14379-apostila oper unitarias ifam

8/2/2019 14379-Apostila Oper Unitarias Ifam

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OPERAES UNITRIAS I: SISTEMAS PARTICULADOS

ObjetivosApresentar os princpios fundamentais envolvidos nas operaes unitrias relacionadas a

sistemas particulados, de forma a permitir tanto o projeto quanto a anlise do desempenho deequipamentos que lidam com estes sistemas.

EmentaFundamentos. Caracterizao de partculas e de sistemas particulados. Dinmica da

interao slido-fluido. Aplicaes a sistemas diludos. Separao slido-fluido: Elutriao,cmaras de poeira, ciclones, centrifugas, e hidrociclones. Separaes slido-slido:Peneirao, Classificao Jigagem, Flotao. Aplicaes a sistemas concentrados:escoamento monofsico em meios porosos, filtrao, sedimentao, fluidizao, transportepneumtico, e hidrulico de partculas. Escoamento bifsico em meios porosos.

Livro texto:Fluidodinmica em Sistemas Particulados. Massarani, G. 2a edio e-papers,Rio de Janeiro, 2002.Bibliografia:Perry, R.H.; and Green, D.W. Perrys Chemical Engineering Handbook. 5a edio.McGraw-Hill, New York. 1999Allen, T. ; Particle Size Measurement. 3a edio. Chapman and Hall, 1981.Coulson, J.M. and Richardson, J.F. :Chemical Engineering, vol. 2 3a edicao. PergamonPress, Oxford, 1978.Kunii, e Levenspiel; Fluidization Engineering. J. Wiley. 1969.

Svarovsky, L.; Solid-Gas Separation. Elsevier Scientific P. Co. 1981.Wills, B. A. Mineral Processing Technology. 4a Edicao. Pergamon Press, Oxford, 1988.Converso de unidades. http://www.gordonengland.co.uk/conversion/Fontes adicionais de informao:1. Science direct. (www.sciencedirect.com/) Acesso direto a artigos das principais

revistas tcnicas e cientficas do mundo.2. Capes. (www.periodicos.capes.gov.br/)3. Brazilian Journal of Chemical Engineering.4. Revistas especficas sobre sistemas particulados:

Powder Technology Particulate Systems

International Journal of Mineral Processing Journal of Porous Media

OPERAES UNITRIAS I: SISTEMAS PARTICULADOS NOTAS DE AULAS... ............1OPERAES UNITRIAS I ...............................................................................................1

1
http://www.sciencedirect.com/http://www.sciencedirect.com/


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I. Partculas e Distribuies de Tamanhos.................................................................. .........3I.1 Caracterizao de Partculas Isoladas....................................................................3I.2.Estatstica de Partculas: distribuies........................................................... ...........4I.3 Determinao Experimental da Distribuio de Tamanhos.............................. .......5I.4 Balanos Materiais..................................................................................................7

II.PENEIRAO............................................................................................. ......................8III. COMINUIO, MOAGEM................................................................. ..............................9

III.1 Introduo...................................................................................................... ............9III.2 Moagem Primria.......................................................................................................9III.3 Moagem Secundria................................................................................................10III.4 Moagem Autgena...................................................................................................10III.5 Consumo de Energia e Potencia para Reduo de Tamanhos............. ..................10

IV. DINMICA DA INTERAO SLIDO-FLUIDO............................................................11IV.1 Movimento da Partcula.............................................. ............................................ 11IV.1.1Regime de Stokes, de Newton e Intermedirio....... .............................................12IV.2 VelocidadeTerminal.................................................. ...............................................13IV.3Dimetro de Sedimentao.................................... .................................................14IV.4Efeito de Parede.................................................... ..................................................15IV.5Efeito da Concentrao de Partculas ....................... Erro! Indicador no definido.IV.6Partculas em Fluidos no-Newtonianos .................................................................17

V. DECANTAO E SEPARAO SLIDO-FLUIDO.......................................................18V.1Cmara de Poeira.....................................................................................................18V.2Projetos de Ciclones Industriais................................................................................19IV.3 Hidrociclones............................................................................................................22

VI INTRODUO AO BENEFICIAMENTO DE MINRIOS ...............................................23VI.1 Elutriaao .................................................................................................................24VI.2 Flotao ...................................................................................................................25VI.3 Jigagem....................................................................................................................28

VII SISTEMAS PARTICULADOS........................................................................................28VII.1Balanos de massa.................................................................................................28VII.2 Balanos de Momento ............................................................................................30VII.3 Escoamentos atravs de Meios Porosos ...............................................................31VII.4 Permeabilidade.......................................................................................................33VII .5 Escoamentos de Fluidos No-Newtonianos..........................................................35VII.6 Aplicaes...............................................................................................................35

VIII FLUIDIZAO..............................................................................................................36VIII.1Teoria da Fluidizao.............................................................................................37VIII.2Tipos de Fluidizao a Gs ...................................................................................38VIII.3 Teoria das Duas Fases........................ ..... ............................................................39VIII.4Mistura e Segregao............................ ..... ..........................................................40

IXSEPARAO DE FASES...............................................................................................41IX.1Referencias e Aspectos Gerais ...............................................................................41IX.2 Sedimentao em Batelada.....................................................................................42IX.3Sedimentao Contnua..................................................... .....................................44IX.4FILTRAO..............................................................................................................46 Seleo de um sistema de filtrao....................................................................... .........46Teoria simplificada da filtrao com formao de torta.......................................... ........47Filtrao a presso constante.........................................................................................48Lavagem da torta............................................................................................................49Produo mxima, dimensionamento de um filtro..........................................................49IX.5Filtrao em filtro rotativo......................................................................................... 51IX.6 Avaliao da teoria simplificada...............................................................................51

IX.7 Filtrao em leito granular .......................................................................................52

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I. Partculas e Distribuies de TamanhosEsta disciplina trata de diversos sistemas, operaes e equipamentos nos quais h a

participao de uma fase descontnua, composta por partculas slidas, ou gotas de umlquido, quase sempre interagindo com uma fase gasosa ou lquida. A primeira destas duasser denominada fase particulada, e a segunda de fase contnua ou fluida. Suasaplicaes vo desde o controle da emisso de particulados para a atmosfera ao projeto deprocessos e de equipamentos comuns a diferentes indstrias de processamento qumico.

possvel fazer a distino entre os mtodos de estudo dos sistemas particulados porsua faixa de aplicao a sistemas diludos e sistemas concentrados. Nos sistemas diludos aateno dirigida fase particulada, e o estudo das possveis interaes slido-fluido tem porbase o que acontece a uma partcula isolada, uma vez que estas esto distantes, uma dasoutras, e os efeitos da concentrao de partculas so pequenos e podem, quandonecessrio, ser considerados como correes a serem introduzidas nos resultadossimplificados. No outro extremo tm-se os sistemas concentrados, para os quais as duasfases interagem fortemente, tornando-se mais eficiente a abordagem do sistema por seusparmetros macroscpicos, e menosprezando-se o comportamento individual das partculas.Com esta abordagem estudam-se os escoamentos em meios porosos em particular ou a

teoria mecnica de sistemas multifsicos.Na primeira parte deste curso trataremos dos sistemas diludos visando descrio dos

processos de arraste e coleta de slidos particulados. Antes porem necessrio acaracterizao das partculas isoladamente e em conjunto.

I.1 Caracterizao de Partculas Isoladas

Consideramos uma amostra de partculas, a cada uma delas podemos associar certaspropriedades, algumas das quais esto listadas no seguinte quadro.

propriedade smbolo descrio unidadesdensidade p massa /p.u.volume Kg/m

3 (g/cm3)

tamanho Dp, L uma dimenso linear m; mm; m, nmrea superficial Sp rea da superfcie m2; mm2; m2, nm2

volume Vp m3; mm3; m3, nm3

esfericidade sem dimensomassa mp p pm / V = p Kg; g

A esfericidade um fator de forma definido como a relao entre a rea superficial daesfera de mesmo volume e a rea superficial da partcula.

23

p

p

6V

S

=

.

1,

Uma vez que a esfera o slido de menor rea superficial, conclui-se que 0 e =1se e apenas quando a partcula esfrica.

Exerccio 1.Calcule a esfericidade de um cubo e de um paraleleppedo com arestas l, l, e 1,5l.Partculas irregulares so caracterizadas por diferentes tipos dimenses lineares,

denominadas dimetros ou tamanhos.Alguns destes so apresentados a seguir:

Dimetro da esfera de mesmo volume que a partcula

13

p p

6D V

= ;

D# dimetro de peneira, valor mdio das aberturas de malhas de peneirasconsecutivas pelas quais a partcula passa e retida ( )1# 2D D D+ = + ;

3


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Dimetro de Ferret, DFe, valor mdio da distancia entre tangentes paralelas reaprojetada da partcula. Obtido por microscopia;

Dimetro de sedimentao Dsed, dimetro da esfera de mesma densidade, quesedimenta com a mesma velocidade que a partcula;

Dimetro de Stokes dimetro de sedimentao no regime de Stokes;

I.2. Estatstica de Partculas: distribuiesUma amostra de um sistema particulado conter partculas de diferentes tamanhos. Assim

poderemos observar, ou medir as distribuies associadas a cada uma das seguintesquantidades:

1. nmero de partculas,2. massa total da amostra,3. volume total da amostra,4. rea superficial de todas as partculas,5. tamanho, soma dos tamanhos individuais.

As distribuies estatsticas tm por base a quantidade de partculas associadas a uma

determinada propriedade de seu conjunto, ou de uma amostra. Alguns exemplos serviropara elucidar estas questes. Nmero de partculas com massa menor que m, ( )pN m ;

Frao numrica de partculas com massa menor que m, ;( )pn m

Massa de partculas com massa menor que m, ( )pM m ;

Frao ponderal de partculas com massa menor que m, ;( )pX m

Volume de partculas com massa menor que m, ( )pV m ;

Frao volumtrica de partculas com massa menor que m, ;( )pv m

Distribuies associadas rea superficial, ou ao tamanho podem tambm ser definidas.O argumento das distribuies apresentadas pode ser outro no lugar da massa. Assimpodemos falar de ( ) ( ) ( )p pN V , ou M S , ou M Dp para:

o nmero de partculas com volume menor que V; a massa de partculas com rea superficial menor que S; a massa de partculas com tamanho menor que D.

A distribuio mais freqentemente utilizada na descrio de sistemas particulados aquela que representa a frao ponderal de partcula com dimetros menores que D,denominada distribuio granulomtrica.

As derivadas destas distribuies em relao aos respectivos argumentos representam:

( )( )

( ) ( )dX D

x D , x D dD dX DdD = = frao de partculas com dimetros entreD e D+dD.

A inversa desta relao determina a distribuio original.

