2006 vibrações parte 2

Vibraes

Prof. Airton Nabarrete Pag. 34

3.4 Leitura Recomendada

Thomson, W.T., 1978, Teoria da Vibrao com Aplicaes, Intercincia, Cap.2, pg. 15 a 22

e 33 a 35, Rio de Janeiro.

Rao, S.S., 1995, Mechanical Vibrations, Addison-Wesley, 3rd Ed., Cap.2, pg. 97 a 128, New

York.

3.5 Exerccios Propostos

Determinar a equao dinmica e a freqncia natural no-amortecida dos problemas:

a) Considerar: k1=100 N/m;

k2=150 N/m; k3=200 N/m;

m=2 kg; l1=0,15 m; l2=0,25 m

e l3=0,4 m.

b) Considerar: k1=100 N/m; m=2 kg; J0=0,32 kg m2 e r =0,1 m.

4rr

J0

m

k1

x(t)

k1 k2

k3l1

l2

O

x

m

l3

P

Vibraes


4. VIBRAO COM EXCITAO HARMNICA

4.1 Equao Diferencial Geral

Uma fora varivel atua no modelo massa-mola-amortecedor da figura abaixo:

m

k

Nmg

- k x

x

+-

c- c x

.

FF

Para uma fora harmnica, ( ) ( )tFtF cos0= , atuante na massa do sistema acima, define-se como a freqncia de excitao. Aplicando a segunda lei de Newton, tem-se:

( ) ( )tFkxxcxmoukxxctFxm coscos 00 =++= !!!!!! As solues que resolvem a equao acima esto relacionadas na figura abaixo:

Como a equao diferencial no-homognea, sua soluo geral ( )x t dado pela soma de: - soluo homognea, ( )txh (transiente ou vibrao livre), e - soluo particular, ( )tx p (estado estacionrio devido fora F(t) ).

xh(t)

xp(t)

x(t)=xh(t)+xp(t)

Transiente

Estadoestacionrio

Total

Vibraes


4.2 Excitao Harmnica de Sistemas sem Amortecimento

Se a mesma fora harmnica atua sobre a massa do sistema sem amortecimento, a equao

dinmica do movimento :

( )tFkxxm cos0=+!! A soluo particular para o deslocamento harmnica e tem a mesma freqncia da fora.

( ) ( )tXtx p cos0= Na soluo particular acima, X0 representa a mxima amplitude. Derivando a expresso e

substituindo na equao dinmica do movimento, obtm-se :

( ){ } ( ){ } ( )tFtXktXm coscoscos 0002 =+

2

2

0

2

0

020

0

1

,,

n

k

F

k

m

k

kk

F

Xaindaoumk

FX

=

=

=

Fazendo kFX est 0= , como a deflexo esttica devido a F0 , e nr = como a razo de

freqncia, tem-se:

20 1 r

XX est

=

A soluo homognea para vibrao livre, demonstrada no captulo I, :

( ) )sen()cos( 21 tAtAtx nnh += A soluo geral, torna-se ento:

( ) ( ) ( ) ( )tr

XtAtAtxtxtx estnnph cos1)sen()cos(

221

++=+=

Usando as condies de contorno para 0=t , ou seja, ( ) 00 xx = e ( ) 00 vx =! , obtm-se:

n

est vAer

XxA

0

2201 1=

=

Vibraes


Assim, ( ) ( ) ( ) ( )tr

Xt

r

Xxt

vtx estn

estn

n

cos1

cos1

sen220

0

+

+

=

No exemplo da figura abaixo emprega-se a soluo acima em um sistema sem

amortecimento com os seguintes parmetros: n=1 rad/s, =2 rad/s, Xest=0,02 m, e condies

iniciais x0=0,01 m e v0=0,01 m/s.

4.2.1 Batimento

O batimento um importante fenmeno que ocorre quando a freqncia de trabalho tem

valor prximo ao valor da freqncia natural, porm no igual. Na figura abaixo, apresenta-se

o resultado grfico para dados como n=1 rad/s e =0,9 rad/s.

Vibraes


No grfico anterior, foram usadas as condies iniciais x0 = 0 e v0 = 0, ou seja:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]ttr

Xtxt

r

Xt

r

Xtx n

estestn

est coscos1

cos1

cos1

00222

=

+

+=

4.2.2 Ressonncia

Se a freqncia de trabalho tem valor igual ao da freqncia natural, ocorre o fenmeno de

ressonncia, onde a amplitude do movimento cresce indefinidamente. Para a anlise da

ressonncia pode-se utilizar a expresso anterior com as condies iniciais x0 = 0 e v0 = 0. Se

n , ento 1r e a expresso tem resultado indefinido. Aplica-se, ento, a regra de

L'Hospital para avaliar o limite da equao.

( ) ( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( )ttXttX

d

d

ttd

d

Xtt

X

nnest

n

estn

n

n

estn

n

nest

n

sen22

senlim

1

coscoslim

1

coscoslim

2

2

22

=

=

=

Conclui-se que a resposta do sistema em ressonncia se torna: ( ) ( )ttXtx nnest sen2= No grfico da figura abaixo, observa-se que a amplitude cresce proporcionalmente ao tempo.

Vibraes


4.3 Excitao Harmnica de Sistemas Amortecidos

Como apresentado na seo 4.1, a equao dinmica do sistema :

( )tFxkxcxm cos0=++ !!! A soluo particular para o deslocamento harmnica e tem a mesma freqncia da fora.

