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Material Digital do Professor

Matemática – 9º ano

2º bimestre – Gabarito

1. A cidade murada de Kowloon, em Hong Kong, ficou conhecida mundialmente no final do século XX por ser o lugar mais densamente povoado do planeta. No seu auge, o lugar era habitado por 33 mil pessoas, e sua medida de área era de apenas 0,3 km².

Qual era o valor da densidade demográfica da cidade no auge do seu povoamento?

Objeto(s) de conhecimento

Razão entre grandezas de espécies diferentes.

Habilidade(s) (EF09MA07) Resolver problemas que envolvam a razão entre duas grandezas de espécies diferentes, como velocidade e densidade demográfica.

Tipo de questão Aberta Capítulo 3

Grade de correção ✓

O aluno calcula que o valor da densidade demográfica será dado pela razão entre o número de habitantes da população e a medida de área da região. Assim, o valor da

densidade demográfica é 33 000

0,3= 110 000 hab./km².

O aluno encontra outro valor da densidade demográfica, como 11 000 hab./km² ou 111 000 hab./km².

Orientações sobre como interpretar as

respostas e reorientar o planejamento com base nos resultados

O aluno que responde 11 000 hab./km² não observa corretamente as casas decimais, fazendo a divisão por 3. O aluno que responde 111 000 hab./km² comete um erro na divisão. O aluno que responde qualquer outro valor pode não entender o conceito de densidade demográfica. Para melhorar a habilidade de resolver problemas que envolvam a razão entre 2 grandezas de espécies diferentes, leve para a sala informações sobre a medida de área e o número de habitantes da população de todos os estados brasileiros. Divida a turma em 5 grupos, um para cada região do país, e distribua os dados de acordo com as regiões em que os estados se situam. Peça aos alunos que encontrem os estados com maior e menor valor de densidade demográfica de cada região. Finalmente, compare na lousa todos os valores obtidos para chegar aos valores extremos da densidade demográfica no país. Confira esses valores com as informações oficiais.

2. Após a independência de determinado país, os governantes resolveram fazer a divisão dos estados. Para isso, desenharam no 3 retas paralelas (r, s e t) e 2 retas transversais (g e j), formando os estados A e B. As medidas de comprimento das fronteiras desses estados são dadas em quilômetros.

Avits Estúdio Gráfico/Arquivo da editora




Qual é a medida de perímetro do estado B?


Relações métricas no triângulo retângulo. Teorema de Pitágoras: verificações experimentais e demonstração. Retas paralelas cortadas por transversais: teoremas de proporcionalidade e verificações experimentais.

Habilidade(s) (EF09MA14) Resolver e elaborar problemas de aplicação do teorema de Pitágoras ou das relações de proporcionalidade envolvendo retas paralelas cortadas por secantes.



O aluno observa que, para calcular a medida de perímetro do estado B, precisa descobrir x, a medida de comprimento do lado faltante. Pelo teorema de Tales,

temos que 400

𝑥=

200

224. Assim, x é igual a 448 km. Então, a medida de perímetro do

estado B é: 300 + 400 + 500 + 448 = 1 648 km.

O aluno responde 448 km, 1 200 km ou outro valor diferente da resposta correta.



O aluno que responde 448 km encontra a medida de comprimento do lado faltante, mas não se atenta ao que foi pedido no enunciado. O aluno que responde 1 200 km se esquece de descobrir e somar a medida de comprimento faltante, somando apenas as que estão na figura. O aluno que responde outra medida monta incorretamente a proporção, ou tenta resolver o problema por meio de outro método incorreto. Para melhorar a habilidade de resolver e elaborar problemas de aplicação do teorema de Tales, leve para a sala de aula malha quadriculada, ou utilize softwares livres como o GeoGebra, e peça aos alunos que desenhem 3 retas paralelas e 2 transversais. Com uma régua, ou utilizando o programa, peça que meçam o comprimento de 3 segmentos de reta formados e calculem a medida de comprimento do segmento de reta faltante utilizando o teorema de Tales. Depois, peça que confiram se a medida calculada é igual à obtida ao medir o comprimento do segmento de reta. Solicite a eles que refaçam, em folha à parte, a construção de retas variando a medida de comprimento de alguns segmentos de reta. Feito isso, eles devem calcular a medida de comprimento de outros segmentos de reta. Dessa forma, pretende-se mostrar que as medidas de comprimento dos segmentos de reta seguem uma proporção.

