2010 volume 1 cadernodoaluno a ensinofundamentalii 8aserie caderno do aluno[1]

Caro(a) aluno(a),

Para viver no mundo atual com qualidade de vida é preciso ter cada vez mais conhecimentos, respeitar valores e desenvolver atitudes positivas em relação a si e aos outros.

Os conhecimentos que a humanidade construiu ao longo do tempo são um valioso tesouro que nos permite compreender o mundo que nos cerca, interagir com as pessoas, tomar decisões... Ler, observar, registrar, analisar, comparar, refletir e expressar-se são algumas formas de compartilhar esse tesouro.

Este material foi elaborado especialmente para ajudar você a compreender e a utilizar parte desses conhecimentos. O objetivo das Situações de Aprendizagem deste Caderno é apresentar os conhecimentos matemáticos de forma contextuali-zada, para que a aprendizagem seja construída como parte de sua vida cotidiana e do mundo ao seu redor. Logo, as atividades propostas não devem ser consideradas exercícios ou problemas a serem resolvidos simplesmente com técnicas transforma-das em rotinas automatizadas. Muitas dessas Situações podem ser vistas como pon-to de partida para estudar ou aprofundar uma noção ou propriedade matemática.

Aprender exige esforço e dedicação, mas também envolve curiosidade e cria-tividade, que estimulam a troca de ideias e conhecimentos. Por isso, sugerimos que você participe das aulas, observe as explicações do professor, faça anotações, exponha suas dúvidas, não tenha vergonha de fazer perguntas, procure respostas e dê sua opinião.

Se precisar, peça ajuda ao professor. Ele pode orientá-lo sobre o que estudar e pesquisar, como organizar os estudos e onde buscar mais informações sobre um assunto. Reserve todos os dias um horário para fazer as tarefas e rever os conteúdos; assim você evita que eles se acumulem. E, principalmente, ajude e peça ajuda aos colegas. A troca de ideias é fundamental para a construção do conhecimento.

Aprender pode ser muito prazeroso. Temos certeza de que você vai descobrir isso.

Coordenadoria de Estudos e Normas Pedagógicas – CENP Secretaria da Educação do Estado de São Paulo

Equipe Técnica de Matemática

3

Matemática - 8a série/9o ano - Volume 1

!?

VOCÊ APRENDEU?

1. Considere a seguinte situação: Uma atividade com duas questões foi aplicada em uma classe com 40 alunos. Os resultados indicaram que 20 alunos haviam acertado as duas questões, 35 acertaram a 1a- questão e 25, a 2a- questão.

a) Os dados do enunciado sugerem que a soma das partes é maior do que o todo: 20 1 35 1 25 5 80 . 40. Como podemos explicar esse fato?

b) Se 35 alunos acertaram a 1a- questão e 20 acertaram as duas, quantos alunos acertaram apenas a 1a- questão?

Acertaram a 1a questão 5

Acertaram apenas a 1a questão 5

Acertaram a 1a e a 2a questão 5

SiTUAçãO DE APRENDizAgEM 1 CONJUNTOS E NÚMEROS

Nesta Situação de Aprendizagem, você vai aprender algumas ideias relacionadas aos conjuntos que vão ajudá-lo a resolver problemas e, também, a compreender os diferentes tipos de números que fazem parte da Matemática.

4


Leitura e Análise de Texto

Conjuntos e diagramas

Os diagramas podem ser usados para representar os conjuntos e suas relações. Atribui-se ao famoso matemático suíço Leonhard Euler a ideia de se usar diagramas para representar relações lógicas. O diagrama de Euler nada mais é do que uma região delimitada do plano, simbolizada por uma figura curva fechada, que representa um conjunto. Um conjunto é for-mado por elementos que possuem uma determinada propriedade. Vejamos um exemplo:

O conjunto das aves inclui animais que possuem determinadas características. Uma delas é possuir asas. O beija-flor, o tucano e a águia são aves, ou seja, são animais que pos-suem asas. O cavalo, por sua vez, não pertence ao conjunto das aves, pois não possui asas. O diagrama a seguir representa essa situação.

c) E apenas a 2a- questão?

Acertaram apenas a 2a questão 5

Acertaram a 1a e a 2a questão 5

Acertaram a 2a questão 5

d) Qual é o porcentual de alunos que acertaram apenas uma questão nesta atividade?

Águia

Beija-flor

Tucano Cavalo

Ave

5


VOCÊ APRENDEU?

2. A partir do que você leu no texto apresentado na seção Leitura e Análise de Texto, represente, por meio de diagramas, as seguintes situações:

a) Conjunto: Paulistanos

Elementos: André, Luiz e Renata nasceram na cidade de São Paulo. Júlio nasceu em Ribeirão Preto.

b) Conjunto: Alunos do Ensino Fundamental

Elementos: Patrícia, Renato e Lucas estudam na 7a série do Ensino Fundamental; Rafael estuda na 5a série do Ensino Fundamental; Marta, Reinaldo e Antônio estudam na 2a série do Ensino Médio.

c) Conjuntos: Times de futebol – Corinthians e São Paulo

Elementos: Torcedores – João, Helena, Marcus e Alberto são corintianos. Diego, Laís e Alice torcem pelo São Paulo. André e Tomás não torcem para nenhum time.

6



Relações entre conjuntos

A disposição espacial entre os diagramas indica o tipo de relação existente entre os conjuntos. Quando nos referimos a uma parte de um conjunto em um diagrama, a mesma aparece destacada.

