UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIADEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAMATA07 – ÁLGEBRA LINEAR A

PROFESSORA: CARLA DANÚBIA SANTANA COELHO

1a LISTA DE EXERCÍCIOS

1) Sejam A, B e C matrizes inversíveis de mesma ordem, encontre a expressão da matriz X,

nos itens abaixo:

a) ABt X = C b) AB + CX = I c) (CB)-1 AX = I d) (AB)t XC = I

2) Encontre as matrizes de ordem dois que comutam com .

3) Uma matriz A de ordem n é dita idempotente se A2 = A

a) Mostre que se AB = A e BA = B, então A e B são idempotentes.

b) Mostre que é idempotente.

4) Encontre a matriz LRFE de cada uma das seguintes matrizes:

A = ; B = ; C =

; D = ; F =

5) Descreva todas as possíveis matrizes 2 2 que estão na forma LRFE.

6) Determine o posto e a nulidade de cada uma das seguintes matrizes:

A = ; B = ; C = ; D =

; E = .

7) Dê exemplos, se possível, de matrizes satisfazendo as condições dadas abaixo.

OBS: Considere N(A) como a nulidade de A e p(A) como o posto de A.

a) B2 3 , p(B) = 2 ; b) C3 2 , p(C) = 3 ; c) D2 4 , p(D) = 3;

d) F2 3 , N(F) = 2; e) G4 3 , N(G) = 0 ; f) H3, N(H) = 0; g) J3, p(J) = 2.

8) Resolva os seguintes sistemas:

a) b)

c) d) .

9) Determine a solução do sistema , considerando o corpo dos

números complexos.

10) Um biólogo colocou três espécies de bactéria (denotadas por I, II e III) em um tubo de

ensaio, onde elas serão alimentadas por três fontes diferentes de alimentos (A, B e C). A

cada dia serão colocadas no tubo de ensaio 2.300 unidades de A, 800 unidades de B e

1.500 unidades de C. Cada bactéria consome um certo número de unidades de cada alimento

por dia, como mostra a Tabela abaixo.Quantas bactérias de cada espécie podem coexistir no tubo de

ensaio de modo a consumir todo o alimento?

Bactéria I Bactéria II Bactéria III

Alimento A 2 2 4

Alimento B 1 2 0

Alimento C 1 3 1

11) Discuta em função de k os seguintes sistemas:

a) b) c)

d) .

12) Determine os valores de a e b que tornam o seguinte sistema possível e determinado

.

13) Considere as seguintes matrizes inversíveis

.

a) Encontre a expressão de X tal que BAX = C.

b) Determine, caso exista, a inversa da matriz X do item a.

14) Dada a matriz B em cada um dos seguintes itens, determine uma matriz N, linha

reduzida à forma escada (LRFE), linha equivalente a B e uma matriz inversível M, de

ordem 3, tal que N = MB.

a) ; b) .

15) Verifique se as matrizes a seguir são inversíveis e, em caso afirmativo, determine a inversa,

usando escalonamento:

a) b) c) .

16) Determine os valores de a e b para que as matrizes abaixo sejam inversíveis

a) b) .

17) Verifique se os conjuntos dados a seguir têm a estrutura de espaço vetorial, com as operações dadas.

a) e . :

a.(x,y )= (ax,ay)

b) e . : R x

a .

18) Verifique em cada item a seguir se W é um subespaço vetorial de V.

I.

a) b)

c) d) ,Q o conjunto dos racionais.

e) f)

II. V = Mn(R), n 2.

a) W ={A V ; A é simétrica} b) W ={A V ; A é inversível}

c) W ={A V ; A é não inversível} d) W ={A V ; = A}

III. V é o espaço vetorial de todas as funções f : R R.

a) W = {f V; f(3) = 0} b) W = {f V; f(7) = f(1)}

IV.

W = {A V; A é matriz hermitiana (ou auto-adjunta), isto é, }.

V.

W = {A V; A é matriz hermitiana (ou auto-adjunta), isto é, }.

VI. V = C2 sobre R.

W = {(a + bi, c + di) C2; a – 2c = 0 e b + d = 0}.

19) Sabendo que o conjunto das soluções do sistema de equações lineares

homogêneas é subespaço vetorial de , verifique se Wi é

subespaço vetorial de Vi , em cada item a seguir:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

20) Determine um conjunto de geradores para os seguintes subespaços:

a)

b)

c)

d)

e) W1 W2

21) Considere os subespaços de :

; e

I. Determine: a) b)

II. Verifique que: a) é subespaço de b) não é subespaço de

22) Em cada item a seguir, faça o que se pede:

I. Determine um conjunto de geradores de U+W.

II. Verifique se: U+W é soma direta.

( i ) , e

( ii ) ,

( iii ) ,

( iv ) ,

( v ) ,

23) Verifique se são verdadeiras ou falsas as afirmações abaixo:

a) Dois vetores são L.D. se, e somente se, um deles é múltiplo do outro.

b) Um conjunto que contém um subconjunto de vetores L.D. é L.D.

c) Um subconjunto de um conjunto L.I. pode ser L.D.

d) Se

e) Se

f) Se

24) Verifique se os conjuntos de vetores dados a seguir são L.I. ou L.D.

a) V =

b) V = , S2 = , ,

c) V = = {t3-4t2+2t+3, t3+2t2+4t-1, 2t3-t2-3t+5}.

25) Considere os vetores de dados a seguir:

= , = , = , =

Determine se possível, os valores de x, y e z para que cada item abaixo seja verdadeiro.

a) é L.I. b) é L.I c) é L.I.

