145926-auto valores auto vetores2

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Luiz Guedes Caldeira Sum´ ario Introdu¸c˜ ao Determina¸c˜ ao dos Auto Valores e Auto Vetores Propriedades dos Auto Valores e Auto Vetores Diagonaliza¸c˜ ao de Operadores Diagonaliza¸c˜ ao de Matrizes Sim´ etricas ifpb Auto-Valores e Auto-Vetores Luiz Guedes Caldeira IFPB Instituto Federal de Educa¸c˜ ao, Ciˆ encia e Tecnologia da Para´ ıba Jo˜ ao Pessoa, 2011 1 / 39

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auto valores e auto vetores de algebra linear

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  • Luiz GuedesCaldeira

    Sumario

    Introducao

    Determinacaodos AutoValores e AutoVetores

    Propriedadesdos AutoValores e AutoVetores

    Diagonalizacaode Operadores

    Diagonalizacaode MatrizesSimetricas

    ifpb

    Auto-Valores e Auto-Vetores

    Luiz Guedes Caldeira

    IFPBInstituto Federal de Educacao, Ciencia e Tecnologia da Paraba

    Joao Pessoa, 2011

    1 / 39

  • Luiz GuedesCaldeira

    Sumario

    Introducao

    Determinacaodos AutoValores e AutoVetores

    Propriedadesdos AutoValores e AutoVetores

    Diagonalizacaode Operadores

    Diagonalizacaode MatrizesSimetricas

    ifpb

    1 Introducao

    2 Determinacao dos Auto Valores e Auto Vetores

    3 Propriedades dos Auto Valores e Auto Vetores

    4 Diagonalizacao de Operadores

    5 Diagonalizacao de Matrizes Simetricas

    2 / 39

  • Luiz GuedesCaldeira

    Sumario

    Introducao

    Determinacaodos AutoValores e AutoVetores

    Propriedadesdos AutoValores e AutoVetores

    Diagonalizacaode Operadores

    Diagonalizacaode MatrizesSimetricas

    ifpb Definicao

    Definicao

    Seja o operador linear T : V V e v V , v 6= 0. v e o autovetor do operador T se existe um numero R tal que:

    T (v) = v,

    o numero real e o auto valor de T , associado ao auto vetorv.

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    Sumario

    Introducao

    Determinacaodos AutoValores e AutoVetores

    Propriedadesdos AutoValores e AutoVetores

    Diagonalizacaode Operadores

    Diagonalizacaode MatrizesSimetricas

    ifpb Exemplos

    Exemplo (v = (5, 2),T (x , y) = (4x + 5y , 2x + y).)

    v = (5, 2) e um auto vetor de T ?

    T (v) = v,

    T (5, 2) = (4 5 + 5 2, 2 5 + 2) = (30, 12) = 6(5, 2),

    logo v = (5, 2) e auto vetor de T com auto valor = 6.

    Exemplo (v = (2, 1),T (x , y) = (4x + 5y , 2x + y).)

    Verificando:

    T (2, 1) = (4 2 + 5 1, 2 2 + 1) = (13, 5) 6= (2, 1),

    logo v = (2, 1) nao e auto vetor do operador T pois @ R|(13, 5) = (2, 1).

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    Introducao

    Determinacaodos AutoValores e AutoVetores

    Propriedadesdos AutoValores e AutoVetores

    Diagonalizacaode Operadores

    Diagonalizacaode MatrizesSimetricas

    ifpb Determinacao dos Auto Valores

    Como v = (x , y , z) 6= (0, 0, 0), entao:

    det (A I) = 0 , (1)

    det

    a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

    = 0,det (A I) e chamada de equacao caracterstica dooperador T (ou matriz A). As razes desta equacao sao os autovalores de T . det (A I) e um polinomio em denominadode polinomio caracterstico.A substituicao destas razes (auto valores) na Equacao (1)permite calcular os respectivos auto vetores.

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    Diagonalizacaode Operadores

    Diagonalizacaode MatrizesSimetricas

    ifpb Exemplos

    Prob. Resolv. 6.2.1-1, pg. 279

    Exemplo (T (x , y , z) = (3x y + z ,x + 5y z , x y + 3z).)

    A =

    3 1 11 5 11 1 3

    ,determinando o polinomio caracterstico p():

    p() = det (A I) ,

    = det

    3 1 11 5 11 1 3

    = 0,= 3 112 + 36 36 = 0 1 = 2, 2 = 3, 3 = 6.

