20/03/2012 cel033 circuitos lineares i - ufjf.br · forma matricial » ¼ º « ¬ ª » ¼ º «...
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NR-10
Métodos de Análises de Circuitos
Análise Nodal (Lei de Kirchhoff das Correntes)
Método de análise de circuitos elétricos no qual se escolhe um nó como sendo a referência (tensão nula) e aplica-se a lei de Kirchhoff das corrente nos demais nós dos circuito.
Análise de Malhas (Lei de Kirchhoff das Tensões)
Método de análise de circuitos elétricos no qual aplica-se a lei de Kirchhoff das tensões para as “N” malhas independentes existentes no circuito.
NR-10
ANÁLISE NODAL
1ª Lei de Kirchhoff
Escolha de um nó de referência (tensão nula)
Tensões nodais são as variáveis
1ª Lei de Kirchhoff : “ A soma das correntes que entram em um nó deve ser igual a soma das correntes que saem do nó”.
Nó de Referência: Referência de tensão para todos os demais nós existentes. Adota-se como nó de referência, o nó que possui o maior nº de ramos a ele conectado.
Análise Nodal
NR-10
Caso 1
Análise nodal de circuitos resistivos na presença apenas de fontes independentes de corrente
Quantos Nós? 3 nós
1i
2i 3i
Qual deve ser o nó de referência? Nó 3
1 2
3
Quantas equações tenho que resolver? Duas ( nó1 e nó2)
Análise Nodal
NR-10 1i
2i 3i
1 2
3
Ai Bi
EQUAÇÃO NÓ 1
Aiii
21
Aplicando a Lei de Ohm (i=G x v)
A
A
ivGvGG
ivvGvG
22121
21211
)(
)()0(
Caso 1 circuitos resistivos na presença apenas de fontes independentes de corrente
Análise Nodal
NR-10 1i
2i 3i
1 2
3
Ai Bi
EQUAÇÃO NÓ 2
Biii 32
Aplicando a Lei de Ohm (i=Gv)
B
B
ivGGvG
ivGvvG
22312
23122
)(
)0()(
Caso 1 circuitos resistivos na presença apenas de fontes independentes de corrente
Análise Nodal
NR-10
1i
2i 3i
1 2
3
Ai Bi
B
A
ivGGvG
ivGvGG
22312
22121
)(
)(
Sistema de Equações
Como solução tem-se as tensões nodais e conseqüentemente as
correntes nos ramos do circuito ( Lei de Ohm V=R.I)
Caso 1 circuitos resistivos na presença apenas de fontes independentes de corrente
Análise Nodal
NR-10
1i
2i 3i
1 2
3
Ai Bi
Forma Matricial
B
A
i
i
v
v
GGG
GGG
2
1
232
221
Matriz de Condutâncias Nodais
Caso 1 circuitos resistivos na presença apenas de fontes independentes de corrente
Análise Nodal
NR-10
EXERCÍCIO:
Determine a forma matricial do sistema de equações lineares referente ao circuito abaixo
1i 2i
EQUAÇÃO NÓ 1 1 2
0)()( 214213121 vvGvvGvGi
EQUAÇÃO NÓ 2
2124123 )()( ivvGvvG
Análise Nodal
NR-10
1i 2i
1 2 12341432 )()( ivGGvGGG
Sistema Linear de Equações
2234143 )()( ivGGvGG
2
1
2
1
3434
34432
)()(
)(
i
i
v
v
GGGG
GGGGG
Forma Matricial
Análise Nodal
NR-10
B
A
i
i
v
v
GGG
GGG
2
1
232
221
2
1
2
1
3434
34432
)()(
)(
i
i
v
v
GGGG
GGGGG
Observand0-se os sistemas de equação de ambos os circuitos, pergunta-se: Existe uma lei de formação para a montagem do sistema de equações?
Análise Nodal
NR-10
Lei de Formação: Matriz de condutâncias
os elementos (j,j) diagonais são formados pela soma das condutâncias dos ramos (*) pertencentes ao nó j ;
os elementos (j,i) fora da diagonal são formados pelo negativo da soma das condutâncias dos ramos(*) que interligam os nós i e j.
Lei de Formação: Vetor das Fontes de Corrente
soma algébrica das fontes de corrente que pertencem ao nó j;
a corrente é tomada com sinal positivo entrando no nó j;
a corrente é tomada com sinal negativo deixando o nó j.
