1ª aula advecção - difusão

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1ª Aula Advecção - Difusão Objectivos deste capítulo e Método dos volumes finitos.

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1ª Aula Advecção - Difusão. Objectivos deste capítulo e Método dos volumes finitos. . Objectivos. Este capítulo tem como objectivos apresentar métodos de resolução da equação de Advecção – Difusão e fazer uma aplicação num sistema unidimensional. - PowerPoint PPT Presentation

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Page 1: 1ª Aula  Advecção  - Difusão

1ª Aula Advecção - Difusão

Objectivos deste capítulo e Método dos volumes finitos.

Page 2: 1ª Aula  Advecção  - Difusão

Objectivos• Este capítulo tem como objectivos apresentar métodos de

resolução da equação de Advecção – Difusão e fazer uma aplicação num sistema unidimensional.

• Este capítulo dá continuidade ao problema de difusão resolvido em Mecânica dos Fluidos Ambiental. Usa o mesmo código desenvolvido em VBA, adicionando o transporte pela velocidade e juntando alguma complexidade às condições de fronteira num problema com superfície livre.

• O trabalho desenvolvido dá suporte teórico para Modelação Ambiental.

Page 3: 1ª Aula  Advecção  - Difusão

Programa deste capítulo• Revisão do método do volume finito para quantificação do princípio de

conservação “a taxa de acumulação é igual ao que entra, menos o que sai, mais o que se produz menos o que se consome”.

• Particularidade da advecção por necessitar dos valores sobre as faces do volume finito. Método upwind e método do valor médio (diferenças centrais). Outros métodos de resolução.

• A questão do tempo: métodos explícitos, implícitos e Crank-Nicholson (semi-implícitos).

• A questão da difusão numérica e da estabilidade. Relação entre as propriedades dos métodos numéricos e os princípios físicos. Nº de Courant e nº de Difusão.

• Dedução das equações algébricas a partir das equações diferenciais e das séries de Taylor. Erro de truncatura e precisão do método.

Page 4: 1ª Aula  Advecção  - Difusão

Processos• Taxa de acumulação:

• Fluxos:– Advectivo: (porquê o sinal “-”)?

– Difusivo:

vol

volcdt

ulaçãoTaxadeAcum

dAnucA

.

dAncA

.

Page 5: 1ª Aula  Advecção  - Difusão

Localização das variáveis no volume de controlo: Fluxos advectivo e difusivo

através das faces

tx

tx

ttx

ttx VolcVolc t

xxt

xxttxx

ttxx VolcVolc

t

xxt

xxttxx

ttxx VolcVolc

* 2/*

2/ xxxx cQucdA ***

*2/

dA

xcc xxx

xx

* 2/*

2/. xxxxAcQucdAdAnuc

***

*2/.

dA

xccdAnc xxx

xxA

Page 6: 1ª Aula  Advecção  - Difusão

Aplicando o princípio de conservação

xccAQc

xccAQc

tVolcVolc

xxxxxxx

xxxxxxx

tx

tx

ttx

ttx

2/2/

2/2/

A taxa de acumulação é igual ao que entra menos o que sai, mais o que se produz menos o que se destrói, e admitindo que não há produção nem destruição, obtém-se:

Page 7: 1ª Aula  Advecção  - Difusão

Hipótese Upwind para a concentração na face

0:

0:

0:

0:

*2/

**2/

*2/

**2/

*2/

**2/

*2/

**2/

xxxxxx

xxxxx

xxxxx

xxxxxx

usecc

usecc

usecc

usecc

xcc

Axcc

ACQCQtVolcVolc xxxxx

xxxxxxxxxxxx

tx

tx

ttx

ttx 2/2/2/2//

• No caso de velocidade positiva (escoamento para a direita):

