15763070 prof me maria regina costa leggerini

Logo do

Setor

Pontifícia Universidade Católica do Rio Grande do Sul

XII Semana da Engenharia - 2008

XII Semana de Engenharia - Alvenaria Estrutural – Prof. Maria Regina Costa Leggerini

ALVENARIA ESTRUTURAL

Logo do

Setor




SISTEMAS ESTRUTURAIS

• TOTALMENTE ESTRUTURADO

• ALVENARIA ESTRUTURAL

• ESTRUTURA MISTA

Logo do

Setor




Estes elementos tem a finalidade de resistir ao seu peso próprio e a todas as cargas atuantes na edificação.

Quando os elementos estruturais de sua supra estrutura são lajes, vigas e pilares previamente dimensionados.

TOTALMENTE ESTRUTURADO

Logo do

Setor




Logo do

Setor




TOTALMENTE ESTRUTURADO

Observe que este tipo de sistema construtivo é adotado principalmente em edificações de médio e grande porte, devido ao bom desempenho diante de cargas elevadas.

Não é um sistema estrutural econômico em relação a outros, mas podemos minimizar estes custos com a adoção de pré moldados e com a repetitividade de soluções.

Logo do

Setor





Alvenaria é a construção de estruturas e de paredes utilizando unidades ligadas entre si por argamassa. Estas unidades podem ser blocos (de cerâmica, de vidro ou de concreto) e pedras.

A alvenaria pode servir tanto para vedação ou como estrutura de uma edificação. Neste segundo caso, assume o nome de alvenaria estrutural.

Logo do

Setor





Logo do

Setor





Neste tipo de projeto, a alvenaria tem a finalidade de resistir ao carregamento da edificação, tendo as paredes função resistente e de vedação.

A remoção de qualquer parede fica sujeita a análise e execução de reforços.

Logo do

Setor





ALVENARIA ESTRUTURAL NÃO ARMADA

•Até 8 pavimentos em blocos estruturais

•Até 4 pavimentos em tijolos maciços

ALVENARIA ESTRUTURAL ARMADA

•Mais de 20 pavimentos em blocos estruturais

Logo do

Setor





A alvenaria estrutural adapta-se muito a sistemas habitacionais repetitivos e modulados. Nestes casos se obtém grande economia na estrutura.

Logo do

Setor





Logo do

Setor




ESTRUTURAS MISTAS

Tem-se uma estrutura mista sempre que se adotar materiais estruturais diferenciados

Pode-se misturar alvenaria com concreto armado, aço e concreto, madeira e alvenaria, aço e madeira, etc...

A grande maioria de edificações de pequeno porte usa esta alternativa estrutural.

Logo do

Setor




ESTRUTURAS MISTAS

Logo do

Setor




ESTRUTURAS MISTASÉ muito comum a ocorrência de estruturas mistas de concreto e alvenaria portante em edificações de pequeno e médio porte (até 5 pavimentos).

Esta combinação aparece pois em alguns casos, determinados pavimentos ( em geral o térreo) tem utilização diferenciada dos demais (Garagens, áreas de recreação, lojas, etc.).

A coincidência das paredes fica então inviável nos diversos pavimentos.

Logo do

Setor




ALVENARIA ESTRUTURALProcesso Construtivo

O processo construtivo da alvenaria estrutural muda a concepção de execução, se comparado com uma obra de alvenaria convencional. Adota o uso de elementos pré-fabricados e o uso de blocos vazados em tamanho e formas especiais.

Este sistema construtivo pode ser comparado com um brinquedo de montar.

Logo do

Setor




ALVENARIA ESTRUTURALProcesso Construtivo

Alvenaria Estrutural é um sistema construtivo econômico, se bem executado, que cresce com base nos processos de construções industrializadas.

Adota princípios de racionalização, fazendo com que a indústria da construção civil perca suas características artesanais e aproxime-se realmente de características industriais desejáveis, que visam a otimização no uso de recursos materiais e de mão de obra.

Logo do

Setor




ALVENARIA ESTRUTURALCaracterísticas

• Utilização de blocos especiais fabricados com maior controle de qualidade quanto à suas propriedades mecânicas e geométricas.

• Aplicação dos blocos de forma planejada e racional.

• Paredes construídas com controle rigoroso de dimensões e prumo.

• Argamassa de traço calculado, definido no projeto.

Logo do

Setor




ALVENARIA ESTRUTURALVantagens

•Rapidez e simplicidade de organização na execução da obra;

•Economia no uso de madeira para formas;

•Redução do uso de concreto e aço;

•Limpeza e economia com a redução de entulho na obra e custos com sua retirada;

Logo do

Setor




ALVENARIA ESTRUTURALVantagens

•Menor diversidade de mão-de-obra;

•Facilidade de treinamento da mão-de-obra;

•Projetos mais detalhados facilitando a supervisão da obra;

•Dimensões precisas;

•Uso do furo dos blocos para as instalações elétricas evitando o rasgo nas paredes;

•Estrutura mais leve.

Logo do

Setor




ALVENARIA ESTRUTURALDesvantagens

• Paredes não podem ser removidas sem a análise e possível reforço;

• Juntas de dilatação a cada 15m;

• Necessidade de uma fiel execução do projeto não admitindo improvisações;

• Considerável aumento de custos para projetos com grandes vãos livres;

Logo do

Setor




ALVENARIA ESTRUTURALDesvantagens

• Utilização de formas adequadas e repetitivas para a obtenção de maior economia;

• Alcance a um número de pavimentos limitado,

•Necessidade de armadura nos casos de muitos pavimentos.

Logo do

Setor




ESCOLHA DO BLOCOÉ essencial a escolha da unidade de alvenaria a ser adotada, pois daí deriva todo o processo.

Esta escolha é feita a partir de variáveis tais como número de pavimentos, altura das paredes, e material adotado, disponibilidade regional.

Estas peças podem ser moldadas em concreto, cerâmica, sílico-calcáreo e concreto celular autoclavado.

Logo do

Setor




ESCOLHA DO BLOCODisponibilidade de blocos especiais para embutir dutos e caixas de passagem das instalações elétricas.

As instalações elétricas são embutidas, não havendo cortes nas paredes.

As instalações hidráulicas devem ser externas, com utilização de bloco especial com canaletas.

Os canos distribuidores de água e esgoto são concentrados em determinadas paredes e forros ou escondidos por shafts, o que permite a vistoria e futuras manutenções.

Logo do

Setor




ESCOLHA DO BLOCO

Logo do

Setor




ESCOLHA DO BLOCO

Na alvenaria estrutural os blocos são assentados com os furos na vertical, ou seja perpendiculares à junta.

Além de aumentar a resistência à compressão da parede pela transmissão direta das cargas verticais, sua ruptura é semelhante à dos materiais dúteis, o que é desejável em uma estrutura.

Logo do

Setor




ARGAMASSA

A argamassa de assentamento dos blocos deve apresentar uma adequada aderência com os blocos e ainda auxiliar na distribuição uniforme de tensões, de modo a evitar fissuras na interface bloco-argamassa.

Deve também garantir o desempenho estrutural e a durabilidade esperada da parede de alvenaria.

O seu traço é calculado previamente e deve ser rigorosamente seguido.

Logo do

Setor




ARGAMASSA

Logo do

Setor




GRAUTEO graute é utilizado para aumentar a resistência à compressão das paredes e no caso de necessitar-se de alvenaria armada.

O graute é um concreto com agregados de pequenas dimensões e com consistência mais fluida do que a do concreto convencional.

Serve para preencher total e uniformemente os vazios dos blocos, aumentando a sua resistência mecânica, tornando-o solidário com as eventuais armaduras, propiciando a aderência e protegendo-as da corrosão.

Logo do

Setor




GRAUTEA dosagem e especificação das características do graute são indicadas no projeto estrutural e sua resistência à compressão deve ser no mínimo igual à do bloco.

Logo do

Setor




ARMADURASAs armaduras da alvenaria estrutural armada são previstas para resistirem aos esforços de tração atuantes, como no concreto armado convencional. Estas tensões de tração surgem na alvenaria devidas ao efeito do vento.

As armaduras são embutidas verticalmente nos furos dos blocos e envolvidas por graute

Nas zonas de armação a resistência à compressão das paredes também fica maior devido àcontribuição do aço.

Logo do

Setor




ARMADURAS

Logo do

Setor




PROJETOS DE ALVENARIA ESTRUTURAL

Consiste em um conjunto de projetos: arquitetônico, hidráulico, elétrico, estrutural e executivo, elaborados, objetivando a total integração e otimização dos mesmos.

Logo do

Setor




PROJETOS DE ALVENARIA ESTRUTURAL

O sistema de alvenaria estrutural utiliza unidades industrializadas, no padrão das normas técnicas, unidas com argamassa.

Com a escolha da unidade básica a ser adotada está criada a modulação fundamental.

Logo do

Setor




PROJETO ARQUITETÔNICOToda a obra de Alvenaria Estrutural começa na concepção do projeto arquitetônico, quer édesenvolvido sempre tendo em vista a unidade de alvenaria adotada.

O projetista tem que ter conhecimento das dimensões e tipos de blocos complementares disponíveis e saber distribuí-los de maneira a não haver corte, evitando o desperdício.

Logo do

Setor




PROJETO ARQUITETÔNICO

O projeto deve ser detalhado com a previsão de quantos e quais os tipos de blocos serão utilizados, definindo a posição exata de cada peça.

Logo do

Setor





Logo do

Setor





Quanto mais simétrica for a sua forma, melhor a rigidez do sistema.

A relação entre a altura e a menor dimensão horizontal da edificação, indicada como ideal é2,5, podendo ser estendida a 3.

A partir de três o sistema perde em eficiência, devendo ser enrijecido, o que acarreta em custo aumentado, o que deve ser levado em conta.

Logo do

Setor





Logo do

Setor




DETALHAMENTO

Detalhe das amarrações

Logo do

Setor




DETALHAMENTOAs amarrações, os blocos especiais, o grauteamento e a passagem das canalizações devem estar indicados.

Logo do

Setor





A modulação da planta de 1º fiada, contendo o detalhamento das peças com todos os blocos lançados, é a primeira a ser desenvolvida.

Esta planta deverá ser apresentada ao todos os técnicos para aprovação.

Logo do

Setor





Logo do

Setor





A partir desta aprovação, ela servirá como base definitiva da obra.

Todos os projetistas estabelecerão a colocação de dutos, pontos de graute e outros a partir desta base.

Logo do

Setor




PROJETO ARQUITETÔNICONas pranchas e paginações são apresentadas as legendas de cada tipo de bloco em planta e vista, permitindo a rápida identificação de cada unidade.

Os desenhos são apresentados coloridos, sendo que cada tipo de bloco recebe uma cor padrão, facilitando sua identificação nos projetos

Logo do

Setor





Logo do

Setor





A modulação vertical consiste nos detalhes das paredes.

Nela especificam-se as distâncias de portas, janelas, pé-direito, etc.

Estas distâncias também devem ser múltiplos da unidade de alvenaria adotada, levando em consideração a altura do bloco e a espessura da junta.

Logo do

Setor





Logo do

Setor




PROJETO HIDRÁULICOO projeto hidráulico deve ser igualmente detalhado em planta baixa e elevada.

É comum a tubulação maior passar através de shafts.

Logo do

Setor




PROJETO HIDRÁULICOShafts são espaços deixados nas lajes, em toda a extensão vertical da edificação, onde são embutidas as instalações hidrossanitárias, de maneira que não fiquem visíveis

Logo do

Setor




PROJETO HIDRÁULICO

Logo do

Setor




PROJETO ELÉTRICO

As instalações elétricas, de telefonia e de televisão, na Alvenaria Estrutural devem passar dentro de eletrodutos, embutidos nas paredes de alvenaria, nos vazados verticais dos blocos.

A distribuição horizontal dos eletrodutos poderá se feita ou por embutimento nas lajes ou por embutimento em forros falsos.

Logo do

Setor




PROJETO ELÉTRICO

O embutimento nas paredes estruturais deverá ser feito simultaneamente a sua elevação, e o posicionamento dos eletrodutos tem que estar detalhado na paginação.

Logo do

Setor




PROJETO ELÉTRICO

Logo do

Setor




PROJETO ELÉTRICODevem ser evitados pontos de luz e interruptores próximos de aberturas, como janelas e portas, pois a primeira prumada de vazados após a abertura poderá ser grauteada, impedindo o posterior embutimento das caixas.

Logo do

Setor




PROJETO ELÉTRICO

Logo do

Setor




PRÉ MOLDADOS

O uso de pré moldados em obras de alvenaria estrutural podem tornar mais barata e ágil a estrutura.

Logo do

Setor




PRÉ MOLDADOS

Lages pré moldadas

Logo do

Setor




PRÉ MOLDADOS

Logo do

Setor




PRÉ MOLDADOS

Escada pré moldada

Logo do

Setor




PRÉ MOLDADOS

Bloco canaleta como forma de cinta

Logo do

Setor




PRÉ MOLDADOS

Detalhe do encontro da peça pré moldada e a parede de alvenaria.

Logo do

Setor




PROJETO EXECUTIVO

O projeto executivo prevê as demandas e a soluções dos problemas em canteiro.

É composto cronograma de serviços, por exemplos de detalhes e informações claras para a execução

Logo do

Setor




PROJETO EXECUTIVO•Planta baixa de primeira e segunda fiada;

•Planta de locação;

•Cortes com altura, peitoris;

•Detalhe das amarrações as entre paredes;

•Detalhe de vergas e contra-vergas;

Logo do

Setor




PROJETO EXECUTIVO

•Detalhe de passagens de tubulações e posições de equipamentos elétricos e hidráulicos;

•Detalhes especiais como indicação dos pontos a serem grauteados;

•Especificações do tipo e quantidades de bloco e elementos pré-moldados a serem empregados localizando-os.

Logo do

Setor




PROJETO EXECUTIVO

Logo do

Setor




PROJETO EXECUTIVOO canteiro de obras consiste na infra-estrutura necessária para a organização e armazenamento de equipamentos e materiais, gasrantindo o bom andamento da obra, funcionando como uma linha de montagem.

Logo do

Setor




PROJETO EXECUTIVO

Logo do

Setor




FERRAMENTAS

Bisnaga

Logo do

Setor




FERRAMENTAS

Colher de pedreiro

Logo do

Setor




FERRAMENTAS

Régua

Logo do

Setor




FERRAMENTAS

Esticador de linha

Logo do

Setor




FERRAMENTAS

Brocha

Logo do

Setor




FERRAMENTAS

Esticador de linha

Logo do

Setor




FERRAMENTAS

Caixa suporte de argamassa

Logo do

Setor




FERRAMENTAS

Escantilhão

Logo do

Setor




FERRAMENTAS

Régua

Logo do

Setor




FERRAMENTAS

Esquadro

Logo do

Setor




FERRAMENTAS

Andaime

Logo do

Setor




FERRAMENTAS

Gabaritos de janelas e portas

Logo do

Setor




FERRAMENTAS

Funil

Logo do

Setor




FERRAMENTAS

Carrinho

Logo do

Setor




DETALHES

Carrinho

Preparo da laje para assentamento da 1ª fiada de alvenaria

Logo do

Setor




DETALHES

Conferencia da 1ª fiada

Logo do

Setor




CONCLUSÃOA Alvenaria Estrutural é um sistema construtivo econômico, que cresce com base nos processos de construções industrializadas.

Muitos engenheiros e construtores desconhecem os seus fundamentos e acabam não utilizando ou utilizando de forma errada este sistema construtivo.

Ainda que a Alvenaria seja uma das mais antigas formas de construção, os estudos técnicos e construtivos continuam em constante evolução.

Logo do

Setor




CONCLUSÃOA opção de rapidez, limpeza, eficiência e segurança chamam a atenção de qualquer empreendedor.

A maior particularidade deste sistema é a concepção dos projetos, que exige uma boa coordenação entre os mesmos, aproveitando ao máximo todas as vantagens deste sistema construtivo.

Logo do

Setor




FIM

CCAAPPÍÍTTUULLOO 11

IINNTTRROODDUUÇÇÃÃOO ÀÀ RREESSIISSTTÊÊNNCCIIAA DDOOSS MMAATTEERRIIAAIISS

I. OBJETIVOS FUNDAMENTAIS

Um corpo em equilíbrio, sujeito a cargas externas ativas e reativas, possui em seu interior esforços. Estes esforços internos ou solicitações internas são devidos ao deslocamento das partículas que compõem o corpo, até que seja atingido o equilíbrio. Observe-se que o equilíbrio se dá na configuração deformada do corpo, que admitiremos como igual à configuração inicial pois em estruturas estaremos sempre no campo das pequenas deformações.

A Resistência dos Materiais se preocupa fundamentalmente com o comportamento das diversas partes de um corpo quando sob a ação destas solicitações internas.

Pode-se resumir um problema de Resistência dos Materiais conforme fluxograma abaixo:

II. TENSÕES

Conforme foi dito, as tensões que se desenvolvem entre as partículas de um corpo são conseqüência dos esforços internos desenvolvidos.

Como os esforços são elementos vetoriais (módulo, direção e sentido) a tensão como conseqüência também o será.

De acordo com o método das seções:

"Supõe-se um corpo carregado e em equilíbrio estático. Ao se cortar este corpo por uma seção qualquer "S" isolando, como exemplo, a parte da esquerda, pode-se dizer que na seção cortada devem se desenvolver esforços que se equivalham aos esforços da parte da direita retirada, para que assim o sistema permaneça em equilíbrio. Estes esforços, convenientemente decompostos, se constituem nas solicitações internas fundamentais. O isolamento da parte da esquerda foi um exemplo, pois com a parte da direita o mesmo pode ser feito."

Partindo deste raciocínio pode-se afirmar que em cada elemento de área que constitui a seção cortada está sendo desenvolvido um elemento de força, cujo somatório (resultante) mantém o equilíbrio do corpo isolado. A tensão (r) desenvolvida no elemento de área citado nada mais é do que a distribuição do efeito da força pela área de atuação da mesma.

Estrutura

Cargas Externas Reativas

Cargas Externas Ativas

Solicitações

Tensões

Deformações

Limite Resistente do Material

Critério de Resistência PROJETO

VERIFICAÇÃO

Substituindo-se a representação da força pela tensão que ela provoca, obtem-se o representado na figura (a). Como a tensão é um elemento vetorial ela pode, como qualquer vetor, ser decomposta no espaço segundo 3 direções ortogonais convenientes, e, faz-se esta decomposição em direções convenientes (fig. b) levando-se em consideração as deformações que provocadas. Isto permite dividir as componentes da tensão do ponto em duas categorias:

Tensões Tangenciais ou de Cisalhamento (ττττ) - Contidas pelo plano da seção de referência.

Tensão Normal (σσσσ) - Perpendicular à seção de referência.

A. TENSÕES NORMAIS (σ)

Conceito:

A tensão normal tem a direção perpendicular à seção de referência e o seu efeito é o de provocar alongamento ou encurtamento das fibras longitudinais do corpo, mantendo-as paralelas.

Deformação específica longitudinal (εεεε)

Costuma-se medir a deformação de peças sujeitas a tensão normal pela deformação específica longitudinal, representando-a pela letra εεεε

Deformação Específica Longitudinal é a relação que existe entre a deformação medida em um corpo e o seu comprimento inicial, sendo as medidas feitas na direção da tensão.

Seja:

li → comprimento inicial da barra

lf → comprimento final da barra

∆l →deformação total

∆l = l f - l i

Observe que no exemplo dado ∆ l > 0 portanto ε > 0 (alongamento)

Pode-se mostrar outro exemplo onde ∆ l < 0 consequentemente ε < 0 (encurtamento)

li

l = ∆

ε

Neste exemplo ∆ l ⟨ 0

portanto ε ⟨ 0

OBSERVAÇÕES:

1. Sinal:

(+) Alongamento → Corresponde a uma tensão de tração que também é positiva

(-) Encurtamento → Corresponde a uma tensão de compressão que também é negativa

2. Unidade:

- adimensional quando adota-se para ∆l a mesma unidade que para li

-taxa milesimal (‰) - Nestes casos mede-se ∆l em mm e li em m(metros).

B. TENSÕES TANGENCIAIS ( τ )

Conceito:

Tensão desenvolvida no plano da seção de referência tendo o efeito de provocar corte ou cisalhamento nesta seção.

Distorção Específica ( γγγγ )

Medida de deformação de corpos submetidos a tensões tangenciais, sendo representada pela letra grega γ .

Supõe-se um bloco com arestas A, B, C e D, submetido a tensões tangenciais em suas faces. Para melhor visualizar-se a deformação considera-se fixa a face compreendida pelas arestas A e B.

DB

'DD

CA

CC' = tg =γ

Como as estruturas trabalham sempre no campo das pequenas deformações e então γ <<< 1 rad, então arco e tangente se confundem e pode-se considerar:

DB

'DD

CA

CC' =≅γ

Distorção específica é a relação entre o deslocamento observado e a distância respectiva, medida perpendicular ao deslocamento. Representa fisicamente a variação que sofre o ângulo reto de um corpo submetido a tensões de cisalhamento.

OBSERVAÇÃO: Quanto à unidade, a distorção segue a da deformação específica longitudinal: adimensional ou taxa milesimal, ressalvando-se que quando adimensional representa um arco expresso em radianos.

III. DEFORMAÇÕES E ELASTICIDADE

Deformação é a alteração da forma que sofre um corpo submetido a solicitações, devido aos movimentos das partículas que o constituem. Existe a tendência dos corpos de voltarem à forma original devido á força de atração entre as partículas.

Podem-se diferenciar os tipos de deformações durante o ensaio simples de uma mola presa a uma superfície fixa, e submetida sucessivamente a cargas cada vez maiores, até a sua ruptura.

A. DEFORMAÇÕES ELÁSTICAS

Iniciando o ensaio observa-se que a mola se distende sob a ação das cargas, e se medidos numericamente o valor da carga e sua respectiva distensão tem-se:

kd

P= .....

d

P

d

P

n

n

2

2

1

1 === (constante elástica da mola)

Além disto, se o ensaio for interrompido durante esta fase, a mola voltará a ter sua forma e seu comprimento inicial.

Este comportamento caracteriza uma deformação elástica, cujas propriedades são:

- deformações reversíveis

- proporcionalidade entre carga e deformação.

B. DEFORMAÇÕES PLÁSTICAS:

Se aumentada a carga sobre esta mola, depois de um limite terminaria a proporcionalidade entre carga e deformação e apesar da tendência do corpo em assumir sua forma original, sempre restariam as chamadas Deformações Residuais.

Considera-se então terminado o regime elástico e o corpo passa a atuar em regime plástico.

Note-se então que no regime plástico termina a proporcionalidade e a reversibilidade das deformações.

Aumentada ainda mais a carga, o próximo limite seria a Ruptura.

IV. LEI DE HOOKE

Conforme se vê, a maioria dos projetos de peças são tratados no regime elástico do material, sendo os casos mais sofisticados trabalhados em regime plástico e se constituindo no que há de mais moderno e ainda em estudo no campo da Resistência dos Materiais.

Robert Hooke em 1678 enunciou a lei que leva o seu nome e que é a base de funcionamento dos corpos em regime elástico.

"As tensões desenvolvidas e suas deformações específicas conseqüentes são proporcionais enquanto não se ultrapassa o limite elástico do material."

Expressões analíticas:

al)longitudin deelasticida de .(modE=ε

σ

al) transversdeelasticida de.mod(G=γ

τ

Estes módulos de elasticidade são constantes elásticas de um material, e determinados experimentalmente.

Exemplo: Aço Comum: E ≅ 2,1 . 104 kN/cm2 G ≅ 0,8 .104 kN/cm2

V. LEI DE POISSON

Estudos realizados por POISSON determinam que ao mesmo tempo em que as tensões normais provocam deformação em sua direção também o fazem em direções perpendiculares a sua:

Observando o modelo acima, pode-se notar que enquanto o corpo sofre um encurtamento (diminuição no seu comprimento), as dimensões de sua seção transversal aumentam. Se fosse observado um corpo tracionado, o aumento de seu comprimento viria acompanhado de uma diminuição nas dimensões de sua seção transversal.

Além disso, os estudos de Poisson conduzem a uma proporcionalidade entre as deformações longitudinais e transversais, definindo a constante µµµµ chamada de coeficiente de Poisson, e se constituindo na terceira constante elástica de um material, também determinada experimentalmente.

µ−=ε

εt

Foi observado que em qualquer direção perpendicular a da tensão, a deformação específica transversal tem o mesmo valor.

As constantes elásticas de um mesmo material se relacionam pela expressão:

)1(2

EG

µ+=

Tensão em uma só direção não implica em deformação em uma só direção.

VI . PROPRIEDADES MECÂNICAS DOS MATERIAIS

Para serem determinadas as características mecânicas dos materiais, são realizados em laboratório, ensaios com amostras do material, chamadas de corpos de prova.

No Brasil estes ensaios são realizados empregando-se métodos padronizados e regulamentados pela ABNT.

O ensaio mais costumeiro é o de tração simples, onde determinamos TENSÕES LIMITES dos diversos materiais. Indica a tensão máxima alcançada pelo material, em laboratório, sem que se inicie o seu processo de ruptura.

Com a realização destes ensaios já se podem separar os materiais em dois grandes grupos: DÚTEIS E FRÁGEIS

A. MATERIAIS DÚTEIS :

São considerados materiais dúteis aqueles que sofrem grandes deformações antes da ruptura. Dentre os materiais dúteis ainda tem-se duas categorias:

1. Dútil com escoamento real:

exemplo: aço comum

Num ensaio de tração axial simples costuma-se demonstrar os resultados através de um diagrama tensão x deformação específica (σ x ε ). No caso de material dútil com escoamento real a forma deste diagrama segue o seguinte modelo:

reta AB - Indica a proporcionalidade entre σ x ε , portanto o período em que o material trabalha em regime elástico (lei de Hooke). Deformações reversíveis.

σp - Tensão de proporcionalidade:

Representa o limite do regime elástico.

curva BC: A curvatura indica o fim da proporcionalidade, caracterizando o regime plástico do material. Pode-se notar que as deformações crescem mais rapidamente do que as tensões e cessado o ensaio já aparecem as deformações residuais. Graficamente pode-se calcular a deformação residual traçando pelo ponto de interesse uma reta paralela à do regime elástico. Nota-se que neste trecho as deformações residuais são ainda pequenas, apesar de irreversíveis.

σe - Tensão de escoamento: quando é atingida a tensão de escoamento o material se desorganiza

internamente (a nível molecular) e sem que se aumente a tensão ao qual ele é submetido, aumenta grandemente a deformação que ele apresenta.

trecho CD - Chamado de patamar de escoamento. Durante este período começam a aparecer falhas no material (estricções), ficando o mesmo invalidado para a função resistente.

curva D: Após uma reorganização interna o material continua a resistir a tensão em regime plástico, porém agora com grandes e visíveis deformações residuais. As estricções são agora perceptíveis nitidamente. Não se admitem estruturas com esta ordem de grandeza para as deformações residuais.

σR - Tensão de ruptura: conforme analisou-se no ensaio acima, para estruturas, o material pode ser

aproveitado até o escoamento, portanto sua TENSÃO LIMITE será a TENSÃO DE ESCOAMENTO.

2. Dútil com escoamento convencional

Exemplo: aços duros

Se comportam de maneira semelhante ao anterior, mas não apresentam patamar de escoamento. Como em estruturas não se admitem grandes deformações residuais se convenciona este limite, ficando a tensão correspondente convencionada

como TENSÃO DE ESCOAMENTO, que é também a TENSÃO LIMITE do material.

OBSERVAÇÕES:

Os materiais dúteis de uma maneira geral são classificados como aqueles que apresentam grandes deformações antes da ruptura, podendo também ser utilizados em regime plástico com pequenas deformações residuais.

Apresentam uma propriedade importantíssima que é resistirem igualmente a tração e a compressão, Isto quer dizer que o escoamento serve como limite de tração e de compressão.

B. MATERIAIS FRÁGEIS

Exemplo : concreto

São materiais que se caracterizam por pequenas deformações anteriores a ruptura. O diagrama σ x ε é quase linear sendo quase global a aplicação da lei de Hooke.

Nestes casos a TENSÃO LIMITE é a TENSÃO DE RUPTURA.

Ao contrário dos materiais dúteis, eles resistem diferentemente à tração e à compressão, sendo necessários os dois ensaios e obtendo-se assim dois limites:

σσσσT = Limite de ruptura a tração

σσσσC = Limite ruptura a compressão

Em geral estes materiais resistem melhor a compressão do que a tração.

VII. CRITÉRIO DE RESISTÊNCIA - COEFICIENTE DE SEGURANÇA

Em termos gerais um projeto está sempre ligado ao binômio economia x segurança. Deve-se adotar um índice que otimize este binômio.

Diz-se também que mesmo sendo determinada em laboratório a utilização da tensão limite em projetos é arriscada, pois existem diversos fatores de incerteza.

Em vista do que foi exposto adota-se o seguinte critério:

A tensão limite é reduzida dividindo-a pôr um número que chamaremos de coeficiente de segurança (s).

Para que este número reduza o módulo da tensão limite, ele deve ser maior do que a unidade. Então, para que haja segurança:

s 1≥≥≥≥

As tensões assim reduzidas, que são as que realmente podemos utilizar, são chamadas de TENSÕES ADMISSÍVEIS ou TENSÕES DE SERVIÇO que para serem diferenciadas das tensões limites são assinaladas com uma barra (σσσσ ).

slim

admσ

=σ

Pode-se resumir analíticamente o critério de segurança conforme abaixo, para os diversos casos:

MATERIAIS DÚTEIS MATERIAIS FRÁGEIS

ee

máxt sσ=

σ=σ (tensão de escoa. adm.) T

Tmáxt s

σ=σ

=σ (tensão de tração adm.)

ee

máxc sσ=

σ=σ (tensão de esc. adm.)

cc

máxc sσ=

σ=σ (tensão de compr. adm.)

Materiais Técnicas e Estruturas I – Faculdade de Arquitetura e Urbanismo Profª Maria Regina Costa Leggerini 1

CAPÍTULOII

MATERIAIS CERÂMICOS

I . CONCEITO

Chama-se de cerâmica à pedra artificial obtida pela moldagem, secagem e cozimento de argilas ou misturas argilosas. Em alguns casos pode ser suprimida alguma das etapas citadas, mas a matéria prima essencial de uma cerâmica é a argila.

Nos materiais cerâmicos a argila fica aglutinada por uma pequena quantidade de vidro, que aparece pela ação do calor de cozimento sobre os componentes da argila

II. ARGILAS

Argilas são materiais terrosos naturais, que misturados com a água adquirem a propriedade de apresentar alta plasticidade. As argilas são compostas de partículas coloidais de diâmetro inferior a 0,005 mm, com alta plasticidade quando úmidos e que formam torrões de difícil desagregação quando sob pressão.

Durante muito tempo se conceituou argila como derivada da Caulinita (Al2O3.2SiO2.2H2O), porem hoje se sabe que podem ter outras origens. A argila é constituída por partículas cristalinas extremamente pequenas chamadas de argilo-minerais, das quais a Caulinita é a mais abundante e importante.

É encontrada abundantemente na natureza, nas margens dos rios e manguezais. É barata e fácil de manipular. É reciclável e se conserva ao longo dos anos somente exigindo um pouco de cuidado e umidade.

A argila se origina da desagregação de rochas que comumente contém feldspato, por intemperismo. O intemperismo é a ação física e química do ambiente sobre as rochas. A ação química caracteriza-se pelo ataque O ataque químico é feito, por exemplo, pelo ácido carbônico presente na atmosfera e outros elementos agressivos de chuvas e águas. A ação física se refere à erosão, vulcanismos, pressão, descompressão e etc.


No final parte da rocha é transformada, e fragmentada em partículas muito pequenas chamados de argilo-minerais.

Normalmente as jazidas são formadas pelo processo de depósito aluvial ou seja : As particulas menores (e portanto mais leves) são levadas por corrente de água e depositadas no lugar onde a força hidrodinâmica já não é suficiente para mantê-las em suspensão.

Como exemplo, argilas constituídas essencialmente pelo argilo-mineral caulinita são as mais refratárias, pois são constituídas essencialmente de sílica (SiO2) e alumina (Al2O3), enquanto que os outros, devido à presença de potássio, ferro e outros elementos, têm a refratariedade sensivelmente reduzida. A presença de outros minerais, muitas vezes considerados como impurezas, pode afetar substancialmente as características de uma argila para uma dada aplicação; daí a razão, para muitas aplicações, de se eliminar por processos físicos os minerais indesejáveis. Processo chamado de beneficiamento.

Nas construções primitivas a argila crua era secada ao sol e normalmente misturada com palha para aumentar sua resistência. Era denominada de Adobe.

A. HISTÓRIADA CERÂMICA

A indústria da cerâmica é uma das mais antigas do mundo devido à abundância do barro e da facilidade de extração e fabricação.


Já no período neolítico o homem pré-histórico calafetava cestas de vime com barro. Mais tarde verificaram que podiam dispensar o vime, e fizeram potes só de barro, secos ao ar.

Posteriormente verificou que o calor endurecia este barro, surgindo a cerâmica. A partir daí foi largamente usada para os mais diversos fins.

Cada civilização e cada cultura desenvolveram formas e características próprias no uso do barro, de tal modo que o exame da cerâmica é um dos maiores auxiliares na pesquisa histórica.

Imagem da era pré-histórica realçando a fecundidade da mulher

Cerâmica do período neolítico

Cerâmica Neolítica Pote calafetado

Tabua de leis da Suméria 4000 A.C.

Cerâmica Maia


Mais tarde surgiram os vidrados e vitrificados. No ano de 4000 A.C. os assírios já obtinham cerâmica vidrada semelhantes a azulejos, usada no revestimento de paredes.

Uma nova etapa começou quando os semitas desenvolveram o torno de oleiro, que permitiu maior rapidez, qualidade e acabamento às peças. O torno é uma mesa que gira rapidamente, permitindo a moldagem rápida de peças cilíndricas.

Os gregos e os romanos foram grandes cultivadores das peças cerâmicas, especialmente telhas.

Durante alguns séculos a evolução estacionou.

Datam do século VII as primeiras porcelanas fabricadas pelos chineses, enquanto o resto do mundo só usava a cerâmica vermelha e amarela. Apenas no século XVIII é que surge na Inglaterra a louça branca, seguida pela porcelana.

A partir daí houve o grande desenvolvimento desta indústria, agora já baseada em pesquisas, tecnologia e estudos de laboratórios especializados, como os da França, Grã Bretanha e Institutos de Pesquisas Cerâmicas nas Universidades dos Estados Unidos.

No Brasil trabalhos notáveis foram desenvolvidos nos Centros de Pesquisa das Universidades de Campinas e São Carlos.

Junto com o estudo da cerâmica desenvolveu-se estudos de fornos, melhores vidrados, aparelhos de moldagem, moldagem a seco, porcelanas de alta resistência e seus empregos diversificados como, por exemplo, em supercondutores.

O emprego da cerâmica é inúmero, e pode-se citar:

1. Produtos cerâmicos estruturais:

Tijolos maciços ou furados;

Dinastia Ming


Blocos;

Ladrilhos;

Telhas de barro cozido ou vidradas;

Tubos e conectores (manilhas de grês);

Produtos artísticos (vasos, etc.).

2. Refratários.

3. Louças e porcelanas.

Louça sanitária;

Louça de Grês;

Ladrilhos cerâmicos vidrados (azulejos);

Louça de mesa;

Porcelanas artísticas, industriais, domésticas, elétricas, etc.

4. Produtos cerâmicos diversos como sílica fundida, esmaltes vitrificados, etc.

B. FORMAÇÃO DA CERÂMICA EM FUNÇÃO DA ARGILA

As substâncias capazes de formar argilas são denominadas de argilo-minerais. São silicatos hidratados de alumínio ferro e magnésio, comumente com percentagem de álcalis e alcalino-terrosos. Junto com estes minerais vem a sílica pura, alumina, ferro, cálcio, magnésio e matéria orgânica. Observe que os elementos formadores de vidro estão presentes (sílica, álcalis e calcário).

O aparecimento destes minerais se origina da desagregação do feldspato das rochas ígneas por ação da água e do gás carbônico. Como existem rochas ígneas e feldspatos de diversos tipos, as argilas também apresentam características diversas.


Inicialmente as argilas são classificadas em magras e gordas, conforme menor ou maior quantidade de colóides. Os colóides são responsáveis pela plasticidade da argila, mas também, devido à alumina deformam-se muito mais no cozimento.

Entre as argilas que fundem a menos de 1200 oC:

As argilas magras, devido ao maior tamanho dos grãos e à quantidade de sílica são mais porosas e frágeis. Ao tato parecem mais secas.

Argilas com maior quantidade de material orgânico de cor cinza-azulada ou até preto assumem a coloração amarela ou vermelha após o cozimento. São usadas para materiais cerâmicos estruturais, assim como tijolos e telhas mais grosseiras.

As magras e com pouco material orgânico dão cerâmicas menos porosos e uniformes, portanto de melhor qualidade. Estas argilas são também empregadas na fabricação do cimento.

A argila com alta percentagem de mica e pouco ferro é denominada grês. Tem uma tonalidade cinza-esverdeada e é usada na fabricação de tubos cerâmicos e ladrilhos.

As argilas que vitrificam entre 1200 e 1500 oC são utilizadas na fabricação de louças e são quase exclusivamente caulim. Tem coloração branca antes e depois do cozimento.

As que só fundem e vitrificam a mais de 1500 oC são chamadas de refratárias e existem de vários tipos e cores.

O nome barro também é popularmente usado para denominar as argilas. Tecnicamente barro é argila impura. Dificilmente a Natureza vai apresentar argila pura, daí o uso indistinto da designação.

C. PROPRIEDADES DAS ARGILAS

Já foi dito que as cerâmicas sã obtidas pela secagem e cozimento das argilas. As argilas são partículas extremamente pequenas de certas substancias chamadas de argilo-minerais. Existem relativamente poucas variedades de argilo-minerais, mas em grande abundância na Natureza. Dentre os argilo-minerais abundantes está a caulinita.

A caulinita dificilmente é encontrada pura na Natureza, sempre havendo alguma mistura. Pura é um pó branco que quando seca é untuosa ao tato e quando úmida é muito plástica.

O caulim é uma de suas ocorrências e serve como matéria prima de porcelanas, louças, azulejos e outros materiais. Tem cor tantomais branca quanto maior for a quantidade de caulinita. Sempre tem algumas impurezas que podem afetar bastante as suas propriedades básicas. Entre as impurezas pode-se encontrar areia, sílica, alumina, óxido de ferro, álcalis, água, carvão e demais impurezas orgânicas.

A sílica livre, na forma de areia, diminui por exemplo a plasticidade e refratariedade da argila e reduz também a resistência mecânica da cerâmica obtida. Mas também reduz a retração, a deformação e facilita a secagem. É indispensável na fabricação da cerâmica pois ao fundir forma o vidro que aglutina e endurece o material.


A alumina também reduz a plasticidade e a resistência mecânica, porem reduz as deformações e faz baixar o ponto de fusão da sílica para a formação do vidro.

Os alcalis (cal, magnésia e sódio) tambám são fundentes e clareiam a cor das cerâmicas.

O óxido de ferro mistura-se com a cauinita e lhe confere a cor vermelha ou amarela. Em alguns casos forma pintas ou manchas. Reduz a refratariedade mas aumenta muito a dureza da cerâmica.

Os materiais orgânicos é nuito ruim para a cerâmica pois apesar de amentar asua plasticidade, torna a cerâmica mais fraca e poroza. Confere cor escura à argila antes do cozimento, que desaparece pois a matéria orgânica é queimada.

Os sais diversos, que na maioria dos casos são inertes, tem seu maior efeito sobre a cor. Podem dar eflorecências e criptoflorescência , que são defeitos apresentados por algumas cerâmicas.

Estes materiais e muitos outros se encontram nas mais diversas proporções, pois os depósitos de argila ficam expostos por milhares de anos a todas as influências climáticas e ambientais.

A inclusão de substâncias diversas é objeto de diversos estudos atuais.

1. Àgua

A água de constituiçãofaz parte da molécula do argilo-mineral e se eliminada altera quimicamente a argila. A água de plasticidade ou inchamento envolve as partículas coloidais, aderindo à sua superfície, dando-lhe a mobilidade característica. A água de capilaridade fica nos poros da argila formando canais ou gotículas no interior da massa. É facilmente eliminada.

2. Plasticidade

As partículas coloidais tem grande atração entre si e quando secas não se deslocam, a não ser com grande esforço. Ao receber umidade são envolvidas por uma camada lubrificante que dá alta plasticidade, enfraquecendo a atração.

Existem substâncias que aumentam esta plasticidade (carbonatos, hidròxidos, silicatos e oxalatos) ou as que diminuem (ar incorporado, detergentes, sabãos, pó de minerais, areia e pó de cerâmica).

Estas substâncias são usadas como aditivo para correções na fabricação da cerâmica.

A plasticidade depende também do tamanho, formato e comportamento químico dos grãos.

3. Retração

Quando da perda da água os grãos tem grande atração molecular e o conjunto se retrai.

A secagem é lenta pois primeiras camadas externas perdem água por evaporação. A água das camadas internas migra para asuperfície por capilaridade cada vez mais lentamente, homogeneizando o conjunto cotinuamente. A grande quantidade de caulinita provoca uma maior retração.


A retração faz com que a peça cerâmica diminua de tamanho e quando a perda de água não é uniforme a peça se torce e deforma. Por isso é difícil se obter peças moduladas de tamanhos exatamente iguais nas medidas e perfeitamente planas. Isto só se consegue com muitos cuidados e técnicas especiais de fabricação. Nestes casos a fabricação fica encarecida de tal maneira que só é usada em casos especiais.

Todos os aditivos que aumentam a plasticidade aumentam também a retração.

4. Efeito do calor

Aquecendo a argila comum entre 20 e 150oC ela perde agua do amassamento e de capilaridade. De 150 à 600oC ela perde a água de plasticidade, ou seja, endurece mas continua sendo argila. Até este ponto não há alteração nas características químicas pois se a hidratarmos de novo ela ainda volta às condições iniciais de plasticidade.

A partir de 600 oC começam as alterações químicas.

Na primeira fase a água de constituição da molécula de argila é expulsa. Neste ponto a molécula alterada deixa de ser argila e já apresenta um endurecimento permanente. Nesta fase há a queima de materiais orgânicos existentes.

Num segundo estágio há a oxidação: os carbonetos são calcinados e se transformam em óxidos.

Por fim, à partir dos 950 oC há a vitrificação. Aparece então a cerâmica, difícil de desagregar deformar ou quebrar.

III. CERÂMICAS

A – FABRICAÇÃO DA CERÂMICA

De uma maneira geral a fabricação de um material cerâmico segue as seguinters etapas:

1. Extração do barro:

Cada tipo de cerâmica requer um tipo apropriado de barro. Deve ser analisada a composição granulométrica, o teor de argila, a umidade e a pureza entre outras.

2. Preparo do barro:

Extraída a argila, feita a seleção, segue-se o que se chama de “apodrecimento” da argila. Ela é depositada ao ar livre, revolvida e passa por um período de descanso. Esta etapa tem por finalidade fermentar ao ar as partículas orgânicas existentes no barro, tornando-as coloidais e aumentando a plasticidade da massa.

A etapa seguinte é a de maceração (desagregar torrões), correção e amassamento. Na correção usam-se misturas.

A fase final é do amassamento, que serve para se obter a uniformidade entre os componentes. A argila então é preparada para a moldagem.

3.Moldagem:

a. Moldagem a seco ou semi-seco.


A moldagem pode ser feita a seco ou semi- seco o que demanda uma grande pressão e consequentemente grande energia. Este processo também leva o nome de prensagem. Os produtos são de excelente qualidade, mais uniformes e sem bolhas, tendo superfíces lisas e impermeáveis. Se sabe que as propriedades mecânicas da cerâmica são inversamente proporcionais à quantidade de água usada na moldagem.

Este processo é normalmente usado para ladrilhos, azulejos, isoladores elétricos e também para tijolos e telhas de melhor qualidade.

b. Moldagem com pasta plástica consistente

Nestes casos a pasta é forçada a passar sob pressão sob um bocal apropriado, formando uma fita contínua e uniforme. Depois esta fita é cortada ns segmentos desejados. Este processo não pode ter massa com muita água devido a porosidade no cosimento assim como deformação excessiva. O ar também é prejudicial pois além de dilatar a peça na cozedura pode também causar o fendilhamento e a desagregação.

Nestes casos uma camara de vácuo muitas vezes é incorporada ao sistema.

A porosidade é boa na formação de aderência com argamassas por isto este processo é nuito usado na fabricação de tijolos comuns ou elemetos vazados. No caso das telhas a moldagem é feita por prensagem em formas.

c. Moldagem com pasta plástica mole.

É o processo mais antigo pois é feito até sem equipamentos. A massa é moldada à mão, em tornos ou moldes de madeira.

É o processo usado em vasos, tijolos brutos, estatuetas pratos e chícaras de barro e eventualmente em telhas rústicas coloniais.

d. Moldagem da pasta fluida

Neste caso a pasta tem grande adição de água, formando um líquido semelhante ao xarope. A moldagem é feita com contra molde de metal, molde de gesso e a pasta é vertida em camadas até atingir a espessura desejada. Neste momento o gesso absorve a água da pasta, ficando só a camada de argila. Normalmente para o disforme o molde precisa ser partido, o que encarece a fabricação.

É usado em peças de espessura pequena como louças domésticas, louças sanitárias e peças de alta precisão.

4. Secagem:

A secagem é a fase obrigatória entre a moldagem e o cozimeto. Feita para que a pasta perca o excesso de água antes de ir ao forno. Esta secagem é lenta e bem distribuída evitando o fissuramento, deformações e porosidade das cerâmicas.

Esta secagem pode ser feita ao natural (vento), mas é demorada e exige grandes superfícies de armazenamento, normalmente em telheiros extensos para a proteção do sol.


Pode ser feita com o auxílio de um aquecimento brando quando então é chamada de secagem natural forçada. Este aquecimento é feito usando muitas vzes o calor do próprio forno de cozimeto.

Pode-se também empregar secadores que são fornos de temperatura baixa (em torno de 100oC).

A secagem pode ser feita com ar quente e úmido, reduzindo-se gradativamente o teor de umidade e garantindo a uniformidade do processo. É um excelente processo pois reduz significativamente deformações e fendilhamento.

O processo pode utilizar o vácuo, onde a evaporação da água é rápida. Não é um processo econômico ou seguro.

Em peças delgadas e de precisão (componentes eletrônicos e elétricos) pode-se fazer secagem por radiação infra vermelha. Este processo tem um custo alto e é usado em equenos secadores especiais.

Nos fornos de túnel ou de Hoffmann o calor é forçado a passar sobre as peças que estão indo para o cozimento. O resultado depende da velocidade de secagem.

5. Cozimento:

É a fase da fabricação em que o barro é colocado em fornos de alta temperatura para que ocorram as reações químicas de endurecimento e vitrificação.

No resultado influem as temperaturas alcançadas, a velocidade de aquecimento, atmosfera ambiente, pressão e umidade.

O cozimento pode ser contínuo ou internitente.

Os combustíveis usados são leha, carvão, óleo ou energia elétrica.

Alguns tipos de cerâmica precisam ir duas vezes ao forno para o recozimento. Isto é comum nas peças esmaltadas.

A aplicação do vidrado pode ocorrer antes, durante ou depois do cozimento

6. Esfriamento:

Nesta fase o único cuidado é evitar um resfriamento muito brusco, que pode fendilhar a peça pela rápida retração.

E. PROPRIEDADES E PATOLOGIAS DAS CERÂMICAS

As propriedades das cerâmicas dependem da constituição da argila, cozimento, moldagem etc. Estes valores não podem ser generalizados e cada material deve ser analisado em particular.

Devem ser analisadas grandezas como o peso, propriedades mecânicas, absorção de água, resistência ao desgaste e dilatação térmica. Estes fatores devem ser considerados para a escolha da cerâmica adequada.

Pode-se citar como fatores prejudiciais a conservação da cerâmica depois de aplicada:

1. Umidade permanente


A umidade faz baixar a resistência das cerâmicas. Telhas ou tijolos quebram mais facilmente quando estão úmidos. Também apresentam menor resistência ao calor e ao desgaste. Peças de cerâmica submersas desagregam aos poucos.

2. Fogo e Calor

A resistência à compressão diminui a medida que a temperatura aumenta. Nos tijolos a desagregação começa a partir dos 300 oC e é total aos 800 oC. A desagregação também acontece quando a cerâmica é exposta a ciclos de calor e frio. As únicas cerâmicas que não sofrem estes efeitos são as refratárias, que aceitam altíssimas temperaturas. Observe que a cerâmica refratária aceita altas temperaturas mas não é isolante de calor, existindo as cerâmicas isolantes.

3. Solicitação mecânica exagerada

Se uma peça cerâmica é submetida a uma carga superior ao seu limite ela se rompe como qualquer material. Se a carga for levemente superior ao seu limite mas de rápida aplicação, ela pode somente desagregar. Se houverem fissuras sua resistência fica abalada. Em relação à abrasão, se ela é alta a cerâmica se desagrega e desgasta.

4. Fadiga

É outro tipo de colapso que acontece nas cerâmicas, quando submetidas sucessivas vezes à cargas altas, próximas do limite de sua resistência. Há a possibilidade dos grãos mais solicitados se desagregarem da massa. Isto enfraquece a cerâmica que se continuar submetisa às cargas podem romper.

5. Fungos

Mofo ou bolor é o nome dado aos vegetais inferiores que não tem ação clorofiliana. Nestes a transformação de sais e outros elementos nutritivos, é feita nas raízes que destilam enzimas ácidas. Estas enzimas atacam a cerâmica, desagregando-a ou escurecendo-a com o passar dos tempos. Ação semelhante é desenvolvida por algumas bactérias e virus.

6. Limo

O limo é o nome dado a alguns vegetais minúsculos que também podem desagregar a cerâmica por efeito mecânico de suas raízes. Embora capilares estas raízes se infiltram pelos poros da cerâmica e ao crescer a desagrega.

7. Gelividade

A água em canais capilares congela . Ao congelar aumenta de volume desagregando a cerâmica. Normalmente isto se dá na superfície, despedaçando a “casca” da cerâmica. O resultado é o desgaste progressivo da peça. Pode-se uzar verniz impermeável que impeça a penetração da água.

8. Eflorescências

A cerâmica pode conter sais solúveis em pequenas quantidades, existentes no barro original. Quando a umidade atravessa a peça cerâmica a água dissolve estes sais e leva-os à superfície. Ali a água evapora mas deposita os sais aparecendo manchas. Estas


manchas além de dar um mau aspecto à superfície causam problemas mais graves como desagregaçã das peças e diminuição das aderências dos rebocos.

Eflorescências de cor branca espalhadas e que saem com facilidade com lavagem são típicas de sulfatos. Eflorescências de cor branca escorrida são típicas de carbonatos e são de difícil remoção. As de cor castanha indicam ferrugem, originadas pela presença de sais ou óxidos de ferro no barro ou peças metálicas presentes na massa. Também são difíceis de remover.

9. Criptoflorescências

Criptoflorescência indica florecimento escondido. É a formação de cristais ou sais no interior da massa. Ela não aparece mas pressiona a peça de dentro para fora, até rompe-la.

Normalmente estes sais formam cristais ao receber umidade, que aumentam de volume a medida que se hidratam mais. Também podem se formar nas rachaduras das alvenarias.

Materiais Técnicas e Estruturas I/ PUCRS/ Faculdade de Arquitetura- Profa: Maria Regina Costa Leggerini

1

CAPÍTULO III

MATERIAIS CERÂMICOS NA CONSTRUÇÃO CIVIL

– BLOCOS CERÂMICOS -

1. ALVENARIA

Alvenaria é a construção de estruturas e de paredes utilizando unidades ligadas entre si por argamassa. Estas unidades podem ser blocos (de cerâmica, de vidro ou de concreto) e pedras.

A alvenaria pode servir tanto para vedação ou como estrutura de uma edificação. Neste segundo caso, assume o nome de alvenaria estrutural.

A alvenaria é comumente usada em paredes de edificações, muros de arrimo e monumentos.

Os blocos mais comuns são os cerâmicos e os de concreto. Os blocos cerâmicos podem ser maciços (também conhecidos como tijolos) ou vazados. Os blocos de concreto são sempre vazados.

A alvenaria como material de construção possui cerca de 10.000 anos e tem origem na própria civilização, surgindo com a passagem do Homem de coletor a produtor, e de nômade à sedentário.

A simplicidade da técnica de construção, baseada na colocação de uma pedra sobre outra pedra, permitiu a sua sobrevivência até aos dias de hoje, obviamente adotando novos materiais e tecnologias industrializadas.

Até muito recentemente o interesse da comunidade técnica sobre a alvenaria foi muito reduzido, face à novidade e importância dos materiais de construção do século XX (aço e concreto).


2

Os trabalhos de alvenaria, incluindo os respectivos revestimentos, correspondem a cerca de 15 % do valor total da construção de edifícios. No entanto, as paredes de alvenaria têm, habitualmente, desempenhos incompatíveis com a sua importância funcional e econômica (cerca de 25% do total das anomalias em edifícios), por insuficiências ao nível da concepção e da execução, bem como ao nível da seleção dos materiais.

2. UNIDADES PARA EDIFICAÇÕES (TIJOLOS OU BLOCOS) :

Os tijolos ou blocos que compõem a alvenaria podem ser constituídos de diferentes materiais, sendo mais utilizados os cerâmicos ou de concreto.

Qualquer que seja o material utilizado as propriedades desejáveis são:

• Ter resistência à compressão adequada;

• Ter capacidade de aderir à argamassa tornando homogênea a parede;

• Possuir durabilidade frente aos agentes agressivos (umidade, variação de temperatura e ataque por agentes químicos);

• Possuir dimensões uniformes;

• Resistir ao fogo.

2.1 TIJOLOS MACIÇOS CERÂMICOS:

São blocos de barro comum, moldados com arestas vivas e retilíneas, obtidos pela queima da argila, que se dá em temperaturas em torno de 1000ºC.

2.1.1 Tipologia

Devem possuir a forma de um paralepípedo retângulo sendo suas dimensões nominais recomendadas pela NBR 8041 “ Tijolo Maciço Cerâmico para Alvenaria – Forma e Dimensões”:

Tabela 1 – Dimensões nominais Comprimento (mm) Largura (mm) Altura (mm)

190 90 57 190 90 90

Fonte : Transcrição da Tabela1 da NBR 7170

Devem possuir todas as faces planas, podendo apresentar rebaixos de fabricação em uma das faces de maior área.

É comum os tijolos apresentarem expansão devido à incorporação de umidade do ambiente. Em consequência é recomendado que se evite a utilização de blocos ou tijolos cerâmicos com menos de duas ou três semanas após saírem do forno.

2.1.2 Propriedades mecânicas


3

Os tijolos podem ser comuns ou especiais.

Os tijolos comuns são classificados em A, B ou C de acordo com as suas propriedades mecânicas prescritas pela NBR 7170 “ Tijolo maciço cerâmico para alvenaria”.

Sua resistência à compressão deve ser testada segundo encaminhamento prescrito pela NBR 6460 “ Tijolo maciço cerâmico para alvenaria – Verificação da resistência à compressão” e atender aos valores indicados pela tabela 2:

Tabela 2 – Resistência mínima à compressão Categoria Resistência à compressão

(MPa) A 1,5 B 2,5 C 4,0 Fonte: Transcrição da Tabela 2 da NBR 7170

Estudos realizados em conjunto pela CIENTEC, UNISINOS e SINDUSCON revelam que no Rio Grande do Sul as dimensões nominais não tem sido adotadas pelos oleiros e as resistências à compressão dos tijolos maciços são superiores às indicadas em norma.

Os tijolos e blocos cerâmicos possuem coeficiente de dilatação térmica pequeno, sendo adotado um valor médio de 6x10-6 /ºC.

Juntas de dilatação devem ser espaçadas de 12 à 15m, para evitar uma possível fissuração da alvenaria devido à expansão dos tijolos por incorporação de umidade, ou variação de temperatura.

Os tijolos maciços especiais podem ser fabricados em formato e especificações acordadas entre as partes mas nos quesitos não especificados devem prevalecer as condições da NBR 7170 e NBR 8041.

2.2 BLOCOS CERÂMICOS

São blocos vazados moldados com arestas vivas retilíneas, sendo os furos cilíndricos ou prismáticos. São produzidos a partir da queima da cerâmica vermelha. A sua conformação é obtida através da extrusão.

Durante este processo toda a umidade é expulsa e a matéria orgânica é queimada, ocorrendo a vitrificação com a fusão dos grãos de sílica.

2.2.1 Blocos de vedação

São blocos usados na construção das paredes de vedação.

No assentamento dos blocos cerâmicos de vedação os furos são geralmente dispostos horizontalmente, o que ocasiona a diminuição da resistência dos painéis de alvenaria.

2.2.2 Blocos portantes


4

São blocos usados na construção de paredes portantes. Devem ter furos dispostos na direção vertical.

Esta afirmativa se deve à diferença no mecanismo de ruptura de ambos, que no caso dos furos verticais formam indícios da situação de colapso, enquanto que no caso de furos horizontais o colapso é brusco e frágil, não sendo adequado seu uso como material estrutural.

2.2.3 Tipologia

Conforme mencionado, o processo de vitrificação nas faces do bloco compromete a aderência com a argamassa de assentamento ou revestimento. Por esta razão, as faces dos blocos são constituídas de ranhuras e saliências.