Análise Nodal
(*) ramos que possuem fontes de corrente não são considerados (soma-se ZERO)
NR-10
EXERCÍCIO:
Determine a matriz de condutância do circuito abaixo
10
2
85
3
8330
35322
02210
G
1 1
111
Análise Nodal
NR-10
Observações:
Análise Nodal
79392907900039920
03800003800
79079741700740017
00056560000
00056562500250
00740074434300
39380004343393800
92000250025920
00170000017
gggggg
gg
gggggg
gg
gggg
gggg
gggggg
gggg
gg
Matriz de Condutância
Pergunta: Quais as características da matriz acima?
NR-10
Análise Nodal
0 2 4 6 8 10
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
nz = 27
Característica da matriz de Condutância: Simétrica e Esparsa
Matriz de Condutância
(Visualização da Esparsidade)
MATLAB ( Comando de visualização de Esparsidade)
NR-10
1º) Escreva as equações nodais do circuito elétrico abaixo
2
4
4 A5
A6
A3
Exercício
Análise Nodal
A
B
C (terra)
NR-10
Caso 2
Análise nodal de circuitos resistivos na presença de fontes independentes de tensão
EQUAÇÃO NÓ 1
?)( 11212 vGvvGiS
Não existe informação da corrente que flui pela fonte de tensão !!!!
A corrente no gerador torna-se uma nova variável do problema.
1
2
3
Si
Análise Nodal
NR-10
EQUAÇÃO NÓ 1
ES ivGvvGi 11212 )(
EQUAÇÃO NÓ 2
0)()( 323122 vvGvvG
EQUAÇÃO NÓ 3
0)( 34233 vGvvGiE
Número de Equações: 3
Número de Variáveis: 4
SISTEMA INDETERMINADO
Evv 31
Equação Adicional
1
2
3
Si
Ei
Caso 2
Análise nodal de circuitos resistivos na presença de fontes independentes de tensão
Análise Nodal
NR-10
EQUAÇÃO NÓ 1
ES ivGvvGi 11212 )(
EQUAÇÃO NÓ 2
0)()( 323122 vvGvvG
EQUAÇÃO NÓ 3
0)( 34233 vGvvGiE
Evv 31
EQUAÇÃO ADICIONAL
Colocando o sistema de equações na forma matricial, tem-se:
1
2
3
Si
Ei
Caso 2
Análise nodal de circuitos resistivos na presença de fontes independentes de tensão
Análise Nodal
NR-10
E
i
i
v
v
v
GGG
GGGG
GGG s
E
0
0
0101
10
0
10
3
2
1
433
3322
221
Matriz de condutâncias original (G)
Equação Adicional ( nova linha e coluna na matriz G)
Vetor com as variáveis do problema
Vetor de correntes nodais (fontes)
Forma Matricial ( Sistema do Tipo Ax=b):
A
x
b
NR-10
Caso 2
Análise nodal de circuitos resistivos na presença de fontes independentes de tensão
Análise Nodal
Super Nó:
Ramo contendo uma fonte de tensão
e nenhum dos nós sendo a referência
do circuito.
EQUAÇÕES SUPER NÓ
)()( 2332123411 vvGvvGvGvGiS Evv 31
EQUAÇÃO NÓ 2
)()(0 323122 vvGvvG
Duas Equações para o Super Nó
C (terra)
NR-10
E
i
v
v
v
GGGG
GGGGGG s
0.
101
)(
)(
3
2
1
3322
433221
Análise Nodal
Forma Matricial ( Sistema do Tipo Ax=b):
Caso 2
Análise nodal de circuitos resistivos na presença de fontes independentes de tensão
NR-10
E
i
v
v
v
GGGG
GGGGGG s
0.
101
)(
)(
3
2
1
3322
433221
Análise Nodal
Caso 2
Análise nodal de circuitos resistivos na presença de fontes independentes de tensão
(RESOLUÇÃO VIA SUPER NÓ)
Resposta:
1v
2v
3v
NR-10
Análise Nodal
Caso 2
Análise nodal de circuitos resistivos na presença de fontes independentes de tensão
( RESOLUÇÃO VIA EQUAÇÃO ADICIONAL)
E
i
i
v
v
v
GGG
GGGG
GGG s
E
0
0
0101
10
0
10
3
2
1
433
3322
221
Resposta:
1v
2v
3v
Ei
NR-10
Análise Nodal
Caso 2
Análise nodal de circuitos resistivos na presença de fontes independentes de tensão
E
i
i
v
v
v
GGG
GGGG
GGG s
E
0
0
0101
10
0
10
3
2
1
433
3322
221
E
i
v
v
v
GGGG
GGGGGG s
0.
101
)(
)(
3
2
1
3322
433221
Super Nó Equação Adicional
Respostas Iguais
NR-10
2º ) Utilizando o conceito de super nó, apresente o sistema de equações lineares do circuito elétrico abaixo.
EXERCÍCIOS
A B