17 campo eletrico

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  • PROBLEMAS RESOLVIDOS DE FSICA Prof. Anderson Coser Gaudio Departamento de Fsica Centro de Cincias Exatas Universidade Federal do Esprito Santo http://www.cce.ufes.br/anderson [email protected] ltima atualizao: 28/11/2006 14:28 H

    17 - Campo Eltrico

    Fundamentos de Fsica 2 Halliday, Resnick, Walker

    4 Edio, LTC, 1996

    Fsica 2 Resnick, Halliday, Krane

    4 Edio, LTC, 1996

    Fsica 2 Resnick, Halliday, Krane

    5 Edio, LTC, 2003 Cap. 24 - O Campo

    EltricoCap. 28 - O Campo

    EltricoCap. 26 - O Campo

    Eltrico

    Prof. Anderson (Itacar, BA - Fev/2006)

  • Problemas Resolvidos de Fsica Prof. Anderson Coser Gaudio Depto. Fsica UFES

    HALLIDAY, RESNICK, WALKER, FSICA, 4.ED., LTC, RIO DE JANEIRO, 1996.

    FUNDAMENTOS DE FSICA 3

    CAPTULO 24 - O CAMPO ELTRICO

    EXERCCIOS E PROBLEMAS

    01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

    [Incio documento]

    [Incio seo] [Incio documento]

    ________________________________________________________________________________________________________ Halliday, Resnick, Walker - Fsica 3 - 4a Ed. - LTC - 1996. Cap. 24 O Campo Eltrico

    2

  • Problemas Resolvidos de Fsica Prof. Anderson Coser Gaudio Depto. Fsica UFES

    RESNICK, HALLIDAY, KRANE, FSICA, 4.ED., LTC, RIO DE JANEIRO, 1996.

    FSICA 3

    CAPTULO 28 - O CAMPO ELTRICO

    PROBLEMAS

    01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2021 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58

    [Incio documento]

    09. O mostrador de um relgio possui cargas pontuais negativas -q, -2q, -3q, ..., -12q fixas nas

    posies dos numerais correspondentes. Os ponteiros do relgio no perturbam o campo. A que horas o ponteiro das horas aponta no mesmo sentido do campo eltrico existente no centro do mostrador? (Sugesto: Considere cargas diametralmente opostas.) (Pg. 28)

    Soluo. O esquema a seguir mostra os vetores campo-eltrico localizados no centro do relgio, devidos a cada uma das cargas posicionadas ao longo da sua circunferncia.

    q

    2q

    3q

    4q5q6q7q

    8q

    9q

    10q

    11q 12q

    E1E2

    E3

    E4E5E7

    E8

    E9

    E12E11

    E10

    E6

    As cargas diametralmente opostas geram campos que possuem a mesma direo e sentidos opostos e que, portanto, podem ser somados facilmente.

    17 1 7 7 7 72 2 27 6kq kq kq

    R R R= + = + =E E E i i i

    Na equao acima, i7 um vetor unitrio localizado no centro do relgio e que aponta para a carga 7q. 28 2 8 8 8 82 2 2

    2 8 6kq kq kqR R R

    = + = + =E E E i i i ________________________________________________________________________________________________________ Resnick, Halliday, Krane - Fsica 3 - 4a Ed. - LTC - 1996. Cap. 28 O Campo Eltrico

    3

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    A assim segue at o ltimo par de campos.

    612 6 12 12 12 122 2 26 12 6kq kq kqR R R

    = + = + =E E E i i i Os vetores E17, E28, etc., so mostrados no esquema abaixo.

    q

    2q

    3q

    4q5q6q7q

    8q

    9q

    10q

    11q 12q

    E17E28

    E39

    E612E511E410

    A simetria envolvida na distribuio dos vetores mostra que a resultante aponta para o ponto mdio entre os marcadores 9 e 10 do relgio, portanto para s 09:30.

    [Incio seo] [Incio documento] 10. Na Fig. 4, suponha que ambas as cargas sejam positivas. Mostre que o valor de E no ponto P da

    figura, supondo x >> d, dado por

    20

    1 24

    qEx=

    (Pg. 28)

    Soluo.