Suas dimensões nominais são recomendadas pela NBR 8042 “Bloco Cerâmico Vazado para Alvenaria – Formas e Dimensões” e estão dispostas na tabela 3:

Tabela 3 – Dimensões nominais para blocos de vedação e portantes comuns. Dimensões nominais ( mm) Dimensões comerciais

L x H x C (cm) Largura (L) Altura (H) Comprimento (C) 10x20x10 90 190 90 10x20x20 90 190 190 10x20x30 90 190 290 10x20x40 90 190 390 15x20x10 140 190 90 15x20x20 140 190 190 15x20x30 140 190 290 15x20x40 140 190 390 20x20x10 190 190 90 20x20x20 190 190 190 20x20x30 190 190 290 20x20x40 190 190 390

Fonte: Transcrição da Tabela 1 da NBR 7171


A resistência à compressão mínima dos blocos na área bruta deve atender aos valores indicados na tabela 3 da NBR 7171 “ Bloco Cerâmico para Alvenaria” que classifica os blocos em tipo A, B, C, D e F:


5

Tabela 4 – Resistência à compressão Tipo Resistência à compressão na

área bruta* (MPa) A 1,5

De vedação B 2,5 C 4,0 D 7,0

Portante

F 10,0 Fonte: Transcrição da Tabela 3 da NBR 7171

* Área bruta representa a área de qualquer uma das faces.

O ensaio de resistência à compressão destes blocos deve seguir método prescrito e especificado na NBR 6461 “Bloco Cerâmico para Alvenaria – Verificação da Resistência à Compressão”.

A inspeção dos lotes deve ser feita no local pelas partes e segue indicação da NBR 7171. Devem ser consideradas as suas dimensões, desvio em relação ao esquadro e planeza das faces.

Os blocos cerâmicos especiais podem ser fabricados em formato e especificações acordadas entre as partes mas nos quesitos não especificados devem prevalecer as condições da NBR 7171.

2.3 BLOCOS DE CONCRETO

2.3.1 Tipologia

Quanto às dimensões classificam-se em M20 e M15, conforme tabela abaixo:

Tabela 5 – Dimensões nominais

Dimensões Largura (mm) Altura (mm) Comprimento (mm)

M-20 190 190 390 ou190* M-15 140 190 390 ou 190*

Fonte : Transcrição de dados da NBR 6136 * meio bloco


Os blocos de concreto são classificados pela NBR 6136 “ Blocos Vazados de Concreto Simples para Alvenaria Estrutural” em classe A e B.

O bloco de classe A aplica-se à alvenarias externas sem revestimento devendo o bloco possuir resistência característica à compressão maior do que 6 MPa, além de sua capacidade de vedação.


6

O bloco de classe B aplica-se à alvenarias internas ou externas com revestimento devendo possuir resistência característica à compressão de no mínimo 4,5 Mpa.

A determinação das propriedades mecânicas de um bloco de concreto segue prescrições da NBR 7184 “ Blocos vazados de concreto simples para alvenaria – Determinação da resistência à compressão”.

As maiores empresas fabricam blocos que apresentam uma média de resistência à compressão de 12 à 15 MPa podendo atingir até 20 MPa.

3 ARGAMASSA DE ASSENTAMENTO

3.1. CONCEITO

É uma mistura de agregado miúdo (areia) com ligante obtendo consistência pastosa que endurece em contato com a água, ar ou tem secagem natural, aderindo à superfície assentada e adquirindo determinada resistência mecânica.

As argamassas, assim como o concreto, também são moles nas primeiras horas, e endurecem com o tempo, ganhando elevada resistência e durabilidade.

3.2. USOS

As argamassas são classificadas, segundo a sua finalidade, em: argamassas para assentamento e argamassas para revestimento.

3.2.1- Argamassas para assentamento

As argamassas para assentamento são usadas para unir blocos ou tijolos das alvenarias. Servem também para a colocação de azulejos, tacos, ladrilhos e cerâmica.

3.2.2- Argamassas para revestimento

Revestem as paredes dando acabamento desejado às superfícies. Além disto servem também para impermeabilizar superfícies, regularizar, tapar buracos, eliminar ondulações, nivelar e aprumar paredes, pisos e tetos;

As três primeiras fiadas de uma parede de blocos ou tijolos devem ser revestidas inicialmente com uma camada de argamassa de impermeabilização, que protege a parede contra a penetração da umidade.

Antes da argamassa de revestimento todas as paredes e tetos devem receber uma camada de Chapecó, qualquer que seja o acabamento. Sem o chapisco, que é à base do revestimento, as outras camadas podem descolar e até cair. Em alguns casos, como em muros, esse pode ser o único revestimento.

3.3 - CONSTITUIÇÃO DA ARGAMASSA

Os componentes da argamassa são: cimento, água, areia e outros materiais (ligantes). 3.3.1- Cimento Cimento é um pó fino que, em contato com a água, tem a propriedade de unir firmemente, como uma cola diversos tipos de materiais de construção. No mercado existem muitos tipos de cimento. A


7

diferença entre eles está na composição, mas todos atendem às exigências das Normas Técnicas Brasileiras.

3.3.2 – Areia

As areias também tem características desejáveis na constituição de uma argamassa.

Devem ter granulometria variada com grãos arredondados cujo diâmetro não deve exceder a metade da espessura da junta. O excesso de minerais argilosos contidos pode comprometer sua resistência à compressão e sua aderência.

A areia também deve ser isenta de materiais orgânicos.

No Rio Grande do Sul temos em abundância a areia quartsoza de rio.

3.3.3 - Água

A água a ser utilizada deve, também, ser limpa - sem barro, óleo, galhos, folhas e raízes.

3.3.4 - Ligantes

Os principais tipos de ligantes são:

• Barro

• Betume

• Gesso

• Cal

• Pozolanas

• Cal

• Saibro

• Colas ou adesivos

O cimento e a cal associados são atualmente os mais usados pois unem as propriedades e as vantagens da cal e do cimento.

Podemos citar como vantagens do cimento a boa resistência mecânica conferida e maior valor da aderência entre tijolo e argamassa.

A cal, virgem ou hidratada confere maior extensão de aderência, retentividade da água, trabalhabilidade, maior estanqueidade e endurecimento mais lento, permitindo pequenas acomodações da argamassa durante o assentamento.

A cal hidratada ainda tem a vantagem de ter a sua obtenção e o seu uso são regidos pelas Normas Técnicas Brasileiras; ter o o seu desempenho comprovado por institutos de pesquisa oficiais; a existência, no mercado, de marcas com selo de qualidade da ABPC - Associação Brasileira dos Produtores de Cal.

O saibro, o barro, o caulim e outros materiais locais podem ser usados de acordos com os procedimentos consagrados na região.

As colas e adesivos são empregados em reforços apenas em locais indicados.


8

3.4 - PROPRIEDADES

As propriedades desejáveis em uma argamasa de assentamento de alvenaria são:

• Trabalhabilidade;

• Retenção de água;

• Aderência;

• Resistência mecânica;

• Resiliência;

• Durabilidade;

3.4.1 Trabalhabilidade

É uma propriedade difícil de ser medida pois se considera consistência, plasticidade e coesão. A trabalhabilidade resulta no rolamento dos grãos de agregados, lubrificados pelo ligante.

Influem na trabalhabilidade a quantidade de água,a granulometria da areia e o aglomerante.

3.4.2 Retenção de água

É a capacidade de reter água que a argamassa tem quando em contato com os tijolos ou blocos. É relacionada com a tensão superficial da pasta aglomerante.

À fim de aumentar a retenção de água de uma argamassa, podem ser misturados aditivos aeradores, que impedem a percolação da água, ou cal, que devido à sua elevada superfície específica, apresenta grande capacidade adsortiva.

Quando não é garantida esta retenção de água, surgem problemas como: a retração excessiva do bloco pela adsorção da água da argamassa; diminuição da resistência da argamassa; menor capacidade de absorver deformações; prejuízo na hidratação do cimento ou carbonatação da cal; prejuízo à durabilidade e estanqueidade da parede devido ao aparecimento de fissuras.

3.4.3 Aderência

É a capacidade que a área de contato entre o bloco ou tijolo e a argamassa apresenta de absorver tensões tangenciais e de tração sem se romper.

A aderência é um fenômeno mecânico que se dá pela introdução da argamassa na superfície porosa ou rugosa de blocos ou tijolos.

3.4.4 Resistência à compressão

Deve-se trabalhar sempre com argamassas que apresentem resistência à compressão inferiores às dos blocos ou tijolos. Argamassas muito resistentes, com alto teor de cimento, apresentam grande fissuração, gerada por retração ou variação de temperatura. Isto acarreta prejuízo na estanqueidade de paredes. Por outro lado, a argamassa deve funcionar como um aviso de um possível problema.

3.4.5 Resiliência

Resiliência ou elasticidade é a capacidade da argamassa de deformar-se sem apresentar fissuras quando submetidas a solicitações, retornando à dimensão original quando cessam estas solicitações.

A resiliência esta inversamente relacionada com a resistência à compressão e com o seu módulo de elasticidade.


9

3.4.6 Durabilidade

È a capacidade da argamassa manter-se íntegra ao logo da sua vida útil.

A durabilidade de uma argamassa pode ser afetada pela retração na secagem, absorção da água da chuva, temperaturas de congelamento e agentes atmosféricos agressivos.

A evaporação da água de amassamento é a maior causa de retração, sendo, por isso, a maior responsável pelo aparecimento de fissuras.

A evaporação aumenta com a granulometria da areia, e com o maior teor de cimento da argamassa. O calor de hidratação depende do teor de cimento.

3.5 DOSAGEM DAS ARGAMASSAS

A dosagem da quantidade de cada componente das argamassas também é chamada de traço.

O traço das argamassas varia bastante, de acordo com a finalidade de aplicação. As tabelas seguintes apresentam os traços mais usuais para o preparo de argamassas no local da obra.

ARGAMASSA DE ASSENTAMENTO APLICAÇÃO TRAÇO

Cimento: Cal: Areia

INSTRUÇÕES DE USO

Regularização ou nivelamento de superfície

1:0: 3

A argamassa não deve ser muito mole

Fundação de blocos de concreto

2:1: 12

Indicado o bloco canaleta

Paredes de tijolos maciços de barro

1:2:8

Tijolos secos quando forem assentados. Assente as três primeiras fiadas com argamassa de impermeabilização.

Paredes de tijolos cerâmicos de 6 ou 8 furos

1:2:8

Idem acima

Azulejos

2:3:8

Azulejos devem pousar na água pelo menos de um dia para outro. Rejunte só após 3 dias.

Tacos

1:0:3

Lave a superfície antes do assentamento. Tacos e ladrilhos devem pousar em água pelo menos de um dia para outro. Rejunte

só após 1 dia.

Ladrilhos ou cerâmica

2:3:8

Lave a superfície antes do assentamento. Tacos e ladrilhos devem pousar em água pelo menos de um dia para outro. Rejunte

só após 1 dia. Paredes de blocos de

concreto

1:1:4


10

4 PAREDES DE ALVENARIA

As paredes são elementos estruturais, definidos como laminares (uma das dimensões muito menor do que as outras duas), apoiadas de modo contínuo em sua base.

4.1 TIPOLOGIA

De acordo com a sua utilização são classificadas em:

4.1.1 Paredes de vedação

São aquelas que resistem apenas ao seu próprio peso, e tem como função separar ambientes ou fechamento externo. Não tem responsabilidade estrutural.

4.1.2 Paredes estruturais ou portantes

Tem a finalidade de resistir ao seu peso próprio e outras cargas advindas de outros elementos estruturais tais como lajes, vigas, paredes de pavimentos superiores, carga de telhado, etc...

4.1.3 Paredes de contraventamento ou enrijecedoras

Paredes estruturais projetadas para enrijecer o conjunto, tornando-o capaz de resistir também a cargas horizontais como por exemplo o vento.

4.2 PROPRIEDADES MECÂNICAS

As paredes de alvenaria são uma combinação de unidades (tijolos ou blocos) e argamassa. Para que o conjunto trabalhe de modo eficiente é necessário que a argamassa ligue solidariamenre as unidades tornando o conjunto homogêneo.

A alvenaria tem bom comportamento à compressão, porém fraca resistência aos esforços de tração. A resistência das alvenarias à tração na direção vertical depende da aderência da argamassa à superfície dos tijolos.


11

Na direção horizontal a resistência à tração, provocada por esforços de flexão, recebe a contribuição da resistência ao cisalhamento que o transpasse das fiadas dos blocos proporciona.

A resistência à compressão das alvenarias é dependente de uma série de fatores, sendo os principais: a resistência à compressão dos tijolos, a resistência à compressão das argamassas, a espessura da junta de assentamento, a qualidade da mão-de-obra.

Para se determinar a resistência à compressão da alvenaria é necessário realizar o ensaio de prismas ou mini paredes, sendo mais comum a utilização de prismas devido ao elevado custo dos ensaios de mini paredes.

Prismas são corpos-de-prova que levam em consideração a interação entre as unidades e a argamassa na resistência à compressão do conjunto (alvenaria). Observe-se que os resultados dos ensaios mostram que a resistência à compressão dos prismas (fm) é menor do que a resistência à compressão das unidades (blocos) (fb) e é maior do que a resistência à compressão da argamassa (fa).

(fb) (fa) (fm)


12

Um estudo realizado pelo curso de Pós Graduação em Engenharia Civil da UFRGS, com o objetivo de conhecer a capacidade resistente da alvenaria, foram executadas mini paredes de tijolos maciços, objetivava conhecer a capacidade resistente das mesmas. Foram executadas mini-paredes com tijolos de 3 (três) categorias com 3 (três) tipos de argamassas, conforme quadros abaixo:

Tabela 6 – Argamassas ARGAMASSA Resistência média (Mpa)

A1 1,36 A2 2,62 A3 15,13

Tabela 7 – Tijolos

TIJOLO Resistência à compressão (Mpa) I 3,64 II 6,77 III 17,26

Tabela 8 - Alvenaria

ARGAMASSA TIJOLO I

TIJOLO II

TIJOLO III

MÉDIA (MPa)

A1 1,28 1,68 2,31 1,76 A2 1,43 1,93 2,73 2,03 A3 1,41 2,46 4,08 2,65

MÉDIA 1,373 2,023 3,04 2,14 A análise dos resultados mostra que a resistência das mini-paredes aumenta com o aumento da resistência das argamassas, mas o maior aumento, se obtém, quando a resistência do tijolo aumenta.

Existem diversas fórmulas para definir a resistência de uma parede, a partir da resistência da argamassa e dos blocos ou tijolos, dimensões e densidade dos blocos, altura da parede e condições de mão de obra. Uma delas é a fórmula de Haller, cuja expressão é:

( )( )( )2amassaargtijoloparede cm

Kgf em R048,081R15,01R +−+=

O coeficiente 0,048 corresponde a corpos de prova cilíndricos.

4.3 AMARRAÇÃO DAS PAREDES

Detalhes construtivos como amarração entre paredes, uniformidade, espessura e quantidade de juntas, excentricidades e planicidade das paredes também influem na resistência das mesmas. O controle e a fiscalização, durante a execução, devem ser rigorosamente excercidos.

Para que as paredes apresentem maior estabilidade é necessário a amarração das unidades de alvenaria, que é realizada com o trespasse do contrafiamento.

Este trespasse auxilia na resistência ao cisalhamento da parede.


13

Por outro lado, é importante que os cantos das paredes sejam excecutados corretamente, pois as guias de sua execução..

Abaixo algumas modalidades de excecução de canto de paredes, utilizando tijolos maciços e blocos estruturais. Nestes últimos a amarração é de suma importância, devido a necessidade de modulação das paredes.


14


15

4.4 TIPOS DE PAREDES

4.4.1 – Paredes de cutelo

A parede de cutelo é executada em tijolos maciços ou furados e é usada em divisórias sem função estrutural e sem instalações embutidas.

Consome em torno de 10 litros de argamassa por metro quadrado de parede e cerca de 40 unidades.

4.4.2 – Parede de 15, a meio tijolo ou meia vez

A parede a meio tijolo é executada em tijolos maciços ou furados e é usada em divisórias sem função estrutural ou estrutural .


4.4.3 – Parede de 20 ou 25

A parede de 20 é executada em tijolos maciços ou furados e é usada em paredes de vedação e com função estrutural. Adotada principalmente como parede externa ou divisa de economias.


Parede Inglesa ou em cruz


16

4.4.4. Parede de 30

A parede de 30 é executada em tijolos maciços ou furados e é usada em paredes de vedação externa e com função estrutural. Adotada principalmente como parede externa.


4.4.5 – Parede dupla

É usada em situações especiais, podendo assumir diversas formas.

Parede Holandeza

Parede Gótica


17

Normalmente as paredes duplas são usadas quando se faz necessário uma maior estanqueidade ou maior isolamento acústico e térmico.

4.5 EXCECUÇÃO DA ALVENARIA

4.5.1 Fundações

Seja como elemento estrutural ou como simples vedação, as alvenarias são sempre assentadas em cima de uma base. Esta pode ser o baldrame, alicerce ou algum outro elemento estrutural, acompanhe:

• Baldrame – Dá-se este nome à viga da fundação que serve justamente de base para a alvenaria, ficando ao rés do chão. O baldrame deve ser devidamente impermeabilizado, sendo preciso esperar ao menos um dia para a secagem completa da camada de impermeabilização antes de se iniciar a alvenaria sobre ele.

• Alicerce – Em pequenas obras, com fundação rasa, ou mesmo em obras que utilizam vigas baldrame, é preciso fazer levantar algumas fiadas de tijolos, devidamente impermeabilizadas, para interligar a fundação às paredes. Esta pequena parede costuma-se chamar de alicerce, frequentemente confundida com o baldrame, mas são coisas distintas.

• Elemento estrutural -- São vigas ou lajes de concreto armado, podendo também ser algum elemento da estrutura metálica. Em qualquer destes casos provavelmente estaremos falando de paredes longe do solo, no primeiro pavimento ou acima dele.

4.5.2 – Localização das paredes e planejamento

O projeto arquitetônico determinará se cada parede será de 1/2 tijolo, 1 tijolo ou até maior. Seja como for, o serviço sempre é iniciado pelos cantos principais, devidamente posicionados pelo mestre de obras que usará para isto o gabarito da obra, para paredes no térreo, ou a planta estrutural junto com a de arquitetura, para obras que tenham um ou mais pavimentos.

Feita esta localização das paredes no plano horizontal, resta fazer a localização das fiadas no plano vertical, o que deverá ser planejado com precisão.

O correto é prever quantas fiadas serão necessárias para alcançar a altura do respaldo das paredes evitando recortes no final destas. O levantamento da parede de modo desordenado, além de dar muito mais trabalho no acabamento, piora o aspecto e pode diminuir a resistência. É mais fácil de entender através de um exemplo: digamos que o baldrame esteja na cota -0,05 e o respaldo da parede (onde se apoiará a laje ou uma viga) estão na cota +2,75.

Paredes duplas


18

A parede terá, portanto 2,80m de altura. Se estivermos usando tijolo de 6cm de altura e com 1,5cm de argamassa serão 7,5 cm entre as fiadas. Portanto, teremos:

2,80 : 0,075 = 37,3 fiadas.

Não queremos trabalhar com este número quebrado, pois seria preciso faze um enchimento com massa para que a parede atingisse a cota prevista. Portanto vamos aumentar a quantidade de fiadas para 38, então teremos que passar a altura média da fiada para:

2,80m : 38 = 0,0737 = 7,37cm

Neste caso, como o tijolo em uso tem 6 cm de altura, a altura média da argamassa de assentamento será de:

7,37 – 6 = 1,37 cm.

Ao invés dos 1,5 cm previstos inicialmente.

Poderíamos também ter diminuído a quantidade de fiadas para 37, deixando a massa um pouco mais grossa, enfim, com esta continha inicial fazemos com que a última fiada da parede chegue exatamente na altura prevista em projeto.

4.5.3 Levantamento da parede

Feito este cálculo podemos fazer a régua (ou “cantilhão”), que nada mais é do que uma régua ou sarrafo perfeitamente reto onde marcamos as 37 fiadas e colocamos perfeitamente no prumo exatamente num dos cantos principais. Fazemos outra régua e colocamos na extremidade oposta, conforme mostra a figura abaixo:

Fazemos então a marcação da parede, usando o cantilhão devidamente alinhado e aprumado. Com isto, o pedreiro pode iniciar o levantamento da parede, sempre pelos cantos.

Coloca algumas fiadas de um lado e do outro, depois vai esticando a linha entre os dois lados e preenchendo o meio com uma fiada completa de tijolos -- claro, mantendo as devidas amarrações.

O pedreiro vai fazendo esta seqüência até o final, ou seja, até chegar ao respaldo da parede. Neste ponto, a parede esta estará perfeitamente nivelada, no prumo e na altura correta.


19

Este procedimento vai se repetindo ao longo de todas as paredes do mesmo pavimento. Alvenarias feitas com este cuidado são mais econômicas, economizando material e tempo de execução, além de ter maior resistência à compressão, sendo perfeitamente adequadas para uso como alvenaria estrutural.

Se o projeto arquitetônico prever alvenaria aparente, então o planejamento de cada parede e o levantamento com cantilhão são medidas obrigatórias, para não ficar aquele aspecto horrível de coisa mal feita e improvisada.

4.5.4. Classificação dos tijolos

Os tijolos que chegam à obra sempre contém certa porcentagem de peças partidas.

Estes pedaços podem ser aproveitados nos alicerces e nos travamentos das paredes de 1 tijolo. Se a parede for de ½ tijolo e revestida pode-se também usar estes pedaços, mas se a parede for de ½ tijolo e ficar à vista estes pedaços devem ser evitados pois atrapalham a amarração e ocasionam falhas no alinhamento e no prumo.

Mesmo que os tijolos venham da mesma olaria terão diferenças de dimensão entre si. Este é um fato natural, visto que indústria de tijolos utiliza métodos arcaicos, incapaz de controlar com precisão as variações de medida do próprio material -- argila, para cerâmica, ou cimento e areia, para blocos de concreto.

Justamente por estas variações de medida é que o pedreiro deve seguir estritamente a régua com a marcação (o cantilhão). Eventuais diferenças precisam ser compensadas a cada fiada para que, ao chegar no respaldo, esteja tudo devidamente ajustado. As diferenças de dimensão nos tijolos devem ser amortecidas a cada fiada, aumentando ou diminuindo a espessura da argamassa.

4.5.5. Cuidados a serem tomados

Para que se tenha uma alvenaria perfeita e que dure por muitas e muitas décadas é importante que a caso de tijolos comuns, ou a cada fiada, no caso de peças maiores como tijolo baiano ou bloco de concreto.

1 – As juntas devem ser desencontradas e no formato de amarração escolhida para cada parede. Deve-se evitar a sobreposição de juntas, que diminui a resistência da parede naquele ponto.

2– A espessura ideal da junta é de 1 cm, mas é aceitável que ela fique com até 1,5 cm. Eventuais variações devem ocorrer única e exclusivamente para ajustar a quantidade de fiadas à cota de respaldo da parede e também para compensar eventuais diferenças de medidas nos tijolos, mas sempre mantendo o nível da fiada e o prumo da parede.

3- Saliências maiores que 4,0 cm deverão ser previamente preenchidas com os próprios tijolos da alvenaria, sendo vetado o uso da argamassa para este tipo de enchimento. Além de mais caro, este tipo de enchimento torna-se um possível ponto de trinca por ter resistência e coeficiente de dilatação diferentes do restante da parede. 4- Não se deve cortar tijolo para formar espessura de parede, ou seja, a espessura da parede deve ser conseguida em função da largura do tijolo e não ao contrário.

5- Paredes apoiadas sobre vigas contínuas devem ser levantadas simultaneamente, ou seja, durante sua execução não devem ter diferença de altura superior a 1 m.


20

6- Quando a alvenaria estiver sendo usada apenas para vedação, ou seja, enchimento de vãos nas estruturas de concreto armado, são necessárias providências especiais para evitar que a alvenaria trinque junto à viga que fica imediatamente acima. A execução da parede deverá ser suspensa a uma distância de cerca de 20 cm do respaldo, para só depois de 1 ou 2 dias terminar a parede fazendo o que se chama de “encunhamento”. Este é feito com tijolos inclinados ou cortados em diagonal conforme mostra a figura ao lado. Deve-se tomar o cuidado de usar inclinações diferentes nas duas seções ou partes do painel.

7- Não executar paredes de meio-tijolo com comprimento maior que 5 m. Caso o pano seja maior que isto deve ser prevista uma ou mais colunas de amarração, feitas com concreto armado ou até mesmo com o próprio tijolo.

8- Não construir paredes de espessura inferiores a meio-tijolo. Em alguns poucos lugares, por motivos decorativos, pode ser aceitável fazer paredes com tijolos em espelho (¼ de tijolo) mas esta deverá ser estruturada, pois é muito frágil.

9- Vãos de porta devem ter uma vergas em cima do vão, e os peitoris das janelas devem ter contravergas. Com isto evita-se as trincas a 45º que aparecem nos cantos das portas e janelas em paredes mal feitas.

10- Para fazer laje de concreto armado apoiada em alvenaria aconselha-se a construção no respaldo, juntamente com a laje, de uma cinta de concreto armado com seção mínima de 11 x 11 cm. A função desta cinta é distribuir uniformemente tanto o peso da laje quanto sua movimentação, evitando trincas na alvenaria.

11- Cargas concentradas, caso de vigas apoiadas nas paredes, não deverão ficar apoiadas diretamente na alvenaria, mas sim em coxins de concreto armado. Se for uma viga madeira do telhado ou piso que precisa apoiar-se na alvenaria, este apoio pode ser feito com um pedaço da própria madeira ou de uma viga de madeira dura, de bitola 6x12 ou 6x16 cm.

5 ESTABILIDADE GLOBAL DE UMA EDIFICAÇÃO DE ALVENARIA NÃO ARMADA

5.1 ASPECTOS ARQUITETÔNICOS

A forma da edificação deve ser preferencialmente simétrica, contínua e robusta. Deve-se evitar as formas L, U T e X, pois encarecem a estrutura e dificultam os cálculos.

A utilização de um “núcleo rígido” (caixa de escadas, elevadores, etc) pode fornecer o contraventamento necessário à estabilidade da estrutura.

A simetria externa da edificação em planta também é importante para a diminuição dos esforços de torção no prédio.

A seguir algumas formas volumétricas boas


21

aceitáveis,

e ruins

O volume da edificação deve respeitar certas proporções entre largura (L), altura (H) e comprimrnto (C).


22

SITUAÇÃO C/L H/L Ideal 1 ≤ 1

Aceitável ≤4 ≤3 Ruim >4 >3

5.2 ASPECTOS ESTRUTURAIS

5.2.1 Paredes

Com a finalidade de garantir a uniformidade dos esforços laterais é recomendo que em cada direção (longitudinal e transversal), tenha-se um mínimo de paredes construídas

Para evitar os esforços de torção as paredes resistentes devem ser simétricas em planta.

Os vãos para janelas e portas deverão manter a mesma posição em todos os pavimentos, pois desencontros de aberturas podem provocar diminuição de rigidez e de resistência nas paredes.

Para que uma parede resistente tenha um bom desempenho estrutural, a relação entre a sua altura total no prédio e o seu comprimento não deve ser nem muito pequena e nem muito grande.

5.2.2 Lajes

As lajes funcionam como elementos enrijecedores das paredes. Para garantir esta função devem apresentar formas adequadas. A forma quadrada resiste melhor aos esforços de torção do que as retangulares.

As aberturas necessárias para a circulação vertical assim como escadas, elevadores, poços de luz e ventilação enfraquecem a rigidez da laje.

A solução ideal seria a de localizar estes elementos externos ao bloco da edificação, sendo aceitáveis aqueles que mantém a simetria da laje. O desenho abaixo ilustra este raciocínio:

H

C

L


23

6 REFORMAS EM PROJETOS ARQUITETÔNICOS COM ALVENARIA ESTRUTURAL

Sempre que pretendemos remover uma parede de alvenaria em uma edificação de estrutura mista, devemos nos cetificar de que esta parede não tem função estrutural.

Caso a remoção direta não seja possível, podemos optar por remoções parciais. Podemos aumentar o vão destas remoções, optando por aberturas em forma de arco.

O acima citado se constitui no famoso ‘efeito arco’ conhecido desde a antiguidade, onde eram construídos templos e monumentos de grande porte em blocos de pedra ou outros materiais resistentes apenas a compressão. Lembre-se que naquela época ainda não era empregada a técnica de reforço de zona tracionada com armaduras.

É claro que o tamanho do arco fica condicionado a carga que ele está submetido e a resistência da alvenaria empregada.

Se ainda assim esta solução não satisfaz, e a escolha pela remoção total for adotada, deveremos substituir a parede a ser removida por uma viga de concreto ou aço a ser dimensionada, adotando-se cuidados especiais quando da transmissão das cargas da edificação existente para o novo elemento.

É claro que esta solução não seria das mais econômicas, já que os cuidados na execução desta substituição devem ser minuciosos, pois a falta de escoramento dos pavimentos superiores, mesmo que por instantes pode ocasionar trincas e fissuras indesejáveis com possível comprometimento de toda a estrutura.

BOA ACEITÁVEL RUIM

Materiais Técnicas e Estruturas I/ PUCRS/ Faculdade de Arquitetura - Profa: Maria Regina Costa Leggerini / Mauren Aurich

CAPÍTULO IV

ARGAMASSA DE REVESTIMENTO

I. CONSIDERAÇÕES GERAIS

A alta competitividade do panorama econômico atual faz com que as empresas busquem um maior ganho de qualidade com redução de custos. A obtenção destes resultados passa pela racionalização da produção das diversas partes de uma edificação, desde o projeto até a execução.

O desempenho de cada parte se reflete no seu desempenho como um todo.

Vamos focar nos revestimentos de argamassa, muito utilizado, mas ainda verifica uma considerável existência de falhas e patologias, desperdício de material, mão de obra, tempo e consequentemente desperdício de recursos.

Como em qualquer segmento de uma construção a elaboração de um projeto com especificações e processos de produção detalhados, atinge sempre melhores resultados.

II. FUNÇÕES DO REVESTIMENTO DE ARGAMASSA

O revestimento de argamassa deve cumprir importantes funções:

1. Proteger os elementos de vedação da edificação da ação direta dos agentes agressivos.

2. Auxiliar das vedações nas suas funções de isolamento térmico e acústico, estanqueidade à água e gases.

3. Regularizar a superfície dos elementos de vedação, servindo de base regular para outro revestimento ou constituir-se no acabamento final.

4. Contribuir para a estética de vedações e fachadas.

Observe-se que não é função do revestimento dissimular imperfeições grosseiras da base assim como desaprumo e desalinho advindas da falta de cuidado na execução de estruturas ou paredes. Nestes casos ‘esconder na massa’ compromete seriamente o revestimento.

III. PROPRIEDADES DA ARGAMASSA DE REVESTIMENTO

A argamassa precisa de propriedades específicas para cumprir adequadamente suas funções tanto no estado fresco como endurecida.

ESTADO FRESCO ESTADO ENDURECIDO

Teor de ar e massa específica adequada Aderência

Trabalhabilidade Capacidade de absorver deformações

Aderência inicial Resistência mecânica

Retenção de água Resistência ao desgaste

Retração na secagem Durabilidade

A. TEOR DE AR E TRABALHABILIDADE

No estado fresco podemos avaliar estas propriedades com testes muito simples:


1. Deixa a colher de pedreiro penetrar facilmente sem ser fluida;

2. Mantém-se coesa no transporte;

3. Não adere à colher quando lançada;

4. Distribui-se facilmente e preenche todas as reentrâncias da base;

5. Não endurece rapidamente.

A presença da cal e incorporadores de ar melhora esta propriedade até um limite.

B. ADERÊNCIA INICIAL

Propriedade relacionada ao fenômeno mecânico que ocorre em superfícies porosas, pela ancoragem da argamassa na base. Se dá pela entrada da pasta nos poros, reentrâncias e saliências seguida pelo endurecimento progressivo.

A base de aplicação também tem participação através de sua porosidade, rugosidade e condições de limpeza da superfície de aplicação.

A argamassa deve ser comprimida após a sua aplicação em base limpa, rugosidade adequada e umedecida.

Muitas vezes se faz necessário o uso de chapisco para aumentar a aderência. Sobre a base é lançada uma mistura de cimento, água e areia que deve secar antes da aplicação da argamassa.

Chapisco tradicional lançado

Chapisco rolado


C. RETENÇÃO DE ÁGUA

A retenção permite que as reações de endurecimento sejam gradativas promovendo a adequada hidratação do cimento com ganho de resistência. Propicia a capacidade de absorver deformações e com isto aumenta a durabilidade e vedação.

A presença de cal e aditivos pode melhorar esta capacidade.

D. RETRAÇÃO NA SECAGEM

A retração ocorre devido à evaporação da água e pelas reações de hidratação e carbonatação dos aglomerantes. A retração rápida pode provocar o aparecimento de fissuras que podem ser prejudiciais, permitindo a percolação da água quando no estado endurecido.

Influem nesta propriedade o traço, a espessura e o intervalo de aplicação das camadas. O tempo de sarrafeameto e desempeno deve ser respeitado.

Argamassas com alto teor de cimento estão mais sujeitas à fissuração.

As camadas devem ser de aproximadamente 2,5 mm e o tempo de sarrafeamento é o necessário para a argamassa perder parte da água de amassamento.

E. ARGAMASSA ENDURECIDA

As propriedades da argamassa no estado endurecido dependem do seu estado fresco, ficando apenas a espessura das camadas, compressão após a aplicação e as juntas de trabalho como fator a ser controlado na execução.

As juntas devem ser compatíveis com as deformações, não sendo aconselhados panos muito extensos de argamassa sem juntas.

No caso do revestimento ser de duas camadas (emboço e reboco) o emboço cumpre a função de regularizar a base e o reboco de dar o acabamento.

IV – DOSAGEM OU TRAÇO

A definição da dosagem só é feita quando a argamassa é preparada no próprio canteiro de obra, pois as argamassas industriais já vêm definidas pelo fabricante, bastando avalia-las antes do emprego.

Devem ser consideradas as condições de exposição do revestimento, características da base, materiais envolvidos, condições de produção e custos.

É preciso determinar o traço e testa-lo antes do seu emprego.

A argamassa dosada em canteiro normalmente é composta por cimento, areia, cal e aditivos se necessário.

A medição normalmente é em volume da quantidade dos materiais empregados. Estes materiais são dosados e colocados no equipamento de mistura (betoneira ou argamassadeiras).

Devem-se eliminar materiais estranhos à dosagem e torrões.

A tabela a seguir relaciona os traços mais praticados nos diversos empregos. Isto não quer dizer que devam ser adotados, pois o estudo do traço em cada caso pode determinar diferentes dosagens.


TRAÇOS MAIS COMUNS (Medidas em Volume)

UTILIZAÇÃO CARACTERÍSTICA CIMENTO CAL AREIA CARACTERIZAÇÃO

DA AREIA Alvenaria de Tijolos Maciços

esp. 1 tijolo - 20 a 22cm 1 1,5 6 grossa comum

esp. 1/2 tijolo - 10 a 11cm 1 2 8 grossa lavada

esp. 1/4 tijolo - 5 a 6cm (cutelo)

1 2 8 grossa lavada

Alvenaria de Tijolos Laminados (maciços ou 21 furos)

esp. 1 tijolo - 20 a 22cm 1 1 6 grossa lavada

esp. 1/2 tijolo - 10 a 11cm 1 1 5 grossa lavada Alvenaria de Tijolos de 6 Furos

a chato 1 1,5 6 grossa comum

a espelho 1 2 8 grossa lavada Alvenaria de Tijolos de 8 Furos

a chato 1 1,5 6 grossa comum

a espelho 1 2 8 grossa lavada Alvenaria de Blocos de Concreto para Vedação

esp. 20cm 1 0,5 8 grossa lavada

esp. 15cm 1 0,5 8 grossa lavada esp. 10cm 1 0,5 6 grossa lavada Alvenaria de Blocos de Concreto Autoportantes

esp. 20cm 1 0,25 3 grossa lavada

esp. 15cm 1 0,25 3 grossa lavada Alvenaria de Blocos de Vidro

1 0,5 5 média lavada

Alvenaria de Pedras Irregulares

1 4 grossa comum

Alvenaria de Elementos Vazados de Concreto

esp. 6cm 1 3 média lavada

Chapisco sobre alvenaria 1 4 grossa lavada sobre concreto e tetos 1 3 grossa lavada Emboço interno, base para reboco 1 4 média lavada interno, base para cerâmica 1 1,25 5 média lavada interno, para tetos 1 2 9 média lavada externo, base para reboco 1 2 9 média lavada externo, base para cerâmica 1 2 8 média lavada Reboco interno, base para pintura 1 4 fina lavada externo, base para pintura 1 3 fina lavada barra lisa 1 1,5 fina lavada interno, para tetos, base

para pintura 1 2 fina lavada

Assentamento de Revestimentos

interno-cerâmicas 1 1 5 média lavada

externo-cerâmicas 1 0,5 5 média lavada

peitoris, soleiras e capeamentos

1 4 média lavada

Pisos base regularizadora para cerâmicas

1 5 grossa lavada

base regularizadora p/ pisos monolíticos

1 3 grossa lavada

base regularizadora p/ tacos 1 4 grossa lavada colocação de cerâmicas 1 0,5 5 média lavada colocação de tacos 1 4 média lavada cimentados alisados 1 3 fina lavada


1. Para a produção de argamassas, indicam-se os procedimentos abaixo:

• Para argamassas de uso imediato, os passos para mistura manual são: 1. Medir primeiro o agregado (areia) e esparramar para formar uma camada de

cerca de 12 cm de altura; 2. Sobre essa camada de areia colocar os aglomerantes (cal hidratada e cimento); 3. Mexer até formar uma mistura homogênea, depois, amontoar a mistura,

abrindo um espaço no meio para adição da água; 4. Adicionar e misturar a água aos poucos, evitando o excesso.

• Já para mistura mecânica o procedimento é o seguinte: 1. Ligar a betoneira (ou similar); 2. Colocar o agregado (areia); 3. Adicionar a metade da água; 4. Colocar os aglomerantes (cal hidratada e cimento); 5. Adicionar o resto da água, evitando sempre colocar em excesso; 6. Tempo de mistura: de 3 a 5 minutos.

Se for possível deixar a argamassa em “descanso”, por 16 a 24 horas, pode-se obter maior rendimento, melhor liga e redução das micro fissuras, entre outras vantagens. É a chamada argamassa intermediária, em que se misturam a cal hidratada e a areia, sem adicionar o cimento Portland. Depois da maturação, coloca-se o cimento no momento da aplicação.

V. PROJETO DE REVESTIMENTO

A elaboração de um projeto de revestimento é importante, pois apresenta um conjunto de informações relativas às características e a produção em questão.

Deve conter:

A. TIPO DE REVESTIMENTO COM O NÚMERO DE CAMADAS

Depende basicamente do tipo de base e do acabamento desejado. A argamassa pode ser de camada única, ou em duas camadas. No caso de apenas uma camada ela deve cumprir as duas funções: regularização da base e acabamento. Quando se opta por duas camadas, podemos usar duas argamassas com propriedades diferenciadas, adequadas ao cumprimento das funções específicas.

Revestimento com massa dupla Revestimento com massa única Revestimento com massa dupla Revestimento com massa única Revestimento com massa dupla


B. TIPO DE ARGAMASSA

Depende da base de aplicação e das condições de exposição do revestimento. No caso do preparo da argamassa ser em canteiro, os cuidados com a produção devem ser observados assim como a elaboração de um layout envolvendo a locação dos equipamentos, área de estocagem, e vias de transporte interno de materiais e equipamentos.

Ainda se tem a opção de adotar uma argamassa industrializada fornecida em sacos ou industrializada de silo. Nestes casos apenas é necessário contar com misturador e água.

Devem ser pesados fatores de desempenho e custo. Em canteiros de obra pouco espaçosos em geral se opta por argamassa industrializada.

C. ESPESSURA DAS CAMADAS

Depende do número e de camadas e da exposição do revestimento. Se forem necessários alguns ajustes em prumo e alinhamento da base, alguns cuidados devem ser tomados, como por exemplo, a aplicação em duas ou três demãos respeitando intervalos de pelo menos 16 horas entre elas além do encasquilhamento das primeiras camadas. Pode-se também adotar telas metálicas no revestimento.

As espessuras admissíveis de argamassa simples são indicadas pela NBR 13.749/96:

REVESTIMENTOS ESPESSURA (mm)

Paredes internas Entre 5 e 20

Paredes externas Entre 20 e 30

Tetos Menores do que 20

No caso de revestimento duplo, a camada de reboco não deve ultrapassar 5 mm.

A espessura do revestimento também não pode ser muito pequena, não ultrapassando os seguintes limites que são indicados abaixo, em função da base a ser recoberta.

TIPO DE BASE ESPESSURA MÍNIMA (mm)

Estrutura de concreto em pontos localizados 10

Alvenaria em pontos localizados 15

Vigas e pilares em regiões extensas 15

Alvenaria em regiões extensas 20

D. JUNTAS DE TRABALHO COM A DEFINIÇÃO DOS PANOS

Tem a função de subdividir o revestimento para aliviar as tensões provocadas pela movimentação da base e do próprio revestimento. Podem ser horizontais ou verticais e deve-se levar em conta o seu posicionamento, largura e material de preenchimento.

O espaçamento recomendado varia conforme fatores como características de deformidade do substrato, existência de aberturas e condições de exposição.

De uma forma geral estas juntas são mais freqüentes nos revestimentos de fachada. Nestes casos recomendam-se juntas horizontais a cada pavimento e verticais a cada 6 m, para painéis maiores do que 24 m2.

Devem-se localizar as juntas de preferência no encontro da alvenaria com a estrutura, no encontro de dois tipos de revestimento, peitoris, topos de janelas, acompanhando as juntas do substrato e as juntas estruturais.


A figura abaixo mostra um perfil de junta genérico recomendado.

Neste tipo de perfil a junta deve ter a profundidade igual à metade da espessura da camada de revestimento e no mínimo 15 mm, deixando 10 mm, pelo menos no fundo.

Esta junta deve ser executada logo após a conclusão do emboço ou massa única utilizando-se ferramentas adequadas (régua dupla com afastamento equivalente à largura da junta e frisador com o molde do perfil).

D. DETALHES ARQUITETÔNICOS E CONSTRUTIVOS

Os detalhes construtivos devem ser previstos no projeto para um melhor desempenho do revestimento. Existem diversos tipos de detalhes, sendo destacados as juntas de trabalho, os peitoris, as pingadeiras, as quinas e cantos e o reforço do revestimento por tela metálica.

São mais voltados para revestimentos de fachada.

O caso das juntas já foi citado.

O peitoril é um detalhe que protege a fachada da ação da chuva e precisa ser devidamente detalhado. Recomenda-se que o peitoril avance sobre a alvenaria na lateral por pelo menos 25 mm e apresente um canal na face inferior para o descolamento da água, denominado de pingadeira.

O caimento do peitoril deve ser de no mínimo 7%. Anda é recomendado um peitoril de pedra ou pré-moldado, com textura lisa e apresentando baixa permeabilidade à água.

O avanço lateral do peitoril evita concentração do fluxo de água nas laterais provocando manchas de umidade.


As pingadeiras são saliências ou projeções da fachada e que podem ser feitas com argamassa, pedras decorativas ou material cerâmico. Servem para o descolamento do fluxo de água sobre a fachada.

As pingadeiras de argamassa devem ser feitas após a conclusão do revestimento e estar associada a uma junta de trabalho. Devem avançar cerca de 40 mm do plano da fachada.

As pingadeiras de pedra ou cerâmica devem ser fixadas ao revestimento já concluído por uma argamassa colante aplicada sobre o revestimento e o tardos do componente cerâmico ou pedra. Deve avançar no mínimo 20 mm da superfície de revestimento e estar associada a uma junta de trabalho. Na face superior da faixa é necessário o acabamento com argamassa com inclinação de 45o.

As quinas e cantos também são detalhes, pois interferem na atividade de execução.

No caso das quinas o revestimento deve ficar inacabado cerca de 50 mm até a aresta em uma das faces, sendo complementada imediatamente antes do revestimento da outra face. O acabamento superficial do revestimento deve ser feito simultaneamente nos dois lados da


quina. É aconselhável que o acabamento das quinas seja feito com ferramenta adequada que são as desempenadeiras com lâmina dobrada à 90o.

O reforço do revestimento com tela metálica deve ser feito nas regiões de elevadas tensões como a interface alvenaria-estrutura. Estas regiões ocorrem nos pavimentos sobre pilotis e nos dois ou três últimos pavimentos da edificação.

Esta solução também é adotada em revestimentos de espessuras superiores às indicadas. Esta tela de reforço pode ficar imersa na camada de revestimento ou chumbada na alvenaria ou concreto por meio de fixadores. Neste último caso costuma-se usar uma fita de polietileno na interface alvenaria-estrutura para que as tensões sejam distribuídas efetivamente pela tela.


E. PREPARAÇÃO DA BASE

Este procedimento diz respeito às atividades de limpeza da estrutura e alvenaria, eliminação de irregularidades superficiais, remoção de incrustações metálicas e preenchimento de furos.

O chapiscamento também deve ser feito nesta fase.

A limpeza é feita por meio de escovação, lavagem ou jateamento de areia eliminando pó, barro, fuligem, graxas, óleos desmoldantes da estrutura, fungos e eflorescências.

A eliminação de irregularidades superficiais como as rebarbas de concretagem, excesso de argamassa nas juntas, remoção de incrustações metálicas também deve ser feita.

Devem ser feito o preenchimento de furos, rasgos e depressões com argamassa apropriada. Somente então se dá a aplicação do chapisco.

Podemos adotar o chapisco convencional, industrializado ou rolado.

O convencional é feito por lançamento de uma mistura adequada de cimento, areia e água. Tem a desvantagem de apresentar um enorme índice de desperdício em razão da reflexão do material.

O chapisco industrializado é semelhante à argamassa colante e é aplicado com uma desempenadeira dentada. Só deve ser usado em estruturas de concreto.

O chapisco rolado é constituído de uma mistura de cimento e areia e com adição de água ou resina acrílica. Tem a consistência bastante plástica e é aplicado com rolo para textura acrílica em demãos.


F. TÉCNICA MAIS ADEQUADA PARA A EXECUÇÃO

Antes de qualquer procedimento devem ser criadas as referências para a definição do plano a ser obtido, com a angulosidade prevista no projeto em relação aos revestimentos contíguos de paredes, teto e pisos.

É necessário que os planos das paredes estejam no prumo e os tetos em nível. No caso das fachadas estas referências são obtidas através da locação de arames posicionados de forma adequada, alinhados e em esquadro com a estrutura. A partir deste mapeamento é feita a definição da espessura do revestimento da fachada.

Nas paredes internas que apresentam aberturas, os marcos já assentados servem de referência de espessura, prumo e esquadro do revestimento.

A etapa seguinte é o taliscamento, consistindo na fixação de cacos cerâmicos, com a mesma argamassa de revestimento, em pontos específicos e respeitando a espessura definida.

Após esta etapa a execução das mestras que são faixas estreitas e contínuas de argamassa, que servem como guia para a execução do revestimento.

As mestras delimitam a região onde vai ser aplicada a argamassa.

Após a aplicação da argamassa deve ser feita uma compressão com a colher de pedreiro, eliminando espaços vazios e alisando a superfície.

É importante a aplicação seqüencial em cada trecho delimitado.

O sarrafeamento é então feito com a régua metálica apoiada sobre as mestras, de baixo para cima no momento que a argamassa atingir a consistência adequada.

Depois de um intervalo de tempo adequado, é feito o desempeno e o camurçamento. O desempeno consiste na movimentação circular de uma ferramenta, denominada desempenadeira, sobre a superfície da argamassa, podendo ou não exigir aspersão de água. O camurçamento consiste na fricção da superfície com um pedaço de esponja ou desempenadeira com espuma através de movimentos circulares. O camurçamento proporciona uma textura mais lisa e regular para as superfícies.

Os detalhes construtivos podem ser realizados junto com a execução do revestimento ou imediatamente após o desempeno e camurçamento.


No caso do revestimento em duas camadas, a última camada ou reboco pode ser executada após a execução dos detalhes.

VI. CONTROLE DA EXECUÇÃO

O controle da execução do revestimento envolve ações antes, durante e depois da execução.

A. ITENS CONTROLADOS ANTES DA EXECUÇÃO

1. Conclusão de todas as alvenarias envolvidas no revestimento;

2. Chumbamento dos contra marcos;

3. Conclusão das instalações elétricas e hidráulicas se houverem;

4. Proteção da fachada com tela no caso de revestimento externo;

5. Definição do traço de argamassa a ser utilizado;

6. Disponibilidade na obra do material a ser usado;

7. Organização do local da produção;

8. Disponibilidade de ferramentas e equipamentos necessários;

9. Disponibilidade de equipamentos de proteção individual e coletivo;

10. Definição das especificações do revestimento e dos procedimentos de execução e treinamento.

B. ITENS CONTROLADOS DURANTE E EXECUÇÃO

1. Preparação da base

2. Definição do plano de revestimento;

3. Taliscamento;

4. Locação de arames de diedro (prumo e nível) com definição de espessura de massa;

5. Produção da argamassa de revestimento;

6. Aplicação da argamassa e sarrafeamento;

7. Execução de reforços como telas metálicas se especificadas;

8. Estabelecer intervalo adequado para acabamento ou aplicação de segunda camada;

9. Execução das juntas de trabalho;

10. Execução de quinas e cantos;

11. Execução de peitoris;

12. Execução do reboco.

C. CONTROLE APÓS A CONLUSÃO

1. Completa finalização dos serviços;

2. Limpeza da superfície do revestimento;

3. Planeza, prumo e nivelamento das superfícies revestidas;

4. Esquadro e alinhamento das quinas e cantos;


5. Posicionamento de peitoris;

6. Posicionamento e nivelamento das juntas de trabalho;

7. Textura final da superfície;

8. Aparecimento de fissuras no revestimento;

9. Resistência de aderência do revestimento à base de aplicação.

VII. CONSIDERAÇÕES FINAIS

Estas notas foram elaboradas a partir da experiência de diversas empresas no projeto e execução de revestimentos de argamassa. Foi objetivada uma colocação de problemas de forma coordenada, visando possibilitar ao profissional da construção civil, a tomada de decisões fundamentais, antes do início da execução do trabalho, durante e após o término do mesmo.

A meta é sempre a obtenção de maior racionalização construtiva com melhores resultados de desempenho do revestimento e do edifício como um todo.

É um passo na direção da implantação de um sistema de gestão com qualidade.

Estruturas I – Faculdade de Arquitetura - PUCRS- Profas: Maria Regina Costa Leggerini / Sílvia Baptista Kalil

1

CAPÍTULO V

CISALHAMENTO CONVENCIONAL

I. ASPECTOS GERAIS

Conforme já foi visto, a tensão representa o efeito de um esforço sobre uma área.

Até aqui tratamos de peças submetidas a esforços normais a seção transversal da peça. Podemos ter casos em que a área que resiste ao esforço tem a mesma direção do esforço.

Nestes casos a tensão desenvolvida não é mais a tensão normal (ó) e sim a chamada tensão tangencial também chamada de tensão de cisalhamento.

Este nome tangencial descreve a direção da tensão em relação a seção de refer|ência (transversal). As tensões tangenciais são representadas pela letra grega ô.

Consideremos inicialmente um sistema formado por duas chapas de espessura "t" ligadas entre si por um pino de diametro "d", conforme esquematizado abaixo:

A largura destas chapas é representada por "l" e a ligação está sujeita à uma carga de tração "P".

Considerando-se o método das seções, se cortarmos a estrutura por uma seção "S", perpendicular ao eixo do pino e justamente no encontro das duas chapas, nesta seção de pino cortada devem ser desenvolvidos esforços que equilibrem o sistema isolado pelo corte. Então:

Isolando e aplicando as equações de equilíbrio:


2

Σ Fx = 0

Q - P = 0 ∴

Σ MS = 0

M - P.t/2 =0 ∴ M = P . t

2

Vimos então que as solicitações que se desenvolvem na seção de corte do pino são de Momento Fletor e Esforço Cortante, com os valores acima calculados.

II. CISALHAMENTO CONVENCIONAL

Conforme os cálculos acima efetuados, podemos notar que o valor do momento é pequeno já que estamos trabalhando com a união de chapas que, por definição, tem a sua espessura pequena em presença de suas demais dimensões.

Podemos, nestes casos, fazer uma aproximação, desprezando o efeito do momento fletor em presença do efeito do esforço cortante.

Isto facilitaria o desenvolvimento matemático do problema, mas teóricamente não é exato pois sabemos que momento e cortante são grandezas interligadas:

QdM

dx====

Em casos de ligações de peças de pequena espessura, como normalmente aparecem em ligações rebitadas, soldadas, parafusadas, pregadas e cavilhas, esta solução simplificada nos leva a resultados práticos bastante bons, e então adotaremos nestes casos, o cisalhamento aproximado, também chamado de cisalhamento convencional.

Conceito: O cisalhamento convencional é uma aproximação do cisalhamento real, onde o efeito do momento é desprezado.

Como teríamos apenas uma área sujeita à uma força contida em seu plano e passando pelo seu centro de gravidade, para o cálculo das tensões desenvolvidas adotaríamos a da distribuição uniforme, dividindo o valor da força atuante pela área de atuação da mesma, área esta denominada de ÁREA RESISTENTE, que deveria então ser o objeto da nossa análise.

Q = P


3

A distribuição uniforme nos diz que em cada ponto desta área a tensão tangencial teria o mesmo valor dada por:

resistdadesenvolvi

A

Q =ττττ

A lei exata da distribuição de tensões deve ser posteriormente estudada para os outros casos em que o cisalhamento convencional não é adotado.

EXERCÍCIOS

1. Uma guilhotina para cortes de chapas tem mesa com 2 metros de largura de corte e 450 kN de capacidade. Determinar as espessuras máximas de corte em toda a largura para as chapas :

a. Aço (τ = 220 MPa ) R: (a) 0.10 cm

b. Cobre (τ = 130 MPa ) (b) 0.17 cm

c. Alumínio (τ = 70 MPa ) (c) 0.32 cm

2. Considere-se o pino de 12.5 mm de diametro da junta da figura. A força "P" igual à 37.50 kN. Admita a distribuição de tensões de cisalhamento uniforme. Qual o valor destas tensões nos

planos a-a' e b-b'.

R: 1.528 Kgf/cm2


4

3. De acôrdo com a figura, a força P tende a fazer com que a peça superior (1) deslize sobre a inferior (2). Sendo P = 4.000 Kgf, qual a tensão desenvolvida no plano de contato entre as duas peças?

R: 4,71 kN/cm2

4. O aço de baixo teor de carbono usado em estruturas tem limite de resistência ao cisalhamento de 31 kN/cm2 . Pede-se a força P necessária para se fazer um furo de 2.5 cm de diametro, em uma chapa deste aço com 3/8" de espessura.

R: 231,91 kN

5. Considere-se o corpo de prova da figura, de seção transversal retangular 2.5 x 5 cm, usado para testar a resistência a tração da madeira. Sendo para a peroba de 1,3 kN/cm2 a tensão de ruptura ao cisalhamento, pede-se determinar comprimento mínimo "a" indicado, para que a ruptura se de por tração e não por cisalhamento nos encaixes do corpo de prova. Sabe-se que a carga de ruptura do corpo por tração é de 10,4 kN.


5

R: a ≥ 0.8 cm

6. As peças de madeira A e B são ligadas por cobrejuntas de madeira que são colados nas superfície de contato com as peças. Deixa-se uma folga de 8 mm entre as extremidades de A e B . Determine o valor do comprimento "L"para que a tensão de cisalhamento nas superfícies coladas não ultrapasse 0,8 kN/cm2.

R: 308 mm

7. Ao se aplicar a força indicada, a peça de madeira se rompe por corte ao longo da superfície tracejada. Determine a tensão de cisalhamento média na superfície de ruptura.

R: 6 MPa

L


6

8. Sabendo que a tensão de ruptura ao cisalhamento de uma chapa de aço é de 330 MPa, determine:

a. A força necessária para produzir por punção um furo de 30 mm de diametro em uma

chapa com 9 mm de espessura.b. A tensão normal correspondente no furador.

R: (a) 279,91 kN (b) 39,59 kN/cm2

9. A placa indicada na figura é presa à base por meio de 3 parafusos de aço. A tensão de cisalhamento última do aço é de 331 MPa. Utilizando-se um coeficiente de segurança de 3,5 determine o diametro do parafuso à ser usado.

R: 22 mm


7

10. A ligação AB está sujeita à uma força de tração de 27 kN. Determine:

a. O diametro "d"do pino no qual a tensão média permitida é de 100 MPa. b. A dimensão "b"da barra para a qual a máxima tensão normal será de 120 MPa.

R: (a) 1,85 cm (b) 3,75 cm

11. Quais as distancias "a" e "b" necessárias para os entalhes na peça horizontal da treliça indicada?

Todas as peças tem seção transversal de 0,20 x 0,20 m. Admitir a tensão de cisalhamento da madeira de 3,5 MPa e utilizar coeficiente de segurança 5.

R : a ≅ b ≅24 cm

Parte 4 Dimensionamento de vigas de madeira serrada

I . Critérios adotados: Quando do dimensionamento de uma viga de madeira serrada devemos adotar os critérios de: Limitação de tensões Limitação de deformações

I.A. Limitação de tensões: Devido à atuação do momento fletor as vigas estão sujeitas a tensões normais de tração (σt) e

compressão (σc) longitudinais, portanto paralelas às fibras.

Nos locais de aplicação das cargas e apoios estão submetidas a tensões de compressão normais (σc90) as fibras.

Estão sujeitas, ainda, a tensões cisalhantes na direção normal as fibras (τ) e na direção paralela às fibras (τ).

As vigas altas e esbeltas podem sofrer flambagem lateral, um tipo de instabilidade em que as vigas perdem o equilíbrio no plano principal de flexão e passam a apresentar deslocamentos laterais e torção em torno do eixo longitudinal. A flambagem lateral pode ser evitada prevendo-se travamentos em pontos intermediários da viga.

Para segurança em relação aos estados limites últimos as tensões solicitantes de projeto devem ser menores que as tensões resistentes.