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    Diagonalizacaode Operadores

    Diagonalizacaode MatrizesSimetricas

    ifpb Exemplos

    Prob. Resolv. 6.2.1-1, pg. 279T (x , y , z) = (3x y + z ,x + 5y z , x y + 3z).Exemplo (T (x , y , z) = (3x y + z ,x + 5y z , x y + 3z).)Determinando os auto vetores: 3 1 11 5 1

    1 1 3

    xyz

    = 00

    0

    ,1 = 2

    1 1 11 3 11 1 1

    xyz

    = 00

    0

    ,

    x y +z = 0,x +3y z = 0,x y +z = 0,

    x = z ; y = 0,

    v1 = (x , 0,x) = x(1, 0,1), x R, x 6= 0 .7 / 39

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    Diagonalizacaode Operadores

    Diagonalizacaode MatrizesSimetricas

    ifpb Exemplos

    Prob. Resolv. 6.2.1-1, pg. 279

    Exemplo (T (x , y , z) = (3x y + z ,x + 5y z , x y + 3z).)Determinando os auto vetores:

    2 = 3 0 1 11 2 1

    1 1 0

    xyz

    = 00

    0

    ,

    0x y +z = 0,x +2y z = 0,x y +0z = 0,

    y = x ; z = x ,

    v2 = (x , x , x) = x(1, 1, 1), x R, x 6= 0.

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    Propriedadesdos AutoValores e AutoVetores

    Diagonalizacaode Operadores

    Diagonalizacaode MatrizesSimetricas

    ifpb Exemplos

    Prob. Resolv. 6.2.1-1, pg. 279

    Exemplo (T (x , y , z) = (3x y + z ,x + 5y z , x y + 3z).)Determinando os auto vetores:

    3 = 6 3 1 11 1 1

    1 1 3

    xyz

    = 00

    0

    ,3x y +z = 0,x y z = 0,x y 3z = 0,

    y = 2x ; z = x ,

    v3 = (x ,2x , x) = x(1,2, 1), x R, x 6= 0.

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    Diagonalizacaode Operadores

    Diagonalizacaode MatrizesSimetricas

    ifpb Exemplos

    Prob. Resolv. 6.2.1-3, pg. 285

    Exemplo (T (x , y) = (16x + 10y ,16x + 8y).)Determinando os auto vetores:

    det

    [ 16 1016 8

    ]= 0,

    2 + 8+ 32 = 0 1 = 4 + 4;2 = 4 4,

    como as razes sao complexas e pela definicao o auto valor e um numero real associado ao auto vetor, este operador naopossui auto valores nem auto vetores.

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    Diagonalizacaode Operadores

    Diagonalizacaode MatrizesSimetricas

    ifpb Propriedades dos auto vetores e auto valores

    P1 - O vetor v e tambem um auto vetor associadoao mesmo auto valor .

    T (v) = v,

    T (v) = T (v) = v = (v).

    P2 - O conjunto S de todos os vetores v V , inclu-sive o vetor nulo, associados ao auto valor , eum subespaco vetorial de V . Seja v1, v2 S:

    T (v1 + v2) = T (v1) + T (v2) = (v1 + v2) ,

    logo v1, v2 S. O subespaco S = {v|T (v) =v} e chamado de auto espaco associado a .

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    Propriedadesdos AutoValores e AutoVetores

    Diagonalizacaode Operadores

    Diagonalizacaode MatrizesSimetricas

    ifpb Propriedades dos auto vetores e auto valores

    Exemplo (Seja = 6 associado ao auto vetor v = x(5, 2).)

    O auto espaco associado a = 6 e:

    S6 = {x(5, 2)|x R} = [(5, 2)],

    seu auto espaco e dado pela reta que passa pela origem daFigura abaixo.

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    Diagonalizacaode Operadores

    Diagonalizacaode MatrizesSimetricas

    ifpb Propriedades dos auto vetores e auto valores

    P3 - Matrizes semelhantes tem o mesmo polinomiocaracterstico e os mesmos auto valores.

    [T ]B = M1 [T ]A M,M = [I]BA :

    det ([T]B I) = det(M1 [T ]A M I

    )= det

    (M1 [T ]A M M1IM

    )= det

    (M1 ([T ]A I) M

    )= det M1 det ([T ]A I) det M= det M1 det M det ([T ]A I)= det

    (M1M

    )det ([T ]A I)

    det ([T]B I) = det ([T ]A I) .