3. Para comprar o carro dos seus sonhos, Lucas precisou pegar um empréstimo de R$ 75 000,00 com um amigo. Eles combinaram que Lucas pagará R$ 1 000,00 por mês, correspondentes ao valor emprestado, mais 1% de juros simples em relação ao total que faltará ser pago. Assim:

• No primeiro mês, ele pagará R$ 1 750,00, sendo R$ 1 000,00 correspondentes à dívida e o restante correspondente aos juros.

• No segundo mês, ele pagará R$ 1 740,00, pois ainda faltará pagar R$ 74 000,00 da dívida.

Qual quantia total Lucas pagará nos primeiros 6 meses?





Porcentagens: problemas que envolvem cálculo de percentuais sucessivos.

Habilidade(s) (EF09MA05) Resolver e elaborar problemas que envolvam porcentagens, com a ideia de aplicação de percentuais sucessivos e a determinação das taxas percentuais, preferencialmente com o uso de tecnologias digitais, no contexto da educação financeira.



No primeiro mês, os juros serão aplicados sobre R$ 75 000,00, sendo reduzidos progressivamente, pois a cada mês ele paga R$ 1 000,00 da dívida. Assim, o valor pago será: 1º mês: 1 000 + 1% ∙ 75 000 = 1 000 + 750 = 1 750 2º mês: Faltará pagar 75 000 – 1 000 = 74 000. Deverá pagar: 1 000 + 1% ∙ 74 000 = 1 000 + 740 = 1 740 3º mês: Faltará pagar 74 000 – 1 000 = 73 000. Deverá pagar: 1 000 + 1% ∙ 73 000 = 1 000 + 730 = 1 730 4º mês: Faltará pagar 73 000 – 1 000 = 72 000. Deverá pagar: 1 000 + 1% ∙ 72 000 = 1 000 + 720 = 1 720 5º mês: Faltará pagar 72 000 – 1 000 = 71 000. Deverá pagar: 1 000 + 1% ∙ 71 000 = 1 000 + 710 = 1 710 6º mês: Faltará pagar 71 000 – 1 000 = 70 000. Deverá pagar: 1 000 + 1% ∙ 70 000 = 1 000 + 700 = 1 700 Logo, o valor total pago nos primeiros 6 meses será de R$ 10 350,00 (1 750 + 1 740 + 1 730 + 1 720 + 1 710 + 1 700).

O aluno responde R$ 10 500,00, R$ 4 350,00 ou qualquer outro valor.



O aluno que responde R$ 10 500,00 calcula como se os juros de 1% incidissem, a cada mês, sobre o valor emprestado. O aluno que responde R$ 4 350,00 só calcula o valor a ser pago devido aos juros, esquecendo-se de somar aos R$ 6 000,00. Para melhorar a habilidade relacionada, leve para a sala de aula simulações de empréstimos e de investimentos, com taxas de juros simples ou compostos. As atividades podem ser feitas com o uso de planilhas digitais ou de calculadoras para facilitar os cálculos e simulações.

4. O governo de determinado país promoveu uma pesquisa de abrangência nacional e constatou que cada habitante da população gerava, em média, a medida de massa de 1 050 g de lixo por dia.

a) Sendo x o número de habitantes da população do país em questão, encontre a função que

expressa y, a medida de massa de lixo gerada diariamente nesse país, em quilograma.

b) Se a população do país estudado é de aproximadamente 210 milhões de habitantes, qual é a

medida de massa aproximada de lixo gerada em 1 ano, em milhões de toneladas? (Considere

1 ano = 365 dias.)





