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1)

an= a.a.a.......................................an vezes

2)

1n= 1, para qualquer n IR

3)

a0 = 1, para qualquer a IR

4)

a1 = a, para qualquer a IR

5)

6)

(a . b)n = an . bn ex: (a . b)5= a5 . b5

__________________________________________________________________________________1

2 n

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7)

(a b)n = an bn ex: (a b)3 =a3 b3

8)

am. an = a m n ex: x5 . x3 = x5+3=x8

9)

am an = a m-n ex: x5 x3 = x5-3 =x2

10)

(am)n = am.n=(an)m ex: x3 (x3)2 OBS: (am)n am x6 x9

11)

(-a)n = positivo, se n for par

12)

(-a) n = negativo, se n for ímpar

´

01) Sendo x e y diferentes de zero, é falsa a igualdade:

a) 10x .10y =10x+y

b) 10x 10y = 10x-y

c) (10x)y = (10y)x

d) (10x)x =102x

__________________________________________________________________________________2

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02) (UnB/DF) – A expressão (5-5)5 é igual a:

a) -

b) 5-25

c) (-25)5

d) 5-10

03) (FESP/SP-2000) – A expressão 2x-2 . 2x+2 é igual a:

a) 2x

b) 24

c) 22x

d) 2x2-4

4) (UFSM) – Efetuando a divisão ex ex-2, teremos:

a) e2

b) e-2

c) e2x

d) e2x-2

5) (CESCEM/SP) – Simplificando a expressão [29 22. 2)3]-3 obtemos:

a) 236

b) 2-30

c) 1

d) 2-6

6) (UFBA) Simplificando expressão 6.10-3 .10-4 . 108 dividido por 6. 10-1 . 104

obtemos:

a) 100

b) 10-1

c) 10-2

__________________________________________________________________________________3

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d) 10-3

1) Quadrado da soma da soma de dois termos:

(a + b)2 = a2+ 2ab + b2

Daí, a seguinte regra: o quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo, MAIS duas vezes o produto do primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo termo.

2) Quadrado da diferença de dois termos:

(a – b)2 = a2 – 2ab + b2

Daí, a seguinte regra: o quadrado da diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo, MENOS duas vezes o produto do primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo termo.

3) Produto da soma de dois termos pela diferença:

(a + b) . (a – b) = a2 – b2

Daí, a seguinte regra: o produto da soma de dois termos pela sua diferença é igual ao quadrado do primeiro termo MENOS o quadrado do segundo termo.

4) Cubo da soma de dois termos:

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

5) Cubo da diferença de dois termos:

(a –b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3

Exercícios

01) A expressão (x + 2y)2 é igual a:

a) X2 +4y2

b) X2 + 2y2

c) X2 + 4xy +4y2

d) X2 + 2xy + 4y2

02) A expressão (ab + 3c) . (ab - 3c) é igual a:

a) a2b2 – 3c2 b) a2b2 + 9c2

__________________________________________________________________________________4

2

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c) a2b2 – 9c d) a2b2 – 9c2

03) A expressão (3m – 2n)2 é igual a:

a) 9m2 + 12mn +4n2

b) 9m2 – 4n2

c) 9m2 – 12mn + 4n2

d) 9m2 – 12mn – 4n2

04) A expressão x + é igual a:

a) X2 + x +

b) X2 + x +

c) X2 + 2x +

d) X2 + x +

05) (x-a)3 é igual a:

a) x3 - a3

b) x3- 3ax2 + 3a2x - a3

c) x3 + 3ax3 - 3ax3 - a3

d) x3 + a3

06) A expressão (3a3+2b2 ) . ( 3a3-2b2 ) é igual a:

a) 3a6-2b4

b) 9a9-4b4

c) 9a6-4b4

d) 6a6-4b4

07) (a-b+c)2 é igual a:

a) a2-b2+c2

b) a2+b2+c2

c) a2+b2+c2-2ab+2ac-2bc

d) a2-b2+c2+2ab+2ac-2bc

08) (-1+2x).(1+2x) é igual a :

a) 1-4x+4x2

b) 4x2-1

c) 1-4x2

d) 2x2-1

09) (m+n)2 é igual a:

a) m2+2mn

b) m2+n2

c) m2+mn+n2

d) m2+2mn+n2

10) (1+y)3 é igual a:

a) 1+3y+3y2+y3 b) 1+y3

__________________________________________________________________________________5

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c) 3+y3 d) 1+2y+2y2+3y3

1º caso: Fator comum a todos os termos (ou com evidência).