( ) ( )D

0

X D x D dD.= (I.2.1)

As duas funes ( ) (X D , e x D ,)

expresso aplica-se a dimetros compreendidos entre .

possuem a mesma informao, pois o conhecimento de

uma delas fornece o conhecimento da outra atravs de uma simples operao matemtica.Anlise granulomtrica diz respeito a uma tcnica experimental que visa a determinao

da distribuio de tamanho de partculas de uma dada amostra. Expresses matemticas

para distribuies so mltiplas, e quase todas so contnuas, i.e. o argumento da expresso um nmero real variando numa faixa de valores conhecidos. Assim, por exemplo, a

min maxD D D Existem muitos

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analisadores de distribuio de tamanhos de partculas, que ara o controle daproduo de ps. Em diversos setores industriais como: cimentos e cermicos; corantes epigmentos; alimentos; frmacos; e muitos outros o controle da distribuio granulomtrica crtica.

As tcnicas mais empregadas para medida de distribuies granulomtricas so:

so usados p

a anlise de peneiras [ ]200 m D 20mm

observao microscpica difrao de laser[ ]0,04 m D 2000 m

Algum e as para as distribuies granulomtricas so dadas abaixo.as xpresses analtici). Distribuio de Weibull a trs parmetros:

( )D D

X D 1 exp 0,

, D D, D 0,

D

>

(I.2.2)

= >

( )1

D D D Dx D exp

D D D

=

. (I.2.3)

um dimetro inferior de corte para o qual se supe que inexistam partculas menoresD porD

, e so parmetros indicativos da disperso das partculas, e devem ser determinadosajuste aos dados da distribuio de tamanhos.ii). Distribuio de Weibull a 2 parmetros

a que resulta quando se faz D 0= , i.:

( )D

X D 1 exp 0, = , D 0, D 0,

D > >

(I.2.4)

( )

1D D

x D exp .D D D

= (I.2.5)

Estas duas distribuies so muito utilizadas para as distribuies de tamanho de partculas.riii) Distribuio lognormal A distribuio norma no deve ser utilizada por no faze

sentido seu ramo negativo. Uma varivel X de distribuio lognormal se Y =lnX dedistribuio normal,

( )( )

21

x D2

lnDexp , D 0, 0.

2 D 2

= >

(I.2.6)

( )lnD

X D , =

(I.2.7)

I.3 Determinao Experimental da Distribuio de Tamanhos

Anlise deis simples e diretas para a determinao da distribuio de tamanho

de

PeneiraUma das tcnicas mauma amostra de partculas a anlise de peneiras. Peneiras padronizadas, com malhas

precisas, formando uma srie com abertura de malhas cada vez mais finas. As peneirasselecionadas so empilhadas, como mostra a figura, e colocadas sobre um vibrador, aamostra sendo colocada na peneira superior, a mais aberta.

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As peneiras ficam encaixadas sobre uma panela destinada a recolher a parcela departculas mais finas, que passam por todas as malhas das peneiras. Aps certo tempo,previamente determinado retira-se e pesa-se o material retido em cada uma das peneiras dosistema.

As peneiras de serie Tyler so produzidas de diferentes materiais, formando uma malha

quadrada com aberturas que decrescem na proporo de 42, ou 2 .Exemplo 2. A seguinte seqncia de uma srie Tyler dada, com resultados de uma

anlise. Para esta anlise determine as curvas de x(D) e a distribuio cumulativa, X(D), eainda determine os parmetros timos para a distribuio de Weibull.

Peneira#

Abertura(m)

Massaretida(g)

Peneira#

Abertura(m)

Massaretida(g)

4 4750,0 8,8534 50 299,9 51,2316 3350,0 21,592 60 248,8 26,978 2360,0 39,33 80 178,9 21,708

12 1680,0 60,048 100 148,9 17,44516 1180,0 79,764 140 105,0 15,17820 850,9 87,026 200 74,1 15,89430 601,0 71,288 270 53,0 17,6140 426,1 66,549 fundo 0 12,08

Difrao de LaserAnalisadores da distribuio de tamanhos de partculas por difrao de laser so

empregados para o controle da produo de ps em todas as situaes onde o estado dadistribuio determinante da qualidade do produto. Entre estas exclui se a produo demateriais cermicos, de frmacos e de alimentos.

Os analisadores por difrao de laser do resultados rpidos, seguros e precisos sobre adistribuio de tamanhos permitindo o controle de qualidade. Produzem resultados bem

precisos na anlise de partculas numa larga faixa de tamanhos desde 0,1 mcron at 2mm.

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Malvern um dos produtores de sistemas automticos para esta faixa de tamanhos. APolymer Laboratories lanou recentemente um sistema que alcana a faixa denonopartculas, compreendendo de 5nm ate 300nm.

I.4 Balanos Materiais

Consideremos uma corrente de particulados com distribuio de tamanhos conhecida quealimenta um sistema de separao por tamanhos. O sistema possui uma alimentao A, comvazo mssica MA, e produtos de topo T, e de fundo F, respectivamente com vazesmssicas MT, e MF

..Balano Global: (para o regime permanente)

A TM M M= + F. (I.2.8)Balano de partculas com dimetros na faixa D e D+dD

( ) ( ) ( )A A T T F F

A A T T F F

M x D dD M x D dD M x D dD, ou

M x M x M x .

= +

= + (I.2.9)

Quanto da alimentao retirado pelo fundo dado pela relao Com ela

podemos escrever o balano acima sob a forma:

F F AR M /M= .

( )A F T Fx 1 R x R x= + F.

T

(I.2.10)

Note que a situao em que A Ff f f= = representa uma soluo trivial, para a qual osistema nada faz; os dois produtos de fundo e de topo so idnticos entrada.

A eficincia de coleta das partculas definida pela relao entre o que sai pelo fundosobre a alimentao.

( ) F F A AD M x /M x = . (I.2.11)

F A TF F

1x x , x

R 1 R

= =

Ax .

(I.2.12)

Note que esta eficincia depende do tamanho da partcula. Partculas diferentes serocoletadas com eficincias diferentes. Em geral a eficincia de coleta maior para as maiorespartculas. Conhecida uma expresso para a eficincia de coleta em funo do dimetropodemos calcular a eficincia mdia de coleta pela expresso:

( ) ( )A0

D x D dD.

= (I.2.13)

Outros arranjos de correntes de sistemas particulados so possveis. Alguns exemplosso:

1) Mistura de duas (ou mais) correntes PAi

1x

M= Ai AiM x .

(I.2.14)

2) Associao de separadores, pelo fundo ou pelo topo.Balano no primeiro separador

1 1A TM M M= +

1F,

1F,

A

1 ,

(I.2.15)1 1 1 1 1 1A A T T F FM x M x M x .= + (I.2.16)

Balano no segundo separador2 2 2 2A T F AM M M , M M= + = (I.2.17)1 1 2 2 2 2F F T T F FM x M x M x .= + (I.2.18)

Razes de fundo1 1 1 2 2 2 2 1F F A F F A FR M /M , R M /M M /M .= = = (I.2.19)

Eficincias de coleta( )1 1 1 1F F A AD M x /M x = (I.2.20)

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( )2 2 2 2F F A AD M x / M x =2 . (I.2.21)

As solues destas equaes do os seguintes resultados:1 1

1 1 1F A T1

F F

1x x , x

R 1 R

= =

1A1

x ;

(I.2.22)

2 22 1 2

F F T2F F

1

x x , xR 1 R

= =

1

F2 x ;

(I.2.23)2 1 2 1

2 1 2F A T2 1 2 1

F F F F

1x x , x

R R 1 R R

= =

1Ax . (I.2.24)

II. PENEIRAOSistemas de peneirao podem ser empregados para produzir de 2 a 4 correntes de

produtos. Uma boa capacidade alcanada pela vibrao circular no plano vertical.Usualmente so fabricadas de ao carbono ou ao inoxidvel, e ativadas por um motor comexcntrico ajustvel. Este ajuste permite caractersticas de vibrao diferentes, para uma

peneirao suave e grandes tempos de residncia, ou alta capacidade mesmo para materiaisde difcil tratamento. A capacidade das peneiras depende do seguinte:1. largura da rea onde o material est sendo alimentado;2. relao entre abertura da malha e tamanho das partculas;3. vibrao imposta peneira;4. inclinao da peneira.

Pode-se aumentar a capacidade da peneira aumentando a freqncia da vibrao, ou ongulo de sua inclinao. Usualmente as peneiras so calculadas para suportar 5g deacelerao.

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III. COMINUIO, MOAGEM

III.1 Introduo

Os termos reduo de tamanho, moagem, ou Cominuio referem-se a todas as

tcnicas pelas quais materiais slidos so cortados ou quebrados em pedaos menores,independentemente dos diferentes propsitos da reduo. Blocos de minrios soesmagados a tamanhos apropriados, materiais sintticos so modos e transformados emps, folhas de plsticos so cortadas em pequenos cubos. Na produo de polpa de papel amadeira feita em lascas de tamanho adequado para permitir um cozimento eficiente. Naproduo de cimento os materiais empregados como matria prima so modos at que adistribuio adequada de tamanhos de partculas seja obtida. A mistura ento queimadapara transformar-se no clinquer e este novamente modo. Na produo de tintas diversospigmentos so empregados. Uma vez que a tinta recobre a superfcie a ser pintada tomelhor quanto mais finamente modo estiver o pigmento, este deve ser eficientemente modo.

A reduo de tamanho das matrias-primas minerais consiste de trs fases:

mineraomoagem primaria ou britagemmoagem secundaria ou moagem

III.2 Moagem Primria

A moagem primria aplica-se diretamente ao material minerado, ou a qualquer outromaterial grosseiro e consiste de uma ou varias etapas de aplicao de presso ou de impactosobre o material com tamanho de partcula adequado para ser alimentado a um equipamentode moagem primaria. O tamanho mximo difere substancialmente com o equipamentoempregado, e o produto obtido possui comumente cerca de 10mm.

