2006 oliveira pinto santiago marchi cilamce 2006

7/21/2019 2006 Oliveira Pinto Santiago Marchi CILAMCE 2006

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EFEITO DE PARMETROS DO MTODO MULTIGRID CS E FAS SOBREO TEMPO DE CPU EM PROBLEMAS 1D LINEARES E NO-LINEARES

Fabiane de OliveiraMrcio Augusto Villela Pinto

[email protected]

[email protected] de Matemtica e Estatstica, Universidade Estadual de Ponta Grossa (UEPG)

Ponta Grossa, PR - Brasil

Cosmo Damio [email protected]

Faculdades do Brasil (Unibrasil)

Curitiba, PR, Brasil

Carlos Henrique [email protected] de Engenharia Mecnica, Universidade Federal do Paran (UFPR)

Curitiba, PR Brasil

Resumo.Sobre o tempo de CPU necessrio para resolver dois problemas, verifica-se o efeitocausado por: vrios tamanhos de malhas, nmero de

iteraes internas, nmero de malhas,

razo de engrossamento ( 2=r , 3, 4 e 5), tolerncias, estimativas iniciais e esquemas decorreo (CS) e de aproximao completa (FAS). Os problemas considerados envolvem um

problema unidimensional linear (equao de adveco-difuso) e outro no-linear (equao

de Burgers), ambos com condies de contorno de Dirichlet. O mtodo de diferenas finitas

usado para discretizar as equaes diferenciais. Os sistemas de equaes algbricas so

resolvidos com o mtodo de Gauss-Seidel, associado ao mtodo multigrid geomtrico com

ciclo V. Entre outros resultados, verificou-se que o esquema FAS mais rpido do que o CS,

para problemas lineares e no-lineares.

Palavras-chave:Solver, CFD, diferenas finitas, otimizao, mtodos numricos.


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1. INTRODUO

Modelos matemticos na dinmica dos fluidos computacional surgem em fenmenos

fsicos que envolvem fluidos em movimento, com ou sem troca de calor (Fortuna, 2000;

Maliska, 2004). Estes modelos matemticos, em geral, no tm solues analticas

conhecidas. Buscam-se ento solues numricas transformando-se o modelo contnuo em ummodelo discreto. Um mtodo de discretizao muito usado o mtodo de diferenas finitas

(Golub e Ortega, 1992; Tannehill et al.,1997), onde, em problemas unidimensionais, o

domnio 10 x:x particionado em subintervalos, introduzindo uma malha com

os pontos:

fN

, e( )hixi 1= 1,...,1 += fNi fN/h 1= , (1)

onde h o comprimento de cada intervalo. Isto estabelece uma malha com elementos de

tamanho h que denota-se por A cada um dos.h 1fN pontos interiores da malha, a

equao diferencial substituda por aproximaes de diferenas finitas (Tannehill et

al.,1997; Ferziger e Peric, 1999).

A discretizao desses modelos matemticos resulta em grandes sistemas de equaes

algbricas do tipo

fvArr

= , (2)

onde A uma matriz quadrada, o vetor independente e vfr r

o vetor de incgnitas. A

estrutura da matriz A depende do mtodo e das aproximaes numricas usadas para

discretizar o modelo matemtico.

Vrias tcnicas numricas tm sido estudadas para resolver o sistema dado pela Eq. (2)com menor custo computacional e a soluo a mais prxima possvel da exata (sem erros de

iterao; Ferziger e Peric, 1999). A resoluo por mtodos diretos no recomendvel, visto

que na prtica, a matriz dos coeficientes muito grande e o custo da inverso da matriz alto

(Golub e Van Loan, 1984). Para problemas de grande porte os mtodos iterativos so mais

adequados (Burden e Faires, 1997). O mtodo do gradiente conjugado (Burden e Faires, 1997;

Golub e Ortega, 1992), introduzido por Hestenes e Stiefeld (1952), usa tcnica que so mais

especficas para geometrias simples e um mtodo sensvel ao condicionamento da matriz.

O mtodo multigrid, proposto originalmente por Fedorenko (1964), atualmente um

mtodo numrico muito usado para resolver iterativamente sistemas de equaes do tipo da

Eq. (2). A idia bsica usar um conjunto de malhas e executar alternativamente iteraes em

cada nvel de malha e solues aproximadas desta equao em malhas mais grossas (Briggs et

al., 2000). So usados operadores que transferem informaes da malha fina para a malha

imediatamente mais grossa (processo chamado de restrio) e da malha grossa para a malha

imediatamente mais fina (processo de prolongao). Briggs et al. (2000) trabalharam com a

razo de aspecto 2=r afirmando ser uma prtica universal e que 2r no traz vantagens.Os sistemas lineares so resolvidos com um mtodo iterativo com propriedades de reduzir

rapidamente os erros oscilatrios (propriedades de suavizao). Com este conceito, vrios

trabalhos(Brandt, 1977; Stben, 1999; Wesseling e Oosterlee, 2001; Moro, 2004; Pinto et al.,

2005a), apresentaram bons resultados numricos para problemas de dinmica dos fluidos. Os

resultados de Fedorenko (1964) mostram que a taxa de velocidade de convergncia com o uso

do mtodo multigrid muito melhor que a dos mtodos iterativos puros. O objetivo domtodo multigrid acelerar a convergncia de um esquema iterativo (Tannehill et al., 1997).