Page 8: 1ª Aula  Advecção  - Difusão

Teste em problema unidimensional com volume constante e caudal uniforme

Ci

Ci-1

Ci+1

2

111 2x

cccxccu

tcc t

iti

ti

ti

ti

ti

tti

xcc

Axcc

ACQCQtVolcVolc xxxxx

xxxxxxxxxxxx

tx

tx

ttx

ttx 2/2/2/2//

Se o volume for constante e o caudal e a difusividade forem uniformes fica, em upwind explícito:

Page 9: 1ª Aula  Advecção  - Difusão

Explícito, Upwind, Cr = 1, Dif=0

i-3 i-2 i-1 i i+1 i+2 i+30 0 0 0 1 0 0 0 11 0 0.00 0.00 0.00 1.00 0.00 0 12 0 0.00 0.00 0.00 0.00 1.00 0 13 0 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0 04 0 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0 0

Time stepGrid point number Total

amount

ti

ti

ti

tti c

xtc

xt

xtuc

xt

xtuc 12212

21

Cr=(Espaço percorrido num intervalo de tempo)/(passo espacial)

Cr=1, implica uma célula por passo => a solução é exacta

Page 10: 1ª Aula  Advecção  - Difusão

Explícito, Upwind, Cr= 0.5, Dif=0

i-3 i-2 i-1 i i+1 i+2 i+30 0 0 0 1 0 0 0 1.001 0 0.00 0.00 0.50 0.50 0.00 0 1.002 0 0.00 0.00 0.25 0.50 0.25 0 1.003 0 0.00 0.00 0.13 0.38 0.38 0 0.884 0 0.00 0.00 0.06 0.25 0.38 0 0.695 0 0.00 0.00 0.03 0.16 0.31 0 0.506 0 0.00 0.00 0.02 0.09 0.23 0 0.347 0 0.00 0.00 0.01 0.05 0.16 0 0.238 0 0.00 0.00 0.00 0.03 0.11 0 0.149 0 0.00 0.00 0.00 0.02 0.07 0 0.09

10 0 0.00 0.00 0.00 0.01 0.04 0 0.05

Time stepGrid point number Total

amount

ti

ti

ti

tti c

xtc

xt

xtuc

xt

xtuc 12212

21

Temos difusão numérica. A mancha espalha-se. Porquê? Porque violámos a definição de concentração. Como se resolve?

Page 11: 1ª Aula  Advecção  - Difusão

O que aconteceu?

t0 0 0 1 0 0 0 0 0 0

t0+Δt 0 0 0.5 0.5 0 0 0 0 0

t0+2Δt 0 0 0.25 0.5 0.25 0 0 0 0

t0+3Δt 0 0 0.125 0.375 0.375 0.125

O modelo é estável: os erros que aparecem diminuem no tempo.

O modelo tem difusão numérica: a concentração vai baixando apesar de a difusão física ser nula.

Page 12: 1ª Aula  Advecção  - Difusão

Explícito, Upwind, Cr=2

t0 0 0 1 0 0 0 0 0 0

t0+Δt 0 0 -1 2 0 0 0 0 0

t0+2Δt 0 0 +1 -4 4 0 0 0 0

t0+3Δt 0 0 -1 10 -16 8

ti

ti

ti

tti c

xtc

xt

xtuc

xt

xtuc 12212

21

Temos um modelo instável: os erros aparecem e crescem. Porquê? Num modelo explícito Cr≤1. Os coeficientes têm que ser positivos.

Page 13: 1ª Aula  Advecção  - Difusão

As instabilidades são consequências da violação de princípios físicos

• Quando as propriedades aumentam num instante, nos instantes seguintes também só podem aumentar.

• Quando Cr>1 o coeficiente de Ci fica negativo. • Neste caso, durante um intervalo de tempo o

volume que sai de uma célula é maior do que o que lá estava no início (Usando volumes finitos é fácil ver que isso é a causa do problema).

