Vol. 16, 2, 151{164 (2000)Revista Interna ional deM�etodos Num�eri os para

C�al ulo y Dise~no en Ingenier��a

Aproxima� ~oes estabilizadas de elementos �nitospara es oamentos vis osos n~ao isot�ermi os

S�ergio Frey

Grupo de Estudos T�ermi os e Energ�eti os (GESTE)

Departamento de Engenharia Me ani a

Universidade Federal do Rio Grande do Sul

Rua Sarmento Leite 425

90050-170 Porto Alegre/RS, Brazil

Tel. 55-51-316 3228, Fax: 55-51-316 3355

e-mail: frey�me ani a.ufrgs.br

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Resumen

Neste artigo simulamos numeri amente a transferen ia de alor nos es oamentos in ompress��veis transientesde Navier-Stokes via um m�etodo estabilizado de elementos �nitos. Constru��do de maneira a herdar as ara -ter��sti as de estabilidade dos m�etodos estabilizados j�a introduzidos para os modelos de Stokes e adve � ~ao-difus~ao de alor, o m�etodo empregado n~ao ne essita atender �a ondi� ~ao de Babu�ska-Brezzi e permane eest�avel e a urado mesmo em regimes de es oamentos fortemente adve tivos. A ara ter��sti a evolutiva en~ao-linear do modelo s~ao tratadas pelo m�etodo via um algoritmo preditor/multi- orretor.

STABILAZED FINITE ELEMENT APPROXIMATIONS FOR THERMAL VISCOUS FLOWS

Summary

In this arti le, the heat transfer in no-steady in ompressible Navier-Stokes ows were simulated by a stabilized�nite element method. The employed method is built in order to ir umvent the Babu�ska-Brezzi onditionand to remain stable and a urate even for very high adve tive regimen. The method deal with the transientand non-linear features of the model via a predi tor/multi- orre tor algorithm.

Like Latin in the humanities, elasti ity theory has always been a lassi al edu ation forme hani ists

W. Jaunzemis

Universitat Polit�e ni a de Catalunya (Espa~na). ISSN: 0213{1315 Re ibido: Enero 1998

152 S. Frey

INTRODUC� ~AO

A modelagem da Dinami a dos Fluidos re ai em problemas de razo�avel omplexidadematem�ati a. Os fenomenos onsiderados s~ao governados por sistemas de equa� ~oes par- iais n~ao-lineares, evolutivas e, nos regimes de es oamento de interesse, om ara ter��sti ashiperb�oli as13;14 . Enquanto a metodologia de difere� as �nitas j�a est�a bem solidi� ada nesta�area (por exemplo, as simula� ~oes ontidas em15), o m�etodo de elementos �nitos nela apre-sentou um lento desenvolvimento se omparado �as difere� as �nitas ou ao seu pr�oprio su essona �area de Me ani a dos S�olidos (veja, por exemplo, o trabalho pioneiro de Turner et al.18).

A metodologia de elementos �nitos mais usual �e o onhe ido m�etodo de Galerkin2, oqual tem sido apli ado nas �ultimas d�e adas a uma vasta lasse de problemas de Engenharia.Entretanto, nos problemas de uidos, a aproxima� ~ao de Galerkin inspira uidados espe iais.Nos es oamentos in ompress��veis surge a ne essidade de omputar a press~ao omo multipli- ador de Lagrange do ampo de velo idade, gerando os hamados problemas mistos. Al�emdisso, mantendo o termo iner ial da equa� ~ao de movimento, esbarramos na assimetria deseu operador adve tivo. Estes fatores fazem om que Galerkin possa vir a ter um om-portamento patol�ogi o, originando os ila� ~oes esp�urias no ampo de press~ao e o lo king dasvelo idades11.

Nos anos 70, om os resultados de Babu�ska-Brezzi2, � ou provado que os subespa� osde velo idade e press~ao n~ao poderiam ser es olhidos arbitrariamente, sob pena de gerar-mos aproxima� ~oes inst�aveis; dever��amos, sim, empregar elementos �nitos que satisfa� am a hamada ondi� ~ao de Babu�ska-Brezzi. Esta ondi� ~ao restringe nossa es olha de elementosa um n�umero bastante limitado, riando di� uldades omputa ionais j�a que ombina� ~oes omputa ionalmente desej�aveis - omo elementos de igual-ordem - � am de antem~ao des ar-tadas. A �m de ontornar estas di� uldades foram propostas v�arias estrat�egimas11, dentreas quais desta amos os hamados m�etodos estabilizados. Esta metodologia, introduzida porBrooks e Hughes1 para o modelo da adve � ~ao-difus~ao, baseia-se na adi� ~ao �a formula� ~ao deGalerkin de termos malha-dependentes res��duos das equa� ~oes de Euler-Lagrange do proble-ma, tendo j�a sido apli ada a uma grande gama de problemas nos �ultimos anos6;9;12.