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    Diagonalizacaode Operadores

    Diagonalizacaode MatrizesSimetricas

    ifpb Diagonalizacao de Operadores

    Introducao

    Seja um operador T : V V ;Uma base B V corresponde a uma matriz [T]B ;Pode-se ter a matriz [T]B representada por uma matrizmais simples;

    A mais simples representacao de [T]B e uma matriz dia-gonal.

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    Diagonalizacaode Operadores

    Diagonalizacaode MatrizesSimetricas

    ifpb Propriedade

    Auto vetores associados a auto valores distintos de umoperador T : V V sao L.I.Prova

    Sejam T (v1) = 1v1 e T (v2) = 2v2, com 1 6= 2 ea1v1 + a2v2 = 0, v1, v2 6= 0; (2)

    Pela linearidade:

    a1T (v1) + a2T (v2) = 0,

    a11v1 + a22v2 = 0, (3)

    (2) 1 a11v1 + a21v2 = 0, (4)(3) (4) a2(2 1)v2 = 0,

    2 1 6= 0, a2 = 0,a2 (2) a1 = 0.

    O conjunto {v1, v2} e L.I.15 / 39

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    Propriedadesdos AutoValores e AutoVetores

    Diagonalizacaode Operadores

    Diagonalizacaode MatrizesSimetricas

    ifpb Exemplos

    Exemplo (T (x , y) = (3x 5y , 2y).)

    A =

    [ 3 50 2

    ] det

    [ 3 50 2

    ]= 0,

    p() = 2 + 6 = 0,

    como 1 = 2 6= 2 = 3, [v1, v2] = R2.[ 3 50 2

    ] [xy

    ]=

    [00

    ],

    1 = 2 v1 = x(1,1),2 = 3 v2 = x(1, 0),

    [(1,1), (1, 0)] = R2.

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    Diagonalizacaode MatrizesSimetricas

    ifpb Exemplos

    Prob. Resolv. 6.4.2-4, pg. 292 OBS: Dada a base formadapelos auto vetores e o conhecimento dos auto valoresassociados, podemos determinar o operador T .

    Exemplo (1 = 2, 2 = 3, v1 = (1,1), v2 = (1, 0).)

    (x , y) = av1 + bv2 = a(1,1) + b(1, 0),a = y , b = x y ,

    (x , y) = y(1,1) + (x y)(1, 0),T (x , y) = yT (1,1) + (x y)T (1, 0),

    = y(2)(1,1) + (x y)(3)(1, 0),T (x , y) = y(2,2) + (x y)(3, 0) = (3x 5y , 2y).

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    Diagonalizacaode Operadores

    Diagonalizacaode MatrizesSimetricas

    ifpb Exemplos

    Prob. Resolv. 6.4.2-4, pg. 292 - Observacoes:

    Exemplo (1 = 2, 2 = 3, v1 = (1,1), v2 = (1, 0).)Seja a base encontrada P = {(1,1), (1, 0)}, temos que:

    T (1,1) = 1(1,1) + 0(1, 0) = 2(1,1) + 0(1, 0),= (2,2),

    T (1, 0) = 0(1,1) + 2(1, 0) = 0(1,1) 3(1, 0),= (3, 0),

    que leva a matriz do operador T na base P, [T]P :

    [T]P =

    [2 00 3

    ],

    uma matriz diagonal cuja diagonal sao os auto valores 1, 2.18 / 39

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    Diagonalizacaode Operadores

    Diagonalizacaode MatrizesSimetricas

    ifpb Propriedade

    Seja T em Rn com uma base de auto vetores B = {v1, . . . , vn},associados a distintos auto valores {1, . . . , n}. Sabendo que:

    T(v1) = 1v1 + 0v2 + + 0vn,T(v2) = 0v1 + 2v2 + 0v3 + + 0vn,

    ... =...

    T(vn) = 0v1 + 0v2 + + nvn.O que leva a matriz diagonal, de dimensao n n, do operadorT na base B, [T]P :

    [T]P =

    1 0 00 2 0...

    ... ...0 0 n

    = D,cujos elementos sao os auto valores i , i = 1, . . . , n.