Considere o conjunto A, formado pelos elementos que têm a propriedade a, e o con-junto B, formado pelos elementos que têm a propriedade b. Vejamos alguns tipos de relação que podemos estabelecer entre os dois conjuntos:

1. Inclusão: Todo a é b. Se todo elemento de A pertence a B, então A é um subcon-junto de B.

Simbolicamente, escrevemos A ⊂ B (A está contido em B).

2. Interseção: Algum a é b. Se alguns elementos do conjunto A também pertencem ao conjunto B, então existe interseção entre esses dois conjuntos.

Simbolicamente, escrevemos A ∩ B (A interseção com B).

3. Reunião ou união: a ou b. O conjunto da reunião entre A e B contém todos os ele-mentos de A e de B.

Simbolicamente, escrevemos A ∪ B (A união com B).

4. Diferença: Algum a não é b. Os elementos da diferença entre os conjuntos A e B são aqueles que pertencem a A e não pertencem a B.

Simbolicamente, escrevemos A – B.

5. Complementar: Caso particular da diferença entre dois conjuntos, quando um deles é subconjunto do outro. Contém os elementos de A que não pertencem ao subconjunto B.

Simbolicamente, escrevemos CBA 5 A – B.

6. Conjuntos mutuamente exclusivos: Nenhum a é b. Se nenhum elemento de um conjunto A pertence a outro conjunto B, então esses conjuntos são mutua-mente exclusivos. A interseção entre os dois conjuntos é vazia.

Simbolicamente, escrevemos A ∩ B 5 ∅.

7


VOCÊ APRENDEU?

3. Assinale o item que melhor representa os diagramas a seguir:

a) Conjuntos: múltiplos de dois e múltiplos de três.

i. M(3) – M(2) ii. M(3) ∩ M(2) iii. M(2) – M(3)

b) Conjuntos: retângulos e losangos.

i. Retângulos ∩ Losangos ii. Losangos ⊂ Retângulos iii. Losangos ∪ Retângulos

c) Conjuntos: números pares e números primos.

i. Pares – Primos ii. Pares ∩ Primos iii. Pares ∪ Primos

d) Conjuntos: números pares e múltiplos de dez.

i. Pares – M(10) ii. Pares ∪ M(10) iii. M(10) ⊂ Pares

e) Conjuntos: polígonos e polígonos regulares.

i. CRegulares Polígonos

ii. Polígonos ∩ Regulares iii. Polígonos ∪ Regulares

f ) Conjuntos: números pares e ímpares.

i. Pares – Ímpares ii. Pares ∩ Ímpares 5 v iii. Pares ⊂ Ímpares

M(3)2

410

0

14

8

12 15

3

9

6M(2)

Ímpares2

410

0

8

1211

351

7

9

6Pares

Retângulos Losangos

24

20

0

8

12

11

3

75

6Pares Primos

2

4

08

1220

10

Pares

M(10)

Polígonos

Regulares

8


LiçãO DE CASA

4. Pinte os diagramas que representam as seguintes operações entre conjuntos:

a) A – B

A B

b) A ∩ B

A B

c) A ∪ B

A B

d) CBA

A

B

e) A – (B ∪ C)

BA

C

f ) A – (B ∩ C)

BA

C

g) CUA B∪

U

BA

9



Diagramas e lógica

Os diagramas de Euler passaram a ser amplamente utilizados para representar conjuntos devido à sua facilidade de compreensão visual. Contudo, ficaram mais conhecidos como “Diagramas de Venn”, devido à semelhança com o tipo de diagrama criado pelo filósofo britânico John Venn. Os diagramas também podem ser usados para representar argumentações lógicas. Por exemplo:

• Todos os mineiros são brasileiros.

Pedro é mineiro.

Logo, Pedro é brasileiro.

Essa estrutura de argumentação lógica é denominada silogismo, e é composta de três proposições: duas premissas e uma conclusão.

BrasileirosMineiros

Pedro

VOCÊ APRENDEU?

5. Nas figuras seguintes, assinale o diagrama que melhor representa os argumentos dados.

a) Todas as pessoas nascidas em Curitiba (C) são paranaenses (P). João nasceu em Curitiba. Logo, João é paranaense.

i.

João

CP iii.

P

C

João

ii. C

P

João

10


b) Nenhum quadrilátero possui cinco lados.

Um quadrado é um quadrilátero.

Logo, nenhum quadrado possui cinco lados.

i. Quadriláteros

Cinco lados

Quadrado

iii.

Cinco ladosQuadriláteros

Quadrado

ii.

Quadrado

Cinco ladosQuadriláteros

c) Alguns tetraedros são regulares.

Todos os tetraedros são pirâmides.

Logo, algumas pirâmides são regulares.

i. Poliedros regulares

Tetraedros Pirâmides

iii.

Poliedros regulares

Pirâmides

Tetraedros

ii.

Pirâmides

TetraedrosPoliedros regulares

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Problemas, conjuntos e diagramas

6. Vamos retomar o problema inicial desta Situação de Aprendizagem para resolvê-lo por meio de diagramas. Uma atividade com duas questões foi aplicada em uma classe com 40 alunos. Os resultados indicaram que 20 alunos haviam acertado as duas questões, 35 acertaram a 1a- questão e 25, a 2a- questão.

a) Represente no diagrama a seguir o número de alunos que acertaram as duas questões.