• (ver Patankar, Fluid Flow)

Page 14: 1ª Aula  Advecção  - Difusão

Condição de estabilidade

Condição de estabilidade:

021 2

xt

xtu

ti

tii

ti

tti xxi

CfCeCdc

11

iii fde

ti

ti

ti

tti c

xtc

xt

xtuc

xt

xtuc 12212

21

Forma geral da Equação:

Page 15: 1ª Aula  Advecção  - Difusão

2ª Aula Advecção - Difusão

Diferenças Centrais. Método implícito. Método QUICK

Page 16: 1ª Aula  Advecção  - Difusão

Outra opção: Valores médios nas faces =>Diferenças Centrais

*

*2/

**

2/

2

2

xxxxx

xxxxx

ccc

ccc

***2/

*2/

222

xcc

xcc

xcc

xcc xxxxxxxxxxxxxx

Page 17: 1ª Aula  Advecção  - Difusão

Diferenças Centrais Explícitas

ttttti

xxxxx

xxxxxxxxx

tx

ttx

iiiC

xt

xtuC

xtC

xt

xtuc

xccA

xccACCAuxAcc

11 222

2/2/

21

Page 18: 1ª Aula  Advecção  - Difusão

1D explicit central differences Courant=1

i-3 i-2 i-1 i i+1 i+2 i+30 0 0 0 1 0 0 0 11 0 0.00 -0.50 1.00 0.50 0.00 0 12 0 0.25 -1.00 0.50 1.00 0.25 0 13 0 0.75 -1.13 -0.50 1.13 0.75 0 14 0 1.31 -0.50 -1.63 0.50 1.31 0 15 0 1.56 0.97 -2.13 -0.97 1.56 0 16 0 1.08 2.81 -1.16 -2.81 1.08 0 17 0 -0.33 3.93 1.66 -3.93 -0.33 0 18 0 -2.29 2.94 5.59 -2.94 -2.29 0 19 0 -3.76 -1.00 8.52 1.00 -3.76 0 1

10 0 -3.26 -7.14 7.52 7.14 -3.26 0 111 0 0.31 -12.54 0.38 12.54 0.31 0 1

Total amount

Grid point numberTime step

Modelo Instável. Porquê? Há um dos coeficientes que é sempre negativo.Propriedade transportiva violada. Como se resolve?

ti

ti

ti

tti c

xt

xtuc

xtc

xt

xtuc 12212 2

212

Page 19: 1ª Aula  Advecção  - Difusão

Porque é instável?

• Por advecção (ou por difusão) quando as propriedades aumentam num ponto, nos pontos vizinhos só podem aumentar também.

• Isso implica que os coeficientes que multiplicam as concentrações nos pontos vizinhos têm que ser positivos.

• Só adicionando difusão é que isso pode acontecer….

Page 20: 1ª Aula  Advecção  - Difusão

Condição de estabilidade para diferenças centrais explícitas

Porque é que adicionando difusão o método fica estável?

Porque é que excesso de difusão torna o modelo instável?

Page 21: 1ª Aula  Advecção  - Difusão

Interpretação das diferenças centrais

• Porque é que as diferenças centrais são instáveis sem difusão? – Resp: Violam a propriedade transportiva. Um ponto fica a

saber o que está abaixo através da advecção, o que é fisicamente impossível.

• Porque é que a difusão pode estabilizar as diferenças centrais?– Resp: Porque a difusão transporta a informação para

montante. No caso de a difusão ser importante a advecção transporta efectivamente para jusante coisas que foram transportadas para montante pela difusão.

Page 22: 1ª Aula  Advecção  - Difusão

Continuação• Poderão as diferenças centrais explícitas ser usadas quando a advecção é

dominante?– Resp: Não. Nesse caso difusão transporta para montante muito menos do que a

advecção transporta para jusante (Reynolds da malha) • Se a difusão for dominante é preferível usar diferenças centrais ou upwind?