Funções: representações numérica, algébrica e gráfica.

Habilidade(s) (EF09MA06) Compreender as funções como relações de dependência unívoca entre duas variáveis e suas representações numérica, algébrica e gráfica e utilizar esse conceito para analisar situações que envolvam relações funcionais entre duas variáveis.



a) O aluno encontra que a função que expressa a medida de massa de lixo gerada

diariamente no país é 𝑦 = 1,05𝑥.

b) Como a população é de 210 000 000 de habitantes, a medida de massa de lixo

gerada diariamente é 𝑦 = 1,05 ∙ 210 000 000 = 220 500 000 kg = 220 500 t.

Logo, a medida de massa de lixo anual será de aproximadamente 80,5 milhões

de toneladas (220 500 ∙ 365).

O aluno responde a função em grama e encontra um valor diferente para a medida de massa de lixo gerada anualmente, ou informa outra função, como 𝑥 + 1 050.



O aluno que erra essa questão não se atenta ao que foi pedido no enunciado ou pode não compreender o conceito e a montagem de uma função. Para melhorar a habilidade de compreender as funções como relações de dependência unívoca entre 2 variáveis e as representações numérica, algébrica e gráfica delas e utilizar esse conceito para analisar situações que envolvam relações funcionais entre 2 variáveis, revise situações mais simples, nas quais há uma proporcionalidade direta ou um valor fixo acrescido a uma das variáveis. Peça aos alunos que pesquisem informações de gastos no Brasil e no mundo, como consumo médio de energia e água, e representem a função e a quantidade gasta em 1 ano.




5. Para análise da população brasileira, o Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE) realiza diversas pesquisas periódicas. Uma das finalidades dessas pesquisas é o cálculo do valor da densidade demográfica do território, em número de habitantes por quilômetro quadrado. Reunindo esses dados em um gráfico, é possível perceber a variação do indicador estudado ao longo dos anos.

O gráfico abaixo mostra a evolução do valor da densidade demográfica do final do século XIX ao início do século XXI:


Fonte de consulta: IBGE. Disponível em: <https://seriesestatisticas.ibge.gov.br/series.aspx?no=10&op=0&vcodigo=POP117&t=densidade-

demografica>. Acesso em: 25 set. 2018.

O gráfico mostrado é o de uma função? Justifique sua resposta.






O aluno responde que sim, pois qualquer reta perpendicular ao eixo x intersecta o gráfico em 1 único ponto. Dessa forma, para cada ano há apenas 1 valor da densidade demográfica.

O aluno responde que o gráfico não representa uma função, ou responde que sim mas não justifica corretamente.

https://seriesestatisticas.ibge.gov.br/series.aspx?no=10&op=0&vcodigo=POP117&t=densidade-demografica

https://seriesestatisticas.ibge.gov.br/series.aspx?no=10&op=0&vcodigo=POP117&t=densidade-demografica






O aluno que erra essa questão não consegue identificar se o gráfico é uma função ou não, demonstrando falta de domínio dos critérios para tal ou falta da identificação desses critérios em situações-problema. Para melhorar a habilidade em questão, apresente outros gráficos e analise com a turma se eles são de funções ou não. Escolha alguns gráficos que representam funções e outros que não possam ser classificados dessa forma, para que os alunos entendam a diferença e identifiquem os critérios de classificação.

6. Com o objetivo de provar teorias físicas, cientistas criaram um acelerador de partículas que realiza a colisão entre elas. O deslocamento de 2 delas é descrito, no plano cartesiano, pelas funções 𝑦 = 2𝑥 – 3 e 𝑦 = 5𝑥 + 6.