1a 2a

b) Represente no diagrama a seguir o número de alunos que acertaram apenas a 1a- questão.

1a 2a

c) Represente no diagrama a seguir o número de alunos que acertaram apenas a 2a- questão.

1a 2a

12


7. Uma pesquisa de mercado foi realizada para verificar a audiência de três programas de televisão. Ao todo, 1 200 famílias foram entrevistadas e obtiveram-se os seguintes resultados: 370 famílias assistem ao programa A; 300, ao programa B e 360, ao programa C. Desse total, 100 famílias as-sistem aos programas A e B, 60, aos programas B e C, 30, aos programas A e C e 20 famílias assistem aos 3 programas. Represente nos diagramas as seguintes informações do problema:

a) Famílias que assistem a três programas.

A B

C

b) Famílias que assistem a dois programas.

A B

C

c) Famílias que assistem exclusivamente a um programa.

A B

C

d) Famílias que não assistem a nenhum dos três programas.

A B

C

T

13


8. A partir do diagrama apresentado na atividade anterior, responda às seguintes perguntas:

a) Quantas famílias assistem ao programa A e não assistem ao programa C?

b) Quantas famílias assistem aos programas B e C e não assistem ao programa A?

c) Qual é o programa de maior fidelidade, ou seja, cujos espectadores somente o assistem?

LiçãO DE CASA

9. Resolva o problema a seguir, usando diagramas.

Uma prova com três questões foi aplicada em uma classe com 60 alunos. Os resultados obti-dos foram os seguintes: 36 alunos acertaram a 1a- questão, 31 acertaram a 2a- e 25 acertaram a 3a-. Além disso, verificou-se que 18 alunos acertaram a 1a- e a 2a- questão, 16 acertaram a 1a- e a 3a- questão e 13 acertaram a 2a- e a 3a- questão. Apenas 10 alunos acertaram as três questões.

Represente na forma de diagrama os conjuntos descritos acima e responda às questões seguintes:

14


a) Quantos alunos erraram as três questões?

b) Quantos alunos acertaram a 1a- ou a 2a- questão?

c) Quantos alunos erraram a 3a- questão?

(Coordenadoria de Admissão aos Cursos Regulares - FgV-SP) – Uma pesquisa de • mercado sobre o consumo de três marcas, A, B e C, de um determinado produto apresentou os seguintes resultados: A (48%); B (45%); C (50%); A e B (18%); B e C (25%); A e C (15%); nenhuma das três, 5%.

(Dica: represente a porcentagem de entrevistados que consomem as três marcas por x e construa o diagrama com as informações dadas.)

a) Qual é a porcentagem dos entrevistados que consomem as três marcas?

b) Qual é a porcentagem dos entrevistados que consomem uma, e apenas uma, das três marcas?

Desafio!

15


VOCÊ APRENDEU?

Conjuntos numéricos

10. Qual diagrama representa melhor os subconjuntos dos números reais?

n – Naturais / – inteiros / – Racionais / r – irracionais

a)

iNr

iR

b)

iN

iR

c)

iN

iR

r

16


11. Na atividade anterior, destaque com lápis de cor o conjunto dos números irracionais.

12. Classifi que em verdadeira ou falsa as expressões matemáticas a seguir. Reescreva as expressões falsas, tornando-as verdadeiras.

a) iN ⊂

b) iN ∪ 5

c) iR – iir 5

d) ∩ 5

e) ∩ iir 5

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VOCÊ APRENDEU?

Números racionais e sua escrita decimal

1. Responda:

a) Qual é a fração geratriz da dízima 0,7999...?

b) Qual é o decimal encontrado quando dividimos o numerador pelo denominador na fração encontrada no item a?


A conclusão importante que decorre da Atividade 1 que você acabou de resolver é que tanto a dízima periódica 0,7999... quanto o decimal finito 0,8 são representações decimaisda mesma fração 4

5.

Considerando o resultado obtido como fração geratriz de uma dízima periódica, po-demos afirmar que:

Todo número racional pode ser escrito como uma dízima periódica.

Historicamente, o desenvolvimento da representação de racionais por uma dízima periódica teve como motivação a busca de escrever qualquer fração sob uma forma deci-mal. isso porque tanto o cálculo quanto a comparação entre frações decimais são mais simples do que entre frações ordinárias.

SiTUAçãO DE APRENDizAgEM 2 NÚMEROS REAiS E AS FRAçÕES CONTÍNUAS

18


2. Encontre frações que mostrem a equivalência entre os seguintes números:

a) 2,5 e 2,4999...

b) 1 e 0,999...

c) 0,32 e 0,31999...

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3. Analise atentamente os resultados que você obteve na atividade anterior e justifique a seguinte frase: “Todo número racional pode ser escrito como uma dízima periódica”.

4. Se todo número racional pode ser escrito como uma dízima periódica, será sempre possível representar um racional como uma soma de infinitas frações. Por exemplo, no caso dos racionais

45

e 76

, essas somas seriam:

45

5 0,8 5 0,7999... 5 710

+ 9100

+ 91 000

+ 910 000

+ ...

76

5 1,1666... 5 1 + 110

+ 6100

+ 61 000

+ 610 000

+ ...

