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Faculdade de Ciências eFaculdade de Ciências e Tecnologia da UniversidadeTecnologia da Universidade

de Coimbrade Coimbra

TeoriaTeoria dasdas eleiçõeseleiçõesMATEMÁTICAMATEMÁTICA

Fundamentos e Ensino da ÁlgebFundamentos e Ensino da Álgebrara2004/20052004/2005

Trabalho realizado por:Trabalho realizado por: Ana Sofia Conceição Castanheira Catarina Soares Dias Cláudia Maria Ferreira Sebastião José Alberto Almeida Serra dos Santos

ÍNDICE

Teoria das Eleições

INTODUÇÃO ………………………………………………………………………… 3

CAPÍTULO I – MÉTODOS DE VOTAÇÃO …………………………………….... 5

1.1 Condições de Arrow ………………………………………………………….. 5

1.2 Métodos de votação …………………………………………………………… 6

1.2.1 O Método da Pluralidade ……………………………………………..... 12

1.2.2 O Método de Contagem de Borda ………………………………………18

1.2.3 O Método de Copeland ………………………………………………..... 32

1.2.4 O Método da Pluralidade com Eliminação …………………………… 35

1.2.5 O Método da Comparação Par a Par …………………………………. 52

1.2.6 Rankings ………………………………………………………………… 64

CAPÍTULO II – MÉTODOS DE VOTAÇÃO COM PESO ……………………… 77

2.1 Terminologia e Notação ……………………………………………………… 77

2.2 O Índice de Poder de Banzhaf ……………………………………………….. 81

2.2.1 Aplicações do Índice de Poder de Banzhaf ……………………………. 87

2.3 O Índice de Poder de Shapley-Shubik ………………………………………. 91

2.3.1 Aplicações do Índice de Poder de Shapley-Shubik …………………... 96

2.3.2 Eleições Europeias: comparação dos índices de poder apresentados .. 99

CAPÍTULO III – ELEIÇÕES EM PORTUGAL ………………………………… 104

CAPÍTULO IV – TEORIA DAS ELEIÇÕES NA ESCOLA ……………………. 110

CONCLUSÃO ………………………………………………………………………. 122

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ……………………………………………. 124

INTRODUÇÃO

Fundamentos e Ensino da Álgebra 2


No mundo actual é frequente encontrar, em revistas e jornais, artigos relacionados

com vários tipos de eleições: eleições Presidenciais, eleições Legislativas, referendos,

eleições em clubes desportivos para a escolha do seu presidente, eleição do vencedor do

festival da canção, eleições que decidem o país onde se realizam os jogos Olímpicos ou

o mundial de futebol. Numa Universidade, vota-se para a eleição do seu Reitor, para a

eleição dos corpos dirigentes das associações académicas; nas escolas, vota-se para

eleger o delegado de turma e nas famílias para eleger o destino das próximas férias.

Daqui concluímos que na sociedade democrática em que estamos inseridos, somos

constantemente solicitados para tomar decisões e é neste facto que reside a pertinência

do tema do nosso trabalho.

Podemos dizer que uma eleição é um processo pelo qual as sociedades ou grupos

democráticos, tentam resolver os muitos conflitos de opinião entre os seus membros

através de uma única escolha do grupo, escolha essa feita através do voto. É a partir do

voto que cada elemento de um grupo manifesta a sua posição sobre determinado assunto.

Numa democracia, todos os cidadãos têm o direito e o dever de expressarem a sua

opinião numa eleição, qualquer que seja a natureza da discussão em causa.

O processo eleitoral divide-se em dois momentos, a votação e a contagem dos

votos. Mas votar é a parte mais simples de um processo eleitoral e também a parte com a

qual toda a sociedade está mais familiarizada. O cerne do processo democrático

encontra-se na contagem dos votos, ou melhor ainda, na maneira como se descobre a voz

colectiva de um grupo, a partir dos votos individuais de cada membro desse grupo. É por

isso que grande parte das pessoas ficará intrigada com a existência de uma teoria das

eleições, pois pensará que basta fazer a eleição, contar os votos e com base nessa

contagem decidir o resultado da eleição de uma maneira consistente e justa. De facto, o

processo não é complicado quando se trata de escolher uma de entre apenas duas

hipóteses. No entanto, a situação é muito diferente se a escolha envolver três ou mais

alternativas pois não existe um processo razoável e totalmente justo, para a partir da

votação obtida, retirar o vencedor da eleição. É daqui que surge a necessidade da

existência de uma teoria das eleições.

No capítulo um do nosso trabalho abordaremos os diferentes métodos de votação,

desenvolvendo alguns aspectos teóricos ilustrados com muitos exemplos. Por sua vez no

capítulo dois teremos como objecto de estudo os sistemas de votação ponderada: este

assunto será desenvolvido de forma análoga ao capítulo anterior.



Numa sociedade democrática todas as pessoas são iguais. No que respeita a

direitos de votação este ideal de igualdade traduz-se pelo princípio uma pessoa - um

voto. Será este princípio sempre justo? Será que se deve aplicar quando os eleitores são

mais que indivíduos, por exemplo, organizações ou países? Desde já salientamos que

cada pessoa ou instituição deve escolher o sistema de voto que acha mais justo e que

melhor se aplica à situação. Em qualquer sociedade diversificada e pluralista os

eleitores, sejam eles pessoas, organizações ou instituições, não são iguais e é por vezes

necessário reconhecer as suas diferenças, atribuindo diferentes pesos a cada um dos seus

votos. Este princípio designado como o princípio uma pessoa - x votos é usualmente

conhecido por votação ponderada e é precisamente o contrário do princípio uma pessoa -

um voto.

O melhor exemplo de um sistema de voto com peso é a controversa eleição do

Presidente dos Estados Unidos da América. Temos ainda outros exemplos tais como: os

quadros governamentais regionais e locais, os quadros das escolas, no consulado de

segurança das Nações Unidas, nas cooperações de accionistas em que os votos são de

acordo com o número de acções que cada um possui e muitos mais...

A qualquer arranjo formal no qual os eleitores não estejam em pé de igualdade no

que respeita ao número de votos que controlam, dá-se o nome de sistema de votação

ponderada. Nestes sistemas, a questão fulcral é a relação entre a quantidade de votos e o

poder de cada eleitor.

No capitulo três descreveremos, embora de forma sucinta, a forma como se

processam os actos eleitorais em Portugal, com especial relevo para o método usado na

conversão dos votos obtidos, no número de assentos parlamentares de dado partido.

Finalmente no capítulo quatro faremos uma exposição acerca da forma como este

tema, é hoje abordado no ensino secundário: quais os objectivos e conceitos leccionados,

qual o tipo de exercícios e exemplos propostos e a maneira como contextualizam este

assunto.

CAPÍTULO ICAPÍTULO IMÉTODOS DE VOTAÇÃOMÉTODOS DE VOTAÇÃO


ARROW J. KENNET1921-….


1.1 CONDIÇÕES DE ARROW

Existirá um sistema de votação justo?

Na tentativa de criar um sistema de votação perfeito, durante

vários séculos, alguns Matemáticos debruçaram-se sobre este assunto.

Foi apenas em 1951 que o matemático e economista americano

Kenneth J. Arrow apresentou um conjunto de condições, que cada

método de votação deveria de satisfazer, para ser considerado um

sistema de votação perfeitamente justo. Estas condições ficaram

conhecidas como condições de Arrow, as quais passamos a

enunciar:

Não à ditadura: a preferência de um só indivíduo não deve vir a ser uma

classificação de grupo, sem que sejam consideradas todas as outras preferências

individuais;

Soberania individual: a cada indivíduo é permitido ordenar as escolhas de

qualquer maneira e este pode ainda indicar empates;

Unanimidade: se cada indivíduo prefere uma escolha a outra, a classificação de

grupo deve ser a mesma;

Liberdade de alternativas irrelevantes: a classificação de grupo entre um par de

escolhas não depende das preferências individuais relativamente às restantes;

Classificação única de grupo: o método de produzir a classificação de grupo deve

levar a um único resultado, sempre que é aplicado ao mesmo conjunto de

preferências. A classificação de grupo também deve ser transitiva.



Arrow investigou muitos dos métodos tradicionalmente usados para determinar

uma classificação de grupos, averiguando se eles obedeciam aos cinco critérios. No

entanto, começou a suspeitar que tal seria impossível. Aplicou o raciocínio lógico e

provou o seguinte facto, o mais famoso da teoria das eleições:

Em suma, a imparcialidade, a justiça total e consistente são impossíveis numa

democracia!

1.2 MÉTODOS DE VOTAÇÃO

No nosso trabalho vamos apresentar vários métodos de votação: como funcionam,

quais as suas implicações, quais os princípios básicos de justiça que violam…

Estes métodos têm por base eleições cujos boletins de voto são por ordem de

preferência, ou seja, actos eleitorais em que é pedido ao eleitor para ordenar todos os

candidatos pela sua preferência. Embora não seja a forma mais comum, este tipo de

votação permite ao eleitor expressar a sua opinião, relativamente ao mérito de todos os

candidatos. Uma forma lógica de organizar este tipo de votos, é agrupar os boletins que

são idênticos e elaborar uma tabela de preferências, onde de uma forma simples e

compacta se resume a quantidade de diferentes votos e a posição de cada candidato.

EXEMPLO 1.1 Fundamentos e Ensino da Álgebra 6

Teorema da impossibilidade de Arrow:Para eleições envolvendo mais do que dois candidatos é matematicamente

impossível encontrar um método, democrático e justo, para determinar o vencedor.


Realizaram-se, no passado mês de Setembro de 2004, as

eleições para eleger o novo secretário-geral do Partido Socialista.

Sabemos que se apresentaram como candidatos José Sócrates, Manuel

Alegre e João Soares, que votaram 23433 militantes do partido e que o

vencedor foi José Sócrates. Suponhamos agora que os boletins de voto eram por ordem

de preferência, ou seja, que cada militante tinha três espaços para colocar por ordem da

sua preferência, os candidatos. Ora, como se candidataram três pessoas à referida

eleição, existem 3! = 6 boletins de voto diferentes:

Boletim de Voto Boletim de Voto Boletim de Voto

1º opção: José Sócrates

2º opção: Manuel Alegre

3º opção: João Soares

















Figura 1.1: Os 6 boletins de voto por ordem de preferência possíveis para a eleição do Secretário-Geral do

Partido Socialista

Consideremos agora a seguinte situação hipotética: Na distrital socialista de Coimbra

existem 15 militantes. Todos eles participaram no escrutínio em questão, e os resultados

obtidos foram os seguintes:





















































Figura 1.2: Boletins de voto por ordem de preferência, obtidos após o acto eleitoral na distrital de

Coimbra.

Analisando a Figura 1.2 verificamos que há muitas repetições entre os boletins de

voto preenchidos, ou seja, diferentes militantes colocaram os candidatos exactamente da



mesma forma. Como já referimos, uma forma lógica de organizar os boletins é agrupar

os que são iguais, e isso conduz-nos ao agrupamento feito na figura 1.3. e seguidamente

à tabela 1.1.

Boletim de Voto Boletim de Voto







Boletim de Voto Boletim de Voto







Figura 1.3: Os distintos boletins de voto obtidos.

Número de votos 9 3 2 1

1ª opção José Sócrates José Sócrates Manuel Alegre João Soares

2ª opção Manuel Alegre João Soares José Sócrates José Sócrates

3ª opção João Soares Manuel Alegre João Soares Manuel Alegre

Tabela 1.1

Em alternativa a este formato, existe um outro formato para os boletins de voto

por ordem de preferência, no qual o nome dos candidatos aparece no boletim por uma

ordem aleatória e o eleitor põe a seguir ao nome de cada candidato a sua preferência (1,

2,...).

Boletim de Voto



1º opção: ____________

2º opção: ____________

3º opção: ____________

Figura 1.4 - Exemplo de um boletim de voto da suposta eleição do Secretário-Geral do PS, no formato

habitual .

Boletim de Voto

João Soares: ___________

Manuel Alegre:_________

José Sócrates: __________

Figura 1.5 - Exemplo de um boletim de voto da suposta eleição do Secretário-Geral do PS, no formato

alternativo.

Obviamente a lista de preferências terá outro aspecto. Por exemplo, a lista de

preferências apresentada na Tabela 1.1 toma o seguinte aspecto:


João Soares 3º 2º 3º 1º

Manuel Alegre 2º 3º 1º 3º

José Sócrates 1º 1º 2º 2º

Tabela 1.2

Existem duas particularidades a ter em conta quando trabalhamos com boletins de

voto por ordem de preferência:

A transitividade da preferência individual



Se um eleitor prefere A a B e B a C então segue-se automaticamente que

este leitor prefere A a C.

A eliminação de candidatos

A preferência relativa a um eleitor não é afectada pela eliminação de um

ou mais candidatados.

EXEMPLO 1.2

Recorrendo ao exemplo anterior, consideremos novamente o seguinte boletim de voto:

Boletim de Voto




Figura 1.6 – Exemplo de um boletim de voto para a suposta eleição do Secretário-Geral do PS.

Suponhamos que depois dos boletins de voto estarem preenchidos, Manuel

Alegre desistiu da competição. Assim, o boletim de voto tomaria a forma abaixo

representada:

Boletim de Voto



Figura 1.7 – Transformação do boletim de voto da Figura 1.6 após Manuel Alegre desistir da sua

candidatura.



Deduzimos assim que a posição relativa dos restantes candidatos não é afectada:

José Sócrates permanece na primeira opção e João Soares move-se da terceira para a

segunda posição.

1.2.1 O MÉTODO DA PLURALIDADE

O método da pluralidade é talvez o método mais comum e simples para

encontrar o vencedor de uma eleição. Este método apresenta como vencedor de uma

eleição, o candidato (ou candidatos em caso de empate) que obtiver o maior número de

colocações em primeiro lugar. Salientamos que neste método a única informação

retirada dos boletins de voto diz respeito à escolha do primeiro lugar. Outro dado

relevante é o facto deste método ser uma extensão natural do princípio da regra da

maioria: numa eleição entre dois candidatos, o que tiver a maioria (mais do que metade)

dos votos vence.

EXEMPLO 1.3

Há alguns anos a televisão portuguesa começou a ser invadida por uma grande

quantidade de programas, conhecidos por muitos pela falta de qualidade, mas que são

líderes de audiência! Recentemente surgiu mais um destes programas: “A Quinta das

Celebridades”.

Neste programa entram dentro de uma quinta doze

concorrentes, supostamente conhecidos na sociedade, os quais

têm como objectivo permanecer nessa mesma quinta, sem

contacto com a realidade exterior, o máximo de tempo. Todas

as semanas é expulso um concorrente e o último será o

vencedor. Semanalmente quer os concorrentes, quer o “grande público” nomeiam para

sair, dois dos residentes da quinta. Posteriormente o “grande público” vota novamente,

mas agora para expulsar um dos 4 ou mais ( em caso de empates ) nomeados.



Pedro Camilo(PC)

Paula Coelho(P)

José Castelo Branco (J)

Admitamos que numa dada semana estão nomeados para sair os seguintes

concorrentes:

Fátima Preto (F)

Alexandre Frota(A)

Suponhamos ainda que para expulsar um concorrente da quinta, basta aceder à

página do programa na Internet e preencher um boletim de voto por ordem de

preferência. Nesse boletim cada elemento do “grande público” coloca por ordem de

preferência os nomes de todos os concorrentes nomeados, começando pelo que prefere

que saia da quinta nessa semana e terminando naquele que gostaria que permanecesse.

Admitamos que a lista de preferências para a votação de quem vai sair da quinta

numa dada semana é a seguinte:


Número de votos 18000 12000 10000 9000 4000 2000

1º opção F J A PC P P

2º opção PC P J A J A

3º opção P PC P P PC PC

4º opção A A PC J A J

5º opção J F F F F F


Tabela 1.3

Quando aplicamos o método da pluralidade ao exemplo da “Quinta das

Celebridades” obtemos:

A Fátima conseguiu 18000 votos em primeiro lugar.

O José Castelo Branco conseguiu 12000 votos em primeiro lugar.

O Alexandre conseguiu 10000 votos em primeiro lugar.

O Pedro Camilo conseguiu 9000 votos em primeiro lugar.

A Paula Coelho conseguiu 6000 votos em primeiro lugar.

Neste caso o resultado da eleição é claro:

A Fátima Preto vai ser expulsa.

Este método caracteriza-se também por satisfazer o critério da maioria, na

medida em que um candidato que tenha a maioria dos votos, é por ele declarado

vencedor.

É de referir que uma pluralidade não implica uma maioria, ou seja, o facto de um

candidato ter mais votos em primeiro lugar relativamente aos outros não significa que

tenha mais de metade dos votos, isto é a maioria. No entanto, uma maioria implicará

sempre uma pluralidade, ou seja, um candidato que tenha mais de metade dos votos em

primeiro lugar terá forçosamente mais votos em primeiro lugar, do que de qualquer outro

candidato.


Critério da maioria:Se numa eleição existe uma opção que tem a maioria dos votos em

primeiro lugar, então essa opção deverá ser considerada a vencedora da eleição.

PARETO,PARETO, VILFREDOVILFREDO

1848 - 19231848 - 1923


Ainda dentro deste contexto, apresentamos em seguida o

critério de Pareto, o qual é também satisfeito pelo método da

pluralidade:

Lacunas no método da pluralidade

A principal limitação deste método é o facto de não ter em conta as restantes

escolhas dos eleitores, para além da primeira, o que poderá levar a resultados eleitorais

incorrectos e injustos.