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    Propriedadesdos AutoValores e AutoVetores

    Diagonalizacaode Operadores

    Diagonalizacaode MatrizesSimetricas

    ifpb Propriedade

    Seja A a matriz canonica do operador T , ou seja, [T] = A, asmatrizes A e D sao semelhantes por representarem T em basesdiferentes, o que leva a:

    D = M1AM,

    sendo M = [I]PC a matriz de mudanca da baseP = {v1, v2, , vn} para a canonica C = {e1, e2, , en}.Lembrando que:

    M = [I]PC = C1P = I1P = P.

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    Propriedadesdos AutoValores e AutoVetores

    Diagonalizacaode Operadores

    Diagonalizacaode MatrizesSimetricas

    ifpb Propriedade

    Seja A a matriz canonica do operador T , ou seja, [T] = A, asmatrizes A e D sao semelhantes por representarem T em basesdiferentes, o que leva a:

    D = P1AP, (5)

    sendo P a matriz cujas colunas sao os auto vetoresP = {v1, v2, , vn} do operador T .A partir de (5), temos a seguinte definicao:

    Definicao

    A matriz quadrada A e diagonalizavel se existe uma matrizinversvel P, tal que P1AP e uma matriz diagonal.

    Quando isto se verifica, dizemos entao que P diagonaliza A ouque P e diagonalizadora.

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    Propriedadesdos AutoValores e AutoVetores

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    Diagonalizacaode MatrizesSimetricas

    ifpb Exemplos

    Prob. Resolv. 6.4.4-5, pg. 294

    Exemplo (Determinar a matriz diagonalizadora P)

    Seja a matriz A:

    A =

    3 1 11 5 11 1 3

    ,ja calculamos os auto valores desta matriz:

    1 = 2 v1 = (1, 0,1),2 = 3 v2 = (1, 1, 1),3 = 6 v3 = (1,2, 1),

    com i distintos, P = {v1, v2, v3} formam uma base de R3.22 / 39

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    Determinacaodos AutoValores e AutoVetores

    Propriedadesdos AutoValores e AutoVetores

    Diagonalizacaode Operadores

    Diagonalizacaode MatrizesSimetricas

    ifpb Exemplos

    Prob. Resolv. 6.4.4-5, pg. 294

    Exemplo (Determinar a matriz diagonalizadora P)

    v1 = (1, 0,1), v2 = (1, 1, 1), v3 = (1,2, 1);1 = 2, 2 = 3, 3 = 6.

    P =

    1 1 10 1 21 1 1

    P1 = 12 0 121

    313

    13

    16 13 16

    ,D =

    12 0 1213

    13

    13

    16 13 16

    3 1 11 5 11 1 3

    1 1 10 1 21 1 1

    ,=

    2 0 00 3 00 0 6

    .23 / 39

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    Propriedadesdos AutoValores e AutoVetores

    Diagonalizacaode Operadores

    Diagonalizacaode MatrizesSimetricas

    ifpb Exemplos

    Prob. Resolv. 6.4.4-6, pg. 296

    Exemplo (Determinar uma base diagonal a T (x , y) = (4x +5y , 2x + y))

    v1 = x(5, 2), v2 = x(1,1), 1 = 6, 2 = 1.

    A =

    [4 52 1

    ],

    logo P = {(5, 2), (1,1)}, e a matriz que diagonaliza A e:

    P =

    [5 12 1

    ] P1 =

    [1/7 1/72/7 5/7

    ],

    P1AP = D =[

    6 00 1

    ].

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    Propriedadesdos AutoValores e AutoVetores

    Diagonalizacaode Operadores

    Diagonalizacaode MatrizesSimetricas

    ifpb Exemplos

    Prob. Resolv. 6.4.4-7, pg. 297

    Exemplo (Determinar P que diagonaliza A)

    Dada:

    A =

    2 1 00 1 10 2 4

    ,Solucao:Calculando p():

    p() = det

    2 1 00 1 10 2 4

    = 0,p() = (2 )(2 )(3 ) = 0,

    1 = 2 2 = 3. 25 / 39

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    Propriedadesdos AutoValores e AutoVetores

    Diagonalizacaode Operadores

    Diagonalizacaode MatrizesSimetricas

    ifpb Exemplos

    Prob. Resolv. 6.4.4-7, pg. 297

    Exemplo (Determinar P que diagonaliza A)

    1 = 2 2 = 3.