BritadoresPara a moagem primria so empregados trs classes de britadores: Britadores de mandbulas,Pesquisa Google: britadores de mandibulas Britadores giratrios,Pesquisa Google: britadores giratrios Britadores de rolos,Pesquisa Google: britadores de rolos Britadores de impactoPesquisa Google: britadores de impacto

Britadores de MandbulasBritadores de mandbulas operam sob o princpio de compresso. O material

comprimido entre uma superfcie fixa e outra mvel. As duas mandbulas formam uma cmarana forma de V, larga na parte superior, e estreita na parte baixa. A moagem se d nestacmara. A mandbula mvel est fixa em um ponto, e acionado por um excntrico. A carga

a ser moda introduzida no topo, a mandbula mvel se afasta e a carga desce. Nomovimento de retorno a mandbula comprime o material e resulta a moagem. No prximomovimento de abertura das mandbulas o material modo desce para uma abertura mais

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http://www.google.com.br/search?hl=pt-BR&q=britadores+de+mandibulas&btnG=Pesquisar&meta=lr%3Dlang_pthttp://www.google.com.br/search?hl=pt-BR&q=britadores+de+mandibulas&btnG=Pesquisar&meta=lr%3Dlang_pthttp://www.google.com.br/search?hl=pt-BR&q=Britadores+girat%C3%B3rios&btnG=Pesquisar&meta=lr%3Dlang_pthttp://www.google.com.br/search?hl=pt-BR&q=Britadores+girat%C3%B3rios&btnG=Pesquisar&meta=lr%3Dlang_pthttp://www.google.com.br/search?hl=pt-BR&q=Britadores+de+rolos&btnG=Pesquisa+Google&meta=cr%3DcountryBRhttp://www.google.com.br/search?hl=pt-BR&q=Britadores+de+rolos&btnG=Pesquisa+Google&meta=cr%3DcountryBRhttp://www.google.com.br/search?hl=pt-BR&q=Britadores+de+impacto&btnG=Pesquisar&meta=cr%3DcountryBRhttp://www.google.com.br/search?hl=pt-BR&q=Britadores+de+impacto&btnG=Pesquisar&meta=cr%3DcountryBRhttp://www.google.com.br/search?hl=pt-BR&q=Britadores+de+impacto&btnG=Pesquisar&meta=cr%3DcountryBRhttp://www.google.com.br/search?hl=pt-BR&q=Britadores+de+rolos&btnG=Pesquisa+Google&meta=cr%3DcountryBRhttp://www.google.com.br/search?hl=pt-BR&q=Britadores+girat%C3%B3rios&btnG=Pesquisar&meta=lr%3Dlang_pthttp://www.google.com.br/search?hl=pt-BR&q=britadores+de+mandibulas&btnG=Pesquisar&meta=lr%3Dlang_pt


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estreita e o ciclo se repete. A abertura mxima determina o tamanho mximo de partcula quepode ser admitido, enquanto que a mnima relaciona-se com o tamanho do produto. A razode moagem de um britador de mandbulas varia entre 3 e 7.

Britadores GiratriosOs britadores giratrios possuem um elemento central, vertical, rotativo em forma de

cone, operando numa cmara aberta. A cabea de moagem na forma de um cone truncado

est montada num eixo vertical excntrico. O espao entre o cone e a parede da cmaradecresce gradualmente. O material a ser modo alimentado no topo. Quando o britador acionado o cone gira em torno de seu eixo. O material comprimido entre o cone mvel e ocone fixo. A relao de moagem situa-se entre e 3 e 10.

Britador de RolosUm britador de rolos consiste de dois rolos com superfcie de ao com eixos horizontais

entre os quais a moagem se d. O eixo de um dos rolos fixo estrutura do britador, porrolamentos e o outro rolo sustentado por molas. O ajuste do britador, i.e. a distncia entreos rolos ajustvel. Britadores de rolos so empregados para moagem fina.

Britador de impactoBritadores de impacto so usados para materiais friveis ou maleveis. Uma de suas

caractersticas que a moagem baseada no impacto e no na presso, como nosbritadores comuns. Impactos se sucedem continuamente, em sries rpidas. A relao demoagem muito alta. Depende do material a ser modo, da velocidade de rotao dosmartelos e do ajuste entre martelos e a carcaa. O britador frequentemente aberto no fundo,mas pode possuir uma superfcie de peneiramento. Assim o material no deixa o britadorantes de estar suficientemente modo.

III.3 Moagem Secundria

Na britagem secundria o material transformado em ps finos levados at a ordem dealguns micra, ou at a nanmetros, atualmente necessrios nanotecnologia.

Moinho de bolas Pesquisa Google: moinhos de bolasMoinho de bastes

III.4 Moagem Autgena

Na moagem autgena o material a ser modo tem a funo de moer. Tipicamente ummoinho de cilindro rotativo, semelhante ao moinho de bolas utilizado, mas o agente damoagem o prprio material a ser modo. O material alimentado ao moinho e suamovimentao causada pela rotao do moinho provoca a moagem. Um catalogo da MetsoMinerals Industries encontra-se no: http://www.metsominerals.com/

III.5 Consumo de Energia e Potencia para Reduo de Tamanhos

O custo da energia despendida na moagem elevado, por conseqncia seu controle importante. A mais antiga relao proposta para o clculo da energia gasta na moagem a leide Rittinger, segundo a qual o trabalho proporcional criao de superfcie. Para a moagemde m [ de matria prima alimentada ao moinho, h um consumo de energiakg/s]

m rprod. a lim.

1 1P / m K

Dp Dp

=

. 2m p

p

dPD

dD (III.5.1)

Nesta equao Kr a constante de Rittinger, alim.Dp dimetro mdio da alimentao

prod.Dp o dimetro mdio do produto.

10
http://www.cmis.csiro.au/cfd/dem/ballmill_3Dhttp://www.cmis.csiro.au/cfd/dem/ballmill_3D


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A lei de Kick tem por base a suposio de que o trabalho para moer certa quantidade deslido s depende da relao entre os tamanhos da alimentao e produto.

alim.m k

prod.

DpP /m K ln ,

Dp

=

1mp

p

dPD

dD (III.5.2)

onde Kk a constante de Kick.

A lei de Bond que emprega um expoente entre os dois resultando em dependncia com oinverso da raiz do dimetro da partcula.

bond 80 80prod alim

1 1P /m K

D D

=

. (III.5.3)

Esta lei foi especialmente desenvolvida para a determinao da potencia necessria moagem em moinhos de bolas. A equao descreve a potncia especfica necessria parareduzir o tamanho de uma alimentao em que 80% passa pela mallha , a um produto no

qual 80% passa pela malha .

80alimD

80prodD

IV. DINMICA DA INTERAO SLIDO-FLUIDO

IV.1 Movimento da Partcula

Este captulo se inicia com o estudo do movimento de uma partcula slida de massa mpno seio de um fluido. O movimento regido pela 2a lei de Newton que escrita sob a forma:

p

p p p

S

m dA= +a Tn m .g (IV.1.1)

Nesta T o tensor tenso que atua em cada ponto da superfcie da partcula, n anormal unitria e o produto Tn nos d a fora por unidade de rea, i.. que atua em cada

ponto da superfcie. A ao do campo externo dada pelo produto da massa vezes o campogravitacional g. A interao slido-fluido pode ser decomposta em duas parcelas:

a) uma ao esttica representando o empuxo do fluido sobre a partcula. Estaparcela, dada pela expresso de Arquimedes da forma , oposta ao

campo gravitacional.F pV g

b) Uma fora resistiva, dinmica, que se anula quando a velocidade relativa entrefluido e partcula nula. Ser esta designada por .

Tem-se ento, quando a acelerao da partcula se anula:

( ) ( )p F p p p FV V ,= + = + = 0 g g .

)

(IV.1.2)

A parcela resistiva funo de diversas variveis dentre as quais so citadas: a

velocidade relativa, , a densidade e viscosidade do fluido, o tamanho e a formada partcula. Escreve-se:

p= u v v

( p, , ,A ,= u (IV.1.3)onde Ap a rea projetada da partcula sobre um plano perpendicular ao vetor unitrio na

direo da velocidade relativa /=ue u u . Com base na anlise dimensional possvel

estabelecer a seguinte definio do coeficiente de arraste:21

p F D2A u C , u .= =ue u (IV.1.4)

O coeficiente de arraste assim definido adimensional, mas depende de diversos fatoresincluindo propriedades fsicas dos fluidos, da velocidade relativa, tamanho e forma da

partcula, sua orientao,..A figura abaixo mostra o coeficiente de arraste para uma esfera epara um cilindro em funo do nmero de Reynolds

11


12/53

O grfico mostra uma assintota, reta com inclinao logartmica igual a -1, vlida para

pequenos valores do nmero de Reynolds ( )Du

Re 0,2 , Re

=

, e uma segunda assintota

para ( )25 *10 Re 3 *10 5

ue

. Na regio entre este valor e h uma reduo do valor

do coeficiente de arraste causado pela reduo da regio de separao da camada limite.

7Re 10

IV.1.1 Regime de Stokes, de Newton e Intermedirio

Um caso especial, simples, mas importante o da soluo dada por Stokes, com a forma:. (IV.1.5)p p3 D 3 D u= = u

Esta soluo aplica-se quando as seguintes condies so vlidas:a) partcula esfrica,b) regime laminar,c) escoamento lento com acelerao desprezvel,d) fluido newtoniano,

e) partcula lisa,f) partcula isolada,g) regio infinita (longe de quaisquer outros slidos).

Regime de StokesSob qualquer desvio destas condies aplicam-se correes e assim torna-se necessrio

levantar cada uma das restries listadas. Para exemplificar estes efeitos vamos comparar asexpresses (IV.1.4) e (IV.1.5), obtendo-se:

( )2 2p F D p Dp

D /8 u C 3 D u C 24 ,D u

= =

(IV.1.6)

Isto (IV.1.7)DC 24 /Re, Re D u /= = p .

A expresso para o coeficiente de arraste inversamente proporcional ao nmero deReynolds permanece sujeita s sete restries enumeradas acima. Em especial aplica-separa valores do nmero de Reynolds menores que 0,2. Por outro lado a definio docoeficiente de arraste, CD dada pela eq.(IV.1.4), geral e vlida para todo nmero deReynolds.

Regime de Newton

Para altos valores do nmero de Reynolds verifica-se que o coeficiente de arraste atingeo valor assinttico,

(IV.1.8)DC 0,43.=

As duas assntotas podem ser combinadas e expressas por uma equao geral, i.e. vlidapara todos os valores de Re, com a forma:

12


13/53

( )

1nn

n

D

24C 0,

Re

= +

43 . (IV.1.9)

O ajuste desta expresso aos dados experimentais fornece como o melhor valor para oexpoente n = 0,63.

At aqui consideramos apenas as expresses do coeficiente de arraste para partculas

esfricas, a primeira restrio presente na lista. Uma correo aplicvel a partculas para asquais est determinada sua esfericidade consiste na alterao das duas constantes quedeterminam as duas assntotas. Escreve-se:

1nn

nD 2

1

24C K , se 0,6 0,9 n 0,9,

K Re

e se 0,9 1 n 3,15 2,59 .

= + =

=

(IV.1.10)

Nesta equao h primeiramente um ajuste dos fatores de correo a partir de

dados com partculas com esfericidade conhecidas,1K , e K2

( )1 10 2K 0,843log / 0,065 , e K 5,31 4,88 , 0,85 1.= = (IV.1.11)E a seguir o ajuste do expoente n na expresso (IV.1.10) resultando n = 0,85. Esta forma

de abordagem do ajuste devida ao prof. Massarani. Como veremos ela de grandeutilidade.