Este trabalho objetiva a simula� ~ao da transferen ia alor nos es oamentos de Navier-Stokes in ompress��veis3;5 via metodos estabilizados. O m�etodo empregado, uma extens~ao dom�etodo Galerkin/Least-Squares (GLS)3;9 para o aso n~ao isot�ermi o, modi� a a formula� ~ao l�assi a de Galerkin de modo a n~ao ne essitar satisfazer a ondi� ~ao de Babu�ska-Brezzi9. Al�emdisso, estabiliza o operador adve tivo da equa� ~ao de movimento adi ionando efeito upwindna dire� ~ao das linhas-de- orrente do es oamento1;4. Algumas simula� ~oes bi-dimensionais deinteresse de es oamentos internos n~ao-isot�ermi os or�rmam a onsisten ia e pre is~ao doesquema num�eri o proposto.

Preliminares

Os problemas estudados neste trabalho s~ao de�nidos em um dom��nio aberto limitado � R2 om fronteira � poligonal�

� = �g[ �

h

�g\ �

h= ; ; �

g6= 0

(1)

onde �g�e a parte da fronteira � na qual s~ao impostas ondi� ~oes de Diri hlet (essen iais)

e �ha regi~ao na qual s~ao pres ritas as ondi� ~oes naturais (Neumann). Sobre o dom��nio

realizamos uma parti� ~ao Chde elementos quadrangulares da maneira usual2� = [

K2ChK

K1

\K2

= ; ; 8K1;K2 2 Ch

(2)

Aproxima� ~oes estabilizadas de elementos �nitos para es oamentos vis osos n~ao isot�ermi os 153

Ao longo do artigo, L2() denota o espa� o das fun� ~oes de quadrado integr�avel em ,L20() o espa� o das fun� ~oes de quadrado integr�avel om m�edia nula em , H1() o espa� o

de Sobolev das fun� ~oes e derivadas primeiras om quadrado integr�avel em e H10 () o

espa� o de Sobolev das fun� ~oes e derivadas primeiras om quadrado integr�avel em que seanulam sobre o ontorno �

g.

Por �m, (�; �) e jj � jj0 representam, respe tivamente, o produto interno e a norma de L2

em e (�; �)K

e jj � jj0;K denotam o produto interno e a norma the L2 no dom��nio de adaelemento K, respe tivamente.

MODELAGEM TERMOMECANICA

O es oamento dos uidos �e um fenomeno f��si o que pode ser representado por umatransforma� ~ao ont��nua no espa� o eu lidiano, parametrizada pelo tempo t 2 [0;1)

� : B �R+! E (3)

onde B denota um uido gen�eri o, � uma transforma� ~ao de lasse C3 referida omo seumovimento e t = 0 um instante ini ial arbitr�ario.

Durante o movimento do uido, suas intera� ~oes om o exterior s~ao des ritas pelas for� asnele atuantes, as quais rela ionam-se ao seu movimento atrav�es dos axiomas postulados porEuler, o Prin ��pio de Conserva� ~ao do Momentum Linear e do Momentum Angular17. A �mde estabele er a equa� ~ao que governa o movimento dos uidos, enun iamos o teorema deCau hy, o qual tem omo prin ipal asser� ~ao a linearidade do vetor tens~ao17 t: Seja (t; f) umsistema de for� as de um orpo em movimento. A ondi� ~ao ne ess�aria e su� iente para queas leis de onserva� ~ao de momentum sejam satisfeitas �e a existen ia de um ampo tensorialsim�etri o � - hamado tensor de Cau hy - tal que: t(n) = �n, satisfazendo �a equa� ~ao

� _u = r � � + f (4)