I.A.1. Tensões Normais As tensões normais são provenientes da flexão e serão verificadas considerando-se para a viga

um vão teórico igual ao menor dos dois valores abaixo:

a) distância entre eixos dos apoios;

b) vão livre acrescido da altura da seção transversal da peça no meio do vão, não se considerando acréscimo maior que 10 cm.

P

P

S1 S2

S1’ S2’

Estruturas de Madeira

Eduardo Azambuja e Antônio Patrício Mattos

2

σmáxT = Jx

Mx . ymáxT σmáxC = Jx

Mx. ymáxC

ymáxT = |ymáxC | = 2

h

σmáxT = |σmáxC| =

2

h

Jx

Mx

Onde:

Mx – Momento fletor atuante na seção em estudo;

Jx – momento de inércia da seção;

h – altura da seção da viga.

Condições:

σmáxT todf≤ σmáxC codf≤

S2 S2’

M M

S1 S1’

Mx

Mx

σmáxC

σmáxT

LN



3

I.A.2. Tensão de cisalhamento O cisalhamento de peças fletidas de madeira pode ser entendido como um esforço existente

entre as fibras, na direção longitudinal da viga, causado pela força cortante atuante.

Este efeito é significativo em vigas com alta relação vão/altura, acima de 21.

a. Vigas maciças:

O cálculo da tensão de cisalhamento é feita convencionalmente de acordo com a expressão Jourawsky:

xmáx J.b

S.Q=τ

Onde: Q – esforço cortante da seção em análise; S – Momento estático de parte da seção em relação à LN B – largura da seção na altura da LN Jx – momento de inércia da seção em relação à LN. No caso das seções retangulares podemos simplificar a fórmula para;

bh

Q

2

3d =τ

A condição de estabilidade será:

d,fvod ≤τ

Numa avaliação simplificada:

fv0,d=0,12 fc0,d nas coníferas fv0,d=0,10 fc0,d nas dicotiledôneas

Observação – A fórmula acima é válida para peças retangulares e não deve ser usada para outras seções. Para uma seção retangular que tenha h = 2b, a tensão máxima calculada pelo método mais rigoroso de Saint-Venant é cerca de 3% maior que o calculado pela for-mula acima. Se a peça for quadrada o erro é de aproximadamente 12%. Se b = 4h, o erro será de aproximadamente 100% (Mecânica dos Materiais – Riley, Sturges e Morris - LTC Editora). Para se preservar dos erros inerentes dessa formulação, evite vigas esbeltas e curtas com grandes carregamentos, o que pode ser feito com o aumento da largura , mantendo-se h = 2b.

b. Vigas maciças com entalhe

Havendo entalhes no bordo tracionado da viga, de modo que a altura seja reduzida de h para h', a tensão cisalhante na seção mais fraca deve ser ampliada pelo fator h/h', obtendo-se no caso de seção retangular:

com a condição de ser satisfeita a restrição h'> 0,75 h.

'h

h

'bh

V

2

3 dd ⋅⋅=τ



4

Quando h'≤ 0,75 h, a fim de neutralizar a tendência de fendilhamento da viga, recomenda-se o emprego de parafusos verticais dimensionados à tração axial para a totalidade da força cortante a ser transmitida ou o emprego de mísulas de comprimento não menor de três vezes a altura do entalhe. Entretanto, o limite absoluto h' ≥ 0,5 h deve ser sempre respeitado em todas as situações.

I.B – Limitação das deformações

Na verificação da segurança das estruturas de madeira são usualmente considerados os estados limites de utilização caracterizados por:

a) Deformações excessivas, que afetam a utilização normal da construção ou comprometem seu aspecto estético;

b) Danos em materiais não estruturais da construção em decorrência de deformações da estrutura;

c) Vibrações excessivas.

Em casos simples a verificação é feita apenas em relação ao estado limite de utilização que limita deformações excessivas.

Em relação às deformações excessivas, os deslocamentos finais (instantâneos mais os de fluência) devem ser inferiores a valores limites a fim de evitar a ocorrência de danos em elementos ligados a viga e desconforto dos usuários.

A condição será:

limef ff ≤

Onde f ef é a flecha da viga em função de seu carregamento e f lim o valor que a norma permite para vigas de madeira de acordo com as seguintes situações:

'hh'h 'hh

α

31≤αtg



5

CÁLCULO DE FLECHAS EFETIVAS

Deflexões e flechas

Flechas limite Combinação das ações L Flecha limite

Vão entre apoios 200

Lfff QGlim =+=

Comprimento do balanço 100

Lfff QGlim =+=

Construções correntes kj

n

jj

m

ikiutid QGF ,

12

1,, ∑∑

==+= ψ

Contraflecha: Go f32f ≤


Lfff QGlim =+=

Construções com materiais frágeis não estruturais

ligados á estrutura

j

n

jjk

m

ikiutid QQGF

22,11

1,, ∑∑

==++= ψψ

Comprimento do

balanço 175

Lfff QGlim =+=


Lfff QGlim =+=

Quando for importante

impedir defeitos decorrentes de deformações da

estrutura

kj

n

jjk

m

ikiutid QQGF ,

21,1

1,, ∑∑

==++= ψ

Comprimento do

balanço 175

Lfff QGlim =+=

EI384

qL5 4( )323 xLx2LEI24

qx +−8

qL2

4

FL ( )22 x4L3EI48

Fx −EI48

FL3

( ) ax0xa3aL3EI6

Fx 22 ≤≤−− a

( )22 a4L3EI24

Fa −

( )2

Lxaax3Lx3

EI6

Fa 22 ≤≤−− a

Fa

teCEIViga =⇒ deflexãoy = flechaf =

2

qL2

− ( )222

xLx4L6EI24

qx +−EI8

qL4

Fa−

FL− ( )xl3EI6

Fx2

−EI3

FL3

( ) ax0xa3EI6

Fx2

≤≤− a

( ) Lxaax3EI6

Fa2

≤≤− a

( )aL3EI6

Fa2

−

q

F

F F

q

F

F

a aL

aL

máxM

Deflexões e flechas



6

As seções transversais de peças utilizadas nas vigas ou em outras peças estruturais devem ter certas dimensões mínimas para evitar fendilhamentos ou flexibilidade exagerada. As dimensões mínimas especificadas pela Norma NBR 7190, são as da tabela seguinte:

Dimensões mínimas das seções retangulares

Espessura

mínima (cm) Área

mínima (cm2) Seção

mínima (cm×cm) Peças principais – seções simples 5 50 5×10 Peças componentes de seções múltiplas 2,5 35 2,5×14 Peças secundárias – seções simples 2,5 18 2,5×7,5 Peças componentes de seções múltiplas 1,8 18 1,8×10

No Brasil, as vigas de madeira maciça são ainda as que têm maior utilização. Em geral,

utiliza-se madeira serrada, em dimensões nem sempre as padronizadas pela ABNT e comprimentos limitados de cerca de 5m.

A determinação das deformações nas vigas também deve ser feita levando em conta as classes de umidade que serão mantidas durante a vida útil da construção e as classes de carregamento. A consideração dos efeitos da umidade e da duração do carregamento é feita através do módulo de elasticidade efetivo paralelo às fibras Ec0,ef , determinado pela expressão:

I.C. Estabilidade lateral

O problema de estabilidade lateral na flexão não é uma flambagem, mas um problema de torção

m,0c3mod2mod1modef,0c EkkkE =



7

As vigas esbeltas apresentam o fenômeno da flambagem lateral, que é uma forma de instabilidade envolvendo flexão e torção. A flambagem lateral pode ser evitada por amarrações que impeçam a torção da viga. Para vigas de seção retangular, existem estudos teóricos comprovados experimentalmente. A seguir, apenas com o objetivo de fornecer uma simples orientação preliminar, estão algumas recomendações de ordem prática.



8

As vigas de seções circulares, quadradas e as retangulares apoiadas no maior lado não necessitam de contenção lateral nos apoios, nem estão sujeitas a flambagem lateral.

As vigas retangulares, quando h > 2b, devem ter contenção lateral nos apoios, a fim de impedir a rotação das seções extremas em torno do eixo longitudinal da viga.

A contenção em pontos intermediários pode ser feita com diafragmas, ligando as partes comprimidas e tracionadas entre as vigas adjacentes. A contenção lateral das vigas também é eficaz, quando se prega sobre as mesmas um soalho de madeira compensada. Se o soalho for de tábuas, deve-se usar pelo menos dois pregos por tábua, a fim de garantir a rigidez da ligação das vigas com as tábuas. A prática norte-americana aconselha as seguintes regras construtivas para a contenção lateral de vigas retangulares de madeira:

h ≤ 2b → não há necessidade de suportes laterais, nem de amarração lateral; h = 3b → contenção lateral nos apoios, sem necessidade de amarração intermediária; h = 4b → contenção lateral nos apoios; alinhamento da viga com auxílio de terças ou

tirantes; h = 5b → contenção lateral nos apoios; o alinhamento do bordo comprimido deve ser

mantido rigidamente em posição com o soalho ou por meio de travessas; h = 6b → igual ao item anterior, acrescentando-se diafragmas ou escoras intermediárias

com espaçamento menor que 6h; h = 7b → contenção lateral nos apoios; bordos comprimido e tracionado firmemente

amarrados, de modo a manter os seus alinhamentos.

b

h



9

Recomendações da ABNT

A NBR7190, recomenda que as vigas fletidas, além de satisfazerem as condições de segurança quanto à limitação de tensões e deformações, devem ter sua estabilidade lateral verificada por teoria cuja validade tenha sido verificada experimentalmente.

Entretanto, essa verificação de segurança em relação ao estado limite último de instabilidade

lateral é dispensada quando forem satisfeitas as seguintes condições:

♣ Os apoios de extremidade da viga impedirem a rotação de suas seções extremas em torno do eixo longitudinal da viga;

♣ Existirem um conjunto de elementos de travamento ao longo do comprimento L da viga, afastados entre si a uma distância não maior que L1, que também impeçam a rotação dessas seções transversais em torno do eixo longitudinal da viga;

♣ Para as vigas de seção transversal retangular, de largura b e altura h medida no plano de atuação do carregamento:

d,0cM

ef,0c

f

E

b

a

β≤

Onde:

Ec0,ef é o módulo de elasticidade efetivo; fco,d é a resistência de cálculo à compressão paralela às fibras; a é a distância máxima entre contraventamentos.ou travamentos intermediários.

A tabela abaixo dá os valores de βM para carregamento normal

h/b 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 βM 6,0 8,8 12,3 15,9 19,5 23,1 26,7 30,3 34,0 37,6 41,2 44,8

1

MATERIAIS TÉCNICAS E ESTRUTURAS II

MADEIRACARACTERÍSTICAS E

PROPRIEDADES

MADEIRA

Parte sólida dos troncos das árvores, que se encontra dentro da sua casca.

Material elástico, de pouco peso, isolante e fácil de trabalhar.

2

MADEIRA

Produto Natural;

Proveniente de vegetais completos (flores, folhas, caule e raízes)

MADEIRA

De acordo com a germinação e crescimento:

ENDÓGENAS – desenvolvimento de dentro para fora –não servem para estruturas

Palmeiras; Bambus...

EXÓGENAS – desenvolvimento de fora para dentro –servem para produção estrutural

Ipê; Peroba; Pinho do Pará...

3

Seção Transversal

MEDULA

•Centro do tronco

•Forma cilíndrica

•Mais macia do que a madeira envolvente

Seção Transversal

CERNE

•Tecido lenhoso

•Cor escura

•Usada na construção

4

Seção Transversal

BORNE

•Cor clara

•Circulação da seiva

•Camada mais jovem que se transforma em cerne

Seção Transversal

CÂMBIO VASCULAR

•Dá origem àmadeira

5

Seção Transversal

LÍBER

•Camada geradora da casca

•Circula a seixa elaborada

Seção Transversal

CASCA

•Camada protetora dos tecidos da árvore

6

Seção Transversal

RAIOS LENHOSOS

•Lâminas radias mortas no cerne e vivas no borne

•Favorecem o fendilhamento da madeira

Propriedades Físicas

•Anisotropia

•Umidade

•Dureza

•Dilatação térmica

•Retração e inchamento

7

AnisotropiaDiz-se de um corpo fisicamente homogêneo, mas cujos valores de certas propriedades físicas e químicas variam com a direção: longitudinal, radial e transversal.

ltransversa.Dir

radial.Dir

allongitudin.Dir

ltransversa.Dir

radial.Dir

allongitudin.Dir

Umidade

ÁGUA DE CONSTITUIÇÃO

é a parte integrante da matéria lenhosa

ÁGUA DE IMPREGNAÇÃO OU ADESÃO

retida pelas membranas ou paredes de matéria lenhosa

ÁGUA LIVRE

enche as fibras lenhosas, desaparece depois do derrube ou corte da árvore

8

DurezaDepende de fatores como:

•Quanto mais velha – maior será a dureza;

•A madeira do cerne é mais dura do que a do borne;

•A madeira de árvores de crescimento lento émais dura do que as de crescimento rápido

Dilatação Térmica

A dilatação térmica é minorada pela retração, que age no sentido contrário, devido a perda de umidade que acompanha o aumento de temperatura.

O coeficiente de dilatação na direção transversal é 8x maior do que na direção longitudinal.

9

Retração e inchamentoÉ a propriedade de alterar suas dimensões e volume quando o teor de umidade varia até30% de umidade.

Abaixo de 30% de umidade o inchamento e a retração são proporcionais ao teor de umidade.

ANTÔNIO PRADO

CASA CARLOS ROTTA FILHO

Data da construção:entre 1930 e 1931

Residencial

10

ANTÔNIO PRADO

CASA ANTÔNIO GUERRA

Data da construção:entre 1900 e 1910

Residencial

ANTÔNIO PRADO

CASA NAPOLEÃO DALLA ZEN

Data da construção:em 1917

Comercial (curtume)

Residencial

11

ANTÔNIO PRADO

CASA LUIZ SGARBI

Data da construção:em 1914

Escola Pública

CURITIBA

Memorial da imigração polonesa, inaugurado em 13 de dezembro de 1980, na visita do Papa João Paulo II a Curitiba.

12

SÃO PAULO

Ponte MLC -USP/ 2 - Campus

São Carlos-SP

Defeitos

NÓS

•Se formam nos pontos em que os ramos se unem ao tronco

•Diminui o valor da madeira

•Reduz a resistência

•Dá origem a fendas

13

Defeitos

FIBRA TORCIDA OU REVIRADA

•As fibras não se desenvolvem paralelamente ao eixo, mas sim em espiral.

•Devem ser utilizadas apenas como estacas, postes , pilares sem função estrutural.

Defeitos

MADEIRA ENCURVADA

•Árvores cujos troncos não cresceram retas.

•Se o comprimento for pouco extenso, pode-se utilizar como barrotes.

14

Defeitos

EXCENTRICIDADE DA MEDULA

•Devido ao vento e a proximidade de rochas, aparece a medula descentrada.

•Se for pequena, não diminui as qualidades da madeiras. Caso contrário, reduz elasticidade e resistência.

Defeitos

IRREGULARIDADES DOS ANÉIS DE CRESCIMENTO

•Causado por bruscas alterações no desenvolvimento da árvore

•Tem menos valor comercial, por ser pouco elástica e se partir com facilidade

15

Defeitos

FENDAS

•Rachas no sentido longitudinal, devido aos gelos e também àinsolação e dessecação da madeira

Defeitos

FENDAS ANELARES

•São rachas largas que desintegram os raios medulares

•Inutilizam totalmente a madeira

16

Defeitos

FENDAS ACEBOLADAS

•Separação circular dos anéis decrescimento

•Originam-se do frio e do vento intenso.

•A madeira desseca-se

Defeitos

FENDAS EM PATA-DE-GALINHA

•Chegam até o borne e/ou até a superfície exterior

•Acontece devido ao envelhecimento da medula

17

Defeitos

DUPLO BORNE

•Deve-se aos frios intensos e prolongados que impedem a transformação do câmbio vascular em borne e deste em cerne, ficando morta uma zona do borne.

Variação das Propriedades

•Posição de origem na árvore

•Maior resistência na base e nas camadas inferiores do tronco

•Maior resistência no cerne do que no borne

•Influência de defeitos

•Classificam as madeiras estruturais em:

•Primeira, segunda e terceira categoria

18


•Influência de umidade

•A resistência diminui até atingir o ponto de saturação das fibras de 30%, após este nível permanece constante.

•Influência de temperatura

•A resistência sofre redução com o aumento da temperatura e vice-versa.

•Fluência da madeira

•Deformação lenta sob a ação de cargas demoradas.


•Relaxação

•Em deformação constante a tensão elástica sofre relaxação.

•Ruptura retardada

•Submetida a cargas durante longo período, a peça estrutural poderá romper-se após dias ou meses.

19


•Resistência a efeitos dinâmicos

•A resistência é maior para cargas de longa duração.

•Resistência à fadiga

•A resistência à fadiga, em geral é maior à dos metais.

Classificação das madeirasde construção

•Maciças

•Madeira bruta – usada em forma de troncos para postes, escoramentos, estacas, etc.

•Madeira falquejada – seção quadrada ou retangular, utilizada em postes de madeira, cortinas cravadas, estacas.

•Madeira serrada – mais utilizada. Os troncos são desdobrados nas serrarias em dimensões “padronizadas”.

20

•Industrializadas

•Madeira laminada e colada – usada largamente na Europa. A madeira é cortada em lâminas e coladas sob pressão com adesivo àprova de água.

•Madeira compensada – as lâminas são coladas com as fibras em sentido alternado.


•Industrializadas

•Madeira reconstituída – as fibras são unidas por pressão com ou sem adição de ligante.

•Madeira aglomerada – formada por lâminas impregnadas de material ligante. Sem fim estrutural.


21

MDF

•MDF – medium density fiberboard

•é uma chapa fabricada a partir da aglutinação de fibras de madeira com resinas sintéticas e ação conjunta de temperatura e pressão. Para a obtenção das fibras, a madeira é cortada em pequenos cavacos que, em seguida, são triturados por equipamentos denominados desfibradores.

HDF•HDF – high density fiberboard

•São chapas com resistências físico-mecânicas melhoradas para aplicações que requeiram alta resistência à flexão, suportando pesos elevados ou repetidos impactos.

•Estas chapas obtêm-se aumentando a quantidade de fibras, de resina aglutinante, e modificando o ciclo produtivo.

•Uso em: escadas, prateleiras industriais, tampos de bancadas industriais, estruturas de mesas, componentes de cadeiras, assoalhos.

24

Classificação comercial da madeira

Quanto à resistência:

• Duras – Provenientes de árvores frondosas e de crescimento lento (Dicotiledôneas, que possuem folhas achatadas e largas). Exemplo: Ipê, Aroeira e Carvalho

•Macias – Provenientes em geral das coníferas. Tem folhas em forma de agulhas ou escamas e apresentam crescimento rápido. Exemplo: Pinho e eucalipto.

Classificação comercial da madeira

Quanto ao número de defeitos:

• Primeira – Isentas de defeitos pela inspeção do método visual normalizado e enquadradas nas tabelas 8 e 9 da NBR 7190 em relação a sua resistência. Cada tipo de madeira deve no mínimo atingir determinada resistência.

• Segunda – Quando não atender aos critérios acima.

25

Ensaios de Norma

NBR 7190/1997

Projeto de estruturas de madeira

• Medidas de propriedades físicas

•Umidade

•Densidade

•Dureza

Ensaios de NormaNBR 7190/1997


• Medidas de propriedades mecânicas

•Compressão paralela e normal às fibras

•Tração paralela e normal às fibras

•Flexão

•Cisalhamento paralelo às fibras, na lâmina de cola

•Fendilhamento

•Resistência à tração na emendas

•Resistência nas ligações mecânicas

26

Ensaios de Norma

NBR 7190/1997


• Medidas de resistência dinâmica

•Resistência aos impacto na flexão

Classe de Madeiras

27

Classe de Madeiras

Classe de Madeiras

28

Classe de Madeiras

Formas Comerciais

Pranchão_________________ 15,0 x 23,0 cm Pranchão_________________ 10,0 x 20,0 cmPranchão_________________ 7,5 x 23,0 cm

Viga_________________ 15,0 x 15,0 cm Viga_________________ 7,5 x 15,0 cm Viga_________________ 7,5 x 11,5 cm Viga_________________ 5,0 x 20,0 cm Viga_________________ 5,0 x 15,0 cm

29

Formas Comerciais

Caibro_________________ 7,5 x 5,0 cm Caibro_________________ 5,0 x 7,0 cmCaibro_________________ 5,0 x 6,0 cm

Sarrafo_________________ 3,8 x 7,5 cm Sarrafo_________________ 2,2 x 7,5 cm

Tábua_________________ 2,5 x 23,0 cm Tábua_________________ 2,5 x 15,0 cm Tábua_________________ 2,5 x 11,5 cmRipa _________________ 1,2 x 5,0 cm

Corte

É o conjunto de operações de se efetuam para dividir longitudinalmente os troncos obtidos das árvores e limpos de ramos, fazendo deles peças menores apropriadas para a sua utilização.

30

Corte

Corte (falquejamento) com que se obtém uma peça inteiriça com arestas vivas e quatro costaneiras

Corte

Corte em quatro

Consiste em dar dois cortes perpendiculares pelo centro

31

Corte

Corte Radial

É feito seguindo a direção dos raios medulares.

Corte

Corte em fiadas paralelas

Obtém-se tábuas e pranchas de diferentes larguras.

32

Corte

Corte de Paris

Começa-se por obter uma grossa peça central e seguidamente outras nos lados, de menor tamanho.

Corte

Corte em Cruz

Consiste em tirar uma grossa peça central, dos dois lados obtém-se outras peças grossas e finalmente os quatro pedaços restantes dividem-se radialmente em forma de tábuas.

33

Corte

Corte Holandês

Começa-se por um corte em quatro pedaços. Depois faz-se em cada uma das partes uma série de cortes paralelos.

Corte

Corte por encontro de cortes

Separa-se primeiro uma prancha central. Dos dois lados vão-se tirando tábuas e pranchas por meio de encontro de cortes.

34

Causas da Deterioração

•APODRECIMENTO

Desenvolvimento de fungos e bactérias, devido a

umidade da atmosfera e a temperatura do meio

ambiente, quando a percentagem de umidade é

superior a 30% e as temperaturas forem superiores

a 25oC ou 30 oC.


•AÇÃO DOS INSETOS – carunchos e cupins

•FOGO – as peças maiores tem mais resistência, devido a uma camada de carvão mineral na superfície do tronco, que serve como isolante térmico.

•AÇÕES MECÂNICAS – extração de pedaços do tronco

•AGENTES QUÍMICOS

35


APODRECIMENTO

Desenvolvimento de fungos e bactérias, devido a

umidade da atmosfera e a temperatura do meio

ambiente, quando a percentagem de umidade é

superior a 30% e as temperaturas forem superiores

a 25oC ou 30 oC.

Deterioração

Para proteger as madeiras contra estas deteriorações, elas são submetidas a diversos tratamentos.

Em qualquer caso, é importante um BOA SECAGEM – de maneira natural ou artificialmente.

36

Processos de preservação

•Superficiais

•Depois da secagem, é aplicada com pincel ou imersão uma camada superficial de preservativo para inibir a passagem de insetos e fungos.


•De Impregnação sem pressão

•A madeira é colocada imersa numa solução com preservativo a 100 oC. A ação do preservativo é expelir o ar existente no interior da madeira, fazendo com que o produto seja absorvido pela pressão atmosférica.

37


•De Impregnação com pressão

•Em grande quantidade de madeira são os mais eficientes.

•A madeira é colocada numa câmara onde é feito o vácuo para remover o ar da madeira. O preservativo é introduzido sob pressão.

Autoclave

MADEIRA AUTOCLAVADA

• significa madeira obtida de florestas

cultivadas e renováveis e impregnada em

unidades industriais (autoclaves) com um

agente preservante, apresentando alta

durabilidade, economia, segurança,

versatilidade, fácil manutenção e garantia de

qualidade.

44

Propriedades da madeira estrutural

NBR 7190 de 1997

Resistência Da MadeiraNotações

• resistência à compressão paralela às fibras f c,0

• resistência à tração paralela às fibras f t,0

• resistência à compressão normal às fibras f c,90

• resistência à tração normal às fibras f t,90

• resistência ao cisalhamento paralelo às fibras f v,0

• resistência de embutimento paralelo às fibras f e,0

• resistência de embutimento normal às fibras f e,90

45

Caracterização simplificada da madeira

• ft0,k = 1,30 fc0,k

• ftM,k = 1,00 fc0,k

• fc90,k = 0,25fc0,k

• fe0,k = 1,00fc0,k

• fe90,k = 0,25fc0,k

para coníferas:fv0,k = 0,15fc0,k

para dicotiledôneas: fv0,k = 0,12fc0,k

Ensaios de caracterização Tração paralela às fibras

46

Ensaios de caracterização Compressão paralela às fibras

Cisalhamento paralelo às fibras

47

Caracterização completa da rigidezNotação

•Valor médio do módulo de elasticidade nacompressão paralela às fibras

Ec0,m

•Valor médio do módulo de elasticidade nacompressão normal às fibras

Ec90,m

Caracterização simplificada da rigidez

•Ec90= 1/20 Ec0

133047,72,882,844,4645Pinus taeda L.Pinus taeda

109048,02,560,943,6538Pinus oocarpa shiedePinus oocarpa

118897,42,566,040,4560Pinus elliottii v. elliottiiPinus elliottii

98687,82,650,342,3535P.caribea v.hondurensisPinus hondurensis

71106,82,452,732,6537P.carib.var.bahamensisPinus bahamensis

84317,83,264,835,4579P.caribea var.caribeaPinus caribea

152258,81,693,140,9580Auracaria angustifoliaPinho do Paraná

Ec0MPa

fvMPa

f t90MPa

f t0MPa

fc0MPa

ρρρρap(12%)kg/m3Nome botânicoNome vulgar

VALORES MÉDIOS DE MADEIRAS CONÍFERAS NATIVAS E DE F LORESTAMENTO(U = 12%)

Valores de referência - NBR-7190

48

2172411,83,4123,495,21106Diplotropis sppSucupira

2273314,95,4138,582,91143Manikara sppMaçaranduba

141859,03,3111,956,5684Ocotea sppLouro preto

2360715,73,2157,593,31074Hymenaea sppJatobá

1801113,13,196,876,01068Tabebuia serratifoliaIpê

1988112,44,7147,472,71087Eucalyptus paniculataEucalipto paniculata

80585,63,071,431,5600Cedrella sppCedro doce

1461311,16,284,952,0871Cassia ferrugineaCanafístula

1669411,34,8104,976,71170Dinizia excelsaAngelim p. verdadeiro

129128,83,575,559,8694Hymenolobium petraeumAngelim pedra

2082711,83,7117,879,51170Hymenolobium sppAngelim ferro

128767,13,169,250,5688Votaireopsis ararobaAngelim araroba

Ec0MPa

fvMPa

f t90MPa

f t0MPa

fc0MPa

ρρρρap(12%)kg/m3Nome botânicoNome vulgar

VALORES MÉDIOS DE MADEIRAS DICOTILEDÔNEAS NATIVAS E DE FLORESTAMENTO(U = 12%)

Valores médios e característicos

Valor médio de uma propriedade da madeira ésimplesmente a média aritmética dos valores dos resultados obtidos por ensaio.

Valor característico de uma propriedade de madeira éaquele que tem probabilidade de 5% de ser ultrapassado em um determinado lote de material.

49

60050014.500630C30

5504508.500525C25

5004003.500420C20

ρρρρaparentekg/m3

ρρρρbas,mkg/m3

Ec0,mMPa

fV0,kMPa

fc0,kMPa

Classes

Coníferas (padrão de referência 12%)

1.00080024.500860C60

95075019.500640C40

80065014.500530C30

6505009.500420C20

ρρρρaparentekg/m3

ρρρρbas,mkg/m3

Ec0,mMPa

fV0,kMPa

fc0,kMPa

Classes

Dicotiledôneas (padrão de referência U=12%)

Valores característicos por classes de resistência

γwc = 1,4resistência à compressãoγwt = 1,8 resistência à traçãoγwv = 1,8 resistência ao cisalhamento

Resistência de cálculo da madeira

Coeficientes de ponderação de resistênciaw

kd

XkX

γmod=

↑

→

Tensão )(0 MPacσ

0cf

%50σ

%10σ

0 %10ε %50ε

α

0cεespecíficaDeformação )( mmµ%50ε%10ε

α

específicaDeformação

↑

→

Tensão )(0 MPatσ

0tf

%50σ

%10σ

)(0 mm

t µε

50

peças curvas

0,8 ou 1,0peças retas

Madeira laminada colada

0,81ª e 2ª categoriasMadeira conífera serrada

0,82ª categoria

1,01ª categoriaMadeira dicotiledônea serrada

Valores de kmod 3

2

000.21

−r

t

“t” é a espessura das lâminas e “r” é o menor raio de curvatura das lâminas

Coeficientes de modificação

kmod = kmod,1⋅ kmod,2⋅ kmod,3

0,90,8≥ 25%Uamb ≥ 85%4

0,90,818%75% ≤ Uamb ≤ 85%3

1,01,015%65%≤ Uamb ≤ 75%2

1,01,02%Uamb ≤ 65%1

Madeira recomposta

Serrada, laminada colada e compensada

Tipos de madeiraUmidade de equilíbrio

Umidade relativa do ambiente

Classes de umidade

Valores de kmod 2

kmod,2= 0,65 para madeira submersa


51

1,101,10Muito curtaInstantânea

0,900,90Menos de uma semanaCurta duração

0,650,80Uma semana a seis messesMédia duração

0,450,70Mais de seis mesesLonga duração

0,300,60Vida útil da construçãoPermanente

Madeira recomposta

Serrada, laminadacolada e cmpensada

Tipos de madeiraDuração acumulada da ação

variável principal da combinaçãoClasses de

carregamento

Valores de kmod 1


Barbada ?

… então vamos voltar ao exercício…

52

Dimensionar uma viga de madeira laminada colada de 8,00m de vão teórico e seção retangular a ser construída com lâminas de madeira conífera Classe 30, medindo cada uma delas 12cm de largura por 2cm de espessura.

A viga terá por finalidade servir de apoio para as vigas secundárias de 10cm de largura indicadas no esquema abaixo. A ação de cada uma das vigas secundáriassobre a viga principal é decorrente da combinação de cargas permanentes

Gk = 2.5 kN e de cargas variáveis Qk = 5,0 kN. E' cerca de 80% a umidade relativa do ambiente.Não considerar o peso próprio da viga principal.Os entalhes previstos nos extremos da viga principal deverão ter a altura

máxima permitida pela norma.

B B

C

↓cm10

↓cm10

m00,2 m00,2m00,2 m00,2

53

Dimensionamento - estados limites últimos

1. Resistências de cálculo das madeiras Coníferas Clas se 30

Coeficiente de modificação

– carregamentos de longa duração:… kmod1=0,70– umidade ambiente Uamb=80%:…… kmod2=0,80- coníferas de 1ª ou 2ª categorias..:… kmod3=0,80

45,080,080,070,0mod =××=⇒ k

Resistências de cálculo

– Compressão paralela às fibras: MPaf

kfMPafwc

kcdckc 6,9

4,1

0,3045,00,30 ,0

mod,0,0 =⋅==⇒=γ

MPaff dcdt 6,9,0,0 ==

MPaf

kfMPafwV

kVdVkV 5,1

8,1

0,645,00,6 ,0

mod,0,0 =⋅==⇒=γ

– Tração paralela às fibras

- Cisalhamento paralelo às fibras

FIM

1

Materiais Técnicas e Estruturas II – FAU – PUCRS - Profs: Eduardo Azambuja e Antônio Patrício Mattos

MATERIAIS TÉCNICAS E ESTRUTURAS II

MADEIRAVigas de madeira laminada e colada

submetidas à flexão simples


Critérios de dimensionamento para

peças submetidas à flexão simples reta – Vigas de

madeira laminada e colada

2


Fatores a serem atendidos da mesma maneira que nas vigas

de madeira serrada:1. Limitação das tensões:

•Tensões normais devidas ao momento fletor•Tensões tangenciais devidas ao esforço cortante

2. Limitação das deformações;

3. Verificação da estabilidade lateral.


Condições Especiais:A norma 7190/97 prescreve o seguinte:

“As peças de madeira laminada colada devem ser form adas por lâminas com espessuras não superiores a 30 mm d e madeira de primeira categoria, coladas com adesivo à prova d’água e à base de fenol-formaldeído, sob pressão, e m processo industrial adequado que solidarize permanentemente o sistema.As lâminas podem ser dispostas com seus planos médi os paralelamente ou perpendicularmente ao plano de atu ação das cargas.Em lâminas adjacentes, de espessura t, suas emendas devem ser afastadas entre si de uma distância de pelo men os igual a 25 t ou à altura h da viga.Todas as emendas contidas em comprimento igual à alt ura da viga são consideradas como pertencentes à mesma s eção resistente.”

3


Condições Especiais:

As lâminas emendadas possuem a seção resistente red uzida

Ared = αααα r ⋅⋅⋅⋅Aef

onde αααα r tem os seguintes valores:

– emendas denteadas (finger joints ): αααα r = 0,9– emendas em cunha com inclinação de 1:10 : αααα r = 0,85– emendas e topo: αααα r = 0”


MorfologiaAs vigas de madeira laminada, em geral, são

feitas com seção retangular, podendo apresentar alturas de até 200 cm.

São construídas com lâminas de 15 mm à 30 mm de espessura.

Para vigas até 30 cm de largura usa-se uma única lâmina por camada. Para larguras maiores usam-se duas lâminas ou mais por camada.

As vigas laminadas coladas com seção I são pouco utilizadas e são de fabricação mais onerosa.

4


Morfologia

Pode-se, também, ter vigas com seção I ou caixa, utilizando-se madeira colada nos flanges e madeira compensada na alma.


MorfologiaAs vigas laminadas coladas podem ser

utilizadas em vãos de 30m ou mais, enquanto as vigas serradas maciças, em geral, ficam limitadas à vãos de 5m. As vigas laminadas podem ser feitas com uma curvatura predeterminada. Também, podem ser fabricadas com altura variável.

A grande vantagem das vigas de MLC reside no aproveitamento da madeira. Produzida com lâminas de pequena dimensão, pode-se gerenciar a madeira de melhor qualidade nas posições de maior solicitação

5


MorfologiaA outra vantagem reside na possibilidade de

se fabricar grandes peças com madeiras de reflorestamento como pinus e os eucaliptos.

Quando uma viga de madeira atende aos critérios de estabilidade no estado limite último, mas não atende ao critério de deformação no estado limite de utilização, pode ser adotada a estratégia da contra flecha.

Nas vigas de madeira serrada, a solução mais efetiva é aumentar a altura da viga


Morfologia

A contra-flecha nada mais é do que uma deformada previamente estabelecida na peça no sentido contrário da deformação esperada.

Essa técnica não é facilmente aplicada a peças de madeira serrada, mas praticamente não implicam alteração de custo nas peças de madeira laminada e colada.

A contra-flecha pode ser de no máximo 2/3 da flecha prevista pela aplicação da parcela do carregamento de natureza permanente (uG)

6


Pré dimensionamento

5 – 7m5-15º

h=L/30 H=L/15 a≤12º

t=7/20xL

10-35m

5 – 7m3-15ºh=L/17

H=L/1510-30m

5 – 7m3-15ºh=L/1710-30m

5 – 7m-h=L/1710-30m

Espaç.Inclinação

DimensõesVão Modelo da peça de MLC


Pré dimensionamento

5 – 7m-h=L/40f=L/1210-30m

5-10m-h=L/5020-100m

5–7m-

h=L/30

H=L/1510 – 35 m

5–7m5 - 15ºh=L/30

H=L/1510 – 35 m

Espaç.Inclinação

DimensõesVão Modelo da peça de MLC

7


dVd

d fh

h

hb

V,02

3τ ≤

′⋅

′⋅=

Vigas com entalhes

com a condição de ser satisfeita a restrição h'> 0,75h

'hh'h 'hh

α

31≤αtg


Esmagamento nos apoios

Sempre é interessante que se calcule a tensão de compressão desenvolvida na viga na zona de apoio, prevenindo o esmagamento desta zona, seja qual for o tipo de apoio adotado.

A reação de apoio, deve ser distribuída na área de apoio da viga, provocando compressão perpendicular a fibra da madeira.

8



Esta compressão não deve exceder fc90,d.

b



Quando se trabalha com classes de madeiras, admite-se que:

ft0,d = fc0,d

Para avaliação da resistência à compressão ortogonal às fibras, utiliza-se a seguinte expressã o:

fc90,d = 0,25fc0,d ⋅α⋅α⋅α⋅αn

onde ααααn é o coeficiente que depende da extensão da carga normal às fibras

9



2,001,701,551,401,301,151,101,00

12345

7,51015

αn

Extensão da carga normal às fibras,

medida paralelamente a essas

(b) cm

Valores de ααααn

a bcm5,7a >

cm0,15b <


BarbadaBarbada ??

…… entãoentãovamosvamosvoltarvoltar aosaosexercexercíícioscios……

MATERIAIS TÉCNICAS E ESTRUTURAS II FORMULÁRIO PARA CÁLCULO DE VIGAS DE MADEIRA SERRADA

1

COMBINAÇÕES DE AÇÕES EM ESTADOS LIMITES ÚLTIMOS

As combinações últimas normais são dadas pela expressão:

onde Gi,k representa os valores característicos das ações permanentes, Q1,k o valor característico da ação variável considerada como ação principal para a combinação considerada e ψ0jQj,k os valores reduzidos de combinação das demais ações variáveis, determinados de acordo com a Tabela I.2.

COMBINAÇÕES DE AÇÕES EM ESTADOS LIMITES DE UTILIZAÇ ÃO

As combinações de longa duração são consideradas no controle usual das deformações das estruturas. Nestas combinações, todas as ações variáveis atuam com seus valores correspondentes à classe de longa duração.

Estas combinações são expressas por

onde os coeficientes ψ2j estão especificados na Tabela I.2.

As combinações de média duração são consideradas quando o controle das deformações é particularmente importante, como no caso de existirem materiais frágeis não estruturais ligados a estrutura. Nestas condições, a ação variável principal Q1,k atua com o seu valor correspondente à classe de média duração e as demais ações variáveis atuam com seus valores correspondentes à classe de longa duração.


lj

n

jjk

m

ikiutid QQGF ,

22,11

1,, ψψ ∑∑

==++=

onde os coeficientes ψ1 e ψ2 são dados na Tabela I.2.

As combinações de curta duração são consideradas quando for particularmente importante impedir defeitos decorrentes das deformações da estrutura. Nestas combinações, a variável principal Q1 participa com seu valor característico e as demais ações com seus valores correspondentes a média duração.


kj

n

jjk

m

ikiutid QQGF ,

21,1

1,, ∑∑

==Ψ++=

Tabela I.1 – Classes de carregamento

Ação variável principal da combinação Classes de

carregamento Duração acumulada Ordem de grandeza da duração

acumulada da ação característica

Permanente Permanente Vida útil da construção Longa duração Longa duração Mais de seis meses Média duração Média duração Uma semana a seis meses Curta duração Curta duração Menos de uma semana Duração instantânea Duração instantânea Muito curta

k,j

n

1jj2

m

1ik,iuti,d QψGF ∑∑

==

+=

++= ∑∑

==

n

2jk,jj0k1Q

m

1ik,iGid QψQγGγF


2

Tabela I.2 – Fatores de combinação e de utilização

Ações em estruturas correntes Ψ0 Ψ1 Ψ2

Variações uniformes de temperatura em relação à média local 0,6 0,5 0,3 Pressão dinâmica do vento 0,5 0,2 0,0

Ações acidentais dos edifícios Ψ0 Ψ1 Ψ2 Locais em que não há predominância de pesos de equipamentos fixos, nem elevadas concentrações de pessoas

0,4 0,3 0,2

Locais onde há predominância de equipamentos fixos, ou de elevadas concentrações de pessoas

0,7 0,6 0,4

Bibliotecas, arquivos, oficinas e garagens 0,8 0,7 0,6

VALORES DE CÁLCULO DAS AÇÕES (F d)

Tabela I.5 – Ações permanentes indiretas Para efeitos

Combinações desfavoráveis favoráveis

Normais γg = 1,2 γg = 0,0 Especiais ou de

construção γg = 1,2 γg = 0,0

Excepcionais γg = 0,0 γg = 0,0

VALORES DE CÁLCULO DA RESISTÊNCIA Os valores de cálculo da resistência da madeira são dados pela expressão:

w

wkwd

fkf

γmod=

onde kmod é o coeficiente de modificação e γw corresponde aos coeficientes de ponderação.

COEFICIENTES DE MODIFICAÇÃO O coeficiente de modificação kmod é formado pelo produto: kmod = kmod,1⋅ kmod,2⋅ kmod,3

Tabela III.3 – Valores de kmod 1

Tipos de madeira Classes de

carregamento

Ordem de grandeza prevista da duração acumulada da ação

variável principal da combinação

Madeira serrada, MLC e madeira

compensada

Madeira recomposta

Permanente Vida útil da construção 0,60 0,30 Longa duração Mais de seis meses 0,70 0,45 Média duração Uma semana a seis messes 0,80 0,65 Curta duração Menos de uma semana 0,90 0,90 Instantânea Muito curta 1,10 1,10

Tabela I.4 – Ações permanentes de grande variabilidade

Para efeitos Combinações

desfavoráveis favoráveis Normais γg = 1,4 γg = 0,9

Especiais ou de construção

γg = 1,3 γg = 0,9

Excepcionais γg = 1,2 γg = 0,9

Tabela I.3 – Ações permanentes de pequena variabilidade

Para efeitos Combinações

desfavoráveis favoráveis Normais γg =1,3 γg = 1,0


γg = 1,2 γg = 1,0

Excepcionais γg = 1,1 γg = 1,0 Tabela I.6 – Ações variáveis

Combinações Ações variáveis

em geral Efeitos de

temperatura Normais γQ = 1,4 γQ = 1,2


γQ = 1,2 γQ = 1,0

Excepcionais γQ = 1,0 γQ = 0,0


3


Tipos de madeira Classes

de umidade

Umidade relativa do ambiente Umidade de equilíbrio da

madeira

Madeira serrada, MLC e madeira

compensada

Madeira recomposta

1 Uamb ≤ 65% 12% 1,0 1,0 2 65% ≤ Uamb ≤ 75% 15% 1,0 1,0 3 75% ≤ Uamb ≤ 85% 18% 0,8 0,9 4 Uamb ≥ 85% ( longos períodos) ≥ 25% 0,8 0,9 Observação: kmod,2= 0,65 para madeira submersa.


1ª categoria 1,0 Madeira dicotiledônea serrada 2ª categoria 0,8

Madeira conífera serrada 1ª e 2ª categorias 0,8 peças retas 0,8 ou 1,0

Madeira laminada colada peças curvas

2

000.21

−r

t

Onde: “t” é a espessura das lâminas e “r” é o menor raio de curvatura das lâminas

COEFICIENTES DE PONDERAÇÃO Os coeficientes de ponderação γw para estados limites últimos têm seus valores básicos especificados abaixo:

a) estados limites últimos decorrentes de tensões de compressão paralela às fibras: γwc=1,4 b) estados limites últimos decorrentes de tensões de tração paralela às fibras: γwt=1,8 c) estados limites últimos decorrentes de tensões de cisalhamento paralelo às fibras: γwv=1,8

AVALIAÇÃO DA RESISTÊNCIA POR CLASSES

Tabela III.1 – Coníferas (padrão de referência 12%) Classes fc0,k

MPa fV0,k MPa

Ec0,m MPa

ρbas,m kg/m3

ρaparente kg/m3

C20 20 4 3.500 400 500 C25 25 5 8.500 450 550 C30 30 6 14.500 500 600

Tabela III.2 – Dicotiledôneas (padrão de referência U=12%)

Classes fc0,k MPa

fV0,k MPa

Ec0,m MPa

ρbas,m kg/m3

ρaparente kg/m3

C20 20 4 9.500 500 650 C30 30 5 14.500 650 800 C40 40 6 19.500 750 950 C60 60 8 24.500 800 1.000

Observações: ρbas,m é a densidade básica da madeira, por convenção, é definida pelo quociente da massa seca pelo volume saturado do corpo de prova; ρaparente é a massa específica convencional, definida pela razão entre a massa e o volume de corpos de prova com o teor de umidade U=12%. Quando se trabalha com classes de madeiras, admite-se que:

f t0,d = fc0,d


4

Tabela III.7 – Valores médios de madeiras dicotiledôneas nativas e de florestamento (U = 12%)

Nome vulgar Nome botânico ρap(12%) kg/m3

fc0 MPa

ft0 MPa

ft90 MPa

fv MPa

Ec0 MPa

Angelim araroba Votaireopsis araroba 688 50,5 69,2 3,1 7,1 12876 Angelim ferro Hymenolobium spp 1170 79,5 117,8 3,7 11,8 20827 Angelim pedra Hymenolobium petraeum 694 59,8 75,5 3,5 8,8 12912

Angelim p. verdadeiro Dinizia excelsa 1170 76,7 104,9 4,8 11,3 16694 Canafístula Cassia ferruginea 871 52,0 84,9 6,2 11,1 14613

Cedro amargo Cedrella odorata 604 39,0 58,1 3,0 6,1 9839 Cedro doce Cedrella spp 600 31,5 71,4 3,0 5,6 8058 Champagne Dipterys odorata 1090 93,2 133,5 2,9 10,7 23002

Eucalipto alba Eucaliptus alba 705 47,3 69,4 4,6 9,5 13409 Eucalipto citriodora Eucalyptus citriodora 999 62,0 123,6 3,9 10,7 18421 Eucalipto grandis Eucalyptus grandis 640 40,3 70,2 2,6 7,0 12813

Eucalipto paniculata Eucalyptus paniculata 1087 72,7 147,4 4,7 12,4 19881 Eucalipto punctata Eucalyptus punctata 948 78,5 125,6 6,0 12,9 19360 Eucalipto saligna Eucalyptus saligna 731 46,8 95,5 4,0 8,2 14933 Eucalipto umbra Eucalyptus umbra 889 42,7 90,4 3,0 9,4 14577

Eucalipto urophyla Eucalyptus urophyla 739 46,0 85,1 4,1 8,3 13166 Ipê Tabebuia serratifolia 1068 76,0 96,8 3,1 13,1 18011

Jatobá Hymenaea spp 1074 93,3 157,5 3,2 15,7 23607 Louro preto Ocotea spp 684 56,5 111,9 3,3 9,0 14185

Maçaranduba Manikara spp 1143 82,9 138,5 5,4 14,9 22733 Sucupira Diplotropis spp 1106 95,2 123,4 3,4 11,8 21724

Tabela III.8 – Valores médios de madeiras coníferas nativas e de florestamento (U = 12%)

Nome vulgar Nome botânico ρap(12%) kg/m3

fc0 MPa

ft0 MPa

ft90 MPa

fv MPa

Ec0

MPa Pinho do Paraná Auracaria angustifolia 580 40,9 93,1 1,6 8,8 15225

Pinus caribea P.caribea var.caribea 579 35,4 64,8 3,2 7,8 8431 Pinus bahamensis P.carib.var.bahamensis 537 32,6 52,7 2,4 6,8 7110 Pinus hondurensis P.caribea v.hondurensis 535 42,3 50,3 2,6 7,8 9868

Pinus elliottii Pinus elliottii v. elliottii 560 40,4 66,0 2,5 7,4 11889 Pinus oocarpa Pinus oocarpa shiede 538 43,6 60,9 2,5 8,0 10904 Pinus taeda Pinus taeda L. 645 44,4 82,8 2,8 7,7 13304

VIGAS DE MADEIRA

VÃO TEÓRICO

h

oLL ′

hL o +

apoiosdoissobreViga valormenorL =cm10L

hL

L

o

o

++

′

contínuaVigah

oL oL←→h

21

L LL ′=


5

SEÇÃO TRANSVERSAL MÍNIMA DE VIGAS DE MADEIRA SERRADA

Tabela IV 1– Dimensões mínimas das seções retangulares

Espessura

mínima (cm) Área

mínima (cm2) Seção

mínima (cm×cm) Peças principais – seções simples 5 50 5×10 Peças componentes de seções múltiplas 2,5 35 2,5×14 Peças secundárias – seções simples 2,5 18 2,5×7,5 Peças componentes de seções múltiplas 1,8 18 1,8×10

VERIFICAÇÃO DO ESTADO LIMITE ÚLTIMO

TENSÕES NORMAIS DEVIDO AO MOMENTO FLETOR De acordo com a NBR7190/1997, nas peças submetidas à flexão simples reta, isto é, submetidas a momento fletor cujo plano de ação contém um dos eixos principais de inércia da seção trans-versal resistente, a segurança fica garantida em relação ao estado limite último referente às tensões normais pelo cumprimento simultâneo das condições: Onde: ♣ σc,d e σt,d são as tensões máximas de cálculo atuantes, respectivamente, nas borda mais comprimida e na borda mais

tracionada da seção transversal considerada; ♣ Md é o momento fletor de cálculo, obtido a partir da combinação das ações em estados limites últimos ; ♣ fcd e ftd são as resistências à compressão e à tração paralelas às fibras, respectivamente. ♣ Jz é o momento de inércia da seção transversal resistente em relação ao eixo central de inércia perpendicular ao

plano de ação do momento fletor atuante (O eixo z coincide com a linha neutra); No caso particular de seção retangular, de base b e altura h, a aplicação das fórmulas acima conduz às seguintes expressões:

TENSÕES TANGENCIAIS DEVIDO À FORÇA CORTANTE

Nas peças submetidas à flexão com força cortante, a condição de segurança em relação ás tensões tangenciais é dada por:

onde τd é o valor de cálculo da máxima tensão de cisalhamento no ponto mais solicitado da viga e fV0,d é o valor de cálculo da resistência ao cisalhamento paralelo às fibras. Em peças de seção transversal retangular, de largura b e altura h, tem-se para o extremo de τd numa seção de força cortante Vd (equação estabelecida com base nas hipóteses de Jourawski):

2hfJ

MoufJ

2h

Md,cz

dd,cz

d

d,c

⋅≤≤

⋅=σ

2

hfJ

MoufJ

2

hM

d,tJdd,t

z

d

d,t

⋅≤≤=σ

zM

comprimidaBorda↓

tracionadaBorda↑

tσ

cσ

ty

h

b

cyCz z

wdwddtctcz fhb

fWMhb

WWh

yyhb

I66212

223 ⋅=⋅≤⋅====⋅=

dVd f ,0≤τ

bh

Vdd ⋅=

2

3τ


6

Havendo entalhes no bordo tracionado da viga, de modo que a altura seja reduzida de h para h', a tensão cisalhante na seção mais fraca deve ser ampliada pelo fator h/h', obtendo-se no caso de seção retangular:

A expressão é válida para h'> 0,75 h. Quando h'≤ 0,75 h, a fim de neutralizar a tendência de fendilhamento da viga, recomenda-se o emprego de parafusos verticais dimensionados à tração axial para a totalidade da força cortante a ser transmitida ou o emprego de mísulas de comprimento não menor de três vezes a altura do entalhe. Entretanto, o limite absoluto h' ≥ 0,5 h deve ser sempre respeitado em todas as situações.

VERIFICAÇÃO DO ESTADO LIMITE DE UTILIZAÇÃO

A determinação das deformações nas vigas deve ser feita através do módulo de elasticidade efetivo paralelo às fibras Ec0,ef , determinado pela expressão:

Nas construções correntes as verificações de segurança em relação aos estados limites de utilização são feitas admitindo-se apenas os carregamentos usuais, correspondentes às combinações de longa duração, expressas por:

A flecha efetiva uef , calculada pela soma das parcelas devidas à carga permanente uG e a à carga acidental uQ , não deve superar 1/200 dos vãos entre os apoios, nem 1/100 do comprimento dos balanços.

Observação – As flechas devidas às ações permanentes podem ser reduzidas de uma contraflecha u0 , desde que seja satisfeita a condição u0 ≤ 2/3 uG.

As flechas totais, incluindo o efeito de fluência, devido às ações consideradas, não devem superar 1/350 dos vãos, nem 1/175 do comprimento dos balanços. As flechas devidas apenas às ações variáveis da combinação considerada não devem superar 1/300 dos vãos ou 1/150 do comprimento dos balanços, nem o limite de 15mm.

'hh'h 'hh

α

31≤αtg

''2

3

h

h

bh

Vdd ⋅⋅=τ

mcefc EkkkE ,03mod2mod1mod,0 ⋅⋅⋅=

k,Qj

n

1jj2

m

1ik,Giuti,d FFF ∑ψ+∑=

==

Guu 32

0 ≤

L

Qu

Gu

limuuef ≤


7

Flechas limite Combinação das ações L Flecha limite


Lfff QGlim =+=

Comprimento do balanço 100

Lfff QGlim =+=

Construções correntes kj

n

jj

m

ikiutid QGF ,

12

1,, ∑∑

==+= ψ

Contraflecha: Go f32f ≤


Lfff QGlim =+=

Construções com materiais frágeis não estruturais

ligados á estrutura

j

n

jjk

m

ikiutid QQGF

22,11

1,, ∑∑

==++= ψψ

Comprimento do

balanço 175

Lfff QGlim =+=


Lfff QGlim =+=

Quando for importante

impedir defeitos decorrentes de deformações da

estrutura

kj

n

jjk

m

ikiutid QQGF ,

21,1

1,, ∑∑

==++= ψ

Comprimento do

balanço 175

Lfff QGlim =+=

q

F

F F

q

F

F

a aL

aL

EI

qL

384

5 4( )323 224

xLxLEI

qx +−8

2qL

4

FL ( )22 4348

xLEI

Fx −EI

FL

48

3

( ) axxaaLEI

Fx ≤≤−− 0336

22a

( )22 4324

aLEI

Fa −( )

233

622 L

xaaxLxEI

Fa ≤≤−− a

Fa

teCEIViga =⇒ deflexãoy = flechau =

2

2qL− ( )222

4624

xLxLEI

qx +−EI

qL

8

4

Fa−

FL− ( )xlEI

Fx −36

2

EI

FL

3

3

( ) axxaEI

Fx ≤≤− 036

2

a

( ) LxaaxEI

Fa ≤≤− a36

2

( )aLEI

Fa −36

2

flechaseDeflexões3IVTabela −−−−

máxM


8

ESTABILIDADE LATERAL DAS VIGAS

As vigas esbeltas apresentam o fenômeno da flambagem lateral, que é uma forma de instabilidade envolvendo flexão e torção. A flambagem lateral pode ser evitada por amarrações que impeçam a torção da viga. Para vigas de seção

retangular, existem estudos teóricos comprovados experimentalmente.

Recomendações da ABNT A NBR7190, recomenda que as vigas fletidas, além de satisfazerem as condições de segurança quanto à limitação de tensões e deformações, devem ter sua estabilidade lateral verificada por teoria cuja validade tenha sido verificada experimentalmente.

Entretanto, essa verificação de segurança em relação ao estado limite último de instabilidade lateral é dispensada

quando forem satisfeitas as seguintes condições:

♣ Os apoios de extremidade da viga impedirem a rotação de suas seções extremas em torno do eixo longitudinal da viga;

♣ Existirem um conjunto de elementos de travamento ao longo do comprimento L da viga, afastados entre si a uma distância não maior que L1, que também impeçam a rotação dessas seções transversais em torno do eixo longitudinal da viga;

♣ Para as vigas de seção transversal retangular, de largura b e altura h medida no plano de atuação do carregamento:

d,0cM

ef,0c

f

E

b

a

β≤

Onde:

Ec0,ef é o módulo de elasticidade efetivo; fco,d é a resistência de cálculo à compressão paralela às fibras; a é a distância máxima entre contraventamentos.ou travamentos intermediários.

A tabela abaixo dá os valores de βM para carregamento normal

h/b 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 βM 6,0 8,8 12,3 15,9 19,5 23,1 26,7 30,3 34,0 37,6 41,2 44,8

Materiais Técnicas e Estruturas II – FAU – PUCRS Profas: Maria Regina Costa Leggerini/ Mauren Aurich

MORFOLOGIA DAS ESTRUTURAS I - ESTRUTURAS RESISTENTES

É um conjunto de elementos ligados entre si que tem a finalidade de suportar cargas e transferi-las ao solo.

Os esforços externos ativos ou cargas que solicitam a estrutura despertam outros esforços internos e externos, devendo os elementos estruturais possuir vínculação tal que fique garantido o equilíbrio interior e o do conjunto.

II - EQUILÍBRIO EXTERNO

Se um corpo rígido está submetido à um sistema de cargas ativas devendo o mesmo permanecer em equilíbrio estático, então em seus vínculos devem surgir reações capazes de satisfazer as equações fundamentais da estática.

Este sistema de forças ativas e reativas constitui-se nas cargas externas atuantes.

As forças ativas são a razão de ser da estrutura e são avaliadas com o auxílio de normas, tabelas e catálogos sempre na sua situação mais desfavorável.

As forças reativas são calculadas em função das ativas aplicando-se as condições de equilíbrio estático:

∑ = 0Fx ∑ = 0Fy ∑ = 0Fx

III - EQUILÍBRIO INTERNO

O fato de os esforços externos se anularem para manter o equilíbrio de um corpo, mesmo não tendo a

Mesma reta suporte, pressupõe que as forças transitam no interior do corpo sendo transmitidas de seção à seção.

Estes esforços são chamados de Solicitações Internas e nos casos mais simples de cargas contidas por um plano são elas:

N- Esforço Normal

Q – Esfoço Cortante

M – Momento Fletor

Esta classificação foi feita em função do tipo de deformação que cada solicitação provoca, com a finalidade de simplificar as nossas análises.


III.A. ESFORÇO NORMAL (N)

É o esforço desenvolvido pelo corpo na direção do seu eixo longitudinal.

Quando submetido ao esforço normal o elemento estrutural sofre alongamentos ou encurtamentos. Observe-se que as fibras longitudinais originalmente paralelas entre si permanecem paralelas após a deformação.

