1 sistemas de numeração e códigos
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SISTEMAS DIGITAIS
H. Neto, N. HortaOutubro de 02
SISTEMAS DE NUMERAÇÃOE CÓDIGOS
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H. Neto, N. HortaOutubro de 02
SUMÁRIO:SISTEMAS DE NUMERAÇÃO
DEFINIÇÃO DE SISTEMA DE NUMERAÇÃOEQUIVALENTE DECIMALOPERAÇÕES ARITMÉTICAS BÁSICASMUDANÇA DE SISTEMA DE NUMERAÇÃO
CÓDIGOSCÓDIGOS BINÁRIOSCÓDIGOS DECIMAIS-BINÁRIOSCÓDIGOS ALFANUMÉRICOS
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DEFINIÇÃO DE SISTEMA DE NUMERAÇÃO POSICIONAL
Um sistema de numeração é composto por:Base - b
e.g. B = 16Alfabeto Ordenado - conjunto de b símbolos distintos (dígitos)
e.g. [0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F]Número - corresponde a uma sequência de dígitos.
e.g. N(b) <> … d2 d1 d0, d-1 d-2 …Valor do Dígito (peso) - função do símb. e da pos. na sequência.
e.g. p2 = d2 b2
2888610 101011102 52708 A32C16
Exemplo:
S.N. : Decimal Binário Octal Hexadecimal
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DETERMINAÇÃO DO EQUIVALENTE DECIMAL
Equivalente Decimal: Representação no sistema decimal de um número na base b.
...bdbdbdbd...bdN ii)( +++++== −
−
+∞
∞−∑
11
00
11
2210
101011102
A32C16
Exemplo:
S.N. : Binário Decimal
S.N. : Hexadecimal Decimal
(27+ 0 + 25+ 0 + 23 + 22+ 21 + 0)10 17410
(10x163 + 3x162+ 2x161 + 12)10 4177210
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OPERAÇÕES ARITMÉTICAS BÁSICAS
Algoritmos em tudo semelhantes ao do sistema decimal, excepto na base utilizada.
Exemplo:
S.N. : Binário S.N. : Hexadecimal
0110+ 110110011
10110x 1101
1011010110__
10110___100011110
5AF1+ B32D10E1E
A24x 131E6CA24_C0AC
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MUDANÇA DE SISTEMA DE NUMERAÇÃO
CONVERSÃO DE BASES ( para a base )
A conversão de um número numa base diferente de 10 para a base decimal reduz-se a representar esse número como um polinómio e de seguida determinar o equivalente decimal (ver Determinação do Equivalente Decimal)
101 ≠b 102 =b
CONVERSÃO DE BASES ( para a base )
A conversão de um número na base 10 para uma base diferente realiza-se em duas fases:
(1) A parte inteira é convertida segundo o método das divisões sucessivas.
(2) A parte fraccionária é convertida segundo o método das multiplicações sucessivas.
101 =b 102 ≠b
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MUDANÇA DE SISTEMA DE NUMERAÇÃO
CONVERSÃO DE BASES ( para a base ) (cont.)101 =b 102 ≠b
Exemplo:
20,35(10)
S.N. : Decimal Binário Hexadecimal10100,...(2) 14,...(16)
20 200 10 2
0 5 21 2 20 1 2
1 0
20 164 1 16
1 0
O número a converter e os quocientes sucessivos são divididos pela base.
A sequência de restos constitui o resultado da conversão.
1º resto = dígito menos significativo
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0,35X 20,70X 21,40X 20,80X 21,60
MUDANÇA DE SISTEMA DE NUMERAÇÃO
CONVERSÃO DE BASES ( para a base ) (cont.)101 =b 102 ≠b
Exemplo: (cont)
20,35(10)
S.N. : Decimal Binário Hexadecimal
10100,0101...(2) 14,59...(16)
0,35X 1621035_5,60X 1636060_9,60
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MUDANÇA DE SISTEMA DE NUMERAÇÃO
CONVERSÃO DE BASES ( para a base e vice-versa)
Atendendo às propriedades das potências facilmente se infere que:
(1) Na conversão da base 2t para a base 2, transforma-se cada dígito da base 2t em t bits da base 2.
(2) Na conversão da base 2 para a base 2t, transforma-se cada t bits da base 2 num dígito da base 2t.
tb 21 = 22 =b
Exemplo: Binário
0001 0100,0101(2)
1 4 , 5 (16)
Hexadecimal
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CÓDIGOS BINÁRIOS
CÓDIGO BINÁRIONo presente contexto, por código binário, entende-se o código que estabelece a correspondência entre palavras escritas num qualquer sistema de numeração e palavras constituídas por caracteres binários.
e.g. 12(10) <> 1100(2)
⇔
100101111110010011001000
111110101100011010001000
76543210
CBN CBRCÓDIGO BINÁRIO NATURAL (CBN) Código ponderado, gerado pelo sistema de numeração de base 2, em que os pesos das colunas são sucessivamente 2n-1, 2n-2, …, 21, 20.
CÓDIGO BINÁRIO REFLECTIDO (CBR) ou CÓDIGO DE GRAYCódigo não ponderado, obtido do CBN por troca de símbolos do alfabeto binário, i.e., na primeira coluna temos 01 10 em vez de 01 01 do CBN, na segunda coluna temos 00 11 11 00 em vez de 00 11 00 11 do CBN etc., daí a designação de CB reflectido.
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CÓDIGOS DECIMAIS-BINÁRIOS
BCD
��������������
�
�
⇔
��������������
�
�
1001100001110110010101000011001000010000
9876543210
CÓDIGO DECIMAL-BINÁRIO
Código que estabelece a correspondência directa entre caracteres da palavra constituída por símbolos da base 10 e a sua codificação binária.
CÓDIGO BCD (“Binary-Coded Decimal”)
O código BCD corresponde ao CBN com N=4.
e.g. 12(10) <> 0001 0010 (BCD)
Nota: Nas operações aritméticas deve ser introduzido um factor decorrecção, 6(10) <> 0110 (BCD), sempre que o resultado seja superior ou igual a 10.
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CÓDIGOS ALFANUMÉRICOS
CÓDIGO ASCII (American Standard Code for Information InterChange):
Exemplo de código alfanumérico que permite codificar informação numérica, alfabética e também caracteres de controlo.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F0 NUL SOH STX ETX EOT ENQ ACK BEL BS HT LF VT FF CR SO SI1 DLE DC1 DC2 DC3 DC4 NAK SYN ETB CAN EM SUB ESC FS GS RS US2 SP ! " # $ % & ' ( ) * + , - . /3 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 : ; < = > ?4 @ A B C D E F G H I J K L M N O5 P Q R S T U V W X Y Z [ \ ] ^ _6 ` a b c d e f g h i j k l m n o7 p q r s t u v w x y z { | } ~ DEL
B4B3B2B1
B7B6B5
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BIBLIOGRAFIA
[1] M. Morris Mano, Charles R. Kime, “Logic and Computer Design Fundamentals”, Prentice-Hall International, Inc. (Capítulo 1, Secções 1.2-1.5)