EXEMPLO 1.4

Depois de terminada a fase final do Euro

2004, a UEFA decidiu atribuir o prémio “fair

play” à selecção mais bem comportada, durante

a sua participação, no referido evento tendo em

conta os seguintes parâmetros: comportamento

dos jogadores em campo, o respeito pelos

adversários e pelos árbitros, a atitude atacante das equipas e o próprio comportamento

dos adeptos. Suponhamos que: numa primeira fase a UEFA fez uma sondagem, ao

público europeu em geral, no sentido de eleger os 5 países mais bem comportados e

posteriormente constituiu um júri com 150 elementos (representantes das federações dos


Critério de Pareto:Se relativamente a dois candidatos X e Y todos os votantes preferirem X

a Y, então Y não deverá ganhar.


vários países intervenientes) no intuito de ordenar esses 5 países, em função do seu

comportamento. Cada elemento do júri votou, dispondo os 5 países pela sua ordem de

preferência, ou seja, do país que segundo o seu ponto de vista foi o mais bem

comportado, para o menos bem comportado. A lista de preferências que fornece o

resultado da votação está exposta na tabela seguinte:

Número de votos 72 70 8

1º opção República Checa Holanda Inglaterra

2º opção Holanda Suécia Holanda

3º opção Inglaterra França Suécia

4º opção França Inglaterra França

5º opção Suécia República Checa República Checa

Tabela 1.4

Se fosse utilizado o método da pluralidade a selecção mais bem comportada seria

a República Checa, com 72 votos em primeiro lugar. Mas notemos que a Holanda tem

70 votos em primeiro lugar e 80 em segundo. O senso comum diz-nos que a Holanda é

uma melhor escolha para expressar o desejo de todos os elementos do júri. De facto,

comparando a Holanda, par a par, com todas as outras selecções, ela é sempre a escolha

favorita. Vejamos, comparando a Holanda com a República Checa temos 78 votos para a

Holanda (70 da segunda coluna e 8 da terceira) contra 72 votos para a República Checa.

Do mesmo modo, comparando a Holanda com a Inglaterra resulta 142 votos para a

Holanda (72 da primeira coluna e 70 da segunda) e 8 para a Inglaterra. Finalmente

quando a Holanda é comparada com qualquer uma das restantes selecções obtém 150

votos.

Sumariemos agora o problema do Exemplo 1.4. Embora a

selecção Holandesa vença na disputa par a par com qualquer outra

opção, o método da pluralidade não a escolhe para vencedora.

Podemos por isso afirmar que o método da pluralidade transgride

um princípio básico de justiça designado por critério de

Condorcet.

Fundamentos e Ensino da Álgebra 16 CONDORCET, MARIE JEANCONDORCET, MARIE JEAN

ANTOINE NICOLAS DEANTOINE NICOLAS DE CARITATCARITAT

1743-17941743-1794


Outras das limitações da pluralidade é o facto de poderem surgir votos

estratégicos que possam alterar os resultados. Uma votação é considerada estratégica

quando um eleitor muda a verdadeira ordem das suas preferências no boletim de voto,

no sentido de manipular o resultado da eleição contra um dado candidato. No mundo

actual o voto estratégico pode ter consequências sérias e inesperadas.

EXEMPLO 1.5

Durante a última legislatura em que

António Guterres foi Primeiro-Ministro de

Portugal, verificou-se uma situação muito

particular na disposição dos deputados na

Assembleia da República: 115 deputados

pertenciam ao partido do Governo e os outros 115

aos partidos que compunham a oposição.


Critério de Condorcet:

Critério ganhador: Se houver uma opção, a qual comparada par a par é sempre preferida pelos eleitores, então essa opção deverá ser considerada vencedora da eleição. Um candidato nesta situação designa-se por candidato condorcet.

Critério perdedor: Se houver uma opção que perde no confronto par a par com qualquer outra, então essa opção não deve ser a vencedora da eleição.

http://www.mat.uc.pt/~mcag/Defini%C3%A7%C3%B5es%20locais/Temp/Direct%C3%B3rio%20tempor%C3%A1rio%201%20para%20F.E.A.1.zip/big-f1-p052.asp?p052.asp


No decorrer do ano 2000, José Daniel Rosas Campelo da Rocha, na altura

deputado do CDS/PP (partido da oposição), pelo círculo de Viana do Castelo, fez uma

greve de fome durante duas semanas, nos próprios corredores da Assembleia da

República, em protesto contra a decisão do Governo de transferir a fábrica de queijo

Limiano para Vale de Cambra.

Em Novembro desse mesmo ano, decorreu a votação para o

Orçamento de Estado de 2001. Habitualmente neste género de

votações os deputados estão obrigatoriamente sujeitos à disciplina

partidária. E se assim acontecesse, como a oposição pretendia

votar contra, o Orçamento não passaria. Mas Daniel Campelo, forte defensor dos

interesses do seu concelho, acordou com o Governo que se absteria se fossem

concedidos alguns benefícios para a sua região (tais como, a construção de várias

estradas e vias rápidas, investimentos nos portos e no sector da saúde, apoios à

construção de uma nova fábrica de queijo Limiano). Deste modo o Governo teria a

maioria e o Orçamento de Estado passaria. Assim foi.

Como Daniel Campelo pertencia ao CDS/PP

deduzimos que concordava com os princípios desse mesmo

partido, ou seja, seguindo as suas crenças votaria contra o Orçamento de Estado. Isto

significa que ele alterou o seu voto para influenciar o resultado da eleição, ou seja, fez

uma votação estratégica.

1.2.2 O MÉTODO DE CONTAGEM DE

BORDA

O método de contagem de Borda surgiu como alternativa ao

método da pluralidade e foi, durante muitos anos, tomado como um

método justo e eficaz. Ainda hoje o referido método é muito utilizado

nos mais variados actos eleitorais do mundo real, sobretudo quando o

número de candidatos é elevado.


http://www.mat.uc.pt/~mcag/Defini%C3%A7%C3%B5es%20locais/Temp/PictDisplay/Borda.html

BORDA,JEAN CHARLESBORDA,JEAN CHARLES1733-17991733-1799


Neste método a cada posição da tabela de preferências é

atribuída uma pontuação. Por exemplo, dada uma eleição com

n candidatos distribuímos os pontos do seguinte modo:

1 Ponto ao último lugar;

2 Pontos ao penúltimo lugar;

.

.

.n Pontos ao primeiro lugar;

Depois somam-se os pontos de todos os candidatos e ordenam-se os mesmos de

acordo com o número total de pontos obtidos por cada um. Sai vencedor o candidato que

obtiver a pontuação máxima, o que ilustramos com o seguinte exemplo:

EXEMPLO 1.6

Recorramos novamente ao exemplo da Quinta das

Celebridades. A tabela que abaixo apresentamos mostra, em

cada coluna, os valores da pontuação de cada concorrente

nomeado, baseada no processo que atrás apresentámos: uma vez que existem 5

candidatos, o primeiro lugar merece 5 pontos, o segundo merece 4, o terceiro 3, o quarto

2 e finalmente o quinto merece apenas 1 ponto.

Número de

votos18000 12000 10000 9000 4000 2000

1º opção:

5 pontos

F:

5x18000

J:

5x12000

A:

5x10000

PC:

5x9000

P:

5x4000

P:

5x2000

2º opção:

4 pontos

PC:

4x18000

P:

4x12000

J:

4x10000

A:

4x9000

J:

4x4000

A:

4x2000

3º opção: P: PC: P: P: PC: PC:



3 pontos 3x18000 3x12000 3x10000 3x9000 3x4000 3x2000

4º opção:

2 pontos

A:

2x18000

A:

2x12000

PC:

2x10000

J:

2x9000

A:

2x4000

J:

2x2000

5º opção:

1 ponto

J

1x18000

F:

1x12000

F:

1x10000

F:

1x9000

F:

1x4000

F:

1x2000

Tabela 1.5

De forma sistemática, obtemos:

Concorrentes Pontuação discriminada Pontuação Total

F 90000+12000+10000+9000+4000+2000 127000

J 18000+60000+40000+18000+16000+4000 156000

A 36000+24000+50000+36000+8000+8000 162000

PC 72000+36000+20000+45000+12000+6000 191000

P 54000+48000+30000+27000+20000+10000 189000

Tabela 1.6

Concluímos então que, pela aplicação do método da Contagem de

Borda, será o Pedro Camilo que abandonará a Quinta das Celebridades na

semana em questão.

Salientamos ainda que para além desta forma de atribuição de pontos existem

outras duas:

1) Na primeira, sendo n o número total de candidatos são atribuídos:

0 Pontos para o último lugar;

1 Ponto para o penúltimo lugar;

. . .n-1 Pontos para o primeiro lugar;

Novamente o vencedor é o candidato que obtiver mais pontos.



2) Na segunda, sendo uma vez mais n o número total de candidatos, são

atribuídos:

n Pontos para o último lugar;

n-1 Pontos para o penúltimo lugar;

. . .1 Ponto para o primeiro lugar;

Neste caso sai vencedor o candidato que obtiver menos pontos.

EXEMPLO 1.7

Vamos agora ilustrar as duas variantes do método de Contagem de Borda,

recorrendo ao exemplo anterior:

1) Na primeira variante as tabelas com a pontuação tomam o seguinte aspecto:

Número de

votos18000 12000 10000 9000 4000 2000

1º opção:

4 pontos

F:

4x18000

J:

4x12000

A:

4x10000

PC:

4x9000

P:

4x4000

P:

4x2000

2º opção:

3 pontos

PC:

3x18000

P:

3x12000

J:

3x10000

A:

3x9000

J:

3x4000

A:

3x2000

3º opção:

2 pontos

P:

2x18000

PC:

2x12000

P:

2x10000

P:

2x9000

PC:

2x4000

PC:

2x2000

4º opção:

1 ponto

A:

1x18000

A:

1x12000

PC:

1x10000

J:

1x9000

A:

1x4000

J:

1x2000



5º opção:

0 pontos

J

0

F:

0

F:

0

F:

0

F:

0

F:

0

Tabela 1.7


F 72000 72000

J 48000+30000+9000+12000+2000 101000

A 18000+12000+40000+27000+4000+6000 107000

PC 54000+24000+10000+36000+8000+4000 136000

P 36000+36000+20000+18000+16000+8000 134000

Tabela 1.8

Observamos então que nesta variante do método de contagem de

Borda obtemos a mesma conclusão que no método original: o Pedro

Camilo vai ser expulso da quinta, com 136000 pontos.

2) Por sua vez na segunda variante, as tabelas com a pontuação tomam o seguinte

aspecto:

Número de

votos18000 12000 10000 9000 4000 2000

1º opção:

1 pontoF: 1x18000

J:

1x12000

A:

1x10000

PC:

1x9000

P:

1x4000

P:

1x2000

2º opção:

2 pontos

PC:

2x18000

P:

2x12000

J:

2x10000

A:

2x9000

J:

2x4000

A:

2x2000

3º opção:

3 pontos

P:

3x18000

PC:

3x12000

P:

3x10000

P:

3x9000

PC:

3x4000

PC:

3x2000

4º opção:

4 pontos

A:

4x18000

A:

4x12000

PC:

4x10000

J:

4x9000

A:

4x4000

J:

4x2000

5º opção: J F: F: F: F: F:



5 pontos 5x18000 5x12000 5x10000 5x9000 5x4000 5x2000

Tabela 1.9


A 72000+48000+10000+18000+16000+4000 168000

F 18000+60000+50000+45000+20000+10000 203000

J 90000+12000+20000+36000+8000+8000 174000

PC 36000+36000+40000+9000+12000+6000 139000

P 54000+24000+30000+27000+4000+2000 141000

Tabela 1.10

Como não podia deixar de ser quem terá de abandonar a quinta é o

Pedro Camilo, com 139000 pontos.

Dos exemplos anteriores concluímos então que:

Independentemente da variante do método em questão, o vencedor será sempre o

mesmo.

O método de contagem de Borda considera, fundamentalmente, toda a informação

que provém da ordem de preferências do eleitor, ao contrário do método da pluralidade

que apenas valoriza a primeira opção do eleitor. Facilmente se verifica que o método em

estudo satisfaz o critério de Pareto, pois se perante dois candidatos X e Y, todos os

votantes preferirem X a Y, obviamente X obterá mais pontos e portanto Y nunca poderá

ganhar. Satisfaz ainda o critério perdedor de condorcet, pois se houver um candidato Y

que perde no confronto par a par com todos os outros candidatos, esse obterá um número

reduzido de pontos, logo nunca ganhará a eleição. Além destes, é ainda satisfeito por

este método, o critério da monotonia, que passamos a anunciar.


Critério da monotonia:Se a opção X vence numa eleição e numa reeleição as únicas alterações,

nas preferências dos eleitores, são a favor de X, então X deve permanecer o vencedor da eleição.


Se numa reeleição apenas for reforçada a opção X, essa opção obterá um número

ainda maior de pontos, logo permanece vencedora da eleição.

Lacunas no método de contagem de Borda

É de referir que este método viola o critério da maioria, uma vez que um candidato

com a maioria dos votos em primeiro lugar pode perder a eleição. Uma violação do

critério da maioria conduz sempre a uma violação do critério ganhador de Condorcet.

Portanto, podemos concluir que o método de contagem de Borda também viola o critério

ganhador de Condorcet. Ilustramos estes dois factos no seguinte exemplo:

EXEMPLO 1.8

Todos os dias somos confrontados com a “guerra das audiências” entre os quatro

canais generalistas da televisão Portuguesa. Desenvolvem-se esforços, investem-se

milhares de euros e mobilizam-se todos os meios no sentido de captar a atenção dos

espectadores e de rentabilizar cada uma das referidas estações. Suponhamos que os

estudantes de Jornalismo da Faculdade de Letras da Universidade de Coimbra decidiram

levar a cabo uma pesquisa, no sentido de avaliar as preferências da população

universitária, no que respeita a este assunto. Para tal, abordaram 39 alunos e pediram-

lhes que ordenassem por ordem de preferências os 4 canais: RTP1, 2:, SIC, TVI. O

resultado da votação foi o seguinte:



1º opção TVI SIC RTP1

2º opção SIC RTP1 2 :

3º opção RTP1 2: SIC

4º opção 2: TVI TVI


Tabela 1.11

Utilizando o método de contagem de Borda, obtiveram a pontuação expressa na

tabela seguinte:

Tabela 1.12

Simplificando temos,

Tabela 1.13

Concluíram assim que, pelo método de contagem de Borda, a SIC é o canal

preferido dos estudantes de Coimbra. Embora, o critério da maioria diga que a TVI é a

estação predilecta. Além disso também pelo critério ganhador de Condorcet deveria ser a

TVI a ganhar pois ela vence nas comparações par a par com todos os outros candidatos

por 20-19.

Variantes do método da contagem de Borda



1º opção: 4 pontos TVI: 4x20 SIC: 4x15 RTP1: 4x4

2º opção: 3 pontos SIC: 3x20 RTP1: 3x15 2: : 3x4

3º opção : 2 pontos RTP1 : 2x20 2: : 2x15 SIC: 2x4

4º opção: 1 ponto 2: : 1x20 TVI: 1x15 TVI: 1x4

Estações de Televisão Pontuação discriminada Pontuação Total

TVI 80+15+4 99

RTP1 40+45+16 101

SIC 60+60+8 128

2: 20+30+12 62


Mais tarde foram propostas as seguintes variantes ao método de contagem de

borda:

A variante proposta por Duncan Black que consistia no seguinte: usa-se

primeiro o critério ganhador de Condorcet, ou seja, efectuam-se

comparações entre todos os pares. Se um candidato ganhar a todos os outros

nestas comparações, será o vencedor. Se nenhum ganhar a todos os outros,

usa-se o método de Borda.

Este método transgride um critério chamado Smith que diz o seguinte:

EXEMPLO 1.9

Admitamos que o “24 Horas”, um conceituado jornal português, decidiu eleger o

político mais popular da actualidade. Depois de várias entrevistas de rua a cidadãos

anónimos, constituíram um grupo de 7 individualidades, do mundo da política, que foi

sujeito posteriormente ao veredicto de um júri composto por 3 elementos. Os políticos

mais carismáticos para “o povo” são:

- Pedro Santana Lopes (P);

- José Sócatres (J);

- Paulo Portas (PP);

- Jorge Sampaio (JS);

- Carlos Carvalhas (C);

- Francisco Louçã (F);

- Ferro Rodrigues (FR);


Critério de Smith:Sejam α e β subconjuntos do conjunto dos candidatos, que formam

partição. Se cada X pertencente a α vence cada Y pertencente a β, então nenhum candidato Y do subconjunto β pode ser vencedor.