Tração axial (alongamento)

Compressão axial (encurtamento)

III.B. ESFORÇO CORTANTE (Q)

É todo esforço que surge sobre o plano das seções transversais que constituem este corpo.

Quando submetido ao esforço de corte há o deslizamento relativo de uma secção em relação a outra, também chamado de cisalhamento.

cisalhamento


III.C. MOMENTO FLETOR (M)

O Momento fletor é a responsável pela tendência de giro da seção transversal em torno de um eixo baricentrico contido em seu plano.

Como o momento pode ser substituido por um binário pode-se observar uma tendência de alongamento em uma das partes de seção e encurtamento em outra.

IV . PARTES COMPONENTES DE UMA ESTRUTURA RESISTENTE

A classificação dos elementos que compõem uma estrutura é feita em relação a sua geometria e ao carregamento ao qual vai ser submetida.

IV.A. ESTRUTURAS LINEARES OU DE BARRAS

Estruturas lineares são aquelas em que uma das dimensões (comprimento) é muito maior do que as outras duas (medidas da seção transversal).

A representação estrutural é feita pelo eixo longitudinal, que é a linha que une o centro de gravidade de

todas as seções transversais

.


1.a. Retas

Uma estrutura linear é reta quando o seu eixo longitudinal é retilíneo.

OBS: Nas peças comprimidas pode aparecer o fenômeno da flambagem que é uma instabilidade elasto-geométrica do sistema, que será estudada à parte.

1 .b. Curvas

São aquelas cujo eixo longitudinal é uma curva (esforços de corte,tração, compressão e flexão)

Ex: arcos


1.c. Estruturas Compostas

São aquelas formadas por elementos de barra


1.d. Tipos de seção transversal

As estruturas de barra (ou lineares) podem apresentar formas diversas para a sua seção transversal.

Exemplo:

Perfilados (usados em materiais bastante resistentes ex: aço)

OBS : Os perfis metálicos são de dois tipos: perfis laminados e perfis de chapas dobradas. Os primeiros são padronizados e mais pesados e os segundos devem ter as suas dimensões estabelecidas pelo calculista.


A.2.ESTRUTURAS LAMINARES , BIDIMENSIONAIS OU DE SUPERFÍCIE

São aquelas em que duas dimensões (plano médio) são muito maiores do que a terceira (espessura).

a x b - plano médio

e - espessura

A sua representação estrutural é feita pela superfície média.

2.a . Chapas

São estrutura em que a superfície média forma um único plano , e as cargas atuam segundo este plano.

Ex: paredes (compressão)


2.b. Placas

São estruturas em que a superfície média forma um único plano e as cargas atuam perpendiculares a este plano.

Ex: laje de entrepiso (flexão)

2.c. Cascas

São estruturas em que a superfície média não é formada por um único plano. Podem ser:

POLIÉDRICAS : formada pela intersecção de vários planos ( esforços normais, flexão e corte)


CURVAS : Superfície média é uma curva ( esforço normal e flexão)

2.d. Membranas

São estruturas laminares em que a superfície média é curva e sua espessura muito reduzida em presença das demais dimensões. Seus esforços internos são distintos das cascas curvas.

Devido à sua pequena espessura e grande flexibilidade suportam apenas esforços normais (não possuem resistencia à flexão).

Ex: Reservarório de gás


3. ESTRUTURAS TRIDIMENSIONAIS OU DE VOLUME

São estruturas em que as três dimensões tem a mesma ordem de grandeza.

Ex: blocos de fundações, sapatas, etc.

A sua representação estrutural é feita pelos planos que a compõem podendo ou não serem desdobrados em vistas.

1


Sistemas estruturais em madeira e suas

possibilidades formais no projeto


Peças de madeira serrada - vigas

Limites de altura:

30cm (Extrativismo)

20cm (Reflorestamento)

Limites de vãos:

5,0 m (Extrativismo)

4,0 m (Reflorestamento)

2


Peças de madeira serrada - vigas

Limites de altura: 30cm (E)

20cm (R)

Limites de vãos: 5,0 m (E)

4,0 m (R)


Cuidado com certas coberturas...

A madeira não suporta torção

3


Decks de madeira


Decks de madeira - conectores

4


Decks de madeira


Modelo básico de decks com balanço para ocultar apoios

Ligações metálicas

5


Peças de madeira serrada - pilares

Limites altura de seção:

30cm x 30cm (E)

20cm x 20cm (R)

Limites de vãos vencidos sem travejamento

L = 5,0m (E)

L = 4,2m (R)


Pilares de perfis compostos de solidarização contínua ou descontínua

6


Pilares de perfis compostos de solidarização contínua ou descontínua


Vigas de alma esbelta

Reduz peso e custo de mão-de-obra

7


MLC – vigas de seção homogênea

Vãos grandes, sem limites construtivos, apenas logísticos ou estruturais



8




Pré-dimensionamento de vigas

madeira serrada

9


MADEIRA LAMINADA E COLADAS –

vigas de seção variável




10







11



MLC (madeira laminada e colada)

vigas eixo curvo

12


MLC – vigas eixo curvo



13




MLC – Pilares de formas variáveis

14





15


MLC – arcos hiperestáticos

engasteengaste



engaste

16




MLC – arcos tri-rotuladosRótula intermediária

17


MLC – arcos tri-rotulados



18




Pré-dimensionamento de arcos tri-rotulados

19


MLC – Pórticos


Pré-dimensionamento de pórticos de MLC

20


Limitações de montagem


Limitações de montagem

21


MLC – Pórticos com Rosetas


MLC – Pórticos com Rosetas

22


Pré-dimensionamento de pórticos com peças ligadas por

rosetas


O quadro rígido

23


Pré-dimensionamento de quadros rígidos


Sistemas reticulados

Estrutura treliçada

Estrutura reticulada

Rótulas perfeitas

Ligações rígidas

24


Treliça ideal é todo o sistema reticulado cujas barras possuem as extremidades rotuladas e as cargas são aplicadas somente nos nós.


Treliças compostas são formadas pela substituição de barras por treliças

secundárias

25


Treliças compostas são formadas pela substituição de barras por treliças

secundárias


Tesouras para coberturas

Howe

1/7 ≤ h/L ≤ 1/4 L<18m

1/7 ≤ h/L ≤ 1/4 18m<L<30m

Pratt

26


Tesouras de Howe


Tesouras para coberturas

Treliça Belga.

1/8 ≤ h/L ≤ 1/6 18m<L<25m

Treliça Fink (ou Polonceau)

1/5 ≤ h/L ≤ 1/4 20m<L<30m

27


Tesoura tipo Belga


Tesoura tipo Fink

28


Combinações de treliças

R



R

R

29




Alemã

Tesoura Wiegman Tesoura Russa

Shed

Outras tesouras menos populares

30


Tesoura tipo King Post


Tesoura tipo King Post

31


Tesouras internamente hiperestáticas


Meia tesoura em balanço

32


Cuidado com a estabilidade global



33




Dispositivos de contraventamento

34


Dispositivos de contraventamento


Tesouras de banzo curvo

h/L ≈ 1/6 15m<L<25m

h/L ≈ 1/6 25m<L<45m

Treliça do tipo Bowstring

Bowstring para grandes vãos

35





36




Arcos treliçadosArco treliçado com banzo superior formado por trechos retos

distância entre banzos variável

37


Arcos treliçados


Viga de Pratt

Viga de Howe

Vigas treliçadas

Diagonais comprimidas

Diagonais tracionadas

38


Viga de Pratt


Viga de Pratt

39


Tesoura de Howe

Longarina em Viga de Pratt


Viga Warren Viga de Town

Viga de LongViga de Hässler (Viga K)

Outros modelos de vigas treliçadas

40


Viga Warren


Viga WarrenViga Warren

41


Viga Warren


Viga Warren

42


Viga de Town(Lattice)


Viga de Town(Lattice)

43


Coberturas espaciais

Cascas


Coberturas espaciais

Membranas

44


Dalgety Center - Austrália


Dalgety Center - Austrália

45


Dalgety CenterAustrália


Atrium Tasmânia

+

=

46


Cascas lamelares


Cascas lamelares

47


F i m

Mecânica dos Sólidos. PUCRS - Profa: Maria Regina Costa Leggerini

1

PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL

FACULDADE DE ENGENHARIA

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL

Mecânica dos Sólidos

EQ

Notas de Aula

Profa. Maria Regina Costa Leggerini


2

CAPÍTULO I

REVISÃO DE MECÂNICA GERAL – CONCEITOS BÁSICOS

I . FORÇA

A. CONCEITO:

Força é toda a grandeza capaz de provocar movimento, alterar o estado de movimento ou provocar deformação em um corpo. É uma grandeza vetorial cuja intensidade pode ser obtida pela expressão da física:

a.mF =r

onde:

F = força

m = massa do corpo

a = aceleração provocada

Sendo força um elemento vetorial somente se caracteriza se forem conhecidos:

• direção

• sentido

• módulo ou intensidade

• ponto de aplicação

Exemplo 1 :Força provocando movimento

Exemplo 2: Força provocando deformação

Fr

Fr


3

Exemplo 3 : PESO DOS CORPOS:

O peso dos corpos é uma força de origem gravitacional que apresenta características especiais:

Módulo: g.mPrr

=

Direção : Vertical

Sentido : de cima para abaixo

Ponto de aplicação: centro de gravidade do corpo

B. UNIDADES

Existem muitas unidades representando forças. As que mais vamos utilizar são:

N - Newton kN - kiloNewton kgf - kilograma força

C. CARACTERÍSTICAS DAS FORÇAS

1. Princípio de ação e reação:

Quando dois corpos se encontram, toda a ação exercida por um dos corpos cobre o outro corresponde uma reação do segundo sobre o primeiro de mesmo módulo e direção, mas porem com sentidos contrários, que é a 3ª lei de Newton.

Podemos observar que estas duas forças têm pontos de aplicação diferentes e portanto causam efeitos diferentes, cada uma atuando no seu ponto de aplicação.

2. Princípio da transmissibilidade de uma força,

Quando aplicamos uma força em um corpo sólido a mesma se transmite com seu módulo, direção e sentido em toda a sua reta suporte ao longo deste corpo.

1 kN = 103 N = 102 kgf

P


4

3. Decomposição das forças.

Qualquer força contida em um plano pode ser decomposta segundo duas direções que nos interessem.

Normalmente nos interessam duas direções perpendiculares entre si, também escolhidas de acordo com a conveniência do problema.

Vamos nos ater ao caso plano que é o mais usual

Exemplo:

rF - força a ser decomposta

x e y – direções ortogonais de referência

α - ângulo formado por F em relação a x

rFx,

rFy- componentes da força nas direções x e y

A decomposição é feita por trigonometria:

rFx =

rF . cos α

rFy =

rF . sen α

rFy/

rFx = tg α

A força rF decomposta também pode ser chamada de resultante da soma vetorial de suas

componentes rFx e

rFy .

Nos problemas pode-se utilizar para cálculos apenas a força resultante, ou as suas componentes, o que se tornar mais fácil. Isto pode se constituir em uma das ferramentas mais úteis no trabalho com as forças. Observe que soma vetorial ou geométrica não corresponde a soma algébrica.

D. CLASSIFICAÇÃO DAS FORÇAS

As forças podem ser classificadas de acordo com a sua origem, modo de se comportar, etc. como por exemplo as forças de contato (ex: locomotivas, musculares, etc.) e as de ação à distância (ex: elétricas, gravitacionais, magnéticas, etc.)

Em análise estrutural as forças são divididas conforme esquema abaixo:

FORÇAS EXTERNAS: atuam na parte externa na estrutura, e são o motivo de sua existência. Podem ser ativas ou reativas.

F

Fx

Fy

x

y

α


5

ativas: São forças independentes que podem atuar em qualquer ponto de uma estrutura. Correspondem às cargas as quais estaremos submetendo a estrutura, normalmente conhecidas ou avaliadas. Ex: peso do pedestre em uma passarela, peso próprio das estruturas, etc...

reativas: São forças que surgem em determinados pontos de uma estrutura (vínculos ou apoios), sendo conseqüência das ações portanto não são independentes, devendo ser calculadas para se equivalerem as ações e assim preservarem o equilíbrio do sistema.

A partir do acima exposto podemos dizer que sempre que uma peça de estrutura carregada tiver contato com elementos externos ao sistema (vínculo), neste ponto surge uma força reativa.

FORÇAS INTERNAS : são aquelas que mantém unidos os pontos materiais que formam o corpo sólido de nossa estrutura (solicitações internas). Se o corpo é estruturalmente composto de diversas partes, as forças que mantém estas partes unidas também são chamadas de forças internas (forças desenvolvidas em rótulas).

II . MOMENTO DE UMA FORÇA

A. CONCEITO:

O momento de uma força é a medida da tendência que tem a força de produzir giro em um corpo rígido. Este giro pode se dar em torno de um ponto (momento polar ) ou em torno de um eixo (momento axial). Vamos trabalhar com momento em torno de ponto, que ocorre nos casos de cargas em um plano.

MOMENTO POLAR (momento de uma força em relação à um ponto): Chama-se de momento de uma força

rF em relação à um ponto "0", o produto vetorial do vetor OA

r pela força

rF , sendo "A"

um ponto qualquer situado sobre a reta suporte da força rF . Logo também é um vetor, e para a sua

caracterização precisamos determinar o seu módulo, direção e sentido.

OA F = oM ∧rr

O efeito do vetor momento é o de provocar um giro com determinado sentido em relação ao ponto ‘O’ considerado. O vetor momento apresenta as seguintes características:

π

A

F

d

Mo

O

Mo


6

• direção : perpendicular ao plano formado pela força e pelo vetor OA

• sentido : regra da mão direita

• módulo: produto do módulo da força rF pela menor distância do ponto "0" a reta suporte da

força.

• ponto de aplicação : ponto "O" em relação ao qual se calculou o momento.

α= sen.OA.FoMrr

ou d .FoMrr

=

A distância d que representa o módulo do vetor OA é também chamada de braço de alavanca. Ela é a menor distância entre a reta suporte da força e o ponto em relação ao qual se calcula o momento , isto é, pode ser obtida pela perpendicular à reta que passa pelo ponto.

Isto simplifica em muito o cálculo do momento polar de uma força.

M = F.d

Regra da mão direita:

A regra da mão direita consiste em posicionar os dedos da mão direita no sentido da rotação provocada pela força em torno do ponto O. Neste caso o polegar indica o sentido do momento.

Podemos também convencionar sinais + ou - para cada um dos sentidos, de acordo com a nossa escolha.


7

Exemplo 1 : Determine o peso que devemos colocar na extremidade direita da gangorra a fim de que ela permaneça em equilíbrio estático.

P1 = 30 kN

a = 2 m

b = 4 m

Exemplo 2 : Determine a força desenvolvida no tirante da estrutura, a fim de que ela permaneça em equilíbrio, sabendo-se que a barra pesa 5 kN. A barra é presa a uma parede por meio de um pino O.

G = 5 kN

L = 3 m

α= 15º

T = ?

C. UNIDADE DE MOMENTO

Sendo o momento produto de uma força por uma distância,a unidade desta grandeza é o produto de uma unidade de força por uma unidade de distância.

Exemplos: kgf.m , kN.m , N.m , kN.cm , etc

III – RESULTANTE DE FORÇAS CONCORRENTES EM UM PONTO DE UM PLANO


8

A resultante de forças concorrentes em um ponto de um plano também pode ser calculada através da decomposição destas forças em relação à duas direções ortogonais escolhidas.

F1x = F1 . cos α F1y = F1 . sen α

F2x = F2 . cos β

F2y = F2 . sen β

Fx = F1x + F2x

Fy = F1y + F2y

2y

2x )F()F(R Σ+Σ= PITÁGORAS

IV . PRINCÍPIO DA SUPERPOSIÇÃO DE EFEITOS

" O efeito produzido por um conjunto de forças atuando simultaneamente em um corpo é igual a soma do efeito produzido por cada uma das forças atuando isolada"

Deve-se fazer a ressalva de que a validade deste princípio se resume a casos em que o efeito produzido pela força seja diretamente proporcional a mesma. Isto acontece na maioria dos casos estudados.

A partir deste princípio podemos dizer que:

- O momento polar resultante de um sistema de forças é a soma algébrica dos momentos polares, produzidos em relação ao mesmo ponto, por cada uma das forças atuando isolada.

V . TRANSLAÇÃO DE FORÇAS

Transladar uma força (como artifício de cálculo) é transportá-la de sua direção para outra direção paralela. Isto implica no acréscimo de um momento devido à translação, cujo módulo é igual ao produto da força pela distância de translação.


9

VII . REDUÇÃO DE UM SISTEMA DE FORÇAS À UM PONTO

Qualquer sistema de forças pode ser reduzido à um sistema vetor-par, onde o vetor é a resultante das forças , localizada à partir de um ponto arbitrariamente escolhido e o par é o momento polar resultante do sistema em relação ao mesmo ponto.

Exemplo 1: Reduzir o sistema de forças da figura ao ponto B indicado.

Exemplo 2 : Reduzir o sistema acima ao ponto A.

R:

VI . EQUIVALÊNCIA DE UM SISTEMA DE FORÇAS

Dois sistemas de forças são equivalentes quando tem resultantes iguais e momentos polares em relação ao mesmo ponto também iguais.


10

Exemplo:

F = 50 kN

α =

Fy = F. cos α

Fx = F. sen β

a = 3 m

b = 4 m

F - sistema inicial

Fx , Fy - sistema equivalente

MA (sistema inicial) =

MA (sistema equivalente) =

O uso de sistemas equivalentes é um artifício de cálculo muito útil. Podemos, de acordo com a nossa conveniência substituir uma força, ou um sistema de forças por sistemas equivalentes mais adequados ao nosso uso.

A


11

EXERCÍCIOS PROPOSTOS:

1. Suponha um plano formado pelos eixos x e y, conforme desenho, onde atuam as cargas F1 e F2.

Calcule:

a. Momentos desenvolvidos por F1 em relação aos pontos A , B e C. b. Momentos desenvolvidos por F2 em relação aos pontos A , B e C. c. Momento da resultante do sistema em relação aos pontos A , B e C . d. Resultante do sistema na direção x e. Resultante do sistema na direção y Convencione o giro no sentido horário positivo.

F1 = 20 kN

F2 = 30 kN

R: a) M1A = 0 M1B = 69,28 kN.m M1C = 109,28 kN.m

b) M2A = 120 kN.m M2B= 120 kN.m M2C = 0 c) MA = 120 kN.m MB = 189,28 kN.m MC = 109,28 kN.m

d) Fx = + 17,32 kN e) Fy = - 20 kN 2. Qual a força horizontal que atua nos parafusos 1 e 2 da ligação abaixo, considerando o momento

provocado pelo peso na ponta da haste

R : P1 = 100 kgf P2 = 100 kgf

x

y

F1

F2

3 m

3 m

A

B

C

300


12

3. Suponha as estruturas planas representadas abaixo. Determine, se necessário usando sistemas equivalentes Σ Fx ,ΣFy, ΣMA, ΣMB e ΣMC

a.

R: ΣFx = 25,98 kN ΣFy = 65 kN ΣMA = 138,04 kN.m ΣMB = 70 kN.m ΣMC = 330 kN.m

b.

R: ΣFx =16,64 kN ΣFy = -4,96kN ΣMA = -36 kN.m ΣMB = -84 kN.m ΣMC = -98,96 kN.m

4. Reduzir no ponto A o sistema de forças da figura:


13

CAPÍTULO II

INTRODUÇÃO À MECÂNICA DOS SÓLIDOS – EQUILÍBRIO EXTERNO

I. OBJETIVO PRINCIPAL DA MECÂNICA DOS SÓLIDOS

O principal objetivo de um curso de mecânica dos sólidos é o desenvolvimento de relações entre as cargas aplicadas a um corpo e as forças internas e deformações nele originadas. Estas relações são obtidas através de métodos matemáticos ou experimentais, que permitam a análise destes fenômenos.

Normalmente buscamos a solução de três tipos de problemas:

→ Projetos – Definição de materiais, forma e dimensões da peça estudada.

→ Verificações – Diagnosticar a adequação e condições de segurança de um projeto conhecido.

→ Avaliação de capacidade – Determinação da carga máxima que pode ser suportada com segurança.

As principais ferramentas adotadas neste processo são as equações de equilíbrio da estática, amplamente utilizadas.

II. GRAUS DE LIBERDADE (GL)

Grau de liberdade é o número de movimentos rígidos possíveis e independentes que um corpo pode executar.

A. CASO ESPACIAL

Caso dos corpos submetidos a forças em todas as direções do espaço.

No espaço estas forças podem ser reduzidas a três direções ortogonais entre si (x, y, z), escolhidas como referência.

Nestes casos o corpo possui 6 graus de liberdade, pois pode apresentar três translações (na direção dos três eixos) e três rotações (em torno dos três eixos).

Exemplo:

x

z

y

Fx

Fz

Fy

Mz

Mx

My


14

B. CASO PLANO

Ocorre nos corpos submetidos a forças atuantes em um só plano, por exemplo, x, y.

Neste caso possuem três graus de liberdade, pois os corpos podem apresentar duas translações (na direção dos dois eixos) e uma rotação (em torno do eixo perpendicular ao plano que contém as forças externas).

Exemplo:

III. EQUILÍBRIO

Sempre que se deseja trabalhar com uma peça componente de uma estrutura ou máquina, devemos observar e garantir o seu equilíbrio externo e interno.

A. EQUILÍBRIO EXTERNO

Para que o equilíbrio externo seja mantido se considera a peça monolítica e indeformável. Dize-se que um corpo está em equilíbrio estático quando as forças atuantes formam entre si um sistema equivalente à zero, isto é, sua resultante e o seu momento polar em relação a qualquer ponto são nulos.

R = 0 Mp = 0

Como se costuma trabalhar com as forças e momentos referenciados a um sistema tri-ortogonal de eixos, desta maneira o equilíbrio se verifica se as seis equações abaixo são satisfeitas:

ΣFx = 0 Σ Mx = 0

Σ Fy = 0 Σ My = 0

Σ Fz = 0 Σ Mz = 0

Diante de um caso de carregamento plano, e, portanto apresentando 3 graus de liberdade, as condições de equilíbrio se reduzem apenas às equações:

ΣFx = 0 Σ Fy = 0 Σ Mz = 0

Observe que as equações de equilíbrio adotadas devem ser apropriadas ao sistema de forças em questão, e se constituem nas equações fundamentais da estática.

x

z

y

Fx

Fy

Mz


15

B. EQUILÍBRIO INTERNO

De uma maneira geral podemos dizer que o equilíbrio externo não leva em conta o modo como o corpo transmite as cargas para os vínculos.

O corpo quando recebe cargas vai gradativamente deformando-se até atingir o equilíbrio, onde as deformações param de aumentar (são impedidas internamente), gerando solicitações internas. Estas solicitações internas são responsáveis pelo equilíbrio interno do corpo.

O equilíbrio ocorre na configuração deformada, que admitimos ser bem próxima da inicial (campo das pequenas deformações).

IV. DIAGRAMA DE CORPO LIVRE

O objetivo principal de um diagrama de corpo livre é mostrar as forças que atuam em um corpo de forma clara, lógica e organizada.

Consiste em separar-se o nosso “corpo de interesse” de todos os corpos do sistema com o qual ele interage.

Neste corpo isolado são representadas todas as forças que nele atuam, assim como as forças de interação ou de contato.

A palavra livre enfatiza a idéia de que todos os corpos adjacentes ao estudado são removidos e substituídos pelas forças que nele que exercem.

Lembre-se que sempre que há o contato entre dois corpos surge o princípio da ação e reação.

O diagrama do corpo livre define claramente que corpo ou que parte do corpo está em estudo, assim como identifica quais as forças que devem ser incluídas nas equações de equilíbrio.

V. VÍNCULOS

A. DEFINIÇÃO

É todo o elemento de ligação entre as partes de uma estrutura ou entre a estrutura e o meio externo, cuja finalidade é restringir um ou mais graus de liberdade de um corpo.

A fim de que um vínculo possa cumprir esta função, surgem no mesmo, reações exclusivamente na direção do movimento impedido.

→ Um vínculo não precisa restringir todos os graus de liberdade de uma estrutura, quem o fará será o conjunto de vínculos.

→ As reações desenvolvidas pelos vínculos formam o sistema de cargas externas reativas.

→ Somente haverá reação se houver ação, sendo as cargas externas reativas dependentes das ativas, devendo ser calculadas.


16

B. CLASSIFICAÇÃO

Os vínculos podem ligar elementos de uma estrutura entre si ou ligar a estrutura ao meio externo e, portanto, se classificam em vínculos internos e externos.

B.1 Vínculos externos:

São vínculos que unem os elementos de uma estrutura ao meio externo e se classificam quanto ao número de graus de liberdade restringidos.

No caso plano o vínculo pode restringir até 3 graus de liberdade (GL) e, portanto se classifica em três espécies.

Figura extraída do livro Mecânica Vetorial para engenheiros

Beer, Ferdinand P; Johnston, E. Russel.


17

B.2 Vínculos internos

São aqueles que unem partes componentes de uma estrutura. Compõem as estruturas compostas.

VI. CARGAS ATUANTES EM UMA ESTRUTURA

Quando se trabalha com uma peça de uma estrutura, devemos ter em mente a sua finalidade e, portanto, devemos avaliar a quantidade de carga que ela deve ser capaz de suportar.

Ao conjunto destas cargas damos o nome de CARGAS EXTERNAS ATIVAS.

Para que o equilíbrio desta peça seja garantido, devemos vinculá-la, ou seja, restringirmos as possibilidades de movimento da mesma. Em cada vínculo acrescido, surgem as reações na direção do movimento restringido. Estas reações são chamadas de CARGAS EXTERNAS REATIVAS.

O conjunto destas cargas, ativas e reativas, se constitui no carregamento externo da peça em estudo.

A. CARGAS EXTERNAS ATIVAS

As cargas aplicadas em uma peça de estrutura se classificam quanto ao modo de distribuição em:

→ Concentradas - São aquelas que atuam em áreas muito reduzidas em relação às dimensões da estrutura. Neste caso ela é considerada concentrada no centro de gravidade da área de atuação.

→ Cargas momento ou conjugados - momentos aplicados em determinados pontos de uma estrutura (fixos). Podem se originar de um par de forças, cargas excêntricas ou eixos de transmissão.

→ Cargas distribuídas - São aquelas que atuam em uma área com dimensões na mesma ordem de grandeza da estrutura.

As cargas também se classificam quanto ao tempo de duração em:

→ Permanentes - Atuam durante toda ou quase toda a vida útil de uma estrutura

→ Acidentais ou sobrecarga - Podem estar ou não atuando , sendo fornecidas por normas (NBR - 6.120/80), catálogos ou avaliadas em cada caso.

A classificação quanto ao ponto de aplicação fica:

→ Fixas – atuam sempre em um ponto ou uma região.

→ Móveis – percorrem a estrutura podendo atuar em vários dos seus pontos.

VII - EQUILÍBRIO EXTERNO EM DUAS DIMENSÕES

Ocorre quando as cargas que atuam na estrutura estão contidas em um mesmo plano, o que acontece na maior parte dos casos que iremos estudar.

Nestes problemas, é conhecido o sistema de cargas ativas que atua na estrutura e devemos calcular as cargas reativas capazes de manter o corpo em equilíbrio, neste plano.

Reações externas ou vinculares são os esforços que os vínculos devem desenvolver para manter em equilíbrio estático uma estrutura, considerada como um corpo rígido e indeformável.


18

Os vínculos são classificados de acordo com o número de graus de liberdade restringidos e só podemos restringir um GL mediante a aplicação de um esforço (força ou momento) na direção deste movimento.

A determinação das reações vinculares de uma estrutura é feita por intermédio de um sistema de equações algébricas.

Sendo o plano das cargas x y, e sabendo-se que a estrutura possui três graus de liberdade (translação nas direções x e y e rotação em torno do eixo z), o número de equações a serem satisfeitas é três e o equilíbrio se dá quando:

ΣFx = 0 Σ Fy = 0 Σ Mz = 0

Convém salientar que neste caso do carregamento plano, os vínculos podem ser de três espécies, simbolizados por:

1a espécie - restringe uma translação -

2a espécie - restringe duas translações -

3a espécie - restringe duas translações e uma rotação -

Desta maneira, cada movimento restringido corresponde a uma reação vincular (incógnita), que deve ser determinada.

Para serem restritos três graus de liberdade, as reações devem ser em número de três.

Como se dispõe de três equações a serem satisfeitas, a aplicação destas equações leva à determinação das reações (incógnitas) desejadas.

OBSERVAÇÃO IMPORTANTE: A eficácia vincular deve ser previamente analisada, pois muitas vezes o número de restrições é suficiente, mas a sua disposição não é eficiente.

VIII - PROCEDIMENTO DE CÁLCULO:

→ Transforma-se a estrutura dada num corpo livre, substituindo-se todos os vínculos externos pelas reações vinculares que o mesmo pode desenvolver, arbitrando-se um sentido para cada esforço.

→ Para que o equilíbrio externo seja mantido é necessário que as três equações da estática sejam satisfeitas.

Σ Fx = 0 Σ Fy = 0 ΣMz = 0

→ As cargas distribuídas devem ser substituídas por suas respectivas resultantes (este artifício é válido somente para o cálculo das reações externas).


19

→ Como escolhemos direções de referência (x e y), as cargas que não estiverem nestas direções devem ser decompostas, ou seja, substituídas por um sistema equivalente.

→ Resolvido o sistema de equações, reação negativa deve ter o seu sentido invertido.

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

1. Observe-se na figura abaixo, três cargas aplicadas a uma viga. A viga é apoiada em um rolete em A e em uma articulação em B. Desprezando o peso próprio da viga, determine as reações em A e B quando Q = 75 kN.

R: VA = 30 kN ( ↑ ) VB = 105 kN ( ↑ ) HB = 0

2. Um vagonete está em repouso sobre os trilhos que formam um ângulo de 25º com a vertical. O peso bruto do vagonete e sua carga são de 27,5 kN e está aplicado em um ponto a 0,75 m dos trilhos e igual distância aos eixos das rodas. O vagonete é seguro por um cabo atado a 0,60 m dos trilhos. Determinar a tração no cabo e a reação em cada par de rodas.

R: T = 24,9 kN ( ) R1 = 2,81 kN ( ) R2 = 8,79 kN ( )

3. A estrutura da figura suporta parte do telhado de um pequeno edifício. Sabendo que a tração

no cabo é de 150 kN, determine a reação no extremo fixo E.


20

R: HE = 90 kN (←) VE = 200 kN ( ↑ ) ME = 180 kN.m ( anti-horário)

4. Uma empilhadeira de 2500 kgf é utilizada para levantar uma caixa de 1200 kgf. Determine a reação em cada par de rodas: (a) dianteiras e (b) traseiras.

R : RA = 2566 kN RB = 1134 kN

5. Um carrinho de mão é utilizado para transportar um cilindro de ar comprimido. Sabendo-se que o peso total do carrinho e do cilindro é de 900 N, determine: (a) a força vertical P que deve ser aplicada ao braço do carrinho para manter o sistema na posição ilustrada. (b) a reação correspondente em cada uma das rodas.

R: (a ) 117 N ( ↑ ) (b) 392 N ( ↑ )


21

6. Um guindaste montado em um caminhão é utilizado para erguer um compressor de 3000 N. O peso da lança AB e do caminhão estão indicados, e o ângulo que a lança faz com a horizontal α é de 45º. Determine a reação em cada uma das rodas: (a) traseiras C, (b) dianteiras D.

R: RC = 19645 kN RD = 9605 kN

7. Uma treliça pode ser apoiada de duas maneiras, conforme figura. Determine as reações nos apoios nos dois casos.

R: (a) RA = 4,27 kN ( 20,6º) RB = 4,5 kN ( ↑ ) (b) RA = 1,50 kN ( ↑ ) ; RB = 6,02 kN ( 48,4º) 8. Determine as reações em A e B quando: (a) α = 0º (b) α = 90º (c) α = 30º


22

9. Um homem levanta uma viga de 10 kg e 10 m de comprimento puxando uma corda. Encontrar a força de tração T na corda e a reação em A. Suponha a aceleração da gravidade igual a 9,81 m/s2.

R: T = 81,9 N R = 148 N ( 58,6 º)

10. Uma carga P á aplicada a rotula C da treliça abaixo. Determine as reações em A e B com: (a)

α = 0º e (b) α = 45º.

R: α = 0o VA = -P HA = P VB = P α = 45o VA = 0 HA = 0,7 P VB = 0,7 P

11. Calcule as reações externas das estruturas abaixo:

a.


23

R: VA = VB 27,5 KN HA = 25,98 KN

b.

VA = - 5 kN VB = 95 kN HA = 0

c.

VA = - 8,75 kN VB = 8,75 kN HA = 0

d.

VA = 60 kN VB = 0 HA = 0


24

e.

VA = 27,5 kN VB = 62,5 kN HB = 0

VA = 40 kN HA = 0 MA = 75 kN.M (anti-horário)

g.

VA = 70 kN HA = 0 MA = 140 kN.m (anti-horário)

h.

VA = 73,4 kN HA = 25 kN (←) MA = 68,3 kN (anti-horário)


25

CAPÍTULO III

EQUILÍBRIO INTERNO – SOLICITAÇÕES INTERNAS

I. EQUILÍBRIO INTERNO

No capítulo dois a atenção foi centralizada no equilíbrio externo dos corpos, ou seja, não houve a consideração da possibilidade de deformação dos corpos sendo os mesmos considerados rígidos.

Nestes problemas, é conhecido o sistema de cargas ativas que atua na estrutura e devem ser calculadas as cargas reativas capazes de manter o corpo em equilíbrio. As cargas reativas ou reações vinculares são determinadas com a aplicação das equações fundamentais da estática.

Observe-se que após o equilíbrio externo ser obtido pode-se então passar a analisar o equilíbrio interno.

De uma maneira geral pode-se dizer que:

1. O equilíbrio externo não leva em conta o modo como o corpo transmite as cargas para os apoios.

2. O corpo quando recebe carregamento vai gradativamente deformando-se até atingir o equilíbrio, onde as deformações param de aumentar (são impedidas internamente), gerando solicitações internas.

3. O equilíbrio interno ocorre na configuração deformada, que admitimos ser bem próxima da inicial (campo das pequenas deformações).

Pretende-se analisar os efeitos que a transmissão deste sistema de cargas externas aos apoios provoca nas diversas seções que constituem o corpo em equilíbrio.

Para tanto, supõe-se o corpo em equilíbrio sob efeito de um carregamento qualquer. Se este corpo for cortado por um plano qualquer (a-a), rompe-se o equilíbrio, pois é destruída a sua cadeia molecular na seção "S" de interseção do plano com o corpo.

Para que as partes isoladas pelo corte permaneçam em equilibradas, deve-se aplicar, por exemplo, sobre a parte da esquerda, a ação que a parte da direita exercia sobre ela, ou seja, resultante de força

(Rr) e resultante de momento (

rM ). O mesmo deve ser feito com a parte da esquerda cujas

resultantes estão também representadas.


26

rR - Resultante de forças da parte retirada rM - Resultante de momentos da parte retirada, criado pela translação da resultante R para o baricentro da seção de corte.

As resultantes nas seções de corte de ambos os lados devem ser tais que reproduzam a situação original quando as duas partes forem ligadas novamente, ou seja, pelo princípio da ação e reação devem ser de mesmo módulo, mesma direção e sentidos opostos.

M e Rrr São as resultantes das solicitações internas referidas ao centro de gravidade da seção de corte

da barra.

Quando se quer conhecer os esforços em uma seção S de uma peça, deve-se cortar a peça na seção desejada, isolar um dos lados do corte (qualquer um). Pode-se dizer que no centro de gravidade desta seção devem aparecer esforços internos (resultante de força e de momento) que mantém o corpo isolado em equilíbrio.

Estes esforços representam à ação da parte retirada do corpo. Em isostática a seção de referência adotada será a seção transversal das peças em estudo e estes esforços internos devidamente classificados se constituem nas solicitações internas.

Este procedimento descrito chama-se Método das Seções.

II. CLASSIFICAÇÃO DAS SOLICITAÇÕES

Trabalha-se com um um sistema sujeito à cargas em um plano.

Para que se facilite a observação e sua determinação, os esforços internos estão associados às deformações que provocam e se classificam de acordo com elas.

Sabe-se também que um vetor no plano pode ser decomposto segundo duas direções que forem escolhidas e adota-se duas direções perpendiculares entre si no espaço (x, y).

Em primeiro lugar, e de acordo com o método das seções , intercepta-se por um plano o corpo carregado, isolando um dos lados deste corte.

M

M


27

Os vetores resultantes r rR e M são decompostos segundo estas direções escolhidas e se obtém duas

componentes de esforço e uma componente de momento.

F1 F2

F3 F4

F1 F2

F3 F4

F1 F2

F3 F4

S

x

y

z

F1 F2

F3 F4

x

y

z

→→→→R

→→→→M

x

y

→→→→R

→→→→M

z

F1 F2

F3 F4

x

y

z

→→→→R

→→→→M

Q

N


28

Denominam-se as componentes da seguinte maneira:

N - Esforço Normal

Q - Esforço Cortante

M - Momento Fletor

Cada solicitação conforme já vimos tem associada a si uma deformação:

A. ESFORÇO NORMAL (N):

Pode-se definir esforço normal em uma seção de corte como sendo a soma algébrica das componentes de todas as forças externas na direção perpendicular à referida seção (seção transversal), ou seja, todas as forças de um dos lados isolado pelo corte na direção do eixo x.

O efeito do esforço normal será de provocar uma variação da distância que separa as seções, que permanecem planas e paralelas.

As fibras longitudinais que constituem estas seções também permanecem paralelas entre si, porém com seus comprimentos alterados (sofrem alongamentos ou encurtamentos).

O esforço normal será considerado positivo quando alonga a fibra longitudinal e negativo no caso de encurtamento.

B. ESFORÇO CORTANTE (Q):

Pode-se definir esforço cortante em uma seção de referência como à soma vetorial das componentes do sistema de forças de um dos lados da seção de referência (seção de corte), sobre o próprio plano desta seção.

O efeito do esforço cortante é o de provocar o deslizamento linear, no sentido do esforço, de uma seção sobre a outra infinitamente próxima, acarretando o corte ou cisalhamento da mesma.

N = ΣΣΣΣ Fx ext


29

Os esforços cortantes serão positivos, quando calculados pelo somatório das forças situadas à esquerda seguem o sentido arbitrado para os eixos e quando calculados pelo somatório das forças à direita forem contrários aos eixos.

C. MOMENTO FLETOR (M):

Pode-se definir momento fletor em uma seção como a soma vetorial dos momentos provocados pelas forças externas de um dos lados da seção (tomada como referência), em torno de eixos nela contidos (eixos y e z).

Não é usual, entretanto trabalhar-se com a soma vetorial optando-se pelo cálculo separado dos momentos em relação aos eixos y e z, transformando a soma em algébrica.

O efeito do momento fletor é o de provocar o giro da seção em torno de um eixo contido por ela mesma. As fibras de uma extremidade são tracionadas, enquanto que na outra são comprimidas. As seções giram em torno do eixo em torno do qual se desenvolve o momento, permanecendo planas.

III – CÁLCULO DAS SOLICITAÇÕES EM UMA SEÇÃO

Conforme já se viu, corta-se uma estrutura por uma seção, e nesta seção devem aparecer esforços que equilibrem o sistema isolado (solicitações internas).

Será feita a análise em estruturas sujeitas a carregamento plano onde os esforços desenvolvidos são o esforço normal N (ΣΣΣΣFx), o esforço cortante Qy (ΣΣΣΣFy) ou simplesmente Q e o momento fletor Mz ou simplesmente M. Com o fim de uniformizar-se a representação serão representadas graficamente as convenções para o sentido positivo destas solicitações.

M = Σmext


30

O “MÉTODO DAS SEÇÕES” consiste em:

1. Corta-se a peça na seção desejada e isola-se um dos lados do corte (qualquer um), com todos os esforços externos atuando.

2. Na seção cortada devem ser desenvolvidas solicitações que mantém o sistema isolado em equilíbrio. Arbitra-se as solicitações possíveis de serem desenvolvidas (N, Q e M) com suas orientações positivas. Estas solicitações são os valores que serão determinados.

3. Aplicam-se as equações de equilíbrio na parte do corpo isolada em relação à seção cortada e determinam-se os valores procurados. Observe-se que as solicitações a serem determinadas são em número de três e dispomos também de três equações de equilíbrio, podendo-se então formar um sistema de três equações com três incógnitas.

Exemplo:

Calcule as solicitações desenvolvidas na seção intermediária da viga abaixo.

VA = VB = q l.

2

Cortando e isolando um dos lados do corte:

Aplicando as equações de equilíbrio, teremos:

ΣFx = 0 ∴ N = 0

Σ Fy = 0 ∴ 02

l.q

2

l.qQ =+− ∴ Q = 0

Σ MS = 0 ∴ 02

l.

2

l.q

4

l.

2

l.qM =

−

+

Ms = 8

l.q 2


31


1. Uma barra está carregada e apoiada como mostra a figura. Determine as forças axiais transmitidas pelas seções transversais nos intervalos AB, BC e CD da barra:

R: NAB = - 20 kN NBC = + 60 kN NCD = + 10 kN

2. Três cargas axiais estão aplicadas a uma barra de aço como mostra a figura. Determine os esforços normais desenvolvidos nas seções AB, BC e CD da barra.

R : NAB = - 25 kN NBC = +50 kN NCD = - 50 kN

3. Determine as solicitações internas desenvolvidas na seção a-a’ da barra da figura abaixo:

R: N = 300 kN Q = - 500 kN M = -3600 kN.cm

500 kN

300 kN

8 cm

16 cm 12 cm

40 kN

50 kN

10 kN

40 kN


32

4. Determine as solicitações internas na seção a-a’ da barra ABC da estrutura composta pelas três barras mostradas na figura:

R: N= 1,53 kN

Q = - 2,55 kN M = 297,4 kN.mm

5. Determine as solicitações na seção a-a’ da barra abaixo:

R : N = 225 N Q = -139,71 N (↓)

M = + 95,91 N.m (horário)

6. Para a viga da figura abaixo determine as reações externas de vínculo e as solicitações internas transmitidas por uma seção transversal a 75 cm do apoio A.

R : VA = 8 kN VB = 64 kN N = 0 Q = 0,5 kN M = 3,18 kN.m

32 kN

10 kN/m

4 m 1,5 m


33

7. Para a viga abaixo, determine as reações de apoio e as solicitações internas em uma seção a

2 m do apoio esquerdo.

R: VA = 21 kN VB = 9 kN N = 0 Q = 11 kN

M = 14 kN.m

8. Determine as solicitações internas transmitidas pela seção a-a da barra em L mostrada abaixo:

R: N = -434,18 lb Q = 105,84 lb M = -846,72 lb.in

60o


34

CAPÍTULO IV

INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS

I. OBJETIVO FUNDAMENTAL

A Resistência dos Materiais se preocupa fundamentalmente com o comportamento das diversas partes de um corpo quando sob a ação de solicitações.

Ao estudar-se o equilíbrio interno de um corpo, as solicitações internas fundamentais (M, Q, N e Mt) são determinadas. Se está penetrando no interior da estrutura, para analisar-se, em suas diversas seções, a existência e a grandeza dos esforços que a solicitam.

A avaliação destes esforços foi objeto de estudo na disciplina de Estruturas Isostáticas que deve preceder a Resistência dos Materiais.

Consideram-se corpos reais, isótropos e contínuos constituídos de pequenas partículas ligadas entre si por forças de atração. Com a aplicação de esforços externos supõe-se que as partículas destes corpos se desloquem e que isto prossiga até que se atinja uma situação de equilíbrio entre os esforços externos aplicados e os esforços internos resistentes. Este equilíbrio se verifica nos diversos pontos do corpo citado e se manifesta sob a forma de deformações (mudança da forma original), dando origem à tensões internas.

Observe-se que o equilíbrio se dá na configuração deformada do corpo, que admitiremos como igual a configuração inicial pois em estruturas estaremos sempre no campo das pequenas deformações.

Resumindo, em um corpo que suporta cargas ocorre:

1. Um fenômeno geométrico que é a mudança da sua forma original: Isto é deformação.

2. Um fenômeno mecânico que é a difusão dos esforços para as diversas partes do corpo: Isto é tensão.

É claro que se entende que a capacidade que um material tem de resistir as solicitações que lhe são impostas é limitada, pois pode ocorrer a ruptura do corpo quando o carregamento for excessivo. É necessário conhecer esta capacidade para que se projete com segurança.


Estrutura



Solicitações

Tensões

Deformações


Critério de Resistência (Coeficiente de Segurança)

PROJETO

VERIFICAÇÃO


35

II. TENSÕES

Conforme se citou, as tensões que se desenvolvem nas partículas de um corpo são consequência dos esforços (força ou momento) desenvolvidos. Como os esforços são elementos vetoriais (módulo, direção e sentido) a tensão como consequência também o será.

Lembra-se do método das seções visto em Isostática:

Supõe-se um corpo carregado e em equilíbrio estático. Ao se cortar este corpo por um plano qualquer e isolando-se uma das partes, pode-se dizer que na seção cortada devem se desenvolver esforços que se equivalham aos esforços da parte retirada, para que assim o sistema permaneça em equilíbrio. Estes esforços são decompostos e se constituem nas solicitações internas fundamentais. O isolamento de qualquer uma das partes deve levar ao mesmo resultado.

As resultantes nas seções de corte de ambos os lados devem ser tais que reproduzam a situação original quando as duas partes forem ligadas novamente, ou seja, pelo princípio da ação e reação devem ser de mesmo módulo, mesma direção e sentidos opostos. r rR e M são as resultantes das solicitações internas referidas ao centro de gravidade da seção de corte da barra.

Partindo-se deste raciocínio pode-se afirmar que em cada elemento de área que constitui a seção cortada, está sendo desenvolvido um elemento de força, cujo somatório (integral) ao longo da área mantém o equilíbrio do corpo isolado.

∫ρ=A

dA.Rr

O Momento M resultante se deve à translação das diversas forças para o centro de gravidade da seção.


36

A tensão média (rρm) desenvolvida no elemento de área citado nada mais é do que a distribuição

do efeito da força pela área de atuação da mesma.

Sejam:

∆ A → Elemento genérico de área ∆Α ∆

rF → Elemento de força que atua em ∆Α

rρm → tensão média

rr

ρmF

A=

∆∆

Como a tensão é um elemento vetorial se pode representá-la aplicada em um ponto determinado, que obtem-se fazendo o elemento de área tender ao ponto (∆A→0), e então: rρ = Tensão atuante em um ponto ou tensão resultante em um ponto

ou gráficamente:

Ainda por ser um elemento vetorial ela pode, como qualquer vetor, ser decomposta no espaço segundo três direções ortogonais que se queira, portanto escolhe-se como referência duas direções contidas pelo plano da seção de referência "S" (x,y) e a terceira perpendicular à este plano (n).

∆Α ∆F

ρ

dA

Fd =

A

F lim0A

rrr

∆

∆=ρ

→∆


37

Isto permite dividir as componentes da tensão do ponto em duas categorias:

1. Tensões Tangenciais ou de Cisalhamento (τ) - contidas pela seção de referência

2. Tensão Normal (σ) - perpendicular à seção de referência

Costuma-se em Resistência dos Materiais diferenciar estas duas tensões pelos efeitos diferentes que elas produzem (deformações) e se pode adiantar que normalmente trabalham-se com estas componentes ao invés da resultante.



Costuma-se medir a deformação de peças sujeitas a tensão normal pela deformação específica longitudinal (ε).

1. nceito:

É a relação que existe entre a deformação medida em um corpo e o seu comprimento inicial, sendo as medidas feitas na direção da tensão.

li → comprimento inicial da barra lf → comprimento final da barra ∆l →deformação total

∆l = l f - l i

z

x

y

σ

τ

li

lf

σ σ


38

il

l∆=ε


Pode-se mostrar um outro exemplo onde ∆ l < 0 conseqüentemente ε < 0 (encurtamento)

Neste exemplo ∆ l ⟨ 0 portanto ε ⟨ 0

2. Sinal:

(+) alongamento→ Corresponde à uma tensão de tração que também será positiva

(-) encurtamento → Corresponde à uma tensão de compressão que também será negativa

3. Unidade:

- adimensional quando tomarmos para ∆l a mesma unidade que para li

-Taxa milesimal (o/oo) - Nestes casos medimos ∆l em mm e li em m(metros).

B. TENSÕES TANGENCIAIS ( τ ) É a tensão desenvolvida no plano da seção de referência tendo o efeito de provocar corte ou cisalhamento nesta seção.

1. Lei da Reciprocidade das tensões tangenciais

Esta lei representa uma propriedade especial das tensões tangenciais. Pode-se provar a sua existência a partir das equações de equilíbrio estático. Pode-se enunciá-la de forma simples e aplicá-la.

Suponha duas seções perpendiculares entre si formando um diedro retangulo. Se em uma das faces deste diedro existir uma tensão tangencial normal a aresta de perpendicularidade das faces, então, obrigatóriamente na outra face, existirá a mesma tensão tangencial normal a aresta. Ambas terão o mesmo módulo e ambas se aproximam ou se afastam da aresta de perpendicularidade. São chamadas de tensões recíprocas."

Para facilitar a compreensão, pode-se representa-la gráficamente:

li

lf

σ σ


39

A figura (c) demonstra o desenvolvimento das tensões de cisalhamento longitudinais, recíprocas às tensões de cisalhamento desenvolvidas pelo esforço cortante.

2. Distorção Específica ( γ )

Medida de deformação de corpos submetidos a tensões tangenciais.

Supõe-se um bloco com arestas A, B, C e D, submetido a tensões tangenciais em suas faces. Para melhor ser visualisar a deformação considera-se fixa a face compreendida pelas arestas A e B.

DB

'DD

CA

CC' = tg =γ

Como em estruturas trabalha-se sempre no campo das pequenas deformações e então γ <<< 1 rad, então arco e tangente se confundem :

DB

'DD

CA

CC' =≅γ

(c)

C C’ D D’

A B

τ τ

τ

ττττ

γ


40

2.1 Conceito:


2.2 Unidade:

As observações quanto a unidade da distorção seguem as da deformação específica longitudinal: adimensional ou taxa milesimal, ressalvando-se que quando adimensional representa um arco expresso em radianos.


Deformação é a alteração da forma de um corpo devido ao movimentos das partículas que o constituem.

A tendência dos corpos de voltarem a forma original devido a força de atração entre as partículas representa a elasticidade do material. Quanto mais um corpo tende a voltar a sua forma original, mais elástico é seu material, ou seja, quanto mais ele resiste a ser deformado maior é a sua elasticidade.

Pode-se diferenciar os tipos de deformações observando um ensaio simples, de uma mola presa a uma superfície fixa e submetida sucessivamente a cargas cada vez maiores até a sua ruptura.


Uma deformação é elástica quando cessado o efeito do carregamento o corpo volta a sua forma original.

Exemplo:

No exemplo acima, se medidas numéricamente as grandezas vamos ver que:

kd

P= .....

d

P

d

P

n

n

2

2

1


Conclui-se que as duas propriedades que caracterizam uma deformação elástica são:

1. Deformações reversíveis

2. Proporcionalidade entre carga e deformação.


41


Se fosse aumentada a carga sobre esta mola ela chegaria a uma situação em que terminaria a proporcionalidade e apesar da tendência do corpo em assumir sua forma original, sempre restariam as chamadas deformações residuais.


Note-se que no regime plástico termina a proporcionalidade e a reversibilidade das deformações.

Se fosse aumentada ainda mais a carga, o próximo limite seria a ruptura.

V. LEI DE HOOKE

A maioria dos projetos de peças serão tratados no regime elástico do material, sendo os casos mais sofisticados trabalhados em regime plástico e se constituindo no que há de mais moderno e ainda em estudo no campo da Resistência dos Materiais.


As tensões desenvolvidas e suas deformações específicas consequentes são proporcionais enquanto não se ultrapassa o limite elástico do material.

A Lei de Hooke pode ser representada pelas expressões analíticas:

al)longitudin deelasticida de .(modE=ε

σ

al) transversdeelasticida de.mod(G=γ

τ

Estes módulos de elasticidade são constantes elásticas de um material, e são determinados experimentalmente.


42

VI. LEI DE POISSON ( DEFORMAÇÃO ESPECÍFICA TRANSVERSAL)

notação : εt

Poisson determinou experimentalmente a deformação que as peças sofrem nas direções perpendiculares a da aplicação da tensão normal.

A. CONCEITO:

Deformação específica transversal é a relação entre a deformação apresentada e o seu comprimento respectivo, ambos medidos em direção perpendicular à da tensão.

D

Dt

∆=ε

Os estudos de Poisson sobre a deformação transversal levam as seguintes conclusões:

1. ε e εt tem sempre sinais contrários

2. As deformações específicas longitudinais e transversais são proporcionais em um mesmo material

µ−=ε

εt

O coeficiente de Poisson é a terceira constante elástica de um material, também determinada experimentalmente.

3. Em uma mesma seção a deformação específica transversal é constante para qualquer direção perpendicular ao eixo.

li

lf

σ σ

D

D+∆D

li

lf

σ σ

a

a+∆a

b+∆b b


43

tetanconsb

b

a

at =ε=

∆=

∆


)1(2

EG

µ+=

Resumindo:

VII. PROPRIEDADES MECÂNICAS DOS MATERIAIS

Para serem determinadas as características mecânicas dos materiais são realizados em laboratório ensaios com amostras do material, que são chamadas de corpos de prova.


O ensaio mais costumeiro é o de tração simples, onde determinam-se as TENSÕES LIMITES dos diversos materiais, que indica a tensão máxima alcançada pelo material, em laboratório, sem que se inicie o seu processo de ruptura.

Com a realização destes ensaios pode-se classificar os materiais em dois grupos:

frageis materiais

dúteis materiais


São considerados materiais dúteis aqueles que sofrem grandes deformações antes da ruptura. Dentre os materiais dúteis ainda temos duas categorias:


exemplo: aço comum

Num ensaio de tração axial simples costuma-se demonstrar os resultados atravéz de um diagrama tensão x deformação específica (σ x ε ).

−µ

E

E

E

xz

xy

xx

σµ−=ε

σµ−=ε

σ=ε

µ = Coeficiente de Poisson


44

No caso de material dútil com escoamento real a forma deste diagrama segue o seguinte modelo:

reta OA - Indica a proporcionalidade entre σ x ε , portanto o período em que o material trabalha em regime elástico (lei de Hooke). Deformações reversíveis.

σp - Tensão de proporcionalidade


curva AB - A curvatura indica o fim da proporcionalidade, caracterizando o regime plástico do material. Podemos notar que as deformações crescem mais rapidamente do que as tensões e cessado o ensaio já aparecem as deformações residuais, que graficamente podemos calcular traçando pelo ponto de interesse uma reta paralela à do regime elástico. Notamos que neste trecho as deformações residuais são ainda pequenas mas irreversíveis.

σe - Tensão de escoamento

Quando é atingida a tensão de escoamento o material se desorganiza internamente (a nível molecular) e sem que se aumente a tensão ao qual ele é submetido, aumenta grandemente a deformação que ele apresenta.

trecho BC - Chamado de patamar de escoamento. Durante este período começam a aparecer falhas no material (estricções), ficando o mesmo invalidado para a função resistente.

curva CD - Após uma reorganização interna o material continua a resistir a tensão em regime plástico, porém agora com grandes e visíveis deformações residuais. As estricções são agora perceptíveis nítidamente. Não se admitem estruturas com esta ordem de grandeza para as deformações residuais.

σR - Tensão de ruptura

Conforme se pode analisar no ensaio acima, o material pode ser aproveitado até o escoamento, portanto sua TENSÃO LIMITE será a TENSÃO DE ESCOAMENTO.


45



Se comporta de maneira semelhante ao anterior, mas não apresenta patamar de escoamento. Como em estruturas não se admitem grandes deformações residuais se convenciona este limite, ficando a tensão correspondente convencionada como TENSÃO DE ESCOAMENTO, que é também a TENSÃO LIMITE do material.

OBSERVAÇÕES:


Apresentam uma propriedade importantíssima que é resistirem igualmente a tração e a compressão. Isto quer dizer que o escoamento serve como limite de tração e de compressão.


Exemplo : concreto


Nestes casos a tensão limite é a tensão de ruptura.

Ao contrário dos materiais dúteis, eles resistem diferentemente a tração e a compressão, sendo necessário ambos os ensaios e obtendo-se assim dois limites:

σT = Limite de ruptura a tração

σC = Limite ruptura a compressão



46

IX. CRITÉRIO DE RESISTÊNCIA - COEFICIENTE DE SEGURANÇA

Em termos gerais um projeto está sempre ligado ao binômio economia x segurança. Deve-se aotar um índice que otimize este binômio.

Pode-se dizer também que mesmo sendo determinada em laboratório a utilização da tensão limite em projetos é arriscada, pois os valores são trabalhados com diversos fatôres de incerteza.


A tensão limite é reduzida divindo-a por um número que se chama coeficiente de segurança (s). Para que este número reduza o módulo da tensão limite, ele deve ser maior do que a unidade. Então, para que haja segurança:

1 s ≥

As tensões assim reduzidas, que são as que realmente se pode utilizar. São chamadas de tensões admissíveis ou tensões de projeto. Para serem diferenciadas das tensões limites são assinaladas com uma barra (σσσσ ).

slim

adm

σ=σ

Resumindo analíticamente o critério de segurança conforme abaixo, para os diversos casos:


ee

máxt sσ=

σ=σ (tensão de escoamento

admissível)

TT

máxt sσ=

σ=σ (tensão de tração admissível)

ee

máxc sσ=


admIssível)

cc

máxc sσ=

σ=σ (tensão de compressão

admissível)


47


1. Uma barra de latão de seção circular de diâmetro três cm está tracionada com uma força axial de 50 kN. Determinar a diminuição de seu diâmetro. São dados do material o módulo de elasticidade longitudinal de 1,08. 104 kN/cm2 e o seu coeficiente de Poisson 0,3.