– Se a difusão for dominante as diferenças centrais são vantajosas porque têm precisão de 2ª ordem e por isso introduzem menos difusão numéricas

• E se o algoritmo fosse implícito? Seria o algoritmo mais estável?– Resp: Sim. Nesse caso a solução seria função dos valores das variáveis no passo de

tempo seguinte. Se a advecção tende a criar concentrações negativas, a difusão aumenta automaticamente para porque o gradiente de concentração aumenta.

• E se o método fosse upwind? – Resp: nesse caso as concentração não pode ficar negativa. Em upwind a concentração

fica negativa se retirarmos de uma célula mais do que lá existe para sair. Mas como em implícito o que sai é função da nova concentração, se ela ficasse negativa isso significaria que sairia uma quantidade negativa e por isso a concentração cresceria…..

Page 23: 1ª Aula  Advecção  - Difusão

Outros métodos para a advecção• Upwind: Passa numa face o que está a montante.• Diferenças centrais: Passa numa face a média do que está dos

dois lados. • E se ajustássemos um polinómio de 2ª ordem a 3 pontos?

Obteríamos o método QUICK: (Quadratic Upstream Interpolation for Convective Kinematics):

• Tem precisão de terceira ordem. Tem mais problemas de estabilidade (em situações particulares, nomeadamente junto às fronteiras.

• Afinal qual é o melhor método?

18

118

386

281

83

186

21

21

0

0

iiiii

iiiii

CCCCQ

CCCCQ

Page 24: 1ª Aula  Advecção  - Difusão

Método implícito

tttxx

ttx

tt

ttxxxxx

ttxxx

tx

ttx

ttxxx

xx

ttxxx

xxtt

xxxtx

ttx

xxxcc

xtc

xt

xtuc

xt

xtu

xccc

xCCu

tcc

xccA

xccACCAuxAcc

222

2

2/2/

21

2

ti

tti

ttii

tti CCfCeCd

ii

111

itt

itt

iitt

i TICfCeCdii

11

1

Page 25: 1ª Aula  Advecção  - Difusão

Porque serão os métodos implícitos incondicionalmente estáveis?

• UPWIND– No método explícito o que sai de uma célula é o que lá está

em “t”. No método implícito o que sai é o que lá vai estar em “t+dt”.

– No método explícito, quando se retira de uma célula mais do que lá está para sair, a concentração fica negativa.

– No método implícito não pode ficar porque o que sai é função do que lá vai estar e por isso, se a concentração pudesse ficar negativa, sairia uma quantidade negativa e por isso a concentração iria aumentar e não diminuir. Isto mostra que é impossível ficar com concentrações negativas em upwind.

– E em diferenças centrais?

Page 26: 1ª Aula  Advecção  - Difusão

Porque são as diferenças centrais implícitas mais estáveis que as explícitas?

• No caso das diferenças centrais, o que entra numa célula é o que está a montante e o que sai é calculado em função do que está a jusante ( em explícito viola a propriedade transportiva da advecção).

• Em explícito, sem difusão a solução é instável (viola a propriedade transportiva). Em implícito, o que sai de uma célula é o que vai estar a jusante e o que entra é o que vai estar a montante. Se a concentração a montante de uma célula for nula, nessa zona ela vai ter que ficar negativa. No entanto, o valor negativo a montante vai entrar na célula de jusante e vai fazê-lo baixar, o que implica que vai ser removido menos material de montante e por isso que a concentração vai ser menos negativa.

Page 27: 1ª Aula  Advecção  - Difusão

Diferença entre métodos explícitos e implícitos

t

c

t1 t1+Δt

Método Explícito

Método implícito

Têm erros da mesma ordem de grandeza. Se um é por excesso o outro é por defeito. O método ideal é a média dos dois.

