: tg 6º 0,105, ou seja, a inclinação da rampa é 0,105, ou 10,5%. Isso significa que, a cada 100 m que percorremos horizontalmente, nossa elevação vertical é de cerca de 10,5 m. Em outras palavras, a cada metro percorrido horizontalmente, subimos cerca de 10,5 cm. 3. Se a inclinação da rampa é de 10%, então, aos 80 m horizontais correspondem 8 m, ou seja, 800 cm de subida, na vertical. Se cada degrau deve ter no máximo 16 cm de altura, devemos ter no mínimo 16 800 = 50 degraus. 4. a) As cordas de comprimentos c 1 e c 2 são diâmetros da circunferência dada; temos, então, c 1 = 2 m e c 2 = 2 m. As cordas de comprimentos c 3 , c 4 , c 5 e c 6 são lados de triângulos equiláteros em que um dos lados é igual ao raio; logo, c 3 = c 4 = c 5 = c 6 = 1 m.

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Caderno do Professor com todas atividades e respostas para uso em dúvidas. Atenção: As respostas contidas aqui tem o objetivo de contribuir para um maior conhecimento e não apenas serem copiadas, já que se for pra copiar e não aprender nada, não perca seu tempo. Assim tire proveito das atividades.

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GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 1a série – Volume 4

1

SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 1

RAMPAS, CORDAS, PARSECS – RAZÕES PARA ESTUDAR TRIÂNGULOS RETÂNGULOS

Páginas 3 - 7

1. Adotando-se a escala 1 : 1 000, ou seja, 1 cm : 10 m, deve-se desenhar um triângulo

retângulo de catetos 4 cm e 10 cm, como ilustrado a seguir:

2. Notamos, na figura, que + = 90º; logo, = 6º. Consultando uma tabela de

tangentes, ou usando uma calculadora, encontramos: tg 6º 0,105, ou seja, a

inclinação da rampa é 0,105, ou 10,5%. Isso significa que, a cada 100 m que

percorremos horizontalmente, nossa elevação vertical é de cerca de 10,5 m. Em

outras palavras, a cada metro percorrido horizontalmente, subimos cerca de 10,5 cm.

3. Se a inclinação da rampa é de 10%, então, aos 80 m horizontais correspondem 8 m,

ou seja, 800 cm de subida, na vertical. Se cada degrau deve ter no máximo 16 cm de

altura, devemos ter no mínimo 16

800= 50 degraus.

4.

a) As cordas de comprimentos c1 e c2 são diâmetros da circunferência dada; temos,

então, c1 = 2 m e c2 = 2 m.

As cordas de comprimentos c3, c4, c5 e c6 são lados de triângulos equiláteros em que

um dos lados é igual ao raio; logo, c3 = c4 = c5 = c6 = 1 m.

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GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 1a série – Volume 4

2

Para calcular o comprimento c7, lembrando que todo ângulo inscrito em uma

semicircunferência mede 90º, podemos usar o teorema de Pitágoras no triângulo

retângulo de lados c1, c6 e c7: (c1)2=(c6)

2 + (c7)2 e, assim, obtemos c7 = m3 1,73 m.

A figura a seguir pode ajudar a lembrar que o triângulo citado é retângulo.

Observação: c1 é o diâmetro da circunferência e, portanto, igual a 2 m.

Note que o conjunto dos pontos de onde se vê uma corda dada em uma

circunferência qualquer sob um ângulo de 90º forma uma semicircunferência que

tem a referida corda como diâmetro.

b) Como o raio da circunferência é igual a 1, o valor da razão entre a semicorda e o

raio é igual ao comprimento de cada semicorda. Temos, portanto, a tabela a seguir:

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GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 1a série – Volume 4

3

c) Se o raio da circunferência é igual a 5 m, então, a corda é proporcionalmente

maior do que a correspondente ao raio de 1 m, vista a partir do mesmo ângulo

central, que é 60º. A figura a seguir pode ajudar a compreender o que se afirma:

Logo, se a corda correspondente ao ângulo central de 60º é igual a 1 m (o valor do

raio) na circunferência de raio 1, então a corda correspondente ao mesmo ângulo na

circunferência de raio 5 m é igual a 5 m (cinco vezes maior).

d) Analogamente, se a corda tiver comprimento 100 m, sendo o ângulo central 60º,

então teremos a proporção: R

c 1

1003 .