R: 5,89. 10-4 cm

2. Uma barra de aço de 25 cm de comprimento e seção quadrada de lado 5 cm suporta uma força axial de tração de 200 kN. Sendo E = 2,4. 104 kN/cm2 e µ = 0,3 , qual a variação unitária do seu volume ?

R: 0,000133

3. Uma barra de alumínio de seção circular de diâmetro 1. 1/4” está sujeita à uma força de tração de 5.000 kgf. Determine”:

a. Tensão normal (a) 651,89 kgf/cm2 b. Deformação específica longitudinal (b) 0,000815 c. Alongamento em 8" (c) 0,163 mm d. Variação do diâmetro (d) - 0,006 mm Admita: E = 0,8. 106 kgf/cm2 µ = 0,25 1" = 25 mm 4. Considere um ensaio cuidadosamente conduzido no qual uma barra de alumínio de 50 mm de diâmetro é solicitada em uma máquina de ensaio. Em certo instante a força aplicada é de 100 kN e o alongamento medido na direção do eixo da barra 0,219 mm em uma distancia padrão de 300 mm. O diâmetro sofreu uma diminuição de 0,0125 mm. Calcule o coeficiente de Poisson do material e o seu módulo de elasticidade longitudinal.

R: µ= 0,33 E =0,7 . 104 kN/cm2


48

CAPÍTULO V

SOLICITAÇÕES INTERNAS SEUS EFEITOS - ESFORÇO NORMAL AXIAL

I . INTRODUÇÃO

I. CONCEITO:

Quando um corpo que está sob ação de forças externas, na direção do seu eixo longitudinal, origina-se Esforços Normal no seu interior, mesmo sendo de equilíbrio a situação.

Assim como todo o corpo está em equilíbrio, qualquer parte sua também estará.

Adotando-se o método nas seções, e seccionando o corpo, na seção de corte de área A, deve aparecer uma força equivalente ao esforço normal N, capaz de manter o equilíbrio das partes do corpo isoladas pelo corte (fig b e c). Observe que se as partes isoladas forem novamente unidas, voltamos a situação precedente ao corte.

Neste caso, apenas a solicitação de esforço normal N, atuando no centro de gravidade da seção de corte é necessária para manter o equilíbrio.

Na prática, vistas isométricas do corpo são raramente empregadas, sendo a visualização simplificada por vistas laterais.


49

Σ FV = 0 ∴ N - P = 0

Admite-se que este esforço normal se distribui uniformemente na área em que atua (A), ficando a tensão definida pela expressão:

sendo:

N → Esforço Normal desenvolvido

A→ Área da seção transversal

A tração ou Compressão axial simples pode ser observada, por exemplo, em tirantes, pilares e treliças.

A convenção adotada para o esforço normal (N)

Nas tensões normais, adota-se a mesma convenção.

N = P

A

N = σ

P

P

P

P

N

N

P

P

σ

σ

+ tração Normal N - compressão


50

As deformações desenvolvidas podem ser calculadas diretamente pela lei de Hooke:

ε = l

l ∆

E σ

=ε

N = P A

N = σ

E =

l

l σ∆ ∴∴∴∴

EA

N =

l

l ∆ ou :

E.A

N.l = l∆

OBSERVAÇÕES:

1. Deve-se ter um cuidado adicional para com as peças comprimidas, pois as peças esbeltas devem ser verificadas à flambagem. A flambagem representa uma situação de desequilíbrio elasto-geométrico do sistema e pode provocar o colapso sem que se atinja o esmagamento.

2. O peso próprio das peças constitui-se em uma das cargas externas ativas que devem ser resistidas. Pode-se observar como se dá a ação do peso próprio:

P P

l

l + ∆l

Peças de eixo horizontal

pp

Peças de eixo vertical

G


51

Nota-se que nas peças horizontais o peso próprio constitui-se em uma carga transversal ao eixo, desenvolvendo Momento Fletor e Esforço Cortante.

No caso das peças verticais o peso próprio (G), atua na direção do eixo longitudinal da peça e provoca Esforço Normal, que pode ter um efeito diferenciado dependendo da sua vinculação:

Nas peças suspensas (tirantes) o efeito do peso é de tração e nas apoiadas (pilares) este efeito é de compressão.

O peso próprio de uma peça (G) pode ser calculado, multiplicando-se o volume da mesma pelo peso específico do material:

l..AG γ=

Sendo: A - área da seção transversal da peça l - comprimento γγγγ – peso específico do material

Na tração ou compressão axial a não consideração do peso próprio é o caso mais simples.

A não consideração do peso próprio se dá em peças construídas em materiais de elevada resistência, quando a mesma é capaz de resistir a grandes esforços externos com pequenas dimensões de seção transversal, ficando portanto o seu peso próprio um valor desprezível em presença da carga externa. Nestes casos é comum desprezar-se o peso próprio da peça. Exemplo: Treliças e tirantes.


1. Uma força de tração axial é aplicada à barra de aço estrutural abaixo, que tem 25 mm de espessura. Se a tensão de tração admissível deste aço é 135 MPa e a deformação longitudinal admissível 1,25 mm, determine a largura mínima ‘d’ da barra.

R: 5,64 cm 2. Uma barra de seção transversal retangular de 3 x 1 cm tem comprimento de 3 m. Determinar o alongamento produzido por uma carga axial de tração de 60 kN, sabendo-se que o módulo de elasticidade longitudinal do material é de 2. 104 kN/cm2.

R: 0,3 cm

3. Uma barra de aço e outra de alumínio têm as dimensões indicadas na figura. Determine a carga "P" que provocará um encurtamento total de 0,25 mm no comprimento do sistema. Admitimos que as barras sejam impedidas de flambar lateralmente, e despreza-se o peso próprio das barras. Dados: Eaço = 2 . 104 kN/cm2 EAl = 0,7 . 104 kN/cm2 OBS : medidas em cm

200 kN 200 kN ‘d’

25 mm


52

R : P ≅ 1.900 kN

4. Um cilindro sólido de 50 mm de diâmetro e 900 mm de comprimento acham-se sujeitos a uma força axial de tração de 120 kN. Uma parte deste cilindro de comprimento L1 é de aço e a outra parte unida ao aço é de alumínio e tem comprimento L2. Determinar os comprimentos L1 e L2 de modo que os dois materiais apresentem o mesmo alongamento

Dados: Eaço = 2 . 104 kN/cm2 EAl = 0,7 . 104 kN/cm2

R : (a) L1 = 66,5 cm L 2 = 23,33 cm

5. A carga P aplicada a um pino de aço é transmitida por um suporte de madeira por intermédio de uma arruela de diâmetro interno 25 mm e de diâmetro externo "d". Sabendo-se que a tensão normal axial no pino de aço não deve ultrapassar 35 MPa e que a tensão de esmagamento média entre a peça de madeira e a arruela não deve exceder 5MPa, calcule o diâmetro "d" necessário para a arruela.

R: 6,32 cm


53

6. Aplica-se à extremidade C da barra de aço ABC uma carga de 66,7 kN. Sabe-se que o módulo de elasticidade longitudinal do aço é de 2,1.104 kN/cm2. Determinar o diâmetro "d" da parte BC para a qual o deslocamento do ponto C seja de 1,3 mm.

R: 21,8 mm


54

CAPÍTULO VI

PEÇAS E RECIPIENTES DE PAREDES FINAS Uma outra aplicação de tensões normais uniformemente distribuídas (ver capítulo V) ocorre na análise simplificada de peças ou recipientes de paredes finas assim como tubos, reservatórios cilíndricos, esféricos,cônicos, etc... sujeitos à pressão interna ou externa, de um gás ou líquido. Por serem muito delgadas as paredes destas peças, considera-se uniforme a distribuição de tensões normais ao longo de sua espessura e considera-se também que devido à flexibilidade destas peças as mesmas não absorvem e nem transmitem momento fletor ou esforço cortante. A relação entre a espessura e o raio médio da peça não deve ultrapassar 0,1, sendo excluÍda a possibilidade de descontinuidade da estrutura. Nestes casos também existe a possibilidade de ruptura por flambagem nas paredes sujeitas à compressão, possibilidade esta que não será considerada de momento. As aplicações deste estudo se dão em tanques e recipientes de armazenagem de líquidos ou gazes, tubulações de água ou vapor (caldeiras), cascos de submarinos e certos componentes de avião, que são exemplos comuns de vasos de pressão de paredes finas. A. TUBOS DE PAREDES FINAS Seja o tubo de paredes finas abaixo:

Onde:

pi - pressão interna ri - raio interno t - espessura da parede

Intuitivamente podemos observar suas transformações quando sujeito por exemplo a uma pressão interna pi:


55

Observe que o arco genérico de comprimento dS após a atuação da pressão interna alongou e passou a medir dS+∆dS, portanto houve uma tensão de tração capaz de alongá-lo.

Como o arco aumentou na sua própria direção e como o arco considerado dS é um arco genérico podemos concluir que em todos os arcos elementares que constituem a circunferência, ou seja, em todos os pontos da circunferência se desenvolve uma tensão normal que por provocar um alongamento é de tração (+) e por ter a direção da circunferência chama-se de tensão circunferencial ( σσσσcirc ). Determinação da tensão circunferencial e de sua deformação Para a determinação do valor destas tensões consideremos um tubo de comprimento 'L' conforme desenho:

Seccionamos o tubo segundo um plano diametral longitudinal e aplicamos as equações de equilíbrio:

Ao efetuarmos o corte, na seção cortada devem aparecer tensões que equilibrem o sistema, que conforme já foi visto são tensões circunferenciais:

Podemos substituir as pressões internas por um sistema equivalente:


56

Aplicando a equação de equilíbrio estático: Σ Fy = 0 teremos: σcirc . 2.L.t - pi.2.ri.L = 0 2.L.t → área de corte onde atua a σcirc 2.ri.L → área onde atua pi Efetuando modificações algébricas chegamos na expressão:

t

rp ii. = circσ

À tensão cIrcunferencial corresponde uma deformação circunferencial.

dS

dS = circ∆

ε

Considerando o comprimento dos arcos como o comprimento da circunferência toda: comprimento inicial = 2.π.ri comprimento final = 2.π. (ri + ∆ri ) então ∆dS = 2.π. (ri + ∆ri ) - 2.π.ri = 2.π.∆ri

=r

r=

.r2.

r.2. = rad

i

i

i

icirc ε

∆π∆π

ε

Pela lei de Hooke t.E

.rp

E

iicirc = circ =σ

ε

então comparando os valores: t.E

.rp =

r

r ii

i

i∆ ∴

E.t

.p =r i

2i

ir∆

OBS: Chegamos aos valores das tensões e deformações circunferenciais tomando como exemplo o caso de tubos sujeitos à pressão interna. Quando estivermos diante de um caso onde atuam pressões externas podemos adaptar o nosso formulário ao invés de deduzirmos de novo, o que seria feito da mesma forma e seria repetitivo.


57

Podemos citar como exemplo destes casos tubulações submersas que estão sujeitas à pressão do líquido na qual estão submersas (pressão externa).

Podemos notar que sob o efeito de pressões externas o comprimento da circunferência que compõe a seção do tubo diminui ao invés de aumentar e portanto as tensões circunferenciais são de compressão (negativas).

Da mesma maneira o raio da seção diminui e também sua variação é negativa. O formulário fica:

t

.rp- =

eecircσ

t.Erp

- = r e2

e.e∆

B. RESERVATÓRIOS CILÍNDRICOS DE PAREDES FINAS Reservatórios cilíndricos de paredes finas nada mais são do que tubos com as extremidades fechadas.

Podemos notar que a ação da pressão sobre as paredes longitudinais do reservatório exercem o mesmo efeito que nos tubos, e que a ação da pressão nas paredes de fechamento faz com que a tendência do reservatório seja aumentar de comprimento sugerindo o aparecimento de tensões na direção do eixo do reservatório chamadas de tensões longitudinais(σlong), que poderíamos calcular fazendo um corte transversal no reservatório e aplicando equações de equilíbrio.


58

Teríamos se isolássemos um elemento de área da parede do reservatório a seguinte situação: onde:

t

.rp =

iicircσ

2.t

.rp =

iilongσ

C. RESERVATÓRIOS ESFÉRICOS DE PAREDES FINAS Quando submetido à pressão um reservatório esférico de paredes finas desenvolve tensões circunferenciais em todas as direções, pois todas as direções formam circunferências. Um elemento de área da parede deste reservatório seria representado:

O valor destas tensões circunferenciais seria:

2.t

.rp =

iicircσ


59


1. O tanque de um compressor de ar é formado por um cilindro fechado nas extremidades por calotas semi-esféricas. O diâmetro interno do cilindro é de 60 cm e a pressão interna de 35 kgf/cm2. Se o material com que é feito o cilindro é de aço com limite de escoamento de 2.400 kgf/cm2 e o coeficiente de segurança adotado de 3.5, pede-se determinar a espessura da parede do cilindro desprezando-se os efeitos da ligação do cilindro com as calotas. OBS: num cálculo mais rigoroso seria necessário levar em conta e dimensionar a ligação. R: 1.53 cm 2. Um tanque cilíndrico de gasolina com eixo vertical está cheio à partir da extremidade inferior com 12 m do líquido, tendo a gasolina peso específico de 7.4 kN/m3. Tendo o tanque 26 m de diâmetro interno e sendo o limite de escoamento do material do tanque 240 MPa, pede-se calcular com segurança 2 a espessura necessária a parede em sua parte mais profunda. Qual seria esta espessura se a eficiência da ligação parede-fundo fosse de 85%?

R: t = 0.962 cm tjunta = 1.13 cm

3. Um tubulão de ar comprimido é constituído por um tubo de aço de 2 m de diâmetro interno e recebe ar injetado para expulsar água à uma profundidade de 20 m. Calcular a espessura necessária à este tubo numa profundidade de 2 m, sendo a tensão de escoamento admissível para o material do tubo de 6 kN/cm2.

R: 3 mm


60

FORMULÁRIO PADRÃO INTRODUÇÃO À RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS:

σ ou τ = resistA

F ε =

Ε

σ (lei deHooke) ε =

l.l∆

µ=εε - t

(lei de Poisson) DD∆

=εt

TRAÇÃO OU COMPRESSÃO AXIAL SEM CONSIDERAÇÃO DO PESO PRÓPRIO

σ = A

N

A.E

L.NL =∆

PEÇAS E RECIPIENTES DE PAREDES FINAS Tubos cilíndricos

t

rp ii. = circσ

E.tr.p =r i2i

i∆

t

.rp- =

eecircσ

t.Erp

- = r e2

e.e∆

Reservatórios cilíndricos

t

.rp =

iicircσ 2.t

.rp =

iilongσ

Reservatórios Esféricos

2.t

.rp =

iicircσ


61

CONVERSÃO DE UNIDADES

1 tf = 10 kN = 1.000 kgf 1 kN = 100 kgf = 0,1 tf 1 MPa = 0,1 kN/cm2 = 10 kgf/cm2 1 kN/m3 = 10-6 kN/cm3 1 kN/cm2 = 100 kgf/cm2 = 10 MPa 1 kN/cm2 = 104 kN/m2 1º = 0,01745 rad 1" = 2,54 cm


62

BIBLIOGRAFIA

BEER, Ferdinand P, JOHNSTON, E. Russel Jr. Mecânica vetorial para engenheiros, Makron Books do Brasil Editora Ltda. São Paulo. 1991. MERIAM, J.L. Mecânica- Estática- Editora Reverte S.A.Buenos Aires. 1965 RILEY, William F, STURGES, Leroy D, MORRIS, Don H. Mecânica dos Materiais . Livros Técnicos e Científicos Editora Ltda. Rio de Janeiro. 2003 BEER, Ferdinand P & JOHNSTON, E Russel. Resistência dos Materiais Editora Mc Graw Hill do Brasil. São Paulo. GOMES, Sérgio C. - Resistência dos Materiais - Livraria Kosmos NASH, W.A. - Resistência dos Materiais - Editora Mc Graw Hill do Brasil. São Paulo

PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL


DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL

Resistência dos

Materiais I

Notas de Aula


Resistência dos Materiais I – CCivil . PUCRS- Profa Maria Regina Costa Leggerini

2

CAPÍTULO I







Observe-se que o equilíbrio se dá na configuração deformada do corpo, que admitiremos como igual à configuração inicial, pois em estruturas estaremos sempre no campo das pequenas deformações.






Estrutura



Solicitações

Tensões

Deformaçõe



PROJETO

VERIFICAÇÃO


3

II. TENSÕES






∫ρ=A

dA.Rr


4


A tensão média (rρm) desenvolvida no elemento de área citado nada mais é do que a

distribuição do efeito da força pela área de atuação da mesma.

Sejam:




rr

ρmF

A=

∆∆


ou gráficamente:


∆Α ∆F

ρ

dA

Fd =

A

F lim0A

rrr

∆∆

=ρ→∆


5





Também se pode convencionar como seção de referência a seção transversal da peça em estudo. Cabe observar-se entretanto que mudada a referência mudam também as componentes.

S S'

σττ

ρ

σττ

ρ'

y'

x'

y

x

Existem casos em que a seção transversal não é a de maior interesse, como será demonstrado oportunamente nas solicitações compostas. Nestes casos o procedimento será alterado.

A. TENSÕES NORMAIS (σ) A tensão normal tem a direção perpendicular à seção de referência e o seu efeito é o de provocar alongamento ou encurtamento das fibras longitudinais do corpo, mantendo-as paralelas.

z

x

y

σ

τy τx


6


1. Conceito:



∆l = l f - l i

il

l∆=ε




2. Sinal:

li

lf

σ σ

li

lf

σ σ


7



3. Unidade:



B. TENSÕES TANGENCIAIS ( τ ) É a tensão desenvolvida no plano da seção de referência tendo o efeito de provocar corte ou cisalhamento nesta seção.






(c)


8

2. Distorção Específica ( γ ) Medida de deformação de corpos submetidos a tensões tangenciais.


DB

'DD

CA

CC' = tg =γ


DB

'DD

CA

CC' =≅γ

2.1 Conceito:


2.2 Unidade:





C C’ D D’

A B

τ τ

τ

ττττ

γ


9




Exemplo:


kd

P= .....

d

P

d

P

n

n

2

2

1











10

IV. CORPO DE DOUTRINA DA RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS

Em Resistência dos Materiais trabalha-se com corpos que apresentam determinadas características:

A. CONTINUIDADE:

Um corpo é considerado contínuo quando qualquer de suas amostras trabalha de maneira idêntica as demais. Não havendo descontinuidade, as tensões e as deformações não variam bruscamente entre dois pontos vizinhos no interior deste corpo carregado.

Nestes casos tanto as tensões como as deformações podem ser expressas por funções contínuas em relação as ordenadas dos pontos que constituem o corpo.

Observe-se que a continuidade não implica em homogeneidade pois podemos ter corpos com material não homogêneo e no entanto eles trabalham de maneira contínua (exemplo : concreto).

B. HIPÓTESE DE BERNOULLI (SEÇÕES PLANAS)

Bernoulli observou a seguinte característica no funcionamento dos corpos sujeitos à solicitações:

"Uma seção plana e perpendicular ao eixo longitudinal de uma peça, continuará plana e perpendicular ao eixo da mesma durante e após sua deformação.

C. PRINCÍPIO DA SUPERPOSIÇÃO DE EFEITOS

O efeito produzido por um conjunto de cargas atuando simultaneamente em um corpo é igual a soma dos efeitos produzidos por cada uma das cargas atuando isolada.

Este princípio pode ser generalizado, mas só é válido quando causa e efeito forem diretamente proporcionais o que se aplica a grande maioria dos casos em Resistência dos Materiais. Somente em casos de peças submetidas a flambagem (desequilíbrio elasto-geométrico do sistema) ou no Trabalho de Deformação este princípio não será válido devido a inexistência de proporcionalidade entre causa e efeito, o que será oportunamente demonstrado.

Observe-se que este princípio já foi utilizado em outras disciplinas, como por exemplo, no cálculo das reações de apoio em uma estrutura isostática.

Eixo longitudinal

Linha Elástica


11

V. LEI DE HOOKE





al)longitudin deelasticida de .(modE=εσ

al) transversdeelasticida de.mod(G=γτ


VI. LEI DE POISSON ( DEFORMAÇÃO ESPECÍFICA TRANSVERSAL)

notação : εt


= +

li

lf

σ σ

D

D+∆D


12

A. CONCEITO:


D

Dt

∆=ε




µ−=εεt



tetanconsb

b

a

at =ε=

∆=

∆


)1(2

EG

µ+=

li

lf

σ σ

a

a+∆a

b+∆b b


13

Resumindo:

VII. LEI DE HOOKE GENERALIZADA

Hooke enunciou a sua lei tomando como exemplo corpos submetidos a tensão em uma só direção. Na prática os corpos podem estar sujeitos a tensão em todas as direções, o que pode ser simplificado reduzindo-as a três direções ortogonais tomadas como referência.

A figura a seguir mostra um prisma elementar submetido a tensões normais com resultante nas três direções tomadas como referência no espaço : x, y, e z.

Poisson observou que uma tensão provoca deformação em sua direção e em direções perpendiculares a sua também.

Poisson:

−µ

E

E

E

xz

xy

xx

σµ−=ε

σµ−=ε

σ=ε


x

y

z

σx σx

σy

σy

σz

σz


14

E- t

t σµ=ε∴µ−=

εε

Hooke:

E-=

E tσ

µε∴ε=σ

O efeito da tensão σσσσx seria:

na direção x : Ex

xσ

=ε

na direção y : Ex

ytσ

µ−=ε −

na direção z: Ex

ztσ

µ−=ε −

Pode-se fazer este raciocínio com as demais tensões.

Para determinação da deformação resultante em uma direção, por exemplo x:

efeito de σx Ex

xσ

=ε

efeito de σy Ey

xt

σµ−=ε −

efeito de σz Ez

xtσ

µ−=ε −

Adotando-se o princípio da superposição de efeitos teríamos:

σµ−+

σµ−+

σ=ε

EEEzyx

x

Esta expressão simplificada algébricamente fica:

( )[ ]zyxx E

1σ+σµ−σ=ε

análogamente

( )[ ]zxyy E

1σ+σµ−σ=ε e ( )[ ]yxzz E

1σ+σµ−σ=ε

Estas expressões se constituem na LEI DE HOOKE GENERALIZADA


15

Observações:

1. Tensão em uma só direção não implica em deformação em uma só direção.

2. Para a dedução das expressões anteriores as tensões normais foram representadas de tração e portanto positivas. Se alguma delas for de compressão deverá figurar nas fórmulas com o sinal negativo convencionado.

3. Resultados positivos para a deformação específica indicam alongamentos enquanto que resultados negativos significarão encurtamentos.

VIII . PROPRIEDADES MECÂNICAS DOS MATERIAIS





frageis materiais

dúteis materiais




exemplo: aço comum




16















17

OBSERVAÇÕES:




Exemplo : concreto







IX. CRITÉRIO DE RESISTÊNCIA - COEFICIENTE DE SEGURANÇA



18




1 s ≥


slim

adm

σ=σ



ee

máxt sσ=


admissível)

TT

máxt sσ=

σ=σ (tensão de tração admissível)

ee

máxc sσ=


admIssível)

cc

máxc sσ=


admissível)


19


1. Uma barra de latão de seção circular de diametro 3 cm está tracionada com uma força axial de 50 kN. Determinar a diminuição de seu diametro. São dados do material o

módulo de elastcidade logitudinal de 1,08 . 104 kN/cm2 e o seu coeficiente de Poisson 0,3.

R: 5,89 . 10-4 cm

2. Uma barra de aço de 25 cm de comprimento e seção quadrada de lado 5 cm suporta uma

força axial de tração de 200 kN. Sendo E = 2,4 . 104 kN/cm2 e µ = 0,3 , qual a variação unitária do seu volume ?

R: 0,000133

3. Suponha a barra do problema anterior sumetida à uma força axial de tração. Experimentalmente determinou-se o módulo de sua deformação específica longitudinal 0,001. Sabendo-se que o seu coeficiente de Poisson é de 0,33, pergunta-se qual o volume final desta barra?

R: 625,212 cm3

4. Uma barra de alumínio de seção circular de diametro 30 mm está sujeita à uma força de tração de 50 kN. Determine:

a. Tensão normal.

b. Deformação específica longitudinal.

c. Alongamento em uma distância padrão de 200 mm.

d. Variação do diâmetro.

e. Variação da área da seção.

f. Variação de volume em um comprimento padrão de 200 mm.

Admite-se E = 0,8 . 106 kgf/cm2 µ = 0,25

5. A placa da figura é submetida a tensões normais de compressão na direção z de módulo

10 kN/cm2 . Sabe-se que a deformação é impedida na direção x devido à presença de elementos fixos A e B. Pede-se :

a. Deformação específica na direção y

b. Deformação total na direção y

Dados do material : E = 105 kN/cm2 µ = 0.86


20

R: (a) 1,59 . 10-4

(b) 0,000636 cm

6. A figura abaixo mostra um prisma submetido à força P =30 kN e Q = 32 kN. As peças A e B são fixas. Pede-se a deformação específica longitudinal na direção y e a deformação total na direção z.

E = 103 kN/cm2 µ= 0,2

x

z y

σz

10 cm

z

x

z

y

6 cm

2 cm

σz

σz

σz σz

A B


21

R: εy = - 4,08 . 10-3

∆lz = 5,64 . 10-3 cm

x

z

y

Q

Q

P

P

4 cm

z

x 4 cm

z 2 cm

P

P

x

Q

Q

A

A

B

B


22

7. Considere um ensaio cuidadosamente conduzido no qual uma barra de alumínio de 50 mm de diâmetro é solicitada em uma máquina de ensaio. Em certo instante a força aplicada é de 100 kN e o alongamento medido na direção do eixo da barra 0,219 mm em uma distancia padrão de 300 mm. O diâmetro sofreu uma diminuição de 0,0125 mm. Calcule o coeficiente de Poisson do material e o seu módulo de elasticidade longitudinal.

R: µ= 0,33 E =0,7 . 104 kN/cm2


23

CAPÍTULO II

TRAÇÃO OU COMPRESSÃO AXIAL (SIMPLES)

I. CONCEITO:







24

Σ FV = 0 ∴ N - P = 0


sendo:





N = P

A

N = σ

P

P

P

P

N

N

P

P

σ

σ



25



ε = l

l ∆

E σ

=ε

N = P A

N = σ

E =

l

l σ∆ ∴∴∴∴

EA

N =

l

l ∆ ou :

E.A

N.l = l∆

II. VALIDADE DA DISTRIBUIÇÃO UNIFORME

Ao adotar-se as equações acima, deve-se ter em mente que o comportamento do material é idealizado, pois todas as partículas do corpo são consideradas com contribuição igual para o equilíbrio da força N.

Pode-se calcular a resultante de força N aplicada no centróide da seção forem somadas todas as resultantes de força que atuam em todos os elementos de área que constituem a seção transversal.

∫σ=A

dA.N

No caso de adotar-se a distribuição uniforne, em todos os elementos de área atua a mesma tensão. Decorre daí que:

Nos materiais reais esta premissa não se verifica exatamente. Por exemplo, os metais consistem em grande número de grãos e as madeiras são fibrosas.

N A= σ.

P P

l

l + ∆l


26

Sendo assim, algumas partículas contribuirão mais para a resistência de que outras, e o diagrama verdadeiro de distribuição de tensões varia em cada caso particular e é bastante irregular.

Os métodos de obtenção desta distribuição exata de tensões são tratados na teoria matemática da elasticidade e mesmo assim apenas casos simples podem ser resolvidos.

Neste caso observa-se que quanto mais perto da carga aplicada estiver a seção em estudo, maior será o pico de tensões normais.

Em termos práticos porém, os cálculos pela equação da tensão uniforme são considerados corretos.

Dois fatores de concentração de tensões, onde a distribuição uniforme não é válida, são mostrados abaixo, e representam peças com variações bruscas de seção.

Deve-se ter um cuidado adicional para com as peças comprimidas, pois peças esbeltas devem ser verificadas a flambagem.

A flambagem representa uma situação de desequilíbrio elasto-geométrico do sistema e pode provocar o colapso sem que se atinja o esmagamento.


27

III. TRELIÇAS

Treliça ideal é um sistema reticulado, indeformável, cujas barras tem todas as extremidades rotuladas e cujas cargas estão aplicadas nestas rótulas. Pelo fato das rótulas não transmitirem momento e devido à ausência de cargas nas barras podemos dizer que as barras de uma treliça estão sujeitas apenas a esforços normais que devem ser calculados.

Treliça é uma opção estrutural em casos de grandes vãos ou grandes carregamentos em que estruturas tradicionais seriam muito pesadas e dispendiosas. Como as treliças são constituídas de barras delgadas o peso próprio destas barras é desprezado.

Exemplo: Observações:

1. Qualquer polígono que constitua um sistema reticulado, quando articulado em seus vértices é deformável (hipostático) com exceção dos casos abaixo:

2. As treliças surgiram como um sistema mais econômico que as vigas para vencerem vãos maiores ou suportar cargas maiores.

3. Embora o caso mais geral seja o de treliças espaciais, o mais frequente é o de treliças planas, que será o estudado em nosso curso.

4. Imaginamos as barras rotuladas em suas extremidades (isto é, sendo livre sua rotação relativa nos nós), conforme figura a. Não é frequente, no entanto, a união destas barras nesta forma, sendo mais comum ligar as barras nos nós atravéz de chapas auxiliares, nas quais rebitamos, soldamos ou parafusamos as barras neles concorrentes (fig. b).

P P P

P

A

B D F

C E G H

P P


28

Estas ligações criarão sempre pequenas restrições à livre rotação relativa das barras nos nós, com o aparecimento de pequenos momentos nas barras.

Estudos realizados demonstram que, desde que todas as barras tenham seus eixos no mesmo plano e que estes eixos se encontrem em um único ponto em cada nó, os resultados reais diferem muito pouco dos resultados obtidos pela teoria que vamos desenvolver, sendo ela válida do ponto de vista prático.

A. TRELIÇAS PLANAS

Pode-se facilmente demonstrar que as barras de uma treliça por terem suas extremidades rotuladas (rótulas não absorvem momento), e por terem as cargas aplicadas apenas nos nós, desenvolvem apenas esforços normais constantes ao longo de suas barras.

Isto pode ser visualizado isolando-se uma barra de uma treliça.

Sabe-se que uma rótula não transmite momento, e apenas esforços na direção do eixo da barra. Por outro lado, as cargas externas só estão aplicadas nos nós.

A análise do equilíbrio nos mostra que nas extremidades das barras de uma treliça só existem esforços na direção do eixo longitudinal da mesma e que são de mesmo módulo, porém sentidos contrários. A existência de esforços perpendiculares ao eixo da barra (esforço cortante) é descartada pois as barras não são carregadas ao longo de seu eixo, e tem nas suas extremidades momentos nulos.

Conclusão: A única solicitação interna desenvolvida é um Esforço Normal constante ao longo da mesma.

Como o esforço normal é constante ao longo da barra pode-se calcular o seu valor em uma seção qualquer da barra que se deseja.

Lembrando a convenção adotada considera-se positivo os esforços de tração e negativos os esforços de compressão.

(a) (b)

P

P


29


30

B. CLASSIFICAÇÃO QUANTO A SUA ESTATICIDADE

Pode-se classificar uma treliça quanto a sua estaticidade de maneira muito simples.

Sejam:

b - número de barras

n - número de nós ou rótulas

r - número de reações externas

As incognitas do problema serão em número de (b + r), representando o número de reações (r) e a solicitação de esforço normal em cada barra (b).

O número de equações será de 2n, pois em cada nó se aplicam duas equações de equilíbrio de um ponto material (Σ Fx = 0 Σ Fy = 0 ).

Então:

r + b ⟨ 2 n Treliça hipostática.

r + b = 2 n Sugere tratar- se de uma treliça isostática, o que não pode ser confirmado sem antes analisarmos os apoios externos e a lei de formação interna da treliça em questão.

r + b > 2 n Sugere tratar- se de uma treliça hiperestática, sendo válidas as observações feitas no caso anterior.

C. CLASSIFICAÇÃO QUANTO À LEI DE FORMAÇÃO

Quanto a formação as treliças podem ser :

1. Simples :

A treliça será simples se puder ser obtida a partir de configurações indeformáveis pela adição de duas a duas barras partindo nós já existentes para novos nós (um novo nó para cada duas novas barras).

Exemplo:

2. Composta

A treliça é isostática é composta quando for formada por duas treliças simples ligadas por 3 barras não simultaneamente concorrentes ou paralelas, ou por um nó e uma barra sendo que esta barra não concorre no nó citado.

A resolução de uma treliça composta pode recair no caso de duas treliças simples, mediante o cálculo prévio dos esforços nos elementos de ligação, o que permitirá isolá-las para fins de cálculo estático.


31

Exemplo:

3. Complexa:

Uma treliça complexa é classificada por exclusão, ou seja, quando não é simples e nem composta. Observe que não se pode afirmar se ela é isostática pela simples análise (b+r = 2 n) dos números de barras e nós, que é uma condição necessária mas não suficiente para garantir a isostaticidade.

Exemplo:

D. MÉTODO DE RESOLUÇÃO DE TRELIÇAS ISOSTÁTICAS SIMPLES

MÉTODO DOS NÓS

É o método natural de resolução que consiste em se estudar o equilíbrio de cada nó isolado.

Devemos INICIAR E PROSSEGUIR pelos nós que possuam apenas duas incógnitas à determinar (esforço normal de 2 barras). Aplicamos as equações de equilíbrio estático:

Σ Fx = 0 Σ Fy = 0

Note-se que se o nó tiver mais de duas barras à serem determinadas (2 incógnitas) 2 equações não bastam para a solução do sistema.

1 - Cálculo das reações externas (se necessário)

2 - Escolha do 1º nó à ser examinado

3 - Aplicação das equações de equilíbrio no nó escolhido

4 - Resolvido o primeiro nó, passamos ao segundo sempre com o cuidado de verificar se ela tem apenas duas incógnitas (2 barras à serem determinadas)


32

OBS: Este método apresenta o problema de acumular os erros de cálculos que por acaso forem cometidos.

Exemplo 1:

R: VA = - 40 kN HA = 20 kN (← ) VB = 60 kN

NAB = 0 NAC = + 20 kN

NAD = + 28,28 kN NBD = - 60 kN

NCD = - 20 kN NCE = 0

NCF = + 28,28 KN NEF = - 20 kN

NDF = - 40 kN

IV. PESO PRÓPRIO DAS PEÇAS

O peso próprio das peças constitui-se em uma das cargas externas ativas que devem ser resistidas. Pode-se observar como se dá a ação do peso próprio:


pp

20 kN 20 kN

3 m

3 m

3 m

A B

C D

E F


G


33





l..AG γ=

Sendo: A - área da seção transversal da peça l - comprimento γ – peso específico do material



A. ESFORÇOS, TENSÕES E DEFORMAÇÕES

Considere uma barra sujeita a uma carga externa P e ao seu próprio peso, conforme figura abaixo:

Sejam: A - área de seção transversal da peça γ - peso específico do material l - comprimento da peça P - carga externa atuante na peça

Pode ser feita a determinação de uma expressão genérica para o cálculo das tensões normais desenvolvidas ao longo da barra e a deformação total consequente.

Usando o método das seções a barra é cortada por uma seção S qualquer e isolado um dos lados do corte.

Separar-se em duas partes um corpo. Sendo uma delas extremidade livre, é conveniente que esta parte seja isolada pois evita o cálculo das reações vinculares.

P

G


34

Como o peso do material deve ser considerado, na seção cortada deve aparecer um esforço normal que equilibre a carga externa e também o peso próprio do material isolado.

Isto indica que a posição da seção de corte tem agora importância, pois ela determina o peso da peça isolado pelo corte.

De acôrdo com esta conclusão deve-se criar uma variável que nos indique a posição da seção de corte desejada.

Fazendo x ser uma ordenada genérica da posição da seção à ser analizada e como a barra tem um comprimento L:

0 ≤ x ≤ L

Aplica-se a equação de equilíbrio pertinente:

Σ Fy = 0 N - P - g = 0

N = P + g(x)

onde g(x) é o peso parcial da barra isolada pelo corte

Para que seja avaliado o peso de um corpo, multiplica-se o seu volume por seu peso específico

V = A.x ∴ gx = A . γ . x

Observe que o esforço normal varia linearmente em função da ordenada x da seção de referência.

Como 0 ≤ x ≤ L pode-se calcular os valores extremos do esforço normal

x = 0 N = P

x = l

Chamando de G o peso total da barra

l..AG γ=

Pode-se escrever de outra forma o máximo esforço normal:

N = P + A . γ . x

Nmáx = P + A . γ . L

P

g(x) x

S

N(x)


35

A descrição da variação do esforço normal pode ser expressa de forma gráfica:

Assim como se desenvolveram as expressões analíticas para o esforço normal, pode-se desenvlver a expressão para as tensões normais:

Sabendo que A

N = )x(σ

Como N(x) = P + A . γ . x então: A

x.A. + P = )x(

γσ ou

Substituindo x por seus valores extremos tem-se:

x = 0 A

P = σ

x = L l . + A

P = máx γσ

Com modificações algébricas pode-se expressar o valor da tensão máxima em função do peso total da barra, colocando A como denominador comum às parcelas:

A

.lA. + P =máx

γσ

ou

AG + P

=máx σ

Para a determinação da deformação total ( ∆ l ) sofrida por uma barra sujeita à uma carga externa (P) e ao seu peso próprio (G), e utiliza-se o método das seções. Isola-se um trecho

Nmáx = P + G

.x + A

P = )x( γσ


36

desta barra cortando-a por duas seções transversais S e S' infinitamente próximas, formando um prisma de comprimento elementar dx que se alongará apresentando um comprimento dx + ∆dx.

dx

dx = ∆

ε ∴ ∆ dx = ε . dx

E = xσ

σ ∴∴∴∴ dx .E =dx xσ

∆ (alongamento do trecho de comprimento dx)

como visto anteriormente

x.A

Px γ+=σ

então:

Como se quer o alongamento da barra toda deve-se fazer o somatório dos diversos trechos de comprimento dx que compõem a barra, ou seja:

∫

γ+

=∆l

0

dx.E

x.dx.

EA

Pl

Efetuando as integrais:

2.E

l . +

E.A

P.l = l

2γ∆

∆dxP

EAdx

x

Edx= +

γ.

l

S’

S dx

x

dx dx +∆dx

N+∆N

N

P

S

S’


37

Pode-se expressar a equação da deformação total em função do peso total G da peça, fazendo algumas modificações algébricas:

+=∆2

GP

EA

ll

Observações:

1. Nas expressões acima deduzidas a carga P das primeiras parcelas representa esforços externos à peça em estudo ficando as segundas parcelas com o efeito do peso próprio.

2. Tanto o esforço normal máximo como a tensão normal máxima foram expressos em duas equações, uma em função do peso específico do material e outra em função do peso total da peça. A utilização de uma ou outra equação depende da conveniência do problema.

3. Como foi utilizado na dedução destas expressões, um exemplo em que tanto a carga externa como o peso próprio são esforços de tração, ambas as parcelas são positivas. No caso de haver qualquer um destes efeitos negativo (compressão) deve-se mudar o sinal da parcela correspondente.

V. BARRAS DE IGUAL RESISTENCIA

Se a área da seção transversal de uma barra varia contínuamente de modo que em todas as seções atingimos a tensão admissível do material, a barra será chamada de igual resistência.

Existem duas razões para se variar a área da seção transversal de uma peça ao longo de seu comprimento:

1. Se a área da seção fôr constante ao longo de seu comprimento, aproveita-se a tensão admissível do material em apenas uma seção (a seção de tensão máxima) ficando as demais com tensões abaixo da tensão que o material poderia estar desenvolvendo. Pode-se conseguir uma economia de material diminuindo a área das seções onde a tensão é inferior à tensão admissível.

2. Nos casos em que o peso específico do material é elevado em presença de sua resistência procura-se variar a área da seção tornando a peça mais leve e econômica.

Para atingir-se a situação ideal que descreve uma barra de igual resistência, deve-se formar uma equação que determine a lei de variação da área, mantendo a tensão constante e no máximo. Se chegaria à uma lei logarítmica do tipo:

xo e . A A σ

γ

=

onde Ao é a área inicial (situação mais favorável), γ o peso específico do material, σσσσ a tensão admissível do mesmo e x a variável que marca a posição da seção na peça.

O que teóricamente seria o ótimo, pela dificuldade de execução não se mostra econômico pois não é fácil a execução de uma peça com seção variando segundo uma lei logarítmica. Pode-se, entretanto, fazer a área da seção variar descontinuamente, mantendo-a constante em determinados trechos e assim torná-la mais leve e portanto mais econômica.


38

Este procedimento simplificado leva ao que se chama de barra de igual resistência aproximada , o que na prática é o mais usado.

VI. SISTEMAS ESTÁTICAMENTE INDETERMINADOS

Se diz que um sistema é estáticamente indeterminado quando necessita-se de mais condições para resolvê-lo do que as simples condições estáticas.

A. PEÇAS CONSTITUÍDAS DE DOIS MATERIAIS DIFERENTES E COAXIAIS

Na prática surge frequentemente a necessidade de se projetar peças constituidas de dois ou mais materiais diferentes, sujeitas á tração ou compressão axial.

Como exemplo para o problema vamos supõe-se um cilindro envolto por um tubo. As peças são construídas em materiais diferentes e comprimidos entre os pratos de uma prensa. Sendo os materiais coaxiais tem o centro de gravidade comum.


39

Corta-se esta peça e adotando-se o método das seções para serem determinadas as tensões atuantes nestes materiais:

N1 = σ1 . A1 N2 = σ2 . A2 Σ Fv = 0 ∴ P - N1 - N2 = 0 P =N1 + N2

Esta condição da estática não é suficiente pois precisa-se determinar duas incógnitas, de modo que precisa-se de outra condição para o problema.

Estas são chamadas de Condições de Compatibilidade, são próprias dos casos e normalmente referem-se à condições de deformações obrigatórias para que os sistemas analisados trabalhem conforme se observa.

Neste caso pode-se usar a condição de que se a peça trabalha como um bloco único, portanto a deformação dos diversos materiais deve ser a mesma.

∆ l1 = ∆ l 2 = ∆ l

então:

22

22

1.1

1.1

A.E

l.N

AE

lN=

Como l1 = l2 = l

22

2

1.1

.1

A.E

l.N

AE

lN=

22

2

1.1

1

A.E

N

AE

N=

Substituindo N1 e N 2 por seus valores teremos:


40

22

2 . 2

1.1

1 .1

A.E

A

AE

A σ=

σ ou simplesmente:

2

2

1

1

EE

σ=

σ

2

1

2

1

E

E=

σσ

Interpretando físicamente a equação acima, ve-se que a quantidade de tensão desenvolvida em cada material é proporcional à sua elasticidade.

Como E1 e E2 correspondem à constantes de um material a relação entre as tensões também

é uma constante que poderemos chamar de n.

2

1

E

E = n

Logo: 2 = 1 n.σσ

Levando este valor à equação de equilíbrio estático temos:

P = (n.σ2) A1 + σ2 . A 2 ou isolando σ2

21

2A + n.A

P = σ

B. PEÇAS HIPERESTÁTICAS

Em casos como o acima indicado, onde a vinculação é excessiva (peça hiperestática), precisa-se também condições além das estabelecidas pelo equilíbrio estático.

Como os vínculos nas extremidades são de 3ª espécie, conclui-se que a deformação na direção da carga aplicada é impedida. Considerando-se a barra formada por dois trechos determinados pelo ponto de carga aplicada, podemos montar o seguinte sistema:

a b

P

a b

P R1 R2


41

Σ Fx = 0 R1 + P - R2 = 0

Equação de Compatibilidade:

∆ l = 0

∆l1 + ∆l2 = 0 E.A

lN = l

11.1∆

E.A

lN = l

22.2∆

Pode-se expressar N1 e N2 em função das cargas externas P, R1 e R 2 , e então obtem-se

duas equações com duas incógnitas (R1 e R2 ), o que torna o siatema algébricamente viável.

VII. PEÇAS E RECIPIENTES DE PAREDES FINAS

Outra aplicação de tensões normais uniformemente distribuidas ocorre na análise simplificada de peças ou recipientes de paredes finas assim como tubos, reservatórios cilíndricos, esféricos,cônicos, etc. sujeitos à pressão interna ou externa de um gás ou líquido.

Por serem muito delgadas as paredes destas peças, considera-se uniforme a distribuição de tensões normais ao longo de sua espessura e considera-se também que devido à sua flexibilidade estas peças não absorvem e nem transmitem momento fletor ou esforço cortante.

A relação entre a espessura e o raio médio da peça não deve ultrapassar 0,1, sendo excluída a possibilidade de descontinuidade da estrutura.

Nestes casos também existe a possibilidade de ruptura por flambagem das paredes sujeitas à compressão, possibilidade esta que não será considerada de momento.

As aplicações deste estudo se dão em tanques e recipientes de armazenagem de líquidos ou gazes, tubulações de água ou vapor (caldeiras), cascos de submarinos e certos componentes de avião, que são exemplos comuns de vasos de pressão de paredes finas.

A. TUBOS CILINDRICOS DE PAREDES FINAS

Seja o tubo de paredes finas abaixo:

Seja:

pi - pressão interna ri - raio interno t - espessura da parede

Intuitivamente se pode observar suas transformações quando sujeito por exemplo à uma pressão interna pi:


42

Observe que o arco genérico de comprimento dS após a atuação da pressão interna alongou e passou a medir dS+∆dS, portanto houve uma tensão de tração capaz de alongá-lo.

Como o arco aumentou na sua própria direção, e como o arco considerado dS é um arco genérico, pode-se concluir que em todos os arcos elementares que constituem a circunferência se desenvolve uma tensão normal, que por provocar um alongamento é de tração (+) e por ter a direção da circunferência chama-se de tensão circunferencial( σcirc ).

1. Deteminação da tensão circunferencial e de sua deformação

Para a determinação do valor desta tensões consida-se um tubo de comprimento 'L' conforme desenho:

Secciona-se o tubo segundo um plano diametral longitudinal e aplicamos as equações de equilíbrio:

Ao efetuar-se o corte, na seção cortada devem aparecer tensões que equilibrem o sistema. Conforme já foi visto são tensões circunferenciais.

Pode-se substituir as presões internas por um sistema equivalente:


43

Aplicando a equação de equilíbrio estático pertinente:

Σ Fy = 0 σcirc 2.L.t - pi.2.ri.L = 0

2.L.t → área de corte onde atua a σcirc

2.ri.L → área onde atua pi

Efetuando modificações algébricas chega-se na expressão:

t

rp ii. = circσ

À tensão crcunferencial corresponde uma deformação circunferencial.

dS

dS = circ∆

ε

Considerando-se o comprimento dos arcos como o da circunferencia toda:

comprimento inicial = 2.π.ri

comprimento final = 2.π. (ri + ∆ri )

então ∆dS = 2.π. (ri + ∆ri ) - 2.π.ri = 2.π.∆ri

=r

r=

.r2.

r.2. = rad

i

i

i

icirc ε

∆π∆π

ε

Pela lei de Hooke t.E

.rp

E

iicirc = circ =σ

ε

então comparando os valores: t.E

.rp =

r

r ii

i

i∆ ∴

E.tr.p =r i2

i i∆

Observações:

Chega-se aos valores das tensões e deformações circunferenciais tomando-se como exemplo o caso de tubos sujeitos à pressão interna. Quando se estiver diante de um caso onde atuam pressões externas, pode-se adaptar o formulário.

Pode-se citar como exemplo destes casos tubulações submersas que estão sujeitas à pressão do líquido na qual estão submersas (pressão externa).


44

Podemos notar que sob o efeito de pressões internas o comprimento da circunferência que compõe a seção do tubo diminui ao invés de aumentar e portanto as tensões circunferenciais são de compressão e portanto negativas.

Da mesma maneira o raio da seção diminui e portanto também sua variação é negativa.

O formulário fica:

t

.rp- =

eecircσ t.E

rp- = r e2

e.e∆

B. RESERVATÓRIOS CILÍNDRICOS DE PAREDES FINAS

Reservatórios cilíndricos de paredes finas nada mais são do que tubos com as extremidades fechadas.

Pode-se notar que a ação da pressão sobre as paredes longitudinais do reservatório exercem o mesmo efeito que nos tubos, e que a ação da pressão nas paredes de fechamento faz com que a tendência do reservatório seja aumentar de comprimento. Isto sugere o aparecimento de tensões na direção do eixo longitudinal do reservatório chamadas de tensões longitudinais(σlong). O cálculo do valor destas tensões é feito fazendo um corte transversal no reservatório e

aplicando equações de equilíbrio.

Se fosse isolado um elemento de área da parede do reservatório, a seguinte situação apareceria:

t

.rp =

iicircσ

2.t

.rp =

iilongσ


45

C. RESERVATÓRIOS ESFÉRICOS DE PAREDES FINAS

Quando submetido à pressão, um reservatório esférico de paredes finas desenvolve tensões circunferenciais em todas as direções, pois todas as direções formam circunferências.

Um elemento de área da parede deste reservatório seria representado:

O valor destas tensões circunferenciais seria:

2.t

.rp =

iicircσ


46


1. Uma barra de seção transversal retangular de 3 x 1 cm tem comprimento de 3 m. Determinar o alongamento produzido por uma carga axial de tração de 60 kN, sabendo-

se que o módulo de elasticidade longitudinal do material é de 2 . 104 kN/cm2.

R: 0,3 cm

2. Determine as tensões normais desenvolvidas no pilar abaixo indicado nas seções de topo, meia altura e base. O material com que ela é construída tem peso específico 30 kN/m3.

3. Uma barra de aço e outra de alumínio tem as dimensões indicadas na figura.Determine a carga "P" que provocará um encurtamento total de 0,25 mm no comprimento do sistema. Admitimos que as barras são impedidas de flambar lateralmente, e despreza-se o peso próprio das barras.


OBS : medidas em cm

Vista Frontal Vista Lateral

90 kN 90 kN

60 m

2 m 30 m


47

R : P ≅ 1.900 kN

4. A treliça da figura suporta uma força de 54 tf. Determine a área das seções transversais das barras BD, CE e DE sabendo-se que a tensão admissível de escoamento do material

é de l.400 Kgf/cm2. Determine também o alongamento da barra DE sendo E= 2,1 .

104kN/cm2.

R: ADE = 38,57 cm2

∆lDE = 0,133 cm

ACE =28,92 cm2

ABD = 14,46 cm2

5. Para a treliça da figura determine as áreas mínimas necessárias às hastes FG e CD, sendo dados do material :

σT = 4 kN/cm2 σC = 6 kN/cm2 s = 2

300 cm

500 cm

P

Aço Seção 50 x 50

Alumínio Seção 100 x 100


48

R:

ACD=20 cm2

AFG= 19,4 cm2

6. Para a treliça da figura determine as áreas necessárias às hastes DF e DE sendo dados:

σT = 16 kN/cm2 σC = 20 kN/cm2 s = 2

R: ADF = 9 cm2

ADE = 12,5 cm2

7. Um cilindro sólido de 50 mm de diametro e 900 mm de comprimento acha-se sujeito à uma força axial de tração de 120 kN. Uma parte deste cilindro de comprimento L1 é de

aço e a outra parte unida ao aço é de alumínio e tem comprimento L2.

a. Determinar os comprimentos L1 e L2 de modo que os dois materiais apresentem o

mesmo alongamento.

b. Qual o alongamento total do cilindro.



49

R: (a) L1 = 66,5 cm

L2 = 23,33 cm

(b) ∆l = 0,04 cm

8. Um pilar de tijolos recebe uma carga axial de 70 kN. Dimensione-o com seção quadrada de lado “a” levando em conta que a tensão admissível de compressão para esta alvenaria é de 0,08 kN/cm2. Dimensione também o seu bloco de fundação, com seção igualmente quadrada e lado “b”, sabendo que o solo onde o sistema assenta tem uma tensão de compressão admissível de 0,025 kN/cm2.

(DICA: O peso próprio dos materiais deve ser considerado). Dados : γalvenaria= 15 kN/m3. γconcreto= 25 kN/m3.

2 m

‘ b’ ‘ b’

‘ a ‘ a

4 m

70 kN


50

9. A carga P aplicada à um pino de aço é transmitida por um suporte de madeira por intermédio de uma arruela de diametro interno 25 mm e de diametro externo "d". Sabendo-se que a tensão normal axial no pino de aço não deve ultrapassar 35 MPa e que a tensão de esmagamento média entre a peça de madeira e a arruela não deve exceder 5MPa, calcule o diametro "d" necessário para a arruela.

R: 6,32 cm

10. Aplica-se à extremidade C da barrade aço ABC uma carga de 66,7 kN. Sabe-se que Eaço

é de 2,1.104 kN/cm2. Determinar o diametro "d" da parte BC para a qual o deslocamento do ponto C seja de 1,3 mm.

R: 21,8 mm

11. Usando o desenho do problema anterior, suponha as duas partes da barra de alumínio com

módulo de elasticidade longitudinal de 0,7 . 104kN/cm2. O diametro da parte BC é de 28 mm. Determinar a máxima força que pode ser aplicada na extremidade C sabendo-se que o seu deslocamento não pode ultrapassar 3,8 mm. Sabe-se que a tensão de escoamento

admissível para o alumínio é de 16,5 kN/cm2.

R: P ≅ 84 kN

12. O fio de aço CD de 2 mm de diametro tem seu comprimento ajustado para que sem nenhum carregamento exista uma distancia média de 1,5 mm entre a extremidade B da viga rígida ABC e o ponto de contato E. Pede-se determinar em que ponto deve ser colocado o bloco de 20 kgf sobre a viga de modo a causar contato entre B e E.


51

Dados do aço: E = 2 . 104 kN/cm2.

R: x = 10 cm

13. Uma barra de aço tem seção transversal de 10 cm2 e está solicitada pelas forças axiais indicadas. Determinar as tensões desenvolvidas nos diversos trechos da barra.

R: trecho 1 : 10 kN /cm2

trecho 2 : 7 kN/cm2 trecho 3 : 9 kN/cm2

14. Uma barra de aço colocada na horizontal mede 5 m. Calcular o seu alongamento quando suspensa verticalmente por uma extremidade. Dados do aço:

E = 2,1 . 104 kN/cm2 γ = 80 kN/m3

R: 0,004763 mm

15. Um pilar de tijolos comuns deve receber uma carga oriunda de um telhado de 32 kN. Dimensione-o com seção quadrada sabendo que a alvenaria apresenta peso específico de

19 kN/m3 e tem uma tensão de compressão admissível de 6 kgf/cm2.

100 kN 90 kN 30 kN 20 kN

2 m 3 m 4 m


52

R: a ≥ 24,2 cm

16. Duas barras prismáticas rígidamente ligadas entre si suportam uma carga axial de 45 kN como se indica a figura. A barra superior é de aço, tem 10 m de comprimento e

seçãotransversal com 65 cm2 de área; a barra inferior é de latão, tem 6 m de comprimento

e seção transversal com 52 cm2de área. Pedem-se as máximas tensões de cada material e o alongamento do sistema.

Dados: aço latão

E = 2,1 . 104 kN/cm2 E = 0,9 . 104 kN/cm2

γ = 78 kN/m3 γ = 83 kN/m3

R: σmáx aço =0,81 kN/cm2

σmáx latão = 0,91 kN/cm2 ∆ l = 0,096 cm

10 m

6 m

aço

latão

45 kN


53

17. Para a peça do problema anterior, supondo toda ela de latão, qual a área necessária para a parte de cima para que se tenha a mesma tensão máxima desenvolvida na parte de baixo.Neste caso qual é o alongamento sofrido.

R: Anec ≥ 57,54 cm2 ∆ l = 0,1558 cm

18. Determine as dimensões 'a', 'b' e 'c' dos pilares abaixo com seção circular que recebemuma carga axial de 3.000 kN. Determine também a percentagem de material economizado quando se adota a segunda distribuição. Dados do material:

γ = 90 kN/m3 σe = 0.5 kN/cm2

R: a ≥ 165.17 cm b ≥ 109.25 cm c ≥ 136.56 cm econ ≅ 44 %

19. Suponha um pilar de concreto de seção quadrada 20 x 20 cm, armado com 4 φ 1/2", conforme figura. Determine a máxima carga 'P' que se pode aplicar à este pilar, a percentagem desta carga que cada material absorve e o encurtamento do sistema. São dados:

aço concreto σe kN cm= 12 2 / σc kN cm= 0 6 2. /

E = 2.1 . 104 kN/cm2 E = 0.14 . 104 kN/cm2


54

R : P ≤ 282.5 kN concr: 83.88 % aço: 16.12 % ∆ l = 0.171 cm

20. Um cilindro de alumínio esta no interior de um tubo de aço e o conjunto é comprimido axialmente por 240 kN por intermédio de placas rígidas. O cilindro de alumínio tem 8 cm de diametro e o de aço tem 10 cm de diametro externo. Determine as tensões desenvolvidas no aço e no alumínio, a percentagem de carga que cada material absorve e o coeficiente de segurança do sistema. Dados:

Alumínio aço

E = 0.28 . 104 kN/cm2 E = 2.1 . 104 kN/cm2

σe = 6 kN/cm2 σe = 12 kN/cm2

R: σaço = 6.85 kN/cm2

σAl = 0.91 kN/cm2 s = 1.75

21. Um tubo vertical de aço cheio de concreto tem diametro externo de 90 cm e interno de 87

cm. Para o aço o limite de escoamento é de 24 kN/cm2 e o coeficiente de segurança adotado pela norma 2.25. Para o concreto a tensão de ruptura à compressão é de 1.5


55

kN/cm2 e o coeficiente de segurança adotado 2.5. Supondo o sistema comprimido por placas rígidas, determine a carga máxima aplicável, sendo dados:

Eaço = 2.1 . 104 kN/cm2 Econcr = 0.18 . 104 kN/cm2

R: P ≅ 6.500 kN

22. Uma barra de seção quadrada de 5 cm de lado está fixa rígidamente entre duas paredes e suporta uma carga axial de 20.000 Kgf, conforme figura. Calcular as reações nos engastes e o alongamento da parte tracionada.