Qual é a representação gráfica desses deslocamentos no plano cartesiano?

a)





b)


c)





d)


e)








Tipo de questão Múltipla escolha Capítulo 4

Justificativas

a

O aluno encontra 2 pontos de cada função e marca as retas corretamente no plano cartesiano. Assim, no caso da função 𝑦 = 2𝑥 − 3, encontra os pontos (0, –3) e (2, 1), e no caso da função 𝑦 = 5𝑥 + 6, encontra os pontos (0, 6) e (–1, 1). Além disso, iguala as funções e obtém que o ponto de intersecção das retas é (–3, –9).

b O aluno encontra a reta da função 𝑦 = −2𝑥 − 3 em vez de 𝑦 = 2𝑥 − 3.

c O aluno encontra as retas das funções 𝑦 = −2𝑥 − 3 e 𝑦 = −5𝑥 + 6.

d O aluno encontra a reta da função 𝑦 = 2𝑥 + 3 em vez de 𝑦 = 2𝑥 − 3.

e O aluno encontra as retas das funções 𝑦 = 2𝑥 + 3 e 𝑦 = 5𝑥 − 6.



O aluno que erra essa questão pode não saber representar uma função no plano cartesiano ou possuir dificuldade para efetuar os cálculos algébricos necessários para a definição dos pontos. Para melhorar essas habilidades, trabalhe com os alunos a representação de funções no plano cartesiano, identificando o ponto em que a função corta os eixos. Uma atividade que auxilia no desenvolvimento da identificação e montagem de gráficos é a representação de funções com o uso do GeoGebra. Usando a função genérica 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 e as funcionalidades do software, o aluno pode verificar as diferentes características do gráfico dessa função. Caso recursos computacionais não estejam disponíveis, oriente os alunos a traçarem os gráficos das funções na malha quadriculada.

7. Um engenheiro visitou uma obra e encontrou uma viga de madeira, perpendicular ao solo, que seria utilizada para sustentação do telhado. Como a viga é muito alta, ele pensou em determinar a medida de comprimento da altura dela pela sombra que projeta no chão.

Sabendo que a altura e a sombra do engenheiro medem 1,65 m e 22 cm de comprimento, respectivamente, e que a medida de comprimento da sombra da viga é de 82 cm, podemos estimar que a medida de comprimento da altura da viga é igual a:

a) 2,75 m.

b) 4,50 m.

c) 6,15 m.

d) 7,80 m.

e) 10,93 m.





Relações métricas no triângulo retângulo. Teorema de Pitágoras: verificações experimentais e demonstração. Retas paralelas cortadas por transversais: teoremas de proporcionalidade e verificações experimentais.

Habilidade(s) (EF09MA14) Resolver e elaborar problemas de aplicação do teorema de Pitágoras ou das relações de proporcionalidade envolvendo retas paralelas cortadas por secantes.


Justificativas

a O aluno faz 82 cm menos 22 cm, encontrando 60 cm. Depois, divide 1,65 por 0,6, chegando ao resultado de 2,75 m.

b O aluno utiliza a seguinte proporcionalidade para calcular a medida de comprimento

da altura da viga: 22

165=

82 − 22

𝑥. Logo, x = 450 cm = 4,50 m.

c O aluno utiliza proporcionalidade para calcular a medida de comprimento da altura da

viga. Assim, 22

165=

82

𝑥. Logo, x = 615 cm = 6,15 m.

d O aluno utiliza a seguinte proporcionalidade para calcular a medida de comprimento

da altura da viga: 22

165=

82 + 22

𝑥. Logo, x = 780 cm = 7,80 m.

e O aluno utiliza proporcionalidade para calcular a medida de comprimento da altura da

viga, mas inverte uma das razões, fazendo 165

22=

82

𝑥 e chegando a x = 10,93 m.