26) Verifique se os conjuntos dados a seguir são bases para os respectivos espaços.

Caso não sejam bases, justifique o porquê.

a) b)

c) d) = { , , }

27) Determine uma base e a dimensão dos seguintes subespaços vetoriais:

a) b)

c) = ; x + z – y = 0 d)

e)

28) Determine uma base para os espaços a seguir, contendo os respectivos

conjuntos de vetores

29) Sejam subespaços de . Determine, justificando a dim( ), sabendo que

, dim( W1+W2 ) = 4 e

é uma base de .

30) Sabendo que ,determine a dimensão de .

31) Sejam U eV subespaços do espaço vetorial V, de dimensão igual a 6

I. Se dim (U) = 4 e dim (W) = 5, mostre que U W

II. Se dim (U) = dim (W) = 4, encontre as dimensões possíveis para U W.

32) Dê, se possível, exemplos de:

a) Um conjunto L.I. de três vetores do que não geram o .

b) Um conjunto L.D. de três vetores de .

c) Um subespaço de tal que, .

d) Dois subespaços , tais que dim (U) = dim (W) = 3 e U W.

Caso seja impossível, justifique sua resposta.

RESPOSTAS

1) a) X = ( Bt )-1 A-1C ; b) X = C-1( I – AB ) ; c) X = A-1CB ; d) X = [(ABt]-1 C-1

2) , a, b R.

4) ; ;

; ;

5) ;

6) p( A ) = 2 e N ( A ) = 1; p ( B ) = 2 = N ( B ); p( C ) = 2 e N( C ) = 0; p ( D ) = 2 e N( D ) = 0, p( E ) = 3 e N( E ) = 0

7) a) B = ; b) impossível; c) impossível; d) F= ;

e) G = ; f) H = ; g) J =

8) a) S = { ( 2, 1, 3 ) }; b) ;

c)S = { ( x, y, z ) R3; x = y + 3 e z = 1 } ; d) Impossível.

9)

10) O biólogo deve colocar, no tubo de ensaio, 100 bactérias da espécie I e 350 de cada uma das espécies II e III para que todo o alimento seja consumido.

11)a) Se k = 6, então o sistema é possível determinado e S = { (8, 10)}. Se k 6, o sistema é

impossível.b) Se k 1, então o sistema é possível e indeterminado. Se k = 1, o sistema é impossível.c) Se k 2, o sistema é possível, determinado e S = { ( k +2, 1, 2 ) }. Se k = 2, o sistema é

indeterminado.d) Se k 1 e k 4 então o sistema é possível e determinado. Se k = 4, o sistema é

impossível . Se k = 1, o sistema é possível, indeterminado e S = { (x,y,z) R3; x = z2 e y = 3z3 ) }.

12) a = 2 e b = 4.

13) a) X = A-1B-1C; b)

14) a) ;

b) .

15) a) ; b) Não é inversível; c)

16) a) a 1; b ) e .

17) a) não é espaço vetorial (a propriedade associativa da + não é válida).

b) não é espaço vetorial .

18) I. a)Não. Contra-exemplo: (-2).(1,-2,3)=(-2,4,-6) W. b) " . " " : (0,1,0)+(1,0,0)=(1,1,0) W. c)Sim. d)Não. Contra-exemplo: .(1,2,3) .

e)Não. Contra-exemplo: (1,1,0)+(-1,-1,0)=(0,0,0) W. f) " . " " : (2,4,0)+(-3,9,0)=(-1,13,0) W.

II. a) Sim.

b) Não. Contra-exemplo: .

c) Não. Contra-exemplo: .

d) Não, pois se A e B pertencem a W, não necessariamente A+B pertencerá a W, visto que: .

III. a) Sim b) Sim. IV) Não. Contra-exemplo: ( x+ iy) . A W, para x e y R, com y 0. V) Sim. VI) Sim.

19) Os itens a, d, e e f são subespaços, pois as equações que os caracterizam

formam sistemas lineares homogêneos. Já os itens b e c, não são subespaços,

porque as equações que os caracterizam formam sistemas lineares não homogêneos.

20) a)W = [(1,1/2,-1)] b) W = [(-2,1,0),(3,0,1)] c)W = d)

21) I. a) [(1,1,1)] b)

II. a) Como ,então , logo é subespaço de

b) Observe que . Sejam v =(1,1,3) e u =(2,3,1)

22) ( i ) ,assim não é soma direta e

( ii ) , daí não é soma direta.

( iii ) ,

daí não é soma direta pois .

( iv ) , daí U W = .

( v ) , daí não é direta.

23) a) V b) V c) F d) V e) V f) V g) F.

24) a) L.D. b) L.D. c) L.I.

25) a) y 0 ou z 0. b) x R. c) x, y R

26) a) não é base de porque os vetores são L.D.

b) não é base de porque não geram o .

c) é base de .

d) não é base de porque não geram o .

27)

28)

29) Observe que: .

Como

30) dim ( ) = 3.

31) I. Observe inicialmente que: dim(U+W) dim (V) = 6.

Então: dim (U W) = dim (U) + dim (W) – dim(U+W) 4 + 5 – 6.

Daí, dim (U W) 3, logo U W {0}.

II. É verdade que: U U+W V. Assim, 4 dim (U+W) 6.

Então pelo fato de dim (U W) = dim (U) + dim (W) – dim (U+W), temos que:

dim(U W) pode ser: 4, 3 ou 2.

32) a) Impossível, pois...

b) = ;

c) Impossível, pois...

d) Impossível, pois se , temos que:

então, dim = dim ( ) + dim ( )– dim ( ); 5 = 3 + 3 – 0 (absurdo).