Page 28: 1ª Aula  Advecção  - Difusão

Método Semi-implícito (Crank – Nicholson)

ti

tii

ti

tti

ttii

tti iiii

CfCeCdCfCeCd1111 2

1211

21

21

211

21

ti

tii

ti

tti xxi

CfCeCdc

11

Método explícito:

Método implícito:

ti

tti

ttii

tti CCfCeCd

ii

111

Método Semi-implícito (Crank – Nicholson):

Requer o dobro das contas, mas deve ser mais preciso.

Page 29: 1ª Aula  Advecção  - Difusão

3ª Aula Advecção - Difusão

Séries de Taylor para obtenção das equações algébricas.

Page 30: 1ª Aula  Advecção  - Difusão

Formas da equação

)( kkjjj

kjk PFxc

xxcu

tc

)( kkj

kjj

k PFxccu

xtc

Escrevendo na forma da divergência dos fluxos:

Onde o 1º termos do 2º membro é o simétrico da divergência dos fluxos, i.e. o que entra menos o que sai.

)( kkjjj

kj

kk PFxc

xxcu

tc

dtdc

Ou na forma convencional:

Page 31: 1ª Aula  Advecção  - Difusão

Séries de Taylor

• Estão na base do método das diferenças finitas, que são da mesma família dos Volumes Finitos.

• Os Elementos Finitos/Elementos de fronteira são a segunda principal família de métodos numéricos.

t

in

nnt

i

t

i

t

i

ti

tti t

cnt

tct

tct

tctcc

!....

!3!2 3

33

2

22

Page 32: 1ª Aula  Advecção  - Difusão

O que representa a série de Taylor?t

in

nnt

i

t

i

t

i

ti

tti t

cnt

tct

tct

tctcc

!....

!3!2 3

33

2

22

t1 t1+Δt

Δt

Δc

Outras derivadas Δc 1ª Derivada: Δc/ Δt

t

c

Page 33: 1ª Aula  Advecção  - Difusão

Como usar para calcular as derivadas?t

in

nnt

i

t

i

t

i

ti

tti t

cnt

tct

tct

tctcc

!....

!3!2 3

33

2

22

)(

)( 2

ttcc

tc

ttctcc

ti

tti

t

i

t

i

ti

tti

Método Explícito: A derivada é calculada à esquerda “em t” e tem precisão de 1ª ordem, ou seja, as derivadas que foram ignoradas estão multiplicadas por )( t

O erro ser proporcional a significa que “o erro do cálculo aumenta quando o passo de tempo aumenta.

A derivada ser calculada à esquerda significa “à esquerda do intervalo de tempo”, i.e. em “t” e por isso o método é explícito. Todas as derivadas (i.e. todos os termos da equação) são calculados em “t”.

)( t

Page 34: 1ª Aula  Advecção  - Difusão

Mas poderia ter feito calculado a derivada à direita do intervalo de tempo

tt

in

nntt

i

tt

i

tt

i

tti

ti t

cnt

tct

tct

tctcc

!

....!3!2 3

33

2

22

)(

)( 2

ttcc

tc

ttctcc

ti

tti

tt

i

tt

i

tti

ti

Método Implícito: A derivada é calculada à direita “em t+dt” e tem precisão de 1ª ordem, ou seja, todas as derivadas que foram ignoradas estão multiplicadas por )( tIsto significa que o erro do cálculo aumenta quando o passo de tempo aumenta. Os métodos implícitos e explícitos têm a mesma precisão.

Page 35: 1ª Aula  Advecção  - Difusão

Para calcular a derivada no centro do intervalo teria que calcular os valores nos extremos a partir daquele

2/2/

3

332/

2

222/2/

!2/....

!32/

!22/2/

tt

in

nntt

i

tt

i

tt

i

tti

tti t

cnt

tct

tct

tctcc

Subtraindo uma da outra:

2/2/

3

332/

2

222/2/

!2/....