As equa� ~oes de Navier-Stokes

Os axiomas de Euler, mesmo v�alidos para maioria dos orpos, s~ao insu� ientes para ara teriz�a-los integralmente, por serem in apazes de distinguir entre os diferentes ompor-tamentos materiais. No aso espe ��� o dos uidos, o fenomeno de atrito �e neles manifestoatrav�es de suas for� as izalhantes, as quais retardam o movimento relativo de suas part�� ulas.Uma boa medida deste movimento �e forne ida pelo tensor gradiente de velo idades ru, su-gerindo equa� ~oes onstitutivas da forma

� = �pI+C(ru) (5)

onde C(�) �e denominada fun� ~ao resposta do uido. Para a lasse dos uidos newtonianos ompress��veis, a fun� ~ao C(�) �e dada pela express~ao14

C(ru) = �(ru +ruT ) +

�� �

2

3�

�(r � u) I (6)

onde � e � s~ao, respe tivamente, o primeiro e segundo oe� ientes de vis osidade do uidoe I o tensor identidade. Muitos es oamentos, entretanto, apresentam uma varia� ~ao muitopequena em sua massa espe ��� a, os hamados uidos in ompress��veis. Para esses uidos,a fun� ~ao C(�) pode ser ara terizada por uma �uni a onstante: sua vis osidade8

C(ru) = 2�"""(u) (7)

154 S. Frey

om """(u) denotando a parte sim�etri a do tensor ru. Considere ent~ao a equa� ~ao de movi-mento (4) sujeita �as hip�oteses onstitutivas introduzidas em (5) e (7); supondo � e � ons-tantes e usando que r � ruT = r(r � u), obtemos hamadas as equa� ~oes de Navier-Stokesin ompress��vel

�

��u

�t+ [ru℄u

�+rp� 2�r � """(u) = f (8)

1a Lei da Termodinami a

Da Teoria Termodinami a, sabemos que a energia ao longo de um es oamento podeassumir diferentes formas, sendo, portanto, imperativo enu iar uma lei de onserva� ~ao deenergia - a 1a Lei da Termodinami a17

d

dtK() +

d

dtU() = H() + P() (9)

onde K() �e a energia in�eti a de um volume do uido, U() sua energia interna, H()a taxa do alor por ele tro ado e

P() =

Z�

t(n) � vd� +

Z

�f � vd (10)

a poten ia me ani a nele despendida. Do Prin ��pio das Poten ias Virtuais8, temos que aenergia in�eti a K() pode ser expressa por

d

dtK() = P()�

Z

� � """(v)d (11)

Substituindo a equa� ~ao (11) na equa� ~ao (9), supondo a energia interna de um uido umapropriedade aditiva e apli ando o teorema de Reynolds17, obteremos a hamada equa� ~ao de onserva� ~ao da energia t�ermi aZ

�D"

Dtd =

Z

�rd +

Z�

q � n d� +

Z

� � """(u)d (12)

onde r denota uma fonte de alor por unidade de massa e q � n o uxo de alor na fronteira� . Ent~ao, apli ando os teoremas da divergen ia e da lo aliza� ~ao8, hegamos �nalmente aforma diferen ial da equa� ~ao de energia

�D"

Dt= r � q+ �r+ � � """(u) (13)

A equa� ~ao (13) pode ser ainda desenvolvida impondo onsidera� ~oes sobre o estadotermodinami o do uido. Apli ando as de�ni� ~oes de alor espe ��� o a volume e press~ao ons-tantes aos es oamentos in ompress��veis19 , desprezando os termos dissipativos da equa� ~ao(13) e expressando q atrav�es da Lei de Fourier Generalizada13, hegamos �a equa� ~ao daadve � ~ao-difus~ao de alor

�

���

�t+ u � r�

��r � �r� = r (14)

onde u �e o ampo de velo idade adve tivo e � a ondutividade t�ermi a do uido.

Aproxima� ~oes estabilizadas de elementos �nitos para es oamentos vis osos n~ao isot�ermi os 155

APROXIMAC� ~AO DE ELEMENTOS FINITOS

A partir das equa� ~oes de onserva� ~ao de momentum e energia de�nidas nas equa� ~oes(8) e (14), respe tivamente, empregando as adimensionaliza� ~oes usuais em Me ani a doFluidos14, obtemos o seguinte problema de ontorno para os es oamentos in ompress��veisn~ao-isot�ermi os de Navier-Stokes

�u

�t+ [ru℄u � 2�r � """(u) +rp = f em � (0; T )