    [Incio seo] [Incio documento]

    ________________________________________________________________________________________________________ Resnick, Halliday, Krane - Fsica 3 - 4a Ed. - LTC - 1996. Cap. 28 O Campo Eltrico

    4

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    11. Na Fig. 4, considere um ponto situado a uma distncia z do centro do dipolo, ao longo do seu eixo. (a) Mostre que, para valores grandes de z, o campo eltrico dado por

    30

    12

    pEz=

    (Compare com o campo num ponto situado sobre a bissetriz.) (b) Quais so a direo e o sentido de E?

    (Pg. 28)

    Soluo. (a) Considere o esquema abaixo:

    +

    l

    z

    E E+q qz

    = ++ -E E E 2 2

    0 0

    1 14 4

    2 2

    q ql lz z

    = + E k k

    ( ) ( )2 201 1

    2 2q

    z l z l = +

    E k

    ( )22 208

    4

    qlz

    l z= +E k

    ( )22 208

    4

    pz

    l z= +E k

    Para valores de z >> l tem-se: 3

    02p

    z=E k (b) A resposta do item (a) responde a esta questo. ________________________________________________________________________________________________________ Resnick, Halliday, Krane - Fsica 3 - 4a Ed. - LTC - 1996. Cap. 28 O Campo Eltrico

    5

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    [Incio seo] [Incio documento]

    14. A Fig. 24 mostra um tipo de quadrupolo eltrico. Ele consiste em dois dipolos cujos efeitos em

    pontos externos no se cancelam completamente. Mostre que o valor de E sobre o eixo do quadrupolo, para pontos situados distncia z do seu centro (suponha z >> d), dado por

    40

    34

    QEz=

    onde Q (= 2qd2) denominado momento de quadrupolo da distribuio de carga.

    (Pg. 28)

    Soluo. Considere o seguinte esquema da situao:

    +

    d

    z

    E E+

    z

    +

    z1

    z2

    d

    P

    O campo eltrico (E) produzido pelo quadrupolo em P pode ser calculado por meio da soma dos campos produzidos pelos dipolos que compem o quadrupolo (E1 e E2). 1 2= +E E EOs campos dos dipolos valem:

    1 30 1

    1 24

    qdz= E i

    2 30 2

    1 24

    qdz=E i

    Sendo que as distncias z1 e z2 so definidas por: ________________________________________________________________________________________________________ Resnick, Halliday, Krane - Fsica 3 - 4a Ed. - LTC - 1996. Cap. 28 O Campo Eltrico

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    1 2dz z= +

    2 2dz z=

    O mdulo do campo E vale:

    3 30

    2 1 14

    2 2

    qdEd dz z

    = +

    Multiplicando-se e dividindo-se o segundo membro desta equao por z3, teremos:

    3 3

    30

    2 1 12 24

    qd d dEz zz

    = +

    Aplicando-se a expanso binomial (Apndice H, pg. A-288) e omitindo-se os termos de ordem superior (z >> d): 3

    0

    2 3 31 12 24

    qd d dEz zz

    = + + + " "

    2

    3 40 0

    2 3 3.2 34 4 4

    qd d qd QEz 40z z z = = =

    Em notao vetorial:

    40

    34

    Qz=E i

    [Incio seo] [Incio documento]

    16. A Fig. 25 mostra as linhas de campo de um campo eltrico; o espaamento das linhas

    perpendicularmente pgina o mesmo em todo o espao. (a) Se o mdulo do campo em A 40 N/C, qual a fora que atua sobre um prton colocado naquele ponto? (b) Qual a intensidade do campo em B?

    (Pg. 29)

    Soluo.

    [Incio seo] [Incio documento] 17. Esquematize qualitativamente as linhas de fora associadas a um disco fino, circular, fino,

    uniformemente carregado, de raio R. (Sugesto: Considere como casos limites pontos situados

    ________________________________________________________________________________________________________ Resnick, Halliday, Krane - Fsica 3 - 4a Ed. - LTC - 1996. Cap. 28 O Campo Eltrico

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    muito prximos ao disco, onde o campo eltrico perpendicular superfcie, e pontos muito afastados dele, onde o campo eltrico seja semelhante ao de uma carga pontual.) (Pg. 29)

    Soluo.