Suponhamos que o júri optou por votar os 7 candidatos por ordem de preferência,

usando como método de votação a variante de Duncan Black, do método de contagem

de Borda. Consideremos ainda as seguintes partições: α = { P, J, PP }, β = { JS, C, F, FR

}. Feita a votação, os resultados obtidos foram:

1 Votante 1 Votante 1 Votante

P J PP

J PP P

JS JS JS

C C C

F F F

FR FR FR

PP P J

Tabela 1.14

Efectuando as sucessivas comparações par a par concluímos que cada um dos

candidatos de α, ou seja P, J, PP, vence cada um dos candidatos de β, ou seja JS, C, F,

FR, por 2-1. Comparando P, J, PP temos que:

P versus J: 2 – 1;

J versus PP: 2 – 1;

PP versus P: 2 – 1;

Concluímos então que não há um candidato de Condorcet, logo vamos aplicar o

método de contagem de Borda:



1º opção: 7 pontos P: 7 J: 7 PP: 7

2º opção: 6 pontos J: 6 PP: 6 P: 6

3º opção : 5 pontos JS: 5 JS : 5 JS: 5

4º opção: 4 pontos C: 4 C: 4 C: 4

5ª opção: 3 pontos F: 3 F: 3 F: 3

6ª opção: 2 pontos FR: 2 FR: 2 FR: 2

7ª opção: 1 ponto PP: 1 P : 1 J: 1


Tabela 1.15

´

Tabela 1.16

Pela variante de Ducan Black, Jorge Sampaio é o político mais popular da

actualidade. JS é um candidato da partição β e como já vimos todos os candidatos de α

vencem na comparação par a par os candidatos de β, logo esta variante transgride o

critério de Smith.

A variante proposta por Nanson consiste num método do tipo

eliminatório, que sucessivamente elimina o candidato com menor pontuação

de Borda. Vejamos com o seguinte exemplo:

EXEMPLO 1.10


CandidatosPontuação

discriminadaPontuação Total

P 7+1+6 14

J 6+7+1 14

PP 1+6+7 14

JS 5+5+5 15

C 4+4+4 12

F 3+3+3 9

FR 2+2+2 4


O Futebol é desporto preferido do povo português! É causa de muitas alegrias,

também de muitos dissabores, podemos vê-lo ainda como um negócio que move milhões

de euros ou até mesmo como uma religião. Enfim é o “desporto rei”! A “1ª Liga” está já

em pleno e os adeptos começam já a fazer prognósticos relativamente a quem sairá

vencedor deste campeonato. Os 20 funcionários de uma dada empresa decidiram ir a

votos ( por ordem de preferência ) para ver quem, segundo as convicções de cada um,

será o campeão! Escolheram como método de votação a variante de Nanson do método

da contagem de Borda. Os resultados obtidos são os descritos na seguinte tabela de

preferências:

Tabela 1.17

Aplicando o método da Contagem de Borda obtemos:

Tabela 1.18


Tabela 1.19

Eliminamos o Futebol Clube do Porto. Reconstruindo a tabela de preferências

temos:



1º opção SLB FCP SCP FCP

2º opção SCP SLB FCP SCP

3º opção FCP SCP SLB SLB


1º opção: 3 pontos SLB: 3x8 FCP: 3x5 SCP: 3x5 FCP:3x2

2º opção: 2 pontos SCP: 2x8 SLB: 2x5 FCP: 2x5 SCP: 2x2

3º opção : 1 pontos FCP: 1x8 SCP: 1x5 SLB: 1x5 SLB: 1x2

Clubes de Futebol Pontuação discriminada Pontuação Total

SLB 24+10+5+2 41

SCP 16+5+15+4 40

FCP 8+15+10+6 39


Tabela 1.20

Aplicando novamente o método da Contagem de Borda obtemos:

Tabela 1.21


Tabela 1.22

Eliminamos o Sporting Clube de Portugal e desta forma, segundo os funcionários

da referida empresa, o Sport Lisboa e Benfica será o novo campeão de 1ª Liga

Portuguesa.

É fácil de ver, como está evidenciado no exemplo a seguir, que também na

variante proposta por Nanson falha o critério da monotonia.

EXEMPLO 1.11

Retomemos o exemplo anterior e suponhamos que, por qualquer motivo, os

intervenientes decidiram repetir a votação. Admitamos ainda que os 2 últimos votantes

decidiram, nesta nova votação, favorecer o Benfica da seguinte forma:



1º opção SLB SLB SCP SCP

2º opção SCP SCP SLB SLB


1º opção: 2 pontos SLB: 2x8 SLB: 2x5 SCP: 2x5 SCP:2x2

2º opção: 1 pontos SCP: 1x8 SCP: 1x5 SLB: 1x5 SLB: 1x2


SLB 16+10+5+2 33

SCP 8+5+10+4 27


Tabela 1.23

Aplicando o método da Contagem de Borda obtemos:

Tabela 1.24


Tabela 1.25

Agora eliminamos o Sporting Clube de Portugal. Reconstruindo a tabela de

preferências temos:

Tabela 1.26

Aplicando novamente o método da Contagem de Borda obtemos:



1º opção SLB FCP SCP FCP

2º opção SCP SLB FCP SLB

3º opção FCP SCP SLB SCP


1º opção: 3 pontos SLB: 3x8 FCP: 3x5 SCP: 3x5 FCP:3x2

2º opção: 2 pontos SCP: 2x8 SLB: 2x5 FCP: 2x5 SLB: 2x2

3º opção : 1 pontos FCP: 1x8 SCP: 1x5 SLB: 1x5 SCP: 1x2


SLB 24+10+5+4 43

SCP 16+5+15+2 38

FCP 8+15+10+6 39


1º opção SLB FCP FCP FCP

2º opção FCP SLB SLB SLB


Tabela 1.27


Tabela 1.28

Eliminamos o Sport Lisboa e Benfica e nesta 2ª votação, segundo os funcionários

da referida empresa, o Futebol Clube do Porto será o novo campeão de 1ª Liga

Portuguesa. Logo esta variante transgride o Critério da monotonia, como havíamos já

afirmado.

1.2.3 O MÉTODO DE COPELAND

O método de Copeland assenta no seguinte procedimento: compara-se cada

candidato com cada um dos outros. Atribuímos a cada candidato os números G -

número de candidatos a que ele vence- e L - o número de candidatos que o venceu.

Associamos a todos os candidatos o valor G – L. Ganha o candidato para o qual G – L é

máximo. Neste método surgem empates frequentes.

Este método satisfaz o critério ganhador de Condorcet, pois se um candidato vence

todos os outros, e sendo n o número de candidatos, então L = 0 e G = n – 1, logo esse



1º opção: 2 pontos SLB: 2x8 FCP: 2x5 FCP: 2x5 FCP:2x2

2º opção: 1 pontos FCP: 1x8 SLB: 1x5 SLB: 1x5 SLB: 1x2


SLB 16+5+5+2 28

FCP 8+10+10+4 32


candidato é o vencedor. É também de referir que este método entra em contradição com

as contagens de Borda. Vejamos o seguinte exemplo:

EXEMPLO 1.12

O Gabinete de informação de uma dada estação de televisão, decidiu

constituir um júri para avaliar, em vários aspectos, as seguintes rádios: Antena 3

(A), RFM, Comercial (C), Cidade (RC) e TSF. O objectivo é identificar a rádio

que melhor satisfaz as necessidades dos ouvintes no que respeita a serviços

noticiosos, entretenimento, passatempos, música entre outros. Consideremos que o

júri é composto por 9 elementos e que estes decidiram votar por ordem de

preferência as rádios, usando como método de votação o método de Copeland. A

tabela de preferências é:



1º opção A C TSF TSF

2º opção RFM RC A A

3º opção C RFM RC RFM

4ª opção RC TSF RFM RC

5ªopção TSF A C C


Tabela 1.29

Depois de efectuadas as comparações obtemos o seguinte:

A: 3-1=2;

RFM: 2-2=0;

C: 2-2=0;

RC: 2-2=0;

TSF: 1-3=-2.

Desta forma, segundo o método de Copeland, ganha a Antena 3. Referimos

apenas, que a TSF é a pior classificada.

Apliquemos agora a este exemplo o Método da contagem de Borda:

Tabela 1.30


Tabela 1.31



1º opção: 5 pontos A: 1x5 C: 4x5 TSF: 1x5 TSF:3x5

2º opção: 4 pontos RFM: 1x4 RC: 4x4 A: 1x4 A: 3x4

3º opção : 3 pontos C: 1x3 RFM: 4x3 RC: 1x3 RFM: 3x3

4ª opção: 2 pontos RC : 1x2 TSF: 4x2 RFM: 1x2 RC: 3x2

5ª opção: 1 ponto TSF : 1x1 A: 4x1 C: 1x1 C: 3x1

Rádios Pontuação discriminada Pontuação Total

A 5+4+4+12 25

RFM 4+12+2+9 27

C 3+20+1+3 27

RC 2+16+3+6 27

TSF 1+8+5+15 29


Por sua vez o método de Contagem de Borda dita como vencedora a TSF, sendo

a Antena 3 a pior classificada.

1.2.4 O MÉTODO DA PLURALIDADE COM

ELIMINAÇÃO

O método da pluralidade com eliminação consiste em eliminar

progressivamente os candidatos menos aptos, um por um, até se obter um vencedor, ou

seja, este método é uma versão do princípio da sobrevivência dos mais aptos.

Seguidamente descrevemos como se processa o método em estudo:

1º Passo:

Tal como no método da pluralidade contam-se os votos em primeiro lugar de

cada candidato.

Se houver algum candidato que tenha a maioria ( pelo menos metade mais

um) dos votos em primeiro lugar, esse candidato é considerado o vencedor.

Se não, elimina-se o candidato (ou candidatos no caso de empate) que tenha

o menor número de votos em primeiro lugar.

2º Passo:

O(s) candidato(s) eliminado(s) no passo anterior são agora excluídos da

tabela de preferências. Relembramos que uma vez retirado da lista de

preferências um candidato, na sua coluna, os candidatos abaixo colocados



movem-se para cima um lugar. Contam-se novamente os votos em primeiro

lugar.

Se houver algum candidato que tenha a maioria (pelo menos metade mais

um) dos votos em primeiro lugar, esse candidato é considerado o vencedor.

Se não, elimina-se o candidato (ou candidatos no caso de empate) que tenha

o menor número de votos em primeiro lugar.

O processo é repetido indefinidamente até haver um candidato com a maioria dos

votos em primeiro lugar, o qual é considerado vencedor.

EXEMPLO 1.13

Vamos utilizar novamente o exemplo da Quinta das

Celebridades, aplicando-lhe agora o método da pluralidade

com eliminação.

1º Passo:

Tabela 1.32

Uma vez que nenhum dos concorrentes tem a maioria ( no mínimo metade mais

um ou seja pelo menos 27501) dos votos em primeiro lugar, vamos eliminar o

concorrente com menor número de votos em primeiro lugar isto é vamos eliminar a

Paula Coelho.


Número de votos 18000 12000 10000 9000 4000 2000







2º Passo:

Uma vez que a Paula Coelho foi eliminada, todos os concorrentes abaixo dela

sobem um degrau, logo José Castelo Branco ficará com mais 4000 votos em primeiro

lugar, e o Alexandre Frota com mais 2000. Agrupamos os boletins que ficaram iguais

depois da eliminação da Paula Coelho e obtemos a tabela seguinte:

Tabela 1.33

Concluímos, através dessa mesma tabela que o Pedro Camilo será eliminado.

3º Passo:

Prosseguindo da mesma forma, verificámos que o Alexandre Frota fica com mais

9000 votos em primeiro lugar. Voltámos a organizar os dados e obtivemos a tabela

seguinte:

Tabela 1.34

É fácil verificar que José Castelo Branco será eliminado, pois é o concorrente com

menos votos em primeiro lugar.

4º Passo:

Finalmente, excluímos José Castelo Branco e obtivemos a tabela que se segue:


Número de votos 18000 16000 10000 9000 2000

1º opção F J A PC A

2º opção PC PC J A PC

3º opção A A PC J J

4º opção J F F F F

Número de votos 18000 16000 21000

1º opção F J A

2º opção A A J

3º opção J F F


Tabela 1.35

Daqui concluímos que Alexandre Frota será expulso, pois é ele

que tem a maioria dos votos em primeiro lugar.

Então, segundo o método da pluralidade com eliminação, Alexandre Frota

abandonará, na semana em questão, a “quinta mais vigiada de Portugal”.

Analisemos agora mais alguns exemplos, onde se utiliza o método da pluralidade

com eliminação.

EXEMPLO 1.14

Um grupo de 26 docentes do Departamento de Matemática da Faculdade de

Ciências e Tecnologia da Universidade de Coimbra está a preparar uma acção de

formação, para professores do ensino básico e secundário, sobre o tema “Teoria das

Eleições “. Esse evento será organizado numa das escolas secundárias da cidade de

Coimbra. Mas eis que surgem problemas relativamente a escolha do referido

estabelecimento de ensino e os docentes decidem votar por ordem de preferência as

seguintes escolas: Escola Secundária Quinta das Flores (QF), Escola Secundária Infanta

Dona Maria (DM), Escola Secundária de Avelar Brotero (AB), Escola Secundária Jaime

Cortesão (JC) e Escola Secundária José Falcão (JF). A lista de preferências obtida foi:


Número de votos 18000 37000

1º opção F A

2º opção A F

Número de votos 10 5 2 1 4 4

1º opção DM JF AB AB JC QF

2º opção JF JC DM QF AB JC

3º opção AB QF QF JF DM AB

4º opção JC AB JF DM QF DM

5º opção QF DM JC JC JF JF


Tabela 1.36

Como temos 26 eleitores são necessários 14 ou mais votos para atingir uma

maioria. Vamos usar o método da pluralidade com eliminação para encontrar o nome da

escola que receberá a dita acção de formação.

1ºPasso:

Tabela 1.37

Uma vez que nenhuma das escolas obteve 14 ou mais votos em primeiro lugar e a

Escola Secundária Avelar Brotero é a que tem menos votos em primeiro lugar,

eliminamos do processo essa mesma escola.

2º Passo:

Dos 3 votos, em que a Avelar Brotero estava em primeiro lugar, 2 vão para a Dona

Maria (basta verificar a terceira coluna da lista de preferências) e 1 vai para a Quinta das

Flores (da quarta coluna da lista de preferências).

Tabela 1.38

Agora a Jaime Cortesão é a que tem menos votos em primeiro lugar, por isso vai

ser eliminada.


Escolas Candidatas DM JF AB JC QF

Número de votos em primeiro lugar 10 5 3 4 4


Número de votos em primeiro lugar 12 5 4 5


3º Passo:

Os 4 votos em primeiro lugar da Jaime Cortesão iriam para a Avelar Brotero

(quinta coluna), mas como a Avelar Brotero também já está fora da corrida, vamos

verificar qual a escola abaixo dessa, na mesma coluna. A Dona Maria é a felizarda.

Tabela 1.39

Agora podemos parar, não precisamos de avançar porque temos um candidato com

a maioria dos votos em primeiro lugar. A Escola Secundária Dona Maria é a vencedora,

será lá que irá ser concretizada a acção de formação sobre “Teoria das Eleições”.

EXEMPLO 1.15

Na passada Queima das Fitas os quartanistas de Direito

organizaram um jantar de curso na noite da serenata. Dado que

havia diferentes opiniões relativamente à escolha do restaurante

decidiram ir a votos. A escolha incidia sobre os seguintes

estabelecimentos: “O Telheiro” (T), “Prazeres da Carne” (PC),

“Farmácia” (F) e “O Napolitano” (N). A tabela abaixo apresentada

expressa o resultado da votação:

Tabela 1.40



Número de votos em primeiro lugar 16 5 5


1º opção PC F T N

2º opção F N N F

3º opção N T PC PC

4º opção T PC F T


O número de quartanistas eleitores é 8+6+2+19=35, ou seja, são necessários 18 ou

mais votos em primeiro lugar para obter uma maioria. “O Napolitano” tem 19 votos,

então é automaticamente o vencedor desta eleição.

Com os dois exemplos anteriores verificamos que o método da pluralidade com

eliminação satisfaz o critério da maioria.

Lacunas no método da pluralidade com

eliminação

Este método transgride o critério da monotonia e o critério ganhador de Condorcet,

com verificamos nos seguintes exemplos:

EXEMPLO 1.16

Bastante tempo antes de se realizarem os Jogos Olímpicos é

necessário escolher qual a cidade anfitriã ou seja a cidade à qual

caberá a nobre tarefa de organizar este famoso evento. Essa é uma

eleição que levanta muitas controvérsias pois provoca grandes

alterações no desenvolvimento da cidade, quer a nível económico

quer a nível político. Os eleitores são os membros do Comité

Olímpico Internacional e o método actualmente utilizado é o método

da pluralidade com eliminação com uma pequena alteração. Essa alteração consiste no

facto de que cada eleitor apresenta as suas preferências em cada ronda em vez de as

mostrar ordenadas, todas de uma só vez.

Suponhamos que para a organização dos Jogos Olímpicos de Verão 2004

concorreram três cidades: Beijing (China), Atenas (Grécia), Istambul (Turquia) e que

eram 29 os membros do Comité Internacional Olímpico. Além disso, vamos utilizar o

método da pluralidade com eliminação sem a pequena alteração utilizada na realidade.



Admitamos agora que dois dias antes da eleição se efectuou uma sondagem

apenas para analisar as tendências da votação. Os resultados dessa sondagem são

apresentados na tabela seguinte:

Tabela 1.41

Utilizando o método da pluralidade com eliminação verificaremos quem será o

vencedor desta sondagem.

1º Passo:

Tabela 1.42

Atenas é a cidade com menos votos em primeiro lugar, logo será a eliminada.

2º Passo:

Como Atenas foi eliminada os 8 votos que no primeiro passo lhe pertenciam

passam para Beijing. Temos então,

Tabela 1.43

Encontramos um candidato com a maioria dos votos em primeiro lugar: Beijing é

a cidade vencedora desta sondagem.

