Gabarito da a2 Prova de Criptografia-2-2007

1. (2,0pts)Sejam a,b, m,n números inteiros, com m > 1 e n >1. Prove que:

a≡b (mod m) e a≡b (mod n) se e somente se a≡b (mod m.m.c (m,n)).

Resposta: (⇒ ) Se a≡b (mod m) e a≡b (mod n), tem-se que m | (a-b) e n | (a-

b). Assim, pela definição de m.m.c. segue que m.m.c(m,n) | (a-b), assim a≡b

(mod m.m.c (m,n)).

(⇐ ) Seja a≡b (mod m.m.c (m,n)). Assim, como m | m.m.c(m,n) e

n | m.m.c(m,n), tem-se que a≡b (mod m) e a≡b (mod n).

2. (1,0pt) Calcule o resto da divisão de 643 por 31

Resposta:

)31(mod433 −≡ e 64 = 3 . 21 +1. Assim

)31(mod3.)2(3.)4(3.21)3(3 4221364 −≡−≡≡ . Por outro lado

)31(mod125 ≡ e 42 = 8.5 +2. Logo

)31(mod123.2.)2(3.)2(3 2854264 −≡−≡−≡ . Como )31(mod1912 ≡− , então 643

dividido por 31 deixa resto 19.

3. (1,0pt) Se b≥a e p é primo, prove que: ppp abab −≡− )( (mod p).

Resposta::

)(mod)()( paabaabb pppp +−≡+−= ⇒ ppp abab −≡− )( (mod p).

4. (2,0pts) Considere a seguinte tabela de conversão de letras para números.

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35

a) Convirta a letra P segundo a tabela acima. Resposta: 25

b) Pegue os primos distintos p=11 e q=13 e escreva n = p.q. Escolha (7,n) como a chave públiva. Codifique usando o RSA a número definido no itém a).

Resposta : n = 11.13 = 143. Tem-se que e = 7 e mdc(e, )(nφ )=1, onde )(nφ =10.12 =120. C(b) = resto da divisão de eb por n. C(25)≡257=(25)

22 x 25 2 x 25 ≡ 64(mod143). 5. (2,0pts) Utilise o Teorema Chinês do Resto, para achar o inteiro X inteiro, que satisfaça o sistema.

⎪⎩

⎪⎨

⎧

≡−≡≡

7mod43mod1

2mod1

XXX

Resposta: m = 2.3.7 = 42

6,14,21 321 === MMM . Escrevendo 1=+ iiii NsMr para cada i=1,2,3, tem-se que

1,1,1 321 −=−== rrr Assim 3332221110 MraMraMrax ++= é dado por

0x =1.1.21+(-1).(-1).14+4.(-1).6=11 6. (2,0pts) Seja n um inteiro positivo e p um fator primo de n. Responda

justificando:

a) Se φ é a função de Euler então p-1 divide )(nφ ?

Resposta: Se p é um fator primo de n, então podemos escrever mpn r .= , onde

p não divide m. Assim mdc(m,p)=1 e portanto

)()1()()().( 1 mppmpmp rrr φφφφ −== − .

Sendo assim p-1 divide )(nφ .

b) Pode acontecer de p não dividir )(nφ ?

Resposta: Sim. para que p divida n mas não divida )(nφ , basta tomar r =1 no

itém anterior.