Logo, mc

R 1000,1

100100

3

.

Lembrando que sen 30º = 0,5, também, poderíamos escrever:

sen 30º = 0,5 =R

c50

123

.

Daí, seguiria, naturalmente, que mR 1005,0

50 .

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GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 1a série – Volume 4

4

e) Se a corda tiver 100 m, sendo o ângulo central igual a 6º, podemos proceder de

modo análogo ao que foi feito no item anterior, teremos:

sen 3º = R

50. Logo, osen

R3

50

Determinando o valor do seno de 3º em uma tabela de senos, ou em uma calculadora,

obtemos o valor aproximado 0,052. Concluímos, então, que R 961,5 m.

Páginas 8 - 10

1.

a) até d) As igualdades são consequência imediata da definição do cosseno, da

cossecante e da cotangente como sendo, respectivamente, o seno, a secante e a

tangente do ângulo complementar.

e) e f) Como a secante é a razão hipotenusa/cateto adjacente, logo, sec = 1/cos

;

e, analogamente, cossec = 1/sen .

g) e h) A observação direta mostra-nos que

tgb

a

c

bc

asen

cos

.

Analogamente, cotg =

sen

sentg

o

oo cos

)90(cos

)90()90(

.

i) Utilizando o teorema de Pitágoras no triângulo de catetos a e b e de hipotenusa

c, obtemos: c2 = a2 + b2.

Dividindo os dois membros da igualdade por c2, obtemos:

22

1

c

b

c

aou seja, 1 = sen2 + cos2 .

j) Efetuando as operações indicadas no primeiro membro, temos:

22

2

2

2222 sec11

b

c

b

ab

b

atg .

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5

k) Analogamente ao que foi feito em j):

1 + cotg2 = .seccos1 22

2

2

222

a

c

a

ba

a

b

Páginas 12 - 13

5.

a) Pela definição de parsec, quanto menor o ângulo de paralaxe, maior a distância

entre o Sol e a estrela. Logo, se a distância entre o Sol e a estrela é de 10 parsec, o

ângulo de paralaxe é bem menor do que 1” (no caso, o ângulo será cerca de 10 vezes

menor, ou seja, 0,1”).

b) Temos: tg 1” = 0,000004848 = 1 UA/1 parsec.

Logo, 1 parsec/1 UA = 206 270, ou seja, 1 parsec = 206 270 UA.

c) Calculando a distância d percorrida pela luz em um ano, obtemos,

aproximadamente:

d = 365 . 24 . 60 . 60 . 300 000 = 9,46 . 1012 km.

Logo, sendo o parsec igual a 3,09. 1013 km, concluímos que 1 parsec 3,26 anos-luz.

6.

a) Temos: tg 0,5” = 0,000002424 = SE

UA

1

1 .

Logo, SE = 1/0,000002424 = 412 541 UA.

b) Notamos que, como o ângulo de paralaxe é muito pequeno, a tangente e o seno

têm aproximadamente o mesmo valor, ou seja, o cateto SE e a hipotenusa TE são

aproximadamente iguais. De fato, se fosse calculado o valor de TE, obteríamos:

TE2 = SE2 + ST2 TE = 1541412 2 412 541 UA.

Notamos que tal distância corresponde a cerca de 2 parsec.

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6

SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 2

DOS TRIÂNGULOS À CIRCUNFERÊNCIA – VAMOS DAR UMA VOLTA?

Páginas 14 - 15

1.

2. Os ângulos indicados são:

= 60º

= 120º

= 240º

= 300º

Como sen 30º = 2

1e sen2 30º + cos2 30º = 1, cos 30º =

2

3

Logo: sen 60º = cos 30º = 2

3

sen 120º = sen 60º = 2

3

sen 240º = – sen 60º = 2

3

sen 300o = – sen 60o =2

3

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GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 1a série – Volume 4

7

Página 15

1. Basta lembrar que:

tg = sen /cos cotg = cos /sen

sec = 1/cos cossec = 1/sen

Naturalmente, nos pontos em que os denominadores são nulos, a razão

correspondente não existe.

