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MÉTODOS MATEMÁTICOS EM BIOLOGIA

CURSOS DE BIOFÍSICA E BIOMEDICINA

2007

Gilberto Weissmüller, Nice Americano da Costa e Paulo Mascarello Bisch

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIROINSTITUTO DE BIOFÍSICA CARLOS CHAGAS FILHO

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POR QUE

AS BIOCIÊNCIAS

PRECISAM

DE MATEMÁTICA?

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• “O livro da natureza é escrito na língua da Matemática”

• Galileo (1564-1642)

• “Aqueles que querem analisar a natureza sem usar Matemática devem se contentar com uma compreensão reduzida”

Richard Feynman, (1918-1988) (People who wish to analyze nature without using mathematics

must settle for a reduced understanding)

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CONCEITOS FUNDAMENTAIS

Número

Grandezas

Constantes

Variáveis

Domínio de definição

Tipos de variáveis

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O que é Número?Pitágoras (570-496 aC, Grécia) essência e o princípio de todas as coisas

Aristóteles (384-322 aC, Grécia) o movimento acelerado ou retardado

Euclides (360-295 aC, desconhecido) um composto da unidade

Isaac Newton (1643-1727, Inglaterra) a relação entre a quantidade e a

unidade

Condorcet (1746-1794, França) uma coleção de unidades

Benjamin Constat (1767-1830, Suiça) o resultado da comparação de

qualquer grandeza com a unidade

Schopenhauer (1788-1860, Alemanha) o conceito numérico apresenta-se

como a ciência do tempo puro

Bertrand Russel (1872-1970, Inglaterra) a classe de todas as classes

equivalente a uma dada classe

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7

um conjunto de valores numéricos que a variável é passível de assumir (a partir de sua própria definição)

aberto, se

O domínio de definição de uma variável é sempre representado por um intervalo entre dois valores, a e b, chamados extremos do intervalo. O intervalo pode ser:

fechado, se

bxa

bxa

ou ainda um semi-intervalo aberto

bxa

ou

bxa

Domínio de definição de uma variável

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1. Uma grandeza: a área, S, de um figura limitada por uma curva fechada

O domínio de definição de S será S0

3. Uma grandeza: a variável x=cosb, para todos os valores de b

2. Outra grandeza: a área, S, dos ambientes de um edifício de 30m x 10m

EXEMPLOS DE DOMINIOS DE DEFINIÇÃO

O domínio de definição de S será 3000 S

O domínio de definição de x será 11 x

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Tipos de variáveisordenadasuma variável é ordenada se, conhecido o seu domínio de

definição, para cada par de seus valores, podemos indicar aquele antecedente e aquele conseqüente.

crescentes (ou decrescentes)

uma variável é dita crescente, se cada valor conseqüente é maior que cada valor antecedente.

limitadas

uma variável é dita limitada se existe um valor constante M>0, tal que, para todos os valores conseqüentes da variável, a partir de um determinado valor, fica satisfeita a inequação

Mx

ou

MxM

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A NOÇÃO DE FUNÇÃO

Sejam das variáveis, x e y. Dizemos que y é uma função de x, que designamos simbolicamente por y=f(x), se a cada valor da variável x, através de uma aplicação de um conjunto ordenado de operações, fica associado um valor da variável y.

y1

y2

yn

..

x1

x3

x2

xn

x5

..

f

f

f

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f é a representação simbólica desse conjunto ordenado de operações(potenciação, multiplicação, divisão e soma) realizadas sobre cada valor de x

1o. Tome o valor de x e quadre;

2o. Multiplique o resultado obtido por 3;

3o. Some o valor da metade x;

4o. Acrescente mais 10.

2x

Acompanhe a seguinte “receita” matemática :

23x

23 2 xx

102

3 2 x

x

102

3)( 2 x

xxfy

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f é a representação simbólica desse conjunto ordenado de operações (seno, multiplicação, divisão e soma) realizadas sobre cada valor de x

1o. Tome o valor do seno de x ;

2o. Multiplique o resultado obtido por 3;

3o. Some o valor da metade x;

4o. Acrescente mais 10.

xsen

Agora esta :

102

3 x

xsen

102

3)( x

xsenxfy

xsen3

23

xxsen

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DOIS IMPORTANTES CONCEITOS

Domínio de definição de uma função

conjunto de valores de x, para os quais a função tem um valor determinado

valor da função num ponto

é o valor (numérico) que a função assume para um dado valor de x

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1

1)(

x

xxfy

x

1x

xxsenxfy )(

2)( 6 xxfy

21)( xxfy 11 x

Exemplos de Domínios de Definição

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3

2

1

1)(

x

xxfy

1/ xp

5x

x0)( xsenfy

12)1( 6 xfy

01)1( 2 xfy 1x

Exemplos de Valor da Função

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REPRESENTAÇÕES DE UMA FUNÇÃO

23)( xxfy xsenxfy 3)(

X y

-1 3

0 0

1 3

2 12

3 27

Analítica

A notação simbólica do conjunto de operações matemáticas conhecidas que devemos aplicar, na ordem indicada, a números e letras que exprimem as constantes e variáveis envolvidas. Por exemplo:

Tabular (tabela)

X y

- 0

-/2 -3

0 0

/2 3

0

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y=3senx

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

x(rad)

Graficamente

y=3x2

0

5

10

15

20

25

30

-1 0 1 2 3 4

x

y

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Outras noções sobre funções

• Paridade

( ) ( ) a função é periódicaf x T f x • Periodicidade

• Positividade/Negatividade

( ) ( ) a função é par

( ) ( ) a função é ímpar

f x f x

f x f x

• Zeros (ou raízes) , / ( ) 0i i ix x f x

• Função inversa

• Função de função ( ), ( )y f u u g x

• Função implícita

( ),

( )

y f x

x g y

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FUNÇÕES ELEMENTARES

São aquelas funções cujos conjuntos de operações ordenadas se resumem à forma mais simples das operações conhecidas da álgebra e da trigonometria: potenciação, logaritmo, seno, co-seno, tangente, etc.

Os nomes pelos quais são conhecidas derivam daí, como veremos.

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FUNÇÃO POTÊNCIA

A forma geral da função

axxfy )(Onde a é um número inteiro ou fracionário, positivo ou negativo

Qual o domínio de definição destas funções?Seria, por acaso,

x ?

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-0,6

-0,4

-0,2

0

0,2

0,4

0,6

0,8

-1 -0,5 0 0,5 1

Série1

Série2

Série3

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FUNÇÃO LOGARÍTMICA

A forma geral da função

xxfy alog)( Onde a é um número positivo 1

quando a=número de Euler=e

xxfy ln)(

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FUNÇÃO EXPONENCIAL

A forma geral da função

xaxfy )(Onde a é um número positivo 1

quando a é o número de Euler, designado por e

xexfy )(

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AS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

seno xsenxfy )(

co-seno xxfy cos)(

tangente

secante

xtgxfy )(

xxfy sec)(

cotangente xxfy cot)(

xecxfy cos)( secante