Prof. Sandra Paulo | Ficha de Trabalho 3 | Matemática | 11º Ano 1/4

Colégio Júlio Dinis Ficha de Trabalho 3

Nome: Nº

Turma: 11º Disciplina: Matemática

Período: 1º Data: Outubro de 2010

Parte I – Escolha Múltipla

1. A expressão ( )2

cossenα α+ é equivalente a:

(A) 2 2cossen α α+ (B) 1 2 cossenα α+ ×

(C) 2 2cossen α α− (D) 2 cossen α α+

2. Um ângulo tem de amplitude 200º. Qual é a sua amplitude no sistema circular?

(A) 9

10π (B)

10

9π (C) 1,1π (D) 3,5

3. Um ângulo tem de amplitude 3 rad. Qual é a sua amplitude no sistema sexagesimal?

(A) 171º (B) 170º (C) 175º (D) 171º 53́14´´

4. Numa circunferência de raio 2cm , um arco com 8cm de comprimento tem amplitude:

(A) 4 radπ (B) 4 rad (C) 4

radπ

(D) 1

4rad

5. Um ângulo de amplitude 6 radianos pertence a que quadrante?

(A) 1º Q (B) 2ºQ (C) 3ºQ (D) 4ºQ

6. Numa circunferência de raio r, o comprimento de um arco é igual a 7r. A amplitude do respectivo

ângulo ao centro é:

(A) π radianos (B) 1 radiano (C) 5 radianos (D) 7 radianos

7. Os braços de um compasso medem 11 cm. Quando fazem um ângulo de 3

π radianos, qual é, em

centímetros, o perímetro da circunferência que permitem desenhar?

(A) 5,5π (B) 11π (C) 19π (D) 22π

8. O(s) quadrante(s) onde a tangente e o co-seno têm o mesmo sinal são:

(A) 1º e 2º Quadrantes (B) 1º e 3º Quadrantes

(C) 1º e 4º Quadrantes (D) apenas no 1º Quadrante

Revisões para o Teste de Avaliação Nº1

Prof. Sandra Paulo | Ficha de Trabalho 3 | Matemática | 11º Ano 2/4

9. A simplificação da expressão ( ) ( )cos2

sen x x sen xπ

π π

− + + + +

é:

(A) 2 cossen x x+ (B) cos x

(C) sen x (D) 2cossen x x+

10. O valor da expressão ( )5

sin 5 cos2

x xπ

π

− − − é:

(A) −2 (B) 0 (C) 1 (D) 2

11. O círculo da figura tem raio 2. Se 150ºα = , as coordenadas de P são:

(A) ( )3,1− (B) 3 1

,2 2

−

(C) ( )1, 3− (D) ( )0,87; 0,5−

12. Sejam α e β as amplitudes dos dois ângulos agudos de um triângulo rectângulo. Então,

2 2sen ( ) cos ( )

2

α β+ é igual a:

(A)

2sen ( )

2

α (B)

2sen ( )α

(C) 1

2 (D) Depende do triângulo rectângulo escolhido.

13. Na figura, está representado um triângulo rectângulo [ABC], cuja

hipotenusa mede 2m. Qual das expressões dá a área, em m2, do triângulo

[ABC], em função da amplitude α, do ângulo ABC?

(A) 2s n cose α α (B) 4sen cosα α

(C) 2 tanα αsen (D) 4sen tanα α

14. Qual das seguintes afirmações é verdadeira?

(A) No 2º Quadrante, 0cos >⋅ αα tg .

(B) No 3º Quadrante, o co-seno e o seno têm sinais diferentes.

(C) Existe um ângulo no 4º Quadrante cujo co-seno é igual a 2

5 .

(D) Não existe nenhum ângulo no 1º Quadrante cuja tangente seja igual a 5.

