Num concurso da Petrobrás em agosto 2011

As tres questões a seguir, compareceram num Concurso Petrobrás - Técnico de manutenção Jr. - Elétrica, em agosto 2011.

1 - Brincando de arremessar uma bola em uma cesta de basquete, Pedro e João combinaram que cada um faria 10 arremessos, ganhando 2 pontos por acerto e perdendo um ponto a cada erro. Quando terminaram, João falou: "Eu acertei dois arremessos a mais que você, mas minha pontuação foi o quádruplo da sua."De acordo com o que disse João, quantos arremessos Pedro errou?

(A) 4(B) 5(C) 6(D) 7(E) 8

Solução:

Sejam Pp a pontuação obtida por Pedro e Pj a pontuação obtida por João. Consideremos ainda que Pedro acertou p arremessos e João acertou j arremessos; nestas condições, poderemos escrever de acordo com os dados da questão:

Pp = p.2 - (10 - p).1 = 2p - 10 + p = 3p  - 10Pj = j.2 - (10 - j).1 = 2j - 10 + j = 3j - 10

Em resumo:Pp = 3p - 10Pj = 3j - 10

Nota: observe que são 10 arremessos; se Pedro acertou p arremessos, então errou 10 - p arremessos e, analogamente, se João acertou j arremessos, então errou 10 - j arremessos; isto posto, ficam justificadas as igualdades acima.

Ainda de acordo com o enunciado, poderemos escrever:

j = p + 2  (pois João acertou duas questões a mais do que Pedro).Pj = 4.Pp (pois a pontuação de João foi o quádruplo da pontuação de Pedro).

Então, temos as seguintes igualdades:Pp = 3p - 10Pj = 3j - 10j = p + 2Pj = 4.Pp

Efetuando as substituições convenientes, teremos:

3j - 10 = 4(3p - 10) ou seja:3j - 10 = 12p - 40Substituindo o valor de j = p + 2, vem:

3(p + 2) - 10 = 12p - 403p + 6 - 10 = 12p - 403p - 4 = 12p - 403p - 12p = -40 + 4-9p = -36, de onde tiramos p = (-36)/(-9) = 4

Portanto, Pedro acertou 4 arremessos; como são 10 arremessos, é simples concluir que ele errou 10 - 4 = 6, o que nos leva tranquilamente à alternativa C.

2 - Dentro de uma urna há bolas brancas e bolas pretas. Retirando-se uma bola ao acaso, a probabilidade de que ela seja preta é 2/3. Se fossem retiradas da urna 5 bolas pretas e colocadas 10 bolas brancas, a probabilidade de uma bola branca ser retirada ao acaso passaria a ser 4/7. Quantas bolas há nessa urna?

(A) 30(B) 35(C) 42(D) 45(E) 56

Solução:

Sejam b bolas brancas e p bolas pretas na urna. Pela definição de probabilidade , poderemos escrever:

p / (p +b) = 2/3 Desenvolvendo, fica:

3p = 2(p+b)3p = 2p + 2b3p - 2p = 2bp = 2b

Se forem retiradas da urna 5 bolas pretas e colocadas 10 bolas brancas, a nova composição da urna seria: b+10 bolas brancas e p-5 bolas pretas; de acordo com o enunciado do problema e pela definição de probabilidade, poderemos escrever:

(b+10) / [(b+10) + (p-5)] = 4/7Desenvolvendo, fica:

7(b+10) = 4[(b+10) + (p-5)]7b + 70 = 4(b + p +5)7b + 70 = 4b + 4p + 207b - 4b = 4p + 20 - 703b = 4p - 50

Como já vimos que p = 2b, vem, substituindo:3b = 4(2b) - 503b = 8b - 503b - 8b = -50-5b = -50b = (-50)/(-5) = 10Logo, p = 2b = 2.10 = 20

Portanto, existiam inicialmente na urna, p = 20 bolas pretas e b = 10 bolas brancas, totalizando 20 + 10 = 30 bolas, o que nos leva tranquilamente à alternativa A.

3 - Na igualdade 2x-2 = 1300, x é um número real compreendido entre

(A) 8 e 9(B) 9 e 10(C) 10 e 11(D) 11 e 12(E) 12 e 13

Solução:

Teremos que situar o número 1300, entre duas potências consecutivas de base 2. Observe que 210 = 1024 e 211 = 2048.Ora, como 1024 < 1300 < 2048, poderemos escrever:210 < 1300 < 211

Mas, 1300 = 2x-2 

Logo, fica:  210 < 2x-2 < 211 

Daí, vem: 10 < x - 2 < 11.Adicionando +2 aos membros desta desigualdade (para isolar o x) vem, finalmente 10 + 2 < x - 2 + 2 < 11 + 2 ou seja: 12<x<13, o que nos leva tranquilamente à alternativa E.