    Calculando os auto vetores: 2 1 00 1 10 2 4

    xyz

    = 00

    0

    ,o que resulta em {v1 = (1, 0, 0), v2 = (1, 1,2)}, para os res-pectivos auto valores 1 = 2, 2 = 3. Os vetores encontradosnao formam uma base de auto vetores que gera R3, portantoA nao e diagonalizavel.

    26 / 39

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    Sumario

    Introducao

    Determinacaodos AutoValores e AutoVetores

    Propriedadesdos AutoValores e AutoVetores

    Diagonalizacaode Operadores

    Diagonalizacaode MatrizesSimetricas

    ifpb Exemplos

    Prob. Resolv. 6.4.4-9, pg. 306

    Exemplo (Determinar P que diagonaliza A)

    A =

    1 0 20 0 02 0 4

    ,Calculando p():

    p() = det

    1 0 20 02 0 4

    = 0,p() = 3 + 52 = 2(5 ) = 0,

    1 = 0, 2 = 0, 3 = 5.

    27 / 39

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    Sumario

    Introducao

    Determinacaodos AutoValores e AutoVetores

    Propriedadesdos AutoValores e AutoVetores

    Diagonalizacaode Operadores

    Diagonalizacaode MatrizesSimetricas

    ifpb Exemplos

    Prob. Resolv. 6.4.4-9, pg. 306

    Exemplo (Determinar P que diagonaliza A. 1 = 0, 2 =0, 3 = 5.)

    Calculando os auto vetores: 1 0 20 02 0 4

    xyz

    = 00

    0

    ,para 1 = 2 = 0. Os vetores encontrados sao:{

    x 2z = 02x + 4z = 0 z =

    x

    2, y R.

    assim temos auto vetores v =(x , y , x2

    ), associados aos auto

    valores 1 = 2 = 0.28 / 39

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    Sumario

    Introducao

    Determinacaodos AutoValores e AutoVetores

    Propriedadesdos AutoValores e AutoVetores

    Diagonalizacaode Operadores

    Diagonalizacaode MatrizesSimetricas

    ifpb Exemplos

    Prob. Resolv. 6.4.4-9, pg. 306

    Exemplo (Determinar P que diagonaliza A. 1 = 2 =0, 3 = 5.)

    Calculando os auto vetores:Com auto vetores v =

    (x , y , x2

    ), associados aos auto valores

    1 = 2 = 0, se atribuirmos valores para x e y , como porexemplo:

    x = 2, y = 0 v1 = (2, 0, 1), 1 = 0,x = 0, y = 1 v2 = (0, 1, 0), 2 = 0,

    3 = 5 4x 2z = 0

    5y = 02x z = 0

    ,

    y = 0, z = 2x v3 = x(1, 0,2) = (1, 0,2)[v1, v2, v3] = R3. 29 / 39

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    Introducao

    Determinacaodos AutoValores e AutoVetores

    Propriedadesdos AutoValores e AutoVetores

    Diagonalizacaode Operadores

    Diagonalizacaode MatrizesSimetricas

    ifpb Exemplos

    Prob. Resolv. 6.4.4-9, pg. 306

    Exemplo (Determinar P que diagonaliza A. 1 = 2 =0, 3 = 5.)

    Logo, a matriz P que diagonaliza a matriz Ae a que tem como colunas os auto vetores(v1 = (2, 0, 1), v2 = (0, 1, 0), v3 = (1, 0,2)).

    P =

    2 0 10 1 01 0 2

    P1 = 2/5 0 1/50 1 0

    1/5 0 2/5

    30 / 39

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    Diagonalizacaode MatrizesSimetricas

    ifpb Exemplos

    Prob. Resolv. 6.4.4-9, pg. 306

    Exemplo (Determinar P que diagonaliza A. 1 = 2 =0, 3 = 5.)

    D = P1AP,

    =

    2/5 0 1/50 1 01/5 0 2/5

    1 0 20 0 02 0 4

    2 0 10 1 01 0 2

    ,=

    0 0 00 0 00 0 5

    .

    31 / 39

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    Diagonalizacaode Operadores

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    ifpb Diagonalizacao de Matrizes Simetricas

    Propriedades

    P1 - A equacao caracterstica de uma matriz simetricatem apenas razes reais:

    Prova

    Vamos considerar uma matriz simetrica de ordem 2:

    A =

    [p rr q

    ],

    p() = det

    [p rr q

    ]= 0,

    = (p )(q ) r2 = 2 (p + q)+ pq r2,

    com discriminante (p + q)2 4(pq r2) = (p q)2 + 4r2,sempre positivo, levando assim a razes reais.

