2 - apostila - controle estatistico qualidade_rev1

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INSPEO POR AMOSTRAGEM INTRODUO

Onde se realiza inspeo de qualidade num processo produtivo:

na recepo de matria - prima; em diversos pontos do processo; na verificao do produto final.

Geralmente, a inspeo feita por amostragem porque:

custo da inspeo completa muito elevado; a inspeo completa pode originar maus resultados (!) (monotonia

no processo de inspeo)

Inspeo Destrutiva

situao em que o uso de amostragem torna-se obrigatrio.

Inspeo em Lotes

itens agrupado em lotes. As decises so tomadas em relao aos lotes e no aos itens individuais.

exemplo: lote com 100 lmpadas (caixa) - critrio de aceitao: inspeo em amostra de 8 lmpadas.

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PLANOS DE AMOSTRAGEM

Lote de N peas, com D defeituosas:

Frao defeituosa do lote

P o nvel de qualidade do lote, expresso em (%)

Amostra de n peas, com d defeituosas:

Frao defeituosa da amostra

Plano de amostragem:

Consiste em obter uma regra de ao que, aplicada a uma srie de lotes, permite aceitar lotes de uma certa qualidade, com um risco calculado.

P = D/N

p = d/n

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INSPEO POR AMOSTRAGEM TERMINOLOGIA

Nmero de aceitao (a): Nmero mximo de no-conformes (ou de no-conformidades) em amostras com o fim de se aceitar um lote. Nmero de rejeio (r): Nmero mnimo de no-conformes (ou de no-conformidades) em amostras com o fim de se rejeitar um lote

Risco do produtor (P1): Probabilidade de uma partida de boa qualidade ser rejeitada.

Risco do consumidor (P2): Probabilidade de que uma partida de m qualidade ser aceita.

NQA: Percentagem mxima de no-conformidades que, para fins de aceitao por amostragem, possa ser considerada como satisfatria para a mdia do processo. NQI: Nvel de qualidade inaceitvel, isto , de lotes de m qualidade, para fins do consumidor.

Qualidade Mdia Resultante (QMR): Qualidade mdia percentual de no-conformes do produto final, incluindo todos os lotes aceitos. Tambm inclui lotes rejeitados que tenham sido realmente inspecionados 100% com todos os no-conformes substitudos por itens perfeitos. Qualidade Mdia Resultante Limite (QMRL): Valor mximo para a mdia da percentagem no-conforme do produto final quando todos os lotes rejeitados tiverem sido examinados e aps a substituio de no-conformes encontrados (isto , valor mximo de QMR)

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ACEITAO E REJEIO

N = tamanho do lote n = tamanho da amostra a = nmero de aceitao (nmero mximo de itens defeituosos

que se permite na amostra). r = nmero de rejeio

r = a + 1

0 < a < n - 1

1 < r < n

Probabilidade de Aceitao

F (a) = probabilidade de aceitao F (a) = P { 0 < d < a }

Probabilidade de Rejeio

P { d > a } = 1 - F(a) = P { r < d < n }

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DISTRIBUIES BINOMIAL, HIPERGEOMTRICA E DE POISSON

Binomial: Descreve experimentos independentes, repetidos em condies estveis; apenas dois resultados so possveis em cada repetio, tal com, por exemplo, a ocorrncia de uma pea defeituosa ou de uma pea perfeita.

Hipergeomtrica: Descreve a amostragem sem reposio, em partidas cuja frao inicial de defeituosos seja P= D/N. O clculo dos termos da Hipergeomtrica muito trabalhoso, mas dever ser empregado quando tivermos partidas pequenas ( f = n/N, maior que 0,10)

Poisson: Tambm conhecida como "lei dos eventos raros", descreve a ocorrncia de pequeno nmero de vezes sem periodicidade, em grande nmero de repeties. Esse o caso de amostragem (com ou sem reposio) em que f = n/N seja menor que 0,10, de partidas com baixa frao de defeituosos, isto , com P < 10%

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INSPEO POR AMOSTRAGEM

DISTRIBUIO BINOMIAL

- A distribuio Binomial descreve experimentos independentes, repetidos em condies estveis. Ou seja, a probabilidade de ser produzida uma pea defeituosa constante. O tamanho da amostra (n) deve ser aproximadamente igual a 10/p, isto

10np

onde: n= tamanho da amostra p= frao defeituosa - A distribuio Binomial descreve a amostragem COM REPOSIO. Porm:

A distribuio Binomial tende para a distribuio Normal quando n cresce (n = + 50) e p varia aproximadamente entre 0,3 e 0,7

Quando em partidas grandes, a frao amostrada (f) for menor do que 0,10, ou

seja: nfN

< 0,10, a Binomial tem boa aproximao SEM REPOSIO.

