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Universidade de Pernambuco Escola Politécnica de Pernambuco 22 de abril de 2013 Geometria Analítica < 1° Semestre 2013 – 1ª Prova Nome:_____________________________________________________________________ ATENÇÃO: Soluções sem os respectivos desenvolvimentos, claramente explicitados, NÃO SERÃO CONSIDERADAS. 01. (3,5 pontos) Diversas quantidades em física são obtidas através de operações vetoriais. Observe atentamente as definições e responda os itens a seguir. Segunda Lei de Newton: ! ! = !! , onde ! ! é a força resultante que atua sobre uma partícula de massa ! e ! é a aceleração adquirida pela partícula. Trabalho de uma força constante: o trabalho ! de uma força resultante constante ! ! sobre uma partícula é calculado na forma ! = ! ! ! , onde ! = ! ! ! ! é o deslocamento da partícula, desde a sua posição inicial ! ! até sua posição final ! ! . Força magnética: a força magnética experimentada por uma partícula de carga !, com velocidade ! em um campo magnético ! tem a forma ! ! = !(! × ! ). Campo elétrico: o campo elétrico produzido por uma partícula de carga ! no vácuo em um ponto ! do espaço tem a forma ! = !"! /! ! , onde ! é o vetor que liga a carga e o ponto !, ! é o vetor unitário que aponta na direção de ! e ! = 9 × 10 ! !! ! /! ! é a constante eletrostática do vácuo. a) (1,0) Calcule a aceleração resultante de uma partícula de massa ! = 2,0 !" que está sob ação das forças ! ! = 2! 5! + 4! !, ! ! = 9! 3! ! e ! ! = 7! + 15! + ! !. b) (1,0) Calcule o trabalho da força resultante anterior se a partícula vai da posição ! ! = 1, 0, 3 ! até ! ! = 5, 2, 3 !. c) (1,0) Calcule a força magnética de uma partícula de carga ! = 1,0 ! que no instante em que sua velocidade é ! = ! + 2! !/! e o campo magnético que atua sobre ela vale ! = 3! 5! !. d) (0,5) Calcule o campo elétrico no ponto !, de coordenadas 1, 1, 1 !, que é produzido por uma carga igual a ! = 1/9 ! localizada na origem do sistema de coordenadas cartesianas. 02. (3,0 pontos) Duas partículas ! e ! possuem velocidades constantes e iguais a ! ! = 1, 3, 3 !/! e ! ! = 1, 2, 2 !/! . Quando ! = 0 ! , as posições das partículas ! e ! são 0, 2, 1 ! e 0, 1, 0 ! , respectivamente. a) (1,0) Calcule o ângulo entre as velocidades de ! e !. b) (1,0) Escreva as equações das retas que descrevem as trajetórias das partículas ! e !. b) (1,0) Calcule as coordenadas do encontro entre as duas partículas. 03. (2,0 pontos) As retas ! e ! pertencem a um mesmo plano ! e possuem equações ! = { !, !, ! ! /(!, !, !) = (1 !, 0, !)} ! = { !, !, ! ! /(!, !, !) = (1 !, !, 0)} para ! em segundos e (!, !, !) em metros. a) (1,0) Escreva a equação geral do plano ! que contém as retas ! e !. b) (1,0) Determine a distância do ponto !(2, 1, 1) ao plano !. 04. (1,5 pontos) Considere os vetores ! ! = (1, 1, 1), ! ! = (1, 1, 0) e ! ! = (1, 0, 0). a) (1,0) Mostre que ! ! , ! ! e ! ! formam um conjunto linearmente independente. b) (0,5) Escreva o vetor ! = (5, 2, 4) como combinação linear de ! ! , ! ! e ! ! .

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Page 1: 1Prova Geo Analitica - André VilelaTitle: Microsoft Word - 1Prova_Geo_Analitica.docx Author: André Luis da Mota Vilela Created Date: 4/30/2013 3:15:20 PM

Universidade*de*Pernambuco*Escola*Politécnica*de*Pernambuco*

22*de*abril*de*2013*Geometria*Analítica*<*1°*Semestre*2013*–*1ª*Prova*

*Nome:_____________________________________________________________________*ATENÇÃO:*Soluções*sem*os*respectivos*desenvolvimentos,*claramente*explicitados,**NÃO*SERÃO*CONSIDERADAS.*!01.! (3,5! pontos)! Diversas! quantidades! em! física! são! obtidas! através! de! operações! vetoriais.! Observe!atentamente!as!definições!e!responda!os!itens!a!seguir.!