O aluno que marca a alternativa a não demonstra compreensão de proporcionalidade. O aluno que marca as alternativas b, d ou e compreende proporcionalidade, mas utiliza a proporção errada. Para melhorar essa habilidade, imprima figuras contendo segmentos de reta semelhantes e peça aos alunos que meçam o comprimento de alguns lados e calculem a medida de comprimento dos demais. Depois, oriente-os a conferi-las usando uma régua.

Leia o texto seguinte para resolver as atividades 8 e 9.

Mariana foi a uma livraria que está com uma promoção que dá uma

porcentagem de desconto correspondente à quantidade de livros que o cliente

compra, sendo limitada à compra de 40 livros. Assim, se Mariana comprar 5 livros,

ganhará 5% de desconto sobre o preço total dos livros. Além disso, durante essa

promoção, todos os livros custam R$ 15,00 sem os descontos.

8. Sendo x o número de livros comprados, qual é a fórmula da função que representa o preço total y da compra nessa promoção, em reais?

a) 𝑦 = 0,75𝑥

b) 𝑦 = 14,25𝑥

c) 𝑦 = 15,01𝑥 − 1

d) 𝑦 = 15𝑥 − 0,15𝑥²

e) 𝑦 = 1 500𝑥 − 15𝑥²








Justificativas

a O aluno não compreendeu o enunciado e considerou que o desconto era sempre de 5%. Além disso, calculou o valor total do desconto. Assim, a fórmula dessa função é 𝑦 = 15𝑥 ∙ 0,05 = 0,75𝑥.

b O aluno não compreendeu o enunciado e considerou que o desconto era sempre de 5%. Assim, o preço da compra é dado pela fórmula dessa função: 𝑦 = 15𝑥 ∙ 0,95 =14,25𝑥.

c

O aluno subtrai o desconto em vez de multiplicá-lo. Assim, encontra que o preço total

da compra é dado pela fórmula dessa função: y = 15𝑥 −100 − 𝑥

100= 15𝑥 − 1 +

𝑥

100=

15,01𝑥 − 1.

d

O aluno observa que o preço total da compra sem desconto será 15x, enquanto o desconto será igual a x%, ou seja, o valor total deverá ser multiplicado por (100 − 𝑥)%. Assim, encontra que o preço total da compra é dado pela fórmula dessa

função: 𝑦 = 15𝑥 ∙100 − 𝑥

100= 15𝑥 − 0,15𝑥².

e O aluno se esquece de dividir a porcentagem por 100. Assim, o preço total da compra é dado pela fórmula dessa função: y = 15𝑥(100 − 𝑥) = 1 500𝑥 − 15𝑥².



O aluno que marca as alternativas a, b ou c pode não saber como fazer a montagem de funções a partir de situações ou não compreende o que foi pedido no enunciado. O aluno que marca a alternativa e não transforma a porcentagem em decimal. Além disso, o aluno que marca as alternativas a ou e não percebe que o custo dos livros seria irreal após os descontos. Para melhorar a habilidade de compreender as funções como relações de dependência unívoca entre 2 variáveis e as representações numérica, algébrica e gráfica delas e utilizar esse conceito para analisar situações que envolvam relações funcionais entre 2 variáveis, apresente situações em que haja a variação de grandezas de forma dependente. Divida a turma em grupos de acordo com a quantidade de situações encontradas e explique o contexto para cada um deles. Cada grupo deve escrever a fórmula da função que rege o caso e apresentar para a turma.

9. Mariana escolheu alguns livros e obteve um desconto de R$ 21,60 ao pagar sua compra. Quantos livros ela comprou?

a) 12

b) 14

c) 18

d) 22

e) 32





Porcentagens: problemas que envolvem cálculo de percentuais sucessivos.

Habilidade (EF09MA05) Resolver e elaborar problemas que envolvam porcentagens, com a ideia de aplicação de percentuais sucessivos e a determinação das taxas percentuais, preferencialmente com o uso de tecnologias digitais, no contexto da educação financeira.