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Os melhores desempenhos do mtodo Multigrid so obtidos em problemas totalmente

elpticos (Wesseling, 1992), ou seja, problemas dominados pela difuso; e os menores em

problemas dominados pela adveco (Ferziger e Peric, 1999).

O mtodoMultigridpode ser aplicado a malhas estruturadas, conhecido como Multigrid

geomtrico (Wesseling e Oosterlee, 2001), bem como a malhas no-estruturadas, conhecido

comoMultigridalgbrico (Stben, 2001). Em Wesseling e Oosterlee (2001) muitos desafiosainda so vistos na rea geomtrica, como a soluo das Equaes de Navier-Stokes,

problemas com perturbaes singulares, problemas de camada limite onde aparecem as

malhas fortemente alongadas, ou mesmo a paralelizao de algoritmos.

A razo de engrossamento, para o caso unidimensional e considerando malhas uniformes,

definida como:

h

H

h

hr

= , (3)

onde representa uma malha fina,h

H

a malha imediatamente mais grossa e ho tamanhodos elementos da malha.

Brandt (1977) trabalhou com o mtodo multigridgeomtrico em diversos problemas de

transferncia de calor e escoamento de fluidos, unidimensionais e bidimensionais, lineares e

no-lineares. Em seu trabalho fez comparaes com a razes de engrossamento 2=r , 3 e 3/2.Para os problemas testados, Brandt (1977) concluiu que a razo 2=r a recomendvel.Stben (1999) desenvolveu um estudo com a razes 2=r e 4 em malhas no-estruturadas,

para diversos problemas de transferncia de calor, escoamento e eletromagnetismo,

bidimensionais e tridimensionais, lineares e no-lineares. Em seu trabalho, a razo 4=r semostrou eficiente para problemas anisotrpicos (anisotropia dos coeficientes e anisotropia

devido malhas fortemente alongadas). Briggs et al.(2000) afirmam que a razo 2=r uma

prtica universal e que 2r no traz vantagens. Moro (2004) trabalhou com as razes 2=r e 4 em malhas estruturadas para problemas de difuso com termo fonte. Em seu trabalho a

razo 4=r apresentou tempo de CPU menor que a razo 2=r . Pinto et al. (2005a) e Pintoet al. (2005b) trabalharam com as razes 2=r , 3, 4, 5 e 8 para problemas unidimensionaislineares (equao de difuso e equao de adveco-difuso) com o uso do esquema de

correo (CS) e no-linear (equao de Burgers) com o uso do esquema de aproximao

completa (FAS). Nestes trabalhos as razes 2=r e 3 resultaram em menor tempo de CPUpara os esquemas CS e FAS, respectivamente. Neste trabalho estuda-se o mtodo multigrid

em uma dimenso para mostrar os princpios do mtodo e derivar alguns procedimentos

usados nos casos mais gerais (Ferziger e Peric, 1999). Alm disto, uma maior quantidade de

testes pode ser feita devido rapidez de obteno das solues, facilitando o estudo de uma

grande variao de parmetros.

Neste artigo os seguintes parmetros so estudados: nmero de iteraes internas

(nmero de iteraes do mtodo numrico a fim de suavizar as componentes de erro), o

nmero de nveis (nmero de malhas percorridas) e diversas razes de engrossamento ( 2=r ,3, 4 e5). Os objetivos so: verificar o efeito desses parmetros sobre o tempo de CPU para o

multigrid geomtrico e realizar comparaes entre os esquemas CS e FAS com ciclo V,

proposto em Wesseling (1992). Os resultados so comparados com os obtidos na bibliografia.

So apresentados operadores de restrio por injeo e prolongao por interpolao linear

para qualquer razo de engrossamento no intervalo ( ),1 . Os modelos matemticosconsiderados neste trabalho envolvem um problema unidimensional linear de transferncia de

calor, ou seja, a equao de adveco-difuso, e um problema unidimensional no-linear deescoamento, ou seja, a equao de Burgers, ambos com condies de contorno de Dirichlet.