IV.2 Velocidade Terminal

H uma soluo da equao do movimento (IV.1.2) para a qual a acelerao da partcula nula. Tal situao costuma ocorrer, por exemplo, sempre que a partcula parte do repousosob a ao de um campo externo g, como o campo gravitacional, e enquanto se acelera, suavelocidade aumenta at que a fora de arraste se iguala ao efeito do campo externo na forma

de peso empuxo. Partimos da equao do movimento da partcula, escrita sob a forma daeq.(IV.1.2):

21p p p F p D g p g2m A v C V g= + a e .e (IV.2.1)

Os termos direita na equao tm sinais opostos. Inicialmente a velocidade da partcula baixa e a ao do campo externo prevalece e a acelerao positiva. Com a acelerao otermo de araste aumenta at o instante no qual a acelerao se anula. A velocidade dapartcula chamada de velocidade terminal.

21p F t D p2A v C V g

fora de arraste=peso-empucho.

= (IV.2.2)

p p pD p D2

F t p p F t

V V 2 D2 gC , D , Cv A A v2

g= = (IV.2.3)

pD 2

F t

2 D gC

v

=

. (IV.2.4)

importante ressaltar que o coeficiente de arraste depende da velocidade da partcula, eque portanto a frmula acima no conveniente para o clculo da velocidade terminal. Ela sereduz s seguintes expresses para os regimes de Stokes e o de Newton:

2p1

t

g DKv , para o regime de Stokes,

18

=

(IV.2.5)

e pt2 F

g D4v , para o regime de Newton.3K = (IV.2.6)

13


14/53

Note a diferena de comportamento da velocidade terminal em funo das variveispresentes nas duas expresses. Por exemplo versus viscosidade, ou da densidade do

fluido; e em funo do dimetro da partcula.tv

Suponha que se deseje calcular a velocidade terminal de uma determinada partculaimersa num fluido. Qual das duas expresses deve ser usada? So conhecidos os seguintesvalores: , em conseqncia o nmero de Reynolds no pode ser calculado, e,

a priori no se conhece o regime em que a velocidade terminal se estabelece. H tambmque se considerar o regime intermedirio para o qual no h uma frmula explicita para avelocidade terminal. A soluo por tentativa e erro, ou qualquer outro mtodo numrico podeser empregado. Por exemplo partindo da suposio de que o nmero de Reynolds inferior a0,2 calcula-se a velocidade terminal empregando-se a eq.(IV.2.5). Este valor permite que

p FD , , , , e

p t FD vRe

=

seja calculado e se o resultado for menor que 0,2 fica validada a hiptese do

regime de Stokes e, por conseguinte o resultado obtido esta correto. No caso contrrio necessrio recalcular a velocidade partindo agora do nmero de Reynolds, no seguinteesquema:

eq.II.1.10 eq.II.2.7D t

Re C v Re

Um mtodo direto para o clculo da velocidade terminal foi desenvolvido por Massaranitendo por base o fato do nmero de Krmn ser independente da velocidade, i.e.:

3F2 2

D 2

g D4Ka C Re .

3

= =

p (IV.2.7)

Os dados necessrios soluo do problema do clculo da velocidade terminal permitemo clculo do nmero de Krmn. Por outro lado a multiplicao da expresso (IV.1.10) porRe2, e subseqente inverso para o nmero de Reynolds conduz expresso

( )( )

21

1/ nn0,50,521 2

D

K / 24 CdReRe , se 0,6 0,9 n 0,8,

K K1 C Re

24

e se 0,8 1 n 2,7 1,75 .

= +

=

=

(IV.2.8)

Esta expresso permite a determinao da velocidade terminal diretamente em funodos dados do problema.

( )

( )

21

T 1/ nn0,5f p 0,521 2D

K / 24 CdRev

DK K

1 C Re

24

=

+

, (IV.2.9)

IV.3 Dimetro de Sedimentao

O problema inverso ao do clculo da velocidade terminal o da determinao do tamanhode partcula que sedimenta com determinada velocidade. Isto dados

calcular o tamanho da partcula que sedimenta com a velocidade . Novamente tanto Ct Fv , , , , e

tv D

quanto Re dependem simultaneamente da velocidade e do dimetro, o que exige umasoluo numrica por tentativas ou outro mtodo numrico. Entretanto nota-se que a relao

no depende do dimetro.DC /Re

14


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D 2 3F t

2C /Re .

v

=

g

(IV.3.1)

A diviso da eq. (IV.1.10) pelo nmero de Reynolds e soluo da expresso resultantepara o nmero de Reynolds d

( ) ( )

1n n2 n

2

pf t 1 D D

K24

D v K C /Re C /Re

= +

(IV.3.2)

A sntese dos problemas, em regimes permanentes, relacionados ao movimento departculas isomtricas : dadas as propriedades fsicas p F, , , e a esfericidade

1. dadas calcular .p tD ,e v p t F II.1.10 II.1.4DD v

Re C

=

2. dadas .p t, e D calcular v

eq.II.2.92D tC Re v

3. dadas .t p, e v calcular Deq.II.3.2

D pC /Re D

O resumo destas correlaes sobre a dinmica de partculas isomtricas dado na

seguinte tabela.

IV.4 Efeito de Parede

A queda de partculas no interior de tubos, ou entre placas, ou ainda na proximidade deuma ou mais paredes planas j foi suficientemente estudada. Alguns exemplos so dados:

Entre duas placas paralelas s distancias l1 e l2.

pp

1 2

9D 1 13 D 1

32 h h

= + +

vp. (IV.4.1)

No interior de tubos com dimetro Dt.

pp

t

D3 D 1 2,1

D

= +

vp. (IV.4.2)

A velocidade terminal corrigida calculando-se a relao ( )t tv / v = entre a velocidadeterminal sob o efeito das paredes com a velocidade terminal no fluido infinito, supondo que

esta relao uma funo de p

t

D

De do nmero de Reynolds.

(IV.4.3)( ) ( )t t pv / v ,Re , D /D= = =f tAs seguintes expresses so encontradas na literatura:

Haberman e Sayre19583 5

51 2,105 2,0865 1,7068 0,72603

1 0,75857 + +=

6

(IV.4.4)

Isaac Newton ( )( )0,521 1 0,5= 2 (IV.4.5)

Munroe (1889) (IV.4.6)1,51- =Di Felice (1996)

1 3,3, 0

1 0,33 0,85

,1Re

= = (IV.4.7)

Uma referncia importante sobre este assunto Chhabra, et al. Powder Technology 129(2003) 53 58.

15


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Varivela ser

estimada

Assntota para Re3x103

Correlao n

K2 1nnn

D 21

24C K

K Re

= +

se 0,6 0,9 n 0,9 = se0,9 1, n 3,15 2,5 =

0,52D

2

C ReK

( )

( )

21

1/ nn0,50,521 2

D

K / 24 CdReReK K

1 C Re24

=

+

se 0,6 0,8, n 1,3se 0,8 1, n 2,7 1,75 = =

( )2

D

K

C /Re

( ) ( )

1n n2 n

2

1 D D

K24Re

K C /Re C /Re

se 0,6 0,8, n 1,5

se 0,8 1, n 3,62 2,65 = +

=

=

( )1 2K 0,843log 15,4 , K 5,31 4,88 . =

Ref. Prof. Giulio Massarani: Novas Correlaes para a Dinmica de PartculasIsomtricas.

Relatrio n0 4/84, LSP PEQ, COPPE/UFRJ (1984).

IV.5 Efeito da Concentrao de Partculas

A concentrao volumtrica das partculas a principal varivel determinante do efeito de

populao. Esta definida pelo volume total das partculas slidas numa determinada regiodo espao V. definida pela expresso

( ) ( )s sV = xV

V , t dV.

t dV.

(IV.4.8)

De modo anlogo define-se a concentrao volumtrica de fluido, tambm denominadade porosidade:

(IV.4.9)( ) ( )fV ,= xV

V

Se o espao integralmente ocupado pelas duas espcies, partculas slidas e fluido,

ento verifica se a relao:(IV.4.10)s 1. + =

16


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Foi Einstein, em seu estudo sobre o movimento Browniano quem determinou a seguinterelao entre a velocidade terminal reduzida pelo efeito de populao e a velocidade terminal diluio infinita.

(IV.4.11)(t t sv / v 1/ 1 2,5 . = + )

Este trabalho foi complementado por Richardson e Zaki com base na seguinte expresso:(IV.4.12)( ) nt tv / v f Re , , = =

(IV.4.13)0,03

0,1

n 4,65 para Re 0,2

n 4,45Re para 0,2 Re 1,

n 4,45Re para 1 Re 500,

n 2,39 para Re 500.

=

=

=

= >

IV.6 Partculas em Fluidos no-Newtonianos

O movimento de partculas no seio de um fluido no-Newtoniano determinado pelasequaes apresentadas nos itens anteriores, substituindo-se a viscosidade pela viscosidade

efetiva , definida pela relao entre a tenso de cisalhamentoef

( ) xdv

, onde taxa de cisalhamento.dy

= = = a taxa de cisalhamento.( ) a curva material do fluido com a qual define-se a viscosidade efetiva:

( ) tef ef ef ef 2p

v1/ , onde 9 ,

D

= =

(IV.5.1)

conforme dados experimentais de Massarani. Em todas as equaes onde est presente aviscosidade do fluido, esta deve ser substituda pela viscosidade efetiva ef dada pela eq.(IV.5.1).

Por exemplo no caso de um fluido que se ajusta lei da potncia( )

n 1 = , a viscosidade

efetiva ser dada por:n 1

tef 2

p

v19

D

=

. (IV.5.2)

17


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V. DECANTAO E SEPARAO SLIDO-FLUIDOAlguns sistemas empregados para a coleta de poeira visando a reduo da emisso de

particulados, tanto para a atmosfera quanto para corpos de gua sero analisados agora. Asprincipais finalidades so:

Controle de poluio;

Segurana industrial, preveno de acidentes, reduo de risco sade: Produo de ar, ou de outros gases de processo; Coleta de produtos como Leite em p; Caf solvel; xido de Zinco; Negro de fumo.Tamanho comum das partculasSlidos na atmosfera poeiras de 1 m a 200 m

fumaas de 0,001 m a 1 m Lquidos na atmosfera neblina 0,01 m a 2 m

nuvens 2 m a 50 m chuva 100 m a 5000 m

Partculas tpicas CO2 0,0005 m

negro de fumo 0,01 m a 0,5 m pigmentos 0,1 m a 5 m vrus 0,005 m a 0,05 m bactrias 0,3 m a 20 m

A anlise tem por base a velocidade terminal estudada no captulo anterior.

V.1 Cmara de Poeira

A Cmara de poeira simplesmente uma caixa suficientemente ampla de modo a reduzir avelocidade do fluido a um valor que permita a sedimentao das partculas. O fluido contendopartculas admitido atravs da face de altura H e largura B, e o comprimento da caixa L. Avelocidade mdia do fluido conhecida em funo da vazo,

( )u Q/ BH .= (V.1.1)

Admite-se que as partculas sejam arrastadas pelo fluido, sem deslizamento i.e.: xv u= , e

que caem por ao do campo gravitacional com velocidade yv v t= . Uma partcula admitida na

posio h a partir da base da caixa ser depositada no fundo da caixa se o seu tempo de quedafor menor que seu tempo de residncia.