!32/

!22/2/

tt

in

nntt

i

tt

i

tt

i

tti

ti t

cnt

tct

tct

tctcc

22/

32/

2/

2/

ttcc

tc

ttctcc

ti

tti

tt

i

tt

i

ti

tti

Neste método a derivada é calculada no centro do intervalo de tempo e tem precisão de 2ª ordem. Dá a solução exacta até uma evolução parabólica. As derivadas ignoradas estão multiplicadas por 22/t

Page 36: 1ª Aula  Advecção  - Difusão

O que representa a série de Taylor?t

in

nnt

i

t

i

t

i

ti

tti t

cnt

tct

tct

tctcc

!....

!3!2 3

33

2

22

t

c

t1 t1+Δt

Δt

Δc

Outras derivadas

1ª Derivada: Δc/ Δt

Método ImplícitoMétodo Explícito

Método Diferenças Centrais

Page 37: 1ª Aula  Advecção  - Difusão

Derivadas espaciaist

in

nnt

i

t

i

t

i

ti

txi x

cnx

xcx

xcx

xcxcc

!....

!3!2 3

33

2

22

)(

)( 2

xxcc

xc

xtcxcc

ti

txi

t

i

t

i

ti

txi

Derivada à direita, Método downwind, se velocidade positiva

Neste método a derivada espacial num ponto é calculada a partir da informação no ponto e da informação à direita.

Veremos mais adiante que este cálculo cria problemas se esta derivada for usada para calcular o termo advectivo quando a velocidade é positiva.

Page 38: 1ª Aula  Advecção  - Difusão

Derivadas espaciais

Derivada à esquerda: “Método upwind” se velocidade positiva e downwind se fosse negativa.

t

in

nnt

i

t

i

t

i

ti

txi x

cnx

xcx

xcx

xcxcc

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!3!2 3

33

2

22

)(

)( 2

xxcc

xc

xtcxcc

txi

ti

t

i

t

i

ti

txi

Neste método a derivada espacial num ponto é calculada a partir da informação no ponto e da informação à esquerda. Este método respeita a propriedade transportiva da velocidade se esta for positiva, mas não se for negativa. Nesse caso a derivada deveria ser calculada “à direita”.

Page 39: 1ª Aula  Advecção  - Difusão

Subtraindo uma equação da outra

)(2

)(2

2

3

xxcc

xc

xtcxcc

txi

txi

t

i

t

i

txi

txi

Diferenças Centrais

t

in

nnt

i

t

i

t

i

ti

txi x

cnx

xcx

xcx

xcxcc

!....

!3!2 3

33

2

22

t

in

nnt

i

t

i

t

i

ti

txi x

cnx

xcx

xcx

xcxcc

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!3!2 3

33

2

22

Page 40: 1ª Aula  Advecção  - Difusão

2ª Derivada**

3

33*

2

22***

!....

!3!2i

n

nn

iiiixi x

cnx

xcx

xcx

xcxcc

**

3

33*

2

22***

!....

!3!2 in

nn

iiiixi x

cnx

xcx

xcx

xcxcc

)(2

)(2

22

****

2

2

4*

2

22***

xx

cccxc

xtcxccc

xiixi

i

iixixi

Adicionando:

Page 41: 1ª Aula  Advecção  - Difusão

4ª Aula Advecção - Difusão

Equações algébricas. Erro de truncatura, condições iniciais e

condições de fronteira.

Page 42: 1ª Aula  Advecção  - Difusão

Sumário da aula anterior• Na última aula vimos como obter equações algébricas a partir das equações

diferenciais, usando séries de Taylor.• Vimos que poderíamos obter facilmente discretizações com precisão de primeira ou

de segunda ordem no tempo e/ou no espaço e vimos o que queria dizer o erro de truncatura.

• Combinando este conhecimento com o que obtivemos quando analisamos o problema com o método dos volumes finitos concluímos que nem sempre o menor erro de truncatura significa menor erro dos resultados.

• Para se obterem bons resultados é necessário garantir o respeito pelos princípios físicos, nomeadamente:

– Conceito de Concentração, que tem que ser mais ou menos uniforme no interior da célula,– A transportividade da advecção,– Que uma célula não é despejada numa iteração (Cr ≤ 1).