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Este artigo est organizado da seguinte forma: na seo 2 apresentada uma viso geral

do mtodo multigrid, incluindo os operadores de restrio e prolongao. Na seo 3, so

apresentados os modelos matemticos e numricos. Na seo 4 so descritos os experimentos

numricos e seus resultados. E na seo 5 apresentada a concluso do trabalho.

2. O MTODO MULTIGRID

Para reduzir o erro de discretizao, malhas muito refinadas so necessrias a fim de se

resolver problemas de mecnica dos fluidos e transferncia de calor. Isso gera sistemas de

equaes muito grandes. A resoluo destes problemas atravs de mtodos numricos requer

um custo computacional demasiadamente alto e muitas vezes invivel devido ao grande

nmero de equaes a serem resolvidas em cada passo iterativo. Uma opo para melhorar a

taxa de convergncia destes problemas o mtodo multigrid(Briggs et al., 2000), que acelera

consideravelmente a resoluo dos sistemas lineares envolvidos no problema. Mtodos

multigrid so mtodos iterativos para a soluo de sistemas lineares, sendo, portanto,

fortemente dependentes da estimativa inicial atribuda s incgnitas do problema.Uma tcnica eficiente usada para aliviar as fortes oscilaes do resduo da Eq. (2) em

cada malha, definido por:

(4)vAfR vrv

.=

suavizar as oscilaes por um mtodo de relaxao (mtodo iterativo). Neste trabalho optou-

se pelo mtodo de Gauss-Seidel, uma vez que ele possui boas propriedades de suavizao

(Briggs et al., 2000).

As primeiras iteraes deste processo, geralmente, tm rpida convergncia,

caracterizando a presena de modos oscilatrios de erro. Porm, aps algumas iteraes, oprocesso torna-se lento, sinalizando a predominncia de modos suaves (Brandt, 1977). Este

exatamente o momento onde recomendvel transferir o problema de relaxao para a malha

mais grossa, pois os modos de erros suaves na malha fina tornam-se erros oscilatrios na

malha grossa (Wesseling, 1992).

Podem ser usados dois tipos de esquemas com o mtodo multigrid(Briggs et al.,2000): o

esquema de correo (Correction Scheme, CS) e o esquema de aproximao completa (Full

Approximation Scheme, FAS). No esquema CS, a Eq. (2) resolvida apenas na malha mais

fina; nas malhas grossas, resolve-se a equao do resduo. J no caso do esquema FAS, a Eq.

(2) resolvida em todas as malhas. O esquema CS geralmente utilizado em problemas

lineares e o esquema FAS, em problemas no-lineares.

A taxa de convergncia ideal (terica) do multigrid independente do tamanho da malha,isto , independe do nmero de pontos da malha (Hirsch, 1988; Ferziger e Peric, 1999). No

muito efetivo usar somente dois nveis de malha (Roache, 1998); para obter um bom

desempenho do multigrid, diversos nveis de malhas devem ser usados (Tannehill et al.,

1997). Pinto et al. (2005a e 2005b) recomendam usar todos os nveis.

A razo de engrossamento para malhas uniformes dada pela Eq. (3), onde:

denominado engrossamento fraco; r= 2, engrossamento padro e r

)2,1(r

),2( , engrossamento

forte. Neste trabalho estuda-se o engrossamento forte e engrossamento padro, ambos

aplicados aos esquemas CS e FAS encontrados em Wesseling (1992).

Uma forma alternativa da Eq. (3) :


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qpZqpq

pr >= + ,,,

* . (5)

Neste caso, a razo de engrossamento r chamada de razo pura se q=1. Para as razes da

forma , neste artigo utiliza-se1// pqpr == .rp=

Os operadores de transferncia da malha fina para a malha grossa so chamados de

operadores de restrio e so denotados genericamente por HhHhI rr

= . Onde , no caso

linear, assume o resduo

r

Rr

dado pela Eq. (4) e no caso no-linear assume a soluo

aproximada do problema alm do resduo Rr

. Em Pinto et al. (2005a) desenvolveu-se um

operador de injeo com a sua forma generalizada para qualquer ),1( r , dado por:

, (6)( ) Hhcrrh

crr

H

i NiKK += 2;.1. rrr

onde ( ) pq

NNiq

pcrKiq

pceilingcr

hH

r .),1(,1 ==

= e o nmero de elementos

da malha imediatamente mais fina. A funo ceiling definida por:

h

N

, com:ceiling }./min{)( xzzxceilingx =a (7)

A Eq. (6) no calculada para i = 1 e , pois no presente trabalho so usadas

condies de contorno de Dirichlet. Portanto, tem-se

1+HN

)0...,0,0(=Rr

nestes pontos.