15. Os valores de k para os quais a condição 2

cos3

kβ

−= é possível são:

(A) 2

2,5

k

∈ − (B) 5,1k ∈ − (C) 1,5k ∈ − (D) 2

,23

k

∈

Prof. Sandra Paulo | Ficha de Trabalho 3 | Matemática | 11º Ano 3/4

Parte II – Questões de Desenvolvimento

16. Localize o quadrante em que se encontra cada um dos ângulos com as seguintes amplitudes:

16.1. 2020ºα = 16.2. 24

5

πβ =

17. Determine o valor exacto das seguintes expressões:

17.1. ( )(30º ) cos 45º 3 ( 30º )sen tg+ + −

17.2. cos3 6 3

sen tgπ π π

π

+ + −

17.3.

32

4 3

cos06

sen tg

tg

π π

π

−

+

17.4. 13 5 10

tg sin cos3 6 3

π π π

+ +

17.5. ( )2 23

sin tg 3 cos3 6

π ππ

− +

18. Simplifica cada uma das seguintes expressões:

18.1. ( ) ( )1 3 3

tg cos 3 sin2 2 2

πα π α α

− + + + −

18.2. ( )2

2sin cos sin cos2 2

π πα α α α

− +

⋅ − −

18.3. 17 2 8

sen cos tan6 3 3

π π π

+ − +

19. Seja α um ângulo do 3º quadrante tal que 5

cos12

α = − . Calcule: ( ) sin2

tgπ

π α α

− + + .

20. Sabendo que ( )4

sin 25

xπ − = e 3

2xπ π< < , calcule o valor de ( )2cos 5 xπ + +

3sin

2xπ

−

.

21. Prove que, para qualquer x ∈� para o qual as expressões têm sentido, são válidas as seguintes

igualdades:

21.1. ( ) ( )2 2

cos sin cos sin 2x x x x+ + − =

21.2. 1 1

sen( ) tg( )cos( ) tg( )

x xx x

= ⋅ +

21.3. 21 sin

tg cos + sin cossin

αα α α α

α

−⋅ = +

Prof. Sandra Paulo | Ficha de Trabalho 3 | Matemática | 11º Ano 4/4

22. Determine os valores de k que satisfazem as seguintes condições:

22.1. 2 1

sin ,3 2

k πα α π

− = ∧ ∈

22.2. 1 1

sin cos2 2

k kα α

+ −= ∧ =

23. Dois amigos avistam um parapente, segundo os ângulos de

amplitudes 88º e 70º, respectivamente.

A que altura se encontra o parapente?

24. Um corredor de um museu, de largura 3 3 m , continua em ângulo recto e a largura passa a ser de 1 m.

Considere a recta que passa por O, faz um ângulo de amplitude α 02

πα

< <

com uma parede e

intersecta as outras paredes nos pontos A e B, tal como a figura sugere.

24.1. Exprima OB em função de α .

24.2. Mostre que 3 3 1

sin cosAB

α α= + .

25. Para iluminar uma região circular de 2 m de raio, coloca-se um foco sobre a vertical

que passa pelo centro dessa região. A intensidade luminosa do foco em certa unidade é

dada por 2

sin

h 4I

α=

+, sendo h a altura, em metros, a que se coloca o foco e α a

amplitude do ângulo assinalado na figura.

Mostre que I é dada,

25.1. Em função de α , por ( ) ( )1

cos sin 28

I α α α= . (Nota: Utiliza a igualdade ( )sin 2 2sin cosα α α= ).

25.2. Em função de h, por ( ) ( )3

2 2h h 4 hI−

= + .

26. A pedido de um cliente, um fabricante tem de construir peças metálicas de área máxima com a forma de

um trapézio, em que: 2AB BC CD dm= = = .

Designando por a amplitude (em radianos) do ângulo ADC:

26.1. Exprime a altura h do trapézio e o comprimento da

base maior em função de α .

26.2. Prova que a área ( ) 4 4 .cosA sen senα α α α= + .