• Os métodos implícitos respeitam os processos físicos de forma semelhante aos explícitos e são mais estáveis. OS métodos semi-implícitos são mais estáveis e têm maior precisão que os explícitos.

Page 43: 1ª Aula  Advecção  - Difusão

Equações Algébricas• Obtêm-se substituindo as derivadas pelas

aproximações:

• Explícito, diferenças centrais. Precisão de 2ª ordem no espaço e 1ª no tempo.

• Semi-implícito (Crank-Nicholson) diferenças centrais espaço. Precisão de 2ª ordem no tempo e no espaço.

222 2

2x

xcccx

xccut

tcc t

xxtx

txx

txx

txx

txx

tt

22

2/2/2/2

2/2/2 2

2x

xcccx

xccut

tcc tt

xxtt

xttxx

ttxx

ttxx

txx

tt

O que se paga pela precisão de 2ª ordem no tempo?

Page 44: 1ª Aula  Advecção  - Difusão

Como se obtém o valor em (t+Δt/2) ?Fazendo a média…..

• Adicionando as equações!

2/2/

3

332/

2

222/2/

!2/....

!32/

!22/2/

tt

in

nntt

i

tt

i

tt

i

tti

tti t

cnt

tct

tct

tctcc

2/2/

3

332/

2

222/2/

!2/....

!32/

!22/2/

tt

in

nntt

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tt

i

tt

i

tti

ti t

cnt

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tct

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22/

2/

2

222/

2/2

.....2/2

tccc

tctccc

tti

titt

i

tt

i

tti

ti

tti

• Substituindo estes termos nas equações obtém-se a equação a resolver.

Page 45: 1ª Aula  Advecção  - Difusão

Explícito Upwind

• Precisão de 1ª ordem no tempo e no espaço para advecção. Segunda ordem para difusão.

• Esta equação pode ser organizada na forma:

222 2 x

xcccx

xccut

tcc t

xxtx

txx

txx

tx

tx

ttx

)(1 11 PFcfcecdc tii

tii

tii

tti

ti

ti

ti

tti c

xtc

xt

xtuc

xt

xtuc 12212

21

Page 46: 1ª Aula  Advecção  - Difusão

Forma geral da Equação )(11111 1111 PFcfkcekcdkckfckeckd t

iitii

tii

ttii

ttii

ttii

Explicito, upwind:

xtuCr

2ºxtDifN

Números de Courant e de Difusão

ti

ti

ti

tti c

xtc

xt

xtuc

xt

xtuc 12212

21

K=1=> implícito. K=0 => Explicito, k=0.5=> Crank-Nicholson:

Page 47: 1ª Aula  Advecção  - Difusão

Sobre a precisão do cálculo• No cálculo implícito e no cálculo explícito as derivadas são calculadas

nos extremos do intervalo de tempo. Estes métodos ignoram todas as derivadas a partir da primeira: têm precisão de primeira ordem ou “até à primeira ordem”.

• Os termos da série de Taylor ignorados estão multiplicados por• Quando a derivada é calculada no centro do intervalo de tempo as

derivadas só são ignoradas a partir da segunda. São métodos com precisão de 2ª ordem, ou “até à 2ª ordem”. Se a função for uma recta ou uma parábola o cálculo da derivada é exacto.

• Os termos da série de Taylor ignorados estão multiplicados por• Mas >1 então quanto maior é a ordem de precisão do cálculo,

maior é o coeficiente dos termos ignorados. Porque é que a precisão do cálculo aumenta?