Usando essa mesma ideia, escreva as frações a seguir como soma de infinitas frações:

a) 38

b) 73

20


LiçãO DE CASA

5. Encontre a fração geratriz de 2,3939... e mostre que ela é diferente da fração geratriz de 2,4.

(Sugestão: encontre as frações geratrizes dos dois decimais e, em seguida, transforme essas fra-ções em frações de mesmo denominador para poder compará-las.)

Se por um lado o uso da notação decimal nos permite escrever todo e qualquer núme-ro racional como uma soma de infinitas frações, há um processo que nos permite escrever todo e qualquer número racional com um número finito de frações, como veremos a seguir. Antes de começar a ler o texto Frações contínuas, seguem algumas recomendações: 1. A conduta para uma boa leitura de um texto matemático é ligeiramente diferente da

boa conduta para a leitura de um texto literário ou de um texto de jornal ou revista. Para compreender um texto matemático, recomenda-se que a leitura seja feita com uma folha de papel ao lado, para que se possa fazer contas, simulações de cálcu-los, montagem de novos exemplos que auxiliem a compreender uma generalização. Procure ler o texto a seguir dessa forma.

2. Quando não compreendemos alguma passagem de um texto matemático, seja pelo desco nhecimento da notação utilizada, ou por não entender o raciocínio utilizado, devemos sempre anotar a dúvida para esclarecer com colegas e/ou com o professor. Não deixe de anotar suas dúvidas sobre o texto que vai ler a seguir e de buscar resolvê-las.

3. Algumas vezes necessitamos de conhecimentos prévios para a compreensão de textos matemáticos. No caso do texto que você vai ler a seguir, os conhecimen-tos que deve recuperar para poder compreendê-lo de forma mais tranquila são: notações de desigualdade (símbolos de . e ,), divisão de frações e resolução de equações simples com a incógnita no denominador.

Observação!

21



Frações contínuas

A fração 45 situa-se entre os inteiros 0 e 1. Dessa forma, podemos escrever 4

5 como

0 + 1x , sendo que x >1. Se 45 5 0 + 1x , então x 5 54 , o que nos permite escrever, portanto,

4 __ 5 5 45

0 154

= + , que chamaremos de igualdade (1). Repetiremos o raciocínio que acabamos

de fazer agora para a fração 54. Sabemos que 5

4 é um número entre 1 e 2 e que, portanto,

pode ser escrito como 1+ 1y , com y > 1. Se 54 5 1 + 1y , então y 5 4. Segue, portanto, 54 5 1 + 14,

que chamaremos de igualdade (2). Substituindo (2) em (1) teremos 4 __ 5 5 45

0 1

1 14

= ++

, que

será a igualdade (3). Repetindo mais uma vez o mesmo processo para a fração 14, teremos:

14 5 0 + 1

w, com w > 1, o que implica dizer que w 5 4 e que, portanto, 14 5 0 + 1

4.

Note que essa última etapa dos cálculos não implicou uma representação diferente

para a fração 14, o que, em última análise, quer dizer que o processo está encerrado.

Na prática isso sempre ocorrerá quando x, y, w... for um número inteiro. No caso

do exemplo analisado, x 5 54 , o que nos fez calcular y, que por sua vez é igual a 4 8 ,

encerrando, assim, o processo em y. Decorre do processo que acabamos de fazer a seguinte

igualdade, que chamamos de “desenvolvimento do 45 em fração contínua”: 4 __ 5 5 45

0 1

1 14

= ++

.

Pode-se demonstrar que todo número racional pode ser escrito como fração contínua por meio de um desenvolvimento finito, como ocorreu no exemplo que acabamos de analisar. Vamos mostrar agora que o racional 7

6 , cuja representação decimal é explicitamente uma dízima periódica (1,1666...), também pode ser escrito com fração contínua, mediante um número finito de passos. O raciocínio será o mesmo que foi utilizado para o 45, acompanhe:

(1) 76 está entre 1 e 2, portanto, 76 5 1 + 1x , com x > 1.

(2) De 76 5 1 + 1x decorre que x 5 6, ou seja, 76 5 1 + 16.

(3) Como x = 6 8 , o processo está encerrado e a fração contínua do desenvolvimento

de 76 é 76 5 1 + 16.

22


VOCÊ APRENDEU?

6. Com relação ao número racional 167 , pergunta-se:

a) Utilizando o algoritmo da divisão para fazer 16 ÷ 7, encontraremos um decimal finito ou uma dízima periódica?

(Sugestão: a conta armada é cansativa e longa, mas vale a pena fazer para praticar e identi-ficar a resposta do problema de forma mais clara.)

b) Escreva 167 como fração contínua.

23


LiçãO DE CASA

7. Escreva 3013 como fração contínua.

As frações contínuas e os números

Para a leitura do texto a seguir, valem as mesmas recomendações feitas anteriormente, acrescidas da sugestão do uso de uma calculadora para os cálculos. Quanto aos conteúdos prévios de Matemática que podem auxiliar a compreensão do texto, são os mesmos do outro texto, acrescidos de operações com raízes (em especial, racionalização de denominadores). Boa leitura!


Uma forma muito utilizada de nos referirmos aos números irracionais é a de que são números cuja representação decimal tem infinitas casas não periódicas depois da vírgula. Nesse caso, ao observarmos no visor de uma calculadora de oito dígitos o re-sultado 1,4142135 de 2 , sabemos, de antemão, que o número indicado é apenas uma aproximação de 2 , dado que 2 é um número irracional. Se fosse possível ter uma calculadora que calculasse 2 com infinitas casas, o fato de se tratar de um número ir-racional nos daria garantias de que as casas depois da vírgula não seriam periódicas.