Os operadores de transferncia da malha grossa para a malha fina so chamados de

operadores de prolongao, ou interpolao, e so denotados genericamente por hHhHI rr

= .

Onde , no caso linear assume aproximao do erro na equao residual, ou seja, a correo,

e no caso no-linear assume a soluo aproximada do problema, alm da correo. Como no

caso do operador de restrio, em Pinto et al. (2005a) desenvolveu-se um operador de

interpolao linear com a sua forma generalizada para qualquer

r

),1( r , dada por:

( ) hHcpp

H

cpp

h

i NiKK += + 2;.1. 1rr

, (8)

com ( ) ( )1,1 =

= i

p

qcpKi

p

qceilingcp p .

3. MODELOS MATEMTICOS E NUMRICOS

3.1Modelo linear: equao de adveco-difuso

A conveco de calor unidimensional (equao de adveco-difuso), com condies de

contorno de Dirichlet, em regime permanente e em coordenadas cartesianas pode ser

representada matematicamente por (Ferziger e Peric, 1999):

,1)1(,0)0(;10, ==


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onde u a incgnita e o nmero adimensional de Peclet. Na Eq. (9) a varivel u

representa a temperatura, e suas derivadas de primeira e segunda ordens so representadas por

e , respectivamente. Para as condies de contorno acima a soluo analtica dada

por:

20=Pe

xu xxu

1

1)(

=Pe

xPe

e

exu . (10)

A discretizao do domnio feita com malhas uniformes em subintervalos

(elementos) introduzidos pelos pontos da malha dados pela Eq. (1). A equao diferencial

dada pela Eq. (9) discretizada de acordo com o mtodo de diferenas finitas. Nesta equao

so utilizadas a diferena montante (UDS) para a derivada de primeira ordem (termo

advectivo) e diferena centrada (CDS) para a derivada de segunda ordem (termo difusivo). Os

esquemas UDS e CDS podem ser vistos em Tannehill et al. (1997). Com estas aproximaes

a Eq. (9) resulta em

fN

1,0;2,2

112

111 ==


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3.2Modelo no-linear: equao de Burgers

O problema de escoamento unidimensional (equao de Burgers) de um fluido

incompressvel, com condies de contorno de Dirichlet, em regime permanente e em

coordenadas cartesianas pode ser representado matematicamente por (Tannehill et al., 1997):

( ) ,11,0)0(;10,2 ==


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Centenas de simulaes foram realizadas com as seguintes variantes: nmero de

incgnitas ( ), nmero de iteraes internas (ITI), nmero de nveis de malhas (L),

tolerncias

fN

)( , estimativas iniciais )(vr

e razes de engrossamento 2=r (padro), 3, 4 e 5.

So apresentados neste trabalho os resultados mais representativos.

O critrio de convergncia para as iteraes externas ITE (nmero necessrio de ciclos

para suavizar as componentes de erro) baseado na razo entre a norma do resduo

(Ferziger e Peric, 1999) numa determinada iterao e a norma do resduo da estimativa inicial.

O resduo de cada n calculado atravs da Eq. (4). Adotou-se como referncia e

para a tolerncia sobre o critrio de convergncia e estimativa inicial,

respectivamente.

1L

710=

)0,...0,0(=vr

O foco deste trabalho a minimizao do tempo de CPU, para isto, busca-se o nmero

timo de iteraes internas ( ), nmero timo de nveis de malha ( ) a cada ciclo, a

razo de engrossamento tima e o esquema timo (CS ou FAS). Entende-se por tempo de

CPU, o tempo gasto para gerar malhas, atribuir estimativa inicial, calcular os coeficientes e

resolver o sistema da Eq. (2). Este tempo medido usando-se a funo TIMEF da bibliotecaPORTLIB do FORTRAN 95. Atravs de testes realizados verificou-se que a incerteza desta

funo aproximadamente de s.

timoITI timoL

05.04.1 Esquema de correo (CS)

Iteraes internas (ITI). A Fig. 1 mostra a influncia do nmero de iteraes internas

(ITI) sobre o tempo de CPU para a equao de Burgers. O nmero de iteraes internas

influencia o tempo de CPU e 12 = rITItimo para a equao adveco-difuso e rITItimo 2

para a equao de Burgers. Este resultado concorda com o de Tannehill et al. (1997) para

2=r no caso da equao de Laplace bidimensional linear, onde , 4.3=timo

ITI

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

40

60

80

100

120

140

160

180

TempodeCPU

(s)

Nmero de Iteraes Internas

MG(r = 2)

MG(r = 3)

MG(r = 4)

MG(r = 5)

Mnimo

Figura 1: Tempo de CPU versusITIpara esquema CS e equao de Burgers.