(V.1.2)queda t resid.t h / v t L /= = u.

.

Vale dizer que sero integralmente coletadas todas as partculas com velocidade terminal

maior que uH ./L (V.1.3)tv uH/L 1 =Partculas menores sero recolhidas com eficincia menor, e partculas admitidas a uma

altura h < H , com tuh

vL

= tero eficincia de coleta ph

D u h/H.L

=

Considerando que

poeiras possuem pequeno dimetro, justificvel supor que a queda se d no regime de Stokes.

18


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2p 1

t

gD K uh uH h uHv

18 L L H L

= = = =

. (V.1.4)

Ou seja:2p 1

p1

gD KLse 1,

uH 18

18 uH /L1 se D .gK

=

>

(V.1.5)

Dimetro de corte definido como aquele para o qual a eficincia de coleta de 50%. Isto :para , (dimetro de corte ou Dp pc0,5 D D D = = = 50 50). Fazendo na eq.(V.1.5)e

resolvendo para o dimetro obtm-se:

0,5 =

pc1 1

9 uH/L 9 QD , onde u Q/BH.

gK BL gK

= = =

(V.1.6)

Tamanho da menor partcula coletada com 100% de eficincia:

pm pc1

18 uH /LDgK

= =

2D . (V.1.7)

Com o auxlio da expresso para a eficincia, eq.(V.1.5) podemos escrever2

pp pc p

pc

D1, para D 2D , e 1, para D 2D .

2 D

= = >

pc (V.1.8)

Esta expresso para a eficincia de coleta de uma cmara de poeira , usualmentesubstituda por uma expresso, de base emprica, contnua e diferencivel com a forma:

( )

( )

2

p pc

2p pc

D /D.

1 D /D =

+(V.1.9)

Exerccio

Dados: Vazo de ar a 1atm e 30C, Q = 0,9 m3/s, contendo um corante, na

faixa com a seguinte distribuio cumulativa: X(15)=10%, X(30)=20%,

X(50)=40%, X(80)=70%, X(100)=90%, X(120)=100%. A vazo mssica de corante de10 kg/hr.Projetar uma cmara de poeira para recuperar 95% do corante.

( )3p 1500kg/m =

p5 m D 120 m

V.2 Projetos de Ciclones Industriai

Configuraes padronizadas de ciclones industriais para a remoo de particulados estodisponveis como resultados de uma compilao de resultados experimentais. A tabela abaixolista alguns dos projetos padronizados. Esto grupados e 3 classes: alta eficincia, mediaeficincia, e multi- propsito. Todas as dimenses listadas esto normalizadas pelo dimetro docorpo do ciclone.

19


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Alta eficincia Mdiaeficincia

Multi-propsito

Smbolo Descrio Stairmand Swift Shephard &Lapple

Swift Peterson & Whitby

Dc, D Dimetro do corpo 1 1 1 1 1Hc, b Altura da admisso Ka=a/D 0,5 0,44 0,5 0,5 0583Bc,a Comprimento da

sada=b/D 0,2 0,21 0,25 0,25 0,208

s Dimetro da sadade gs

Ks=S/D 0,5 0,5 0,625 0,6 0,588

Lc Altura do corpocilndrico

KH=H/D 1,5 1,4 2 1,75 1,33

Hc Altura Total H 4 3,9 4 3,75 3,17Bc Dimetro da sada

do pKb=B/D 0,375 0,4 0,25 0,4 0,5

Eficincia de Coleta - Modelo de Lapple

O primeiro modelo foi desenvolvido por Lapple, baseado na suposio de escoamentoempistonado, sem mistura axial ou radial. Para o clculo da eficincia calcula-se primeiramente odimetro de corte com base no seguinte argumento de transposio dos resultados da cmarade poeira:

H Bc,B Hc,L ,c cN D

g ,( )2F cv / D / 2

( )

0,50,5

F c c cpc 2

c c c F c c F

9 v B H 9 B9 QD .

BL g H N D v / D / 2 2 N v

= = =

(V.2.1)

Nesta expresso Nc o nmero efetivo de voltas que o fluido d desde a admisso at ocentro do ciclone.

( )

( )

2

2

Dp/Dpc

1 Dp /Dpc =

+(V.2.2)

20


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Nc determinado experimentalmente e situa-se na faixa c5 N 10 , e para um ciclone

Lapple bem operado, quando ento a re - suspenso de partcula e pouco significativa, e um valor conservativo empregado com o propsito de dimensionamento.cN 5=

Perda de CargaComo o funcionamento do ciclone depende da velocidade do fluido, e alta eficincia

depende da alta velocidade o aumento de eficincia acompanhado por um aumento daqueda de presso, que se traduz em custo operacional.

A queda de presso pode ser calculada por:21

F F F F2p v 0,068 v , = = 2 (V.2.3)

O valor apresentado o empregado para o ciclone Lapple. A potencia do ventilador , o custo de bombeamento vP Q p= vC P $= , e $ o custo da energia eltrica.

Fatores de Projeto.Note que a eficincia cresce com a velocidade do fluido na entrada. Por outro lado a

perda de carga proporcional ao quadrado desta velocidade. Estabelece-se um balanoentre: ganhos devidos ao aumento de eficincia, versus perdas com o consuma de energia. A

velocidade recomendada situa-se na faixa F6 m/ s v 21m/ s , sendo de 15 avelocidade usualmente recomendada. Para este valor, e para um ciclone de 0,5m de dimetro

tem-se um campo

m / s

( ) ( )2 215 / 0,5 / 2 900 m/ s 90g s . Para o projeto so dados:

Q a vazo de gs m3/s,

p F, , propriedades fsicas,

( )px D distribuio de tamanhos de partculas.Seqncia de clculo

a) arbitrar ,Fv 15 m/ s=2

c c cA B H D / 8= = , cF

8Q 8QD

v 15

= =

o dimetro do ciclone

e todas as demais dimenses do ciclone esto determinas.

b) cpcc F

9 BD

2 N v

=

, pode ser calculado, e tambm, a eficincia de coleta associada ao

tamanho das diferentes partculas.c) com estes resultados possvel calcular a eficincia mdia de coleta,

( ) ( ) ( ) ( )p,max p,max

p,minp,min

D D

p p pc p p,i p,i pc p,iDD

x D D /D dD x D D /D D . = (V.2.4)

Se a distribuio de tamanhos das partculas segue a distribuio de Weibull a doisparmetros, ento a eficincia mdia pode se calculada pela expresso:

( ) pcpc

1,11n0,118 n D /D ,

1,81 0,332n D /D+ =

+(V.2.5)

que s depende de Dpc, e dos dois parmetros da distribuio n, e D.d) clculo da perda de carga 2 21 F F H F F2p v N 0,068 = = v

F

.

e) os valores obtidos para a eficincia mdia e para a perda de carga permitem aavaliao econmica do custo total e alterao do valor para a velocidade vF empregada.Aumento da velocidade traz como conseqncia o aumento da eficincia, e da perda decarga.

Observe a expresso que determina o dimetro do ciclone, cD 8Q/ v= . Grandes vazesdeterminam grandes ciclones ( , e por conseqncia o campo centrifugo)cQ D

21


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(2F cv / D / 2) torna-se pequeno e ineficaz. Neste caso recomendvel a diviso da vazo totalpor dois ou mais ciclones em paralelo. Testando o caso de 2 ciclones D c fica dividido por 2, ea eficincia de coleta aumenta. Mantida a mesma velocidade a perda de carga no alterada.

ExerccioProjetar uma bateria de ciclones Lapple e o compressor, para tratar 100 m3/min de gs

com cinzas de carvo , com eficincia

superior a 90%. A distribuio granulomtrica se ajusta de Weibull com:

3 3p F2300kg/m , 0,443kg/m , 0,035cp = = =

( ) ( ){ }np pX D 1 exp D /D , D 37,3, n 1,5. = = = (V.2.6)

IV.3 Hidrociclones

Hidrociclones so empregados para uma grande faixa de aplicaes dentre as quais cita-se:

a) clarificao de lquidos com baixa concentrao de slidos;b) concentrao de lamas;

c) classificao de slidos;d) separao de lquidos imiscveis.

Dentre suas vantagens inclui-se os fatos de serem simples, baratos, fceis de instalar,baixo custo de manuteno, e baixo custo operacional. Adicione-se o fato de serem pequenosem relao a outros separadores. Em contrapartida so inflexveis, e uma vez instaladosapresentam forte dependncia da eficincia nas variveis de projeto, em especial na vazo dealimentao e na concentrao de slidos. Acresce os problemas de abraso e a formaode incrustaes.

Trs tipos de hidrociclones disponveis no mercado tm suas propores listadas natabela abaixo

Di/Dc Do/Dc l/Dc L/Dc K Np A B C Rietema 0,28 0,34 0,40 5,00 20o 0,039 0,134 1,73 145 4,76 1200Bradley 0,133 0,20 0,33 6,85 9o 0,016 0,323 1,73 55,3 2,63 7500

Di dimetro do tubo de admisso. l altura da parte cilndrica. ngulo do cone.Do dimetro do tubo de sada. L altura total.

H um grande nmero de configuraes para arranjos de hidrociclones em paralelo.Dimetro de corteSegundo Massarani o dimetro de dado pela seguinte expresso:

( ) ( )12

cp pc L s

DD /D K f R g ,

Q

=

(V.3.1)

onde ( )LL

1f R1 AR

= +, (V.3.2)

( )( ) ( )

12

s2

s s

1g

4,8 1 3,8 1 =

. (V.3.3)

A razo de lquido pode ser estimada pela seguinte relao:

[ ]C

L u cR B D /D= . (V.3.4)

Eficincia de coletaA expresso empregada para o clculo da eficincia de coleta de partculas puramenteemprica e tem a forma:

( ) ( )( )

p pc

p pc

p pc

exp 5D /D 1D /D

exp 5D /D 146

=+

. (V.3.5)

22


23/53

Esta uma eficincia reduzida ao efeito do campo centrfugo, da qual subtrada o efeito doansporte de slidos carreados pela vaz

obrigatoriamente com uma vazo de fundo, dada por , e que esta vazo aporta slidos,tr o de fundo. Uma vez que os hidrociclones operam

L

ento o efeito centrfugo se d apenas sobre a vazo

QR

( )LQ 1 R . De acordo com estahiptese escreve-se para a eficincia mdia:

( ) ( ) ( )L p p pc p L0

1 R x D ,D ,n D ,D dD R

= + . (V.3.6)O integrando desta equao, para a distribuio d

e Weibull pode ser estimado pelo seguintesultado:re

( )0,118 n D /D ,+ = (V.3.7)pcpc

1,11n

1,81 0,322n D / D +

( )L L1 R R = + (V.3.8)queda de presso calculada por umA a expresso similar empregada para ciclones,