)( t

22/t)( t

Page 48: 1ª Aula  Advecção  - Difusão

Porque aumenta a precisão com o expoente de ? )( t

2/1

!2/

tt

in

nn

tc

nt

Porque os termos ignorados são da forma:

O cálculo da derivada faz aparecer em denominador o intervalo de tempo elevado n e o coeficiente está elevado a (n-1) e por isso o produto é proporcional a ou seja à primeira derivada multiplicada pelo inverso do factorial de n e por isso quanto maior é o valor do expoente do intervalo de tempo, menor é o valor dos temos desprezados.

Esta conclusão é consistente como facto de as derivadas perderem importância à medida que a ordem aumenta.

)/()( tc

Page 49: 1ª Aula  Advecção  - Difusão

Condições Iniciais e de Fronteira

• Iniciais podem ser importantes ou não• Fronteira idem. Como se impõem?

Ci

Ci-1

Ci+1

ti

tti

ttii

tti CCfCeCd

ii

111

Page 50: 1ª Aula  Advecção  - Difusão

Condições de fronteira• Difusão:

– Requer o cálculo dos fluxos nas células de fronteira e por isso requer a concentração no exterior em ambas as fronteiras. Se não for conhecida a melhor solução é normalmente gradiente nulo.

• Advecção– Quando o escoamento entra no domínio transporta as

propriedades do exterior. As propriedades têm que ser conhecidas no exterior. Se não forem conhecidas, a simulação só pode fazer sentido se as fontes e os poços ou os fluxos através do fundo e/ou da superfície livre dominarem a solução.

Page 51: 1ª Aula  Advecção  - Difusão

Transporte de calor

• No caso do calor os fluxos através do fundo são normalmente pouco importantes.

• Pelo contrário os fluxos através da superfície livre são essenciais (radiação, calor sensível e calor latente.

Page 52: 1ª Aula  Advecção  - Difusão

5ª Aula Advecção - Difusão

Condições de fronteira na interface com a atmosfera.

Page 53: 1ª Aula  Advecção  - Difusão

Condições de fronteira: Fronteiras abertas

• Num canal as fronteiras de entrada e de saída do escoamento (fronteiras abertas) requerem duas condições de fronteira por via da difusão e da advecção no caso de o escoamento estar a entrar.

• A difusão envolve uma segunda derivada e por isso precisa de duas condições de fronteira (uma na entrada e outra na saída).

• A advecção envolve uma primeira derivada e por isso requer uma condição de fronteira: valor da propriedade à entrada (ou fluxo advectivo à entrada, pois estão relacionados pelo caudal).

Page 54: 1ª Aula  Advecção  - Difusão

Condições de Fronteira: Fronteiras sólidas

• Nas fronteiras sólidas só pode haver fluxos difusivos, que dependem da propriedade que se está a estudar.

• No caso de sedimentos poderíamos ter erosão e deposição (este último processo envolve a velocidade de queda dos sedimentos).

• No caso do calor o fluxo difusivo através da fronteira sólida é igual ao fluxo que se propaga através do solo. Admitindo que esse fluxo é baixo, então poderemos admitir que os fluxos através das paredes sólidas são desprezáveis.

Page 55: 1ª Aula  Advecção  - Difusão

Condições de fronteira: fluxos através da superfície livre

• Os fluxos através da superfície livre dependem também da propriedade que estamos a considerar.

• No caso de gases e de vapores dependem das pressões parciais na atmosfera e na água. Na grande maioria das propriedades são nulos, mas no caso do calor são determinantes.

• Poderemos ter fluxos de calor latente, sensível e fluxos de calor por radiação directa do sol, difusa da atmosfera e ainda radiação da água para a atmosfera.

Page 56: 1ª Aula  Advecção  - Difusão

Fluxo de calor latente

• Depende da temperatura da água e da humidade relativa do ar. No modelo MOHID é calculado como:

Page 57: 1ª Aula  Advecção  - Difusão

Fluxo e calor sensível

Page 58: 1ª Aula  Advecção  - Difusão

Fluxo de calor por radiação

• Ver: • Brock, T. D. (1981) - Calculating solar radiation

for ecological studies. Ecological Modelling.