    [Incio seo] [Incio documento] 20. (a) Na Fig. 27, localize o ponto (ou pontos) em que o campo eltrico nulo. (b) Esquematize

    qualitativamente as linhas de fora.

    (Pg. 29)

    Soluo. (a) possvel simplificar a resoluo do problema ao reconhecer que somente h possibilidade de encontrarmos pontos onde E = 0 ao longo da reta que une as duas cargas. Para localizarmos o(s) ponto(s) onde E = 0, vamos resolver a Eq. (1), onde E+ e E so os mdulos dos campos eltricos gerados pelas cargas positiva e negativa, respectivamente. (1) E E+ = 2 2

    0 1 0 2

    1 5,0 1 2,04 4P P

    q qx x =

    2 21 2

    5,0 2,0

    P Px x= (2)

    Na Eq. (2), xP1 a coordenada x do ponto P em relao carga 1 (5q) e xP2 a coordenada do mesmo ponto em relao carga 2 (+2q). Seja o seguinte esquema da situao, x21 a coordenada da carga 2 em relao carga 1:

    + x21q1

    xP1xP2

    Pq2

    A anlise do esquema acima mostra que: 1 21 2P Px x x= + Lembrando que x21 igual a a: 2 1P Px x= a (3) A Eq. (3) funciona perfeitamente para qualquer ponto localizado ao longo do eixo x. Substituindo-se (3) em (2):

    ( )221 15,0 2,0

    P Px x a

    =

    2 21 13,0 10 5 0P Px ax a + =Esta equao possui duas razes:

    110,61257Px a= "

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    21

    2,72076Px a= " As duas solues obtidas satisfazem apenas ao critrio de E+ = E, no de E+ + E = 0. Vamos observar os vetores nos dois casos:

    + a

    2,72a

    E E+5q + q2

    x

    +

    0,61a

    E = E+

    P

    P

    Podemos notar que apenas xP1 2,72 a satisfaz ao critrio estabelecido no enunciado do problema.

    [Incio seo] [Incio documento] 24. Mostre que a Eq. 27, que se refere ao campo eltrico de um disco carregado, em pontos situados

    sobre o seu eixo, se reduz ao campo de uma carga pontual para z >> R.

    2 20

    1 (disco carregado) (27)2z

    zEz R

    = +

    (Pg. 29) Soluo. Partindo-se da expresso inicial,

    2 2

    0

    12z

    zEz R

    = + , (1)

    no podemos simplesmente fazer a aproximao z2 + R2 0, pois isso torna Ez = 0. Na verdade, fazer z2 + R2 0 equivale a tornar z , e no z >> R. Para obter a aproximao correta, preciso expandir a expresso entre parnteses em termos do binmio de Newton, para em seguida trunc-la no ponto correto. A expanso do binmio de Newton :

    ( ) ( ) 21!1 11! 2!

    n n n xnxx+ = + + +"

    Para isso, precisamos preparar para a expanso o termo negativo entre parnteses na Eq. (1).

    ( ) ( )1/ 22

    1/ 2 22 21 1 nz R x

    zz R

    = + = + +

    Na expresso acima, x = R2/z2 e n = 1/2. Podemos agora aplicar a expanso do binmio de Newton.