2F F

1p 2 = v ,

onvm ressaltar quaralelo, e de pe

o do nmero de

Re 50x10

y 3x10 Re x10

ExerccioProjetar uma bateria de hidroc

para tratar 200 m3/hr de uma suspenso de um sal insoluvel em gua, 1000kg/m , 1,5cp = = = , com eficincia superior a 90%, e queda de

(V.3.9)

na qual est listado na tabela acima.C e a questo levantada a respeito da necessidade de se ter hidrociclonesem p queno dimetro para boa eficincia muito mais crtica. No seguinteendereohttp://www.natcogroup.com/Content.asp?t=ProductPage&ProductID=71,so mostrados equipamentos com mais de 50 hidrociclones que operam em paralelo,contidos no interior de um vaso de presso.A especificao da velocidade do fluido nos hidrociclones dada em funReynolds. Tem-se: 2c cQ/N / 4D v= , onde Q a vazo total e N o nmero de ciclones em

paralelo. Re D v /= , e:c c F3 3Rietema 5x10

Bradle 20(V.3.10)

3 3

iclones Rietema e Bradley e o sistema de bombeamento,

3 3p F3500kg/m

presso 5p 3x10 Pa . A distribuio granulomtrica se ajusta de Weibull com:

( ) ( ){ }

n

p p

X D 1 exp D /D ,D 37,3, n 1,5.= (V.3.11) = =

VI INTRODUO AO BENEFICIAMMinrios so distribudos na crosta terrestre em diversas constituies, composies,

esta ecessitamde listadas aseg

Cominuio

ENTO DE MINRIOS

dos de agregao, etc. Raramente so comercializados no estado natural e num beneficiamento. Algumas das operaes do tratamento de minrios souir:

AmostragemCaracterizao Mineralgica de Minrios

e PeneiraoClassificaoElutriaaoSeparao em Meio DensoSeparao Magntica e Eletrosttica

23


24/53

FlotaoFlotao em Coluna

tamento de Efluentes na Minerao

neficiamento: Princpios Bsicosecialistas no Processamento de Minrios

oA cominui III, e agora trataremos a elutriao.

VI.1

ada para separarpar manhos, ou para o beneficiamento de minrios em razo dadife es das partculas que compe o minrio. Usualmente todo minrio

compe-se de um mineral com valor econmico em mistura com uma ganga imprestvel quedev

rminais so menores que a velocidade da corrente de fluido so por estearra

partculascom

FloculaoSeparao Slido-LquidoBriquetagemProcessos para o Tra

ReciclagemSimulao de Usinas de BeSistemas EspElaborao e Avaliao Econmica de Projetos de Minera

o j foi tratada no captulo

Elutriaao

A elutriao que aqui trataremos uma operao que pode ser empregtculas por faixas de tarena entre as densidad

e ser descartada. A elutriao emprega uma corrente ascendente de um fluido que,preferencialmente, arrasta as partculas mais leves enquanto que as mais pesadas sesedimentam.

A velocidade terminal das diferentes partculas a propriedade bsica responsvel pelaseparao e/ou beneficiamento. Uma corrente de partculas slidas vai ter ao elutriador, ondeh uma corrente ascendente de um fluido. Este pode ser gua ou ar. Partculas cujasvelocidades te

stadas, enquanto que todas as partculas cujas velocidades terminais superam avelocidade do fluido se sedimentam. H portanto uma corrente de alimentao dos slidos eduas correntes de sada, o produto de fundo, composto principalmente das partculas mais

pesadas e a corrente de topo composta principalmente das partculas mais leves.Com o emprego das equaes que permitem o clculo da velocidade terminal, e dodimetro de sedimentao, eqs.(IV.2.9), e (IV.3.2) possvel calcular todos os parmetros dedesempenho de um elutriador. Assim, consideremos em primeiro lugar o problema de separarum conjunto de partculas em duas faixas de tamanhos. Tem-se: Um conjunto de

densidade p, e dimetros na faixa m p MD D D e deseja-se separar em um nmero de

fraes com dimetros intermedirios ( ) ( ) ( )m 1 1 2 N MD ,D , D ,D D ,D . Para tanto basta calcularas velocidades terminais correspondentes aos dimetros D1 ... DN, e utilizar elutriadores comcorrestes de fluido correspondentes a es es. Para uma separao em batelada,um nico elutriador suficiente fazen ades correspondentes svelocidades terminais das partculas D

tas velocidaddo-o operar com velocid

.

stura de um mineral com valor econmicoagr a ganga sem valor. A liberao das duas espcies se processa por moagemsufi dimetros na faixa . O que

va correspon

aior que a velocidade

1, ...DNExerccioResolva o problema no 1, pg. 34 do livro texto.

Os problemas relacionados ao beneficiamento de minrios so mais interessantes.Considere um minrio composto de uma mi

egado a umcientemente fina, conduzindo a um produto com m p M

se deseja obter a separao completa entre as duas espcies. Suporemos conhecidas suasdensidades P L P L, e , onde . > A curva da velocidade terminal do material pesado, quedenominaremos de minrio, situa-se, para todo valor de D

D D D

p, acima da cur dente ganga. Pode acontecer que no existam para, os dois materiais, partculas com idnticas

velocidades terminais. Isto se d quando a velocidade terminal da menor partcula do materialpesado m terminal da maior partcula da ganga. I.e. no existempartculas equitombantes na mistura dos dois materiais. Tem-se:

24


25/53

( ) ( )P Lt m t Mv D v D .> (VI.1.1)Neste caso a separao completa entre as duas espcies pode ser realizada em um nicoelutriador operando com uma corrente ascendente de fluido com velocidade

( ) ( )Lm t Mv D .+ (VI.1.2)Ptu Q / A v D= =

funda e e sai naorrente de fundo.

os mais complexos ocorrem quand

ta situao ompleta pode ser obtida

1

2Esta velocidade maior que a de todas as partculas da ganga, e menor que a de todas aspartculas do minrio. Toda ganga arrastada para o topo, e todo minrio acCas o existem partculas equitombantes. Neste casoinverte-se a desigualdade (VI.1.1), i.e.:

( ) ( )P Lt m t Mv D v D .< (VI.1.3)No existe uma velocidade do fluido que determine a separao completa dos dois materiais.Ou produto de fundo ou o produto de fundo, um dos dois conter uma mistura de minrio eganga. Es tratada na f re igura abaixo na qual se verifica que a separaoc com a passagem por uma nica peneira.

Velocidade Terminal

0

0,5

1

1,5

2

2,5

0 0,001 0,002 0,003 0,004 0,005

Dp (m)

vt(cm/s)

leve

pesado

ExerccioDetermine a melhor dimenso de malha de peneira capaz de produzir duas correntes departculas inteiramente separveis por elutriao.

eneficiamento de minrios. um processopar m mineral de valor econmico contido num minrio. O minrio bruto m sturado com gua, agentes espumantes, e coletores. Quando ar bombeado atravs da mistura, as partculas do mineral se aderem s bolhas de ar, e sobempar

VI.2 Flotao

A flotao hoje o processo dominante de ba a concentrao de uodo a um p fino, mi

a a superfcie formando uma camada de espuma. A ganga sedimenta no fundo do

equipamento. A espuma retirada, e o mineral separado da gua e os agentes qumicosadicionados so removidos restando um concentrado do mineral limpo.

25


26/53

Um bom texto sobre o processo da flotao, incluindo alguns aspectos de sua fsico-qumica est disponvel em:

http://www.engr.pitt.edu/chemical/undergrad/lab_manuals/flotation.pdf

alcopirita (CuFeS ), galena (PbS), esfarelita (ZnS), pirita (FeS)

Age odem ser tados incluindo, certos lcoois alifticos com de 5 a 8to ois cclicos, leo e eucalipto polipropileno, e polietilenoglic lecular.

o:

Alg rocessos esto colecionados na tabela.

Exemplos de minrios beneficiados por flotao so listados a seguir: Sulfetos complexos: c 2 Minerios de cobre Cobre e molibdnio

Cobre/chumbo/zinco Ouro e pirita Cobre e nquel Prata Cobre e cobalto Platina Carvo mineralntes espumante p ci

mos de carbono, lco de pinho, e dois de baixo peso mo

Alguns dos agentes coletores, principalmente para os minerais sulfetados so diferentesmisturas de: Ditiofosfatos, mercaptobenzotiazol, tiocarbamato.So trs as tecnologias de flota

1. flotao mecnica;2. flotao por ar dissolvido;3. auxiliada.uns dados sobre estes p

Processo de F luxo de ar

F lo tao m g u a - 3Ta

Nl .

m a n h o

de bo lhasConsumo de energia

por m3 (Wh/m-3)Tempo de reteno

(min )Flotao

A ru x i l i a d a (poadi )

5-15100-400 2-5 mm 5-10

o de leo

Flotao

Mecanica (porespuma)

10.000 0.2-2 mm 6 0-120 4-16

Ar Disso lv ido

(clarificao)

15-50 40-70 m 40-80 20-40 indo

a floculao)

(exclu

Cintica daA recup

floerao do mineral desejado em uma flotao em batel m funo do

mpo por uma expresso do tipo:

taoada dada e

te

( )max b .+ (VI.2.1)

onde R

(R R 1 exp k t= )ao possvel, e k uma constante de tempo de primeira

ordem, e onde b um deslocamendo fluxo de rea superficial das b

max a mxima recuperto da origem de t. A constante k linearmente dependente

olhas, S , S 6J /Db b g b= , e J o fluxo de gs e D o dimetrog b

mdio das bolhas. A relao usualmente expressa como bk S , onde = um fator de

flotabilidade, que inclui diferentes efeitos c fobicidade, tamanho de bolha, etc. Areferncia:

Estimation of flotation kinetic parameters by consider e operatingvariables, ilek, E.C.,Minerals Engineering 17 (2004) 8185, contem algumas expressespara os parmetro

om a hidro

ing interactions of th

s presentes nestas equaes.

arranjados em serie e paralelo. Uma boarefe

O dimensionamento de um sistema de flotao contnuo depende da determinaoexperimental dos valores destes parmetros, e baseia-se no tempo de residncia, dasuspenso que se divide em tanques de flotao

rencia sobre este assunto encontra-se em Flotation scale up: use of separability curvesq.,J.B. Yianatos, L.G. Bergh, J. Aguilera. Minerals Engineering 16 (2003) 347352.

Para um arranjo de N flotadores, idnticos, de mistura perfeita, em srie, com um tempo

total de residncia F TOTALNV /Q = .

26


27/53

( )

1 Nk

1 1

max

1N

R Rk

N 1N

+

=

. (VI.2.2)

Clulas de flotao

Uma geometria de clula de flotao em batelada est representada na figura abaixo.Tra com um agitador, por cuja haste o ar necessrio admitido. Oagit

ta-se de um tanqueador garante, simultaneamente a manuteno do slido em suspenso e a disperso do

ar em pequenas bolhas. Na superfcie da suspenso forma-se a camada de espuma,contendo o concentrado do mineral desejado, que retirado da clula. A ganga hidroflica seacumula no fundo da clula, e descartada ao final do processamento.