Verificou-se que para todas as razes estudadas, uma diminuio pequena do nmero de

iteraes internas, relativamente ao ponto mnimo, aumenta drasticamente o tempo de CPU,podendo at mesmo ocorrer divergncia. Por outro lado, um aumento pequeno do nmero de


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iteraes internas, relativamente ao ponto de mnimo, aumenta pouco o tempo de CPU (Pinto

et al., 2005a). Portanto, recomenda-se utilizar rITI 2= para as razes puras; por exemplo,para 2=r , recomenda-se 4=ITI para ambos os problemas. Os resultados do estudo feitopara a variao do tempo de CPU ao adotar-se o nmero rITI 2= para o problema emquesto e para as diversas razes de engrossamento estudadas sofreram, em mdia, pouca

variao, cerca de 3.40% para a equao de adveco-difuso e 2.39% para a equao deBurgers.

Seja o problema de minimizao do tempo de CPU, em funo do nmero de iteraes

internas, para as diversas razes de engrossamento no esquema CS. Para este problema,

verificou-se que o nmero timo de iteraes internas tem uma forte influncia do nmero de

vezes que o mtodo de Gauss-Seidel necessita para atualizar o resduo em todo o domnio

unidimensional.

Nveis de malhas (L).A Fig. 2 mostra a influncia do nmero de nveis de malhas (L)

sobre o tempo de CPU para a equao de Burgers. Verificou-se que o nmero de nveis pode

afetar significantemente o tempo de CPU com o uso do esquema CS para as diversas razes

de engrossamento estudadas, tanto para a equao de adveco-difuso, quanto para aequao de Burgers e que , onde representa o nmero mximo possvel

de nveis. Este resultado similar aos resultados de Tannehill et al. (1997), no caso da

equao de Laplace bidimensional (caso linear); e Mesquita e De-Lemos (2004), no caso da

equao de Navier-Stokes compressvel bidimensional (caso no-linear), ambos para o caso

onde

mximotimo LL mximoL

2=r .

6 8 10 12 14 16 18 20

10

100

TempodeCPU

(s)

Nmero de Nveis de Malha

MG(r = 2)

MG(r = 3)

MG(r = 4)

MG(r = 5)Mnimo

Figura 2: Tempo de CPU versusLpara esquema CS e equao de Burgers.

Para ambos os problemas e para todas as razes testadas o tempo de CPU tem uma taxa

de decrscimo bastante acentuada at atingir os seus mnimos e, aps estes pontos, a taxa de

crescimento bem menor at atingirem . Portanto, recomenda-se utilizar

para as razes puras; por exemplo, na equao de adveco-difuso, para

mximoL mximoLL=

2=r eelementos, recomenda-se usar1048576220 ==fN 20=L , que exatamente o . Os

resultados do estudo feito para a variao do tempo de CPU ao adotar-se para os

problemas em questo e para as diversas razes de engrossamento estudadas bastante

mximoL

mximoLL=


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pequena, na mdia, cerca de 0.90% para a equao de adveco-difuso e 0.24% para a

equao de Burgers.

Seja o problema de minimizao do tempo de CPU, em funo do nmero de nveis, para

as diversas razes de engrossamento para o esquema CS. Para este problema, verificou-se que

o nmero timo de nveis tem uma forte influncia da velocidade com que resolvido o

problema em uma quantidade maior de malhas sucessivamente mais grossas, ou seja, malhascom uma quantidade de pontos menor.

Razo de engrossamento (r). As Figs. 3 e 4 mostram o tempo de CPU para as diversas

razes de engrossamento para o mtodo multigrid, e tambm uma comparao entre os

mtodos singlegrid Gauss-Seidel e TDMA, em funo de diversos para a equao de

adveco-difuso e para a equao de Burgers, ambas com o esquema CS. Pode-se notar que

o mtodo TDMA o mais eficiente de todos os mtodos testados para os problemas. Ele

seguido pelos mtodos multigride finalmente pelo mtodo de Gauss-Seidel. Portanto, para os

problemas unidimensionais testados, recomenda-se o uso do mtodo direto TDMA.