Páginas 16 - 17

3. Vamos mostrar que o segmento TB representa a tangente de e que o segmento OB

representa a secante de .

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GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 1a série – Volume 4

8

De fato, da semelhança dos triângulos OPA e OTB, resulta: OB

OA

TB

PA

OT

OP .

Como OA = OT = 1, OP = cos e PA = sen ,

segue que: OBTB

sen 1

1

cos

.

Logo,

a)

tgsen

TB cos

seccos

1OB

1. Em consequência do resultado acima, aplicando-se o teorema de Pitágoras aos

triângulos OPA e OTB, obtemos:

cos2 + sen2 = 1

1 + tg2= sec2

2. Lembrando que cotg = tg (90º – ) e cossec = sec (90º – ), podemos

representar, analogamente ao que foi feito anteriormente, a secante e a

cossecante em uma figura similar, traçando-se a reta tangente ao ponto (0; 1),

como mostra a figura a seguir.

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9

4. Comparando os segmentos orientados que representam o seno e o cosseno dos

ângulos citados, podemos concluir que:

a) sen 120o = cos 30º = 2

3

cos 120o = – sen 30o = –1/2

Um procedimento análogo, nos itens seguintes, conduziria às respostas abaixo.

Busque também fazer uma figura representando cada item.

b) sen 150º = sen 30º = 2

1 cos 150o = – cos 30o =

2

3

c) sen 210º = – sen 30º = –2

1 cos 210º = – cos 30º =

2

3

d) sen 240o = – cos 30o = 2

3 cos 240º = – sen 30º = –

2

1

e) sen 300º = – cos 30º = 2

3 cos 300º = sen 30º =

2

1

f) sen 330º = – sen 30º = –2

1 cos 330º = cos 30º =

2

3

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GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 1a série – Volume 4

10

Páginas 17 - 18

2.

a) Se o ponto P percorreu um arco correspondente ao ângulo central de 360º, então,

ele percorreu a circunferência inteira, cujo comprimento é 2 metros.

Logo, s = 2 metros. Sendo = 360º, então, sen 360º = 0.

b) Se o ponto P percorreu um arco correspondente a 180º, então ele percorreu

180/360, ou seja, a metade da circunferência, o que equivale a metros.

Sendo = 180º, então, sen 180º = 0.

c) Se o ponto P percorreu um arco correspondente a 90º, então ele percorreu

90/360, ou seja, um quarto da circunferência, o que equivale a /2 metros. Sendo =

90º, então, sen 90º = 1.

d) Se o ponto P percorreu um arco correspondente a 45º, então ele percorreu

45/360, ou seja, um oitavo da circunferência, o que equivale a /4 metros. Sendo

= 45º,

então, sen 45º = 2

2.

e) Se o ponto P percorreu um arco correspondente a 30º, então ele percorreu

30/360, ou seja, 1/12 da circunferência, o que equivale a /6 metros. Sendo = 30º,

então, sen 30º = 2

1.

Podemos generalizar os resultados até aqui obtidos da seguinte maneira:

Em uma circunferência de raio 1, os arcos correspondentes a 360º, 180º, 90º, 45º e

22,5º têm comprimentos iguais a, respectivamente, 2, , /2, /4 e /8 medidos na

mesma unidade do raio.

De modo geral, existe uma proporcionalidade direta entre a medida do arco e a

medida do ângulo central correspondente: se o ângulo central dobrar, o comprimento

do arco também dobrará, e assim por diante.

Desse fato decorre que, sendo o ângulo central , medido em graus, correspondente a

um arco de comprimento s, vale a proporção, 360

2 Rs , ou seja, Rs

2.360

.

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GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 1a série – Volume 4

11

Página 19

5.

As relações entre , s e c decorrem das seguintes expressões, já conhecidas:

R

c

R

c

sen2

22

, ou seja,

2.2

senRc

360

2 Rs , ou seja, Rs

2.360

Para = 180º, temos: c = 2R. sen 90o = 2R e Rs 2.2

1 = R.

Para = 120º, temos: c = 2R. sen 60o = R 3 e s = 3

1. 2R = 2R /3.

Para = 90º, temos: c = 2R . sen 45o = R 2 e s =4

1. 2R = R/2.

Para = 60º, temos: c = 2R. sen 30o = R e s =6

1. 2R = R/3.