Emat = 2.4 . 106 kgf/cm2

R: Resq = 12.000 Kgf ( → ) Rdir = 8.000 Kgf ( → ) ∆ l = 0.002 cm

23. A barra prismática da figura é engastada nas extremidades e suporta as cargas que aí se indicam, aplicadas por intermédio de saliencias rígidamente ligadas à barra. Desprezada a influência da distribuição de esforços nessas saliências, pede-se calcular as tensões

normais nos trechos AB, BC e CD. A área da seção transversal desta barra é de 10 cm2.

R: σAB = - 2 kN/cm2

σBC = - 6 kN/cm2

σCD = + 6 kN/cm2

24. O tanque de um compressor de ar é formado por um cilindro fechado nas extremidades por calotas semi-esféricas. O diametro interno do cilindro é de 60 cm e a pressão interna

de 35 Kgf/cm2 . Se o material com que é feito o cilindro é de aço com limite de

escoamento de 2.400 Kgf/cm2 e o coeficiente de segurança adotado de 3.5, pede-se determinar a espessura da parede do cilindro desprezando-se os efeitos da ligação do cilindro com as calotas.

OBS: num cálculo mais rigoroso seria necessário levar em conta e dimensionar a ligação. R: 1.53 cm


56

25. Um tanque cilindrico de gasolina com eixo vertical está cheio à partir da extremidade

inferior com 12 m do líquido, tendo a gasolina peso específico de 7.4 kN/m3. Tendo o tanque 26 m de diametro interno e sendo o limite de escoamento do material do tanque 240 MPa, pede-se calcular com segurança 2 a espessura necessária a parede em sua parte mais profunda. Qual seria esta espessura se a eficiência da ligação parede-fundo fosse de 85%?

R: t = 0.962 cm tjunta = 1.13 cm

26. Um tubulão de ar comprimido é constituido por um tubo de aço de 2 m de diametro interno e recebe ar injetado para expulsar água à uma profundidade de 20 m. Calcular a espessura necesssária à este tubo numa profundidade de 2 m, sendo a tensão de

escoamento admissível para o material do tubo de 6 kN/cm2.

R: 3 mm

27. Considere uma peça formada por dois tubos co-axiais. Inicialmente existe uma diferença entre os diametros de 0.025 cm, sendo necessário aquecer o cilindro externo para nele introduzir o interno. Sendo de aço os dois cilindros; 10 cm o diametro da superfície de contato; 0.25 cm a espessura do cilindro interno e 0.20 cm a espessura do externo, pede-se determinar as tensões circunferenciais desenvolvidas em cada um dos cilindros depois de resfriado o sistema.


57


58

CAPÍTULO III


I. ASPECTOS GERAIS

O cisalhamento convencional é adotado em casos especiais, que é a ligação de peças de espessura pequena.

Consida-se inicialmente um sistema formado por duas chapas de espessura "t" ligadas entre si por um pino de diametro "d", conforme esquematizado abaixo:


t - Espessura das chapas

l - Largura das chapas

Considerando-se o método das seções, e cortando a estrutura por uma seção "S", perpendicular ao eixo do pino e justamente no encontro das duas chapas, nesta seção de pino cortada devem ser desenvolvidos esforços que equilibrem o sistema isolado pelo corte. Então:


59

Aplicando as equações de equilíbrio:

Σ Fx = 0 Q - P = 0 ∴ Σ MS = 0

M - P.t/2 =0 ∴ 2

t . P = M

As solicitações que se desenvolvem na seção de corte do pino são de Momento Fletor e Esforço Cortante, com os valores acima calculados.


Conforme os cálculos acima efetuados, pode-se notar que o valor do momento é pequeno já que se trabalha com a união de chapas que, por definição, tem a sua espessura pequena em presença de suas demais dimensões.

Nestes casos, pode-se fazer uma aproximação, desprezando o efeito do momento fletor em presença do efeito do esforço cortante.


dx

dMQ =

Em casos de ligações de peças de pequena espessura, como normalmente aparecem em ligações rebitadas, soldadas, parafusadas, pregadas e cavilhas, esta solução simplificada leva a resultados práticos bastante bons. É nestes casos que se adota o cisalhamento aproximado, também chamado de cisalhamento convencional.

O cisalhamento convencional é uma aproximação do cisalhamento real, onde o efeito do momento é desprezado.

Tem-se apenas uma área sujeita à uma força contida em seu plano e passando pelo seu centro de gravidade. Para o cálculo das tensões desenvolvidas é adotado o da distribuição uniforme, dividindo o valor da força atuante pela área de atuação da mesma. Esta seção é chamada de ÁREA RESISTENTE, que deverá ser o objeto de análise.

A distribuição uniforme diz que em cada ponto desta área a tensão tangencial tem o mesmo valor dada por:

resistA

Q = τ

Q = P

Q

τ


60


III. LIGAÇÕES SOLDADAS

A. TIPOS DE SOLDA

DE TOPO SOLDA POR CORDÕES

Pode-se observar que na solda de topo, há o desenvolvimento de tensão normal, o que já foi visto e foge do proposto neste capítulo.

B. SOLDA POR CORDÕES

Consideram-se duas chapas de espessura t1 e t2, ligadas entre si por cordões de solda

conforme a figura abaixo:

Sejam:

g - comprimento de trespasse entre as chapas h - largura da chapa à ser soldada t1 - espessura da chapa à ser soldada

Pode-se, intuitivamente, notar que o efeito da força se faz sentir ao longo do comprimento do cordão de solda, sendo lógico se atribuir uma relação direta entre a área resistente de solda e o comprimento do cordão.

Nas ligações soldadas, consideramos a área resistente de solda ao produto da menor dimensão transversal do cordão por seu comprimento respectivo.

Na ligação acima e vê que a chapa de espessura t1está ligada à chapa de espessura t2 por

meio de um cordão de solda. Vamos ver ampliada uma seção transversal desta solda:


61

É costume desprezar-se a parte boleada da seção de solda pois é onde prováveis falhas se localizam(bolhas de ar, etc)

"d" é a menor dimensão da seção resistente deste cordão e que pode ser calculada como a altura do triangulo retangulo de catetos iguais à t1 .

Observação:

O diâmetro do cordão de solda é escolhido de acôrdo com a espessura da chapa à ser soldada.

d = t1 . sen 45°

cordãoresis l . t 0,7 A =

Observe-se que t corresponde à espessura da chapa que está sendo soldada e lcordão seria o comprimento do cordão de solda.

Para o caso especial do exemplo citado ficaria:

lc = 2.g + h Aresist = d . lc

Aresist = 0,7 t (2.g + h)

Para calcula-se a tensão tangencial desenvolvida tem-se:

h) + (2.g t 0,7

P = τ

A avaliação da área resistente deve ser estudada em cada caso, pois partindo da conclusão que ela deva ser igual ao comprimento do cordão multiplicado pela menor dimensão da seção da solda, pode-e ter casos em que a expressão analítica aparece um tanto diferente:

Neste caso temos a chapa de cima sendo fixada na de baixo mas aproveitando o comprimento disponível do trespasse inferior também fixamos atravéz de solda a chapa de baixo na de cima.

Aresist = 0,7 . t1(2.g + h) + 0,7 t2.h

A condição de segurança de uma ligação soldada será então:

solda de cordão h) + (2.g t 0,7

P τ≤

d = 0,7 t1


62

IV. LIGAÇÕES REBITADAS

A. TIPOS DE LIGAÇÕES REBITADAS

1. Superposição 2. De topo com cobrejunta simples

3. De topo com cobrejunta duplo

B. CONSIDERAÇÕES GERAIS

Em qualquer ligação rebitada, além de se levar em conta o cisalhamento nos rebites, outros fatores também devem ser examinados. Sempre que se projeta ou verifica uma ligação rebitada deve-se analisar os seguintes itens:

1. Cisalhamento nos rebites.

2. Compressão nas paredes dos furos.

3. Tração nas chapas enfraquecidas.

4. Espaçamento mínimo entre rebites.

Para que a ligação tenha segurança todos estes fatores devem estar bem dimensionados.

C. FATÔRES A SEREM CONSIDERADOS

1 Cisalhamento dos rebites

O fator cisalhamento nos rebites previne o corte das seções dos rebites entre duas chapas. Estas seriam as seções chamadas de seções de corte ou seções resistentes.

Sendo:

n - número de rebites que resiste à carga P

m - número de seções resistentes por rebite.


63

d - diametro dos rebites

A força P é resistida por "n" rebites com "m" seções resistentes cada um. Então a área resistente total nos casos de uma ligação rebitada é:

4dn. . m = A2

.resistπ

Sendo ττττreb a tensão admissível ao cisalhamento do material do rebite, a tensão tangencial desenvolvida não pode ultrapassar a admitida.

A condição de segurança para o cisalhamneto nos rebites expressa de uma forma analítica seria:

reb2

4d.n.m

Pτ≤

π

Observando os tipos de ligações rebitadas nos exemplos vistos anteriormante ve-se que:

Superposição Cobrej. simples Cobrej. duplo

m = 1 m = 1 m = 2

n = 4 n = 4 n = 4

2. Compressão nas paredes dos furos

A força exercida nas chapas, e estando a ligação em equilíbrio estático, cria uma zona comprimida entre as paredes dos furos dos rebites e o próprio rebite.

Esta compressão pode ser tão grande a ponto de esmagar as paredes dos furos e colocar em risco toda a ligação rebitada.

Deve-se portanto descartar esta possibilidade.

Sejam duas chapas ligadas entre si por um rebite de diametro "d",conforme figura:

Observam-se zonas comprimidas nas duas chapas devido à ação do rebite sobre elas, sendo na vista de cima, representada a ação do rebite na chapa superior.

À fim de facilitar-se o cálculo destas compressões substitui-se a àrea semi cilindrica, da parede do furo, por sua projeção, que seria uma área equivalente ou simplificada ficando:


64

Aresist = Asimpl = d.t

F = P

resistA

F = σ

d.t

P = Cσ

Como nos casos de ligações rebitadas existem n rebites, podemos generalizar a expressão::

n.d.t

P = σ

Sendo chapaCσ a tensão de compressão admissível para o material da chapa ou dos cobrejuntas, então para que o projeto funcione com segurança, a condição expressa analíticamente ficaria:

Cchapa n.d.t

P σ≤

As tensões de compressão não se distribuem de maneira exatamente uniforme, entretanto assim se admite.

3. Tração nas chapas enfraquecidas

Quando se perfura as chapas para a colocação de rebites elas são enfraquecidas em sua seção transversal. Quanto maior for o número de furos em uma mesma seção transversal, mais enfraquecida ficará a chapa nesta seção, pois sua área resistente à tração fica reduzida.

Antes da furação a seção transversal da chapa que resistia à tração era:

l.t

PT =σ

Supondo que se façam dois furos em uma mesma seção transversal de chapa para a colocação de rebites. A nova área resistente será:


65

A nova tensão de tração desenvolvida será:

2.d) - t(l

P = σ

Para generalizar criamos uma grandeza, n1 que reprezenta o número de rebites colocados em uma mesma seção transversal;

.d)n - (lt

P =

1σ

A condição de segurança expressa analíticamente será:

Τσ≤ .d)n - (lt

P

1

onde Τσ representa a tensão de tração admissível para o material das chapas ou cobrejuntas

Observações:

1. Em casos de projetos de ligações rebitadas sempre interessa a pior situação do sistema, que muitas vêzes é determinada com a simples observação. Nos dois itens anteriores (compressão nos furos e tração nas chapas enfraquecidas) pode-se tirar as seguintes conclusões:

a. Nas ligações por superposição e cobrejunta simples, sempre estará em pior situação a peça de menor espessura, pois ambas recebem a mesma carga. Resta apenas observar que para a tração nas chapas enfraquecidas, a seção transversal com maior número de rebites colocados é a em pior situação (n1 máximo).


66

b.Nas ligações com cobrejunta duplo seria conveniente a análise das chapas e dos cobrejuntas já que a espessura dos mesmos é diferente e a carga ao qual eles estão submetidos também o é.

Cobrejunta: P/2 , t1

Chapas: P, t2

4. Espaçamento mínimo entre rebites

Com a finalidade de limitar a proximidade entre rebites e entre rebites e bordas livres, as normas fixaram um espaçamento mínimo que deve ser preservado.

Isto evita zonas de extrema fragilidade entre dois furos em uma chapa e evita também que o funcionamento de um rebite interfira nos rebites vizinhos, o que poderia provocar acúmulos de tensões nestas áreas comuns .

NB - 14 ( Estruturas Metálicas)

Recomendações da Norma:

3 d - distâcia mínima entre os centros de 2 rebites

2 d - distância mínima entre centro de rebite e borda livre perpendicular à ação da força

1,5 d - distância mínima entre centro de rebite e borda livre paralela à ação da força onde "d" é o diâmetro do rebite.


67



a. Aço (τ = 220 MPa ) R: (a) 0.10 cm b. Cobre (τ = 130 MPa ) (b) 0.17 cm c. Alumínio (τ = 70 MPa) (c) 0.32 cm

2. As chapas soldadas abaixo na figura tem espessura de 5/8". Qual o valor de 'P' se na solda

usada a tensão admissível ao cisalhamento é de 8 kN/cm2. Determine também o menor trespasse possível adotando-se todas as possibilidades de solda.

R: P ≤ 356.16 kN g ≥ 14 cm 3. Considere-se o pino de 12.5 mm de diametro da junta da figura. A força "P" igual à 37.50 kN. Admita a distribuição de tensões de cisalhamento uniforme. Qual o valor destas tensões nos planos a-a' e b-b'.

R: 1.528 Kgf/cm2



68

R: 4,71 kN/cm2

5. O aço de baixo teor de carbono usado em estruturas tem limite de resistência ao

cisalhamento de 31 kN/cm2 . Pede-se a força P necessária para se fazer um furo de 2.5 cm de diametro, em uma chapa deste aço com 3/8" de espessura.

R: 231,91 kN

6. Considere-se o corpo de prova da figura, de seção transversal retangular 2.5 x 5 cm, usado

para testar a resistência a tração da madeira. Sendo para a peroba de 1,3 kN/cm2 a tensão de ruptura ao cisalhamento, pede-se determinar comprimento mínimo "a" indicado, para que a ruptura se de por tração e não por cisalhamento nos encaixes do corpo de prova. Sabe-se que a carga de ruptura do corpo por tração é de 10,4 kN.

R: a ≥ 0.8 cm

Vista Lateral

Seção do corpo de prova

Corpo de prova


69

7. Considere-se um pino de aço de 3/8" de diametro sujeito à força axial de tração de 10 kN. Calcular a tensão de cisalhamento na cabeça do pino, admitindo que a superfície resistente seja de um cilindro de mesmo diametro do pino, como se indica em tracejado.

R: 1,05 kN/cm2

8. As peças de madeira A e B são ligadas por cobrejuntas de madeira que são colados nas superfície de contato com as peças. Deixa-se uma folga de 8 mm entre as extremidades de A e B . Determine o valor do comprimento "L"para que a tensão de cisalhamento nas

superfícies coladas não ultrapasse 0,8 kN/cm2.

R: 308 mm


R: 6 MPa


70


a. A força necessária para produzir por punção um furo de 30 mm de diametro em uma chapa com 9 mm de espessura.

b. A tensão normal correspondente no furador.

R: (a) 279,91 kN (b) 39,59 kN/cm2


R: 22 mm




71

R: (a) 1,85 cm (b) 3,75 cm

13. Quais as distancias "a" e "b" necessárias para os entalhes na peça horizontal da treliça indicada? Todas as peças tem seção transversal de 0,20 x 0,20 m. Admitir a tensão de cisalhamento da madeira de 3,5 MPa e utilizar coeficiente de segurança 5.

R : a ≅ b ≅24 cm

14. Verificar a ligação rebitada da figura, sendo dados

Rebites Chapas τ = 100 MPa σT = 150 MPa d = 1/2" = 1,27 cm σC = 250 MPa


72

R: Não há segurança (tração nas chapas)

15. Determine a máxima carga P que se pode aplicar à ligação rebitada abaixo sendo dados:

Rebites Chapas e Cobrejuntas d = 1/2" = 1.27 cm σT = 150 MPa τ = 100 MPa

OBS: medidas em mm

16. Verificar a ligação rebitada abaixo sendo dados:

Rebites Chapas e Cobrejuntas d = 1/2" = 1,27 cm σe = 220 MPa τ = 110 MPa


73

R: Não há segurança

17. A junta longitudinal de uma caldeira é de topo com cobrejunta duplo. O diametro interno da caldeira é de 1,3 m , a espessura de sua chapa de 15 mm e as chapas de recobrimento (cobrejuntas) de 10 mm. Sabe-se que os rebites são colocados longitudinalmente a cada 8 cm. Determinar a pressão interna que esta caldeira pode suportar e também a eficiência da ligação rebitada. Os rebites usados tem 12 mm de diâmetro e são dados dos materiais:

Rebites: Chapas e Cobrejuntas: d = 12 mm σT = 387 MPa τ = 310 MPa σC = 670 MPa

Deve-se adotar segurança 5.

R : pi ≤ 2,7 Kgf/cm2 eficiência ≅ 15%


74

18. Dimensionar um eixo de uma roldana fixa que deve suportar a elevação de uma carga de 100 kN. Sabe-se que o material do eixo apresenta tensão admisível ao cisalhamento de 120 MPa.

R: 3,25 cm


75

CAPÍTULO IV

GEOMETRIA DAS MASSAS

I. ASPECTOS GERAIS

Apesar de não estar incluida dentro dos nossos objetivos principais, vamos estudar algumas grandezas características da geometria das massas com a finalidade de conhecermos alguns valores necessários ao estudo das solicitações que provoquem a rotação, como o Momento Fletor e o Momento Torsor.

Vamos nos ater ao cálculo das propriedades das seções planas.

II. MOMENTOS ESTÁTICOS E BARICENTROS DE SUPERFÍCIES PLANAS

A. CONCEITO

Admitimos uma superfície plana qualquer de área "A", referida à um sistema de eixos ortogonais x,y.

Sejam:

dA - elemento de área representativo componente da superfície

x e y - coordenadas deste elemento em relação ao sistema de eixos

Define-se:

Momento estático de um elemento de área dA em relação a um eixo é o produto da área do elemento por sua orddenada em relação ao eixo considerado.

Notação : s

Expressão analítica :

dA.ysx = dA.ysx =

Define-se:

Momento estático de uma superfície é a soma dos momentos estáticos em relação a um mesmo eixo dos elementos que a constituem.

Notação : S

x

y

x

y


76

Expressão analítica:

∫=A

x dA y. S ∫=A

y dA x. S

Observações:

1. unidade: cm3, m3, ...

2. sinal : O momento estático pode admitir sinais positivos ou negativos, dependendo do sinal da ordenada envolvida.

3. O momento estático de uma superfície é nulo em relação à qualquer eixo que passe pelo baricentro desta superfície.

B. DETERMINAÇÃO DO BARICENTRO DE SUPERFÍCIE

A utilização dos conceitos de momento estático se dá no cálculo da posição do baricentro de figuras planas.

Seja:

G - baricentro da superfície com coordenadas à determinar (xG; yG)

por definição:

∫=A

x dA y. S

Se o baricentro da superfície fosse conhecido poderíamos calcular o momento estático desta superfície pela definição:

Sx = yG . A ∴∴∴∴ yG = A

Sx

Como A (área total) pode ser calculado pela soma dos elementos de área que a constituem:

∫A

dA = A então :

x

y

xG

yG

G


77

∫

∫=

A

AG

dA

dA y. y

Análogamente:

∫

∫=

A

AG

dA

dA x. x

Estas expressões nos permitem determinar as coordenadas do centro de gravidade de qualquer seção desde que se conheça um elemento dA representativo da superfície toda. São chamadas genéricamente de "Teorema dos Momentos Estáticos".

Nos casos mais comuns, quando a superfície em estudo for a seção transversal de um elemento estrutural, normalmente seções constituidas por elementos de área conhecidos, podemos substituir nas equações a integral por seu similar que é o somatório, e as expressões ficam:

∑

∑=

n

1i

n

1ii

G

A

y.A y ou

∑

∑=

n

1i

n

1ii

G

A

x.A x

OBS: Quando a figura em estudo apresentar eixo de simetria, o seu centro de gravidade estará obrigatóriamente neste eixo.

Exemplo1:

Determinar a altura do centro de gravidade do semi-círculo de raio R da figura

R : yR

G =4

3

.

.π


78

III. MOMENTOS E PRODUTOS DE INÉRCIA

Podemos definir momentos e produtos de inércia de uma superfície , usando como referencia a mesma superfície de área A referida à um sistema de eixos x,y:

A. MOMENTO DE INÉRCIA AXIAL

Define-se:

Momento de inércia de um elemento de área em relação a um eixo é o produto da área deste elemento pelo quadrado de sua distância ao eixo considerado.

Notação : j


jx = y2 . dA jy = x2 . dA

Unidade : cm4 , m4, ...

Sinal : sempre positivo

Define-se:

Momento de inércia de uma superfície em relação a um eixo é a soma dos momentos de inércia em relação ao mesmo eixo dos elementos de área que a constituem.

∫=A

2x dA .y J ou ∫=

A

2y dA .x J

OBS: Sendo o momento de inércia axial de uma superfície o somatório de valores sempre positivos, ele só admite valores positivos também.

B. MOMENTO DE INÉRCIA POLAR

Define-se:

Momento de inércia de um elemento de área em relação a um ponto é o produto da área deste elemento pelo quadrado de sua distância ao ponto considerado.

x

y

x

y r


79

Notação: j (índice com o nome do ponto)


jo= r2 . dA

Unidade : cm4 , m4 , ....

Sinal: sempre positivo

Define-se:

Momento de inércia de uma superfície em relação a um ponto é a soma dos momentos de inércia, em relação ao mesmo ponto dos elementos qua a constituem."

∫=A

2o dA.r J

Se levarmos em conta o teorema de Pitágoras:

222 yxr +=

então:

∫ +=A

22o dA).y (x J = ∫

A

2 dA.x + ∫A

2 dA.y

yxo J + J = J

Portanto, o momento de inércia de uma superfície em relação a um ponto é a soma dos momentos de inércia em relação a dois eixos ortogonais que passem pelo ponto considerado.

C. PRODUTO DE INÉRCIA

Define-se:

O produto de inércia de um elemento de área em relação a um par de eixos é o produto da área deste elemento por suas coordenadas em relação aos eixos considerados.

Notação : j

Expressão analítica :

jx,y = x.y.dA

Sinal: admite sinais positivos e negativos, de acôrdo com o sinal do produto das coordenadas.

Unidade : cm4, m

4 , ...

Define-se:

O produto de inércia de uma superfície é a soma dos produtos de inércia, em relação ao mesmo par de eixos, dos elementos que a constituem."

∫=A

y,x x.y.dA J

O produto de inércia de uma superfície por ser o somatório do produto dos elementos que a constituem pode resultar em um valor negativo, positivo ou nulo.


80

Exemplo 2:

Determine o momento de inércia de um retangulo b x h , em relação ao eixo horizontal coincidente com a base.

IV. TRANSLAÇÃO DE EIXOS (TEOREMA DE STEINER)

Este teorema nos permite relacionar momentos e produtos de inércia em relação a eixos quaisquer com momentos e produtos de inércia relativos a eixos baricêntricos, desde que eles sejam paralelos.


Para a utilização do teorema de steiner, os eixos baricentricos devem necessáriamente estar envolvidos na translação.

Jx = J

xG + A.dy

2

Jy = J

yG + A.dx

2

Jo = J

G + A . r

2

Jx,y = J

xG,yG + A.dx.dy

X

x

y

xG

yG

dy

dx


81

V. ROTAÇÃO DE EIXOS

A. SEGUNDO UMA INCLINAÇÃO QUALQUER α

O teorema à seguir nos permite calcular momentos e produtos de inércia em relação a eixos deslocados de um angulo α, de uma referência conhecida.

Conhecidos: Jx, Jy, Jxy

A determinar: Jx’, Jy’, Jx’y’.


A convenção adotada na dedução destas expressões na medida de α, segue a convenção adotada no círculo trigonométrico, ou seja deslocamento no sentido anti horário.

Jx' = Jx. cos2 α + Jy. sen2α - Jx,y. sen 2α

Jy' = Jy. cos2 α + Jx .sen2α + Jx,y. sen 2α

Jx',y' = Jx,y . cos 2α + 2

1 (Jx - Jy).sen 2α

α x

x' y

y'

O

α x

x'


82

A. EIXOS E MOMENTOS PRINCIPAIS DE INÉRCIA

Podemos notar que ao efetuarmos a rotação dos eixos que passam por um ponto 'o', os momentos e produtos variam em função do angulo de rotação α.

Em problemas práticos, normalmente nos interessa a inclinação 'α', em relação à qual os valores do momento de inércia é máximo, para então aproveitarmos integralmente as características geométricas da seção transversal que deve ser adotada.

Para a determinação do máximo de uma função, por exemplo Jx', podemos utilizar os

conceitos de cálculo diferencial, onde sabemos que uma função é máxima ou mínima no ponto em que sua primeira derivada for nula.

Então: 0 = d

dJ 'x

α

Efetuando as derivações e com algumas simplificações algébricas chegamos à expressão:

xy

xy

J - J

.J2 = 2 tg α

Esta expressão nos permite calcular dois valores para o angulo α, que caracterizam a posição dos eixos em relação aos quais o momento de inércia assume valores extremos (máximo e mínimo).

Vamos observar que estes eixos são:

1. Ortogonais entre si.

2. O produto de inércia em relação a este par de eixos é nulo.

3. Na rotação dos eixos a soma dos momentos de inércia é constante.

Jx + Jy = Jx' + Jy'

Os dois eixos determinados chamam-se de eixos principais de inércia e os momentos correspondentes momentos principais de inércia.

Observações:

1. Se o ponto "o" em tôrno do qual se fez a rotação coincidir com o centro de gravidade da seção, os eixos passarão a ser chamados de principais centrais de inércia e a eles corresponderão os momentos principais centrais de inércia.

2. Se a seção tiver eixo de simetria, este será, necessáriamente , um eixo principal central de inércia.


83


1. As superfícies abaixo indicadas foram construídas em chapas de aço dobradas. Determine o baricentro das mesmas supondo que as chapas adotadas tem 10 mm de espessura

a. b.

2. Determine e localize o baricentro das superfícies hachuradas abaixo, que tem as medidas indicadas em cm:

a. b.

R: XG = 5,00 ; YG= 9,66 R: XG = 6,00; YG = 9,17

20 cm

20 cm

21 cm

20 cm


84

c.

R: XG = 25; Y

G = 27

d.

R: XG = 6,57 ; Y

G = 2,60 ;

3. Determine o momento estático das figuras hachuradas abaixo em relação aos eixos indicados. Medidas dadas em cm. a. b.

X

18

18

9

6

Y

10 3

12

2 X

Y

x

y

x

y

6 cm

3 cm 3 cm 4 cm 2 cm


85

4. Determinar o momento de inércia das figuras em relação aos eixos baricentricos horizontail e vertical. (medidas em cm)

a. b.

R: Jx = 3.541,33 cm4 R: Jx = 553 cm4

Jy= 1.691,33 cm4 Jy = 279,08 cm4

c. d.

R: Jx = 687,65 cm4 R: Jx = 1.372,29 cm4

Jy= 207,33 cm4 Jy= 1.050,27 cm4


86

5. Para as figuras abaixo, determine os seus eixos principais centrais de inércia, bem como os momentos correspondentes (momentos principais centrais de inércia). As medidas estão cotadas em cm.

a. b.

R: Jmáx = 1.316 cm 4 R: Jmáx = 2.707 cm4

Jmín = 325,5 cm4 Jmín = 105 cm4

6. Para a figura abaixo determine:

a. Momentos principais centrais de inércia

b. Momentos principais de inércia em relação ao ponto O.

R: a. Jmáx = 105,33 cm4 Jmín = 87,05 cm4

b. Jmáx = 142,33 cm4 Jmín = 91,70 cm4


87

TABELA DE MOMENTO DE INÉRCIA DE SEÇÕES USUAIS

12

h.bJ

3

X =

12

b.hJ

3

y =

12

h.b

12

H.BJ

33

x −=

12

b.h

12

B.HJ

33

y −=

( )12

hbBH.bJ

33

x−−

=

( )12

b.hBhH2J

33

y+−

=

b

x

y

h

x

y

H h

b

B

x

y

B

b

H h


88

hB2

b.hBe

2

++

=

12

h.bH.BJ

33

x−

=

[ ] 233 e).bhBH(hb)hH(B3

1Jy −−+−=

36

h.bJ

3

x =

48

b.hJ

3

x =

36

h.bJ

3

x =

36

b.hJ

3

y =

B

2/3 h

1/3 h

b

y

x

b/3 2/3 b

2/3 h h/3

x

y

x

y

b

H h

e


89

4

R.JJ

4

YXπ

==

2

R.J

4

Oπ

=

X

Y

O


90

CAPÍTULO V

TORÇÃO

I CONCEITO:

Diz-se que uma peça está sujeita à solicitação simples de torção, quando a única solicitação a que ela está sujeita é a de Momento Torsor.

O Momento torsor provoca o giro da seção em torno do seu baricentro, ou de todas as seções em torno do eixo longitudinal da peça.

OBS:

1. A torção nunca vem só. Se a peça for vertical o seu peso próprio atuará como esforço normal e se for horizontal o seu peso próprio dará origem à momento fletor e esforço cortante.

2. Peça horizontal:

Círculos permanecem circulares

Linhas longitudinais transforman-se em hélices de pequeníssima curvatura

(a)Antes da deformação

Linhas radiais permanecem retas

(b) Depois da deformação


91

Peça Vertical:

3. Pelos métodos elementares de Resistência dos materiais só se resolvem problemas das peças cujas seções tenham simetria radial como é o caso as seções circulares, coroa circular e tubos de paredes delgadas. Nos demais casos o problema é resolvido pela teoria da elasticidade e na disciplina apenas será o formulário, bem como a maneira de conduzir o problema.

II. PEÇAS DE SEÇÃO CIRCULAR

A. CONSIDERAÇÕES GERAIS:

Seja uma peça de seção circular sujeita exclusivamente à torção (peso próprio desprezado):

Admitem-se as seguintes hipóteses:

G : Peso total da peça

Mt

Mt


92

a. É válida a hipótese de BERNOULLI

"Se uma seção é plana e perpendicular ao eixo de uma peça antes da deformação, continuará plana e perpendicular ao eixo da peça durante e após a deformação."

b. Válido o princípio da reciprocidade das tensões tangenciais.

"Se em uma seção de uma peça existir uma tensão de cisalhamento, então em uma seção perpendicular à esta deverá existir a mesma tensão (recíproca). Ambas tem o mesmo módulo, e ambas se aproximam ou se afastam da aresta de perpendicularidade."

c. Por efeito da torção há o deslizamento de uma seção sobre a outra, desenvolvendo-se entre elas tensões tangenciais, atuantes no próprio plano da seção. Em qualquer ponto desta seção a tensão tangencial é perpendicular ao raio.

d. É válida a lei de Hooke

"As tensões e as deformações específicas são proporcionais enquanto não se ultrapassa o limite elástico do material."

E = εσ

( módulo de elasticidade longitudinal)

G = γτ

(módulo de elasticidade transversal)

e. As seções giram sem se deformar em seus próprios planos, isto é , os raios permanecem retilíneos e o ângulo formado por dois raios é constante.

f. Considera-se que o eixo da peça na torção permaneça retilíneo (não sofra empenamento).

B. TENSÕES E DEFORMAÇÕES

Supõe-se uma peça de seção circular sujeita à torção, trabalhando de acordo com as condições acima citadas. Seu eixo geométrico permanece retilíneo, mas suas fibras longitudinais transformam-se em hélices cilíndricas de pequeníssima curvatura. Lembra-se que em estruturas trabalha-se no campo das pequenas deformações.


93

Torna-se a seção S1 fixa,para tomá-la como referência.

A seção S2 girou em torno de o e este ponto chama-se centro de torção.

A fibra longitudinal genérica BA passou para a posição BA'.

Chamamos de:

H - ângulo total de torção

L - Comprimento total da peça

A’

A

B

O

B

L

S1

S2

Mt

H

A’

A

B

O

B

L

S1

S2

Mt

C C’

1

Hélice cilíndrica de pequeníssima curvatura.


94

Supõe-se que se faça um novo corte, distante uma unidade de comprimento da seção S1 fixa.

Como a peça assim isolada pelo corte tem um comprimento unitário, seu ângulo total de torção será chamado de ângulo unitário de torção (θ).

Conceito: Ângulo unitário de torção é o ângulo total de torção que uma peça de comprimento unitário apresenta quando sujeita à um torsor.

Chama-se de :

θ - ângulo unitário de torção

γ - distorção específica

Intuitivamente observa-se que:

H

L =

θ1 ou

L . = H θ

Esta expressão permite calcular o ângulo total de torção em função do ângulo unitário de torção.

Por geometria diferencial:

CC' = r . θ

Por definição, distorção específica é a relação entre a deformação apresentada e a medida respectiva perpendicular à esta deformação:

1

CC' = γ

então γ . 1 = r . θ ou γ = r . θ

Pela lei de Hooke:

τγ

γτ

= G = G

∴ ou ainda : τ

θG = r.

r. .G = θτ

B B S1

C C’ 1

O θ

γ

S33


95

Esta expressão fornece o valor da tensão tangencial nos pontos da seção S3 caracterizados

pela ordenada r (distância do ponto considerado ao centro da seção), e é válida para qualquer peça em que não exista o empenamento.

C. TENSÕES E DEFORMAÇÕES EM FUNÇÃO DO MOMENTO TORSOR

Seja uma seção circular de raio 'R'.

Chamamos :

dA - elemento de área genérico da seção.

r - distância genérica do elemento de área dA ao ponto O, centro da seção

0 ≤ r ≤ R

τr - tensão desenvolvida no elemento de área dA pela atuação de Mt

dF - elemento de força desenvolvido no elemento de área devido à

tensão desenvolvida τr

dF = τr . dA

mt - momento torsor desenvolvido pela força que atua no elemento de área

mt = r . dF = r . τr . dA

O momento torsor total que atua na seção Mt deverá ser a soma dos torsores elementares que atuam em cada elemento de área que constitui a seção, ou seja:

∫ τA r dA . .r =Mt como τr = G. θ . r

∫ ∫θθA A2

t dA rG.=dA .r . r..G = M

Conforme foi visto em geometria das massas:

O

τr

r

dA

Mt


96

∫A2

o dA . r = J Momento de Inércia da seção cicular em relação ao seu centro O.

Substituindo na expressão a integral pelo seu conceito, teremos

Mt = G.θ.Jo

oG.J

Mt = θ ângulo unitário de torção

Observações:

1. unidade: rad/cm, rad/m, ...

2. Para a seção circular é tabelado o momento de inércia em relação ao seu centro.

2

.R = J

4

oπ

Assim, ao se determinar o ângulo unitário de torção, podemos determinar também as deformações totais, partindo de H = θ. L

L.J.G

MH

o

t=

Para determinação das tensões, basta substituir na expressão τ = G. θ.r o valor determinado para θ.

r.G.J

M G.

o

t=τ

r.J

M

o

t=τ

como r é uma distância genérica que varia (0 ≤ r ≤ R) podemos calcular os valores limites para a tensão na seção circular:

r = 0 (centro da circunferência) τ = 0

r = R (contôrno da seção) R.J

M o

tmáx =τ

Observações:

l. Distribuição das tensões

A distribuição de tensões é linear (equação de 1º grau), e segue o modelo abaixo:


97

2. Módulo de resistência à torção

Chamamos de módulo de resistencia à torção (Wt) de uma seção circular à relação entre o

momento de inércia da seção circular e o raio da seção.

R

J = Wo

t (constante)

Então

t

tmáx

W

M =τ

III. SEÇÃO CORÔA CIRCULAR

Pode-se adaptar o formulário da seção circular para a coroa circular, pois as hipóteses de funcionamento da mesma são iguais, respeitadas as diferenças relativas as propriedades geométricas.

Observa-se que a tensão máxima ocorre no contorno externo da seção coroa circular.

τmáx

τmáx

τmáx

τmáx

Re

Ri


98

o

t

G.J

M =θ

L.H θ=

rJo

Mtr =τ onde ei RrR ≤≤

eo

tmáx R.

J

M =τ

( )4i4eo R -R

2 = Jπ

IV . ÁRVORES OU EIXOS DE TRANSMISSÃO

Eixos transmissores de potência mecanica trabalham submetidos à torção e as suas dimensões devem ser tais que não ocorram tensões tangenciais elevadas em relação àquelas que o material pode suportar com segurança.

A figura ao lado mostra um eixo de raio R ligado à uma polia de raio Rp .

A correia transmite uma força F, então:

Mt = F. Rp

Em casos de árvores ou eixos de transmissão, em geral se conhece a potência do motor acoplado à polia e a sua frequência, nunca o torsor que ele desenvolve.

Criou-se então uma expressão que não passa de uma conversão de unidades, que nos permite, à partir da potência e da frequência conhecidas, determinar o torsor desenvolvido.

Seja:

N - potência do motor em CV

n - frequência do motor em r.p.m

A relação entre estas grandezas e o torsor transmitido é:


99

n

N 716,2 = Mt

O torsor assim calculado é obtido em kN.cm.

IV. TORÇÃO EM PEÇAS DE PAREDES TUBULARES

A. HIPÓTESE DE BREDT

Para o estudo da torção em peças de paredes delgadas, além de válidas as hipóteses já descritas, consideramos:

1. Eixo retilíneo

2. A seção transversal é qualquer , mas constante ao longo do eixo.

3. A espessura da parede é pequena em relação às dimensões da seção transversal:

t ≤≤≤≤ 10

dm

4. Admitimos que só existe momento torsor em qualquer seção.

5. Admitimos válida a Hipótese de Bredt

A distribuição das tensões tangenciais ao longo da espessura de um tubo de parede delgada, segue o modelo abaixo, crescendo do centro para as extremidades:


100

Pelo fato da espessura ser muito pequena, Bredt considerou as tensões tangenciais constantes em uma mesma espessura:

“Em uma peça tubular de paredes delgadas, e submetida à torção, as tensões tangenciais, nos pontos de uma mesma espessura, são paralelas e de valor constante. Esta hipótese os conduz a uma distribuição uniforme de tensões tangenciais ao longo de uma espessura.”

B. TENSÕES

Imaginemos um tubo de paredes delgadas sujeito à um momento torsor, conforme a figura.

Cortamos este tubo por planos P1 e P2 distantes de um elemento

de comprimento L

Após, o trecho isolado pelos cortes é cortado novamente , agora por um plano longitudinal P3.

τ

τ

Hipótese de Bredt


101

As tensões tangenciais τ1 e τ2 nas espessuras t1 e t2 estão representadas de acôrdo com a hipótese de Bredt, levando-se também em conta a reciprocidade das tensões tangenciais.

Como nas seções cortadas devem aparecer tensões que equilibrem o sistema, podemos verificar as equações de equilíbrio estático.

Σ Fy = 0 τ1.t1.L - τ2.t2.L = 0

τ1.t1 = τ2.t2

Como estávamos tratando com espessuras genéricas, podemos generalizar a conclusão:

τ1.t1 = τ2.t2 = τ3.t3 = ......... = τn.tn = f

f - fluxo das rensões tangenciais

"Em uma peça tubular de paredes delgadas, submetida à um momento torsor, o fluxo das tensões tangenciais é constante."

Passemos à considerar agora uma seçã genérica "S":

Seja:

C - contôrno médio da seção representado pontilhado;

dω - elemento de área compeendido pelo contôrno médio (área OAB)

dS - arco elementar componente do contôrno médio

2

r.dS d =ω

Consideremos um elemento de área ao longo do contôrno:

dA = t.dS

A tensão desenvolvida neste elemento de área dA, dá origem à uma força df:

A

B dω


102

df = f dS = τ . t . dS

O momento desta força em relação ao centro de torção o é:

mt = dF . r = ( τ . t . dS) . r = τ . t . r . dS

O momento torsor total da seção será:

∫τ∫ τCC

dS.r t . = dS.r. t . = Mt

observe que τ . t = f = cte

observe também que r.dS = 2.dω

daí tira-se que:

∫ ω∫ τωτ=CC

d. t . 2. = d.2. t . Mt

∫ ΩωC

= d

onde Ω representa a área da superfície englobada pelo contôrno médio C.

Substituimos a integral por seu significado, representado por Ω :.

Mt = 2. τ .t. Ω

Ωτ2.t.

Mt =

Observações:

1. Esta expressão possibilita calcular as tensões tangenciais em qualquer espessura da parede do tubo.

2. A tensão máxima ocorre nos pontos de menor espessura.

mínmáx

t.2.

Mt =

Ωτ

Ω


103

C. DEFORMAÇÕES

Sabe-se que .t2.

Mt =

Ωτ e que : .rG. = θτ

.t2.

Mt =.r G.

Ωθ

Integrando esta igualdade ao longo do contôrno médio da seção, obtem-se:

∫Ω

∫ θCC .t2.

Mt = r..G

∫θ∫Ω CC

r.dS G. = t

dS

.2

Mt

Ω∫ 2. = dS.rC

∫Ω

ΩθC t

dS

2.

Mt = ..G.2

∫Ω

θC

2 t

dS

4.G.

Mt =

Esta expressão possibilita calcular o angulo unitário de torção em uma peça tubular de paredes delgadas submetida à torção.

A deformação total pode ser obtida por

H = θ. L

Avaliação de ∫C t

dS

1. Casos de peças de espesura constante:

∫C t

dS = ∫ =

C t

CdS

t

1 onde C = comprimento do contôrno médio

3. Seção transversal constituida por trechos de espessura constante:


104

∫C t

dS = ∑

=

n

1i ti

Ci

∑Ω

θn

1 = i2 ti

Ci

4.G.

Mt =

4. Seção transversal com lei matemática para variação da espessura ao longo do contôrno médio: Neste caso basta substituir t pela sua lei matemática e resolver matemáticamente a integral.

5. Se a seção transversal não se enquadrar nos casos anteriores a integral deve ser avaliada por um processo aproximado.

t1

t4 t2

C2

t3 C3

C4

C1


105


1. Calcular a máxima tensão tangencial em uma barra de seção circular com 20 cm de diâmetro, quando submetida a um par de torção de 40 kN.m. Determine também o ângulo total de torção, sendo o comprimento da peça 3 m e o módulo de elasticidade transversal

do material igual a 8.104 MPa.

R: τmáx = 2,55 kN/cm2

H = 96 . 10-4 rad

2. Qual a máxima potência que se pode desenvolver em um eixo de 8 cm de diâmetro que gira à 400 rpm. O eixo é construido com material que apresenta tensão de cisalhamento

admissível de 15 kN/cm2 .

R: 842,2 CV

3. Um par de torção de 30 kN.m é aplicado em uma seção circular vasada de 20 cm de diametro externo. Determine o maior diametro interno possível a fim de que a tensão de

cisalhamento não ultrapasse 6 kN/cm2 .

R: ≅ 18 cm

4. Deseja-se substituir um eixo de seção circular de raio 10 cm por outro de seção coroa circular, do mesmo material, com Re = 2.Ri , capaz de suportar o mesmo torsor, com a

mesma segurança. Quais seriam as dimensões do eixo oco? Qual a economia de material que se obtém ao realizar a substituição?

R: De = 20,4 cm Di = 10,2 cm

economia ≅ 22%

5. A junta representada na figura é frequentemente usada para unir as extremidades de dois eixos. As duas partes são solidárias por meio de 6 rebites de diâmetro 3/4". Se o eixo transmite 65 CV com 250 rpm, qual a tensão de cisalhamento nos rebites?

R: 2,14 kN/cm2


106

6. O eixo de seção variável, como se indica na figura, é de aço com módulo de elasticidade

transversal 0,84 . 104 kN/cm2 . Na extremidade inferior do eixo é aplicado um torsor de 6 kN.m e na seção B um torsor de 9 kN.m, com os sentidos indicados. Determine a tensão de cisalhamento máxima nos dois trechos de seção constante e o deslocamento angular de B e C.

R: τAB = 1,46 kN/cm2 τBC = 6,91 N/cm2 HB = 0,0034 rad HC = 0,0117 rad

7. O eixo da figura compõe-se de um trecho de latão e outro de alumínio, com 60 cm de comprimento cada. O diâmetro do eixo é constante de 6 cm; o limite ao cisalhamento do

latão é de 10 kN/cm2 e o do alumínio 15,5 kN/cm2. Adotando um coeficiente de segurança 2 e limitando o ângulo de torção na extremidade livre em 1º, qual o torsor máximo que se pode aplicar a este eixo. Dados;

Glatão = 0,35 . 104 kN/cm2 G Alumínio = 0,28 . 104 kN/cm2 1º = 0,01745 rad

R: 57,57 kN.cm

60 cm

60 cm

Mt

Latão

Alumínio


107

8. Considere um eixo formado por um núcleo cilíndrico de alumínio com 5 cm de diametro envolto por uma coroa de aço com 6 cm de diâmetro externo. Sendo rígida a ligação entre os dois metais e estando o eixo solicitado por um torsor de 15 tf.cm, pedem-se as tensões de cisalhamento máximas nos dois metais.

Dados: GAl = 0,28 . 104 kN/cm2 Gaço = 0,84 . 104 kN/cm2

R: τmáx Al = 1,46 kN/cm2

τmáx aço = 5,21 kN/cm2

9. Um eixo maciço de aço com seção circular é envolvido por um tubo de cobre, rigidamente ligado ao aço. O conjunto está solicitado a torção. Sabendo-se que o cobre absorve 1,5 vezes o torsor do aço, pede-se determinar a relação entre os diâmetros interno e externo do tubo de cobre. Dados:

R: De = 2 . Di

10. .Admite-se no problema anterior qua a barra de aço tem diâmetro de 6 cm e que as tensões

de cisalhamento admissíveis no cobre e no aço sejam respectivamente 6 e 8 kN/cm2 . Qual o torsor máximo que se pode aplicar ao eixo.

R: 8,48 kN.m

Gaço = 0,84 . 104 kN/cm2 GCu = 0,42 . 104 kN/cm2

5 cm 6 cm

Di De aço

Cobre


108

11. Um momento de torção de 3 kN.m é aplicado ao cilindro maciço de bronze indicado. Determinar:

a. Máxima tensão de cisalhamento

b. A tensão de cisalhamento no ponto B com 15 mm de raio.

c. A parcela do momento resistida pelo cilindro interior aos 15 mm de raio

R: a. 70,7 MPa b. 35,4 MPa c. 6,25 %

12. Os momentos torsores indicados atuam nas polias A B C e D. Sabendo-se que os eixos são maciços determinar a tensão máxima de cisalhamento:

a. do eixo BC

b. do eixo CD

R: a. 8,34 kN/cm2

b. 8,15 kN/cm2

3 kN.m B

200 mm

60 mm

A

B

C

D


109

13. A barra circular maciça BC de aço é presa à haste rígida AB e engastada ao suporte rígido

C. Sabendo-se que G = 0,75.104 kN/cm2 , determinar o diâmetro da barra de modo que para um P de 450 N a deflexão do ponto A não ultrapasse 2 mm e que a máxima tensão de cisalhamento não exceda 100 MPa.

R: 40,5 mm

14. Verificar a seção esboçada na figura para resistir à um momento torsor de 30 kN.m, sabendo-se que a tensão limite de cisalhamento do material é de 50 MPa. Calcule também

o seu ângulo unitário de torção ( G = 0,8 . 104 kN/cm2 ).

R: s = 2,53

θ = 2,24 . 10-5 rad/cm

15. As seções da figura abaixo são construidas com o mesmo material e estão submetidas ao mesmo torsor. Calcular a relação R/e à fim de que trabalhem com a mesma segurança.

2 cm 20 cm 2 cm


110

R: 7,4

16. Uma peça tubular cuja seção reta e indicada na figura, é construida com material que apresenta tensão de cisalhamento admissível de 20 MPa. O comprimento da peça é de 4

metros, seu módulo de elasticidade longitudinal 2 . 105 MPa e seu coeficiente de Poisson 0,3. Determine:

a. Maior torsor que a seção admite. b. Ângulo total de torção.

R: a. 10,08 kN. m b. 0,1032 rad

17. A figura abaixo mostra a seção de uma peça tubular de paredes delgadas com material que

apresenta tensão de cisalhamento admissível de 4 kN/cm2 . Pede-se a dimensão 't' da seção sabendo-se que ela esta submetida a um torsor de 1 kN.m.

R: 0,32 cm

2e 18e

2e

e 15e e

R

2 cm 16 cm

2 cm

1 cm 1 cm 13 cm

2 t

2 t

12 t

t t 26 t


111

18. Aplica-se uma torção de 90 N.m ao eixo de seção vasada da figura. Determine as tensões de cisalhamento nos pontos A e B.

19. Uma barra vasada, tendo seção transversal indicada é feita com uma lamina metálica de 1,6 mm de espessura. Sabe-se que um torque de 339 N.m será aplicado a barra. Determinar a menor dimensão 'd' de modo que a tensão de cisalhamento não ultrapasse

3,45 MPa.

R: d ≥ 184,4 mm


112

PEÇAS DE SEÇÃO QUALQUER

FORMULÁRIO

Seção elíptica

2

.a.b J

3

Tπ

=

b.J

M

T

tmáx =τ

33

22t

b.a

)ba(

G.

M +π

=θ

OBS: A máxima tensão tangencial ocorre nos pontos externos do eixo maior

a - semi-eixo maior

b - semi-eixo menor

Seção Retangular

b

an =

α=

3

Tb.a

J

n

8,13+=α

63,0

n.3=β

3t

b.a.G

M.β=θ a.

J

M

T

tmáx =τ

OBS: A máxima tensão tangencial ocorre nos pontos médios dos lados maiores


113

Seção Quadrada

8,4

aJ

4

T =

a.J

M

T

tmáx =τ

4t

a.G

M.1,7=θ

OBS : A máxima tensão tangencial ocorre nos pontos médios dos lados.

Seção Retangulo alongado

A seção que apresentar n ≥ 20 é chamada de retangulo alongado, onde n = b

a

α = β = 3 3

b.aJ

3

T =

b.J

M

T

tmáx =τ

3t

b.a.G

M.3=θ

OBS: As máximas tensões ocorrem nos pontos médios dos lados maiores

Seção constituida de retangulos alongados

Estas seções em geral se encontram nos perfilados metálicos


114

a- Lado maior de cada um dos retangulos

b- Lado menor de cada um dos retangulos

m - número de retangulos

∑=m

1

3iiT b.a

3

1J

T

t

J.G

M=θ

T

máx.tmáx J

bM=τ

OBS: A máxima tensão tangencial ocorre nos pontos médios dos lados maiores do retângulo de maior espessura.


115


1. Uma barra de seção elíptica cujos eixos estão na proporção 1:2 é sujeita a uma torção de 2

kN.m. O material é tal que não permite que se ultrapasse a tensão tangencial de 6 kN/cm2 e o

módulo de elasticidade transversal é de 8.10-4 kN/cm2. A peça tem 1,5 m de comprimento. Calcule o ângulo total de torção.

R: H ≅ 0,03185 rad

2. Calcular a máxima tensão tangencial que ocorre no perfil cantoneira da figura, quando submetido a um torsor de 0,72 kN.m. Na figura as medidas estão em mm. Assinale os pontos de tensão máxima.

R: 7,98 kN/cm2

3. Determinar o coeficiente de segurança para a seção cantoneira da figura. A tensão de cisalhamento do material em laboratório é de 100 MPa. A seção esta submetida a um momento torsor de 2,5 kN.m. Determinar também o ângulo total de torção sabendo-se que a

peça mede 6 m e tem G = 8.104 kN/cm2 .

Na figura as medidas estão em mm. Assinale os pontos de tensão máxima.

R: s ≤ 1,17 H = 0,002118 rad


116

CAPÍTULO VI

FLEXÃO PURA

I . VIGAS CARREGADAS TRANSVERSALMENTE

Uma viga é um elemento linear de estrutura que apresenta a característica de possuir uma das dimensões (comprimento) muito maior do que as outras duas (dimensões da seção transversal).

A linha que une o centro de gravidade de todas as seções transversais constitui-se no eixo longitudinal da peça, e dizemos que uma viga é carregada transversalmente quando suas cargas são perpendiculares à este eixo.

Quando uma viga que tem cargas perpendiculares ao seu eixo, desenvolve em suas seções transversais solicitações de Momento Fletor (M) e Esforço Cortante (Q), sendo o Momento Fletor responsável pela flexão e o Esforço Cortante responsável pelo cisalhamento da viga.

M - Momento Fletor → Flexão

Q – Esforço Cortante → Cisalhamento

O Esforço Cortante tem muitas vezes uma influência desprezível no comportamento da peça e com a finalidade acadêmica pode-se despreza-lo, estudando o efeito da flexão isolada.

Existe uma aproximação ao estudarmos a flexão isolada. Na prática, tem-se a obrigação de pelo menos verificar o efeito do esforço Cortante.

Feitas estas considerações, inicia-se classificando a flexão em:

Eixo longitudinal da viga

FLEXÃO PURA

SIMPLES


117

FLEXÃO PURA - Desprezado o efeito do Esforço Cortante

FLEXÃO SIMPLES - Momento Fletor e Esforço Cortante considerados.

A posição do carregamento em relação à posição dos eixos principais centrais de inércia da seção transversal da peça, também deve ser analisada.

Convencionando por x e y os eixos principais centrais de inércia da seção transversal da viga, e Jx e Jy os Momentos Principais Centrais de Inércia correspondentes.

Chama-se de Plano de Solicitações (PS) ao plano onde se desenvolvem as solicitações, o que corresponde ao plano das cargas.

A posição deste plano pode ser a mais diversa possível. Comparando esta posição com a posição dos eixos principais centrais de inércia da seção transversal, pode-se obter as seguintes situações:

PS contém eixo y PS contém eixo x

PS não contém nenhum eixo principal central de inércia da seção

PS

x

y

x

y PS

x

y

PS


118

De acordo com estas observações a flexão é classificada em:

RETA - Ocorre quando o Plano de Solicitações contém um dos eixos principais centrais de inércia da seção (x ou y), e está representada nos dois primeiros exemplos.

OBLÍQUA - Ocorre quando o Plano de Solicitações é desviado em relação aos eixos principais centrais de inércia da seção, representada no terceiro exemplo.

A classificação definitiva para a flexão fica:

RETA

PURA

OBLÍQUA

FLEXÃO

RETA

SIMPLES

OBLÍQUA

II. FLEXÃO PURA RETA

É o caso mais simples e o mais comum de flexão. Nas estruturas o mais comum é o Plano de Solicitações vertical, pois é o plano que contém as cargas peso.

Inicia-se o estudo por um caso simples de uma viga de seção transversal retangular, e sujeita a uma carga carga peso, conf. Abaixo. Destacam-se as seções S1 e S2 :

Isolado o trecho compreendido entre as seções S1 e S2 podem-se observar as deformações e

concluir:

P

P

S1 S2

S1’ S2’


119

1. No exemplo observado, as fibras de baixo se alongaram, e isso indica uma tensão normal de tração, capaz de provocar este alongamento.

2. As fibras de cima se encurtaram e o fizeram porque houve uma tensão normal de compressão que as encurtou.

3. Existe uma linha na seção transversal na altura do eixo longitudinal constituída por fibras que não alongaram e nem encurtaram. Conclui-se que nesta linha não existe tensão normal. Esta linha é chamada de LINHA NEUTRA (LN), e neste exemplo ela coincide com o eixo x, que é principal central de inércia da seção transversal retangular.

Numa flexão reta a LN é sempre um dos eixos principais centrais de inércia da seção:

PS contendo eixo y → LN coincide com o eixo x

PS contendo eixo x → LN coincide com o eixo y

Numa flexão reta LN e PS são sempre perpendiculares entre si.

A Linha Neutra representa fisicamente o eixo em torno do qual a seção gira.

4. Quanto mais afastada for a fibra da LN maior será a sua deformação e conseqüentemente maior será a tensão que lhe corresponde (lei de Hooke).

M M

S2 S2’ S1 S1’

LN LN

S2’ S1’


120

A. TENSÕES NORMAIS DESENVOLVIDAS

Na formação da expressão que permite calcular as tensões normais desenvolvidas em uma seção transversal, adota-se o seguinte exemplo:

Uma Viga de seção retangular (bxh) , onde os eixos principais centrais de inércia são os eixos de simetria (x,y). Plano de Solicitações verticais (cargas peso).

notações e convenções:

σ - Tensões Normais : (+) tração (-) compressão

Jx - Momento de inércia da seção em relação ao eixo x, principal central de inércia (pci).

Mx - Momento Fletor atuante na seção transversal devido à ação das cargas

(+) traciona as fibras da parte de baixo da seção transversal

(-) traciona as fibras de cima

y - ordenada genérica da fibra considerada, ou seja, da fibra para a qual se quer calcular as tensões normais.

Conhecido o funcionamento da peça e as grandezas que influem em seu funcionamento à flexão pode-se montar uma equação que permita calcular a tensão normal desenvolvida, nos diversos pontos que constituem a seção em estudo:

y.J

M = x

xyσ

Observando esta expressão, nota-se que a tensão desenvolvida depende diretamente domomento fletor que atua na seção transversal (responsável pela tendência de giro), e é inversamente proporcional ao momento de inércia da mesma, o que se explica, pois o momento de inércia representa fisicamente resistência ao giro.

A tensão também é diretamente proporcional a ordenada y, que representa a distância da fibra em que se deseja calcular a tensão até a linha neutra, ficando de acordo com a lei de Hooke, pois as deformações crescem com a distancia à Linha Neutra .