Ao nos referirmos aos números irracionais dessa maneira – e tendo discutido antes a representação dos racionais por frações contínuas –, surge quase naturalmente a seguinte pergunta: existe um processo para a representação dos irracionais com frações contínuas? Veremos a seguir que, além de existir, surpreendentemente ele nos conduz a um tipo de representação periódica e, portanto, previsível.

24


A seguir, aplicaremos o mesmo processo que foi utilizado para a obtenção de frações contínuas de números racionais para o caso do número irracional 2.

1. 2 está entre 1 e 2, portanto, 2 1 1= +

x, com x > 1.

2. De 2 1 1= +

x decorre que:

2 1 1– =x

x =1

2 1–

x =1

2 12 12 1–

.+

+

x = 1 2+

Temos, portanto, 2 1 11 2

= ++

.

3. 1 2+ é um número entre 2 e 3, portanto, 1 2 2 1+ +=

y, y > 1.

4. De 1 2 2 1+ +=

y decorre que y = 1 2+ e, portanto, temos: 1 2 2 1

1 2+ +

+= .

5. Substituindo no resultado do passo 2 o resultado obtido no passo anterior teremos:

2 1 1

2 11 2

= ++

+

.

6. Note que x = y = 1 2+ . Se fôssemos continuar o processo, partiríamos de y e encontraríamos w = 1 2+ . Na sequência, partiríamos de w = 1 2+ e encontraríamos z = 1 2+ , e assim suces-sivamente, em um processo infinito. Segue, portanto, que a fração contínua que representa 2 será:

2 1 1

2 1

2 1

2 1

2 1

2 1

= ++

++

++

...

25


O processo descrito nos fornece uma “fábrica” de aproximações racionais para 2 , bastando para isto parar em algum ponto da sequência infinita indicada na fração contínua.

1a aproximação: 2 ≅ 1

2 1 1

2 1

2 1

2 1

2 1

2 1

= ++

++

++

...

5 1 1 2 1 1

2 1

2 1

2 1

2 1

2 1

= ++

++

++

...


1 5= , 5 1,5

2 1 1

2 1

2 1

2 1

2 1

2 1

= ++

++

++

...

5 1 1 2 1 1

2 1

2 1

2 1

2 1

2 1

= ++

++

++

...

2 ≅ 1 12

+ , ou seja, 2 ≅ 32


1 4= ,

2 1 1

2 1

2 1

2 1

2 1

2 1

= ++

++

++

...

5 1 1 2 1 1

2 1

2 1

2 1

2 1

2 1

= ++

++

++

...

2 ≅ 1 1

2 12

++

, ou seja, 2 ≅ 75

26



≅ 1,4167

2 1 1

2 1

2 1

2 1

2 1

2 1

= ++

++

++

...

2 ≅ 1 1

2 1

2 12

++

+

, ou seja, 2 ≅ 1712


≅ 1,4138

2 1 1

2 1

2 1

2 1

2 1

2 1

= ++

++

++

...

2 ≅ 1 1

2 1

2 1

2 12

++

++

, ou seja, 2 ≅ 4129

Pode-se demonstrar que as sucessivas aproximações racionais que obtemos de 2 por meio da sua fração contínua formam uma sequência convergente em que seus termos são, alternadamente, aproximações por falta e por excesso de 2. A tabela a seguir resume essa informação:

Aproximação de 2Erro em relação ao valor de 2 Aproximação por

1a 11 = 1 ≅ 0,4142 falta

2a 32 = 1,5 ≅ 0,0858 excesso

3a 75 = 1,4 ≅ 0,0142 falta

4a 1712 = 1,4167 ≅ 0,0024 excesso

5a 4129 = 1,4138 ≅ 0,004 falta

O processo de determinação das frações contínuas dos números racionais e do número irracional 2 sinaliza para os seguintes fatos, que podem ser matematicamente demonstrados:

27


1. Todo número racional pode ser representado por uma fração contínua por meio de um número finito de passos.

2. Os números do tipo n (em que n é natural não quadrado perfeito) têm desenvolvimento com infinitos passos, e os passos são periódicos.

3. Todo número real pode ser representado por uma fração contínua.

O segundo resultado enunciado é curioso e surpreendente porque, contrariamente às aproxima-ções de 2 quando expresso por decimais (aproximações que envolvem infinitas frações não periódi-cas), ao expressarmos 2 por uma fração contínua, sua representação será periódica.

Apenas como curiosidade, apresentamos a seguir a representação com fração contínua de dois

importantes números irracionais, a razão áurea 1 52

+ e π:

1 52

1

1 1

1 1

1 1

1 1

+=

++

++

...

3 1

7 1

15 1

1 1

292 1

1 1

1 1

1 1

2 1

++

++

++

++

+...

e π =

LiçãO DE CASA

8. Determine a fração contínua que representa o número 24 . Para isso, consulte o texto anterior, seguindo o exemplo do que foi feito com 2.