2º caso: Fator comum a grupos de termos (ou agrupamento).

3º caso: Diferença entre dois quadrados.

4º caso: Trinômio quadrado.

5º caso: Trinômio do 2º grau (a ≠ 0).

6º caso: Cubo perfeito.

__________________________________________________________________________________6

ax+bx-mx=x(a+b-n)

ax+bx+ay+by = x(a+b)+y(a+b) = (a+b).(x+y)

a3+ 3a2b + 3ab2 + b3 = (a+b)3

a3- 3a2b + 3ab2 - b3= (a-b)3

ax2+bx+c = a (x-x1).(x-x2) onde x1 e x2 são as raízes.

a2+2ab+b2 = (a+b).(a+b) = (a+b)2

a2-2ab+b2 = (a-b).(a-b) = (a-b)2

a2- b2=(a+b).(a-b)

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7º caso: Soma ou diferença de cubos.

1. É um quadrado perfeito o seguinte monômio:

a) 4a2b

b) x2y3

c) 6x2y6

d) 16x2y6

2. A raiz quadrada do monômio 16x4y6 é:

a) 8x2y3

b) 4x2y3

c) 4x2y6

d) 16x2y6

3. Fatorando 3x3-3x2, obteremos:

a) 3(x3-x2)

b) x2(3x-3)

c) 3x2(x-1)

d) 3x(x2-x)

4. A forma fatorada da expressão x2-4xy+4y2 é:

a) (x+2y)2

b) (x-2y)2

c) (x-4y)2

d) (x-2xy)2

5. A expressão ax - bx + a - b é igual a:

a) (a-b).(x-1)

b) (a-b).(x+1)

c) (a-b).x

d) (a+b).(x+1)

6. Fatorando a expressão m2-4, vamos obter:

a) (m-2)2

b) (m+2).(m-2)

c) (m+4).(m-4)

d) (m+2)2

__________________________________________________________________________________7

a3+ b3 = (a+b).(a2-ab+b2)

a3- b3 = (a-b).(a2+ab+ b2)

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7. A forma fatorada da expressão a3-m3 é:

a) (a+m).(a2-am+m2)

b) (a-m).(a2+am+m2)

c) (a-m).(a2-am+m2)

d) (a+m).(a2+am+m2)

8. Fatorando a expressão x4-81, obtemos:

a) (x3+9).(x+3)

b) (x+3).(x-3)

c) (x2+9).(x+3).(x-3)

d) (x2-92)

9. A forma fatorada da expressão 4a2-8ab+4b2 é:

a) 4(a+b)2

b) 4(a-b)2

c) 4(a+b).(a2-b)

d) (4a-4b)2

10. Fatorando a expressão mn+3n-9-3m, obtemos:

a) (m+3).(n-3)

b) (m+3).(3-n)

c) (m+3).(n+3)

d) (m-3).(n+3)

11. A forma fatorada da expressão xy2+x2y2-xy é:

a) y(xy+x2y-x)

b) xy(y+xy-1)

c) xy(y+xy)

d) xy(xy+x-y)

__________________________________________________________________________________8

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Os conceitos de m.d.c e m.m.c

Você já conhece esses conceitos e sabe como determinar o M.D.C. e o M.M.C. entre números naturais. Façamos, então, uma breve recordação.

Vamos determinar o M.D.C. e o M.M.C. dos números 60 e 40:

1º Fatore os números, ou seja, decomponha-os em seus fatores primos:

60 2 40 2

30 2 20 2

15 3 10 2

5 5 5 5

1 1

a)

M.M.C.: produto dos fatores primos comuns e não-comuns com os maiores expoentes.

b)

M.D.C.: produto dos fatores primos comuns, com os menores expoentes.