Definies: f(x) funo densidade de probabilidade caracteriza a distribuio de probabilidade. F(x) funo acumulada que fornece, para cada ponto considerado, a probabilidade de que a varivel assuma um valor menor ou igual que a correspondente a esse ponto. Para a distribuio Binomial tem-se:

( )x n xn

f xx p q

Lembrete: !!( )!

n nx x n x

ou !!( )!

n na a n a

Onde: p= frao defeituosa e q= frao no defeituosa Observao: p + q = 1 ou q = 1-p

0

( )x a x n x

x

nF x

x p q

ou seja

0

( )a a a n a

a

nF a

a p q

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Exemplo: - Uma partida de N = 1000 peas tem a frao defeituosa p=0,04. Calcular as probabilidades de aceitao e de rejeio da partida, com amostras de n = 50 peas, e a sucessivamente 2, 3 e 6. Lembrete: F(1) = f(0) + f(1); F(2) = f(0) + f(1) + f(2); F(3) = F(2) + f(3), e assim por diante... Respostas: F(0) = 0,130; F(1) = 0,401; F(2) = 0,677; F(3) = 0,861; F(4) = 0,951; F(5) = 0,986; F(6) = 0,996; F(7) = 0,999; F(8) = 1,000

DISTRIBUIO HIPERGEOMTRICA

- Descreve a amostragem SEM REPOSIO. - Deve ser empregada em partidas pequenas quando f > 0,10 , onde f frao amostrada.

- funo densidade: ( )

D N Dx n x

f xNn

ou ( )

D N Da n a

f aNn

Exemplo: Seja uma partida de N = 50 peas, com D = 2 defeituosos. Qual a probabilidade de aceitao da partida, inspecionando-se uma amostra de n = 10, com nmero de aceitao a=1?

Resposta:

2 50 20 10 0

(0)5010

f

= 0,637

2 50 21 10 1

(1)5010

f

0,326

F(1) = f(0) + f(1) = 0,637 + 0,326 = 0,963

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DISTRIBUIO DE POISSON - Descreve a ocorrncia de pequeno nmero de vezes sem periodicidade, em grande nmero de repeties (COM OU SEM REPOSIO). Condies para aplicao da distribuio: - frao de amostragem f = n/N < 0,10 e p < 0,10 e nP < 10

- funo densidade: ( )!

x

f xxe , onde = mdia = nP e e = base dos logaritmos

neperianos.

Ou seja: ( )!

a

f aae

Exemplo: Seja o mesmo problema enunciado para a distribuio Binomial: - Uma partida de N = 1000 peas tem a frao defeituosa p=0,04. Calcular as probabilidades de aceitao e de rejeio da partida, com amostras de n = 50 peas, e a sucessivamente 2, 3 e 6. Soluo: - Verificao de atendimento da distribuio de Poisson: f = n/N = 50/1000 = 0,05 (< 0,10) p = 0,04 (< 0,10) - mdia () = nP = 50 x 0,04 = 2,0

0 2,0

(0) 0,1350!

2,0f e

1 2,0

(1) 0, 2711!

2,0f e

, e assim por diante, lembrando que F(a) = f(a)

Logo: F(1) = 0,406; F(2) = 0,677; F(3) = 0,857; F(4) = 0,947; F(5) = 0,983; F(8) = 1,000;

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VARIVEIS ALEATRIAS

PARMETROS E [x] (Mdia)

V [X] (Varincia)

BINOMIAL

p(x) = P{X=x} = xnx ppxn

)1(

x= 0, 1, 2, ...... n

n, p 0 < p < 1 np np(1-p)

POISSON

p(x) = P{X=x} = !xex

x= 0, 1, 2, ...... n

0

GEOMTRICA p(x) = P{X=x} = 1)1( xpp x= 0, 1, 2, ...... n

p, 0 < p < 1 p1 2

1p

p

HIPERGEOMTRICA

p(x) = P{X=x} =

nN

xnDN

xD

x= 0, 1, 2, ...... n

N, r, n np

p= D/N

npq1

N

nN

q=1-p

EXPONENCIAL f(x) = xe , x > 0 = 0, x< 0

0 /1 2/1

NORMAL

f(x) = 2

21

.21

x

e

Forma reduzida: z = X

, 2 2

INSPEO POR AMOSTRAGEM TIPOS DE DISTRIBUIO

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RELAES ENTRE AS DISTRIBUIES DE PROBABILIDADE

Muitas distribuies - difcil saber quando aplicar qual.

MAIS FCIL

POISSON

APLICAR SEMPRE QUE

POSSVEL

HIPERGEOMTRICA Aproximaes: binomial, quando n/N > 0,10; Poisson, quando n/N < 0,10,p < 0,10 e np < 5; Normal, quando n/N < 0,10 e a normal aproximar da

binomial.

Usada para lotes finitos de tamanho N.

BINOMIAL Aproximaes: Poisson, quando p < 0,10 e np < 5;

Normal, quando p em torno de 0,5 e n > 10.

Situaes infinitas ou quando produo estvel e assume-se a situao infinita.

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CURVA CARACTERSTICA DE OPERAO (CCO)

Usa-se na anlise de um plano de inspeo por

amostragem;

Indica a percentagem de lotes que se espera aceitar, para uma dada qualidade do processo;

Permite avaliar a operao do plano de amostragem, sob condies variadas do material produzido;

Permite ilustrar os riscos inerentes ao plano de amostragem.

Pac Probabilidade

de Aceitao FORMA GERAL

p Frao Defeituosa

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Cada plano de aceitao por amostragem tem uma CCO associada, no importando

que essa curva no seja plotada aps terem sido calculados seus valores. A CCO um

meio para se definir caractersticas reais de um determinado plano de aceitao por

amostragem. Dessa forma, qualquer plano de aceitao por amostragem tem uma

CCO, apesar de existirem planos de aceitao por amostragem com CCO's