Segunda* Lei* de* Newton:!!! = !!,! onde!!!!é! a! força! resultante! que! atua! sobre! uma! partícula! de!massa!!!e!!!é!a!aceleração!adquirida!pela!partícula.!

Trabalho* de* uma* força* constante:! o! trabalho!!!de! uma! força! resultante! constante!!! !sobre! uma!partícula! é! calculado! na! forma!! = !! ∙ !,! onde!! = !! − !! !é! o! deslocamento! da! partícula,! desde! a! sua!posição!inicial!!!!até!sua!posição!final!!!.!

Força*magnética:!a!força!magnética!experimentada!por!uma!partícula!de!carga!!,!com!velocidade!!!em!um!campo!magnético!!!tem!a!forma!!! = !(!!×!!).!

Campo*elétrico:!o!campo!elétrico!produzido!por!uma!partícula!de!carga!!!no!vácuo!em!um!ponto!!!do!espaço!tem!a! forma!! = !"!/!!,!onde!!!é!o!vetor!que! liga!a!carga!e!o!ponto!!,!!!é!o!vetor!unitário!que!aponta!na!direção!de!!!e!! = 9!×!10!!!!!/!!!é!a!constante!eletrostática!do!vácuo.!!a)! (1,0)!Calcule!a!aceleração!resultante!de!uma!partícula!de!massa!! = 2,0!!"!que!está!sob!ação!das! forças!!! = 2! − 5! + 4! !!,!!! = −9! − 3! !!!e!!! = 7! + 15! + ! !!.!b)! (1,0)! Calcule! o! trabalho! da! força! resultante! anterior! se! a! partícula! vai! da! posição!!! = −1, 0, 3 !!!até!!! = 5, 2,−3 !!.!c)! (1,0)! Calcule! a! força! magnética! de! uma! partícula! de! carga!! = −1,0!! !que! no! instante! em! que! sua!velocidade!é!! = ! + 2! !!/!!e!o!campo!magnético!que!atua!sobre!ela!vale!! = 3! − 5! !!.!d)!(0,5)!Calcule!o!campo!elétrico!no!ponto!!,!de!coordenadas! 1, 1, 1 !!,!que!é!produzido!por!uma!carga!igual!a!! = 1/9!!!localizada!na!origem!do!sistema!de!coordenadas!cartesianas.!!02.! (3,0! pontos)! Duas! partículas!!!e!!!possuem! velocidades! constantes! e! iguais! a!!! = −1,−3, 3 !!/!!e!!! = −1, 2,−2 !!/! .! Quando! ! = 0!! ,! as! posições! das! partículas!! !e!! !são! 0, 2,−1 !! !e! 0, 1, 0 !! ,!respectivamente.!!a)!(1,0)!Calcule!o!ângulo!entre!as!velocidades!de!!!e!!.!b)!(1,0)!Escreva!as!equações!das!retas!que!descrevem!as!trajetórias!das!partículas!!!e!!.!b)!(1,0)!Calcule!as!coordenadas!do!encontro!entre!as!duas!partículas.!!03.!(2,0!pontos)!As!retas!!!e!!!pertencem!a!um!mesmo!plano!!!e!possuem!equações!!!! = { !, !, ! ∈ ℝ!/(!, !, !) = (1 − !, 0, !)}!!!! = { !, !, ! ∈ ℝ!/(!, !, !) = (1 − !,−!, 0)}!!!para!!!em!segundos!e!(!, !, !)!em!metros.!!a)!!(1,0)!Escreva!a!equação!geral!do!plano!!!que!contém!as!retas!!!e!!.!b)!(1,0)!Determine!a!distância!do!ponto!!(2, 1, 1)!ao!plano!!.!!04.!(1,5!pontos)!Considere!os!vetores!!! = (1, 1, 1),!!! = (1, 1, 0)!e!!! = (1, 0, 0).!!a)!(1,0)!Mostre!que!!!,!!!!e!!!!formam!um!conjunto!linearmente!independente.!b)!(0,5)!Escreva!o!vetor!! = (5,−2, 4)!como!combinação!linear!de!!!,!!!!e!!!.!

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