__________________________________________________________________________________9

60=2.2.3.5

60=22.3.5

40=2.2.2.5

40=23.5

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01) O mdc e o mmc entre 180, 40 e 28 é:

02) O mdc e o mmc entre (x+1)2.(x+2) e (x+1)3.(x-3):

03) Pedro, Regina e João viajavam regularmente à Porto Alegre. Pedro viajava a cada 20 dias, Regina viajava a cada 30 dias e João viajava a cada 45 dias. Se hoje viajaram juntos, daqui a quantos dias viajarão juntos novamente?

04) Duas rodas dentadas de uma engrenagem têm, respectivamente, 21 e 28, dentes. Cada roda tem um dente estragado. Se, num dado instante, estão em contato os dois dentes estragados, então o menor número de voltas dadas por cada uma das rodas, para que os dois dentes estragados voltem a se encontrar novamente, é:

05) O m.d.c. e m.m.c. entre x2-4 e -5x+6:

06) (UFSM-86) A expressão m-3.(m5)0 m2 , com m IR*, é igual a:

a) 1

m5

b) 1

m8

c) 1

m6

d) 1

m7

__________________________________________________________________________________10

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07) (UFSM) Desenvolvendo ( + +1)2, com a e b números reais. O valor de b é:

a) 0

b) 1

c) 2

d) 4

e) 6

08) (UFSM) – os números que assustam:

5,68 bilhões de pessoas vivem hoje no planeta.

5,7 bilhões de pessoas eram estimadas para viver no planeta hoje.

90 milhões nascem a cada ano.

800 milhões passam fome.

8,5 é a media de filhos por mulher na Ruanda.

1,14% da renda mundial está nas mãos dos 20% mais pobres

35 milhões de pessoas migraram do hemisfério sul para o norte nas últimas três décadas.

De acordo com o texto, os números representam a quantidade de pessoas que vivem no planeta, nasce a cada ano e passa fome são, respectivamente.

a) 568 x 108 ; 9 x 106 ; 8 x 106

b) 5,68 x 108 ; 9 x 106 ; 8 x 106

c) 568 x 107; 9 x 107 ; 80 x 107

d) 56,8 x 109 ; 90 x ; 8 x 109

e) 568 x 109 ; 90 x 106 ; 80 x 106

09) (UFSM) – o numero natural A, ao ser multiplicado por 2/3, fica alterado de 20 unidades. O numero natural B, ao ser dividido por 1/5, fica alterado por 120 unidades. Então A + B é igual a:

a) 230

b) 140

c) 130

d) 100

e) 90

__________________________________________________________________________________11

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= x

→ Definições:

= x pois xn = a

Ex.:

a) = 4, pois 42 = 16

b) = 2, pois 23 = 8

c) = -2, pois (-2)3 = -8

d) = , pois 5 =

e) = 2, pois 27 = 128

f) = -2, pois (-2)7 = -128

g) não é real, pois o radicando é negativo e o índice é par.

__________________________________________________________________________________12

n = índice

a = radicando

X = raiz n-ésima de a

= radical

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Obs.:

1) No campo real, se o índice for par, o radicando deverá sempre ser maior ou igual a zero (radicando ≥ 0).

2) Se o índice for ímpar, o radicando poderá ser qualquer número real.

02)

m = am/n ou ( ) = a1/n

EX.:

a) = 31/2

b) = x2/3

c) = x-1/5

d) = x2/4 = x1/2

e) = x

3)

ex: a)

b)

__________________________________________________________________________________13

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4)

Ex: a)

b)

5)

Ex:

a)

b)

c)

6)

Ex:

a)

b)

c)

d)

__________________________________________________________________________________14

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Nota:

Na multiplicação e divisão de raízes com índices diferentes, devemos fazer uma redução ao mesmo índice através do M.M.C., e a partir daí efetuar as operações normais.

Exemplos:

__________________________________________________________________________________15

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1º caso: se o denominador for uma raiz quadrada, multiplicamos ambos os termos pela própria raiz (fator racionalizante).

Ex: 1)

2)

2º caso: se o denominador não for uma raiz quadrada, devemos procurar o fator racionalizante adequado.