Entretanto o objetivo nesta seo e na prxima verificar o efeito dos parmetros multigrid

no tempo de CPU para o multigridgeomtrico com o esquema CS e FAS (prxima seo) em

problemas unidimensionais lineares e no-lineares a fim de se obter informaes para outros

problemas.

fN

Para os mesmos , e , com as razes de engrossamento testadas e o mtodo

multigrid esquema CS, pode-se perceber que para os problemas testados (equao de

adveco-difuso e equao de Burgers), tem-se:

vr

fN

( ) ( ) ( ) ( )5432 =


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Para a variao da tolerncia, estudam-se casos onde e , alm de

usado nos resultados anteriores. Os resultados dos estudos do nmero de iteraes

internas timo, tanto para a equao de adveco-difuso como para a equao de Burgers

sofreram pouca variao sobre o tempo de CPU: cerca de 3.4% e 0.5% respectivamente, ao se

adotar

410= 1010=710=

rITI 2= .Para a variao da estimativa inicial, estudam-se casos onde )2/1,...,2/1,2/1(=vr ,

)1,...,1,1(=vr

, alm de )0,...,0,0(=vr

usado nos resultados anteriores. Os resultados dos estudos

do nmero de iteraes internas timo tanto para a equao de adveco-difuso como para a

equao de Burgers sofreram uma variao sobre o tempo de CPU mais substancial: 3.4%

para a equao de adveco-difuso e 15.75% para a equao de Burgers ao se adotar

rITI 2= .Em relao ao nmero de nveis, ao adotar-se mximotimo LL = , a maior variao encontrada

foi de 0.61% para a equao de adveco-difuso e 6.33% para a equao de Burgers,

independente de estar variando a tolerncia ou a estimativa inicial.

Isto mostra que o problema de minimizao do tempo de CPU fracamente dependente

da tolerncia e fortemente dependente da estimativa inicial quando se estuda o nmero deiteraes internas; e fracamente dependente da tolerncia e estimativa inicial quando se estuda

o nmero de nveis. Conclui-se que pode-se usar rITIotimo 2= e mximotimo LL = para ambos os

problemas.

103

104

105

106

10-1

100

101

102

TempodeCPU

(s)

Nmero de Incgnitas

MG(r = 2)

MG(r = 3)

MG(r = 4)

MG(r = 5)

SG-GS

SG-TDMA

Figura 4: Tempo de CPU versusNpara esquema CS e equao de Burgers.

4.2 Esquema de aproximao completa (FAS)

Iteraes internas (ITI). Atravs da Fig. 1 concluiu-se que o nmero de iteraes

internas influencia o tempo de CPU para o esquema CS. O mesmo ocorre com o uso do

esquema FAS, sendo .rITItimo 3

Para todas as razes estudadas, uma diminuio sensvel do nmero de iteraes internas,

relativamente ao ponto mnimo, aumenta drasticamente o tempo de CPU, podendo at mesmo

ocorrer divergncia. Por outro lado, o aumento pequeno do nmero de iteraes internas,

relativamente ao ponto mnimo, aumenta sensivelmente o tempo de CPU (Pinto et al. 2005b).Verificou-se que para as razes puras; por exemplo, para r= 2, recomenda-seITI = 6rITI 3=


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para ambos os problemas. Os resultados do estudo feito para a variao do tempo de CPU ao

adotar-se o nmero para o problema de adveco-difuso sofreram, em mdia pouca

variao, cerca de 4.96% para a razo r= 3, no se cometendo erro nas demais razes. Para a

equao de Burgers o erro variou de 0 a 2.98% para todas as razes estudadas.

rITI 3=

Seja o problema de minimizao do tempo de CPU em funo do nmero de iteraes

internas para as diversas razes de engrossamento para o esquema FAS. Para este problema,verificou-se que o nmero timo de iteraes internas tem uma forte influncia do nmero de

vezes que o mtodo de Gauss-Seidel necessita para atualizar o resduo e a soluo em todo o

domnio unidimensional.

Para o problema linear unidimensional estudado na seo anterior, verificou-se

para o esquema CS. Aqui, para o mesmo problema, verificou-se que

para o esquema FAS. Portanto, o esquema utilizado (CS ou FAS) influencia o

nmero timo de iteraes internas para o mtodo multigrid.

rITItimo 2

rITItimo 3

Nveis de malhas (L).Atravs da Fig. 2,concluiu-se que o nmero de nveis influencia o

tempo de CPU para o esquema CS. Verificou-se o mesmo resultado com o esquema FAS eque para as diversas razes de engrossamento estudadas, tanto para a equao

de adveco-difuso, bem como para a equao de Burgers.

mximotimo LL

Para ambos os problemas e para todas as razes estudadas, em geral o tempo de CPU tem

uma taxa de decrscimo bastante acentuada at atingir os seus mnimos e, aps estes pontos, a

taxa de crescimento bem menor at atingirem . (Pinto et al, 2005b). Portanto

recomenda-se utilizar para as razes puras. No se comete erros no tempo de CPU

ao adotar-se tanto para a equao de adveco-difuso como para a equao de

Burgers.