28


29



Localização de números na reta real com o uso de régua e compasso

Os gregos antigos interessavam-se por construções geométricas feitas com o uso de dois dos instrumentos geométricos mais simples de todos: a régua sem escala e o compas-so. Outros instrumentos de construção também eram utilizados na Antiguidade clássica, porém, acredita-se que o problema de se encontrar os procedimentos para as construções geométricas com o uso de apenas esses dois instrumentos esteja relacionado à busca de simplicidade e elegância.

iremos investigar a seguir alguns procedimentos com régua sem escala e compasso para localizar na reta real a maior quantidade de números que for possível. Começaremos nossa discussão apresentando um diagrama com exemplos de números de cada conjunto nu-mérico e, em seguida, tentaremos localizar na reta real (com os instrumentos permitidos) alguns dos exemplos colocados no diagrama.

sen 10o0,25

01

32

– 1

– 2

– 3

– 6

2,3666...log 2

π

12

13

iR –

iN2

3

23

24

Provavelmente, você deve ter achado estranho alguns números representados nesse diagrama, como, sen 10o e log 2. Esses dois números são irracionais, cujas aproximações, com quatro casas decimais, são 0,1736 e 0,3010, respectivamente. Você vai aprender mais sobre esses números no Ensino Médio.

SiTUAçãO DE APRENDizAgEM 3 ARiTMÉTiCA, ÁLgEBRA E gEOMETRiA COM A RETA REAL

– 47

z

30


VOCÊ APRENDEU?

Construção dos números naturais e dos inteiros negativos

1. Partindo de uma reta ordenada com uma marcação para o zero, estabeleça uma unidade de me-dida arbitrária (1u) e, com a ajuda do compasso, marque alguns números naturais e os inteiros negativos transportando a unidade para a reta real.

–3 –2 –1 0 1 2 3 iR

1u

Construção dos racionais não inteiros

2. Faça a construção de 12 na reta real.

(Sugestão: marque com o compasso o número 1 e, em seguida, trace a mediatriz do segmento que liga os números 0 e 1.)

0 1 iR

© C

onex

ão E

dito

rial

31


3. Construa, na reta real, com régua e compasso, o número 0,25 = 14.

4. Considerando o que foi feito nas questões anteriores, reflita sobre como seria possível construir, com régua sem escala e compasso, o número racional – 7

8 . Registre suas conclusões.

5. Agora você vai construir 13 na reta real. Siga com cuidado as etapas apresentadas. Embora seja

um pouco trabalhoso, o procedimento de construção tem a vantagem de constituir-se em um

método geral para a representação de qualquer racional do tipo 1q, com q 8 z*.

32


Construção do • 13 :

i. Marcamos D e E nos pontos correspondentes aos números reais 0 e 1 da reta.

ii. Traçamos uma reta qualquer (diferente da reta real) passando por D, que chamaremos de reta t.

iii. Na reta t, com a ajuda do compasso, marcamos três segmentos de mesmo comprimento a partir do ponto D (na figura são os segmentos DA, AB e BC). O comprimento desses segmentos não precisa ser igual à unidade de medida 1u.

iV. Ligamos C com E formando o triângulo DCE.

Até essa etapa, a sua construção deve ser semelhante a:

0

D

A

B

C

1

E

t

iR

33


Repare que se conseguirmos traçar, com régua e compasso, retas paralelas à reta que passa por E e C de forma que elas passem pelos pontos B e A, o teorema de Tales nos dará garantias de que a

interseção dessas retas com a reta real ocorrerá nos números 13 e 23.

Para traçar a paralela s à reta EC você deve seguir os seguintes passos:

1. A partir de um ponto P de EC, abrimos o compasso até B e traçamos uma semicircunferência de diâmetro Xz.

2. Transportamos com o compasso o segmento XB na semicircunferência para a posição indicada na figura por zQ (XB e zQ são congruentes).

3. Ligando os pontos B e Q, determinamos a reta s, que será paralela à EC.

4. A interseção de s com a reta real ocorrerá em 23. Para traçar 1

3, basta transportar com o com-

passo o segmento de extremos em 23 e 1 para a esquerda de 23 (note que o segmento transportado

tem medida igual a 13 u).

Agora, verifique se a sua construção ficou desta forma:

0

D

Q

z

X

st

PA

B

C

1

E

23

iR

Caso tenha havido alguma diferença entre a sua construção e a imagem apresentada, tente rever as etapas indicadas e localizar qual foi o problema.

34


O procedimento descrito permite a generalização da construção com régua sem escala e com-

passo de qualquer racional 1q, com q ∈ z* e, consequentemente, de qualquer fração pq, com p ∈ z

e q 8 z*.

LiçãO DE CASA

6. Construa na reta real, com régua e compasso, o número 0,8333... = 56

.

35


VOCÊ APRENDEU?

Localização de números irracionais na reta real com o uso de régua e compasso

7. Uma vez que já conhecemos um procedimento para localizar todos os racionais na reta real com régua e compasso, nossa tarefa agora será investigar a localização dos números irracionais. Vamos começar localizando 2. Para isso, siga atentamente os seguintes passos:

a) Trace uma perpendicular à reta real passando pelo zero.

b) Marque 1 u na reta traçada (P) e também na reta real (Q).

c) Ligue P e Q. O segmento obtido tem medida 2u (pelo teorema de Pitágoras).

d) Transporte com o compasso o segmento de extremos P e Q para a reta real e determine 2u sobre ela.

36


Até aqui, sua construção deve estar da seguinte forma:

0 1

1 P

Q

2

2

iR

Observe que, se utilizarmos um triângulo retângulo de catetos 1u e 2 u, sua hipo-tenusa será 3 u, o que mostra que 3 também é construtível. Ou seja, repetindo esse processo podemos construir qualquer número irracional do tipo n, com n natural e não quadrado perfeito.