Mx

Mx

σmáxC

σmáxT

LN


121

Observações:

1. Esta expressão permite calcular a tensão normal desenvolvida devido ao momento fletor em qualquer ponto de qualquer seção da viga considerada.

2. Se fosse exemplificado com Plano de Solicitações horizontal, as seções girariam em tôrno do eixo y e a expressão ficaria:

x.J

M = y

yxσ

B. TENSÕES NORMAIS EXTREMAS (MÁX. E MÍN)

As máximas tensões de tração e de compressão ocorrem nos pontos mais afastados da Linha Neutra, porque são nestes pontos que a deformações são máximas (lei de Hooke).

Para facilitar o cálculo das tensões normais máximas, dividem-se as peças em duas categorias:

1. Peças Simétricas em relação ao eixo de giro (eixo x)

Ex: Seção Retangular

Observe que em peças simétricas a distancia da fibra mais tracionada e da fibra mais comprimida até a Linha Neutra é igual à metade da altura total da peça (h/2)

σmáxT = Jx

Mx . ymáxT σmáxC =

Jx

Mx. ymáxC

ymáxT = |ymáxC | = 2h

σmáxT = |σmáxC|

Mx

Mx

σmáxC

σmáxT

LN

YmáxC= 2

h

YmáxT= 2

h


122

2. Seções não simétricas em relação ao eixo de giro (eixo x):

Ex: Seção "T"

|ymáxc | ≠ ymáxt

σmáxT ≠ |σmáxC|

Nas seções não simétricas as convenções devem ser observadas com cuidado pois a simples inversão de qualquer sentido ou sinal torna os resultados diferentes dos observados na prática.

C. MÓDULO DE RESISTÊNCIA À FLEXÃO (W)

Por definição, módulo de resistência à flexão é a relação entre o Momento de Inércia da seção em relação à um eixo, e a maior distância da seção em relaçao aqo mesmo eixo. Como foi exemplificado o caso de cargas verticais em que o eixo de rotação (LN) é x, teríamos:

máx

xxy

J = W

Substituindo este conceito na expressão que nos dá a tensão máxima, tem-se:

máx x

x =máx y .J

Mσ

x

x =máx W

Mσ

Note-se que não se faz distinção entre ymáxt e ymáxc , portanto a utilização prática desta

constante se dá no cálculo da tensão máxima em peças simétricas, onde eles são iguais.

Muitas vezes, em peças comerciais , o valor do módulo de resistência à flexão é tabelado.

Tratando do caso de Momento Fletor M y (rotação em torno de y), a expressão fica:

máx

yyx

J = W

y

y =máx W

Mσ

Mx

σmáxT

Mx LN

YmáxC

YmáxT

σmáxC


123

D. SEÇÕES E POSIÇÕES MAIS CONVENIENTES

A melhor forma para a seção transversal de uma viga sujeita à flexão é aquela que tem grande parte de sua área em regiões o mais afastadas possíveis de sua LN.

Exemplo:

Para uma mesma seção, ou seja, para um mesmo material empregado, o aproveitamento da melhor forma possível, ou da melhor posição possível, é possível pela análise do seu módulo de resistência à flexão.

Exemplo 1:

Qual a forma mais conveniente para ser utilizada em uma viga sujeita à flexão, optando-se entre uma seção quadrada e outra circular, ambas de mesma área?

Seção 1 Seção 2

Exemplo 2:

Qual a posição mais conveniente de uma seção retangular b x B , para servir como seção transversal de uma viga, sujeita à carga peso?

a

a

R


124

III. FLEXÃO PURA OBLÍQUA

A. CONCEITO

Uma flexão é classificada como pura quando o efeito do esforço cortante é desprezado e é oblíqua quando o Plano de Solicitações não contém nenhum eixo principal central de inércia da seção.

Exemplo:

Numa flexão oblíqua a posição das cargas em relação ao eixo y, principal central de inércia define o angulo α.

α - ângulo que o PS faz com o eixo y, considerado positivo quando o PS se desloca de y no sentido horário

A LN representa o eixo em torno do qual a seção gira. Assim como o PS, a LN também não coincide com os eixos principais centrais de inércia. Além disto a LN e o PS não precisam ser perpendiculares.

B

b

b B

x

y

PS PS

α

LN


125

B. TENSÕES NORMAIS DESENVOLVIDAS

O momento fletor é um vetor, e que como tal pode ser representado por uma seta contida pela seção transversal (regra da mão direita).

Como qualquer vetor em um plano pode ser decomposto segundo duas direções de interesse, pode-se decompor o vetor M segundo as direções x e y, obtendo:

Mx = M . cosα

My = M . senα

x

y

M

M = tg α

Percebe-se que a flexão oblíqua recai no caso da soma de duas flexões retas:

y

PS

M

x


126

y.J

M = x

xyσ x.

J

M = y

yxσ

Adotando-se o princípio da Superposição de efeitos pode-se calcular a tensão resultante do Momento M, somando-se algébricamente os efeitos de Mx e My.

Esta equação permite que se calcule a tensão em qualquer ponto da seção em estudo, bastando para isto a substituição dos valores de x e y pelas coordenadas do ponto.

C. ESTUDO DA LINHA NEUTRA

O objetivo ao projetar ou verificar uma peça está nas tensões máximas.

As tensões máximas devem estar nos pontos mais afastados do eixo em torno do qual a seção gira, ou seja da LN e portanto para o conhecimento destes pontos precisamos estudar a LN.

Por definição a LN é a linha de tensões nulas e pode ser descrita sob a forma de uma equação, igualando a equação das tensões à zero.

σx,y = 0 ou Mx

Jx.y +

My

Jy. x = 0

y = - tg α.Jx

Jy x

Pode-se concluir por esta equação que:

1. A LN é uma reta

2. A LN passa pelo centro de gravidade da seção que é o ponto de coordenadas (0;0)

3. A LN não é perpendicular ao PS

σx,y = Jx

Mx .y +

Jy

My . x

PS

M α

α

M α

Mx

α My

M

= +


127

D. TENSÕES MÁXIMAS

Ocorrem nos pontos mais afastados da LN. Então determinada a LN podemos determinar a posição destes pontos gráficamente, e calcular nestes pontos as tensões máximas.

Exemplo:

Seção Qualquer (método gráfico)

Nas peças com simetria em relação à x e em relação à y, pode-se simplificar o problema indicando os vértices como pontos destas tensões máximas.

Em dois vértices opostos, as tensões são sempre de mesmo módulo e sinal contrário, o que implica em:

σmáx t = | σmáx c |

LN máxTσ

máxCσ


128


1. Uma viga de seção retangular 20 x 30 cm suporta um momento fletor positivo de 20 kN.m. A peça é construida com material que apresenta σT = 18 MPa e σC = 32 MPa. Determine o coeficiente de segurança desta viga.

R: 2,7

2. Projetar uma peça com seção retangular com altura igual ao dobro da base para servir como viga conforme a figura abaixo.. A viga será construida com material dútil que apresenta tensão de escoamento de 400 MPa. Despreze o esforço cortante e adote segurança 2,5.

R: b≥ 9,5 cm

h≥ 19 cm

3. Determine a medida "b" da seção transversal da viga da figura abaixo. A viga deve resistir ao carregamento indicado com segurança 5. O material apresenta :

σT = 8 kN/cm2 σC = 16 kN/cm2

R: b≥33,31 cm

4. Calcular o coeficiente de segurança para a viga abaixo. O material é frágil e apresenta:

σT = 200 MPa | σC | = 300 MPa


129

R: 2,34

5. A viga da figura deve ser construida com material dútil que apresenta tensão de escoamento de 300 MPa. A seção transversal deve ser uma coroa circular de Re = 2.Ri. Dimensione-a com segurança 3.

R: Re = 5,14 cm

6. Determinar o máximo valor possível para a carga "q" à fim de que a peça abaixo de seção retangular 20 x 40 cm resista ao carregamento indicado com segurança 3.

Dados:

σT = 30 MPa | σC | = 120 MPa s = 3

R: q ≤ 26,67 kN/m

7. Qual a relação entre os momentos fletores máximos que podem suportar com a mesma segurança uma viga de seção retangular com um lado igual ao dobro do outro, sendo o PS paralelo ao lado maior e depois paralelo ao lado menor.

R: 2

8. Determinar a percentagem de material economizado quando se substitui uma seção circular de raio R por uma coroa circular de Di = 0,9 De. As duas vigas são construidas

com o mesmo material e apresentam as mesmas condições de segurança.

R: ≅ 60 %


130

9. Para a viga da figura determine a tensão normal desenvolvida no ponto P das seção S, distante 3 metros do ponto A.

R: 1,317 kN/cm2

10. A viga da figura é construida com material frágil e tem seção transversal constante, retangular e vasada, com as dimensões indicadas. Calcule o máximo valor para a carga P possível à fim de que se tenha coeficiente de segurança 3. Dados:

2T kN/cm 20=σ 2

C kN/cm 40=σ

R: P ≤ 16,12 kN

11. Determine o máximo valor posível para a acarga P da estrutura abaixo à fim de que ela trabalhe 7com segurança 2. Dados:

σt =50 MPa |σc| = 70 MPa


131

R: 2,86 kN.

12. Determine o coeficiente de segurança da viga abaixo, sendo dados do material:

σT = 3 kN/cm2 |σC| = 5 kN/cm2

13. Determinar a medida de "a" necessária à seção T abaixo, sabendo que o material apresenta

tensões admissíveis de tração e de compressão de 30 e 50 kN/cm2 respectivamente.

R: a ≥ 1,03 cm


132

14. A seção retangular indicada na figura sofre um momento fletor de 150 kN.m em um plano que faz ângulo de 20° com a vertical. Pede-se as tensões nos 4 vértices da seção, a equação e a posição da Linha Neutra e o diagrama de tensões relativo à Linha Neutra.

R: σA = 1,04 MPa σB = -24,5 MPa σC = + 24,5 MPa σD= - 1,04 MPa

15. Determine as dimensões necessárias à terça da figura abaixo com seção retangular h = 2b

sabendo que o material apresenta: 2T kN/cm 3=σ 2

C kN/cm 5=σ

R: b ≥ 10,93 cm


133


σ ou τ = resistA

F ε =

Εσ

(lei deHooke) ε = l.l∆

µ=εε - t

(lei de Poisson) DD∆

=εt

Lei de Hooke generalizada

( )[ ]zyxx E

1σ+σµ−σ=ε ( )[ ]zxyy E

1σ+σµ−σ=ε

( )[ ]yxzz E

1σ+σµ−σ=ε


σ = A

N

A.E

L.NL =∆

TRAÇÃO OU COMPRESSÃO AXIAL COM CONSIDERAÇÃO DO PESO PRÓPRIO

σ máx = l γ+A

P σ máx =

A

GP + G = A.γ.l

)2

GP( +∆

EAl = l 2.E

.E.AP.l = l l 2γ

+∆

MATERIAIS DIFERENTES

2

1

E

En = 2σσ n. = 1

21A + n.AP

=σ2

N1= σ1..A1 N2 = σ 2.A2 P = N1 + N2 LIGAÇÕES REBITADAS 1. cisalhamento nos rebites 2. compressão nas paredes dos furos

reb2

4

d..n.m

Pτ≤

π .)obrsecchapa(Ct.d.n

Pσ≤

3. tração nas chapas enfraquecidas 4. espaçamento mínimo entre rebites

cobr. ) e t (chapas1

.d )n σ≤

−l(tP


134

GEOMETRIA DAS MASSAS

i

ii

A y . A =

∑

∑GY

i

iiG A

x.AX

ΣΣ

=

Teorema da translação ou Steiner:

Jx = JxG + A. (dy)2 dyi= (yi – yG)

Jy = JyG + A. (dx)2 dxi= (xi - xG)

TABELA:

3b. h3

=xJ 3h. b3

=yJ

12b. h3=xGJ

12h. b3

=yGJ

TORÇÃO

H = θ.L τr = G.θ.r o

t

G.JM = θ

Seção Circular:

2

R.J

4

o

π= R.

J

M

o

t

máx =τ

Seção Coroa Circular

( )4i4

eo RR2

J −π

= e

o

t

máx R.J

M=τ

FLEXÃO PURA RETA

y . Jx

MxY =σ

máx

xx y

JW =

Seção simétrica em relação ao eixo de giro;

=σ=σ2

h

Jx

MxmáxCmáxt


135

BIBLIOGRAFIA BÁSICA HIBBELER, R.C. Resistência dos Materiais LTC Editora – Rio de Janeiro – 3ª Edição ISBN - 85-216-1228-1 GERE, James M. Mecânica dos Materiais Pioneira Thomson Learning , 2003 - São Paulo – ISBN – 85-221-0313-5 ROY R. CRAIG, JR – Mecânica dos Materiais – LTC Editora – Rio de Janeiro ISBN – 85-216-1332-6 RILEY William F. STURGES Leroy D. MORRIS Don H. - LTC Editora – Rio de Janeiro – ISBN – 85-216-1362-8 TIMOSHENKO,S,P. -Resistência dos Materiais 2 volumes. Ed. Ao Livro Técnico S.A. Rio de Janeiro. BEER, Ferdinand P & JOHNSTON, E Russel. Resistência dos Materiais Editora Mc Graw Hill do Brasil. São Paulo. BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR: GOMES, Sérgio C. - Resistência dos Materiais - Livraria Kosmos FEODOSSIEV, V. I. - Resistência dos Materiais - Editora Mir - Moscou NASH, W.A. - Resistência dos Materiais - Editora Mc Graw Hill do Brasil. São Paulo POPOV,E.P. - Resistência dos Materiais - Editora Prentice-Hall do Brasil DI BLASI, Célio G. - Resistência dos Materiais - Editora Interamericana Ltda. Rio de Janeiro – ISBN – 85-201-0189-5 SCHIEL Frederico Introdução à Resistência dos Materiais Harper & Row do Brasil – São Paulo

Resistência dos Materiais I - EM – CCivil . PUCRS- Profas: Maria Regina Costa Leggerini 1

PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO S UL


CURSO DE ENGENHARIA CIVIL

Resistência dos Materiais I- EM

Notas de Aula



CAPÍTULO I

REVISÃO DE MECÂNICA GERAL – CONCEITOS BÁSICOS

I . FORÇA A. CONCEITO: Força é toda a grandeza capaz de provocar movimento, alterar o estado de movimento ou provocar deformação em um corpo. É uma grandeza vetorial cuja intensidade pode ser obtida pela expressão da física:

a.mF =r

onde:

F = força

m = massa do corpo

a = aceleração provocada

Sendo força um elemento vetorial somente se caracteriza se forem conhecidos:

• direção

• sentido

• módulo ou intensidade

• ponto de aplicação

Exemplo 1: Força provocando movimento

Exemplo 2: Força provocando deformação

Fr

Fr


Exemplo 3: PESO DOS CORPOS:

O peso dos corpos é uma força de origem gravitacional que apresenta características especiais:

Módulo: g.mPrr

=

Direção: Vertical

Sentido: de cima para abaixo

Ponto de aplicação: centro de gravidade do corpo

B. UNIDADES

Existem muitas unidades representando forças sendo as mais comuns:

N - Newton kN - kiloNewton kgf - kilograma força

1 kgf = 10 N 1 kN = 103 N 1 kN = 102 kgf

C. CARACTERÍSTICAS DAS FORÇAS

1. Princípio de ação e reação:

Quando dois corpos se encontram, toda a ação exercida por um dos corpos cobre o outro corresponde uma reação do segundo sobre o primeiro de mesmo módulo e direção, mas com sentidos contrários, que é a 3ª lei de Newton.

Pode-se observar que estas duas forças têm pontos de aplicação diferentes e, portanto causam efeitos diferentes, cada uma atuando no seu ponto de aplicação.

2. Princípio da transmissibilidade de uma força,

Quando se aplica uma força em um corpo sólido a mesma se transmite com seu módulo, direção e sentido em toda a sua reta suporte ao longo deste corpo.

1 kN = 103 N = 102 kgf

P


3. Decomposição das forças.

Qualquer força no espaço pode ser decomposta segundo três direções que desejarmos.

Normalmente, usam-se como referência três direções ortogonais entre si, escolhidas de acordo com a conveniência do problema.

Nestes casos pode-se usar a resultante Fr

ou suas componentes Fx, Fy e Fz para obter o efeito desejado.

Qualquer força contida em um plano também pode ser decomposta segundo duas direções.

Normalmente são usadas duas direções perpendiculares entre si, também escolhidas de acordo com a conveniência do problema.

No caso plano que é o mais usual:

Exemplo:

rF - força a ser decomposta

x e y – direções ortogonais de referência

α - ângulo formado por F em relação à x

rFx,

rFy- componentes da força nas direções x e y

A decomposição é feita por trigonometria:

rFx =

rF. cos α

rFy =

rF sen α

rFy/

rFx = tg α

A força rF decomposta também pode ser chamada de resultante da soma vetorial de suas

componentes rFx e

rFy.

F

Fx

Fy

x

y

α

x

y

z

F Fx

Fy

Fz

=Fr

Fx

Fy

Fz


Nos problemas pode-se utilizar para cálculos apenas a força resultante, ou as suas componentes, o que se tornar mais fácil. Isto pode se constituir em uma das ferramentas mais úteis no trabalho com as forças.

Observe que soma vetorial ou geométrica não corresponde à soma algébrica.

D. CLASSIFICAÇÃO DAS FORÇAS

As forças podem ser classificadas de acordo com a sua origem, modo de se comportar, etc. como, por exemplo, as forças de contato (ex: locomotivas, musculares, etc..) e as de ação à distância (ex: elétricas, gravitacionais, magnéticas, etc.)

Em análise estrutural as forças são divididas conforme esquema abaixo:

FORÇAS EXTERNAS: atuam na parte externa na estrutura, e são o motivo de sua existência. Podem ser:

ações : São forças independentes que podem atuar em qualquer ponto de uma estrutura . Correspondem às cargas as quais a estrutura está submetida, normalmente conhecidas ou avaliadas. Ex: peso do pedestre em uma passarela, peso próprio das estruturas, etc...

reações: São forças que surgem em determinados pontos de uma estrutura (vínculos ou apoios), sendo conseqüência das ações, portanto não são independentes, devendo ser calculadas para se equivalerem as ações e assim preservarem o equilíbrio do sistema.

FORÇAS INTERNAS: são aquelas que mantêm unidos os pontos materiais que formam o corpo sólido de nossa estrutura (solicitações internas). Se o corpo é estruturalmente composto de diversas partes, as forças que mantém estas partes unidas também são chamadas de forças internas (forças desenvolvidas em rótulas).

II. MOMENTO DE UMA FORÇA

A. CONCEITO:

O momento de uma força é a medida da tendência que tem a força de produzir giro em um corpo rígido. Este giro pode se dar em torno de um ponto (momento polar ) ou em torno de um eixo (momento axial).

B. MOMENTO POLAR (momento de uma força em relação a um ponto)

Chama-se de momento de uma força rF em relação a um ponto "0", o produto vetorial do

vetor OAr

pela força rF, sendo "A" um ponto qualquer situado sobre a reta suporte da força

rF. Logo também é um vetor, e para a sua caracterização é preciso determinar o seu módulo, direção e sentido.

Representa fisicamente a grandeza da tendência de giro em torno deste ponto que esta força impõe ao corpo.


OA F = oM ∧rr

O efeito do vetor momento é o de provocar um giro com determinado sentido em relação ao ponto ‘o’ considerado. O vetor momento apresenta as seguintes características:

• direção: perpendicular ao plano formado pela força e pelo vetor OA

• sentido: regra da mão direita

• módulo: produto do módulo da força rF pela menor distância do ponto "0" a reta suporte

da força.

• ponto de aplicação: ponto "O" em relação ao qual se calculou o momento.

αsen..OAFoMrr

= ou d .FoMrr

=

A distância d que representa o módulo do vetor OA é também chamada de braço de alavanca. Ela é a menor distância entre a reta suporte da força e o ponto em relação ao qual se calcula o momento, isto é, pode ser obtida pela perpendicular à reta que passa pelo ponto.

Isto simplifica em muito o calculo do momento polar de uma força.

M = F.d

π

A

F

d

Mo

O

Mo


Regra da mão direita:

A regra da mão direita consiste em se posicionar os dedos da mão direita no sentido da rotação provocada pela força em torno do ponto O. Neste caso o polegar indica o sentido do momento.

Convencionam-se sinais + ou - para cada um dos sentidos, de acordo com a nossa escolha.

Exemplo 1: Determine o peso que devemos colocar na extremidade direita da gangorra a fim de que ela permaneça em equilíbrio estático.

P1 = 30 kN

a = 2 m

b = 4 m

Exemplo 2: Determine a força desenvolvida no tirante da estrutura, a fim de que ela permaneça em equilíbrio, sabendo-se que a barra pesa 5 kN. A barra é presa a uma parede por meio de um pino O.

G = 5 kN

L = 3 m

α= 15º

T = ?


C. MOMENTO AXIAL

Momento axial é o valor algébrico da projeção ortogonal sobre o eixo do momento polar produzido pela força em relação a um ponto qualquer do eixo. Pode ser representado por uma grandeza escalar quando se adota uma convenção para a orientação do eixo.

Exemplo 1: Força perpendicular ao plano do eixo

Mx = F . d

Exemplo 2 : Força inclinada em relação ao plano do eixo Mx = Fz . d Fz = F . sen α

Exemplo 3 : Força no espaço (direção qualquer)

F = F 1 + F 2 + F 3 Mx = 0 F 1 My =.0 Mz = -4 . F 1 Mx = 0 F 2 M y = 0 Mz = - 1 . F 2 Mx = + 4 . F 3 F 3 My = - 1 . F 3 Mz = 0

OBSERVAÇÃO: O momento de uma força em relação à um eixo é nulo sempre que a força e o eixo forem coplanares (concorrentes ou paralelos).


C. UNIDADE DE MOMENTO

Sendo o momento produto de uma força por uma distância, a unidade desta grandeza é o produto de uma unidade de força por uma unidade de distância.

Exemplos: kgf.m , kN.m , N.m , kN.cm , etc

III. SISTEMA DE FORÇAS

A. DEFINIÇÃO:

É o conjunto de forças que atuam simultaneamente em um corpo rígido ou em um ponto material.

B. RESULTANTE DE VÁRIAS FORÇAS CONCORRENTES:

A resultante de várias forças que concorrem em um ponto é a soma geométrica a partir do ponto, de forças eqüipolentes às que constituem o sistema, formando um polígono.

Obs: Forças eqüipolentes são aquelas que têm mesmo módulo, mesma direção e mesmo sentido.

Lembrando que uma força pode ser decomposta segundo eixos de referência, pode-se determinar a resultante de uma forma mais simples, obtendo-se cada componente pela soma algébrica das projeções de todas as forças sobre este eixo.

Exemplo 1:

Soma geométrica

0 = Rr

OBSERVAÇÃO: Se o polígono formado pelas forças for fechado a resultante é nula.


Exemplo 2:

Forças concorrentes em um ponto de um plano

A resultante de forças concorrentes em um ponto de um plano também pode ser calculada através da decomposição destas forças em relação a duas direções ortogonais escolhidas.

F1x = F1 cos α F1y = F1sen α

F2x = F2 cos β

F2y = F2 sen β

Fx = F1x + F2x

Fy = F1y + F2y

2y

2x )F()F(R Σ+Σ= PITÁGORAS

IV. PRINCÍPIO DA SUPERPOSIÇÃO DE EFEITOS

" O efeito produzido por um conjunto de forças atuando simultaneamente em um corpo é igual à soma do efeito produzido por cada uma das forças atuando isolada"

Deve-se fazer a ressalva de que a validade deste princípio se resume a casos em que o efeito produzido pela força seja diretamente proporcional a mesma. Isto acontece na maioria dos casos estudados.

A partir deste princípio pode-se dizer que:

- O momento polar resultante de um sistema de forças é a soma algébrica dos momentos polares, produzidos em relação ao mesmo ponto, por cada uma das forças atuando isolada.

- O momento axial produzido por um sistema de forças atuando simultaneamente em um corpo é igual à soma algébrica dos momentos axiais, produzidos em relação ao mesmo eixo, de cada uma das forças atuando isolada.

V. BINÁRIO OU PAR DE FORÇAS

A. CONCEITO

Denomina-se binário a um sistema constituído por um par de forças paralelas, de módulos iguais e sentidos opostos. A resultante em termo de forças é nula, entretanto há um momento polar resultante de módulo igual ao produto da força pela distância entre as duas direções paralelas.


Exemplo 1:

F =

a =

b =

c =

d =

MA = MD = ME =

O binário ou momento é um vetor livre, pois seu efeito independe do ponto de aplicação, sendo que para qualquer ponto do plano o binário tem o mesmo valor.

B. SITUAÇÕES REPRESENTATIVAS


VI. TRANSLAÇÃO DE FORÇAS

Transladar uma força (como artifício de cálculo) é transportá-la de sua direção para outra direção paralela. Isto implica no acréscimo de um momento devido à translação, cujo módulo é igual ao produto da força pela distância de translação.

VII. REDUÇÃO DE UM SISTEMA DE FORÇAS A UM PONTO

Qualquer sistema de forças pode ser reduzido a um sistema vetor-par, onde o vetor é a resultante das forças, localizada a partir de um ponto arbitrariamente escolhido e o par é o momento polar resultante do sistema em relação ao mesmo ponto.

Exemplo 1: Reduzir o sistema de forças da figura ao ponto B indicado.

Exemplo 2: Reduzir o sistema acima ao ponto A.

R:


VII. EQUIVALÊNCIA DE UM SISTEMA DE FORÇAS

Dois sistemas de forças são equivalentes quando tem resultantes iguais e momentos polares em relação ao mesmo ponto também iguais.

Exemplo:

F =

α =

Fx =

Fy =

a =

b =

F - sistema inicial

Fx, Fy - sistema equivalente

MA (sistema inicial) =

MA (sistema equivalente) =

O uso de sistemas equivalentes é um artifício de cálculo muito útil. Pode-se, de acordo com a conveniência, substituir uma força, ou um sistema de forças por sistemas equivalentes mais adequados ao nosso uso.

VIII. EQUILÍBRIO ESTÁTICO DOS CORPOS RÍGIDOS

A. EQUILÍBRIO NO ESPAÇO.

Existem diversas possibilidades de movimento em um corpo livre no espaço.

Tomando 3 eixos ortogonais como referencia de espaço, e isto se faz necessário por uma questão de classificação e organização de método, pode-se dizer que um corpo no espaço tem 6 possibilidades de movimento ou 6 graus de liberdade.

Nestes casos o corpo possui 6 graus de liberdade, pois pode apresentar 3 translações (na direção dos 3 eixos) e 3 rotações (em torno dos 3 eixos).

x

z

y

Fx

Fz

Fy

Mz

Mx

My


Um corpo está em equilíbrio estático quando as forças atuantes formam entre si um sistema equivalente a zero, isto é, sua resultante e o seu momento polar em relação a qualquer ponto são nulos.

R = 0 Mp = 0

Como se costuma trabalhar com as forças e momentos referenciados a um sistema tri-ortogonal de eixos, desta maneira o equilíbrio se verifica se as 6 equações abaixo são satisfeitas:

∑ Fx = 0 ∑ Mx = 0

∑ Fy = 0 ∑ My = 0

∑ Fz = 0 ∑ Mz = 0

B. EQUILÍBRIO NO PLANO

Quando o corpo está submetido a forças atuantes em um só plano, devemos prever o seu equilíbrio neste plano. Supondo um corpo com cargas em apenas um plano, por exemplo, x, y. Neste caso o corpo possui apenas 3 graus de liberdade, pois pode apresentar 2 translações (na direção dos dois eixos) e 1 rotação(em torno do eixo perpendicular ao plano que contém as forças externas). Exemplo:


ΣΣΣΣFx = 0 ΣΣΣΣ Fy = 0 ΣΣΣΣ Mz = 0 Estas equações de equilíbrio são chamadas de equações fundamentais da estática.

x

z

y

Fx

Fy

Mz



1. Suponha um plano formado pelos eixos x e y, conforme desenho, onde atuam as cargas F1 e F2.

Calcule:

a. Momentos desenvolvidos por F1 em relação aos pontos A , B e C.

b. Momentos desenvolvidos por F2 em relação aos pontos A , B e C.

c. Momento da resultante do sistema em relação aos pontos A , B e C .

d. Resultante do sistema na direção x

e. Resultante do sistema na direção y

Convencione o giro no sentido horário positivo.

F1 = 20 kN

F2 = 30 kN

R: a) M1A = 0 M1B = 69,28 kN.m M1C = 109,28 kN.m

b) M2A = 120 kN.m M2B= 120 kN.m M2C = 0

c) MA = 120 kN.m MB = 189,28 kN.m MC = 109,28 kN.m

d) Fx = + 17,32 kN e) Fy = - 20 kN

2. Suponha as forças indicadas no desenho atuando perpendicularmente ao eixo x. O sistema 1 representa um binário e o sistema 2 representa outro. Convencione o sentido anti horário positivo.

a. Quanto vale o binário 1

b. Quanto vale o binário 2

c. São equivalentes? Por quê?

d. Quanto vale o momento polar do sistema 1 em relação aos pontos A , C e E.

e. Quanto vale o momento polar do sistema 2 em relação aos pontos B , D e E.

f. Quanto vale o momento polar resultante destes dois sistemas em relação aos pontos A,B,C D e E.


R: a) + 20 kN.m b) + 20 kN.m c)sim d) M1A = M1B=M1E = + 20 kN.m

e) M2B=M2D=M2E = + 20 kN.m f) MA = MB = .....=ME = + 40 kN.m

3. Suponha forças como as do exercício 3 perpendiculares ao eixo formando 2 binários. Responda as

perguntas do exercício 2 usando a mesma convenção.

R: a)- 60 kN.m b) + 60 kN.m c) não d) M1A=M1C=M1E = - 60 kN.m

e) M2B=M2D=M2E = + 60 kN.m f) MA =MB = .....= ME = 0

4. Qual a força horizontal que atua nos parafusos 1 e 2 da ligação abaixo, considerando o momento provocado pelo peso na ponta da haste

R: P1 = 100 kgf P2 = 100 kgf


5. Suponha as estruturas planas representadas abaixo. Determine, se necessário usando sistemas equivalentes Σ Fx ,ΣFy, ΣMA, ΣMB e ΣMC

a.

R: ΣFx = 25,98 kN ΣFy = 65 kN

ΣMA = 138,04 kN.m

ΣMB = 70 kN.m

ΣMC = 330 kN.m

b.

R: ΣFx =16,64 kN ΣFy = -4,96kN

ΣMA = -36 kN.m

ΣMB = -84 kN.m

ΣMC = -98,96 kN.m

6. Reduzir no ponto A o sistema de forças da figura:


CAPÍTULO II

INTRODUÇÃO À MECÂNICA DOS SÓLIDOS – EQUILÍBRIO EXTERNO

I. OBJETIVO PRINCIPAL DA MECÂNICA DOS SÓLIDOS

O principal objetivo de um curso de mecânica dos sólidos é o desenvolvimento de relações entre as cargas aplicadas a um corpo e as forças internas e deformações nele originadas. Estas relações são obtidas através de métodos matemáticos ou experimentais, que permitam a análise destes fenômenos.

Normalmente buscamos a solução de três tipos de problemas:

→ Projetos – Definição de materiais, forma e dimensões da peça estudada.

→ Verificações – Diagnosticar a adequação e condições de segurança de um projeto conhecido.

→ Avaliação de capacidade – Determinação da carga máxima que pode ser suportada com segurança.

As principais ferramentas adotadas neste processo são as equações de equilíbrio da estática, amplamente utilizadas.

II. GRAUS DE LIBERDADE (GL)

Grau de liberdade é o número de movimentos rígidos possíveis e independentes que um corpo pode executar.

A. CASO ESPACIAL

Caso dos corpos submetidos a forças em todas as direções do espaço.

No espaço estas forças podem ser reduzidas a três direções ortogonais entre si (x, y, z), escolhidas como referência.

Nestes casos o corpo possui 6 graus de liberdade, pois pode apresentar três translações (na direção dos três eixos) e três rotações (em torno dos três eixos).

Exemplo:

x

z

y

Fx

Fz

Fy

Mz

Mx

My


B. CASO PLANO

Ocorre nos corpos submetidos a forças atuantes em um só plano, por exemplo, x, y.

Neste caso possuem três graus de liberdade, pois os corpos podem apresentar duas translações (na direção dos dois eixos) e uma rotação (em torno do eixo perpendicular ao plano que contém as forças externas).

Exemplo:

III. EQUILÍBRIO

Sempre que se deseja trabalhar com uma peça componente de uma estrutura ou máquina, devemos observar e garantir o seu equilíbrio externo e interno.

A. EQUILÍBRIO EXTERNO

Para que o equilíbrio externo seja mantido se considera a peça monolítica e indeformável. Dize-se que um corpo está em equilíbrio estático quando as forças atuantes formam entre si um sistema equivalente à zero, isto é, sua resultante e o seu momento polar em relação a qualquer ponto são nulos.

R = 0 Mp = 0

Como se costuma trabalhar com as forças e momentos referenciados a um sistema tri-ortogonal de eixos, desta maneira o equilíbrio se verifica se as seis equações abaixo são satisfeitas:

ΣFx = 0 Σ Mx = 0

Σ Fy = 0 Σ My = 0

Σ Fz = 0 Σ Mz = 0


ΣFx = 0 Σ Fy = 0 Σ Mz = 0

Observe que as equações de equilíbrio adotadas devem ser apropriadas ao sistema de forças em questão, e se constituem nas equações fundamentais da estática.

B. EQUILÍBRIO INTERNO

De uma maneira geral podemos dizer que o equilíbrio externo não leva em conta o modo como o corpo transmite as cargas para os vínculos.

x

z

y

Fx

Fy

Mz


O corpo quando recebe cargas vai gradativamente deformando-se até atingir o equilíbrio, onde as deformações param de aumentar (são impedidas internamente), gerando solicitações internas. Estas solicitações internas são responsáveis pelo equilíbrio interno do corpo.

O equilíbrio ocorre na configuração deformada, que admitimos ser bem próxima da inicial (campo das pequenas deformações).

IV. DIAGRAMA DE CORPO LIVRE

O objetivo principal de um diagrama de corpo livre é mostrar as forças que atuam em um corpo de forma clara, lógica e organizada.

Consiste em separar-se o nosso “corpo de interesse” de todos os corpos do sistema com o qual ele interage.

Neste corpo isolado são representadas todas as forças que nele atuam, assim como as forças de interação ou de contato.

A palavra livre enfatiza a idéia de que todos os corpos adjacentes ao estudado são removidos e substituídos pelas forças que nele que exercem.

Lembre-se que sempre que há o contato entre dois corpos surge o princípio da ação e reação.

O diagrama do corpo livre define claramente que corpo ou que parte do corpo está em estudo, assim como identifica quais as forças que devem ser incluídas nas equações de equilíbrio.

V. VÍNCULOS

A. DEFINIÇÃO

É todo o elemento de ligação entre as partes de uma estrutura ou entre a estrutura e o meio externo, cuja finalidade é restringir um ou mais graus de liberdade de um corpo.

A fim de que um vínculo possa cumprir esta função, surgem no mesmo, reações exclusivamente na direção do movimento impedido.

→ Um vínculo não precisa restringir todos os graus de liberdade de uma estrutura, quem o fará será o conjunto de vínculos.

→ As reações desenvolvidas pelos vínculos formam o sistema de cargas externas reativas.

→ Somente haverá reação se houver ação, sendo as cargas externas reativas dependentes das ativas, devendo ser calculadas.

B. CLASSIFICAÇÃO

Os vínculos podem ligar elementos de uma estrutura entre si ou ligar a estrutura ao meio externo e, portanto, se classificam em vínculos internos e externos.

B.1 Vínculos externos:

São vínculos que unem os elementos de uma estrutura ao meio externo e se classificam quanto ao número de graus de liberdade restringidos.

No caso espacial os vínculos externos podem restringir até 6 graus de liberdade (GL) e, portanto podem ser classificados em seis espécies.


No caso plano o vínculo pode restringir até 3 graus de liberdade (GL) e, portanto se classifica em três espécies.

Exemplos:

B.2 Vínculos internos

São aqueles que unem partes componentes de uma estrutura.

No caso plano os vínculos podem ser de 2a e 3a espécie, como exemplificado na ligação de duas barras:


Vínculo de 3ª espécie ( solda )

Vínculo de 2a espécie (pinos, parafusos ou rótulas).

Vista Superior Representação estrutural

Corte Longitudinal

VI. CARGAS ATUANTES EM UMA ESTRUTURA

Quando se trabalha com uma peça de uma estrutura, devemos ter em mente a sua finalidade e, portanto, devemos avaliar a quantidade de carga que ela deve ser capaz de suportar.

Ao conjunto destas cargas damos o nome de CARGAS EXTERNAS ATIVAS.

Para que o equilíbrio desta peça seja garantido, devemos vinculá-la, ou seja, restringirmos as possibilidades de movimento da mesma. Em cada vínculo acrescido, surgem as reações na direção do movimento restringido. Estas reações são chamadas de CARGAS EXTERNAS REATIVAS.

O conjunto destas cargas, ativas e reativas, se constitui no carregamento externo da peça em estudo.

A. CARGAS EXTERNAS ATIVAS

As cargas aplicadas em uma peça de estrutura se classificam quanto ao modo de distribuição em:

Concentradas - São aquelas que atuam em áreas muito reduzidas em relação às dimensões da estrutura. Neste caso ela é considerada concentrada no centro de gravidade da área de atuação.

Cargas momento ou conjugados - momentos aplicados em determinados pontos de uma estrutura (fixos). Podem se originar de um par de forças, cargas excêntricas ou eixos de transmissão.


cargas distribuídas - São aquelas que atuam em uma área com dimensões na mesma ordem de grandeza da estrutura.

As cargas também se classificam quanto ao tempo de duração em:

Permanentes - Atuam durante toda ou quase toda a vida útil de uma estrutura

Acidentais ou sobrecarga - Podem estar ou não atuando , sendo fornecidas por normas (NBR - 6.120/80), catálogos ou avaliadas em cada caso.

A classificação quanto ao ponto de aplicação fica:

Fixas – atuam sempre em um ponto ou uma região.

Móveis – percorrem a estrutura podendo atuar em vários dos seus pontos.

VII - EQUILÍBRIO EXTERNO EM DUAS DIMENSÕES

Ocorre quando as cargas que atuam na estrutura estão contidas em um mesmo plano, o que acontece na maior parte dos casos que iremos estudar.

Nestes problemas, é conhecido o sistema de cargas ativas que atua na estrutura e devemos calcular as cargas reativas capazes de manter o corpo em equilíbrio, neste plano.

Reações externas ou vinculares são os esforços que os vínculos devem desenvolver para manter em equilíbrio estático uma estrutura, considerada como um corpo rígido e indeformável.

Os vínculos são classificados de acordo com o número de graus de liberdade restringidos e só podemos restringir um GL mediante a aplicação de um esforço (força ou momento) na direção deste movimento.

A determinação das reações vinculares de uma estrutura é feita por intermédio de um sistema de equações algébricas.

Sendo o plano das cargas x y, e sabendo-se que a estrutura possui três graus de liberdade (translação nas direções x e y e rotação em torno do eixo z), o número de equações a serem satisfeitas é três e o equilíbrio se dá quando:

ΣFx = 0 Σ Fy = 0 Σ Mz = 0

Convém salientar que neste caso do carregamento plano, os vínculos podem ser de três espécies, simbolizados por:

1a espécie - restringe uma translação -

2a espécie - restringe duas translações -

3a espécie - restringe duas translações e uma rotação -

Desta maneira, cada movimento restringido corresponde a uma reação vincular (incógnita), que deve ser determinada.

Para serem restritos três graus de liberdade, as reações devem ser em número de três.


Como se dispõe de três equações a serem satisfeitas, a aplicação destas equações leva à determinação das reações (incógnitas) desejadas.

OBSERVAÇÃO IMPORTANTE: A eficácia vincular deve ser previamente analisada, pois muitas vezes o número de restrições é suficiente, mas a sua disposição não é eficiente.

VIII - PROCEDIMENTO DE CÁLCULO:

A. Transforma-se a estrutura dada num corpo livre, substituindo-se todos os vínculos externos pelas reações vinculares que o mesmo pode desenvolver, arbitrando-se um sentido para cada esforço.

B. Para que o equilíbrio externo seja mantido é necessário que as três equações da estática sejam satisfeitas.

Σ Fx = 0 Σ Fy = 0 ΣMz = 0

C. As cargas distribuídas devem ser substituídas por suas respectivas resultantes (este artifício é válido somente para o cálculo das reações externas).

D. Como escolhemos direções de referência (x e y), as cargas que não estiverem nestas direções devem ser decompostas, ou seja, substituídas por um sistema equivalente.

E. Resolvido o sistema de equações, reação negativa deve ter o seu sentido invertido.



1. Observe-se na figura abaixo, três cargas aplicadas a uma viga. A viga é apoiada em um rolete em A e em uma articulação em B. Desprezando o peso próprio da viga, determine as reações em A e B quando Q = 75 kN.

R: VA = 30 kN ( ↑ ) VB = 105 kN ( ↑ ) HB = 0

2. Um vagonete está em repouso sobre os trilhos que formam um ângulo de 25º com a vertical. O peso bruto do vagonete e sua carga são de 27,5 kN e está aplicado em um ponto a 0,75 m dos trilhos e igual distância aos eixos das rodas. O vagonete é seguro por um cabo atado a 0,60 m dos trilhos. Determinar a tração no cabo e a reação em cada par de rodas.

R: T = 24,9 kN ( ) R1 = 2,81 kN ( ) R2 = 8,79 kN ( )

3. A estrutura da figura suporta parte do telhado de um pequeno edifício. Sabendo que a

tração no cabo é de 150 kN, determine a reação no extremo fixo E.

R: HE = 90 kN (←) VE = 200 kN ( ↑ ) ME = 180 kN.m ( anti-horário)


4. Uma empilhadeira de 2500 kgf é utilizada para levantar uma caixa de 1200 kgf. Determine a reação em cada par de rodas: (a) dianteiras e (b) traseiras.

R : RA = 2566 kN RB = 1134 kN

5. Um carrinho de mão é utilizado para transportar um cilindro de ar comprimido. Sabendo-se que o peso total do carrinho e do cilindro é de 900 N, determine: (a) a força vertical P que deve ser aplicada ao braço do carrinho para manter o sistema na posição ilustrada. (b) a reação correspondente em cada umA das rodas.

R: (a ) 117 N ( ↑ ) (b) 392 N ( ↑ )

6. Um guindaste montado em um caminhão é utilizado para erguer um compressor de 3000 N. O peso da lança AB e do caminhão estão indicados, e o ângulo que a lança faz com a horizontal α é de 45º. Determine a reação em cada uma das rodas: (a) traseiras C, (b) dianteiras D.

R: RC = 19645 kN RD = 9605 kN


7. Uma treliça pode ser apoiada de duas maneiras, conforme figura. Determine as reações nos apoios nos dois casos.

R: (a) RA = 4,27 kN ( 20,6º) RB = 4,5 kN ( ↑ ) (b) RA = 1,50 kN ( ↑ ) ; RB = 6,02 kN ( 48,4º) 8. Determine as reações em A e B quando: (a) α = 0º (b) α = 90º (c) α = 30º

9. Um homem levanta uma viga de 10 kg e 10 m de comprimento puxando uma corda. Encontrar a força de tração T na corda e a reação em A. Suponha a aceleração da gravidade igual a 9,81 m/s2.

R: T = 81,9 N R = 148 N ( 58,6 º)

10. Uma carga P á aplicada a rotula C da treliça abaixo. Determine as reações em A e B com: (a) α = 0º e (b) α = 45º.


R: α = 0o VA = -P HA = P VB = P α = 45o VA = 0 HA = 0,7 P VB = 0,7 P

11. Calcule as reações externas das estruturas abaixo:

a.

R: VA = VB 27,5 KN HA = 25,98 KN

b.

VA = - 5 kN VB = 95 kN HA = 0

c.

R: VA = - 8,75 kN VB = 8,75 kN HA = 0

d.


R: VA = 60 kN VB = 0 HA = 0

e.

VA = 27,5 kN VB = 62,5 kN HB = 0

f.

R : VA = 40 kN HA = 0

MA = 75 kN.M (anti-horário)

g.

R: VA = 70 kN HA = 0 MA = 140 kN.m (anti-horário)

h.

R: VA = 73,4 kN HA = 25 kN (←)


MA = 68,3 kN (anti-horário) i.

RA = 40,81 kN VB= 102,8 kN VC = 52,14 kN

j.

R: VA = VB = 25 kN HA = 0


CAPÍTULO III

EQUILÍBRIO INTERNO – SOLICITAÇÕES INTERNAS

I. EQUILÍBRIO INTERNO

No capítulo 3 a atenção foi centrada no equilíbrio externo dos corpos, ou seja, não foi considerada a possibilidade de deformação dos corpos, considerando-os como rígidos.

Nestes problemas, é conhecido o sistema de cargas ativas que atua na estrutura e deve-se calcular as cargas reativas capazes de manter o corpo em equilíbrio. As cargas reativas ou reações vinculares são determinadas com a aplicação das equações fundamentais da estática.

Observe que o número de equações de equilíbrio deve ser no mínimo igual ao número de reações a serem calculadas. O estudo vai abordar os casos estaticamente determinados ou ISOSTÁTICOS, estruturas em que as equações da estática são necessárias e suficientes para a definição do equilíbrio.

Diante de uma estrutura com carregamento plano, as equações da estática se resumem em:

ΣFx = 0 ΣFy = 0 Σ Mz = 0

De uma maneira geral diz-se que:

1. O equilíbrio não leva em conta o modo como o corpo transmite as cargas para os apoios.

2. O corpo quando recebe carregamento vai gradativamente deformando-se até atingir o equilíbrio, onde as deformações param de aumentar (são impedidas internamente), gerando solicitações internas.

3. O equilíbrio ocorre na configuração deformada, que admitimos ser bem próxima da inicial (campo das pequenas deformações).

A analise será feita para a determinação de quais os efeito que a transmissão deste sistema de cargas externas aos apoios provoca nas diversas seções que constituem o corpo em equilíbrio.

Para tanto, supõe-se o corpo em equilíbrio, sob efeito de um carregamento qualquer. Ao cortar este corpo por um plano qualquer (a-a), rompe-se o equilíbrio, pois sua cadeia molecular é destruida na seção "S" de interseção do plano com o corpo.


Para que as partes isoladas pelo corte permaneçam em equilíbrio, deve-se aplicar , por exemplo, sobre a parte da esquerda, a ação que a parte da direita exercia sobre ela ou seja,

resultante de força (rR ) e resultante de momento (

rM ). O mesmo deve ser feito com a parte

da esquerda cujas resultantes estão também representadas. rR - Resultante de forças da parte retirada r

M - Resultante de momentos da parte retirada, que surge devido a translação da força resultantr para o centro de gravidade da seção.


Quando se quer os esforços em uma seção S de uma peça, deve-se cortar a peça na seção desejada, isolar um dos lados do corte (qualquer um ). No centro de gravidade desta seção devem aparecer esforços internos (resultante de força e de momento) que mantém o corpo isolado em equilíbrio.

Estes esforços representam a ação da parte retirada do corpo. Em isostática a seção de referência adotada será a seção transversal das peças em estudo e estes esforços internos devidamente classificados se constituem nas solicitações internas.

II. CLASSIFICAÇÃO DAS SOLICITAÇÕES

Para que se facilite a observação e sua determinação, os esforços internos estão associados às deformações que provocam e se classificam de acordo com elas.

Um vetor no espaço pode ser decomposto segundo 3 direções e adotam-se 3 direções perpendiculares entre si no espaço (x,y,z).

Decompondo os vetores resultantes r rR e M segundo estas direções escolhidas, tem-se:

M

M


Observe que foram escolhidas 3 direções perpendiculares entre si com a seguinte característica: 2 direções contidas pela seção de corte e a terceira perpendicular à seção de corte.

As componentes são assim denominadas:

N - Esforço Normal

Q - Esforço Cortante

M - (Mz e My) - Momento Fletor

Mt – (Mz) - Momento Torsor

Cada solicitação tem associada a si uma deformação:

A. ESFORÇO NORMAL (N) :

O esforço normal em uma seção de corte é a soma algébrica das componentes de todas as forças externas na direção perpendicular à referida seção (seção transversal), de um dos lados isolado pelo corte na direção do eixo x.

O efeito do esforço normal será de provocar uma variação da distância que separa as seções, que permanecem planas e paralelas.

As fibras longitudinais que constituem estas seções também permanecem paralelas entre si, porém com seus comprimentos alterados (sofrem alongamentos ou encurtamentos)

O esforço normal será considerado positivo quando alonga a fibra longitdinal e negativo no caso de encurtamento.

N = Σ Fx ext

Qy

Qx N My Mz

M t


B. ESFORÇO CORTANTE (Q) :

O esforço cortante em uma seção de referência é a soma vetorial das componentes do sistema de forças de um dos lados do corte (referência), sobre o plano da seção considerada.

Não é usual trabalhar-se com a soma vetorial e sim com suas componentes segundo dois eixos de referência contidos pela seção. Resultam em 2 esforços (Qy e Qz) obtidos pela soma algébrica das componentes das forças do sistema nestas direções.

O efeito do esforço cortante é o de provocar o deslizamento linear, no sentido do esforço, de uma seção sobre a outra infinitamente próxima, acarretando o corte ou cisalhamento da mesma.

Os esforços cortantes (Qy,Qz) serão positivos, quando calculados pelo somatório das forças situadas à esquerda seguem o sentido arbitrado para os eixos e quando calculados pelo somatório das forças à direita forem contrários aos eixos.

C. MOMENTO FLETOR (M) :

O momento fletor em uma seção é a soma vetorial dos momentos provocados pelas forças externas de um dos lados da seção (tomada como referência), em relação aos eixos nela contidos (eixos y e z).

Não é usual entretanto trabalhar-se com a soma vetorial optando-se pelo cálculo separado dos momentos em relação aos eixos y e z, transformando a soma em algébrica.

O efeito do momento fletor é o de provocar o giro da seção, em torno de um eixo contido pela própria seção.

As fibras de uma extremidade são tracionadas enquanto que na outra são comprimidas (as seções giram em torno do eixo na qual se desenvolve o momento, mas permanecem planas).

O momento fletor Mz é considerado positivo quando traciona as fibras de baixo da estrutura e My é positivo quando traciona as fibras internas (no caso da esquerda) da estrutura.

Qy = Σ Fyext Qz = ΣFzext

My = Σmyext Mz = Σ mzext


D. MOMENTO TORSOR :

O momento torsor de uma seção é a soma algébrica das componentes dos momentos das forças externas de um dos lados da referência, em relação ao eixo longitudinal da peça (eixo x).

O Momento torsor provoca o giro da seção em torno do seu baricentro, ou de todas as seções em torno do eixo longitudinal da peça.

A convenção de sinais adotadas para o momento torsor é análoga à do esforço normal, ou seja, o momento torsor é considerado positivo quando sua seta representativa está saindo da seção de referência (regra da mão direita).

Mt = Σ mxext

Círculos permanecem circulares

Linhas longitudinais transforman-se em hélices de pequeníssima curvatura

(a)Antes da deformação

Linhas radiais permanecem retas

(b) Depois da deformação


III. SOLICITAÇÕES EM ESTRUTURAS COM CARREGAMENTO ESPACIAL E PLANO.

A. ESTRUTURAS COM CARREGAMENTO ESPACIAL (caso geral).

Nestes casos as cargas estão se desenvolvendo em todas as direções do espaço, portanto pode–se tem componentes de força e momento em todas as direções também.

Esforços desenvolvidos:

B. ESTRUTURA COM CARREGAMENTO PLANO

As cargas estão contidas em um único plano, por exemplo, plano x , y . É o caso mais comum e ao qual vai-se estudar.

Esforços desenvolvidos:

N - Esforço Normal

R M - Mz – Momento Fletor

Q (Qy) – Esforço cortante

x

z

y

Fx

Fz

Fy

Mz

Mx

My

x

z

y

Fx

Fy

Mz


IV. CÁLCULO DAS SOLICITAÇÕES INTERNAS EM SISTEMAS COM CARREGAMENTO PLANO – MÉTODO DAS SEÇÕES

Conforme foi visto, ao se cortar uma estrutura por uma seção, nesta seção devem aparecer esforços que equilibrem o sistema isolado. Estes esforços são chamados de Solicitações Internas.

Iniciando por estruturas sujeitas à carregamento plano, onde os esforços desenvolvidos são o esforço normal N (ΣFx), o esforço cortante Qy (ΣFy) ou simplesmente Q e o momento fletor Mz ou simplesmente M. Com o fim de se uniformizar a representação são adotadas convenções para o sentido positivo destas solicitações.

O “MÉTODO DAS SEÇÕES” consiste em:

1. Cortar a peça na seção desejada e isolar um dos lados do corte (qualquer um), com todos os esforços externos atuando.

2. Na seção cortada devem ser desenvolvidas solicitações que mantém o sistema isolado em equilíbrio. Arbitramos as solicitações possíveis de serem desenvolvidas (N, Q e M) com suas orientações positivas. Estas solicitações são os valores que devemos determinar.

3. Aplicando as equações de equilíbrio, por exemplo, em relação à seção cortada, determinamos os valores procurados. Observe-se que as solicitações a serem determinadas são em número de 3 e dispomos também de 3 equações de equilíbrio, podendo-se então formar um sistema de 3 equações com 3 incógnitas.

Exemplo:



VA = VB = 2

l.q



ΣFx = 0 ∴ N = 0

Σ Fy = 0 ∴ 02

l.q

2

l.qQ =+− ∴ Q = 0

Σ MS = 0 ∴ 02

l.

2

l.q

4

l.

2

l.qM =

−

+

Ms = 8

l.q 2


1. Uma barra está carregada e apoiada como mostra a figura. Determine as forças axiais transmitidas pelas seções transversais nos intervalos AB, BC e CD da barra:

R: NAB = - 60 kN

NBC = + 60 kN

NCD = + 10 kN

2. Três cargas axiais estão aplicadas a uma barra de aço como mostra a figura. Determine os esforços normais desenvolvidos nas seções AB, BC e CD da barra.

R : NAB = - 25 kN NBC = +50 kN NCD = - 50 kN

40 kN

50 kN

10 kN

40 kN


3. Determine as solicitações internas desenvolvidas na seção a-a’ da barra da figura

abaixo:

R: N = 300 kN Q = - 500 kN M = -3600 kN.cm

4. Determine as solicitações internas na seção a-a’ da barra ABC da estrutura composta pelas 3 barras mostradas na figura:

5. Determine as solicitações na seção a-a’ da barra abaixo:

R : N = 225 N Q = -139,71 N (↓) M = + 95,91 N.m

(hor)

500 kN

300 kN

8 cm

16 cm 12 cm


6. Para a viga da figura abaixo determine as reações externas de vínculo e as solicitações internas transmitidas por uma seção transversal `a 75 cm do apoio A.

7. Para a viga abaixo, determine as reações de apoio e as solicitações internas em uma seção à 2 m do apoio esquerdo.

R: VA = 21 kN (↑) VB = 9 kN (↑) N= 0 Q = 11 kN (↑) M = 14 kN.m (anti)

8. Determine as solicitações internas transmitidas pela seção a-a da barra em L mostrada abaixo:

32 kN

10 kN/m

4 m 1,5 m


CAPÍTULO IV

TRELIÇAS ISOSTÁTICAS

I. DEFINIÇÃO:

Treliça ideal é um sistema reticulado indeformável cujas barras possuem todas as suas extremidades rotuladas e cujas cargas estão aplicadas nestas rótulas.

Exemplo:

OBSERVAÇÕES:

Qualquer polígono que constitua um sistema reticulado, quando articulado em seus vértices é deformável (hipostático) com exceção dos casos abaixo:

As treliças surgiram como um sistema mais econômico que as vigas para vencerem vãos maiores ou suportar cargas maiores.

Embora o caso mais geral seja o de treliças espaciais, o mais frequente é o de treliças planas, que será o estudado em nosso curso.

Imaginamos as barras rotuladas em suas extremidades (isto é, sendo livre sua rotação relativa nos nós), conforme figura (a). Não é frequente, no entanto, a união destas barras nesta forma, sendo mais comum ligar as barras nos nós atravéz de chapas auxiliares, nas quais rebitamos, soldamos ou parafusamos as barras neles concorrentes (fig. b)


Estas ligações criarão sempre pequenas restrições à livre rotação relativa das barras nos nós, com o aparecimento de pequenos momentos nas barras.

Estudos realizados demonstram que, desde que todas as barras tenham seus eixos no mesmo plano e que estes eixos se encontrem em um único ponto em cada nó, os resultados reais diferem muito pouco dos resultados obtidos pela teoria desenvolvida, sendo ela válida do ponto de vista prático.

II. TRELIÇAS PLANAS A. SOLICITAÇÕES INTERNAS

Podemos facilmente demonstrar que as barras de uma treliça por terem suas extremidades rotuladas (rótulas não absorvem momento), desenvolvem apenas esforços normais constantes ao longo de suas barras.

Isto pode ser visualizado isolando-se uma barra de uma treliça.

Sabe-se que uma rótula não transmite momento, apenas esforços na direção do eixo e perpendiculares a ele. Por outro lado, as cargas externas só estão aplicadas nos nós.

A análise do equilíbrio nos mostra que nas extremidades das barras de uma treliça só existem esforços na direção do eixo longitudinal da mesma e que são de mesmo módulo, porém sentidos contrários. A existência de esforços perpendiculares ao eixo da barra (esforço cortante) é descartada pois as barras não são carregadas ao longo de seu eixo, e tem nas suas extremidades momentos nulos.

Conclusão: A única solicitação interna desenvolvida é um Esforço Normal constante ao longo da mesma.

Como o esforço normal é constante ao longo da barra podemos calcular o seu valor em uma seção qualquer, da barra que se deseja.

B. RÓTULAS

Vínculo interno é todo o elemento que une as partes componentes de uma estrutura.