mximoL

mximoLL=

mximotimo LL =

Para os problemas unidimensionais estudados na seo anterior, verificou-se que

para o esquema CS. Nesta seo, para os mesmos problemas, encontrou-se o

mesmo resultado. Portanto o esquema utilizado (CS ou FAS) no influencia o nmero timo

de nveis para o mtodo multigrid.

mximotimo LL

Razo de engrossamento(r).As Figs. 5 e 6 mostram o tempo de CPU para as razes deengrossamento consideradas para o mtodo multigrid e tambm uma comparao entre

mtodos SinglegridGauss-Seidel e TDMA em funo de diversos para as equaes de

adveco-difuso e de Burgers, respectivamente com o esquema FAS.

fN

As Figs. 7 e 8 mostram as Figs. 5 e 6 ampliadas para facilitar a visualizao das curvas

referentes s razes testadas nos mtodos multigrid.

Pode-se notar novamente que o mtodo TDMA o mais eficiente entre os mtodostestados para ambas as equaes. Ele seguido pelos mtodos multigrid e pelo mtodo de

Gauss-Seidel.

Para os mesmos , vr

e , com as razes de engrossamento testadas e o mtodo

multigridcom o esquema FAS, pode-se perceber que para ambas equaes estudadas, para a

maioria dos pontos do domnio em estudo, tem-se:

fN

)5()2()4()3( =


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10-1

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102

TempodeCPU

(s)

Nmero de Incgnitas

MG(r = 2)

MG(r = 3)

MG(r = 4)

MG(r = 5)

SG-GS

SG-TDMA

Figura 5: Tempo de CPU versusNpara esquema FAS e equao de advecodifuso.

103

104

105

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107

10-1

100

101

102

Tem

podeCPU

(s)

Nmero de Incgnitas

MG(r = 2)

MG(r = 3)

MG(r = 4)

MG(r = 5)

SG-GS

SG-TDMA

Figura 6: Tempo de CPU versusNpara esquema FAS e equao de Burgers.

Seja o problema de minimizao do tempo de CPU em funo das diversas razes de

engrossamento e com o uso do esquema FAS. Para estes problemas, verificou-se que a razotima tem uma forte influncia dos seguintes aspectos: a razo de queda do nmero de pontos

de uma malha para a outra malha imediatamente mais grossa, a qualidade das informaes

transferidas pela restrio e pela prolongao e, principalmente, o uso do esquema FAS, que

transfere informaes a respeito do resduo e da soluo para as demais malhas mais grossas.

Para os problemas unidimensionais estudados na seo anterior, verificou-se que r= 2 a

melhor razo de engrossamento para o esquema CS. Aqui, para os mesmos problemas,

verificou-se que r = 3 a melhor para o esquema FAS. Pode-se concluir que o esquema

utilizado (CS ou FAS) influencia a razo tima para o mtodo multigrid.

Tolerncia e estimativa inicial.Neste trabalho estudam-se tambm casos com variaes

tanto da tolerncia como da estimativa inicial vr

como na seco anterior.

Para a variao da tolerncia, os resultados dos estudos do nmero de iteraes internastimo, para os problemas estudados, sofreram variao substancial sobre o tempo de CPU ao


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se adotar . Cerca de 6.87% a 24.53% para a equao de adveco-difuso e 10.81%

para a equao de Burgers.

rITI 3=

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100

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102

TempodeCPU

(s)

Nmero de Incgnitas

MG(r = 2)

MG(r = 3)MG(r = 4)

MG(r = 5)

Figura 7: Ampliao da Fig. 5.

105

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107

100

101

102

TempodeCP

U

(s)

Nmero de Incgnitas

MG(r = 2)

MG(r = 3)

MG(r = 4)

MG(r = 5)

Figura 8: Ampliao da Fig. 6.

Para a variao da estimativa inicial, os resultados dos estudos do nmero de iteraes

internas timo tanto para a equao de adveco-difuso quanto para a equao de Burgers

sofreram uma variao significativa sobre o tempo de CPU: de 11.93% a 32.65% para a

equao de adveco-difuso e de 0 a 27.05% para a equao de Burgers ao se adotar

.rITI 3= Em relao ao nmero de nveis, ao adotar-se mximotimo LL = , a maior variao encontrada

foi de 24.78% para a equao de adveco-difuso e 0.65% para a equao de Burgers,

independente de estar variando a tolerncia ou a estimativa inicial.