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GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 1a série – Volume 4

12

Para = 30º, temos: c = 2R . sen 15o e s =12

1. 2R = R/6 (consultando uma tabela

de senos ou usando uma calculadora, obtemos: c 0,52R).

Para = 10º, temos: c = 2R . sen 5o e s = 36

1. 2R R/18 (consultando uma

tabela de senos ou usando uma calculadora, obtemos: c 0,17R).

Para = 0º, temos: c = 2R . sen 0o = 0 e s = 0.

Para cada um dos valores de , é interessante sugerir aos alunos que façam uma

figura e observem as relações geométricas entre as cordas e os arcos, imaginando os

possíveis polígonos regulares cujos lados correspondem às cordas calculadas, quando

for o caso.

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GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 1a série – Volume 4

13

SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 3

POLÍGONOS E CIRCUNFERÊNCIAS – REGULARIDADES NA INSCRIÇÃO E NA CIRCUNSCRIÇÃO

Páginas 22 - 23

1.

Basta substituir o valor de n pelo correspondente ao número de lados de cada

polígono nas expressões anteriormente obtidas:

= n

o360 i = 180º –

n

o360

(Os valores obtidos que não forem inteiros podem significar alguma dificuldade na

construção efetiva dos polígonos, mas não em sua concepção.)

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GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 1a série – Volume 4

14

2. Um quilógono regular seria confundido com uma circunferência devido ao grande

número de lados (1 000 lados). Note pela tabela que o ângulo central será muito

próximo de zero, e o ângulo interno muito próximo de 180º.

Página 23

1.

a) Como a soma do ângulo interno com o ângulo externo deve ser igual a 180º,

para que os dois sejam iguais é preciso que ambos sejam iguais a 90º. O polígono

regular, nesse caso, é um quadrado.

b) Para que o ângulo interno seja igual ao dobro do ângulo externo, devemos ter

nn

360.2

360180 , que resulta em n = 6. O polígono é um hexágono regular.

c) Se o ângulo central é igual ao ângulo interno, temos:

nn

360180

360 , que resulta em n = 4. O polígono procurado é um quadrado.

Páginas 26 - 28

3.

a) Para n = 3, o ângulo central é igual a 360/n, ou seja, = 120º. Temos, então:

L3i = 2.sen 60o = 3 1,732 e L3c = 2.tg 60o = 2 3 3,464.

Para n = 6, o ângulo central é igual a 60º. Temos, então:

L6i = 2.sen 30o = 1 e L6c = 2.tg 30o = 2 3 /3 1,155.

Para n = 12, = 30o e temos:

L12i = 2.sen 15o 0,518 e L12c = 2.tg 15o 0,536.

Para n = 24, = 15o e temos:

L24i = 2.sen 7,5o 0,261 e L24c = 2.tg 7,5o = 0,263.

b) Analogamente, calculando os lados dos polígonos inscrito e circunscrito para os

valores indicados de n, temos:

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GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 1a série – Volume 4

15

L4i 1,414 e L4c = 2;

L8i 0,765 e L8c 0,828;

L16i 0,390 e L16c 0,398;

L32i 0,196 e L32c 0,197.

É interessante o professor, a partir dos valores calculados, comentar e interpretar

geometricamente os seguintes fatos:

– Quanto mais aumenta o valor de n, mais diminui o comprimento do lado.

– Quanto mais aumenta o valor de n, menor se torna a diferença entre os valores de

Li e de Lc.

– Se multiplicarmos os valores de Li por n, o produto n . Li aproxima-se cada vez

mais de 2 ( 6,282), que é o comprimento da circunferência de raio 1 na qual os

polígonos estão sendo inscritos.

(para L16i 0,390, temos 16.L16i 6,24; para L32i 0,196, temos 32.L32i = 6,272).

O mesmo ocorre se multiplicarmos os valores dos lados dos polígonos circunscritos

pelo número de lados.

4. O lado do polígono inscrito na circunferência é igual a L36i = 2R . sen (/2), sendo

R = 5 cm e o ângulo central igual a 360/36 = 10º.

Calculando, obtemos: L36i = 2 . 5 . sen 5º 0,872.

O perímetro do polígono será igual a: p36 = 36 . L36i 31,392 cm.