��

�t+ u � r� � ��� = r em � (0; T )

r � u = 0 em � (0; T )

u = ug

sobre �g� (0; T )

� = �g

sobre �g� (0; T )

�n = �h

sobre �h� (0; T )

q � n = qh

sobre �h� (0; T )

u = u0 em om t = 0

� = �0 em om t = 0

(15)

onde u �e a velo idade do uido, p sua press~ao, � sua vis osidade dinami a, � sua temperatura,� o tensor de Cau hy (equa� ~oes (5) e (7)), """(u) a parte sim�etri a do tensor ru, q o vetor uxo de alor (equa� ~ao (14)), n a normal exterior, f a for� a de orpo do es oamento, r suafonte t�ermi a, ��1 e ��1 representam seus n�umeros de Reynolds e P�e let13.

Uma m�etodo estabilizado

Na aproxima� ~ao de elementos �nitos das equa� ~oes (15), empregaremos os subespa� osusuais da Dinami a dos Fluidos

Wh= f� 2 H1

0 () j�jx2K 2 Pm(K); K 2 C

hg (16)

Vh= fv 2 H1

0 ()N

jvjx2K 2 Pk(K)N ; K 2 C

hg (17)

Ph= fp 2 C

0() \ L20() j pjK 2 P

l(K); K 2 C

hg (18)

W g

h= f�(�; t) 2 H1() ; t 2 [0; T ℄ j�jx2K 2 P

m(K); K 2 C

h; �(�; t) = �

gsobre �gg (19)

Vg

h= fv(�; t) 2 H1()N ; t 2 [0; T ℄ jvjx2K 2 P

k(K)N ; K 2 C

h; v(�; t) = u

gsobre �gg (20)

onde Pk, P

le P

mdenotam, respe tivamente, espa� os polinomiais de grau k, l e m.

A partir das de�ni� ~oes (16)-(20), onstruimos a extens~ao n~ao isot�ermi a do m�etodoGLS3;9 para o sistema (15) da seguinte maneira: A har a tripla (u

h; p

h; �

h) 2 V

g

h�P

h�W

g

h

tal que

B(uh; p

h; �

h;v; q; �) = F (v; q; �); (v; q; �) 2 V

h� P

h�W

h(21)

156 S. Frey

om

B(u;p; �;v; q; �) = (�u

�t+ [ru℄u;v) + (2�"""(u); """(v))� (r � v; p)� (r � u; q)

+ (��

�t+ u � r�; �) + (�r�;r�) + (r � u; Ær � v)

+XK2Ch

(��

�t+ u � r� � ���; �

�(Pe

K)(u � r�� ���))

K

+XK2Ch

(�u

�t+ [ru℄u+rp� 2�r � """(u); �v(ReK)([rv℄v �rq � 2�r � """(v)))

K

(22)

e

F (v; q; �) = (f ;v) + (�h;v)

�h+XK2Ch

(f ; �v(ReK)([rv℄v �rq � 2�r � """(v)))K

+ (r; �) + (qh; �)

�h+XK2Ch

(r; ��(Pe

K)(u � r�� ���))

K

(23)

onde os parametros de estabilidade �v, �� e Æ s~ao de�nidos por

�i(X

i) =

hK

2jujp

�(Xi) ; om Xv = Re

K; X

�= Pe

K(24)

�(Xi) =

nX

i, 0 � X

i< 1

1 , Xi� 1

(25)

ReK=

mkjuj

phK

4�; Pe

K=

mkjuj

phK

2�(26)

mi

k= min

�1

3; 2Ci

k

�; om i = v; � (27)

ju(x)jp=

8<:�P

N

i=1ju

i(x)jp

�1=p, 1 � p <1

maxi=1;N

jui(x)j , p =1

(28)

C�

k

XK2Ch

h2Kk��k20;K � kr�k20 � 2W

h(29)

Cv

k

XK2Ch

h2Kkr � """(v)k20;K � k"""(v)k20 v 2 V

h(30)

Æ = �ju(x)jphK�(Re

K) ; � � 1 (31)

Aproxima� ~oes estabilizadas de elementos �nitos para es oamentos vis osos n~ao isot�ermi os 157