No caso plano podem ser de 2a e 3a espécie.


1. Vínculo interno de 3a espécie

Sejam duas barras livres no espaço com carregamento plano:

Cada barra tem 3 GL ,portanto, juntas somam 6 GL.

Unindo-as rígidamente ,por exemplo, atravéz de uma solda, o número de GL do conjunto passa a ser 3,portanto 3 GL restringidos.

Se chamarmos de RT o número de movimentos restringidos de um sistema teremos neste caso RT = 3 (vínculo de 3a espécie)

2. Vínculo de 2a espécie (PINOS OU RÓTULAS)

São vínculos que podem desenvolver reações internas verticais e horizontais podendo transmitir forças nestas direções que se anulam internamente. Permitem apenas o giro relativo entre as barras por ela unidas.

Rótulas são vínculos internos de segunda espécie

Para que as rótulas de uma estrutura estejam em equilíbrio é necessário que o momento polar das cargas externas em relação à elas seja nulo.

C. CLASSIFICAÇÃO DA ESTATICIDADE DE UMA TRELIÇA

Sejam:

b - número de barras n - número de nós ou rótulas

r - número de reações externas

As incógnitas do problema serão em número de b + r, ou seja, o número de reações e a solicitação de esforço normal em cada barra.

O número de equações será de 2n, pois em cada nó se aplicam as equações de equilíbrio de um ponto material (Σ Fx = 0 Σ Fy = 0 ).

Então, se

r + b ⟨ 2 n treliça hipostática

Representação Estrutural :


r + b = 2 n Sugere tratar- se de uma treliça isostática, o que não pode ser confirmado sem antes analisarmos os apoios externos e a lei de formação interna da treliça em questão.

r + b > 2 n Sugere tratar- se de uma treliça hiperestática, sendo válidas as observações feitas no caso anterior.

D. CLASSIFICAÇÃO DA TRELIÇA QUANTO À LEI DE FORMAÇÃO

Quanto a formação as treliças podem ser :

1. Simples :

A treliça será simples se puder ser obtida a partir de configurações indeformáveis pela adição de duas a duas barras partindo nós já existentes para novos nós (um novo nó para cada duas novas barras).

Exemplo:

2. Composta

A treliça é isostática e composta quando for formada por duas treliças simples ligadas por 3 barras não simultaneamente concorrentes ou paralelas, ou por um nó e uma barra sendo que esta barra não concorre no nó citado.

A resolução de uma treliça composta pode recair no caso de duas treliças simples, mediante o cálculo prévio dos esforços nos elementos de ligação, o que permitirá isolá-las para fins de cálculo estático.

Exemplo:

3. Complexa:

Uma treliça complexa é classificada por exclusão, ou seja, quando não é simples e nem composta. Observe que não podemos afirmar se ela é isostática pela simples análise de b + r = 2 n que é uma condição necessária, mas não suficiente para garantir a isostaticidade.

O reconhecimento de sua real classificação é feito pelo método de Henneberg.


Exemplo:

III. MÉTODO DE RESOLUÇÃO DAS TRELIÇAS ISOSTÁTICAS SIMPLES

O cálculo dos esforços normais nas barras de uma treliça isostática simples pode ser feito de várias maneiras:

Método dos nós

Método de Ritter ou das seções

Método de Cremona

Métodos Informatizados

No curso vamos nos ater ao primeiro método , já que o método de Cremona, por ser um método gráfico está em desuso com a aplicação da mecanização dos cálculos (informática).

A. MÉTODO DOS NÓS.

É o método natural de resolução que consiste em se estudar o equilíbrio de cada nó isolado.

Deve-se INICIAR E PROSSEGUIR pelos nós que possuam apenas duas incógnitas à determinar (esforço normal de 2 barras).

Aplicamos as equações de equilíbrio estático:

Σ Fx = 0 Σ Fy = 0

Note-se que se o nó tiver mais de duas barras à serem determinadas (2 incógnitas), 2 equações não bastam para a solução do sistema.

ROTEIRO:

1 - Cálculo das reações externas (se necessário)

2 - Escolha do 1º nó à ser examinado

3 - Aplicação das equações de equilíbrio no nó escolhido

4 - Resolvido o primeiro nó, passamos ao segundo sempre com o cuidado de verificar se ela ter apenas duas incógnitas (2 barras à serem determinadas)

OBS: Este método apresenta o problema de acumular os erros de cálculos que por acaso forem cometidos.



1.

VA = - 40 kN HA = 20 kN (← ) VB = 60 kN

R:Esforços normais: NAB = 0

NAC = + 20 kN

NAD = + 28,28 kN

NBD = - 60 kN

NCD = - 20 kN

NCE = 0

NCF = + 28,28 KN

NEF = - 20 kN

NDF = - 40 kN

2.


Respostas: VA = 40 kN VB = 40 kN

NAC = NCD = - 136,4 kN

NAF = 132,3 kN NFD = + 47,6 kN

NFG = + 89 kN NDG = 0

NCF = + 20 Kn

3.

4.

Respostas:

VA = 50 kN HA = 60 KN(←) VB = 50 Kn

NAH = - 70,7 kN NAC = +110 kN NIJ = - 160 kN

NID = - 10 kN NCD = +160 kN


CAPÍTULO V

SOLICITAÇÕES INTERNAS EM ESTRUTURAS DE BARRA

I. CONVENÇÕES:

Conforme foi visto, cortada uma estrutura por uma seção, nesta seção devem aparecer esforços que equilibrem o sistema isolado (solicitações internas).

Em estruturas sujeitas à carregamento plano onde os esforços desenvolvidos são o esforço normal N (ΣFx), o esforço cortante Qy (ΣFy) ou simplesmente Q e o momento fletor Mz ou simplesmente M. Com a finalidade de uniformizar a representação, serão mostradas graficamente as convenções para o sentido positivo destas solicitações.

A. CÁLCULO DAS SOLICITAÇÕES EM UMA SEÇÃO ARBITRÁRIA

No calculo da solicitação desenvolvida em uma seção qualquer de uma peça carregada, usa-se o método das seções:

Corta-se a peça na seção desejada, isolando um dos lados do corte (qualquer um).

Na seção cortada devem ser desenvolvidas solicitações que mantém o sistema isolado em equilíbrio.

Exemplo 1:


VA = VB = 2

l.q




ΣFx = 0 ∴ N = 0

Σ Fy = 0 ∴ 02

l.q

2

l.qQ =+− ∴ Q = 0

Σ MS = 0 ∴ 02

l.

2

l.q

4

l.

2

l.qM =

−

+

Ms = 8

l.q 2

B. METODO DAS EQUAÇÕES

Supondo que se queira as solicitações desenvolvidas em diversas seções da viga, deveria se repetir o procedimento acima exemplificado, em quantas seções quantas pretendidas.

Ao se efetuar esta sucessão de cortes, observa-se que as equações de equilíbrio formadas são as mesmas, com mudança apenas na distancia da seção cortada a referência.

Pode-se generalizar este procedimento criando uma variável, por exemplo "x", que represente esta distância de uma forma genérica.

onde 0 ≤ x ≤ l (limites de validade da variável x).

Então:

Σ Fx = 0 N = 0

Σ Fy = 0 0x.q2

l.qQ =+− ∴

2

l.qx.qQ +−=

Σ MS = 0 x.2

l.q

2

x.x.qM −+ x

2

x.qx.

2

l.qM

2

−=

Esta representação se constitui o que se chama de método das equações


C. PONTOS DE TRANSIÇÃO

Inicia-se com um exemplo, calculando as solicitações desenvolvidas nas seções S1 e S2 da viga abaixo:

VA = Pb/l VB = Pa/l

S1: 0 ≤ x1 ≤ a

Σ Fx = 0 N = 0

Σ Fy = 0 Q-Pb/l = 0 Q = Pb/l

Σ M = 0 M - Pb/l .x1 = 0 M = Pb/l . x1

S2 : a ≤ x2 ≤ l

Σ Fx = 0 N = 0

Σ Fy = 0 Q + P - Pb/l = 0 Q = Pb/l - P

Σ M = 0 M + P (x2 - a) - Pb/l . x

2= 0

M = Pb/l . x2 - P(x

2 - a)

Constata-se que x1e x

2 nunca podem se sobrepor, pois dão origem a equações diferentes (na 2ª não entra a carga P). Matematicamente pode-se chama-lo genericamente de x e trabalhar no domínio da função.

1o trecho 2o trecho

0 ≤ x ≤ a a ≤ x ≤ l

equações válidas para o primeiro trecho: equações válidas para o segundo trecho:

Q(x) = Pb/l Q(x) = Pb/l - P = -Pa/l

M(x) = Pb/l.x M(x) = Pb/l.x - P(x-a)

No exemplo acima intuitivamente foi identificado um ponto de transição, que seria o ponto de aplicação da carga P, a partir do qual há a mudança na equação.

Conforme foi visto há a necessidade de analisar um trecho antes e outro depois deste ponto de transição.


Generalisando o acima, sempre que houver um ponto de transição deve-se proceder desta maneira.

De maneira análoga, ponto de transição é todo aquele ponto em que há alteração no carregamento:

Ponto de força aplicada

Ponto de momento aplicado

Ponto de troca da taxa de carregamento.

De acordo com o que foi vistocalculam-se as solicitações como funções da variável x, com trecho de validade pré-estabelecido, obtendo-se equações gerais, com validade nos diversos trechos vistos.

Quando se quer o valor da solicitação em uma seção em especial, de ordenada x conhecida, basta substituir-se nas equações o valor de x pela ordenada numérica desejada.

Em geral o valor máximo das solicitações em toda a estrutura deve ser conhecido e não apenas em pontos específicos da mesma. Lembrando cálculo diferencial o máximo de uma função ocorre quando a sua primeira derivada é nula.

D. PROCEDIMENTO DE CÁLCULO

Este procedimento de cálculo poderia ser sintetizado em um roteiro simples.

Dado o esquema estrutural da peça (vínculos, cargas ativas e vãos):

1. Cálculo das reações externas

2. Identificação dos pontos de transição criando trechos pré-estabelecidos

3. Usar o método de corte de seções em cada um destes trechos, adotando como posição genérica desta seção a variável x, que valerá dentro dos limites dos trechos.

4. Supõe-se em cada seção cortada o aparecimento das solicitações previstas, que devem ser arbitradas com o sentido convencionado positivo.

5. Aplicam-se as equações de equilíbrio estático em cada um dos cortes, obtendo-se então as equações desejadas.


6. Representação destas equações sob a forma de um diagrama, conforme convenção abaixo:

OBS: As cargas distribuídas não mais podem ser substituídas por suas resultantes totais, mas sim por resultantes parciais nos trechos considerados.

N

x

Q

x

M

x


TRAÇADO DO DIAGRAMA DAS SOLICITAÇÕES INTERNAS 1. 2.

3. 4. .


5.

6.

7.


CAPÍTULO VI

GRELHAS ISOSTÁTICAS

I . ASPECTOS GERAIS

Um sistema de forças em equilíbrio no espaço obedece as seis equações fundamentais da estática: Σ Fx = 0 Σ Fy = 0 Σ Fz = 0 Σ Mx = 0 Σ My = 0 Σ Mz = 0 Em um caso particular de um sistema de forças no espaço paralelas entre si:

Sendo todas as forças paralelas ao eixo z, verificamos que as equações da estática : Σ Fx = 0 Σ Fy = 0 Σ Mz = 0 se transformam em meras identidades, pois se todas as forças são paralelas à z elas não terão componentes na direção x , y e nem formarão momentos em torno do eixo z, por lhe serem paralelas.

Permanecerão válidas como equações de equilíbrio apenas as tres restantes, isto é: Σ Fz = 0 Σ Mx = 0 Σ My = 0 Pode-se afirmar que um sistema de forças paralelas no espaço é regido por tres equações da estática, sendo duas de momentos nulos em relação a dois eixos situados no plano perpendicular ao das cargas e a terceira de força nula em relação ao eixo paralelo as cargas.

II . DEFINIÇÃO

Uma grelha é uma estrutura plana submetida a um carregamento perpendicular a seu plano, regida pelas equações: Σ Fz = 0 Σ Mx = 0 Σ My = 0 Observando o funcionamento de uma grelha pode-se afirmar que suas barras, em uma seção genérica qualquer, podem estar sujeitas a tres esforços simples:


Esforço Cortante (Q), Momento Fletor (M) e Momento Torsor (Mt), que devem ser calculados e expressos sob a forma de um diagrama. convenção de sinais:

O Esforço Cortante é soma de todas as cargas que atuam perpendiculares a eixo da barra em estudo. O Momento Fletor é a soma de todos os momentos que provocam o giro da seção em torno de um eixo contido pela seção tranversal da barra em estudo. O Momento Torsor é o momento que provoca o giro da seção em torno do seu eixo longitudinal. A. REAÇÕES VINCULARES Uma grelha será isostática quando tivermos apenas tres incógnitas a serem determinadas, pois dispomos de tres equações de equilíbrio para esta determinação. Exemplos: 1.

Neste caso, observa-se uma grelha engastada e livre, cujas reações de engaste são VD , MD e MtD , obtidas pelas equações disponíveis: Σ Fz = 0 Σ Mx = 0 Σ My = 0 É conveninte nos casos de grelhas engastadas que se localize a referência junto ao engaste.


2.

Neste segundo caso, observa-se uma grelha triapoiada, cujas reações de apoio também podem ser determinadas pelas equações da estática que regem este tipo de estrutura.

Pode-se usar o artifício de deslocar os eixos x e y de referência, fazendo-os coincidir com barras convenientes da grelha.

Neste caso pode-se iniciar fazendo a barra AB coincidir com o eixo x e dizer que:

Σ MAB = 0

Com a aplicação desta equação de equilíbrio, determinamos VD.

A seguir o eixo y será coincidente com a barras BD e aplicando a equação

Σ MBD = 0 o que nos fornecerá VA .

Finalmente por Σ Fz = 0 , calculamos VB.

B. APLICAÇÕES

Para se obter os diagramas solicitantes para a grelha, cujas barras formam em todos os nós angulos retos, devem ser analizadas as barras, levando-se em consideração os seus pontos de transição. Cada nó deve ser considerado um ponto de transição e portanto a adequação das solicitações devido a mudança de direção.

O momento fletor que atua em uma determinada barra, fará o efeito de torsor em uma barra perpendicular a citada e vice-versa.


Exemplo 1:

Em uma grelha engastada e livre, não é necessário o cálculo prévio das reações vinculares, pois os diagramas solicitantes podem ser obtidos à partir da parte livre (Balanço) até o engaste.

O estudo é feito barra por barra, iniciando-se, no caso pela barra AB que funcionará como uma viga engastada em B e livre em A.

Os demais passos serão como nos demais casos, percorrendo a estrutura toda, passando por todas as barras.

A partir dos esquemas vistos pode-se obter facilmente os diagramas dos esforços solicitantes para a grelha.


Exemplo 2: Grelha triapoiada

Cálculo das reações de apoio: Σ MBC = 0 10 x 4 + 30 x 4 + 40 x 2 - 4 VE = 0 ∴ VE = 60 kN Σ MCE = 0 2 VB + 30 x 2 - 10 x 2 - 40 x 2 = 0 ∴ VB = 20 kN ΣFV = 0 VC + VB + VE - 40 - 10 - 30 = 0 VC = 80 - VB - VE ou VC = 0 Diagramas de Solicitações:


CAPÍTULO VII PÓRTICOS PLANOS I . ASPECTOS GERAIS Pórtico são estruturas formadas por barras, que formam quadros entre si.

Existem quatro tipos fundamentais de quadros isostáticos planos, que associados entre si, da mesma forma com que associamos vigas simples para formar vigas compostas (GERBER), formam os chamados quadros compostos.

São eles:

II. CÁLCULO DAS SOLICITAÇÕES: O estudo de suas reações externas já foi realizado anteriormente, portanto, pode-se passar ao estudo dos diagramas solicitantes.

Em estruturas lineares horizontais (vigas) foi adotada uma convenção para as solicitações, baseadas nos conceitos de à esquerda e à direita da seção em estudo.

No estudo dos pórticos, utiliza-se uma nova notação, visto a existência de barras verticais, horizontais e inclinadas, onde definem-se os lados externos e internos das barras que constituem a estrutura.

Identifica-se os lados internos das barras com a parte inferior de uma estrutura linear horizontal, baseados no artifício de linearizar a estrutura, ficando desta forma possível utilizar-se as convenções já adotadas.

Costuma-se tracejar o lado interno das barras, bem como a parte inferior das vigas, identificando-se fàcilmente as convenções.


Linearizar a estrutura é apenas um artifício usado para a adaptação das convenções já estabelecidas, porém não é válida para o cálculo das solicitações, pois estaria-se alterando, com a mudança de direção das barras, o funcionamento da estrutura.

Deve-se ressaltar o fato de que o eixo longitudinal (x) de cada barra, continua sendo o eixo que passa pelo centro de gravidade das seções transversais, e os eixos y e z, perpendiculares à este e contidos pela seção de corte (eixos principais centrais de inércia).

O método das equações torna o estudo dos pórticos muito demorado, pois além de cortarmos a estrutura por uma seção antes e outra depois dos pontos de transição já definidos, quando há mudança de barra também deve ser interrompida a equação, pois uma carga que produz esforço normal em uma barra vertical, produz esforço cortante na barra horizontal perpendicular e ela, e vice-versa.

Deve-se encarar esta mudança de direção como um novo ponto de transição, examinando seções antes e depois deles.

No pórtico ao lado, existem seis seções a serem analisadas. Deve-se salientar o fato de que ao se considerar a seção de uma barra qualquer de um pórtico, devem ser consideradas todas as cargas externas aplicadas à direita ou à esquerda da seção, inclusive as cargas que atuam em outras barras que não a em estudo.


EXERCÍCIOS PROPOSTOS: 1.

. VA = 70 kN VB = 0 HB = 10 kN (← )

DIAGRAMAS:


2.

VA = 25,13 Kn VB = 46,87 kN HB = 6 kN (←) DIAGRAMAS:


3.


4.


5.


6.


CAPÍTULO VIII







Observe-se que o equilíbrio se dá na configuração deformada do corpo, que admitiremos como igual a configuração inicial pois em estruturas estaremos sempre no campo das pequenas deformações.






Estrutura



Solicitações

Tensões

Deformaçõe



PROJETO

VERIFICAÇÃO


II. TENSÕES






∫ρ=A

dA.Rr



A tensão média (rρm) desenvolvida no elemento de área citado nada mais é do que a

distribuição do efeito da força pela área de atuação da mesma.

Sejam:




rr

ρmF

A= ∆

∆


ou gráficamente:


∆Α ∆F

ρ

dA

Fd =

A

F lim

0A

rrr

∆∆=ρ

→∆






Também se pode convencionar como seção de referência a seção transversal da peça em estudo. Cabe observar-se entretanto que mudada a referência mudam também as componentes.

S S'

σττ

ρ

σττ

ρ'

y'

x'

y

x

Existem casos em que a seção transversal não é a de maior interesse, como será demonstrado oportunamente nas solicitações compostas. Nestes casos o procedimento será alterado.




z

x

y

σ

τy

τx


1. Conceito:



∆l = l f - l i

il

l∆=ε




2. Sinal:



3. Unidade:



li

lf

σ σ

li

lf

σ σ


B. TENSÕES TANGENCIAIS ( τ )

É a tensão desenvolvida no plano da seção de referência tendo o efeito de provocar corte ou cisalhamento nesta seção.






2. Distorção Específica ( γ )

Medida de deformação de corpos submetidos a tensões tangenciais.


(c)


DB

'DD

CA

CC' = tg =γ


DB

'DD

CA

CC' =≅γ

2.1 Conceito:


2.2 Unidade:








C C’ D D’

A B

τ τ

τ

ττττ

γ


Exemplo:


kd

P= .....

d

P

d

P

n

n

2

2

1










IV. CORPO DE DOUTRINA DA RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS

Em Resistência dos Materiais trabalha-se com corpos que apresentam determinadas características:

A. CONTINUIDADE:

Um corpo é considerado contínuo quando qualquer de suas amostras trabalha de maneira idêntica as demais. Não havendo descontinuidade, as tensões e as deformações não variam bruscamente entre dois pontos vizinhos no interior deste corpo carregado.


Nestes casos tanto as tensões como as deformações podem ser expressas por funções contínuas em relação as ordenadas dos pontos que constituem o corpo.

Observe-se que a continuidade não implica em homogeneidade pois podemos ter corpos com material não homogêneo e no entanto eles trabalham de maneira contínua (exemplo : concreto).

B. HIPÓTESE DE BERNOULLI (SEÇÕES PLANAS)

Bernoulli observou a seguinte característica no funcionamento dos corpos sujeitos à solicitações:

"Uma seção plana e perpendicular ao eixo longitudinal de uma peça, continuará plana e perpendicular ao eixo da mesma durante e após sua deformação.

C. PRINCÍPIO DA SUPERPOSIÇÃO DE EFEITOS

O efeito produzido por um conjunto de cargas atuando simultaneamente em um corpo é igual a soma dos efeitos produzidos por cada uma das cargas atuando isolada.

Este princípio pode ser generalizado, mas só é válido quando causa e efeito forem diretamente proporcionais o que se aplica a grande maioria dos casos em Resistência dos Materiais. Somente em casos de peças submetidas a flambagem (desequilíbrio elasto-geométrico do sistema) ou no Trabalho de Deformação este princípio não será válido devido a inexistência de proporcionalidade entre causa e efeito, o que será oportunamente demonstrado.

Observe-se que este princípio já foi utilizado em outras disciplinas, como por exemplo, no cálculo das reações de apoio em uma estrutura isostática.

Eixo longitudinal

Linha Elástica

= +


V. LEI DE HOOKE





al)longitudin deelasticida de .(modE=εσ

al) transversdeelasticida de.mod(G=γτ


VI. LEI DE POISSON ( DEFORMAÇÃO ESPECÍFICA TRANSVER SAL)

notação : εt


. CONCEITO:


D

Dt

∆=ε




li

lf

σ σ

D

D+∆D


µ−=εεt



tetanconsb

b

a

at =ε=∆=∆


)1(2

EG

µ+=

Resumindo:

VII. LEI DE HOOKE GENERALIZADA

Hooke enunciou a sua lei tomando como exemplo corpos submetidos a tensão em uma só direção. Na prática os corpos podem estar sujeitos a tensão em todas as direções, o que pode ser simplificado reduzindo-as a três direções ortogonais tomadas como referência.

−µ

E

E

E

xz

xy

xx

σµ−=ε

σµ−=ε

σ=ε


li

lf

σ σ

a

a+∆a

b+∆b b


A figura a seguir mostra um prisma elementar submetido a tensões normais com resultante nas três direções tomadas como referência no espaço : x, y, e z.

Poisson observou que uma tensão provoca deformação em sua direção e em direções perpendiculares a sua também.

Poisson:

E- t

t σµ=ε∴µ−=εε

Hooke:

E-=

E tσµε∴ε=σ

O efeito da tensão σσσσx seria:

na direção x : E

xx

σ=ε

na direção y : E

xyt

σµ−=ε −

na direção z: E

xzt

σµ−=ε −

Pode-se fazer este raciocínio com as demais tensões.

Para determinação da deformação resultante em uma direção, por exemplo x:

efeito de σx E

xx

σ=ε

efeito de σy E

yxt

σµ−=ε −

x

y

z

σx σx

σy

σy

σz

σz


efeito de σz E

zxt

σµ−=ε −

Adotando-se o princípio da superposição de efeitos teríamos:

σµ−+

σµ−+σ=ε

EEEzyx

x

Esta expressão simplificada algébricamente fica:

( )[ ]zyxx E

1 σ+σµ−σ=ε

análogamente

( )[ ]zxyy E

1 σ+σµ−σ=ε e ( )[ ]yxzz E

1 σ+σµ−σ=ε

Estas expressões se constituem na LEI DE HOOKE GENERALIZADA

Observações:

1. Tensão em uma só direção não implica em deformação em uma só direção.

2. Para a dedução das expressões anteriores as tensões normais foram representadas de tração e portanto positivas. Se alguma delas for de compressão deverá figurar nas fórmulas com o sinal negativo convencionado.

3. Resultados positivos para a deformação específica indicam alongamentos enquanto que resultados negativos significarão encurtamentos.

VIII . PROPRIEDADES MECÂNICAS DOS MATERIAIS





frageis materiais

dúteis materiais





exemplo: aço comum

















OBSERVAÇÕES:




Exemplo : concreto








IX. CRITÉRIO DE RESISTÊNCIA - COEFICIENTE DE SEGURA NÇA





1 s≥


slim

admσ

=σ



ee

máxt sσ=σ=σ (tensão de escoamento

admissível)

TT

máxt sσ=σ=σ (tensão de tração admissível)

ee

máxc sσ=σ=σ (tensão de escoamento

admIssível)

cc

máxc sσ=


admissível)



1. Uma barra de latão de seção circular de diametro 3 cm está tracionada com uma força axial de 50 kN. Determinar a diminuição de seu diametro. São dados do material o módulo de elastcidade logitudinal de 1,08 . 104 kN/cm2 e o seu coeficiente de Poisson 0,3.

R: 5,89 . 10-4 cm

2. Uma barra de aço de 25 cm de comprimento e seção quadrada de lado 5 cm suporta uma força axial de tração de 200 kN. Sendo E = 2,4 . 104 kN/cm2 e µ = 0,3 , qual a variação unitária do seu volume ?

R: 0,000133

3. Suponha a barra do problema anterior sumetida à uma força axial de tração. Experimentalmente determinou-se o módulo de sua deformação específica longitudinal 0,001. Sabendo-se que o seu coeficiente de Poisson é de 0,33, pergunta-se qual o volume final desta barra?

R: 625,212 cm3

4. Uma barra de alumínio de seção circular de diametro 30 mm está sujeita à uma força de tração de 50 kN. Determine:

a. Tensão normal.

b. Deformação específica longitudinal.

c. Alongamento em uma distância padrão de 200 mm.

d. Variação do diâmetro.

e. Variação da área da seção.

f. Variação de volume em um comprimento padrão de 200 mm.

Admite-se E = 0,8 . 106 kgf/cm2 µ = 0,25

5. A placa da figura é submetida a tensões normais de compressão na direção z de módulo 10 kN/cm2 . Sabe-se que a deformação é impedida na direção x devido à presença de elementos fixos A e B. Pede-se :

a. Deformação específica na direção y

b. Deformação total na direção y

Dados do material : E = 105 kN/cm2 µ = 0.86


R: (a) 1,59 . 10-4

(b) 0,000636 cm

6. A figura abaixo mostra um prisma submetido à força P =30 kN e Q = 32 kN. As peças A e B são fixas. Pede-se a deformação específica longitudinal na direção y e a deformação total na direção z.

E = 103 kN/cm2 µ= 0,2

x

z y

σz

10 cm

z

x

z

y

6 cm

2 cm

σz

σz

σz σz

A B


R: εy = - 4,08 . 10-3 ∆lz = 5,64 . 10-3 cm

7. Considere um ensaio cuidadosamente conduzido no qual uma barra de alumínio de 50

mm de diâmetro é solicitada em uma máquina de ensaio. Em certo instante a força aplicada é de 100 kN e o alongamento medido na direção do eixo da barra 0,219 mm em uma distancia padrão de 300 mm. O diâmetro sofreu uma diminuição de 0,0125 mm. Calcule o coeficiente de Poisson do material e o seu módulo de elasticidade longitudinal.

x

z

y

Q

Q

P

P

4 cm

z

x 4 cm

z 2 cm

P

P

x

Q

Q

A

A

B

B


CAPÍTULO VIII

TRAÇÃO OU COMPRESSÃO AXIAL (SIMPLES)

I. CONCEITO:







Σ FV = 0 ∴ N - P = 0


sendo:






N = P

A

N = σ

P

P

P

P

N

N

P

P

σ

σ




ε = l

l ∆

E σ=ε

N = P A

N = σ

E =

l

l σ∆ ∴∴∴∴

EA

N =

l

l ∆ ou :

E.A

N.l = l∆

II. VALIDADE DA DISTRIBUIÇÃO UNIFORME

Ao adotar-se as equações acima, deve-se ter em mente que o comportamento do material é idealizado, pois todas as partículas do corpo são consideradas com contribuição igual para o equilíbrio da força N.

Pode-se calcular a resultante de força N aplicada no centróide da seção forem somadas todas as resultantes de força que atuam em todos os elementos de área que constituem a seção transversal.

∫σ=A

dA.N

No caso de adotar-se a distribuição uniforne, em todos os elementos de área atua a mesma

tensão. Decorre daí que:

Nos materiais reais esta premissa não se verifica exatamente. Por exemplo, os metais consistem em grande número de grãos e as madeiras são fibrosas. Sendo assim, algumas partículas contribuirão mais para a resistência de que outras, e o diagrama verdadeiro de distribuição de tensões varia em cada caso particular e é bastante irregular.

N A= σ.

P P

l

l + ∆l


Os métodos de obtenção desta distribuição exata de tensões são tratados na teoria matemática da elasticidade e mesmo assim apenas casos simples podem ser resolvidos.

Exemplo:

Neste caso observa-se que quanto mais perto da carga aplicada estiver a seção em estudo, maior será o pico de tensões normais.

Em termos práticos porém, os cálculos pela equação da tensão uniforme são considerados corretos.

Dois fatores de concentração de tensões, onde a distribuição uniforme não é válida, são mostrados abaixo, e representam peças com variações bruscas de seção.

Deve-se ter um cuidado adicional para com as peças comprimidas, pois peças esbeltas devem ser verificadas a flambagem.

A flambagem representa uma situação de desequilíbrio elasto-geométrico do sistema e pode provocar o colapso sem que se atinja o esmagamento.

III. PESO PRÓPRIO DAS PEÇAS

O peso próprio das peças constitui-se em uma das cargas externas ativas que devem ser resistidas. Pode-se observar como se dá a ação do peso próprio:



G






l..AG γ=

Sendo: A - área da seção transversal da peça l - comprimento γγγγ – peso específico do material



A. ESFORÇOS, TENSÕES E DEFORMAÇÕES

Considere uma barra sujeita a uma carga externa P e ao seu próprio peso, conforme figura abaixo:

Sejam: A - área de seção transversal da peça γ - peso específico do material l - comprimento da peça P - carga externa atuante na peça

Pode ser feita a determinação de uma expressão genérica para o cálculo das tensões normais desenvolvidas ao longo da barra e a deformação total conseqüente.

P

G

pp


Usando o método das seções a barra é cortada por uma seção S qualquer e isolado um dos lados do corte.

Separar-se em duas partes um corpo. Sendo uma delas extremidade livre, é conveniente que esta parte seja isolada pois evita o cálculo das reações vinculares.

Como o peso do material deve ser considerado, na seção cortada deve aparecer um esforço normal que equilibre a carga externa e também o peso próprio do material isolado.

Isto indica que a posição da seção de corte tem agora importância, pois ela determina o peso da peça isolado pelo corte.

De acordo com esta conclusão deve-se criar uma variável que nos indique a posição da seção de corte desejada.

Fazendo x ser uma ordenada genérica da posição da seção à ser analizada e como a barra tem um comprimento L:

0 ≤ x ≤ L

Aplica-se a equação de equilíbrio pertinente:

Σ Fy = 0 N - P - g = 0

N = P + g(x)

onde g(x) é o peso parcial da barra isolada pelo corte Para que seja avaliado o peso de um corpo, multiplica-se o seu volume por seu peso específico

V = A.x ∴ gx = A . γ . x

Observe que o esforço normal varia linearmente em função da ordenada x da seção de referência.

Como 0 ≤ x ≤ L pode-se calcular os valores extremos do esforço normal

x = 0 N = P

x = l

Chamando de G o peso total da barra

l..AG γ=

N = P + A . γ . x

Nmáx = P + A . γ . L

P

g(x) x

S

N(x)


Pode-se escrever de outra forma o máximo esforço normal:

A descrição da variação do esforço normal pode ser expressa de forma gráfica:

Assim como se desenvolveram as expressões analíticas para o esforço normal, pode-se desenvolver a expressão para as tensões normais:

Sabendo que A

N = )x(σ

Como N(x) = P + A . γ . x então: A

x.A. + P = )x(

γσ ou

Substituindo x por seus valores extremos tem-se:

x = 0 A

P = σ

x = L l . + A

P = máx γσ

Com modificações algébricas pode-se expressar o valor da tensão máxima em função do peso total da barra, colocando A como denominador comum às parcelas:

A

.lA. + P =máx

γσ

ou

AG + P

=máx σ

Para a determinação da deformação total ( ∆ l ) sofrida por uma barra sujeita à uma carga externa (P) e ao seu peso próprio (G), e utiliza-se o método das seções. Isola-se um trecho desta barra cortando-a por duas seções transversais S e S' infinitamente próximas, formando

Nmáx = P + G

.x + A

P = )x( γσ


um prisma de comprimento elementar dx que se alongará apresentando um comprimento dx + ∆dx.

dx

dx = ∆ε ∴ ∆ dx = ε . dx

E =

xσσ ∴∴∴∴ dx .E

=dx xσ∆ (alongamento do trecho de comprimento dx)

como visto anteriormente

x.A

Px γ+=σ

então:

Como se quer o alongamento da barra toda deve-se fazer o somatório dos diversos trechos de comprimento dx que compõem a barra, ou seja:

∫

γ+

=∆l

0

dx.Ex.

dx.EAP

l

Efetuando as integrais:

2.E

l . +

E.A

P.l = l

2γ∆

Pode-se expressar a equação da deformação total em função do peso total G da peça, fazendo algumas modificações algébricas:

∆dxP

EAdx

xE

dx= + γ.

l

S’

S dx

x

dx dx +∆dx

N+∆N

N

P

S

S’


+=∆2

GP

EA

ll

Observações:

1. Nas expressões acima deduzidas a carga P das primeiras parcelas representa esforços externos à peça em estudo ficando as segundas parcelas com o efeito do peso próprio.

2. Tanto o esforço normal máximo como a tensão normal máxima foram expressos em duas equações, uma em função do peso específico do material e outra em função do peso total da peça. A utilização de uma ou outra equação depende da conveniência do problema.

3. Como foi utilizado na dedução destas expressões, um exemplo em que tanto a carga externa como o peso próprio são esforços de tração, ambas as parcelas são positivas. No caso de haver qualquer um destes efeitos negativo (compressão) deve-se mudar o sinal da parcela correspondente.



1. Uma barra de seção transversal retangular de 3 x 1 cm tem comprimento de 3 m. Determinar o alongamento produzido por uma carga axial de tração de 60 kN, sabendo-se que o módulo de elasticidade longitudinal do material é de 2 . 104 kN/cm2.

R: 0,3 cm

2. Determine as tensões normais desenvolvidas no pilar abaixo indicado nas seções de topo, meia altura e base. O material com que ela é construída tem peso específico 30 kN/m3.

3. Uma barra de aço e outra de alumínio tem as dimensões indicadas na figura.Determine a carga "P" que provocará um encurtamento total de 0,25 mm no comprimento do sistema. Admitimos que as barras são impedidas de flambar lateralmente, e despreza-se o peso próprio das barras.


OBS : medidas em cm

Vista Frontal Vista Lateral

90 kN 90 kN

60 m

2 m 30 m


R : P ≅ 1.900 kN

4. A treliça da figura suporta uma força de 54 tf. Determine a área das seções transversais das barras BD, CE e DE sabendo-se que a tensão admissível de escoamento do material é de l.400 Kgf/cm2. Determine também o alongamento da barra DE sendo E= 2,1 . 104kN/cm2.

R: ADE = 38,57 cm2 ∆lDE = 0,133 cm ACE =28,92 cm2 ABD = 14,46 cm2

5. Um cilindro sólido de 50 mm de diametro e 900 mm de comprimento acha-se sujeito à uma força axial de tração de 120 kN. Uma parte deste cilindro de comprimento L1 é de aço e a outra parte unida ao aço é de alumínio e tem comprimento L2.

a. Determinar os comprimentos L1 e L2 de modo que os dois materiais apresentem o mesmo alongamento.

b. Qual o alongamento total do cilindro.


300 cm

500 cm

P

Aço Seção 50 x 50

Alumínio Seção 100 x 100


R: (a) L1 = 66,5 cm L2 = 23,33 cm (b) ∆l = 0,04 cm

6. Um pilar de tijolos recebe uma carga axial de 70 kN. Dimensione-o com seção quadrada

de lado “a” levando em conta que a tensão admissível de compressão para esta alvenaria é de 0,08 kN/cm2. Dimensione também o seu bloco de fundação, com seção igualmente quadrada e lado “b”, sabendo que o solo onde o sistema assenta tem uma tensão de compressão admissível de 0,025 kN/cm2.

(DICA: O peso próprio dos materiais deve ser considerado). Dados : γalvenaria= 15 kN/m3. γconcreto= 25 kN/m3.

2 m

‘ b’ ‘ b’

‘ a ‘ a

4 m

70 kN


7. A carga P aplicada à um pino de aço é transmitida por um suporte de madeira por intermédio de uma arruela de diametro interno 25 mm e de diametro externo "d". Sabendo-se que a tensão normal axial no pino de aço não deve ultrapassar 35 MPa e que a tensão de esmagamento média entre a peça de madeira e a arruela não deve exceder 5MPa, calcule o diametro "d" necessário para a arruela.

R: 6,32 cm

8. Aplica-se à extremidade C da barrade aço ABC uma carga de 66,7 kN. Sabe-se que Eaço é de 2,1.104 kN/cm2. Determinar o diametro "d" da parte BC para a qual o deslocamento do ponto C seja de 1,3 mm.

R: 21,8 mm

9. Usando o desenho do problema anterior, suponha as duas partes da barra de alumínio com módulo de elasticidade longitudinal de 0,7 . 104kN/cm2. O diametro da parte BC é de 28 mm. Determinar a máxima força que pode ser aplicada na extremidade C sabendo-se que o seu deslocamento não pode ultrapassar 3,8 mm. Sabe-se que a tensão de escoamento admissível para o alumínio é de 16,5 kN/cm2.

R: P ≅ 84 kN

10. O fio de aço CD de 2 mm de diametro tem seu comprimento ajustado para que sem nenhum carregamento exista uma distancia média de 1,5 mm entre a extremidade B da viga rígida ABC e o ponto de contato E. Pede-se determinar em que ponto deve ser colocado o bloco de 20 kgf sobre a viga de modo a causar contato entre B e E.

Dados do aço: E = 2 . 104 kN/cm2.


R: x = 10 cm

11. Uma barra de aço tem seção transversal de 10 cm2 e está solicitada pelas forças axiais indicadas. Determinar as tensões desenvolvidas nos diversos trechos da barra.

R: trecho 1 : 10 kN /cm2 trecho 2 : 7 kN/cm2 trecho 3 : 9 kN/cm2

12. Uma barra de aço colocada na horizontal mede 5 m. Calcular o seu alongamento quando suspensa verticalmente por uma extremidade. Dados do aço:

E = 2,1 . 104 kN/cm2 γ = 80 kN/m3

R: 0,004763 mm

13. Um pilar de tijolos comuns deve receber uma carga oriunda de um telhado de 32 kN. Dimensione-o com seção quadrada sabendo que a alvenaria apresenta peso específico de 19 kN/m3 e tem uma tensão de compressão admissível de 6 kgf/cm2.

100 kN 90 kN 30 kN 20 kN

2 m 3 m 4 m


R: a ≥ 24,2 cm

14. Duas barras prismáticas rígidamente ligadas entre si suportam uma carga axial de 45 kN como se indica a figura. A barra superior é de aço, tem 10 m de comprimento e seçãotransversal com 65 cm2 de área; a barra inferior é de latão, tem 6 m de comprimento e seção transversal com 52 cm2de área. Pedem-se as máximas tensões de cada material e o alongamento do sistema.

Dados: aço latão

E = 2,1 . 104 kN/cm2 E = 0,9 . 104 kN/cm2 γ = 78 kN/m3 γ = 83 kN/m3

R: σmáx aço =0,81 kN/cm2 σmáx latão = 0,91 kN/cm2

∆ l = 0,096 cm

10 m

6 m

aço

latão

45 kN


15. Para a peça do problema anterior, supondo toda ela de latão, qual a área necessária para a parte de cima para que se tenha a mesma tensão máxima desenvolvida na parte de baixo.Neste caso qual é o alongamento sofrido.

R: Anec ≥ 57,54 cm2 ∆ l = 0,1558 cm

16. Determine as dimensões 'a', 'b' e 'c' dos pilares abaixo com seção circular que

recebemuma carga axial de 3.000 kN. Determine também a percentagem de material economizado quando se adota a segunda distribuição. Dados do material:

γ = 90 kN/m3 σe = 0.5 kN/cm2

R: a ≥ 165.17 cm b ≥ 109.25 cm c ≥ 136.56 cm econ ≅ 44 %


CAPÍTULO IX


I. ASPECTOS GERAIS

O cisalhamento convencional é adotado em casos especiais, que é a ligação de peças de espessura pequena.

Consida-se inicialmente um sistema formado por duas chapas de espessura "t" ligadas entre si por um pino de diametro "d", conforme esquematizado abaixo:


t - Espessura das chapas

l - Largura das chapas

Considerando-se o método das seções, e cortando a estrutura por uma seção "S", perpendicular ao eixo do pino e justamente no encontro das duas chapas, nesta seção de pino cortada devem ser desenvolvidos esforços que equilibrem o sistema isolado pelo corte. Então:


Aplicando as equações de equilíbrio:

Σ Fx = 0 Q - P = 0 ∴ Σ MS = 0

M - P.t/2 =0 ∴ 2

t . P = M

As solicitações que se desenvolvem na seção de corte do pino são de Momento Fletor e Esforço Cortante, com os valores acima calculados.


Conforme os cálculos acima efetuados, pode-se notar que o valor do momento é pequeno já que se trabalha com a união de chapas que, por definição, tem a sua espessura pequena em presença de suas demais dimensões.

Nestes casos, pode-se fazer uma aproximação, desprezando o efeito do momento fletor em presença do efeito do esforço cortante.


dx

dMQ =

Em casos de ligações de peças de pequena espessura, como normalmente aparecem em ligações rebitadas, soldadas, parafusadas, pregadas e cavilhas, esta solução simplificada leva a resultados práticos bastante bons. É nestes casos que se adota o cisalhamento aproximado, também chamado de cisalhamento convencional.

O cisalhamento convencional é uma aproximação do cisalhamento real, onde o efeito do momento é desprezado.

Tem-se apenas uma área sujeita à uma força contida em seu plano e passando pelo seu centro de gravidade. Para o cálculo das tensões desenvolvidas é adotado o da distribuição uniforme, dividindo o valor da força atuante pela área de atuação da mesma. Esta seção é chamada de ÁREA RESISTENTE, que deverá ser o objeto de análise.

A distribuição uniforme diz que em cada ponto desta área a tensão tangencial tem o mesmo valor dada por:

resistA

Q = τ

Q = P

Q

τ



III. LIGAÇÕES SOLDADAS

A. TIPOS DE SOLDA

DE TOPO SOLDA POR CORDÕES

Pode-se observar que na solda de topo, há o desenvolvimento de tensão normal, o que já foi visto e foge do proposto neste capítulo.

B. SOLDA POR CORDÕES

Consideram-se duas chapas de espessura t1 e t2, ligadas entre si por cordões de solda conforme a figura abaixo:

Sejam:

g - comprimento de trespasse entre as chapas h - largura da chapa à ser soldada t1 - espessura da chapa à ser soldada

Pode-se, intuitivamente, notar que o efeito da força se faz sentir ao longo do comprimento do cordão de solda, sendo lógico se atribuir uma relação direta entre a área resistente de solda e o comprimento do cordão.

Nas ligações soldadas, consideramos a área resistente de solda ao produto da menor dimensão transversal do cordão por seu comprimento respectivo.

Na ligação acima e vê que a chapa de espessura t1está ligada à chapa de espessura t2 por meio de um cordão de solda. Vamos ver ampliada uma seção transversal desta solda:


É costume desprezar-se a parte boleada da seção de solda pois é onde prováveis falhas se localizam(bolhas de ar, etc)

"d" é a menor dimensão da seção resistente deste cordão e que pode ser calculada como a altura do triangulo retangulo de catetos iguais à t1 .

Observação:

O diâmetro do cordão de solda é escolhido de acôrdo com a espessura da chapa à ser soldada.

d = t1 . sen 45°

cordãoresis l . t 0,7 A =

Observe-se que t corresponde à espessura da chapa que está sendo soldada e lcordão seria o comprimento do cordão de solda.

Para o caso especial do exemplo citado ficaria:

lc = 2.g + h Aresist = d . lc

Aresist = 0,7 t (2.g + h)

Para calcula-se a tensão tangencial desenvolvida tem-se:

h) + (2.g t 0,7

P = τ

A avaliação da área resistente deve ser estudada em cada caso, pois partindo da conclusão que ela deva ser igual ao comprimento do cordão multiplicado pela menor dimensão da seção da solda, pode-e ter casos em que a expressão analítica aparece um tanto diferente:

Neste caso temos a chapa de cima sendo fixada na de baixo mas aproveitando o comprimento disponível do trespasse inferior também fixamos atravéz de solda a chapa de baixo na de cima.

Aresist = 0,7 . t1(2.g + h) + 0,7 t2.h

A condição de segurança de uma ligação soldada será então:

solda de cordão h) + (2.g t 0,7

P τ≤

d = 0,7 t1


IV. LIGAÇÕES REBITADAS

A. TIPOS DE LIGAÇÕES REBITADAS

1. Superposição 2. De topo com cobrejunta simples

3. De topo com cobrejunta duplo

B. CONSIDERAÇÕES GERAIS

Em qualquer ligação rebitada, além de se levar em conta o cisalhamento nos rebites, outros fatores também devem ser examinados. Sempre que se projeta ou verifica uma ligação rebitada deve-se analisar os seguintes itens:

1. Cisalhamento nos rebites.

2. Compressão nas paredes dos furos.

3. Tração nas chapas enfraquecidas.

4. Espaçamento mínimo entre rebites.

Para que a ligação tenha segurança todos estes fatores devem estar bem dimensionados.

C. FATÔRES A SEREM CONSIDERADOS

1 Cisalhamento dos rebites

O fator cisalhamento nos rebites previne o corte das seções dos rebites entre duas chapas. Estas seriam as seções chamadas de seções de corte ou seções resistentes.

Sendo:

n - número de rebites que resiste à carga P

m - número de seções resistentes por rebite.

d - diametro dos rebites


A força P é resistida por "n" rebites com "m" seções resistentes cada um. Então a área resistente total nos casos de uma ligação rebitada é:

4dn. . m = A

2

.resistπ

Sendo ττττreb a tensão admissível ao cisalhamento do material do rebite, a tensão tangencial desenvolvida não pode ultrapassar a admitida.

A condição de segurança para o cisalhamneto nos rebites expressa de uma forma analítica seria:

reb2

4d.n.m

P τ≤π

Observando os tipos de ligações rebitadas nos exemplos vistos anteriormante ve-se que:

Superposição Cobrej. simples Cobrej. duplo

m = 1 m = 1 m = 2

n = 4 n = 4 n = 4

2. Compressão nas paredes dos furos

A força exercida nas chapas, e estando a ligação em equilíbrio estático, cria uma zona comprimida entre as paredes dos furos dos rebites e o próprio rebite.

Esta compressão pode ser tão grande a ponto de esmagar as paredes dos furos e colocar em risco toda a ligação rebitada.

Deve-se portanto descartar esta possibilidade.

Sejam duas chapas ligadas entre si por um rebite de diametro "d",conforme figura:

Observam-se zonas comprimidas nas duas chapas devido à ação do rebite sobre elas, sendo na vista de cima, representada a ação do rebite na chapa superior.

À fim de facilitar-se o cálculo destas compressões substitui-se a àrea semi cilindrica, da parede do furo, por sua projeção, que seria uma área equivalente ou simplificada ficando:


Aresist = Asimpl = d.t

F = P

resistA

F = σ

d.t

P = Cσ

Como nos casos de ligações rebitadas existem n rebites, podemos generalizar a expressão::

n.d.t

P = σ

Sendo σσσσCchapa a tensão de compressão admissível para o material da chapa ou dos cobrejuntas, então para que o projeto funcione com segurança, a condição expressa analíticamente ficaria:

Cchapa n.d.t

P σ≤

As tensões de compressão não se distribuem de maneira exatamente uniforme, entretanto assim se admite.

3. Tração nas chapas enfraquecidas

Quando se perfura as chapas para a colocação de rebites elas são enfraquecidas em sua seção transversal. Quanto maior for o número de furos em uma mesma seção transversal, mais enfraquecida ficará a chapa nesta seção, pois sua área resistente à tração fica reduzida.

Antes da furação a seção transversal da chapa que resistia à tração era:

l.t

PT =σ

Supondo que se façam dois furos em uma mesma seção transversal de chapa para a colocação de rebites. A nova área resistente será:


A nova tensão de tração desenvolvida será:

2.d) - t(l

P = σ

Para generalizar criamos uma grandeza, n1 que reprezenta o número de rebites colocados em uma mesma seção transversal;

.d)n - (lt

P =

1σ

A condição de segurança expressa analíticamente será:

Τσ≤ .d)n - (lt

P

1

onde σσσσΤΤΤΤ representa a tensão de tração admissível para o material das chapas ou cobrejuntas

Observações:

1. Em casos de projetos de ligações rebitadas sempre interessa a pior situação do sistema, que muitas vêzes é determinada com a simples observação. Nos dois itens anteriores (compressão nos furos e tração nas chapas enfraquecidas) pode-se tirar as seguintes conclusões:

a. Nas ligações por superposição e cobrejunta simples, sempre estará em pior situação a peça de menor espessura, pois ambas recebem a mesma carga. Resta apenas observar que para a tração nas chapas enfraquecidas, a seção transversal com maior número de rebites colocados é a em pior situação (n1 máximo).


b.Nas ligações com cobrejunta duplo seria conveniente a análise das chapas e dos cobrejuntas já que a espessura dos mesmos é diferente e a carga ao qual eles estão submetidos também o é.

Cobrejunta: P/2 , t1

Chapas: P, t2

4. Espaçamento mínimo entre rebites

Com a finalidade de limitar a proximidade entre rebites e entre rebites e bordas livres, as normas fixaram um espaçamento mínimo que deve ser preservado.

Isto evita zonas de extrema fragilidade entre dois furos em uma chapa e evita também que o funcionamento de um rebite interfira nos rebites vizinhos, o que poderia provocar acúmulos de tensões nestas áreas comuns .

NB - 14 ( Estruturas Metálicas)

Recomendações da Norma:

3 d - distâcia mínima entre os centros de 2 rebites

2 d - distância mínima entre centro de rebite e borda livre perpendicular à ação da força

1,5 d - distância mínima entre centro de rebite e borda livre paralela à ação da força onde "d" é o diâmetro do rebite.




a. Aço (τ = 220 MPa ) R: (a) 0.10 cm b. Cobre (τ = 130 MPa ) (b) 0.17 cm c. Alumínio (τ = 70 MPa) (c) 0.32 cm

2. As chapas soldadas abaixo na figura tem espessura de 5/8". Qual o valor de 'P' se na solda usada a tensão admissível ao cisalhamento é de 8 kN/cm2. Determine também o menor trespasse possível adotando-se todas as possibilidades de solda.

R: P ≤ 356.16 kN g ≥ 14 cm 3. Considere-se o pino de 12.5 mm de diametro da junta da figura. A força "P" igual à

37.50 kN. Admita a distribuição de tensões de cisalhamento uniforme. Qual o valor destas tensões nos planos a-a' e b-b'.

R: 1.528 Kgf/cm2



R: 4,71 kgf/cm2

5. O aço de baixo teor de carbono usado em estruturas tem limite de resistência ao cisalhamento de 31 kN/cm2 . Pede-se a força P necessária para se fazer um furo de 2.5 cm de diametro, em uma chapa deste aço com 3/8" de espessura.

R: 231,91 kN

6. Considere-se o corpo de prova da figura, de seção transversal retangular 2.5 x 5 cm, usado para testar a resistência a tração da madeira. Sendo para a peroba de 1,3 kN/cm2 a tensão de ruptura ao cisalhamento, pede-se determinar comprimento mínimo "a" indicado, para que a ruptura se de por tração e não por cisalhamento nos encaixes do corpo de prova. Sabe-se que a carga de ruptura do corpo por tração é de 10,4 kN.

R: a ≥ 0.8 cm

Vista Lateral

Seção do corpo de prova

Corpo de prova


7. Considere-se um pino de aço de 3/8" de diametro sujeito à força axial de tração de 10 kN. Calcular a tensão de cisalhamento na cabeça do pino, admitindo que a superfície resistente seja de um cilindro de mesmo diametro do pino, como se indica em tracejado.

R: 1,05 kN/cm2

8. As peças de madeira A e B são ligadas por cobrejuntas de madeira que são colados nas superfície de contato com as peças. Deixa-se uma folga de 8 mm entre as extremidades de A e B . Determine o valor do comprimento "L"para que a tensão de cisalhamento nas superfícies coladas não ultrapasse 0,8 kN/cm2.

R: 308 mm


R: 6 MPa



a. A força necessária para produzir por punção um furo de 30 mm de diametro em uma chapa com 9 mm de espessura.

b. A tensão normal correspondente no furador.

R: (a) 279,91 kN (b) 39,59 kN/cm2


R: 22 mm




R: (a) 1,85 cm (b) 3,75 cm

13. Quais as distancias "a" e "b" necessárias para os entalhes na peça horizontal da treliça indicada? Todas as peças tem seção transversal de 0,20 x 0,20 m. Admitir a tensão de cisalhamento da madeira de 3,5 MPa e utilizar coeficiente de segurança 5.

R : a ≅ b ≅24 cm

14. Verificar a ligação rebitada da figura, sendo dados

Rebites Chapas τ = 100 MPa σT = 150 MPa d = 1/2" = 1,27 cm σC = 250 MPa


R: Não há segurança (tração nas chapas)

15. Determine a máxima carga P que se pode aplicar à ligação rebitada abaixo sendo dados:

Rebites Chapas e Cobrejuntas d = 1/2" = 1.27 cm σT = 150 MPa τ = 100 MPa

OBS: medidas em mm

16. Verificar a ligação rebitada abaixo sendo dados:

Rebites Chapas e Cobrejuntas d = 1/2" = 1,27 cm σe = 220 MPa τ = 110 MPa


R: Não há segurança

17. A junta longitudinal de uma caldeira é de topo com cobrejunta duplo. O diametro interno da caldeira é de 1,3 m , a espessura de sua chapa de 15 mm e as chapas de recobrimento (cobrejuntas) de 10 mm. Sabe-se que os rebites são colocados longitudinalmente a cada 8 cm. Determinar a pressão interna que esta caldeira pode suportar e também a eficiência da ligação rebitada. Os rebites usados tem 12 mm de diâmetro e são dados dos materiais:

Rebites: Chapas e Cobrejuntas: d = 12 mm σT = 387 MPa τ = 310 MPa σC = 670 MPa

Deve-se adotar segurança 5.

R : pi ≤ 2,7 Kgf/cm2 eficiência ≅ 15%


18. Dimensionar um eixo de uma roldana fixa que deve suportar a elevação de uma carga de 100 kN. Sabe-se que o material do eixo apresenta tensão admisível ao cisalhamento de 120 MPa.

R: 3,25 cm



σ ou τ = resistA

F ε =

Εσ

(lei deHooke) ε = ∆

µ=εε (lei de Poisson) ∆=εt

Lei de Hooke generalizada

( )[ ]zyxx E

1 σ+σµ−σ=ε ( )[ ]zxyy E

1 σ+σµ−σ=ε

( )[ ]yxzz E

1 σ+σµ−σ=ε


σ = A

N

A.E

L.NL =∆

TRAÇÃO OU COMPRESSÃO AXIAL COM CONSIDERAÇÃO DO PESO PRÓPRIO

σ máx = γ+A

P σ máx =

A

GP+ G = A.γ.l

)2

GP( +∆ 2γ+∆

MATERIAIS DIFERENTES

2

1

E

En = 2σσ =σ2

N1= σ1..A1 N2 = σ 2.A2 P = N1 + N2 LIGAÇÕES REBITADAS 1. cisalhamento nos rebites 2. compressão nas paredes dos furos

reb2

4

d..n.m

P τ≤π

.)obrsecchapa(Ct.d.n

P σ≤

3. tração nas chapas enfraquecidas 4. espaçamento mínimo entre rebites

σ≤−l(t

P


BIBLIOGRAFIA BÁSICA HIBBELER, R.C. Resistência dos Materiais LTC Editora – Rio de Janeiro – 3ª Edição ISBN - 85-216-1228-1 GERE, James M. Mecânica dos Materiais Pioneira Thomson Learning , 2003 - São Paulo – ISBN – 85-221-0313-5 ROY R. CRAIG, JR – Mecânica dos Materiais – LTC Editora – Rio de Janeiro ISBN – 85-216-1332-6 RILEY William F. STURGES Leroy D. MORRIS Don H. - LTC Editora – Rio de Janeiro – ISBN – 85-216-1362-8 TIMOSHENKO,S,P. -Resistência dos Materiais 2 volumes. Ed. Ao Livro Técnico S.A. Rio de Janeiro. BEER, Ferdinand P & JOHNSTON, E Russel. Resistência dos Materiais Editora Mc Graw Hill do Brasil. São Paulo.

BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR:

GOMES, Sérgio C. - Resistência dos Materiais - Livraria Kosmos FEODOSSIEV, V. I. - Resistência dos Materiais - Editora Mir - Moscou NASH, W.A. - Resistência dos Materiais - Editora Mc Graw Hill do Brasil. São Paulo POPOV,E.P. - Resistência dos Materiais - Editora Prentice-Hall do Brasil DI BLASI, Célio G. - Resistência dos Materiais - Editora Interamericana Ltda. Rio de Janeiro – ISBN – 85-201-0189-5 SCHIEL Frederico Introdução à Resistência dos Materiais Harper & Row do Brasil – São Paulo

15763070 prof me maria regina costa leggerini

Documents