O comprimento da circunferência é C = 2R 31,416.

A diferença porcentual pedida é igual a %076,0000764,0416,31

392,31416,31

.

5. Para calcular a área do polígono circunscrito, basta calcular a área de um dos 36

pequenos triângulos em que ele se divide e multiplicar esse resultado por 36.

A área de um desses triângulos é a metade do produto da base L36c pela altura, que é

igual ao raio (1 dm). Logo, tal área vale (L36c . 1)/2.

Em consequência, a área do polígono circunscrito é igual a:

A36c= 36.(L36c . 1)/2 = 18 . L36c.

Calculando o lado do polígono, obtemos:

L36c = 2. tg 5º 0,175 dm.

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GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 1a série – Volume 4

16

Logo, a área será igual a:

A36c = 18 . 0,175 = 3,150 dm2.

A área do círculo de raio R = 1 dm é igual a A = . 12 3,141 dm2.

A diferença porcentual pedida é 003,0141,3

141,3150,3

, ou seja, cerca de 0,3%.

Para calcular a área do polígono regular inscrito, é necessário calcular a altura de

cada um dos triângulos em que ele se divide, que é chamada de apótema (ap) do

polígono. O apótema pode ser obtido usando-se o teorema de Pitágoras no

triângulo retângulo que tem como catetos a metade do lado do triângulo e o apótema,

e como hipotenusa o raio R da circunferência: ap2 + (Li/2)2 = R2. Algumas atividades

explorando tal fato seriam interessantes.

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GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 1a série – Volume 4

17

SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 4

A HORA E A VEZ DOS TRIÂNGULOS NÃO RETÂNGULOS

Páginas 30 - 32

1. Para mostrar tal fato, basta traçar um diâmetro que passa pelo vértice do ângulo

inscrito e notar as relações entre os ângulos indicados:

x + y =

2x + z = 180º

2y + w = 180º.

Logo,

2x + 2y + (z + w) = 360,

ou seja, 2 + (z + w) = 360.

Como sabemos que + (z + w) = 360 (ver figura),

podemos concluir que 2 = , ou seja, 2

, como queríamos mostrar.

Essa relação pode ser aqui explorada, enunciando-se tal resultado de diferentes

modos, como, por exemplo:

Page 18: 2010 - Volume 4 - Caderno do Aluno - Ensino Médio - 1ª Série - Matemática

GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 1a série – Volume 4

18

– Todos os ângulos inscritos em um arco de circunferência, que subentendem a mesma corda (ver Figura 1) têm a mesma medida, que é a metade do ângulo central correspondente.

– Todo ângulo inscrito em uma semicircunferência tem medida 90º (ver Figura 2.)

2. Traçando-se o diâmetro BP = d, notamos que o triângulo BCP é retângulo em C e

que o ângulo BPC é igual a , uma vez que é um ângulo inscrito no arco CAPB, que

tem o lado a como corda.

No triângulo retângulo BCP, temos:d

asen em que d é o diâmetro da

circunferência circunscrita ao triângulo. Notamos, então, que sen

a = d, ou seja, a

razão entre o lado a e o seno do ângulo oposto correspondente é igual ao diâmetro d

da circunferência.

Page 19: 2010 - Volume 4 - Caderno do Aluno - Ensino Médio - 1ª Série - Matemática

GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 1a série – Volume 4

19

De modo inteiramente análogo, concluiríamos que sen

c

sen

b = d, ou seja, as

três razões lado/seno do ângulo oposto são iguais, o que significa que lados e senos

são proporcionais. Esse é o significado da Lei dos senos.

3.

a) O triângulo de lados 5 m, 6 m e 10 m não é retângulo, pois o maior lado ao

quadrado não é igual à soma dos outros dois: 102 > 62 + 52.

b) Se dobrarmos as medidas dos três lados, o novo triângulo será semelhante ao

inicial. Terá, portanto, os mesmos ângulos que ele.

c) Não é possível construir um triângulo com lados 5 m, 3 m e 10 m, pois a soma

de dois dos lados (3 m e 5 m) é menor que o terceiro lado (10 m), como mostra a

figura abaixo.

Para ser possível a construção de um triângulo com lados a, b e c, é necessário que

cada um dos lados seja menor do que a soma dos outros dois.

d) Os lados de um triângulo são diretamente proporcionais aos senos dos ângulos

opostos, ou seja:

sensensen

1065 .