Coment�arios

1. Fazendo os parametros de estabilidade �v, �� e Æ iguais a zero nas equa� ~oes (21)-(23),obtemos a formula� ~ao de Galerkin l�assi a para o problema de�nido nas equa� ~oes (15).Sua estabilidade, no ontexto linear do problema Stokes, �e governada pelo Teorema deBrezzi2, o qual imp~oe, al�em da satisfa� ~ao da ondi� ~ao de Babuska-Brezzi envolvendoos subespa� os de press~ao e velo idade, que o problema dis reto seja el��pti o para todavelo idade perten ente ao subespa� o K0

h, om

K0h= fv 2 V

hj

Z

qr � v = 0; q 2 Phg

Visto que em geral K0h6� K0, apenas um n�umero limitado de ombina� ~oes de elementos

�nitos ir�a satisfe-las, riando assim uma s�eria limita� ~ao ao m�etodo de Galerkin em uidos. Combina� ~oes de elementos omputa ionalmente desej�aveis omo as de igual-ordem, � am por esta raz~ao des artadas.

2. A instabilidade da aproxima� ~ao de Galerkin das equa� ~oes (15) em regimes de es oamentoadve tivos-dominados de orre da falta de oer ividade da forma trilinear de�nida naequa� ~ao (22). Tomando (v; q; �) = (u;�p; �) e �v; ��; Æ = 0 em (22) e sele ionando

v 2 H10 ()

N e � 2 H10 (), teremos

B(v; q; �;v;�q; �) � 2�k"""(v)k20 + �kr�k20 (v; q; �) 2 Vh� P

h�W

h(32)

Portanto, nas situa� ~oes onde �; � ! 0, teremos a aproxima� ~ao de Galerkin ontaminadapor os ila� ~oes esp�urias, gerando solu� ~oes num�eri as �si amente irreais.

3. As express~oes usuais dos n�umeros de Reynolds e P�e let de malha11 foram modi� das om a in lus~ao do parametrom

knas equa� ~oes (26), de modo a tamb�em onsiderar o grau

de interpola� ~ao empregado. Com isto, as regi~oes adve tivas-dominadas do es oamento� am ara terizadas por Re

K;Pe

K> 1 e as difusivas-dominadas por Re

K;Pe

K< 1,

independente do elemento onsiderado.

Algoritmo de Integra� ~ao

A dis retiza� ~ao das equa� ~oes (21)-(23) �e obtida pela expan� ~ao das fun� ~oes fuh; p

h; �

hg

e fv; q; �g em suas respe tivas fun� ~oes base, gerando o sistema de equa� ~oes semi-dis retas

[M+Mv

�v

℄a +N(u) +Nv

�v

(u) + [K+Kv

�v

+Kv

Æ℄u+ [G+Gv

�v

℄p = F+ F�v

[A+A�

��℄�;t + [C+C�

��+D+D�

��℄� = Q+Q�

��

[Mq

�v

℄a +Nq

�v

(u) + [GT +Kq

�v

℄u+ [Gq

�v

℄p = E�v

(33)

onde u, p, �, a e �;t s~ao os vetores dos graus-de-liberdade de u

h, p

h, �

h, �u

h=�t e ��

h=�t,

respe tivamente. As matrizes [M℄, [K℄ e [G℄ s~ao originadas pelos termos transiente, vis osoe b�ari o da equa� ~ao de momentum de (21)-(23); j�a [A℄, [C℄ e [D℄, s~ao oriundas dos termostransiente, adve tivo e difusivo da equa� ~ao de energia, respe tivamente. O vetor n~ao linearN(u) prov�em do termo adve tivo da equa� ~ao de movimento. As demais matrizes s~ao devidasaos termos estabilizadores �v, �� e Æ.

Generalizando, para problemas mistos, o algoritmo proposto em [10℄ e introduzindonmax (n�umero m�aximo de passos de tempo), imax (n�umero m�aximo de orre� ~oes) e !(parametro de sele� ~ao do m�etodo predetor empregado), podemos es rever o seguinte al-goritmo preditor/multi- orretor trapezoidal generalizado para o sistema (33).