Admitamos que a divulgação da referida sondagem influenciará alguns eleitores

a alterar a sua tendência de voto. Suponhamos que os 4 eleitores da última coluna da

tabela 1.41 decidem alterar os seus votos, pondo em primeiro lugar Beijing em vez de

Istambul.



1º opção I A B I

2º opção A B I B

3º opção B I A A

Candidatos B I A


Candidatos B I A

Número de votos em primeiro lugar 18 11


Eis que o grande dia chegou! O Comité Olímpico foi a votos e os resultados da

eleição são os apresentados na tabela seguinte:

Tabela 1.44

Vamos agora aplicar o método da pluralidade com eliminação aos resultados

apresentados nesta tabela:

1º Passo:

Tabela 1.45

Istambul é a cidade com menos votos em primeiro lugar logo será eliminada.

2º Passo:

Sendo Istambul eliminada, os 7 votos que lhe pertenciam passam para Atenas.

Originando uma nova tabela.

Tabela 1.46

Atenas é a cidade vencedora da eleição pois é a que tem

mais votos em primeiro lugar.

É um facto bastante estranho não ser Beijing a vencedora. Se

repararmos a única alteração que ocorreu da sondagem para a eleição



1º opção I A B

2º opção A B I

3º opção B I A

Candidatos B I A


Candidatos B I A


http://www.estadao.com.br/ext/olimpiada2004/index.htm


oficial foi alguns eleitores alterarem Beijing de segunda para primeira preferência. Em

princípio isso deveria favorecer Beijing. Mas o que realmente acontece é que esta

situação é uma falha deste método: o método da pluralidade com eliminação viola o

critério da monotonia, como havíamos já referido.

EXEMPLO 1.17

O ano lectivo 2004/2005 ficará marcado pelo

irremediável atraso na colocação dos professores. Dada a

gravidade do assunto, é do conhecimento de todos que o nosso

Governo, liderado por Pedro Santana Lopes, constituiu uma

comissão de inquérito com o objectivo averiguar

responsabilidades. Suponhamos que a já citada comissão é

composta por 30 elementos e que são apontadas como causas de

tal problema as seguintes entidades ou situações:

A – A empresa contratada para a realização do concurso.

B – A actual ministra.

C – O ministro anterior.

D – Os serviços do ministério.

E – A dissolução do Governo de Durão Barroso.

Admitamos ainda que, a fim de se apurarem os responsáveis, cada elemento da

comissão votou por ordem de preferência as possíveis causas acima enunciadas;

colocando em primeiro a situação ou entidade que acha culpada e terminando com

aquela que considera isenta de culpa. O resultado de tal processo eleitoral encontra-se na

seguinte tabela:


Número de votos 10 8 5 4 3

1º opção A D B C E

2º opção C C C B A

3º opção B B D D C

4º opção D E A E B

5º opção E A E A D


Tabela 1.47

Verifiquemos quem é o vencedor de tal eleição utilizando o método da

pluralidade com eliminação.

1º Passo:

Tabela 1.48

A causa E tem menos votos em primeiro lugar que qualquer outra, logo será

eliminada.

2º Passo:

Como a causa E foi eliminada, os 3 votos que lhe foram atribuídos passam para a

causa A.

Tabela 1.49

A causa C é que será eliminada neste passo.

3º Passo:

Uma vez que a causa C foi eliminada os 4 votos que lhe pertenciam passam para a

causa B.


Causas Candidatas A B C D E

Número de votos em primeiro lugar 10 5 4 8 3


Número de votos em primeiro lugar 13 5 4 8




Tabela 1.50

Agora será a causa D a eliminada.

4º Passo:

Dado que a causa D foi eliminada os seus votos passam para a causa B.

Tabela 1.51

Finalmente concluímos que a vencedora da eleição é a causa B, ou seja a comissão

de inquérito aponta como culpada pelo atraso na colocação dos professores a actual

ministra da educação.

Verifiquemos, por outro lado, que a causa C é um candidato de Condorcet.

Realmente, temos que C comparada com A tem 17 votos contra 13; comparada com B

tem 25 contra 5; comparada com D tem 22 contra 8; e comparada com E tem 27 contra

3. Como a causa C é um candidato de Condorcet e não é a vencedora da eleição

podemos afirmar que o método da pluralidade com eliminação viola o critério de

Condorcet.

Apesar das lacunas apresentadas o método em questão é utilizado em diferentes

situações do mundo real, sobretudo em eleições com número reduzido de candidatos

(normalmente 3 ou 4 e raramente mais do que 6)





Variantes do método da pluralidade com

eliminação

Método da pluralidade com Runoff (ou método da corrida final)

A descrição deste método é a seguinte:

1º Passo:

Conta-se o número de votos em primeiro lugar e se porventura um deles

obtiver a maioria (pelo menos metade mais 1) é anunciado como o vencedor

da eleição.

Se isto não acontecer eliminam-se todos os candidatos com a excepção dos

dois que acumularem mais votos em primeiro lugar.

2º Passo:

Os candidatos eliminados no passo anterior são excluídos da tabela de

preferências. Procede-se a uma nova contagem, sendo vencedor da eleição o

candidato que obtiver a maioria dos votos em primeiro lugar.

EXEMPLO 1.18

Vamos mais uma vez utilizar o exemplo da Quinta das Celebridades, agora para

mostrar como funciona o método da pluralidade com Runoff.

1º Passo:



Relembremos a lista de preferências:

Tabela 1.52

Como nenhum candidato tem uma maioria, vamos eliminar os três candidatos com

menos votos em primeiro lugar, porque pretendemos reter, apenas, os dois candidatos

com mais votos em primeiro lugar. Ou seja, vamos eliminar os candidatos A, PC e P.

Obtemos a tabela seguinte:

2º Passo:

Tabela 1.53

Agora é José Castelo Branco quem tem a maioria dos votos em

primeiro lugar, ou seja vai ter de ser ele a abandonar a “quinta mais

vigiada de Portugal”.

Método de Coombs


Número de votos 18000 12000 10000 9000 4000 2000







1º opção F J

2º opção J F

http://books.nap.edu/books/0309047463/html/59.html#pagetop%00


Este método assemelha-se em tudo ao método da pluralidade com eliminação, mas

neste eliminamos a cada passo o candidato com maior número de votos em último lugar.

Ou seja,

1º Passo:

Contam-se os votos em primeiro lugar e os votos em último lugar;


um) dos votos em primeiro lugar, esse candidato é considerado o vencedor;

Se não, elimina-se o candidato (ou candidatos em caso de empate) que tem

maior número de votos em último lugar;

2º Passo:

O(s) candidato(s) eliminado(s) no passo anterior são excluídos da tabela de

preferências;


um) dos votos em primeiro lugar, esse candidato é considerado o vencedor;

Se não, elimina-se o candidato (ou candidatos em caso de empate) que tem

maior número de votos em último lugar.

O processo é repetido indefinidamente até haver um candidato com a maioria dos

votos em primeiro lugar, o qual é considerado vencedor.

EXEMPLO 1.19


COOMBS, CLYDECOOMBS, CLYDE F.F.

1912 - 19881912 - 1988


Retomemos, novamente, o exemplo da Quinta das

Celebridades para ilustrar o método de Coombs.

1º Passo:

Relembremos a lista de preferências:

Tabela 1.54

Como nenhum candidato tem mais que metade dos votos em primeiro lugar,

vamos averiguar o número de votos em último lugar de cada concorrente.

Verificámos que a Fátima Preto é quem aparece mais vezes em último lugar (em

37000 boletins contra o José Castelo Branco que aparece nos restantes), então será

eliminada.

2º Passo:

A lista de preferências é, obviamente, modificada e toma agora o seguinte

aspecto:

Número de votos 18000 12000 10000 9000 4000 2000

1º opção PC J A PC P P

2º opção P P J A J A

3º opção A PC P P PC PC

4º opção J A PC J A J


Número de votos 18000 12000 10000 9000 4000 2000







Tabela 1.55

Novamente, nenhum candidato tem a maioria dos votos em primeiro lugar, por

isso vamos ter que recontar os votos para o último lugar.

O José Castelo Branco tem 29000 votos em último lugar, o Alexandre Frota tem

16000, o Pedro Camilo tem 10000 e a Paula Coelho não tem votos em último lugar. O

que significa que José Castelo Branco é quem será eliminado.

3º Passo:

Obtemos a seguinte lista de preferências:

Número de votos 27000 22000 4000 2000

1º opção PC A P P

2º opção P P A PC

3º opção A PC PC A

Tabela 1.5

Como anteriormente, nenhum candidato tem uma maioria de votos em primeiro

lugar, por isso vamos proceder como nos outros passos.

O Alexandre Frota tem 29000 votos em último lugar e o Pedro Camilo 26000. A

Paula Coelho continua a não ter nenhum. Então o Alexandre Frota será eliminado.

4º Passo:

Obtemos uma nova lista de preferências:


1º opção PC P

2º opção P PC

Tabela 1.57



Finalmente, a Paula Coelho tem 28000 votos em primeiro

lugar, ou seja, uma maioria (mais que 27500). Isso significa que será

ela, a celebridade, a abandonar a quinta.

Sistematizando agora a informação relativa às aplicações do método da

pluralidade com eliminação e suas variantes, no exemplo da Quinta das Celebridades,

concluímos que:

Método / Variante Concorrente vencedor

Pluralidade com Eliminação Alexandre Frota

Pluralidade com Runoff José Castelo Branco

Coombs Paula Coelho

Tabela 1.58

As diferentes modalidades do método da pluralidade com eliminação dão-nos

diferentes vencedores.

1.2.5 O MÉTODO DA COMPARAÇÃO PAR A

PAR

O método da comparação par a par consiste em comparar todos os candidatos

dois a dois. Designamos por comparação par a par cada uma destas comparações.

Dados dois candidatos X e Y, é atribuído numa comparação par a par, 1 ponto ao

vencedor, que é o candidato que se encontra com melhor posição num maior número de

colunas da tabela de preferências. Em situação de empate é atribuída ½ ponto a cada

um dos candidatos. Será declarado vencedor da eleição o candidato que após terem sido

realizadas todas as comparações par a par, obtiver maior número de pontos. Neste

método é frequente ocorrerem casos de empate, ou se aceita a existência de mais do que

um vencedor ou, caso contrário, usa-se um método pré-determinado de desempate.



EXEMPLO 1.20

Para ilustrar este método, consideremos de novo o

exemplo da votação nos concorrentes da “Quinta das

Celebridades”.

Analisemos a tabela seguinte:

Tabela 1.59

Desencadeemos a comparação par a par entre Fátima Preto e José Castelo

Branco:

Na primeira coluna da tabela de preferência verificamos que os 18000 votos vão

para a Fátima Preto, uma vez que este candidato ocupa uma posição superior na ordem

de preferência, relativamente ao José Castelo Branco. No entanto, os restantes 37000

votos vão para José Castelo Branco. Portanto, o vencedor desta comparação par a par é

José Castelo Branco, que ganha um ponto.


Número de votos 18000 12000 10000 9000 4000 2000






Número de votos 18000 12000 10000 9000 4000 2000







Tabela 1.60

No caso da comparação par a par entre o Alexandre Frota e o Pedro Camilo,

verifica-se que existem 43000 eleitores que preferem o Pedro Camilo ao Alexandre

Frota e apenas 12000 eleitores que preferem o Alexandre Frota ao Pedro Camilo.

Portanto o vencedor desta comparação par a par é o Pedro Camilo, que ganha um ponto.

Tabela 1.61

Fazendo-se todas as comparações possíveis, os resultados são:

F versus J: 18000 votos para (12000+10000+9000+4000+2000)=37000

José Castelo Branco vence e obtém 1 ponto.

F versus A: 18000 votos para (12000+10000+9000+4000+2000)=37000

Alexandre Frota vence e obtém 1 ponto.

F versus PC: 18000 votos para (12000+10000+9000+4000+2000)=37000

Pedro Camilo vence e obtém 1 ponto.

F versus P: 18000 votos para (12000+10000+9000+4000+2000)=37000

Paula Coelho vence e obtém 1 ponto.

J versus A: (12000+4000)=16000 votos

para (18000+10000+9000+2000)=39000


Número de votos 18000 12000 10000 9000 4000 2000







Alexandre Frota vence e obtém 1 ponto.

J versus PC: (12000+10000+4000)=26000 votos

para (18000+9000+2000)=29000


J versus P: (12000+10000)=22000 votos

para (18000+9000+4000+2000)= 33000


A versus PC: (10000+2000)=12000 votos

para (18000+12000+9000+4000)= 43000


A versus P: (10000+9)=19000 votos para (18000+12000+4000+2000)=36000


PC versus P: (18000+9000)=27000 votos

para (12000+10000+4000+2000)=28000


Procedendo desta forma os resultados obtidos após a contagem dos pontos são os

seguintes:

Fátima

Preto0 pontos

José

Castelo

Branco

1 pontos

Alexandre

Frota2 pontos

Pedro

Camilo3 pontos



Paula

Coelho4 pontos

Tabela 1.62

Conclusão:

O vencedor da eleição é o concorrente P! Ou seja, é a Paula

Coelho que vai abandonar a “ vida rural”.

Como é óbvio o critério ganhador de Condorcet é satisfeito por este método, pois o

candidato que é sempre preferido nas comparações par a par é que vai obter um maior

número de pontos, logo será o vencedor neste método.

Satisfaz também o critério da maioria, pois o candidato que tem a maioria dos

votos em primeiro lugar será o vencedor segundo este método; como demonstramos no

raciocínio seguinte:

Consideremos uma eleição em que existem N candidatos: X1, X2,..., XN e que o

candidato X1 tem a maioria dos votos em primeiro lugar. Apliquemos o método da

comparação par a par. O candidato X1 é comparado com cada um dos outros N-1

candidatos e, como tem a maioria dos votos em primeiro lugar, ganha as N-1

comparações e obtém N-1 pontos. O candidato X2 é comparado com todos os outros

candidatos excepto com X1, visto que os dois já foram comparados anteriormente. E

portanto, são feitas N-2 comparações. Deste modo, X2 pode vencer no máximo N-2

comparações e ganhar N-2 pontos. E assim sucessivamente. Até que o (N-1) - ésimo

candidato é comparado apenas com o N-ésimo, visto que as comparações com os outros

N-2 candidatos já foram efectuadas e portanto, é apenas feita uma comparação par a par.

Caso o (N-1) -ésimo vença esta comparação, ganha, na melhor das hipóteses, 1 ponto.

Mas,

N-1 N-2 ... 1,

Portanto X1 tem o maior número de pontos e vence a eleição.



Mostrámos assim que o candidato que possui a maioria dos votos em primeiro

lugar no boletim de voto é de facto o vencedor da eleição e portanto este método satisfaz

o critério da maioria.

É ainda satisfeito o critério da monotonia: se um candidato X é vencedor de uma

eleição e se são efectuadas alterações no boletim de voto, todas elas favoráveis a X, X

vai vencer ainda mais comparações par a par e portanto obterá ainda mais pontos, o que

conduzirá a que ele seja o vencedor.

Lacunas no método da comparação par a par

O exemplo seguinte irá demonstrar que apesar de serem satisfeitos os critérios de

justiça atrás mencionados, o método da comparação par a par não satisfaz um princípio

básico de justiça designado por critério da independência.

EXEMPLO 1.21

Admitamos a seguinte situação:

Uma Escola Secundária da Região Centro do país decidiu

atribuir um prémio ao melhor aluno do ano lectivo 2003/2004.

Numa primeira fase do concurso seleccionaram os 5 alunos que

mais se destacaram positivamente durante o ano. Foram eles:

Cátia (C), Luís (L), Margarida (M), Ruben (R) e Sofia (S). Na

segunda fase os 22 elementos do conselho pedagógico reuniram

extraordinariamente e votaram por ordem de preferência os alunos seleccionados.


Critério da independência:Se um candidato X é o vencedor de uma eleição e um ou mais dos outros

candidatos é removido, sendo os boletins de voto contados de novo, então X continua a ser o vencedor da eleição.


Decidiram ainda usar como método de votação o método de comparação par a par. Os

resultados obtidos são expressos na seguinte tabela:

Tabela 1.63

As comparações par a par são:

C versus R: (2+1+4) = 7 votos para (6+4+1+4) = 15

R vence e obtém 1 ponto.

C versus M: (2+6+4+4) = 16 votos para (1+1+4) = 6

C vence e obtém 1 ponto.

C versus L: (2+6+4+1) = 13 votos para (1+4+4) = 9


C versus S: (2+6+4+1+1+4) = 18 votos para 4


R versus M: (6+4) = 10 votos para (2+1+1+4+4) = 12

M vence e obtém 1 ponto.

R versus L: (6+4+1) = 11 votos para (2+1+4+4) = 11

R e L empatam. R obtém ½ ponto e L obtém ½ ponto.

R versus S: (2+6+4+1+1) = 14 votos para (4+4) = 8


Número de votos

2 6 4 1 1 4 4

1ª opção C R R M M L S

2º opção L C C R L C M

3ª opção M M L C C S L

4ª opção R L S L R M R

5ª opção S S M S S R C



M versus L: (6+1+1+4) = 12 votos para (2+4+4) =10

M vence e obtém 1 ponto.

M versus S: (2+6+1+1) = 10 votos para (4+4+4) = 12

S vence e obtém 1 ponto.

L versus S: (2+6+4+1+1+4) = 18 votos para 4

L vence e ganha 1 ponto.