Clulas para a operao contnua so semelhantes s mostrada acima tendo, no entanto,um sistema para a admisso da suspenso e outro para a retirada do rejeito, continuamente.Flo

tao em ColunasO desenho esquemtico de uma coluna de flotao contnua est representado no desenho

de flotao so eficientes e esto sendo empregadas para efetuarque segue. As colunasbeneficiamentos difceis. A remoo de enxofre de finos de carvo um exemplo.

27


28/53

VI.3 Jigagem

A jigagem uma das mais antigas tcnicas de beneficiamento de minrios, por gravidade.Nela a mistura minrio e ganga, suspensa em gua conduzida a um equipamento onde imposta uma pulsao mistura por intermdio de um movimento alternativo, com umafreqncia relativamente alta. Nestas circunstncias a acelerao e decelerao tornam-se os

termos dominantes da equao do movimento da partcula, e responsveis pela separao. Ajigagem uma operao simples e barata, mas de eficincia relativamente baixa.

VII SISTEMAS PARTICULADOS

VII.1 Balanos de massa

Este novo captulo comea a tratar de sistemas de misturas slido fluidos intimamentedispersos em uma regio do espao. As duas fases so vistas como uma mistura, e paracada ponto da regio ocupada pelas duas fases, e a cada instante, possvel estabelecer:

s a concentrao volumtrica de slido, ( ) ( ) ss s sR

VV R ,t dV, ;V

= = x (VII.1.1)

fa concentrao volumtrica de fluido, ( ) ( ) ff f fR

dVV R ,t dV, ;

dV= = x (VII.1.2)

Como no h um terceiro componente nesta mistura, ento cada parte da regio parte daregio R, ocupada ou pelo slido ou pelo fluido, e portanto:

(VII.1.3)s f 1. + =

f comumente denominado de porosidade, , e s 1 = .

fdensidade parcial do fluido, massa de fluido por volume total,

s densidade parcial do slido, massa de slido por volume total,;

(VII.1.4)( )s sR

m R dV,=

28


29/53

( )f fm R dV,= R

(VII.1.5)

S densidade material do slido, massa de slido por volume de slido

( ) sdV

m R dV dV dV ,= = = = s S s S S s s S sR R RdV

(VII.1.6)

F

densidade material do fluido, massa de fluido por volume de fluido

( ) fdV

m R dV dV dV ,= = = = f F f F F f f F f R R RdV

(VII.1.7)

vs campo de velocidade do slido;

belecimento dos balanos de massas para cada umadas

vf campo de velocidade do fluido.Estas definies permitem o estaduas fases. Em palavras estas so descritas por: a taxa de variao da massa de uma

das fases contida no interior da regio A, igual ao balano do que entra menos o que saiatravs da superfcie de A, acrescida da taxa de produo desta fase.

{ }

a a a aR R R

dV dA r dV.

= + v ntvariao entrada menos

geraoda massa saida

(VII.1.8)

A aplicao do teorema da divergncia permite transformar a integral de superfcie emintegral de volume, e disto resulta:

( )a div r dV 0.

+ = v a a aR t

(VII.1.9)

A integral nula qualquer que seja R, independentemente de seu tamanho ou formato, porconseqncia seu integrando deve anular-se. Da resultam as equaes da continuidade para

cada uma das fases da mistura,

( )a div r .

+ =v a a at(VII.1.10)

Escreve-se para cada uma das duas fases, a fase de slidos particulados e para o fluido,

( ) ( )s S ss s s S s s sdiv r div r ,t t

+ = + =

v v (VII.1.11)

( ) ( )f F ff f f F f f f div r div r .

t t

+ = + =

v v (VII.1.12)

As duas formas de cada um dos balanos paraequ

as massas de slidos e de fluidos soivalentes. Formas simplificadas podem ser escritas, vlidas para os casos em que as

densidades materiais so constantes, i.e.:para um slido incompressvel

( )s div r / ,

+ = v s s s St(VII.1.13)

para um fluido incompressvel

( )f div r / .

+ = v f f f Ft(VII.1.14)

A densidade total, e asom + = + v v v (VII.1.15)

velocidade do centro de massa da mistura so definidos pelasas, = S s F f S s s F f f , ,

29


30/53

e a soma das duas equaes de balanos de massas nos d:

( ) s fdiv 0 r r 0.

t

+ = + =v

(VII.1.16)

o da continuidade para a

A velocidade vf, denominada dedo f

f,q v (VII.1.18)

e qf a velocidade superficial. Uma velocidade

Interpretaes asli

dA dA. v n q n (VII.1.20)

No caso em que o fluxo seja uniform(VII.1.21)

Expresses para o divergent

A equa mistura vlida se e apenas quando a soma das geraes nula. Isto significa que as fases podem ganhar ou perder massa, mas o que uma perde aoutra ganha, vale dizer que a mudana de fase se d sem alterao da massa.

Se a concentrao volumtrica de slidos constante, vale dizer que o slido particuladotem porosidade constante, tanto em relao ao tempo, quanto em relao ao espao, ento:

( ) ( )s s s f f f div r / , e div r / .= = v v (VII.1.17)velocidade intersticial, visto que descreve o movimento

luido no interior dos poros do meio poroso. Seja A uma seo do escoamento. A vazo defluido atravs desta seo dada por:

f f f f Q dA dA, onde= = = v n q n f fA A

calculada como se o fluido ocupasse toda aseo do escoamento. No caso em que o perfil da velocidade constante temos:

f f fQ A A.= =v q (VII.1.19)nlogas aplicam-se fase slida. Define-se a vazo volumtrica dedos

sQ = = s s sA A

e em todos os pontos de A, tem-se:

( )s s s s sQ A 1 A A.= = =v v q e

1. Coordenadas cartesianas ( )x,y,z

yx zqq q

div ,

= + +q (VII.1.22)x y z 2. Coordenadas cilndricas ( ) ( )r, z base , , q q q = + +e e e q e e e r z r r z z

x r cos , y rsen , z z.= = =

r zqrq qdivr z

= + +

1q

r(VII.1.23)

3. Coordenadas esfricas ( ) ( )r, , base , , q q qr r r = + +e e e q e e e z r cosx rsen cos , y rsen sen= = =

( )2 r sen qr q 1 1 qdiv .r rsen rsen

= + +1

q

2

r(VII.1.24)

Outras expresses para o divergente de um campo vet

VII.2 Balanos de Momento

pelas equaes de balano de momento, querepr

orial para

O movimento das fases determinadoesentam expresses para a segunda lei de Newton. Massa, por unidade de volume,

vezes a acelerao, de cada fase igual soma das foras que sobre cada fase atuam. Asaceleraes so compostas de dois termos correspondentes a uma parcela de aceleraolocal, e outra de acelerao convectiva.

30


31/53

( )

{ } {

aa agradt

local convectiva .

= +

+

va v

}

av(VII.2.1)

Esta expresso vlida para as duas fases.As foras que atuam sobre estas so divididas em:

1. foras de tenso sobre a superfcie de cada regio (VII.2.2)aR

dA; T n

2. foras de interao entre as fases aR

dV; l (VII.2.3)

3. foras de campo externo . (VII.2.4)aR

dV g

Em conformidade com a lei de Newton escreva-se, para cada fase

(VII.2.5)( )a a a a aR R R

dV dA dV.

= + + a T n l g

Novamente a equao de balano apresenta duas integrais de volume e uma integral desuperfcie. A aplicao do teorema da divergncia transforma a integral de superfcie emintegral de volume, e obtm-se:

[ ]a a a a aR

div dV . = a T l g 0

g

(VII.2.6)

A integral deve anular-se independentemente da regio de integrao, isto ,independentemente de seu tamanho ou formato, e deste fato conclui-se que o prpriointegrando seja nulo em todos os pontos da regio, e para todo instante,

a a a a adiv . = + + a T l (VII.2.7)Estas so as equaes do movimento das fases. Elas se assemelham s equaes paramovimento de um fluido puro em escoamento monofsico,

( )grad div .t

= + = +

va v v T g (VII.2.8)

O termo da esquerda, correspondente acelerao de cada fase perfeitamente anlogo, e direita da equao h a divergncia da tenso e o termo de fora de campo externo.Acrescentou-se apenas um termo de interao entre as duas fases, que pode ser descritocomo a fora que cada fase faz sobre a outra. No caso do sistema slido-fluido, ls a foraque o fluido faz sobre o slido particulado, e lf a fora que o slido faz sobre o fluido. Aterceira lei de Newton conduz reciprocidade destas duas foras, que se expressa por:

s f .+ =l l 0 (VII.2.9)Com o auxlio das expresses para as aceleraes provenientes da eq.(VII.2.1) escreve-se:

( ) Eff f f f f s f f f grad gradp div , p ,t

+ = + + = +

vv v T l g T 1 TEf (VII.2.10)

( ) Ess s s s s s s s sgrad gradp div , p .t

+ = + + + = +

vv v T l g T 1 TEs

Consideramos o escoamento de um fluido newtoniano atravs de um meio poroso rgidocom porosidade constante, e estacionrio. O escoamento permanente, e a acelerao dofluido nula, ou ao menos desprezvel. A equao do movimento do fluido se simplifica para

(VII.2.11)

Estas so equaes gerais capazes de descrever o movimento simultneo das duas fasesnas mais diversas situaes. Um caso particular, mas de grande importncia ser estudado aseguir.