158 S. Frey

Algoritmo 1

1. ini ialize u00;p00, a

00 e �

00

2. fa� a n := 0 e i := 03. fase preditora(

u(i)

n+1 := u(i)n

+�t(1� !)a(i)n

a(i)

n+1 := 0;

(p(i)

n+1 := p(i)n

�(i)

n+1 := �(i)n

(34)

4. forme e fatorize as matrizes in rementais [M�℄; [N�℄; [G�℄; [G�T ℄; [Gv

�v

℄; [A�℄e[C�℄de�nidas por

[M�℄ := [M℄ + [Mv

�v

℄ + !�t[N�℄

[N�℄ := [�N

�u(u

(i)

n+1)℄ + [�Nv

�v

�u(u

(i)

n+1)℄ + [K℄ + [Kv

�v

℄ + [Kv

Æ℄

[G�℄ := [G℄ + [Gv

�v

℄

[G�T ℄ := [Mq

�v

℄ + !�t([GT ℄ + [�Nq

�v

�u(u

(i)

n+1)℄ + [Kq

�v

℄)

[A�℄ := [A℄ + [A�

��℄

[C�℄ := [C(u(i)

n+1)℄ + [C�

��(u

(i)

n+1)℄ + [D℄ + [D�

��℄

(35)

5. forme os vetores residuais

8>>>>>><>>>>>>:

R(i)

n+1 := Fn+1 + F

�vn+1 � ([M+Mv

�v

℄a(i)

n+1 +N(u(i)

n+1) +Nv

�v

(u(i)

n+1)

+[K+Kv

�v

+Kv

Æ℄u

(i)

n+1 + [G+Gv

�v

℄p(i)

n+1)

S(i)

n+1 := E�v n+1 � ([Mq

�v

℄a(i)

n+1 +Nq

�v

(u(i)

n+1) + [GT +Kq

�v

℄u(i)

n+1 + [Gq

�v

℄p(i)

n+1)

T(i)

n+1 := Qn+1 +Q

�� n+1 � ([A+A�

��℄ _�

(i)

n+1 + [C(u(i)

n+1) +C(u(i)

n+1)

+D+D�

��℄�

(i)

n+1)

(36)

6. resolva o sistema in remental8><>:

[M�℄�a(i)

n+1 + [G�℄�p(i)

n+1 = R(i)

n+1

[G�T ℄�a(i)

n+1 + [Gq

�℄�p

(i)

n+1 = S(i)

n+1

[A�℄� _�(i)

n+1 + [C�℄��(i)

n+1 = T(i)

n+1

(37)

7. fase orretiva(u(i+1)

n+1 := u(i)

n+1 + !�t�a(i)

n+1

a(i+1)

n+1 := a(i)

n+1 +�a(i)

n+1

;

(p(i+1)

n+1 := p(i)

n+1 +�p(i)

n+1

�(i+1)

n+1 := �(i)

n+1 +��(i)

n+1

(38)

8. se i < imax, ent~ao i := i+ 1 e retorne ao passo 4; aso ontr�ario, i := 0 e(u(i)

n+1 := u(imax)

n+1

a(i)

n+1 := a(imax)

n+1

;

(p(i)

n+1 := p(imax)

n+1

�(i)

n+1 := �(imax)

n+1

(39)

9. se n < nmax, ent~ao n := n+ 1 e retorne ao passo 3; aso ontr�ario, termine.

Aproxima� ~oes estabilizadas de elementos �nitos para es oamentos vis osos n~ao isot�ermi os 159

Coment�arios

1. Atrav�es do parametro !, podemos sele ionar a estrat�egia de predi� ~ao do algoritmo 1:tomando ! = 0 obtemos o m�etodo de Euler progressivo, para ! = 1=2 o m�etodo deCrank-Ni olson e, �nalmente, para ! = 1 teremos o m�etodo de Euler regressivo.

2. Baseado em Tezduyar et al.10, implementamos as seguintes modi� a� ~oes nas matrizesin rementais (35)

[M�℄ := [M℄ ; [G�℄ := [G℄ ; [G�T ℄ := !�t[GT ℄ (40)

Com estas de�ni� ~oes, estas matrizes n~ao mais dependem do passo de tempo - podendoserem formadas e fator�a-las de uma �uni a vez - e o sistema in remental de�nido pela equa� ~ao(37) � a simetrizado.

RESULTADOS NUM�ERICOS

Nesta se� ~ao ser~ao apresentados algumas simula� ~oes omputa ionais dos es oamentosn~ao-isot�ermi os de Navier-Stokes de�nido pelas equa� ~oes (15) via o m�etodo estabilizadointroduzido nas equa� ~oes (21)-(23). Nas simula� ~oes realizadas empregamos interpola� ~oesbiquadr�ati as de Serendipity para aproximar os ampos de velo idade, press~ao e tempera-tura (Q2S/Q2S/Q2S). Todas as omputa� ~oes foram realizadas no Laborat�orio de Me ani aTe�ori a e Apli ada (LMTA) da Universidade Federal Fluminenese, utilizando o �odigode elementos �nitos FEM e o p�os-pro essador gr�a� o VIEW, ambos os programas emdesenvolvimento neste laborat�orio.