Ex:

1) = . = =

2) = . = =

3º caso: se no denominador for colocada uma expressão envolvendo adição ou subtração com radicais, devemos multiplicar ambos os termos pelo conjugado do denominador.

EX.:

1) = . =

2) = . = =3

OBS.:

a + b conjugado é a - b

__________________________________________________________________________________16

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Exercícios

1) Se k . t = 27 e m . k =12, então é igual a:

a)

b)

c)

d)

2) O produto por é:

a) 2

b) 3

c) 4

d) 4

e) 16

3) Se = + x, então x é igual a:

a) 3

b) 4

c)

d)

e) 15

__________________________________________________________________________________17

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4) Simplificando a expressão , temos:

a) 1-

b) 1-

c)

d) 1-

e)

5) (URGS) – Simplificando a expressão (0,2)-1 + % , obtém-se um número:

a) Negativo

b) Maior que 0 e menor que 1

c) Maior que 1 e menor que 4

d) Maior que 4 e menor que 7

e) Maior que 7

6) (UFSM) – Efetuando-se ( – )2, obtém-se um número:

a) Impar

b) Irracional

c) Maior que

d) Múltiplo de 3

e) Quadrado perfeito

7) (UFSM) – sendo a ≠ 0, o numero real pode ser escrito como:

a)

b)

c)

d)

e)

__________________________________________________________________________________18

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8) (UPF) O valor da expressão , quando a = 2 e b = -3, é:

a) -26/7

b) 1

c) -5

d) -2

e) 10/7

9) (UFSM) A expressão com x e b é equivalente a:

a)

b) -

c)

d)

e)

10) (UPF) – O valor numérico da expressão , para e é:

a)

b)

c)

d)

e)

__________________________________________________________________________________19

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11) (UPF) – A soma de dois números consecutivos é igual aos oito quintos do primeiro mais os três sétimos do segundo. Os números são:

a) 160 e 161

b) 90 e 91

c) 125 e 126

d) 20 e 21

e) 55 e 56

12) Se , o valor da expressão

a)

b)

c)

d)

e)

13) (UPCF) – O valor de X na expressão é:

a)

b)

c) 5

d)

e)

__________________________________________________________________________________20

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13) (UFSM) A expressão , com é igual a:

a)

b)

c)

d)

e)

20 (UFSM) – Um aluno, ao tentar resolver uma lista de exercícios errou 6 e acertou 90 %. O número de exercícios que consta na lista é:

a) 100

b) 96

c) 80

d) 60

e) 54

21 – (UFSN-90) – Se , então ( é:

a) 2

b) 4

c) 8

d) 10

e) 16

__________________________________________________________________________________21

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22 (UFSM) – A expressão , é igual a:

a) 1+

b) 1-

c) -1+

d) -1-

e) -1+

23 (URGS) – O valor de é:

a)

b)

c)

d)

e)

24 (URGS) – Se , então a razão entre o quadrado de e o cubo de é:

a) 64

b) 32

c) 4

d) 2

e) -4

25) O valor da expressão 0,999...+ é:

__________________________________________________________________________________22

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a)

b)

c)

d) 1

e) 2

Grandezas Diretamente Proporcionais: “Duas grandezas são diretamente proporcionais se, aumentando uma delas, implicará o aumento da outra, e na mesma razão.” (são indicadas por setas de mesmo sentido).

Ex:

a) tempo de percurso x distância percorridab) compra de roupa x preço a pagarc) litros de gasolina x quilômetro percorrido

Grandezas Inversamente Proporcionais: “Duas grandezas são inversamente proporcionais se, aumentando-se uma delas, implicará a diminuição da outra e na mesma razão. (são indicadas por setas de sentidos contrários)

Ex:

a) velocidade do carro x tempo para ir de “A” em “B”b) número de operários x tempo de execução da obra

Vamos convencionar que grandezas diretamente proporcionais as setas estarão no mesmo sentido; caso contrário as setas terão sentidos inversos.

Grandezas Diretamente Proporcionais Grandezas Inversamente Proporcionais

01. Em uma tecelagem, 25 teares produzem 1.600m de fazenda em 12 dias de 8 horas. Quantas horas por dia deverão trabalhar 30 teares, para produzir 1.800m em 15 dias?