( ) ( ) = tXtx p cos0 X0 e representam, respectivamente, a amplitude e o ngulo de fase da soluo particular.

Substituindo esta soluo na equao dinmica, obtm-se:

( ) ( ) ( ){ } ( )tFtctmkX cossencos 020 = Faz-se necessrio escrever as seguintes relaes trigonomtricas:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) sensencoscoscos ttt +=

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) sencoscossensen ttt = Aps a substituio, pode-se decompor a expresso em funo de sen( t) e cos( t):

( ) ( ) ( ){ } ( ) ( )tFtcmkX coscossencos 020 =+ ( ) ( ) ( ){ } ( ) 0sencossen20 = tcmkX

Aps algumas manipulaes algbricas, as constantes X0 e so determinadas como:

( ) ( )

=

+=

222

00

mk

carctge

cmk

FX

A anlise destas expresses facilitada quando divide-se numerador e denominador por k.

Pode-se escrever algumas relaes em funo do fator de amortecimento:

n

estn

n reXk

F

k

m

k

c

====

0,22

Por fim, determina-se que:

( ) ( )

=

+=

2222

01

2

21 r

rarctge

rr

XX est

Vibraes


A soluo particular escrita na forma:

( ) ( ) ( )

+=

2222 1

2cos

21 r

rarctgt

rr

Xtx estp

Nas figuras abaixo, observa-se os grficos de ( )tF e ( )tx p . direita, pode-se verificar umgrfico polar que demonstra o ngulo de fase entre os vetores ( )tF e ( )tx p .

t

F(t)

xp(t)

2

F(t) xp(t)

X0

t

F0

Neste caso, a soluo geral obtida novamente como a soma da soluo homognea e da

soluo particular, ou seja:

( ) ( )[ ] ( )phaht tXtAetx n += coscos 0 Na equao acima, o primeiro termo representa uma soluo transiente.

Diferente do captulo 1, na equao acima, hA e h no so determinados somente emfuno das condies iniciais, mas tambm como funo da fora de excitao.

Desenvolvimento semelhante est apontado na seo 4.2.

Observando o grfico da seo 4.1, pode-se notar que quando o tempo t aumenta, a soluo

transiente diminui sua contribuio na amplitude e somente o segundo termo da equao acima

se torna relevante. Portanto, o segundo termo da equao chamado de resposta do estado

estacionrio.

Vibraes


4.3.1 Ganhos e Fases como funo do Amortecimento

Os prximos grficos indicam exemplos de ganho e fase em funo da razo de freqncia r.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

20

40

60

80

100

120

140

160

180=0.1

r

=0.25=0.5

=1.0

=0.1

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.5

1

1.5

2

2.5

3=0.1

=0.25=0.5=1

X

X est

0

r

Vibraes


Dos grficos da pgina anterior, pode-se concluir:

Quando 210

Vibraes


12 mm

2500 mmF(t)

A placa pode ser modelada como uma viga bi-engastada de seo 12 x 500 mm. O mdulo de

elasticidade do ao 2,05 x 105 N/mm2. A rigidez da viga flexo dada por:

( )

m

N

l

EIk 5

3

35

310814,1

2500

12/125001005,2192192=

==

A freqncia natural calculada por:

s

rad

m

kn 9,5070

10814,1 5=

==

Assim,

( ) ( ) mrk

F

Xern

4

22

5

22

0

0 1027,5

23,11

10814,1

50

1

23,19,50

832,62=

=

====

4.4 Leitura Recomendada

Thomson, W.T., 1978, Teoria da Vibrao com Aplicaes, Intercincia, Cap.3, pg. 54 a

56, Rio de Janeiro.

Rao, S.S., 1995, Mechanical Vibrations, Addison-Wesley, 3rd Ed., Cap.3, pg. 191 a 197,

New York.

Vibraes


4.5 Exerccios Propostos

a) Utilize a soluo geral vista no item 4.2 e trace o grfico do sistema sem amortecimento

com k=1800 N/m, m=2 kg e que forado a vibrar por uma fora harmnica F(t)=10 cos(28 t).

As condies iniciais x0 e v0 podem ser consideradas nulas, porm desenvolva o traado do

grfico com pelo menos 20 perodos completos. Neste caso, qual o intervalo mnimo de tempo

(resoluo) que deve ser considerado para traar o grfico?

b) Com os mesmos dados do problema anterior, trace o grfico quando F(t)=10 cos(res t),

ou seja, quando a freqncia de trabalho for igual a natural no amortecida. Desenvolva,

tambm, este traado com pelo menos 20 perodos.

c) Derive a equao dinmica e encontre a soluo de estado estacionrio para movimentos

angulares (t) em torno do ponto O, do sistema mostrado na figura. So dados: k1 = 1000 N/m;

k2=500 N/m; c1=100 Ns/m; c2=80 Ns/m; F0=15 N; =45 rad/s; l=0,9 m e m=4 kg.

m

c1

l /3 l /6 l /4

c2k1

k2

F0 cos( t)

O

d) Derive a equao dinmica e encontre a soluo de estado estacionrio na coordenada x(t)

apontada no sistema da figura abaixo. A fora externa aplicada F(t)=35 cos(3 t). So dados:

k1=100 N/m, m=2 kg, J0=0,32 kg m2, c=5 Ns/m e r =0,1 m.

Vibraes


4rr

J0

m

k1

x(t)

c

F(t)

2006 vibrações parte 2

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