Frequentemente, encontramos nos livros de Matemática essa construção associada à espiral ilustrada na figura a seguir:

11

1

1 1

1

1

1

1

1

111

...

Dispositivo de Teodoro, de Cirene.

2

® ___

12

® __

2 ®

__ 3

® __

5 ®

__ 4

® __

9

® ___

13

® ___

14 ®

___ 15

® ___

16

® ___

17

® ___

11 ® ___

10

® __

8

® __

6

® __

7

37


8. Vamos agora construir 24 . Para isso, você precisa se lembrar que, em um triângulo retângulo, vale a seguinte relação métrica:

B C

A

a

n m

h

bc

a) Analisando a relação acima, qual será o valor de h se n = 1 e m = 2?

b) Se n = 1 e m = 2 , qual é o valor de h?

c) O que aconteceria com o valor de h se tomássemos n = 1 e m = 24 ?

d) Repetindo esse procedimento, quais raízes podemos obter?


Acompanhe o procedimento com régua sem escala e compasso, necessários para a construção de 24 .

1. Traçamos com régua e compasso os números reais 1 e 1 2+ .

h2 = m . n

38


2

2

1 2+

1 2+

2. Traçamos a mediatriz t do segmento de extremos em 0 e 1 2+ para determinar M, ponto médio desse segmento.

0

1

1 M

t

iR

3. Traçamos uma semicircunferência de centro M e raio 1 2

2+

.

0

1

1 M

t

2

iR

2

2

39


4. Traçamos uma perpendicular à reta real passando pelo número 1 e, em seguida, mar-camos com P sua interseção com a semicircunferência.

0

1

1 M

t

P

2

iR

5. O segmento de extremos em P e no número 1 tem comprimento 24 porque é a altura de um triângulo retângulo de projeções ortogonais dos catetos sobre a base medindo 1 e 2.

1

h

2

O procedimento descrito permite que se construa qualquer raiz do tipo np , em que p é uma potência de 2 diferente de 1, ou seja, p é igual a 2, 4, 8, 16, ..., e n natural.

2

h2 = 1 . ® __

2

h = 4 ® __

2

1 2+

Esse ângulo é reto porque é um ângulo inscrito de um ângulo central de 180o.

2

2

40


LiçãO DE CASA

9. Construa na reta real, com régua e compasso, o número 5.

(Use o procedimento da espiral.)

10. A partir do que foi apresentado na seção Leitura e Análise de Texto, construa 54 , com régua sem escala e compasso.

(Use as relações métricas no triângulo retângulo.)

41


42



O micro, o macro e as potências de dez

O principal argumento para justificar o uso de uma notação na forma de potências de dez é que ela facilita a compreensão, a comparação e a operação com números muito grandes ou muito pequenos. As informações numéricas escritas na forma decimal nem sem-pre são inteligíveis. Por exemplo: o raio do átomo de hidrogênio mede, aproximadamente, 0,000000005 cm; uma célula é formada por cerca de 2 000 000 000 000 de átomos. Dificil-mente somos capazes de assimilar informações como essas. Escrevendo os mesmos números como potências de dez, é possível ter uma ideia da sua ordem de grandeza.

Raio do átomo de hidrogênio: 5 . 10• –9 cmNúmero de átomos em uma célula: 2 . 10• 12

Um número pode ser escrito como uma potência de dez de diferentes formas. Para isso, basta decompô-lo em um produto por um múltiplo de dez.

1 500 . 1 = 150 . 10 = 15 . 100 = 1,5 . 1 000 = 0,15 . 10 000 = ...

Em notação de potência de dez, os mesmos números seriam escritos assim:

1 500 . 100 = 150 . 101 = 15 . 102 = 1,5 . 103 = 0,15 . 104 = ...

Ou seja, existem infinitas maneiras de expressar um número como um produto de uma potência de dez.

VOCÊ APRENDEU?

1. Escreva os números a seguir como potências de dez, de quatro maneiras diferentes.

a) 250 =

b) 0,004 =

c) 4,73 =

d) 0,125 =

e) 25 300 =

SiTUAçãO DE APRENDizAgEM 4 POTÊNCiAS, NOTAçãO CiENTÍFiCA E ORDEM DE gRANDEzA

43


2. Percepção numérica: Números muito grandes ou muito pequenos costumam fugir à nossa intuição. Como intuir a magnitude de um milhão ou de um trilhão? E a magnitude de um bilionésimo? Nesta atividade, você vai verificar se sua intuição numérica é capaz de avaliar a magnitude de alguns números. Para isso, suponha que você tenha que estimar o tempo necessário para contar até um determinado número, um número por segundo. Por exemplo, para contar até 100 são necessários 100 segundos, isto é, 1 minuto e 40 segundos.

Preencha a tabela abaixo da seguinte maneira:

i. Observe os números por extenso, apresentados na primeira coluna;

ii. Siga o exemplo da segunda coluna, inserindo os numerais de acordo com a primeira coluna;

iii. Na terceira coluna você deve indicar o numeral na forma de potência de dez;

iV. Na última coluna, efetue os cálculos necessários para determinar o tempo de contagem, usando uma unidade de medida apropriada (minuto, hora, mês, ano ou século).