__________________________________________________________________________________23

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02. Em uma tecelagem, 25 teares trabalhando 8 horas por dia, durante 10 dias fizeram 1200m de certo tecido. Quantos metros do mesmo tecido farão 20 teares, trabalhando 9 horas por dia, durante 18 dias? (1944m)

03. Se 10 arados mecânicos em 9 dias de 8 horas, preparam um terreno de 40 ares, em quantos dias de 9 horas, 12 arados idênticos aos primeiros preparam um terreno de 48 ares? (8 dias)

04. Uma turma de 20 pessoas foi acampar, levando alimentos suficientes para 21 dias, com 3 refeições diárias. Chegando ao local, encontraram mais 15 pessoas. Por quantos dias terão alimentos, se fizerem apenas duas refeições diárias? (18 dias)

05. Um edifício é construído em 12 meses por 20 operários, trabalhando 10 horas por dia. Em quanto tempo esse edifício seria construído, se fossem empregados 15 operários com uma jornada de 12 horas por dia? (x = 1 ano, 1 mês e 10 dias)

06. (UFRGS) Uma pessoa gasta ¼ do dinheiro que tem e, em seguida 2/3 do que lhe resta, ficando com R$ 350,00. Quanto tinha inicialmente?

a) R$ 400,00

b) R$ 700,00

c) R$ 1400,00

d) R$ 2100,00

__________________________________________________________________________________24

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e) R$ 2800,00

01) A expressão é igual a:

a) 1/18

b) 1/12

c) 1/6

d) 2/3

e) 3/2

02) (UFSM) – Uma avenida possui 15 quarteirões, e cada quarteirão mede 220m; a extensão da avenida, em km, é:

a) 0,033

b) 0,33

c) 3,3

d) 33

e) 330

03) (UFSM) – Dados a expressão é igual a:

a) 6x + 18

b) 2

c) 2

d) 6x

e) 18x

04) A expressão é igual a:

a) 1

b)

c)

d)

e)

05) (UFSM) – Se (a, b) é a solução do sistema , pode-se afirmar que ab - 2 vale:

a) 32

b) 30

c) 12

d) 10

__________________________________________________________________________________25

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e) 8

06) (UFCP) – Os valores de x e y que satisfazem ao sistema são dois números

a) Fracionários

b) Pares

c) Negativos

d) Opostos

e) Positivos

07 – Simplificando a expressão ( temos:

a) b)

c)

d)

e)

08) (URGS) – Se ( , então y é igual a:

a)

b)

c)

d)

e)

09) (UFSM) – Dado o sistema pode-se afirmar que o valor de

a) X é menor que o valor de y

b) y é igual ao valor de x

c) y é a quarta parte do valor de x

d) y é a metade do valor de x

e) x é o triplo do valor de y

10) (UFSM) – Dado o triângulo, os valores de b, c e h são respectivamente:

a)

b) ,

c)

d)

e)

__________________________________________________________________________________26

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11) (UFSM) – A medida do ângulo “X” da figura abaixo ao lado é:

a) 116º

b) 106º

c) 96º

d) 58º

e) 48

12) (UFSM) – 96) – Calcule (a-b)2, sendo a e b números reais positivos, sabendo que

a) 5

b) 3

c) 9

d) 4

e) -9

13) (UFSM) O valor numérico da expressão

a) é menor que dois

b) está entre 2 e 3

c) está entre 3 e 5

d) está entre 5 e 6

e) é maior que 6

14) (UFSM) A expressão . é igual a:

a)

b)

c)

d)

__________________________________________________________________________________27

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e)

15) (UFSM) A soma algébrica + - é:

a)

b)

c)

d)

e)

16) (UFRGS) A solução da equação . X + - = 0 é:

a) 5 - 2

b) 2 - 5

c) 2 + 5

d) 1

e)

17) Se o par (x, y) é a solução do sistema

a) -25

b) -24

c) -23

d) 23

e) 24

__________________________________________________________________________________28

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__________________________________________________________________________________29