VII.3 Escoamentos atravs de Meios Porosos

31


32/53

f s Fgradp ,= + 0 l g (VII.3.1)

( )s s Sgradp 1 .= + + 0 l g (VII.3.2)lf representa a ao do fluparcelas, a primeira delas forma oposta gravidade e prop

de dinmrelativa entre as fases nula, m

)1 . g (VII.3.5)A equao (VII.3.4), parapiezomtrica,

ido sobre os slidos particulados. Esta pode ser dividida em duasuma ao de empuxo, esttica, que segundo Arquimedes tem a

orcional ao peso do volume de fluido deslocado,

( )s s F F1 .= = l g m g m (VII.3.3)a segunda, m, a fora dinmica devida velocidade relativa entre as duas fases. Estamosqualificando esta fora ica por que se anula se e apenas quando a velocidade

=0 v 0 . A substituio desta expresso nas duasfequaes simplificadas d:

f Fgradp ,= + 0 m g (VII.3.4)

( ) (s Sgradp= + + 0 m

=

F

o movimento do fluido pode ser escrita em termos da presso

f f Fp gH, onde g , = = g

o fluido fica:

marcda a

A fora dinmica m foi estu

(VII.3.6)

que acrescenta a carga de altura de fluido presso esttica. Com esta definio a equaodo movimento d

f

Deve ficar claro que a causa do movimento o gradiente da presso piezomtrica, poisgrad 0 = = =m 0 v

grad . = m (VII.3.7)

f f .0 Manmetros contendo o fluido que satura o meio poroso,ilbrio, valores idnticos para a presso piezomtrica, independentementearo, no equ

ltura da tomada de presso.dada primeiramente por Darcy, que props a linear da fora a

velocidade do fluido. Props ainda a dependncia na viscosidade do fluido, chegando aseguinte relao:

f f.k k = =m v q (VII.3.8)

Nela k a permeabilidade do meio poroso, uma grandeza com dimenses de L2, portanto denatureza geomtricamovimento do fluido

. Substituindo a lei de Darcy na forma simplificada da equao doobtm-se a equao de Darcy,

f f

kgrad .=

q (VII.3.9)

Esta equao foi durante um longo tempo interpretada como uma equao constitutiva, semelhana com as leis: de Fourier ( )kgrad= q que determina o fluxo trmico proporcional

ao gradiente da temperatura; a lei de Fick ( )gradc= j D que determina o fluxo de umcomponente qumico em soluo pro gradiente de sua concentrao; e diversasoutras leis lineares entre fluxos e for micas. Acresce que sua substituio naeq.(VII.1.14) escrita para o regime permanen nula d como resultado umaequao idntica da conduo de calor.

porcional aoas termodin

te e gerao

( ) 2f f fk

div div grad 0 0.= = =

q (VII.3.10)

Note que a formulao desta equao s depende da equao de balano de massa dofluido e da equao de Darcy. Nela se obcondies de regime permanente, e geraentr

serva a analogia com a conduo de calor naso nula. Existem duas diferenas fundamentais

e a lei de Darcy e a de Fourier. A primeira fica aparente na diferena entre as equaes

que regem o transiente.

32


33/53

2f

k0;

t

=

2 0.t

=

(VII.3.11)

Na primeira destas o balano de massa envolve duas variveis ( )f, , enquanto que no

operaalque

balano de energia a temperatura a varivel presente nos dois dores. A segundadiferena, talvez mais fundamental, reside no fato de que em qu r escoamento, sejaatravs de meios porosos ou no, h massa em movimento. Massa possui inrcia e asequaes de balano de momento devem ser satisfeitas. Nos casos onde as aceleraes nose anulam obtm-se o seguinte resultado:

( )fF f f f grad grad .t k

+ =

vv v v (VII.3.12)f

Se as duas fases esto em movimentovelocidade do fluido pela velocidade relativa entre as fases u ,

, ento na lei de Darcy deve-se substituir a

f f s =v v v

( )f s .k k

= =m v v u (VII.3.13)

VII.4 Permeabilidade

caracterstico do meio poroso. uma propriedade doarranjo e distribuio de tamanho dos poros por onde o fluido deve passar. Sua dimenso de

or de umtubo o transversal arbitrria, e a correspondente queda de presso no meiopor

Permeabilidade um parmetro

quadrado de comprimento, razo pela qual diz-se que seja de natureza geomtrica.Permeabilidade deve ser determinada experimentalmente. O meio poroso inserido numtubo, bem ajustado de modo a no permitir o escoamento entre a parede do tubo e o meioporoso. Um fluido newtoniano com viscosidade conhecida bombeado a diferentes valores

de vazo e a queda de presso piezomtrica medida. A eq.(VII.3.9) permite o clculo dapermeabilidade. No h substituto para o dado de laboratrio, obtido cuidadosamente. Umaestimativa da permeabilidade pode ser obtida por intermdio de um modelo capilar.

Modelo CapilarAdmite-se a equivalncia entre a queda de presso no regime laminar no interi

capilar de seoso em regime darciano.

Escoamento no capilar. analogia com Escoamento no meio poroso2hv Rf

x R /=

h

v f f k

x k

= =

= constante carav = velocidade mdia = 2 para seo circular

as paralelasefinid seo transversal do tubo para o

o luido-

cterstica do capilar

Rh= raio hidrulico = 3 para placO raio hidrulico d o pela relao da rea dapermetro de contat f slido.

h

rea da seo livreR

permetro de contacto= h

volume vazioR =

rea de contactoA justificativa para a interpreta io hidrulico do meio poroso obtidapor multiplicao pelo comprime

o que dada para o ranto. Da resulta:

( )h S mR .

1 S

=

(VII.4.1)

Nesta ltima relao Sm a superfcie especfica do meio poroso, dada por ( )m S pS 6 / D= . fcil passar deste ponto Equao de Kozeny-Krmn,

33


34/53

( )( )

23

p

2

Dk .

36 1

=

(VII.4.2)

A comparao de suassituando-se na faixa

previses com dados experimentais d como resultado o valor de 54 , o que d para o denominador da equao 144 36 180 .

No caso de haver uma distribuio de tamanhos das partculas deve-se empregar um

dimetro mdio, e h es de que o dimetro mdio de Sauter o m aindica ais propriado.

( )p 1 pD .

dX D=

(VII.4.3)

1

p0 D

Forma quadrtica de ForscheimerAgora faz-se a analogia com a fora por unidade de volume sobre partculas isoladas com

o que ocorre nos meios porosos.Partculas Meio Poroso

2

pD

uRegime de Stokes m ,

fRegime de Darcy m q .k

=

Desta comparao resulta que

p D k .2

p

u,

DFRegime de Newton m

2f

F

qm .

k

Desta analogia resulta a forma para a fora a para o escoamento defluidos newtonianos em meios poros os, a forma uadrtica de Forscheimer.

completa resistivos isotrpic q

F ff f f f

qc , onde q .

k k

= + =m q q q (VII.4.4)

A constante c, de proporcionalidade, vem de trabalhos experimentais; as formas mais

comumente citadas so as propostas por Ergun,3

2

0,14c .=

(VII.4.5)

e por Ma i,ssaran

( ) ( )0,980,37 0,01 60,13 k /k 0,1 k /k , onde k 10

32

0 0 0c 1/ + = , (VII.4.6)=

0,75, e para 10 k 10 cm. Expresses equivalentes so encontradas na literatura dentre a

vlida para 0,15 9 3

s quais esto

[ ]

F ffk

f

c kq

1 Re ,k

+

= +

q

m q

(VII.4.7)

Nesta ltima empregou-se a seguinte definio para o nmero de Reynolds

1 ,

= m

F fc kqRe

=

,

que tem por dimenso linear caracterstica k . Uma forma simplificada para aresulta com a substituio de (VII.4.2), e de (VII.4.5) na equao (VII.4.7), obtid e

4,2

eq.(VII.4.7)a utilizando-s

=

( )

( )

( )

( )

2

F1 1150 1,75 ,

f f2 33pp DD

m q

Esta sendo a equao de Ergun.

= + q (VII.4.8)

34


35/53

VII .5 Escoamentos de Fluidos No-Newtonianos

A determinao da fora resistiva para o escoamento de fluidos no-newtonianos tem pore um valor de viscosidade baseada na curva material da

tenso de cisalhamento observada no escoamento viscomtrico deste fluido.Um Carreau, que

sati

base o emprego na eq.(VII.4.4) d

modelo bastante amplo e de grande aplicao prtica o modelo de

sfaz seguinte equao:

( ) ( ){ }n 1

2 20 1 T ,

altas taxas de

= + + (VII.5.1)

onde 0, e so dois valores assintticos, respectivamente para baixas, e

distenso xv

y

=

. (T) uma ( ) 00

T funo da temperatura com a forma T exp

T =

. Para

baixo res da taxa de distenso a va

da taxa

iscosidade tende a 0, e para os altos valores tende as valo

. A forma d curva d a caracterstica de aumento ou da diminuio da viscosidade emfuno de distenso. O expoente n anlogo ao expoente da lei da potncia

n 1 = .

meios porosos proposta a validade da equao (VII.4.7), substituindo a viscosidade pelacosidade efetiva expressa em funo da taxa de distenso efetiva no escoamento do fluido

no meio poroso.

(

Do ponto de vista da equao constitutiva para a fora dinmica nos escoamentos em

vis

) . (VII.5.2)Dad

ef ef =

os experimentais permitiram a Massarani estabelecer a seguinte relao:

( )12

fef

1,2,

k =

q

t (VII.5.3)onde t a tor

ade de 0,45pode-se estimar a t

tuosidade do meio poroso definida pela relao entre o comprimento dodo e o comprimento do meio. Note que O valor frequentemente adotado parapercurso do flui

a tortuosidade de 2,5= . Com este valor para a tortuosidade, e uma porosidaxa de distenso em:

ef f / k q . (VII.5.4)

tSe a ortuosidade e porosidade so conhecidas ento a equao (VII.5.3) deve serempregada. A expresso final para a viscosidade efetiva tem a forma

( ) ( )

( )

12

, .k

n 12 2

1,21 T fef 0

= + +

(VII.5.5)q

Ela deve ser empregada no lugar de na eq. (VII.4.4).

VII.6 Aplicaes

Escoamentos em meios porosos rgidosade independente da posio e do

tempo. Alem disso consideramos a acelerao do fluido desprezvel, e que a lei de Darcy apli

Consideramos um meio poroso rgido, com porosid

cvel.

f f

k= grad .

O balano de massa expresso,por (VII.1.12) reduz-se a:

q (VII.6.1)

35


36/53

fdiv 0.=q (VII.6.2)A equao de Kozeny-Krmn demonstra que para este caso a permeabilidade constante,e se o escoamento isotrmico podemos escrever, eliminando qf entre as duas ltimasequaes

div grad 0 0. = (VII.6.3)

Est oluo equao diferencial maisestudada. O l

livro clssico de Pelageya Yakovlevna Polubarinova-Kochina considerada umadas mais importantes matemtic

t contido no interior de um tubo comine a curva de vazo versus queda de0-5cm2.dades constantes tem-se:

ao de carvo. No incio da2.g cessos detransformao de querosene e leos leves em gasolinas de alta octanagem para a aviao. Opro to com catalisador de alumina operava intermitentemente poisa d

( ) 2 =f fa expresso determina que presso piezomtrica seja s

aplaciano da presso piezomtrica sendo nulo, esta varivel harmnica o quedetermina a existncia, unicidade, e estabilidade das solues de um grande nmero deproblemas de importncia prtica. Toda a hidrulica subterrnea tem por base solues destaequao. O

as da Unio Sovitica, dedica-se quase que exclusivamentea solues desta equao.Problema 1. Considere uma barragem que retm gua, a montante, a uma altura H e ajusante altura h. Sabendo sua permeabilidade (k), de as condies de contorno para oproblema do escoamento da gua atravs da barragem, e esboce a forma da superfcie.

Problema 2. Um meio poroso, de comprimento L, esdimetro D. Conhecida a sua permeabilidade k determpresso piezomtrica. Dados: L= 0,5 m, D=5cm, k=3,21

No escoamento atravs de um leito fixo com proprie

VIII FLUIDIZAOA fluidizao foi desenvolvida em 1922 durante a primeira guerra para a gaseificao

14379-apostila oper unitarias ifam

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