Isto mostra que, como na seo anterior, o problema de minimizao do tempo de CPU

fracamente dependente da tolerncia e fortemente dependente da estimativa inicial quando seestuda o nmero de iteraes internas; e fracamente dependente da tolerncia e estimativa


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inicial quando se estuda o nmero de nveis. Conclui-se que, pode-se usar e,

como na seo anterior para ambos os problemas.

rITItimo 3=

mximotimo LL =

4.3Esquema CS versusFAS

Nas Figs. 9 e 10 se faz uma comparao entre os esquemas multigridCS e FAS em funo

de diversos valores de . Pode-se notar que o esquema FAS mais rpido do que o CS em

qualquer . Por exemplo, a equao de Burgers para a malha de 4194304 elementos o

tempo de CPU do MG-FAS(r= 2) e MG-CS(r= 2) de 47.25 s e 142.47 s, respectivamente,

ou seja, o MG-FAS(r = 2) cerca e 3 vezes mais rpido do que o MG-CS(r = 2). Outro

exemplo, para a malha de 3188646 elementos o tempo de CPU do MG-FAS(r= 3) e MG-

CS(r= 3) de 28.19 s e 156.74 s, respectivamente, ou seja, o MG-FAS(r= 3) cerca e 5

vezes mais rpido do que o MG-CS(r= 3).

fN

fN

Portanto, recomenda-se o uso do esquema FAS com a razo 3=r para as equaes deadveco-difuso e Burgers. Esta constatao indita e inesperada, pois o esquema CS

indicado para resolver equaes lineares e o esquema FAS, para equaes no-lineares. Aqui

vemos que o esquema CS perde a hegemonia perante o esquema FAS, mesmo que para um

problema linear.

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TempodeC

PU

(s)

Nmero de Incgnitas

MG-CS(r = 2)

MG-FAS(r = 3)

Figura 9 - Esquemas CS e FAS para a equao de adveco-difuso.

A concluso do presente trabalho difere daquela de Brandt (1977). Ele fez anlises

tericas e experimentais (numricas) entre as razes de engrossamento r = 2, 3 e 3/2 para

diversos problemas, mas no se referiu s Eqs. (9) e (14) exatamente. Brandt mostra

preferncia pelo esquema CS em relao ao esquema FAS no caso de problemas lineares.

Segundo Brandt, cada ciclo iterativo do esquema FAS mais caro computacionalmente se

comparado ao esquema CS devido transferncia de informaes a respeito do resduo e da

soluo para as malhas mais grossas.

Seja o problema de minimizao do tempo de CPU em funo do uso dos diferentes

esquemas CS e FAS. Para este problema, verificou-se que o esquema timo tem uma forte

influncia da qualidade das informaes transferidas pela restrio e pela prolongao e,principalmente, pela transferncia de informaes a respeito do resduo e da soluo para as


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malhas mais grossas. Entretanto, no presente trabalho verificou-se que o nmero de ciclos ou

iteraes externas do esquema FAS significativamente menor do que o esquema CS. Por

exemplo, para a equao de adveco-difuso e para a malha de 8388608 elementos, o

nmero de ciclos ou iteraes externas (ITE) do MG-FAS(r = 2) e MG-CS(r = 2) de 3 e 25,

respectivamente.

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10-1

100

101

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TempodeCPU

(s)

Nmero de Incgnitas

MG-CS(r = 2)

MG-FAS(r = 3)

Figura 10 - Esquemas CS e FAS para a equao de Burgers.

5. CONCLUSO

Para os esquemas CS e FAS do mtodo multigridgeomtrico, neste trabalho estudou-se o

efeito de diversos parmetros sobre o tempo de CPU necessrio para resolver dois problemas:

um linear (equao de adveco-difuso) e outro no-linear (equao de Burgers), ambos em

regime permanente, unidimensionais, com condies de contorno de Dirichlet. Estas equaes

foram discretizadas com o mtodo de diferenas finitas.

Com base nos resultados deste trabalho, verificou-se que:

1)Para os mesmos dados (, vr

e ), o esquema FAS mais rpido do que o esquema

CS, para os problemas linear e no-linear.

fN

2)O nmero de iteraes internas (ITI) e o nmero de nveis de malhas (L) afetamsignificativamente o tempo de CPU para os esquemas CS e FAS. Para o esquema

FAS, recomenda-se utilizar rITI 3= para qualquer nmero de incgnitas ( ); e

para o esquema CS,

fN

rITI 2= . Para ambos os esquemas, recomenda-se usar.mximoLL=

3)Para os mesmos dados ( , vr

e ), comfN mximoLL= para cada , entre as razes

de engrossamento de malhas testadas (r= 2, 3, 4 e 5), o esquema CS mais rpido

com

fN

2=r ; j o esquema FAS mais rpido com r= 3.


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Agradecimentos

Agradecemos o apoio do Laboratrio de Experimentao Numrica (LENA), do

Departamento de Engenharia Mecnica da UFPR, por disponibilizar sua infra-estrutura. Os

dois primeiros autores agradecem Universidade Estadual de Ponta Grossa pelo suporte

financeiro.

REFERNCIAS

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