Os resultados obtidos após a contagem dos pontos são:

Cátia 3 pontos

Ruben 2 + ½ pontos

Margarida 2 pontos

Luís 1+ ½ pontos

Sofia 1 ponto

Tabela 1.64

Conclusão: o vencedor é a Cátia!

Ao saber que era uma das seleccionadas, para a votação que decidiria quem era o

melhor a aluno da escola, a Margarida informou o conselho executivo que não estava

interessada em tal prémio. Desta forma a Margarida foi eliminada da votação.

Será que este facto afectará de algum modo o resultado da eleição?

Suponhamos então que o candidato M é eliminado da eleição original e que o

método de comparação par a par volta a ser aplicado. Então, os resultados obtidos são os

que a tabela seguinte apresenta:

Número de Votos

2 6 4 1 1 4 4



1ª escolha C R R R L L S

2º escolha L C C C C C L

3ª escolha R L L L R S R

4ª escolha S S S S S R C

Tabela 1.65

Agora as comparações par a par são:

C versus R: (2+1+4) = 7 votos para (6+4+1+4) = 15


C versus L: (2+6+4+1) = 13 votos para (1+4+4) = 9


C versus S: (2+6+4+1+1+4) = 18 votos para 4


R versus L: (6+4+1) = 11 votos para (2+1+4+4) = 11

R e L empatam. R obtém ½ ponto e L obtém ½ ponto.

R versus S: (2+6+4+1+1) = 14 votos para (4+4) = 8


L versus S: (2+6+4+1+1+4) = 18 votos para 4

L vence e ganha 1 ponto.

Os resultados obtidos na nova eleição são:

Cátia 2 pontos

Ruben 2 + ½ pontos

Luís 1+ ½ pontos

Sofia 0 pontos

Tabela 1.66



Conclusão: O vencedor é o Ruben e não a Cátia!

Evidenciamos assim que o método da comparação par a par não satisfaz o critério

da independência.

Outra lacuna a referir, é o facto deste método poder desencadear resultados que

anunciam como vencedores todos os candidatos, isto é, resultado em que há um empate

generalizado. Normalmente não existe um processo fixo para desempatar mas, na

realidade, é fundamental pré-estabelecer regras para que caso seja necessário se proceda

a um desempate.

EXEMPLO 1.22

Os 11 elementos da direcção do Núcleo de Estudantes de

Farmácia, decidiram realizar um convívio na noite da Serenata da

Latada 2004. Ao prepararem o referido evento surgiram algumas

desavenças no que respeitava à escolha da marca de cerveja que

venderiam durante essa noite. Dada esta situação,

concordaram em votar por ordem de preferência, as seguintes

marcas: Super Bock (SB), Sagres (S), Tagus (T). Decidiram

ainda usar como método de votação o método de comparação

par a par.

A tabela seguinte mostra os resultados obtidos e a ordem de preferências:

Número de Votos 4 2 5

1ª opção SB S T

2ª opção S T SB

3ª opção T SB S

Tabela 1.67



As comparações par a par a efectuar são:

SB versus S: (4 + 5) = 9 votos para 2

SB vence e obtém 1 ponto.

SB versus T: 4 votos para (2 + 5) = 7

T vence e obtém 1 ponto.

S versus T: (4 + 2) = 6 votos para 5

S vence e obtém 1 ponto.

Após a contagem dos pontos obtemos:

SB 1 ponto

S 1 ponto

T 1 ponto

Tabela 1.68

Conclusão: As marcas de cerveja estão todas empatadas! Como é óbvio, neste

caso e em todos os outros casos, não é possível, nem razoável considerar que todos os

candidatos sejam vencedores.

Quantas comparações par a par têm de ser

feitas numa eleição?



Uma desvantagem proporcionada por este método, é o dispendioso trabalho

relacionado com o número de comparações par a par, que têm de ser desenvolvidas,

numa eleição, no sentido de determinar o vencedor. Dado que são necessárias

comparações entre todos os candidatos, este número irá variar consoante a quantidade de

candidatos envolvidos no processo eleitoral. Durante este processo é imprescindível

contar o número de comparações par a par sistematicamente, tendo o cuidado de não

repetir nenhuma.

Suponhamos uma dada eleição com n candidatos.

O primeiro candidato vai ser comparado com os restantes n – 1, portanto

resultam daí n – 1 comparações;

O segundo candidato vai ser comparado com todos os outros, excepto com

o primeiro, uma vez que essa comparação já foi realizada. Daqui resultam n

– 2 comparações;

Por sua vez o terceiro candidato será comparado com todos os outros à

excepção do primeiro e do segundo. Efectuam-se portanto n – 3

comparações;

.

.

.

O (n – 1) - ésimo candidato será comparado com todos os outros à excepção

dos (n – 2) primeiros, ou seja, é comparado apenas com o n-ésimo. Daqui

resulta apenas uma comparação;

Obtemos então que o número de comparações par a par é: 1 + 2 + 3 + … + (n -1).



Esta expressão, é a soma dos primeiros n – 1 termos de uma progressão

aritmética de razão 1. Assim resulta que numa eleição com n candidatos o número

de comparações par a par é:

1 + 2 + 3 + … + (n -1) = ( (n – 1) n) / 2

(O que se demonstra facilmente por indução.)

Neste momento é pertinente afirmar, que este método não é viável em

eleições com muitos candidatos, dado que o número de comparações a efectuar

aumenta rapidamente em função do número de candidatos.

Comparação dos Resultados Obtidos

Recorrendo uma vez mais ao exemplo da Quinta das

Celebridades vamos mostrar, na tabela seguinte, que a

aplicação de métodos de votação distintos origina vencedores

distintos:

Vencedor Método de Votação

Fátima Preto Pluralidade

Pedro Camilo Contagem de Borda

Alexandre Frota Pluralidade com Eliminação

Paula Coelho Comparação Par a Par

Tabela 1.70

Concluímos assim que o concorrente eleito para sair da quinta “mais vigiada de

Portugal” varia de método para método.



1.2.6 RANKINGS

Em muitas situações da vida real é fundamental, não só ter conhecimento do

vencedor de uma eleição, mas também dos candidatos que ocupam o segundo lugar, o

terceiro lugar, etc. Perante esta situação, é necessário que para além de indicar o

vencedor, o método forneça um ranking dos candidatos. Para tal dispomos de dois

métodos:

Métodos de Ranking extensivos ou alargados;

Métodos de Ranking recursivos;

Métodos de ranking extensivos ou alargados

É possível obter uma extensão natural de cada um dos métodos de eleição

analisados anteriormente, de forma a encontrarmos a classificação geral dos candidatos.

De seguida apresentamos a extensão de alguns dos métodos referidos anteriormente:

Método da pluralidade alargado

Segundo este método é eleito para a primeira posição do ranking o

candidato que obtiver o maior número de colocações em primeiro lugar.

A segunda posição do ranking será ocupada pelo candidato, que à

excepção do candidato já eleito, obtiver o maior número de colocações

em primeiro lugar.



Por sua vez, a terceira posição do ranking será ocupada pelo candidato,

que à excepção dos já eleitos, obtiver o maior número de colocações em

primeiro lugar.

E assim, sucessivamente.

EXEMPLO 1.23

Para exemplificar este método,

consideremos de novo a eleição no concurso

televisivo “Quinta das Celebridades”. A tabela

com a lista de preferências da votação, já

apresentada, é a seguinte:

Tabela 1.71

Assim, verifica-se que:

F tem 18000 pontos em primeiro lugar;

J tem 12000 pontos em primeiro lugar;

A tem 10000 pontos em primeiro lugar;

PC tem 9000 pontos em primeiro lugar;

P tem 6000 pontos em primeiro lugar.


Número de votos 18000 12000 10000 9000 4000 2000







Portanto, segundo este método, o vencedor é a Fátima Preto (F), que terá

então de abandonar a quinta. O José Castelo Branco (J) ocupa a 2ª posição, uma

vez que é o 2º candidato com mais votos em 1º lugar e de forma análoga se

verifica que o Alexandre Frota (A) ocupa a 3ª posição, o Pedro Camilo (PC) ocupa

a 4ª posição e a Paula Coelho (P) ocupa a 5ª posição.

Esquematizando:

Posição no Ranking Candidato Votos em 1º lugar

1º F 18000

2º J 12000

3º A 10000

4º PC 9000

5º P 6000

Tabela 1.72

Método da contagem de Borda alargado

É também, relativamente, simples estabelecer a ordem de classificação

geral dos candidatos de uma eleição aplicando este método. Como já

referimos, a cada candidato está associado um número de pontos, sendo o

candidato eleito o que obtiver um maior número de pontos. Logo o ranking

será elaborado em função dessa pontuação, ou seja, a posição do ranking

aumenta à medida que os pontos também aumentam.

EXEMPLO 1.24



Aplicando no exemplo do reality show, “Quinta das Celebridades”, o Método de

Contagem de Borda obtivemos:

Concorrentes Pontuação Total

F 127000

J 156000

A 162000

PC 191000

P 189000

Tabela 1.73

Logo, os resultados do ranking baseados no método de contagem de Borda

Alargado são os seguintes:

Posição no Ranking Candidato Votos em 1º lugar

1º PC 191000

2º P 189000

3º A 162000

4º J 156000

5º F 127000

Tabela 1.74

Método da pluralidade com eliminação alargado

A forma como encontramos o ranking dos candidatos numa dada

eleição, recorrendo a este método é a seguinte:

O primeiro candidato que é eliminado ocupará a ultima posição, o

segundo candidato eliminado, será por sua vez, colocado no penúltimo lugar



do ranking e assim sucessivamente até ser colocado na primeira posição o

último candidato a ser eliminado.

EXEMPLO 1.25

Retomemos mais uma vez o exemplo da eleição

no reality show “Quinta das Celebridades”. A tabela

seguinte expressa os resultados do ranking baseado

neste método:

Posição no Ranking Candidato Eliminado na

1º A

2º F 4ª volta

3º J 3ª volta

4º PC 2ª volta

5º P 1ª volta

Tabela 1.75

Método de comparação par a par alargado

A base para se elaborar o ranking com recurso a este método, é o

número de comparações par a par ganhas por cada candidato, isto é, o

número de pontos que cada um ganhou após essa comparações. Portanto,

aquele que mais comparações tiver ganho será o candidato a ocupar a

primeira posição do ranking, seguindo-se o candidato, que à excepção do

candidato já colocado, ganhou mais comparações. E assim sucessivamente

até obter o ranking de todos os candidatos.

EXEMPLO 1.26



Voltando ao exemplo do concurso televisivo “Quinta das Celebridades”

verificamos que os resultados baseados neste método são:

Posição no Ranking Candidato Pontos

1º P 4

2º PC 3

3º A 2

4º J 1

5º F 0

Tabela 1.76

Comparação dos Resultados Obtidos

Método de Ranking AlargadoOrdem de Classificações Gerais

1º 2º 3º 4º 5º

PluralidadeF J A PC P

Contagem de BordaPC P A J F

Pluralidade com EliminaçãoA F J PC P

Comparação Par a ParP PC A J F

Tabela 1.77



Da análise da tabela verificamos que diferentes métodos conduziram a rankings de

candidatos distintos, sendo bastante evidente essa discrepância. No entanto, na maioria

das eleições do mundo real, os resultados dos rankings obtidos do recurso a métodos

distintos, tendem a ser mais consistentes e uniformes.

Métodos de ranking Recursivo

Este método tem por base um processo designado por aproximação recursiva.

Considerando que numa dada eleição, é utilizado o método X e a aproximação recursiva

para elaborar o ranking de candidatos, este é obtido seguindo os seguintes

procedimentos:

Começamos por aplicar o método X de forma a encontra o vencedor da

eleição ocupando este o primeiro lugar do ranking;

De seguida, este é retirado da lista de preferências, sendo desta forma obtida

uma nova lista;

A esta é aplicado o mesmo método X para determinar o vencedor, ocupando

este o segundo lugar do ranking;

E assim sucessivamente até estarem ordenados todos os candidatos da

eleição;

EXEMPLO 1.27

Neste exemplo vamos considerar de novo a eleição na

“Quinta das Celebridades” e recorremos ao método da

pluralidade recursivo para classificar os candidatos.

Relembremos a tabela com a lista de preferências:



Tabela 1.78

1º Passo:

Determinamos o vencedor usando o método da pluralidade.

Como já vimos anteriormente o vencedor é a Fátima Preto e portanto é ela que tem

de abandonar a vida rural, preenchendo assim o 1º lugar do ranking.

2º Passo:

Removendo a Fátima Preto da lista de preferências original, obtemos uma nova

lista de preferências:

Tabela 1.79

Aplicando de novo o método da pluralidade observamos que o concorrente a ser

expulso é o Pedro Camilo. Portanto Pedro Camilo ocupa o 2º lugar no ranking.

3º Passo:

Removendo o Pedro Camilo da lista de preferências obtemos a seguinte tabela:


Número de votos 18000 12000 10000 9000 4000 2000






Número de votos 18000 12000 10000 9000 4000 2000

1ª opção PC J A PC P P

2ª opção P P J A J A

3ª opção A PC P P PC PC

4ª opção J A PC J A J

Número de votos 18000 12000 10000 9000 4000 2000

1ª opção P J A A P P

2ª opção A P J P J A

3ª opção J A P J A J


Tabela 1.80

Aplicando o método da pluralidade mais uma vez, deduzimos que o vencedor é a

Paula Coelho, o que significa que ela ocupa o 3º lugar.

4º Passo:

Removendo a Paula Coelho da lista de preferências obtemos a seguinte tabela:

Tabela 1.81

Verificamos agora que, segundo o método da pluralidade o vencedor é o

Alexandre Frota. Deste modo ele ocupa o 4º lugar.

5º Passo:

Por fim observamos que o José Castelo Branco ocupa a última posição, isto é,

ocupa a 5ª posição.

Assim a classificação geral dos candidatos segundo o método de pluralidade

recursivo é a seguinte:

Lugar Candidato

1º Fátima Preto

2º Pedro Camilo

3º Paula Coelho

4º Alexandre Frota

5º José Castelo Branco

Tabela 1.82


Número de votos 18000 12000 10000 9000 4000 2000

1ª opção A J A A J A

2ª opção J A J J A J


Note-se que este resultado é diferente daquele que foi obtido com a aplicação do

método da pluralidade alargado. De facto, só o primeiro lugar é que se manteve igual.

EXEMPLO 1.28

Vamos determinar agora, o ranking do exemplo da

“Quinta das Celebridades” utilizando o método de contagem

de Borda recursivo. Para tal vamos recorrer as tabelas 1.5 e

1.6 :

Número de

votos18000 12000 10000 9000 4000 2000

1º opção:

5 pontos

F:

5x18000

J:

5x12000

A:

5x10000

PC:

5x9000

P:

5x4000

P:

5x2000

2º opção:

4 pontos

PC:

4x18000

P:

4x12000

J:

4x10000

A:

4x9000

J:

4x4000

A:

4x2000

3º opção:

3 pontos

P:

3x18000

PC:

3x12000

P:

3x10000

P:

3x9000

PC:

3x4000

PC:

3x2000

4º opção:

2 pontos

A:

2x18000

A:

2x12000

PC:

2x10000

J:

2x9000

A:

2x4000

J:

2x2000

5º opção:

1 ponto

J

1x18000

F:

1x12000

F:

1x10000

F:

1x9000

F:

1x4000

F:

1x2000

Tabela 1.5


F 90000+12000+10000+9000+4000+2000 127000

J 18000+60000+40000+18000+16000+4000 156000

A 36000+24000+50000+36000+8000+8000 162000

PC 72000+36000+20000+45000+12000+6000 191000



P 54000+48000+30000+27000+20000+10000 189000

Tabela 1.6

Portanto o vencedor é o Pedro Camilo, sendo este colocado automaticamente no

primeiro lugar do ranking. Eliminando o Pedro Camilo da tabela 1.5 temos as seguintes

tabelas:

Número de

votos18000 12000 10000 9000 4000 2000

1º opção:

4 pontos

F:

4x18000

J:

4x12000

A:

4x10000

A:

4x9000

P:

4x4000

P:

4x2000

2º opção:

3 pontos

P:

3x18000

P:

3x12000

J:

3x10000

P:

3x9000

J:

3x4000

A:

3x2000

3º opção:

2 pontos

A:

2x18000

A:

2x12000

P:

2x10000

J:

2x9000

A:

2x4000

J:

2x2000

4º opção:

1 pontos

J:

1x18000

F:

1x12000

F:

1x10000

F:

1x9000

F:

1x4000

F:

1x2000

Tabela 1.83


F 72000+12000+10000+9000+4000+2000 109000

J 18000+48000+30000+18000+12000+4000 130000

A 36000+24000+40000+36000+8000+6000 140000

P 54000+36000+20000+27000+16000+8000 161000

Tabela 1.84

Agora o vencedor é a Paula Coelho (P), colocando-se desta forma no segundo

lugar do ranking.