    1/ 22 2 4 2

    2 2 4 2

    1 1 3 1 31 1 12 2 2 2 2 8

    R R R R Rz z z z z

    + = + = + + " "

    4

    4

    Para z >> R temos:

    1/ 22 2

    21 1 2 2R Rz z

    + (2)

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    Substituindo-se (2) em (1):

    2 2

    2 20 0

    1 12 2 4z

    R REz z

    + =

    Explicitando-se a densidade superficial de cargas, :

    2

    2 20

    14z

    q RER z

    20

    14z

    qEz

    [Incio seo] [Incio documento]

    26. A que distncia, ao longo do eixo de um anel carregado de raio R, a intensidade do campo

    eltrico axial mxima? (Pg. 29)

    Soluo. Considere o seguinte esquema da situao:

    dEx

    d RdM

    Rd

    x

    y

    z

    d xE

    d yE

    d zE+

    +

    +

    +++

    +

    +

    ++

    +

    +

    +

    + +

    ++

    ++++

    O campo eltrico no ponto dado por: ( )x y z x yd dE dE dE dE dE dE= = + + = + + E E i j k i j zk A simetria envolvida na situao mostra que as integrais em j e k so nulas. 0 0 cosxdE dE = + + = E i i (1) Na Eq. (1), a expresso de dE obtida pela lei de Coulomb e a de cos pela anlise do esquema acima.

    ( )22 201

    4dqdE

    R x=

    +

    ( )1/ 22 2cosx

    R x =

    +

    Logo:

    ( )3 / 22 201

    4xdq

    R x=

    +E i (2) ________________________________________________________________________________________________________ Resnick, Halliday, Krane - Fsica 3 - 4a Ed. - LTC - 1996. Cap. 28 O Campo Eltrico

    10

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    A expresso de dq obtida por meio da densidade linear de carga do anel .

    2q dq

    R Rd = =

    2qdq d= (3)

    Substituindo-se (3) em (2):

    ( )3 / 22 201

    4 2q x d

    R x = +E i

    Na expresso acima, somente varivel. Portanto, tudo o mais pode ser retirado de dentro da integral.

    ( ) ( )2

    3 / 2 3 / 202 2 2 20 0

    1 1 24 2 4 2

    q x q xdR x R x

    = =+ +E i i ( )3 / 22 20

    14

    qx

    R x=

    +E i (4)

    A Eq. (4) corresponde ao campo eltrico sobre o eixo do anel, a uma distncia x do seu centro. O valor de E zero para x = 0 e tambm zero para x = +. Como E positivo nesse intervalo, torna-se evidente que h um valor mximo que E atinge em algum lugar para 0 < x < +. Para achar o valor de x que torna mximo o de E, mdulo de E, basta calcular o valor de x que torna zero a derivada de E em relao x.

    ( ) ( )

    ( )3/ 2 1/ 22 2 2 2 2

    32 20

    31 04

    R x x R xdEdx R x

    + + = = +

    A expresso central ser zero somente se:

    ( ) ( )3/ 2 1/ 22 2 2 2 23 0R x x R x+ + = 2 2 3 2R x x+ =

    2Rx =

    [Incio seo] [Incio documento]

    27. (a) Qual a carga total q que um disco de raio igual a 2,50 cm deve ter para que o campo

    eltrico em sua superfcie, no seu centro, seja igual ao valor em que a rigidez dieltrica do ar se rompe, produzindo centelhas? Veja Tabela 1. (b) Suponha que cada tomo da superfcie tenha uma seo reta de rea efetiva igual a 0,015 nm2. Quantos tomos esto localizados na superfcie do disco? (c) A carga em (a) resulta do fato de alguns tomos superficiais carregarem um eltron em excesso. Qual a frao dos tomos superficiais que precisa estar carregada desta forma?

    ________________________________________________________________________________________________________ Resnick, Halliday, Krane - Fsica 3 - 4a Ed. - LTC - 1996. Cap. 28 O Campo Eltrico

    11

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    (Pg. 29)

    Soluo. O campo eltrico produzido por um disco uniformemente carregado ao longo da linha perpendicular ao centro do plano do disco dado por:

    ( )1/ 22 20 12zE

    z R

    = +

    (a) O campo capaz de causar ruptura eltrica do ar vale E = 3 106 N/C (ver Tabela 1). Na superfcie do disco o campo vale:

    20 02 2

    QER

    = =

    Logo: 2 702 1,0431 10 CQ R E = = " 71 10 C 0,1 CQ = (b) O nmero de tomos na superfcie do disco, n, igual rea total, A, dividida pela rea efetiva de cada tomo, a.