Figura 1. Es oamento n~ao-isot�ermi o numa avidade: des ri� ~ao do problema

Es oamento n~ao-isot�ermi o numa avidade

Este teste onsiste no es oamento n~ao-isot�ermi o numa avidade bi-unit�aria �0:5 �x; y � +0:5 om a parede superirior m�ovel e demais �xas (Para a des ri� ~ao do problema,ver Figura 1). As ondi� ~oes de ontorno em velo idade e temperatura s~ao des ritas porn

u1 = 1 ; u2 = 0 em y = +0; 5 (�0; 5 � x � +0; 5)u = 0 nas demais fronteiras

(41)

160 S. Frey

(� = 1 em y = +0; 5 (�0; 5 � x � +0; 5)� = 0 em x = �0; 5 (�0; 5 � y � +0; 5)r� � n = 0 nas demais fronteiras

(42)

O problema foi dis retizado por malha uniforme de 16 � 16 elementos de igual-ordemQ2S/Q2S/Q2S da fam��la de Serendipity2.

Na Figura 2 s~ao apresentados os resultados da formula� ~oes (21)-(23) em regime perma-nente para os valores de Re = 400 e Pe = 102 e 104. Na Figura 2a s~ao mostrados os vetoresde velo idade do es oamento, na Figura 2b suas isob�ari as, na Figura 2 as superf�� ies detemperatura para Pe = 102 e, �nalmente, na Figura 2d s~ao apresentadas as isot�ermi aspara Pe = 104. Da Figura 2a e Figura 2b, pode ser observada a ara ter��sti a n~ao-lineardo modelo, visto o entro de ir ula� ~ao do es oamento - bem omo suas isob�ari as - n~ao sersim�etri o em rela� ~ao a x = 0. Os resultados obtidos foram omparados om as simula� ~oesrealizadas por Tezduyar et al.16 e Gresho et al.7, havendo uma boa on ordan ia om osresultados apresentados na Figura.

Quanto �as aproxima� ~oes do ampo de temperatura, Figura 2 e Figura 2d, podemosveri� ar que para Pe = 102 (Figura 2 ), al�em da amada limite t�ermi a junto �a paredena qual � = 1 (y = +0; 5 e �0; 5 � x � +0; 5) - h�a tamb�em o surgimento de uma suave amada limite junto �a ondi� ~ao de ontorno � = 0 (x = �0; 5 e �0; 5 � y � +0; 5), oque n~ao mais a onte e para valores mais elevados de P�e let, omo, por exemplo, Pe = 104

(Figura 2d). Pare estes es oamentos fortemente adve tivos, a ondi� ~ao � = 0 �e arreadapara prati amente todo o interior do dom��nio - a ex e� ~ao de uma �na amada limite juntoa ondi� ~ao � = 1 - de modo a formar uma superf�� ie virtualmente plana em todo de valor� � 0, onforme ilustrado pelas isot�ermi as da Figura 2d.

Figura 2. Regime permanente do problema da avidade para Re = 400 (16 � 16 elementosQ2S/Q2S/Q2S): a) vetores de velo idade; b) isob�ari as; ) superf�� ie de tempera-

tura (Pe = 102); d) isot�ermi as (Pe = 104)

Aproxima� ~oes estabilizadas de elementos �nitos para es oamentos vis osos n~ao isot�ermi os 161

Es oamento n~ao-isot�ermi o em um anal em degrau

Simularemos agora o es oamento n~ao-isot�ermi o interno a um anal plano, no qualsua parede inferior abruptamente expande-se em degrau, onforme ilustra a Figura 3a. As ondi� ~oes de ontorno em velo idade e temperatura no anal s~ao dados por(

u1 = 1 ; u2 = 0 em x = 0; 0 (0; 125 � y � 0; 25)�n = 0 em x = 1; 0 (0; 0 � y � 0; 25)u = 0 nas demais fronteiras

(43)

(� = 0 em x = 0; 0 (0; 125 � y � 0; 25)r� � n = 0 em x = 1; 0 (0; 0 � y � 0; 25)� = 1 nas demais fronteiras

(44)

O n�umero de Reynolds do es oamento foi sele ionado Re = 60 e o n�umero de P�e letigual a Pe = 104, ambos tomados em rela� ~ao �as ondi� ~oes de entrada do es oamento. Odom��nio do problema foi dis retizado por uma malha uniforme de 224 elementos de igual-ordem biquadr�ati os de Serendipity (Q2S/Q2S/Q2S), onforme ilustrado na Figura 3b.