Portanto, a razão

sen

sen é igual a

10

5, ou seja, é igual a

2

1.

Página 32

1. Qualquer que seja a posição do ângulo α, seu seno, calculado no triângulo retângulo

que tem a hipotenusa como diâmetro, é igual a 2

1. Logo α = 30o.

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GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 1a série – Volume 4

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Páginas 33 - 34

4.

a) O triângulo não é retângulo, uma vez que o maior dos lados não é igual à soma

dos quadrados dos outros dois. Como 42 > 22 + 32, o triângulo tem um ângulo obtuso

oposto ao lado 4.

b) Para calcular o cosseno do ângulo , podemos escrever: c2 = a2 + b2 – 2ab . cos .

Logo, 16 = 4 + 9 – 2 . 2 . 3 . cos , ou seja, cos = – 4

1.

(Notamos que cos < 0, pois > 90o)

c) Para calcular o seno dos outros dois ângulos, podemos escolher um dos

seguintes caminhos:

- Calculamos o cosseno de cada um deles, do mesmo modo utilizado para o cosseno

de , e, a partir daí, calculamos o seno por meio da relação fundamental

sen2 + cos2 = 1.

- Alternativamente, podemos calcular o seno de por meio da relação

sen2 + cos2 = 1 e, a partir daí, usar a Lei dos Senos.

Optando por esse segundo caminho, temos:

sen2 + (–4

1)2 = 1, ou seja, sen =

4

15.

(lembrar que tem seno positivo por ser um ângulo menor do que 180o)

Como temos, pela Lei dos senos, a proporção a seguir:

324

sensensen

concluímos que sen = 8

15 e sen = 3

16

15.

5. Considerando o triângulo formado por F2, R e o segmento paralelo a F1, e sendo o

ângulo formado pelos lados F2 e F1, usando a Lei dos cossenos, temos:

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GABARITO Caderno do Aluno Matemática – 1a série – Volume 4

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R2 = F22 + F1

2 – 2F1.F2.cos

Como os ângulos e são suplementares, isto é, a soma dos dois é igual a 180o,

cos = – cos . Em consequência:

R2 = F22 + F1

2 + 2F1.F2.cos

É importante destacar aqui que o ângulo , considerado na Física em geral, é o

ângulo entre as duas forças, e não o ângulo entre os dois lados do triângulo em que se

utiliza a Lei dos Cossenos. Como esses ângulos, entre as duas forças e entre os dois

lados do triângulo, são suplementares, os cossenos são simétricos. Em razão disso, os

sinais aparecem trocados no termo em que aparece o cosseno na lei e na fórmula da

resultante, usada na Física.

Páginas 34 - 36

2. Temos: R2 = 1002 + 1002 + 2 . 100 . 100 . cos

Substituindo os valores de , em cada um dos itens, obtemos:

a) R2 = 20 000 + 20 000 . cos 0o = 40 000. Logo, R = 200.

b) R2 = 20 000 + 20 000 . cos 30o = 20 000 + 10 000 3 37 321.

Logo, R 193,2.

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c) R2 = 20 000 + 20 000 . cos 45o = 20 000 + 10 000 2 34 142.

Logo, R 184,8.

d) R2 = 20 000 + 20 000 . cos 60o = 20 000 + 10 000 = 30 000.

Logo, R 173,2.

e) R2 = 20 000 + 20 000 . cos 90o = 20 000 + 0. Logo, R 141,4.

f) R2 = 20 000 + 20 000 . cos 120o = 20 000 + 20 000 . ( –2

1) = 10 000.

Logo, R = 100.

g) R2 = 20 000 + 20 000 . cos 150o = 20 000 + 20 000 . ( – 3 /2) 2 679.

Logo, R 51,8.

h) R2 = 20 000 + 20 000 . cos 180o = 20 000 + 20 000.(–1) = 0. Logo, R = 0.

É interessante fazer uma figura para cada um dos valores de , representando a

resultante pela Regra do Paralelogramo e interpretando os resultados: quando o

ângulo mede 180º, por exemplo, as forças são diretamente opostas, e a resultante,

naturalmente, é igual a 0.