Ao eliminarmos o candidato (P), as tabelas reduzem-se ao seguinte:

Número de 18000 12000 10000 9000 4000 2000



votos

1º opção:

3 pontos

F:

3x18000

J:

3x12000

A:

3x10000

A:

3x9000

J:

3x4000

A:

3x2000

2º opção:

2 pontos

A:

2x18000

A:

2x12000

J:

2x10000

J:

2x9000

A:

2x4000

J:

2x2000

3º opção:

1 pontos

J:

1x18000

F:

1x12000

F:

1x10000

F:

1x9000

F:

1x4000

F:

1x2000

Tabela 1.85


F 54000+12000+10000+9000+4000+2000 91000

J 18000+36000+20000+18000+12000+4000 108000

A 36000+24000+30000+27000+8000+6000 131000

Tabela 1.86

Verificamos que Alexandre Frota é desta vez o vencedor, colocando-se em

terceiro lugar do ranking. Eliminando (A) das tabelas obtemos o seguinte:

Número de votos 18000 12000 10000 9000 4000 2000

1º opção:

2 pontos

F:

2x18000J: 2x12000 J: 2x10000 J: 2x9000 J: 2x4000 J: 2x2000

2º opção:

1 pontosJ 1x18000

F:

1x12000

F:

1x10000

F:

1x9000

F:

1x4000

F:

1x2000

Tabela 1.87


F 36000+12000+10000+9000+4000+2000 73000

J 18000+24000+20000+18000+8000+6000 94000

Tabela 1.88



Verificamos que José Castelo Branco é desta vez o vencedor, colocando-se em

quarto lugar do ranking. Finalmente, a 5ª e última posição será ocupada pela Fátima

Preto.

Sintetizando obtemos o seguinte quadro:

Lugar Candidato

1º Pedro Camilo

2º Paula Coelho

3º Alexandre Frota

4º José Castelo Branco

5º Fátima Preto

Tabela 1.89

CAPÍTULO IICAPÍTULO II



MÉTODOS DE VOTAÇÃOMÉTODOS DE VOTAÇÃO COM PESOCOM PESO

2.1 TERMINOLOGIA E NOTAÇÃO

Em todo o sistema de votação ponderada intervêm três elementos:

Os Jogadores, que são os próprios eleitores. De agora em diante usaremos o

termo “eleitores” quando se trata de um sistema de votação uma pessoa - um

voto e o termo jogadores quando nos referimos a um sistema de votação uma

pessoa - x votos. O número de jogadores será designado pela letra N e os

respectivos jogadores por P1, P2, ... , PN;

O Peso dos seus votos, que consiste no número de votos que cada jogador

possui e que é representado por W1, W2, ... , WN, respectivamente.

Quota, que consiste no número mínimo de votos necessário para aprovar uma

moção ( proposta apresentada para ser discutida em assembleia ).



Representamos quota pela letra q. O valor da quota tem de ser sempre maior do

que a metade do total dos votos e menor ou igual que o próprio total.

Formalmente,

Os Jogadores que possuem um peso de voto superior ou igual à quota são

designados por ditadores. Os outros que ficam submetidos a eles são chamados

Jogadores Neutros.

Pode acontecer também que dado um jogador P1, apesar de não ser ditador mas

tendo maior número de votos que qualquer um dos outros, tenha o poder de impedir que

uma moção seja aprovada, ou seja, este jogador tem poder de veto: mesmo que todos os

outros jogadores votem juntos nunca conseguirão aprovar uma moção contra a vontade

de P1, dado que não têm votos superiores à quota.

A notação usada para representar um sistema de voto com peso é a seguinte:

[ q : W1, W2, ... , WN ]

Salientamos, que é costume pôr os diferentes pesos por ordem decrescente de

grandeza.

EXEMPLO 2.1

Consideremos que a direcção de uma dada empresa possui quatro membros, P1, P2,

P3 e P4, com a seguinte distribuição de votos:

Membros Votos

P1 8

P2 6

P3 5

P4 1



Tabela 2.1

Seguindo as regras da direcção, são necessários dois terços dos vinte votos para

aprovar uma moção. Usando a nossa notação este sistema de votação ponderada pode ser

descrito por [14: 8, 6, 5,1].

Note-se que q = 14 pois catorze é o primeiro inteiro superior a dois terços de vinte.

EXEMPLO 2.2

Consideremos agora o sistema de votação ponderada [7: 5, 4, 4, 2]. A quota q =

7 é inferior a metade da totalidade dos votos. Neste caso se os jogadores P1 e P4 votarem

a favor e os outros dois jogadores votarem contra, os dois grupos ganham! Isto é a

versão matemática de anarquia. Como tal, não consideraremos este sistema de votação

ponderada válido.

EXEMPLO 2.3

Seja [17: 5, 4, 4, 2] um sistema de votação ponderada. A quota excede o número

total de votos. Assim é impossível aprovar qualquer moção. Este sistema será por isso

invalidado.

EXEMPLO 2.4

Analisemos agora o sistema de votação ponderada [11: 4, 4, 4, 4, 4]. Neste caso

os cinco jogadores têm igual número de votos. Para que uma moção seja aprovada basta

que três quaisquer jogadores votem a favor. Note-se que se a quota fosse alterada para q

= 12 a situação manter-se-ia igual. O que se apresenta neste caso, embora disfarçado, é o

sistema uma pessoa – um voto, com a simples necessidade de uma maioria de votos para

aprovar uma moção.



EXEMPLO 2.5

Estudemos agora o sistema de votação ponderada [15: 5, 4, 3, 2, 1]. Os cinco

jogadores têm quinze votos no total. Para uma moção ser aprovada é necessária a

unanimidade. Assim, em termos práticos, os sistemas de votação ponderada [15: 5, 4, 3,

2, 1] e [5: 1, 1, 1, 1, 1] são equivalentes.

Vamos continuar com mais alguns exemplos, introduzindo agora, informalmente,

a noção de poder:

EXEMPLO 2.6

Seja [11: 12, 5, 4] um sistema de votação ponderada. Nesta simulação o jogador

P1 controla um número de votos suficiente para fazer passar qualquer moção. Desta

forma o jogador P1 detém todo o poder e é chamado ditador.

EXEMPLO 2.7

No sistema de votação ponderada [12: 9, 5, 4, 2] o jogador P1 não é um ditador

mas tem o poder de impedir que qualquer moção seja aprovada. De facto mesmo que

todos os outros jogadores estivessem de acordo, a soma dos seus votos não seria

suficiente para fazer passar uma moção, contra a vontade do P1.

EXEMPLO 2.8



Analisemos o sistema de votação ponderada [101: 99, 98, 3]. À primeira vista

parece que os jogadores P1 e P2 têm muito poder em comparação com o jogador P3.

Contudo, se repararmos melhor, chegamos à conclusão que só é possível aprovar uma

moção com dois jogadores a favor. Mais, quaisquer dois jogadores juntos têm uma

coligação vencedora! Pois bem, na verdade os três jogadores têm exactamente o mesmo

poder.

2.2 O ÍNDICE DE PODER DE BANZAHAF

Em 1965 John Banzahaf introduziu uma interpretação

matemática de poder nos sistemas de votação ponderada, a qual

passamos a descrever.

Em primeiro lugar, vamos definir conceitos fundamentais que

nos permitirão conhecer melhor a sua teoria:

Coligação: grupo de jogadores que unem forças e votam em conjunto ( a

expressão “coligação” é também usada para grupos de um só elemento );

Peso da coligação: número total de votos controlados por uma coligação;

Coligações vencedoras: coligações que têm votos suficientes para aprovar uma

moção. As outras coligações são designadas por coligações perdedoras. Uma

coligação que contém todos os jogadores e portanto que é sempre a vencedora,

é chamada Grande Coligação;

A notação usada para representar uma coligação genérica de N jogadores é: { P1,

P2, ... , PN }.

Jogador crítico: jogador que ao abandonar a coligação, transforma uma

coligação vencedora em perdedora.


http://www.law.gwu.edu/images/facphotos/banzhaf.jpg


Referimos ainda que as coligações vencedoras podem ter mais do que um jogador

crítico, pelo contrário, uma coligação perdedora não tem um único jogador crítico. Este

conceito, de jogador crítico, é a base do índice de poder de Banzhaf. O princípio chave

desta teoria é que o poder de um jogador é proporcional ao número de coligações em que

esse jogador é crítico: quanto mais vezes ele for crítico maior poder detém.

Para determinarmos o indicador de poder de Banzhaf de um qualquer jogador P

num sistema de votação ponderado genérico, com N jogadores, seguimos os seguintes

passos:

Passo 1: Fazer uma lista de todas as coligações possíveis;

Passo 2: Determinar quais as coligações vencedoras;

Passo 3: Em cada coligação vencedora identificar os jogadores críticos;

Passo 4: Contar o número total de vezes que o jogador P é crítico ( seja esse valor

representado por B);

Passo 5: Contar o número total de vezes que todos os jogadores são críticos (seja

este número T);

O Índice de poder de Banzhaf do jogador P é dado pela fracção .

Uma lista completa com os indicadores de poder de cada jogador é designada por

distribuição de poder de Banzhaf. É também comum escrever os indicadores de poder

em percentagem. Realçamos ainda, que a soma dos índices de poder é sempre igual a

um.

EXEMPLO 2.9



Vejamos no exemplo 2.8 (sistema de votação ponderada [101: 99, 98, 3] ) quais

são as coligações possíveis, o seu peso e quais as que podem reunir forças de modo a

conseguir a aprovação de uma moção:

Coligação Peso da coligação Vence ou perde

{P1} 99 Perde

{P2} 98 Perde

{P3} 3 Perde

{P1, P2} 197 Ganha

{P1, P3} 102 Ganha

{P2, P3} 101 Ganha

{P1, P2, P3} 200 Ganha

Tabela 2.2

Pela observação da tabela concluímos que existem quatro coligações vencedoras

possíveis. Dentro destas, verifica-se que nas coligações {P1, P2}, {P1, P3}e {P2, P3}os

dois jogadores são necessários para a coligação ter votos suficientes para ganhar (isto é

P1, P2 e P3 são jogadores críticos em cada uma destas coligações), enquanto que na

coligação {P1, P2, P3} qualquer jogador pode abandonar a coligação sem que esta deixe

de ser vencedora.

Em suma, cada jogador é crítico duas vezes, assim todos têm o mesmo índice de

poder de Banzhaf: um terço de poder.

EXEMPLO 2.10

Uma das mais importantes decisões que uma

equipa de basquetebol profissional tem que tomar é

como fazer o recrutamento de jogadores colegiais.



Em muitos casos a decisão de como escolher um jogador específico é feita através de

votos decisivos. Tome, por exemplo, o caso de Akron Fleyers. No seu sistema, o

treinador principal (TP) tem 4 votos, o director geral (DG) tem 3 votos, o director de

operações de exploração (DE) tem 2 votos e o psiquiatra da equipa (PE) tem 1 voto.

Destes 10 votos, uma simples maioria de 6 votos é necessária para um jogador ser

recrutado. Em suma, os Akron Fleyers funcionam como um sistema de votação

ponderada [6: 4, 3, 2 ,1].

Iremos agora encontrar a distribuição do poder de Banzhaf deste sistema decisivo

de voto. A tabela seguinte mostra as 15 possíveis coligações, quais são as vencedoras e

quais são as perdedoras e, para cada coligação vencedora, os jogadores críticos (estão a

negrito).

Coligação Peso da coligação Vence ou perde

{TP} 4 Perde

{DG} 3 Perde

{DE} 2 Perde

{PE} 1 Perde

{TP, DG} 7 Ganha

{TP, DE} 6 Ganha

{TP, PE} 5 Perde

{DG, DE} 5 Perde

{DG, PE} 4 Perde

{DE,PE} 3 Perde

{TP, DG, DE} 9 Ganha

{TP, DG, PE} 8 Ganha

{TP, DE, PE} 7 Ganha

{DG, DE, PE} 6 Ganha

{TP, DG, DE, PE} 10 Ganha

Tabela 2.3



Tudo o que temos de fazer agora é contar o número de vezes em que cada jogador

é crítico (ou seja o número de vezes em cada um se encontra a negrito) e dividir pelo

número total de jogadores críticos.

A distribuição de poder de Banzhaf é

TP : 5/12 = 41,67 %

DG : 3/12 = 25 %

DE : 3/12 = 25 %

PE : 1/12 = 8, 33 %

Note que, como já afirmámos, a soma dos índices de poder é sempre 1. Este facto

fornece um controle útil nos seus cálculos.

Se agora em vez de quatro tivéssemos N jogadores, quantas coligações seriam

possíveis formar?

É óbvio que em casos cujo número de jogadores é reduzido é mais fácil determinar

o número de coligações possíveis, do que em casos em que esse número é elevado. Para

estes casos é necessária a introdução de uma forma simples e rápida para calcular o

número de coligações possíveis.

A resposta a esta questão assenta nas noções de conjunto e subconjunto. Todo o

subconjunto do conjunto dos jogadores pode ser identificado como uma coligação à

excepção do conjunto vazio. Daqui deduzimos que podemos obter o número total de

coligações fazendo a diferença entre o número de subconjuntos do conjunto dos

jogadores e a unidade. Matematicamente:

+ + … + + - 1 = 2 -1


Número total de subconjuntos de um conjunto com N elementos


EXEMPLO 2.11

Suponhamos que a direcção geral da Associação Académica de

Coimbra é constituída por cinco elementos: presidente, vice-presidente e

três secretários. No que diz respeito ao peso de cada um, numa

determinada decisão, o presidente (P) tem três votos, o vice-presidente

(VC) dois votos e os três secretários têm um voto cada (S1, S2, S3). São

necessários cinco votos para aprovar uma moção. Descrevemos então do

seguinte modo este sistema de votação ponderada: [5: 3, 2,1, 1, 1, 1].

Sabemos agora que o número total de coligações será,

25 – 1 = 31.

Na tabela seguinte apresentam-se apenas as coligações vencedoras e em cada uma

encontram-se a negrito os jogadores críticos:

Coligação vencedora

{P, VP}

{P, VP, S1}

{P, VP, S2}

{P, VP, S3}

{P, S1, S2}

{P, S1, S3}

{P, S2, S3}

{P, VP, S1, S2}


Conjunto Vazio


{P, VP, S1, S3}

{P, VP, S2, S3}

{P, S1, S2, S3}

{VP, S1, S2, S3}

{P, VP, S1, S2, S3}

Tabela 2.3

A distribuição de poder Banzhaf neste sistema de votação ponderada é:

P: 44%

VP: 20%

S1, S2, S3: 12%

2.2.1 APLICAÇÕES DO ÍNDICE DE PODER DE BANZHAF

EXEMPLO 2.12

O CONSELHO DE SEGURANÇA DAS NAÇÕES UNIDAS

O principal responsável por manter a paz internacional e

segurança das nações é o Conselho de Segurança das Nações

Unidas. O Conselho de Segurança é um exemplo clássico de

um sistema de votação ponderado. Consiste em 15 nações

votantes – 5 delas são membros permanentes – Reino Unido,

China, França, Rússia e E.U.A; as outras 10 nações são membros não permanentes,

eleitos por um período de dois anos numa base rotativa. Para aprovar uma moção no

Conselho de Segurança é necessário um voto positivo de cada um dos membros

permanentes (dando efectivamente a cada membro permanente o poder de veto) mais um

voto positivo de pelo menos quatro dos dez membros não permanentes. Desta forma a



coligação vencedora consiste em cinco membros permanentes e quatro ou mais

membros não permanentes. Temos:

= 210

coligações com 5 membros permanentes e exactamente 4 membros não permanentes, e

+ + + + + = 638

coligações com 5 membros permanentes e mais de 4 membros não permanentes.

Há um total de

+ + + + + =

210+ 638= 848

coligações com 5 membros permanentes e 4 ou mais membros não permanentes.

Em cada uma destas coligações vencedoras, cada membro permanente é crítico.

Os membros não permanentes apenas são críticos nas coligações vencedoras mínimas,

isto é nas coligações constituídas por 5 permanentes e 4 não permanentes (existem 210

coligações deste tipo). Em cada uma destas coligações com 9 elementos um membro não

permanente é crítico em

= 84

coligações, pois neste caso fixamos os 5 permanentes e o não permanente é considerado

como crítico. Nas coligações com 10 ou mais elementos um membro não permanente

nunca é crítico.

O número total de vezes em que todos os jogadores são críticos é de

5 x 848 + 10 x 84 = 5080

Sendo assim o poder de cada membro permanente é

= = 0,167.

O poder de um membro não permanente é



= = 0,0167.

Repare-se na discrepância de poder entre membros permanentes e não

permanentes: um membro permanente tem dez vezes mais poder que um membro não

permanente.

Fica a dúvida se seria esta a intenção do decreto das Nações Unidas ou então se

houve um erro de cálculo, baseado na falta de conhecimento da matemática dos votos

ponderados.

EXEMPLO 2.13

O COLÉGIO ELEITORAL.

O Presidente dos E.U.A é escolhido usando uma instituição chamada Colégio

Eleitoral. Na escolha do presidente é permitido a cada estado ganhar um certo número de

votos, igual ao total de membros do congresso (Senadores e Representantes) desse

estado. Os votos são distribuídos por indivíduos chamados eleitores, que são escolhidos

para representantes dos cidadãos dos respectivos estados. A regra geral é de que todos os

eleitores de um estado particular, votem no candidato presidencial que tem a pluralidade

dos votos nesse estado. Esta regra é conhecida pela regra da Unidade ou pela regra “O

vencedor ganha tudo”. Apesar de ter havido desafios à constitucionalidade desta regra

de unidade, (e em alguns instantes a regra foi violada por eleitores individuais), é

normalmente o procedimento pelo qual o colégio eleitoral se rege.