Figura 3. Es oamento n~ao-isot�ermi o num anal em degrau: a) des ri� ~ao do problema;b) malha empregada (224 Q2S/Q2S/Q2S elementos de serendipity)

Os resultados para a formula� ~ao de�nida nas equa� ~oes (21)-(23) em regime permanentes~ao mostrados na Figura 4. Nesta �gura, a qual emprega ondi� ~ao de tra� ~ao livre (�n = 0)e uxo de alor nulo (r� � n = 0) na sa��da do anal, podem ser observadas re ir ula� ~oesde uido (Figura 4a) e regi~oes de baixa press~ao (Figura 4b) a jusante do degrau. Veri�- amos, ainda, que o omprimento de anal ap�os a ontra� ~ao n~ao foi su� iente para voltara desenvolver o es oamento, onforme ilustra o omportamento das isob�ari as da Figura4b a jusante do degrau. J�a a Figura 4 mostra as superf�� ies de temperatura ao longo do anal. Conforme observado, as ondi� ~oes nas paredes do anal (� = 1), juntamente om sua

162 S. Frey

ondi� ~ao de entrada (� = 0), riam abruptas amadas limites t�ermi as em ambos os ladosdo anal, a ex ess~ao da regi~ao imediatamente ap�os a expans~ao do anal. Nesta zona, forte-mente in uen iada pela re ir ula� ~ao se und�aria de uido apturada na Figua 4a, a ondi� ~aode ontorno (� = 1) �e arreada para o interior do dom��nio, perturbando dessa maneira onormal desenvolvimento de sua amada limite t�ermi a.

Figura 4. Regime permanente do es oamento em um anal em degrau om R = 60:a) vetores de velo idade; b) isob�ari as; ) superf�� ie de temperatura para Pe = 104

Aproxima� ~oes estabilizadas de elementos �nitos para es oamentos vis osos n~ao isot�ermi os 163

CONCLUS~OES

Este trabalho objetivou a simula� ~ao omputa ional de es oamentos n~ao-isot�ermi osin ompress��veis de Navier-Stokes. Ap�os a apresenta� ~ao dos Prin ��pios da Termome ani aFluidos, introduzimos uma extens~ao n~ao isot�ermi a do m�etodo GLS para o problema, oqual n~ao ne essita satisfazer �a ondi� ~ao de Babu�ska-Brezzi, permitindo, assim, a utiliza� ~aode elementos �nitos omputa ionalmente desej�aveis omo os elementos de igual-ordem.Gra� as �as express~oes dos parametros de estabiliade �v, �� e Æ e de um robusto algoritmopreditor/multi- orretor, o m�etodo foi apaz de simular a uradamente situa� ~oes fortementeadve tivas, onforme ilustram os testes num�eri os realizados.

Coment�arios �nais

1. O m�etodo de�nido em (21)-(23) produz bons resultados nos es oamentos ujaspropriedades f��si as n~ao sejam fortemente dependentes do ampo de temperatura.Caso isto n~ao se veri�que, podemos ainda empreg�a-lo om esquemas de orre� ~ao depropriedades13, tais omo os m�etodos de temperatura de referen ia e propriedadesrela ionadas.

2. Da maneira omo foi de�nido, o Algortmo 1 n~ao apenas integra problemas de onve � ~aofor� ada omo tamb�em de onve � ~ao mista de alor, j�a que monta e solu iona simultane-amente as equa� ~oes (15). Bastaria, de modo a onsiderar o fenomeno de onve � ~aonatural, adotarmos a hip�otese de Boussinesq 14, a qual substitui o termo de press~ao rpda equa� ~ao (15) por um termo de empuxo fun� ~ao de �, a oplando dessa maneira todoo sistema.

AGRADECIMENTOS

Durante a realiza� ~ao deste trabalho, seu autor foi par ialmente �nan iado pelo CNPqPro .350747/93-8, apoio pelo qual muito agrade e.

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