Nome NúmeroPotência de dez

Tempo de contagem

Um 1 100 1 segundo

Mil 1 000 103

Milhão

Bilhão

Trilhão

Quatrilhão

Quintilhão

PESQUiSA iNDiViDUAL

Prefixos do Sistema Internacional

Os prefixos são usados para facilitar a medição de algumas grandezas, principalmente nas ciências. Alguns desses prefixos são bem conhecidos, como o quilo (1 000), que é usado para expressar distâncias (quilômetro = 1 000 metros), massa (quilograma = 1 000 gra-mas) ou, até mesmo, unidades de informação (quilobyte = 1 000 bytes). Outros são menos conhecidos, como os exemplos a seguir:

44


• um elétron tem 1 femtômetro de extensão.• a luz amarela tem comprimento de onda de 0,5 micrômetro.• uma montanha pode pesar cerca de 100 petagramas.• as informações digitais criadas, capturadas e replicadas no mundo em 2007

equivalem a 281 exabytes.

Faça uma pesquisa e descubra quais são os outros prefixos do Sistema internacio-nal. Preencha a tabela a seguir com os nomes dos prefixos e letras correspondentes aos valores em potências de dez.

Potência de dez

Prefixos SímboloPotência de dez

Prefixos Símbolo

10 – 15 103 quilo k

10 – 12 106

10 – 9 109

10 – 6 1012

10 – 3 1015

10 – 2 1018

10 – 1

LiçãO DE CASA

3. Escreva os números a seguir por extenso e em notação científica:

Exemplo: 0,035 (trinta e cinco milésimos): 3,5 . 10 – 2

a) 7 300 000 000

b) 2 980 000 000 000 000 000

c) 0,25

d) 0,0004

e) 0,0000125

45


4. Transforme os dados numéricos em notação científica:

a) A população da China é, aproximadamente, igual a 1,3 bilhão de habitantes.

b) A Bacia Amazônica é formada pelo Rio Amazonas e seus afluentes e ocupa uma área de 7 045 000 km2, dos quais 4 750 000 km2 estão em território brasileiro.

c) A velocidade da luz é cerca de 300 000 quilômetros por segundo.

d) A espessura da folha de papel é de, mais ou menos, 0,0001 metro.

VOCÊ APRENDEU?

5. Efetue as seguintes operações, usando as propriedades da potenciação. Dê as respostas em notação científica.

a) 1 200 . 500 000 =

b) 0,00015 . 0,002 =

c) 450 000 ÷ 0,009 =

d) (0,0004)4 =

6. Efetue as operações a seguir e dê a resposta em notação científica.

a) 2,5 . 105 + 7 . 103 =

b) 2,5 . 107 – 500 . 104 =

c) 1,28 . 108 + 4 . 105 =

d) 7,54 . 107 – 3,2 . 106 =

46


LiçãO DE CASA

7. Escreva as distâncias indicadas na tabela em notação científica:

Planeta Distância média ao Sol (em km) Notação científica

Mercúrio 57 900 000

Vênus 108 200 000

Terra 149 600 000

Marte 227 900 000

Júpiter 778 300 000

Saturno 1 427 000 000

Urano 2 870 000 000

Netuno 4 497 000 000

8. Com base na tabela anterior, imagine o seguinte problema: Em determinado instante, Sol, Terra e Saturno formam um triângulo retângulo, com o ângulo reto na Terra. Nesse momento, qual é a distância entre Saturno e a Terra? (Faça um desenho para representar essa situação.)

47



Ordem de grandeza

Em muitas situações, quando trabalhamos com medidas muito grandes ou muito pequenas, não há necessidade de conhecer com precisão todos os algarismos que com-põem o número. Nesses casos, basta conhecer a potência de dez que mais se aproxima de um determinado valor. Essa potência é denominada ordem de grandeza do número que expressa a medida.

Exemplos:

a) O raio orbital médio do planeta Júpiter mede aproximadamente 778 547 200 km. Esse número pode ser escrito como 7,785472 . 108 km. Como 7 está mais próximo de 10 do que de 1, podemos aproximá-lo para 10, resultando no produto 10 . 108. Portanto, sua ordem de grandeza é de 109.

b) A ordem de grandeza do número 0,000031 é 10 – 5. isso porque, escrevendo o número em notação científica, 3,1 . 10 – 5, notamos que o 3 está mais próximo do 1 do que do 10. Portanto, aproximamos o número para baixo, resultando em 1 . 10–5.

Conhecendo as ordens de grandezas de diversas medidas, podemos facilmente distin-guir qual é a menor ou a maior, bastando comparar os expoentes das potências de dez. Retomando a tabela da seção anterior, que informa as distâncias médias dos planetas ao Sol, podemos constatar que a distância Terra-Sol é da ordem de 108 km, enquanto a distância Júpiter-Sol é da ordem de 109 km. Em termos de ordem de grandeza, Júpiter é, aproxima-damente, dez vezes mais distante do Sol que a Terra.

VOCÊ APRENDEU?

9. Dê a ordem de grandeza das seguintes medidas:

a) População mundial: aproximadamente 6,6 bilhões em 2007.

b) Massa da Terra: 5,9742 . 1024 kg.

48


c) Massa de um elétron: 9,11 . 10 – 28 g.

d) Altitude do Everest: 8 848 m.

e) idade estimada do Universo: 13,7 bilhões de anos.

2010 volume 1 cadernodoaluno a ensinofundamentalii 8aserie caderno do aluno[1]

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