    32 / 39

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    ifpb Diagonalizacao de Matrizes Simetricas

    Propriedades

    P2 - Se T : V V e simetrico, com auto valoresdistintos, entao os auto vetores sao ortogonais.

    Prova

    Sejam 1 6= 2, com T (v1) = 1v1,T (v2) = 2v2, devemosprovar que v1, v2 = 0. Lancando mao da propriedade deopreadores simetricos:

    T (v1), v2 = v1,T (v2),1v1, v2 = v1, 2v2,1v1, v2 = 2v1, v2,

    (1 2)v1, v2 = 0,

    como 1 6= 2, v1, v2 = 0, os auto vetores sao ortogonais.33 / 39

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    Diagonalizacaode MatrizesSimetricas

    ifpb Diagonalizacao de Matrizes Simetricas

    Propriedades

    P3 - A matriz P que diagonaliza a matriz A edada por D = P1AP;Se A e simetrica, entao P sera ortogonal;E conveniente que a matriz seja ortonor-mal. Sendo assim, P1 = Pt .

    Logo:D = PtAP.

    34 / 39

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    Prob. Resolv. 6.5.2-8, pg. 301

    Exemplo (Determinar P ortogonal que diagonaliza a matrizsimetrica A.)

    A =

    7 2 02 6 20 2 5

    ,

    p() = det

    7 2 02 6 20 2 5

    = 0,(6 )( 3)( 9) = 0,1 = 3, 2 = 6, 3 = 9.

    35 / 39

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    Prob. Resolv. 6.5.2-8, pg. 301

    Exemplo (Determinar P ortogonal que diagonaliza a matrizsimetrica A.)

    1 = 3, 2 = 6, 3 = 9. Calculando os auto vetores:

    1 = 3

    4x 2y +0z = 02x +3y 2z = 0

    0x 2y +2z = 0,

    y = 2x , z = 2x v1 = x(1, 2, 2),

    fazendo x = 1 e normalizando v1, tem-se u1 =(

    13 ,

    23 ,

    23

    ).

    36 / 39

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    Propriedadesdos AutoValores e AutoVetores

    Diagonalizacaode Operadores

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    ifpb Exemplos

    Prob. Resolv. 6.5.2-8, pg. 301

    Exemplo (Determinar P ortogonal que diagonaliza a matrizsimetrica A.)

    1 = 3, 2 = 6, 3 = 9. Calculando os auto vetores:

    2 = 6

    x 2y +0z = 02x +0y 2z = 0

    0x 2y z = 0,

    y = x/2, z = x v2 = x(

    1,1

    2,1

    ),

    fazendo x = 1 e normalizando v2, tem-se u2 =(

    23 ,

    13 ,23

    ).

    37 / 39

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    Propriedadesdos AutoValores e AutoVetores

    Diagonalizacaode Operadores

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    ifpb Exemplos

    Prob. Resolv. 6.5.2-8, pg. 301

    Exemplo (Determinar P ortogonal que diagonaliza a matrizsimetrica A.)

    1 = 3, 2 = 6, 3 = 9. Calculando os auto vetores:

    3 = 9 2x 2y +0z = 02x 3y 2z = 0

    0x 2y 4z = 0,

    y = x , z = x/2 v3 = x(

    1,1, 12

    ),

    fazendo x = 1 e normalizando v3, tem-se u3 =(

    23 ,23 , 13

    ).

    38 / 39

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    ifpb Exemplos

    Prob. Resolv. 6.5.2-8, pg. 301

    Exemplo (Determinar P ortogonal que diagonaliza a matrizsimetrica A.)

    1 = 3, 2 = 6, 3 = 9,u1 =(

    13 ,

    23 ,

    23

    ),u2 =(

    23 ,

    13 ,23

    ),u3 =

    (23 ,23 , 13

    )A matriz P e:

    P =

    1/3 2/3 2/32/3 1/3 2/32/3 2/3 1/3

    ,D = PtAP =

    1/3 2/3 2/32/3 1/3 2/32/3 2/3 1/3

    7 2 02 6 20 2 5

    1/3 2/3 2/32/3 1/3 2/32/3 2/3 1/3

    = 3 0 00 6 0

    0 0 9

    .39 / 39

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