    2

    171,30899 10A Rna a

    = = = " 171,3 10n (c) A frao f dos tomos superficiais dada por:

    cnfn

    = (1) Nesta equao, nc o nmero de tomos carregados. Como os tomo eletricamente carregados possuem carga +e, a carga total Q vale: cQ n e=Logo:

    cQne

    = Portanto:

    64,9804 10Qfne

    = = "

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    12

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    65 10f Isso cerca de 5 tomos por milho.

    [Incio seo] [Incio documento] 31. Um fino basto no condutor, de comprimento finito L, possui uma carga total q,

    uniformemente distribuda em toda a sua extenso. Mostre que E, no ponto P situado sobre a mediatriz que aparece na Fig. 31, dado por

    ( )1/ 22 201

    2 4

    qEy L y= +

    (Pg. 29)

    Soluo. Considere o seguinte esquema da situao:

    dEx

    dq,dy

    x

    y

    d xE

    d yE

    +++++++++++

    yL

    P

    O campo eltrico no ponto P dado por: ( )x y xd dE dE dE dE= = + = + E E i j i y j A simetria envolvida na situao mostra que a integral em j nula. 0 cosxdE dE = + = E i i (1) Na Eq. (1), a expresso de dE obtida pela lei de Coulomb e a de cos pela anlise geomtrica do esquema acima.

    ________________________________________________________________________________________________________ Resnick, Halliday, Krane - Fsica 3 - 4a Ed. - LTC - 1996. Cap. 28 O Campo Eltrico

    13

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    ( )22 201

    4dqdE

    x y= +

    ( )1/ 22 2cosx

    x y =

    +

    Logo:

    ( )3 / 22 201

    4xdq

    R x=

    +E i (2) A expresso de dq obtida por meio da densidade linear de carga do basto. q dq

    L dy = =

    qdq dyL

    = (3) Substituindo-se (3) em (2):

    ( ) ( )/ 2 / 2

    3/ 2 3/ 2/ 2 02 2 2 20 0

    1 1 24 4

    L L

    L

    qx dy qx dyL Lx y x y

    + += =+ + E i i

    ( )/ 2

    1/ 22 2 20

    0

    12

    L

    qx yL x x y

    += +E i

    ( )1/ 22 201

    2 4

    q

    x x L= +E i

    Podemos verificar facilmente que esta expresso se reduz lei de Coulomb quando afastamos o ponto P do basto para distncias muito maiores do que seu comprimento (x >> L).

    [Incio seo] [Incio documento] 33. Esquematize qualitativamente as linhas de fora associadas a trs longas linhas de carga

    paralelas, num plano perpendicular a estas. Suponha que as intersees das linhas de cargas com este plano formem um tringulo equiltero (Fig. 33) e que cada linha de carga tenha a mesma densidade linear de carga .

    (Pg. 30)

    Soluo.

    [Incio seo] [Incio documento]

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    14

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    34. Um basto isolante semi-infinito (Fig. 34) possui uma carga constante por unidade de

    comprimento . Mostre que o campo eltrico do ponto P forma um ngulo de 45o com o basto, e que este resultado independente da distncia R.

    (Pg. 30)

    Soluo. Considere o seguinte esquema da situao:

    dER

    dq,dy x

    y

    d xE

    d yE

    +

    y

    P

    +

    ++++

    r

    +

    O campo eltrico no ponto P dado por: ( )x y xd dE dE dE dE= = = E E i j i y j cos sendE dE = E i j (1) Na Eq. (1), a expresso de dE obtida pela lei de Coulomb e a de cos pela anlise geomtrica do esquema acima.

    20

    14

    dqdEr= (2)

    Onde: dq dy=

    cosRr =

    Logo:

    2

    20

    1 cos4

    dydER

    = (3) Podemos determinar uma expresso para dy partindo-se da relao: tany R = Derivando-se y em relao : 2cos

    Rdy d= (4) ________________________________________________________________________________________________________ Resnick, Halliday, Krane - Fsica 3 - 4a Ed. - LTC - 1996. Cap. 28 O Campo Eltrico

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    Substituindo-se (4) em (3):

    0

    14

    dE dR = (5)

    Substituindo-se (5) em (1):

    ( ) ( )/ 2 / 20 00 0

    1 cos sen 1 14 4

    d dR R

    = = E i j i j

    0 04 4R R

    = E i j Como as componentes i e j do vetor E so iguais, o ngulo 45o. Este resultado no depende de R, pois este termo est igualmente presente em ambas as componentes de E.