Outro aspecto importante é o facto de, sob o sistema de dois partidos mais fortes

americanos, muitas eleições presidenciais culminam na escolha entre apenas dois

candidatos viáveis. Sob esta regra da unidade e numa eleição entre apenas dois


http://www.archives.gov/federal_register/electoral_college/index.html


candidatos viáveis, o colégio eleitoral representa um dos mais importantes exemplos de

um sistema de voto ponderado, bem como o único sistema – os E.U.A são o único país

no mundo com tal sistema.

Os jogadores neste sistema de voto são os 50 estados mais o Distrito da Colômbia.

A cada estado é associado um número de eleitores (peso do estado) igual ao

número de senadores (que são sempre dois) mais o número dos seus representantes. A

quota é definida também por uma maioria absoluta do voto eleitoral. Desde 1964, o

número total de votos eleitorais foi estabelecido em 538 e a quota em 270. Os cálculos

para os índices de poder requerem a utilização de métodos matemáticos sofisticados e

um poderoso computador.

EstadoN.º de votos

eleitorais

Percentagem do poder de

índice de Banzhaf

EstadoN.º de votos

eleitorais


índice de Banzhaf

Alabama 9 1.64 Nevada 4 0.73

Alaska 3 0.55 New Hampshire 4 0.73

Arizona 8 1.46 New Jersey 15 2.75Arkansas 6 1.09 New Mexico 5 0.91California 54 11.14 New York 33 6.20

Colorado 8 1.46 North Carolina 14 2.56

Connecticut 8 1.46 North Dakota 3 0.55Delaware 3 0.55 Ohio 21 3.87

D.C. 3 0.55 Oklahoma 8 1.46Florida 25 4.63 Oregon 7 1.28Georgia 13 2.38 Pennsylvania 23 4.25Hawaii 4 0.73 Rhode Island 4 0.73

Idaho 4 0.73 South Carolina 8 1.46

Illinois 22 4.06 South Dakota 3 0.55Indiana 12 2.19 Tennessee 11 2.01

Iowa 7 1.28 Texas 32 6.00Kansas 6 1.09 Utah 5 0.91

Kentucky 8 1.46 Vermont 3 0.55Louisiana 9 1.64 Virginia 13 2.38

Maine 4 0.73 Washington 11 2.01Maryland 10 1.82 West Virginia 5 0.91

Massachusetts 12 2.19 Wisconsin 11 2.01Michigan 18 3.30 Wyoming 3 0.55

Minnesota 10 1.82Mississippi 7 1.28



Missouri 11 2.01Montana 3 0.55

Nebraska 5 0.91 TOTAL: 538

Tabela 2.4 Número de votos eleitorais baseado no censo de 1990

2.3 O ÍNDICE DE PODER DE SHAPLEY-SHUBIK

Em 1954, surgiu pelas mãos de Lloyd Shapley e Martin Shubik,

uma nova aproximação para medir o poder. Da comparação entre a

interpretação do poder de Banzhaf e a interpretação do poder de Shapley –

Shubik, concluímos que a principal diferença centra-se em torno do conceito

de coligação sequencial. Neste último, as coligações são formadas

sequencialmente, ou seja, é importante a ordem pela qual o jogador entra

na coligação: todas as coligações começam com um primeiro jogador, que

se pode aliar a um segundo seguidamente a um terceiro e assim

sucessivamente. Como vimos anteriormente, segundo Banzhaf, uma

coligação { P1,P2, P3 } significa que os jogadores P1, P2, P3 juntaram o seu

poder e votaram em conjunto, não sendo importante a ordem pela qual

constituíram essa mesma coligação. No entanto, segundo Shapley - Shubik os mesmos

três jogadores podem formar seis coligações sequenciais distintas:

< P1, P2, P3 > ( significa que P1 iniciou a coligação, juntando-se-lhe o jogador P2 e por

fim o jogador P3 )

< P1, P3, P2 >

< P2, P1, P3 >

< P2, P3, P1 >

< P3, P1, P2 >

< P3, P2, P1 >

A seguinte notação < > será um indício que se está a trabalhar com coligações

sequenciais, isto é, com coligações onde nos interessa a ordem de listagem dos

jogadores.


Lloyd Shapley1923

Martin Shubik

1926


Consideramos agora a seguinte questão: para um dado número N de jogadores

quantas coligações sequenciais existem?

Já referimos que para três jogadores teremos seis coligações sequenciais distintas.

E se tivermos quatro jogadores? É óbvio, que apesar de ser muito trabalhoso, podíamos

enunciar todas as coligações sequenciais possíveis; no entanto é mais rentável e rápido

desenvolvermos o seguinte raciocínio:

Para ocupar o 1º lugar da coligação temos 4 alternativas de escolha, ou

seja, qualquer um dos 4 jogadores;

Para ocupar a 2ª posição teremos agora 3 hipóteses, isto é, todos os

jogadores à excepção do que já foi escolhido para o 1º lugar;

Para preencher o 3º lugar existirão 2 possibilidades, ou seja, os dois

jogadores que não foram escolhidos para o 1º e 2º lugar.

Finalmente, para preencher a 4ª posição resta-nos apenas o jogador que

ainda não foi escolhido.

Esquematizando agora o raciocínio atrás descrito:

____ ____ ____ ____

4 3 2 1

Para combinar as escolhas multiplicamo-las, assim sendo o número total de

coligações sequenciais possíveis com 4 jogadores será: 4×3×2×1 = 4!

Generalizando o processo descrito a um sistema de voto ponderado com N

jogadores, podemos afirmar que há no total N! coligações sequenciais diferentes,

contendo todos os jogadores.

Em cada uma destas coligações há um jogador, que no momento em que se junta à

coligação, transforma a coligação perdedora numa coligação vencedora. Atribuímos a

esse jogador a designação de jogador pivotal da coligação sequencial.

O princípio inerente à teoria de Shapley-Shubik coloca em destaque o jogador

pivotal, uma vez que, devido às suas características, ele é determinante na passagem de



uma situação de coligação perdedora a vencedora, pois os jogadores que surgem antes

dele não possuem votos suficientes para aprovar uma moção.

De acordo com esta teoria, o poder de cada jogador depende do número de vezes

em que cada jogador é pivotal, relativamente a todos os outros jogadores.

COLIGAÇÃO SEQUENCIAL

Ganha

Perde

… Primeir

o

Jogador

Segundo

Jogador …

Jogador

Pivotal

Restantes

Jogadores

Figura 3.1 O Jogador Pivotal

Passamos agora a apresentar a descrição formal do procedimento para encontrar o

Índice de Poder de Shapley- Shubik, para qualquer jogador num sistema de voto

ponderado genérico com N jogadores:

Passo 1: elaborar uma lista de todas as coligações sequenciais contendo os N

jogadores; há N! destas coligações.

Passo 2: Em cada coligação sequencial determinar um jogador pivotal; há 1 em

cada coligação.

Passo 3: Contar o número total de vezes em que o jogador P é pivotal e designar

esse número por S.



O Índice de Poder de Shapley- Shubik de um certo jogador P é dado pela fracção .

A listagem dos Índices de Poder de Shapley-Shubik para todos os jogadores dá

origem à distribuição de poder de Shapley-Shubik para o sistema de voto ponderado.

EXEMPLO 2.14

Vamos considerar o exemplo 2.10. A

distribuição é [6: 4, 3, 2, 1] e agora vamos encontrar a

distribuição de poder de Shapley-Shubik.

Há 24 coligações sequenciais diferentes (4!)

envolvendo 4 jogadores. Listam-se na tabela 2.4 as

coligações e os jogadores pivotais estão a negrito.

áTP, DG, DE, PEñ áDG, TP, DE, PEñ áDE, TP,DG, PEñ áPE, TP, DG, DEñ

áTP, DG, PE, DEñ áDG, TP, PE, DEñ áDE, TP, PE, DGñ áPE, TP, DE, DGñ

áTP, DE, DG, PEñ áDG, DE, TP, PEñ áDE, DG, TP, PEñ áPE, DG, TP, DEñ

áTP, DE, PE, DGñ áDG, DE, PE, TPñ áDE, DG, PE, TPñ áPE, DG, DE, TPñ

áTP, PE, DG, DEñ áDG, PE, TP, DEñ áDE, PE, TP, DGñ áPE, DE, TP, DGñ

áTP, PE, DE, DGñ áDG, PE, DE, TPñ áDE, PE, DG, TPñ áPE, DE, DG, TPñ

Tabela 2.5

A distribuição de poder de Shapley-Shubik é:

TP: = 0,42 42%

DG: = 0.25 25%

DE: = 0,25 25%

PE: = 0,08 8%



Vale a pena mencionar que a distribuição de poder de Shapley-Shubik é

exactamente igual à distribuição de poder de Banzhaf. Contudo, de modo geral,

escolhendo aleatoriamente situações reais é muito pouco provável que os métodos de

Banzahf e de Shapley-Shubik nos dêem a mesma resposta.

EXEMPLO 2.15

Suponhamos que a cidade de Coimbra rege-se

sob aquilo a que se chama “sistema de presidente

forte do município”. Este sistema funciona da seguinte forma:

existem 5 membros na assembleia, nomeadamente o presidente

do município e 4 membros ordinários da assembleia. Uma moção

só é aceite se o presidente e pelo menos 2 membros da assembleia votarem a favor, ou

em alternativa, se todos os 4 membros ordinários votarem a favor (nesta situação diz-se

que o presidente tem poder de veto, mas um voto unânime dos outros 4 membros da

assembleia pode sobrepor-se ao veto do presidente).

O senso comum diz-nos que de acordo com estas regras, os 4 membros ordinários

da assembleia têm o mesmo poder, mas o presidente tem mais. Iremos agora usar a

interpretação de poder de Shapley-Shubik para determinar exactamente quanto mais

poder tem o presidente.

Uma vez que existem 5 jogadores neste sistema de voto, existem 5! = 120

coligações sequenciais a considerar. Vamos em primeiro lugar tentar encontrar o índice

de poder de Shapley-Shubik para o presidente. Em que posição é que o presidente tem

de estar numa coligação sequencial para ser jogador pivotal ? Terá de estar em primeiro

lugar? De modo algum! Nenhum jogador que esteja na primeira posição pode ser

pivotal, a não ser que seja um ditador. Em segundo? Não. Um membro ordinário e o

presidente não são suficientes para passar uma moção. Em terceiro lugar? Sim. Se o

presidente está na terceira posição ele é o jogador pivotal nessa coligação sequencial.

(Ver figura 3.2(a)). Igualmente se o presidente estiver na quarta posição ele é o jogador

pivotal nessa coligação sequencial porque os três membros ordinários precedentes não

são suficientes para passar uma moção. (Ver figura 3.2(b)). Finalmente, quando o



presidente está na quinta posição não é o jogador pivotal, pois os 4 membros ordinários

precedentes são suficientes para passar a moção. (Ver figura 3.2(c)).

Ganha

Perde

Ganha

Perde

Ganha

1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5

(a) (b) (c)

Figura 3.2

Surge agora uma questão pertinente: em quantas coligações sequenciais está o

presidente em primeiro lugar? Em segundo? … Em quinto? A simetria das posições

indica-nos que haverá tantas coligações sequenciais em que o presidente está em

primeiro lugar como em qualquer outra posição. As 120 coligações sequenciais (5!)

podem ser divididas em cinco grupos de vinte e quatro – 24 com o presidente em

primeiro lugar, 24 com o presidente em segundo, etc. Finalmente, o presidente é jogador

pivotal em todas as coligações que esteja em terceiro ou quarto lugar, havendo 24 de

cada. Assim o índice de poder do presidente é = 40%. Dado que os 4 membros

ordinários da assembleia têm que repartir igualmente os restantes 60% de poder, cada

um terá um índice de poder de Shapley-Shubik de 15%.

2.3.1 APLICAÇÕES DO ÍNDICE DE PODER DE

SHAPLEY-SHUBIK



O REGRESSO AO COLÉGIO ELEITORAL

Calcular o índice de poder de Shapley-Shubik dos diferentes estados não é tarefa

fácil. Existem 51 estados, o que dá um total de 51! coligações sequenciais; um número

muito grande (com 67 dígitos!). Fazer a análise de todas as coligações possíveis é um

processo que requer muito tempo, podendo chegar mesmo a levar milhares de anos!

Desta maneira uma análise directa está fora de questão. Existem, no entanto, alguns

atalhos matematicamente sofisticados, que, quando juntos a um computador e a um

software adequado permitem eficiência nos cálculos.

EstadoN.º de votos

eleitorais


índice de Banzhaf


índice de Shapley-Shubik

EstadoN.º de votos

eleitorais


índice de Banzhaf


índice de Shapley-Shubik

Alabama 9 1.64 1.64 Nevada 4 0.73 0.72

Alaska 3 0.55 0.54 New Hampshire 4 0.73 0.72

Arizona 8 1.46 1.46 New Jersey 15 2.75 2.76Arkansas 6 1.09 1.09 New Mexico 5 0.91 0.90California 54 11.14 10.81 New York 33 6.20 6.29

Colorado 8 1.46 1.46 North Carolina 14 2.56 2.57

Connecticut 8 1.46 1.46 North Dakota 3 0.55 0.54Delaware 3 0.55 0.54 Ohio 21 3.87 3.91

D.C. 3 0.55 0.54 Oklahoma 8 1.46 1.46Florida 25 4.63 4.69 Oregon 7 1.28 1.27Georgia 13 2.38 2.38 Pennsylvania 23 4.25 4.30Hawaii 4 0.73 0.72 Rhode Island 4 0.73 0.72

Idaho 4 0.73 0.72 South Carolina 8 1.46 1.46

Illinois 22 4.06 4.11 South Dakota 3 0.55 0.54Indiana 12 2.19 2.20 Tennessee 11 2.01 2.01

Iowa 7 1.28 1.27 Texas 32 6.00 6.09Kansas 6 1.09 1.09 Utah 5 0.91 0.90

Kentucky 8 1.46 1.46 Vermont 3 0.55 0.54Louisiana 9 1.64 1.64 Virginia 13 2.38 2.38

Maine 4 0.73 0.72 Washington 11 2.01 2.01Maryland 10 1.82 1.82 West Virginia 5 0.91 0.90

Massachusetts 12 2.19 2.20 Wisconsin 11 2.01 2.01Michigan 18 3.30 3.33 Wyoming 3 0.55 0.54


http://www.archives.gov/federal_register/electoral_college/index.html


Minnesota 10 1.82 1.82Mississippi 7 1.28 1.27

Missouri 11 2.01 2.01Montana 3 0.55 0.54

Nebraska 5 0.91 0.90 TOTAL: 538

Tabela 2.6 - Número de votos eleitorais baseado no censo de 1990

Se compararmos os índices de poder de Banzhaf e Shapley-Shubik , apercebemo-

nos que existe uma pequena diferença entre os dois. Este exemplo mostra, uma vez mais,

que em algumas situações os índices de poder de Banzhaf e Shapley-Shubik dão

essencialmente a mesma resposta. O próximo exemplo ilustra uma situação bem

diferente.

O REGRESSO AO CONSELHO DE SEGURANÇA DAS NAÇÕES UNIDAS

Vamos agora aplicar o método de Shapley-Shubik ao exemplo do

Conselho de Segurança das Nações Unidas. Seguindo o esquema

apresentado anteriormente temos:

Passo 1: Existem 15! coligações sequenciais envolvendo os 15 membros. Isto são

cerca de 1,3 triliões de coligações sequenciais diferentes.

Passo 2: Um membro não permanente pode ser pivotal numa destas coligações

apenas se for o nono jogador na coligação sequencial (pois são necessários 5

permanentes e 4 não permanentes para formar uma coligação vencedora mínima),

precedido pelos 5 membros permanentes e por três não permanentes (estes últimos

podem ser escolhidos de maneiras diferentes). Os oito elementos que o

precedem podem ser ordenados de 8! maneiras diferentes. Os seis que o seguem

podem ser ordenados de 6! maneiras diferentes. Deste modo cada membro não

permanente será pivotal em 8! 6!, isto é, , aproximadamente

2,44 biliões de coligações sequenciais.



Passo 3: Segue-se, que qualquer um dos membros não permanentes é pivotal em

aproximadamente 2,44 biliões dos 1,3 triliões de coligações sequenciais.

Desta forma cada membro não permanente tem um índice de poder de Shapley-

Shubik de

= 0,001865

ou seja, aproximadamente 0,19% .

Assim, o índice de poder dos 10 membros não permanentes é inferior a 2% (0,19 x

10). Os restantes 98% ficam distribuídos pelos 5 membros permanentes, dando a cada

um cerca de = 19,6% do poder. Consequentemente cada membro permanente tem

cerca de cem vezes mais poder do que um membro não permanente.

A desproporção entre membros permanentes e não permanentes é ainda mais

reflectida neste método!

2.3.22.3.2 ELEIÇÕES EUROPEIAS: COMPARAÇÃOELEIÇÕES EUROPEIAS: COMPARAÇÃO

DOS ÍNDICES DE PODER APRESENTADOSDOS ÍNDICES DE PODER APRESENTADOS

No passado mês de Junho de 2004 ocorreram as

eleições europeias no nosso país. O Partido Socialista

venceu as eleições elegendo mais deputados que

qualquer outro partido. Qual o índice de poder de cada

partido? Seguidamente vamos tentar responder a esta

questão, ou seja utilizando os resultados reais desta

eleição vamos calcular o índice de poder de Banzhaf e

de Shapley-Shubik de cada partido.



Só admitindo cada partido como um eleitor, é que podemos ter como exemplo do

sistema de voto ponderado, as eleições Europeias de Junho de 2004.