Justificativas

a

O aluno calcula que o preço total da compra, sem desconto, será 15x, enquanto o

desconto será igual a x%. Assim, chega à equação 15𝑥 ·𝑥

100 = 21,60, ou seja,

𝑥² = 144. Logo, x = 12 livros.

b O aluno divide 21,60 por 15 e encontra 1,44. Além disso, por estar trabalhando com porcentagem, multiplica esse valor erroneamente por 10 e supõe que o número de livros será 14.

c O aluno encontra a equação 𝑥

15 · 𝑥 = 21,60, ou seja, 𝑥2 = 324. Assim, x = 18 livros.

d O aluno acredita que, como o desconto é de R$ 21,60, o número de livros será entre 21 e 22. Assim, conclui que ela comprou 22 livros.

e O aluno multiplica 21,60 por 15 e encontra 324. Além disso, por estar trabalhando com porcentagem, divide esse valor erroneamente por 10 e supõe que o número de livros será 32.



O aluno que marca as alternativas b, d ou e não encontra a equação correta para resolver a situação. O aluno que marca a alternativa c entende que a resolução do problema é feita por equações, mas não consegue encontrá-la corretamente. Para melhorar essa habilidade, proponha a resolução de situações-problema que utilizem casos reais em cálculos similares aos adotados na questão. Depois, resolva essas atividades propostas com a turma.

10. Pedro e Marcos estavam em 2 lugares diferentes de um parque e resolveram apostar corrida até a portaria principal. Pedro demorou 9 segundos para chegar, enquanto Marcos demorou 12 segundos. Após medir as distâncias percorridas por cada um, eles observaram que a medida de velocidade média que os 2 desenvolveram no trajeto foi igual.

Assim, se Pedro percorreu a medida de distância de 60 metros, quanto mede a distância percorrida por Marcos?

a) 45 metros

b) 60 metros

c) 72 metros

d) 80 metros

e) 180 metros





Razão entre grandezas de espécies diferentes.

Habilidade(s) (EF09MA07) Resolver problemas que envolvam a razão entre duas grandezas de espécies diferentes, como velocidade e densidade demográfica.


Justificativas

a O aluno inverte os fatores da proporção: 60

12=

𝑥

9. Logo, x = 45 metros.

b O aluno supõe que, como a medida de velocidade é igual, a medida de distância percorrida precisa ser igual.

c O aluno divide 60 por 9 e arredonda o valor encontrado: em vez de encontrar 6, 6̅, encontra 6. Assim, multiplica por 12 e encontra 72 metros.

d Como a velocidade dos 2 foi igual, a razão entre as medidas de distância e de intervalo

de tempo será igual. Assim, 60

9=

𝑥

12. Logo, x = 80 metros.

e O aluno efetua a diferença entre as medidas de intervalo de tempo de cada um e multiplica pela medida de distância dada: (12 − 9) · 60 = 180 metros.



O aluno que marca a alternativa a entende que a situação envolve proporção, mas inverte os fatores. O aluno que marca as alternativas b ou e não demonstra entendimento da proporcionalidade da situação. Para melhorar a habilidade de resolver problemas que envolvam a razão entre 2 medidas de grandezas de espécies diferentes, como velocidade e intervalo de tempo, leve os alunos para o pátio ou para a quadra e marque um trajeto com certa medida de comprimento. Meça o intervalo de tempo que cada aluno leva para percorrer o trajeto e peça que calculem as medidas de velocidade de cada um. A atividade pode ser feita com o(a) professor(a) de Educação Física. Usar problemas que solicitam o cálculo das medidas de velocidade média, distância e intervalo de tempo de viagem também é interessante, especialmente se a situação for cotidiana. Solicite aos alunos que pesquisem a medida de intervalo de tempo de algumas viagens (o que pode ser feito na internet ou em empresas de ônibus).

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