    [Incio seo] [Incio documento] 41. No experimento de Millikan, uma gota de raio 1,64 mm e densidade de 0,851 g/cm3 fica

    equilibrada quando um campo eltrico de 1,92 x 105 N/C aplicado. Determine a carga da gota, em termos de e.

    (Pg. 30)

    Soluo. Considere o seguinte esquema:

    ________________________________________________________________________________________________________ Resnick, Halliday, Krane - Fsica 3 - 4a Ed. - LTC - 1996. Cap. 28 O Campo Eltrico

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    + + + + + + + + + + + + + + + + +

    F

    P

    Q m, E

    x

    yR

    Como a gota de leo est em equilbrio, as foras que atuam sobre a mesma, a fora eltrica F e o peso P, devem somar zero. (1) 0+ =F PA fora eltrica vale: (2) ( )Q Q E Q= = =F E j EjO peso da gota vale:

    343

    mg Vg R g = = = P j j j (3) Substituindo-se (2) e (3) em (1):

    34 03

    QE R g =j j

    3

    194 8,0337 10 C3R gQE

    = = " Como a carga de um eltron vale e = 1,60 1019 C, temos: 5,021 Q e= " 5 Q e

    [Incio seo] [Incio documento] 44. Um campo vertical uniforme E estabelecido no espao entre duas grandes placas paralelas.

    Uma pequena esfera condutora de massa m suspensa no campo, pendendo da extremidade de um fio de comprimento L. Determine o perodo deste pndulo, quando a esfera recebe uma carga +q, se a placa inferior (a) est positivamente carregada e (b) est negativamente carregada. (Pg. 31)

    Soluo. (a) Considere o seguinte esquema da situao:

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    + + + + + + + + + + + + + + + + +

    F T

    P

    q m, E x

    y

    z

    Vamos fazer o clculo do perodo T por meio da freqncia angular do movimento harmnico simples (MHS). Esta ser obtida por meio da construo da equao diferencial do MHS, que por sua vez tem sua origem na segunda lei de Newton. I= Torques em relao ao ponto de suspenso, no eixo z: ( )sen sen 0z P F T mg L qE L I z = + + = + = O torque da tenso T em relao ao ponto de suspenso nulo. O sinal negativo fora dos parnteses indica o carter restaurador do torque.

    ( ) 22 2sen sen dmg L qE L mL dt =

    2

    2

    1 sen 0d qEgdt m L

    + = Para pequenas oscilaes, suficientemente pequeno para que seja aceitvel a aproximao sen .

    2

    2

    1 0d qEgdt m L

    + Esta a equao diferencial do MHS, que tem a forma:

    2

    22 0

    ddt

    + = Logo:

    2 1qEgm L

    Como o perodo dado por:

    2T = Temos finalmente:

    2LT qEg

    m

    O sistema somente ser capaz de oscilar se g > qE/m. (b) Neste caso, a fora eltrica F tem o sentido y. A nica conseqncia o sinal do torque relativo fora eltrica, agora positivo, que se propaga at o clculo do perodo de oscilao.

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    2LT qEg

    m

    +

    [Incio seo] [Incio documento]

    46. Um eltron forado a mover-se ao longo do eixo do anel carregado discutido na Seo 28-5.

    Mostre que o eltron pode realizar pequenas oscilaes atravs do centro do anel, cuja freqncia dada por

    304eq

    mR =

    (Pg. 31) Soluo. Considere o seguinte esquema da situao:

    x

    R+Q

    F E

    m e, P

    O campo eltrico no ponto P gerado por um anel de cargas foi calculado na Seo 28.5 do livro e vale:

    ( )3/ 22 204qx

    x R= +E i

    Um eltron de massa m e carga e colocado no ponto P estar sujeito a uma fora cujo mdulo dado por:

    ( )3/ 22 204qexFx R= +

    A equao de movimento do eltron dada pela segunda lei de Newton:

    ( )2

    3/ 22 2 204

    d x qexF mdt x R= = +

    ( )2

    3/ 22 2 20

    04

    d x qexdt m x R+ =+

    Para pequenas oscilaes, temos x

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    Esta a equao diferencial do MHS, que tem a forma:

    2

    22 0

    d x xdt

    + = Logo:

    304qe

    mR

    [Incio seo] [Incio documento]

    48. Um dipolo eltrico, composto de cargas de mdulo 1,48 nC separadas por 6,23 m, est imerso

    num campo eltrico de 1.100 N/C. (a) Qual o mdulo do momento de dipolo eltrico? (b) Qual a diferena em energia potencial conforme o dipolo tenha orientao paralela e antiparalela ao campo? (Pg. 31)

    Soluo. (a) O mdulo do momento de dipolo vale: ( )( )9 6 11, 48 10 C 6, 23 10 m 9, 2204 10 C.mp qd = = = 5 159, 22 10 C.mp (b) A variao da energia potencial vale: par antiparU U U = As energias potenciais das configuraes paralela (Upar) e antiparalela (Uantipar) valem: par par . cos 0U pE= = = p E pE

    pE antipar antipar . cosU pE = = =p E Logo, o valor de U : 112 2,0284 10 JU pE pE pE = = = " 112,03 10 JU

    [Incio seo] [Incio documento] 51. Determine o trabalho necessrio para girar um dipolo eltrico de 180o num campo eltrico

    uniforme E, em termos do momento de dipolo p e do ngulo inicial 0 entre p e E. (Pg. 31)

    Soluo. Considere o seguinte esquema:

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    E

    p +

    0Inicial

    E

    p+

    0Final

    Ui

    Uf

    O trabalho realizado pela fora eltrica dado por: ( )f i iW U U U U U= = = f

    s

    (1)

    As energias potenciais das configuraes inicial (Ui) e final (Uf) do dipolo valem: 0. coi iU pE = = p E (2) ( ) ( )0 0. cos cos cosf fU pE pE pE 0 = = = =p E

    0

    (3)

    Substituindo-se (2) e (3) em (1): 0 0cos cos 2 cosW pE pE pE = = Logo, o trabalho de um agente externo vale: ext 02 cosW W pE = =

    [Incio seo] [Incio documento] 52. Determine a freqncia de oscilao de um dipolo eltrico, de momento p e momento de inrcia

    I, para pequenas amplitudes de oscilao em torno de sua posio de equilbrio, num campo eltrico uniforme E. (Pg. 31)

    Soluo. Considere o seguinte esquema:

    E

    p +

    x

    y

    z

    O torque gerado pelo campo eltrico E sobre o dipolo, cujo momento de dipolo p, dado por: senpE = = p E k Aplicando-se a segunda lei de Newton, no eixo z:

    2

    2sendpE Idt

    = Nesta equao, I o momento de inrcia do dipolo eltrico em relao em eixo de oscilao Para pequenas amplitudes angulares, vlida a aproximao sen = .

    2

    2 0d pEdt I

    + Esta a equao diferencial do MHS, que tem a forma: ________________________________________________________________________________________________________ Resnick, Halliday, Krane - Fsica 3 - 4a Ed. - LTC - 1996. Cap. 28 O Campo Eltrico

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    2

    22 0

    d x xdt

    + = Nesta equao, a freqncia angular da oscilao, e vale: pE

    I

    A freqncia da oscilao, , vale:

    2 =

    Logo:

    1

    2pEI

    =

    [Incio seo] [Incio documento]

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    RESNICK, HALLIDAY, KRANE, FSICA, 5.ED., LTC, RIO DE JANEIRO, 2003.

    FSICA 3

    CAPTULO 26 - O CAMPO ELTRICO

    EXERCCIOS

    01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

    PROBLEMAS

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    [Incio documento]

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    23