Observemos a seguinte tabela: Tabela 2.7

Partidos Votos % Mandatos

PS 1516001 46.36 12

PPD/PSD.CDS-PP 1132769 34,64 9

CDU (PCP-PEV) 309401 9,46 2

B.E. 167313 5,12 1

PND 33833 1,03 0

PCTP/MRPP 36294 1,11 0

PPM 15454 0,47 0

MD 13840 0,42 0

MPT 13671 0,42 0

P.H. 13272 0,41 0

P.N.R 8405 0,26 0

PDA 5588 0,17 0

POUS 4275 0,13 0

Admitamos ainda que para aprovar uma dada moção são necessários 13 mandatos.

Analisemos então o poder de cada partido segundo os dois métodos estudados (para

tornar o estudo mais simples consideramos apenas os quatro partidos que obtiveram

mandatos):

Índice de Poder de Banzhaf

Segundo a nossa notação este sistema de votação ponderada pode ser descrito da

seguinte forma, [13: 12, 9, 2, 1]. A tabela seguinte ilustra as coligações vencedoras e os

jogadores pivotais (que estão a negrito):



Coligação vencedora

{PS, PPD/PSD.CDS-PP }

{PS, CDU}

{PS, B.E}

{PS, PPD/PSD.CDS-PP, CDU}

{PS, PPD/PSD.CDS-PP, B.E}

{PS, CDU, B.E}

{PS, PPD/PSD.CDS-PP, CDU, B.E}

Tabela 2.8

A distribuição de poder Banzhaf é:

PS: = 0,7 ► 70 %

PPD/PSD.CDS-PP: = 0,1 ► 10 %

CDU: = 0,1 ► 10 %

B.E: = 0,1 ► 10 %

Índice de poder de shapley-shubik :

Há 4! = 24 coligações sequenciais diferentes, uma vez que temos 4 partidos! (Para

facilitar a escrita na tabela ,em vez de PPD/PSD.CDS-PP escreveremos apenas PPD).



Coligação Sequencial Jogador Pivotal

áPS,PPD,CDU,BE ñ PPD

áPS,PPD,BE,CDUñ PPD

áPS,CDU,PPD,BE ñ CDU

áPS, CDU,BE,PPDñ CDU

áPS,BE,PPD,CDUñ BE

áPS,BE,CDU,PPDñ BE

áPPD,PS,CDU,BEñ PS

áPPD,PS,BE,CDUñ PS

áPPD,BE,PS,CDUñ PS

áPPD,BE,CDU,PSñ PS

áPPD,CDU,PS,BEñ PS

áPPD,CDU,BE,PSñ PS

áCDU,PPD,PS,BEñ PS

áCDU,PPD,BE,PSñ PS

áCDU,BE,PPD,PSñ PS

áCDU,BE,PS,PPDñ PS

áCDU,PS,BE,PPDñ PS

áCDU,PS,PPD,BEñ PS

áBE,PS,PPD,CDUñ PS

áBE,PS,CDU,PPDñ PS

áBE,PPD,PS,CDUñ PS

áBE,PPD,CDU,PSñ PS

áBE,CDU,PPD,PSñ PS

áBE,CDU,PS,PPDñ PS

Tabela 2.9

PS é pivotal 18 vezes.

PPD/PSD.CDS-PP é pivotal 2 vezes.

CDU é pivotal 2 vezes.

BE é pivotal 2 vezes.



A distribuição de poder de Shapley-Shubik é a seguinte:

PS: = 0,75 ► 75 %

PPD/PSD.CDS-PP: = 0,08 ► 8 %

CDU: = 0,08 ► 8 %

B.E: = 0,08 ► 8 %

Comparação dos índices de poder:

PartidoÍndice de poder

Banzhaf

Índice de Poder

Shapley-Shubik

PS 70% 75%

PPD/PSD.CDS-PP 10% 8%

CDU (PCP-PEV) 10% 8%

B.E. 10% 8%

Tabela 2.10

É de referir que existe uma diferença significativa entre o índice de poder do PS

e o dos restantes partidos. Os resultados obtidos usando os dois métodos não diferem

muito. No entanto é de salientar que calcular o índice de poder de Banzhaf é muito mais

simples do que calcular o índice de poder Shapley-Shubik!

CAPÍTULO IIICAPÍTULO III



ELEIÇÕES EM PORTUGALELEIÇÕES EM PORTUGAL

Este capítulo surge neste trabalho devido, não só à extrema importância do

assunto, mas também porque que na sua esmagadora maioria, os Portugueses não sabem

como funciona o método de eleição em Portugal e quase ninguém sabe sequer o nome

do processo utilizado.

Em Portugal, na eleição do Presidente da República, é utilizado o sistema

maioritário a duas voltas. Este método consiste em eleger a opção que recolhe, pelo

menos metade de todos os votos mais um. Caso este resultado não seja atingido por

nenhuma das opções, procede-se a uma segunda votação à qual são submetidas apenas

as duas opções mais votadas na primeira volta.

No que diz respeito às eleições para Presidente da Junta de Freguesia ou da

Câmara Municipal, o sistema utilizado é o maioritário simples. Neste é eleito, numa

única votação a opção que reúne maior número de votos, independentemente dos

resultados obtidos pelas outras opções.

Em relação às eleições para a Assembleia da República, Assembleias das

Autarquias Locais ( e também no Parlamento Europeu ) o sistema utilizado é o sistema

de representação proporcional utilizando o Método de Hondt .

A Constituição da República Portuguesa, no n.º 1 do artigo 149º (Círculos

eleitorais) estabelece que "Os Deputados são eleitos por círculos eleitorais

geograficamente definidos na lei, a qual pode determinar a existência de círculos

plurinominais e uninominais, bem como a respectiva natureza e complementaridade, por

forma a assegurar o sistema de representação proporcional e o método da média mais

alta de Hondt na conversão dos votos em número de mandatos."

O Método de Hondt é um dos métodos eleitorais possíveis dentro do sistema de

representação proporcional e converte votos em mandatos.

Numa eleição, caso seja utilizado este método, deve observar-se o seguinte:


http://www.rede-nonio.min-edu.pt/1cic/agrup_ovar/historia_simbolos.htm


a) As listas propostas à eleição devem conter a indicação de candidatos em

número igual ao dos mandatos atribuídos ao respectivo colégio eleitoral.

b) Os candidatos de cada lista considerar-se-ão ordenados segundo a

sequência constante da respectiva declaração de candidatura.

c) Dentro de cada lista, os mandatos serão conferidos aos candidatos pela

ordem de precedência indicada na declaração de candidatura.

A conversão dos votos em mandatos far-se-á em obediência às seguintes regras

(método de representação proporcional de Hondt):

1. Apura-se em separado o número de votos recebidos por cada lista no

colégio eleitoral respectivo.

2. O número de votos apurado por cada lista será dividido sucessivamente

por 1,2,3,4,5, etc., e alinhados os quocientes pela ordem decrescente da sua grandeza

numa série de tantos termos quantos os mandatos atribuídos ao colégio eleitoral

respectivo.

3. Os mandatos pertencerão às listas a que correspondem os termos da série

estabelecida pela regra anterior, recebendo cada uma das listas tantos mandatos

quantos são os seus termos na série.

4. No caso de restar um só mandato para distribuir e de os termos seguintes

da série serem iguais e de listas diferentes, o mandato caberá à lista que tiver obtido

menor número de votos.

EXEMPLO 3.1



Consideremos a seguinte situação real: em cada acto eleitoral para a autarquia de

Coimbra são eleitos 33 deputados para a Assembleia Municipal. Iremos então, com base

nos resultados reais das eleições autárquicas de 2001, efectuar a distribuição dos

mandatos na referida assembleia.

1o Passo

PARTIDO PPD/PSD-CDS-PP-PPM PS PCP-PEV B.E.

N.º DE VOTOS 34263 26194 10197 2016

Tabela 3.1

2º Passo

Divisores PPD/PSD-CDS-PP-PPM PS PCP-PEV B.E.

1 34263 26194 10197 20162 17131,5 13097 5098,5 10083 11421 8731,33* 3399 6724 8565,75 6548,5 2549,25 5045 6852,6 5238,8 2039,4 403,26 5710,5 4365,67* 1699,5 3367 4894,71* 3742 1456,71* 2888 4282,875 3274,25 1274,625 2529 3807 2910,44* 1133 22410 3426,3 2619,4 1019,7 201,611 3114,82* 2381,27* 927 183,27*12 2855,25 2182,83* 849,75 16813 2635,62* 2014,92* 748,38* 155,08*14 2447,36* 1871 728,36* 14415 2284,2 1746,27* 679,8 134,416 2141,44* 1637,125 637,31* 12617 2015,47* 1540,82* 599,82* 118,59*

Tabela 3.2

(Os número assinalados com * são números que foram sujeitos a aproximações)

N.º do mandato Quociente Partido

PolíticoN.º do

mandato Quociente Partido Político

1º 34263PPD/PSD-CDS-PP-

PPM18º 3742 PS



2º 26194 PS 19º 3426,3PPD/PSD-CDS-PP-

PPM

3º 17131,5PPD/PSD-CDS-PP-

PPM20º 3399

PCP-PEV

4º 13097 PS 21º 3274,25 PS


PPM22º 3114,82*

PPD/PSD-CDS-PP-

PPM

6º 10197 PCP-PEV 23º 291044* PS

7º 8731,33*PS


PPM


PPM25º 2635,62*

PPD/PSD-CDS-PP-

PPM


PPM26º 2619,4

PS

10º 6548,5 PS 27º 2549,25 PCP-PEV


PPM28º 2447,36*

PPD/PSD-CDS-PP-

PPM

12º 5238,8 PS 29º 2381,27* PS

13º 5098,5PCP-PEV


PPM

14º 4894,71*PPD/PSD-CDS-PP-

PPM31º 2182,83*

PS

15º 4365,67PS

32º 2141,44*PPD/PSD-CDS-PP-

PPM


PPM33º 2039,4

PCP-PEV


PPM

Tabela 3.3

Portanto:

PPD/PSD-CDS-PP-PPM recebe o 1º, 3º, 5º, 8,º 9º, 11º, 14º, 16º 17º, 19º, 22º, 24º, 25º, 28º, 30º e 32º mandatos;



PS recebe o 2º, 4º, 7º, 10º, 12º, 15º, 18º, 21º, 23º, 26º, 29º e 31º mandatos;

PCP/PEV recebe o 6º, 13º, 20º, 27º e 33º mandatos;

B.E. não recebe nenhum mandatos.

Assim, e de acordo com o definido em b) e c):

PPD/PSD-CDS-PP-PPM elege os dezasseis primeiros deputados da sua lista;

PS elege os doze primeiros deputados da sua lista;

PCP/PEV elege os cinco primeiros deputado da sua lista.

Coimbra Eleições Autárquicas 2001

Presidente Eleito: Carlos Manuel Sousa Encarnação Freguesias: 31 Eleitores: 125 306

Câmara Municipal

Lista Votos [%] Mandatos

PPD/PSD-CDS-PP-PPM 38 335 50,8 6

PS 22 512 29,8 4

PCP-PEV 9 611 12,7 1

B.E. 1 385 1,8 0

PCTP/MRPP 587 0,8 0

P.H. 260 0,3 0

Votantes 75 463 60,2 -

Brancos 1 882 2,5 -

Nulos 891 1,2 -

Assembleia Municipal

Lista Votos [%] Mandatos

PPD/PSD-CDS-PP-PPM 34 263 45,4 16

PS 26 194 34,7 12

PCP-PEV 10 197 13,5 5

B.E. 2 016 2,7 0

Votantes 75 453 60,2 -

Brancos 1 842 2,4 -

Nulos 941 1,2 -

Tabela 3.4

NOTAS HISTÓRICAS

Hondt


http://www.anmp.pt/munp/mun/mun202w1f.php?cod=M3000

http://www.anmp.pt/mun/index.html


Victor D'Hondt ( Gand, 1841-1901 ), jurista belga e professor de direito civil na Universidade de Gand ( Ghent ), adepto da

representação proporcional [ consiste na repartição dos mandatos pelos partidos, proporcionalmente à importância da respectiva votação ],

concebeu o método que leva o seu nome.

Na Bélgica este sistema foi aplicado pela primeira vez nas eleições parlamentares de 1900.

Em Portugal, em 1909-10, através de proposta de reforma eleitoral e em artigos na imprensa [ Leão Azedo, "A representação proporcional", Alma Nacional, n.º

21, 30-Jun-1910 ], o Partido Republicano (PR) advogava a utilização da representação proporcional. Seria contemplada na Lei Eleitoral de 14-Março-

1910 para os círculos de Lisboa e Porto. Face à disparidade dos resultados eleitorais, o PR obteve nas duas cidades mais de 93 % dos votos, o método de

Hondt acabou por não ter aplicação prática. A legislação posterior, Lei n.º 3, de 3-Julho-1913, terminaria com a inovação, regressando ao sistema de lista incompleta da anterior legislação monárquica e que se manteria até 1925.

Entre as características do método de Hondt importa assinalar o encorajamento à formação de coligações, uma vez que o agrupamento de partidos leva a conseguir maior número de mandatos do que se concorressem isoladamente. Favorece no entanto os grandes partidos, não satisfazendo o critério da quota. A análise dos

resultados eleitorais em Portugal, após 1975 mostra isso mesmo.

A comissão de redacção da primeira lei eleitoral após a revolução de 25 de Abril de 1974 ( Decreto-Lei n.º 621-C/74, de 15-Nov ) , " ... optou - por unanimidade - pelo método de Hondt por ser aquele que melhor poderá traduzir a vontade do

corpo eleitoral, ... " ( Relatório da Eleição para a Assembleia Constituinte 1975, volume

I - Projecto de Lei Eleitoral, Ministério da Administração Interna, Secretariado Técnico dos Assuntos Políticos ).

O n.º 1 do artigo 155º [ actual 149º, com nova redacção ] da Constituição da República (1976) estabelece que « Os Deputados são eleitos segundo o sistema de

representação proporcional e o método da média mais alta de Hondt » foi aprovado com 31 abstenções ( PCP, MDP, UDP e oito Deputados ex-PPD ) - in "Constituição da República Portuguesa 1976 (anotada), Victor Silva Lopes, [Lisboa], Editus, 1976.

CAPÍTULO IVCAPÍTULO IV



TEORIA DAS ELEIÇÕES NASTEORIA DAS ELEIÇÕES NAS ESCOLAS ESCOLAS

Hoje em dia os conceitos matemáticos são desenvolvidos mais numa "perspectiva

cultural" do que numa perspectiva de "formação estritamente técnica". De entre

inúmeros assuntos interessantes que ligam a Matemática ao nosso dia à dia, são

seleccionados alguns temas mais atractivos, nomeadamente a Teoria Matemática das

Eleições. Este tema faz parte do conteúdo do programa da disciplina de Matemática

Aplicada às Ciências Sociais, que é leccionada nos Cursos Geral de Ciências Sociais e

Humanas e Tecnológico de Ordenamento do Território.

A disciplina de Matemática Aplicada às Ciências Sociais pretende contribuir para

o desenvolvimento da capacidade de resolução e discussão de problemas matemáticos,

aplicados a situações reais e além disso, tem em vista propósitos de Educação para a

cidadania.

Mais do que dominar questões técnicas, pretende-se que os alunos tenham

experiências matemáticas significativas que lhes permitam dar a devida importância das

abordagens matemáticas nas suas futuras actividades.

São portanto os objectivos desta disciplina:

Promover o aprofundamento de uma cultura científica, técnica e humanística

que constitua suporte cognitivo e metodológico tanto para o prosseguimento

de estudos como para a inserção na vida activa;

Desenvolver a capacidade de usar a Matemática como instrumento de

interpretação e intervenção no real;

Desenvolver as capacidades de formular e resolver problemas simples em

situações do dia a dia e no domínio das Ciências Sociais;

Desenvolver a capacidade de interpretar textos escritos em linguagem

matemática, a capacidade de comunicar e o espírito crítico;

Contribuir para formar uma atitude positiva face à ciência e particularmente



com a Matemática;

Promover a realização pessoal mediante o desenvolvimento de atitudes de

autonomia e solidariedade;

Desenvolver capacidades de intervenção social pela compreensão e

discussão de sistemas e instâncias de decisão que influenciam a vida dos

cidadãos, participando desse modo na formação para uma cidadania activa e

participativa;

Considerar a matemática como uma ferramenta fundamental para a

vida !!!

A Teoria Matemática das Eleições tem como fundamento o facto de vivermos

numa sociedade democrática e estarmos constantemente a ser solicitados para tomar

decisões. Este tema surge como módulo inicial no programa, apresentando as seguintes

vantagens:

aborda um assunto muito importante para qualquer regime político

democrático;

ajuda a recordar técnicas e conceitos matemáticos já abordados no ensino

básico, tais como cálculo, percentagens e desigualdades;

alerta os estudantes para a importância de modelos matemáticos em áreas

fora das ciências e da engenharia;

mostra as limitações de um modelo matemático;

permite uma forma de trabalho em que o investigar situações, o recolher

dados, o analisar situações e o escrever de pequenos relatórios desempenham

um papel preponderante.

Nesta ordem de ideias apresenta-se uma planificação possível na seguinte tabela:

Estudo de algumas eleições Como melhorar o sistema de votação



Objectivos

Perceber como se contabilizam os mandatos

em algumas eleições;

Perceber que os resultados podem ser

diferentes se os métodos de contabilização

dos mandatos forem diferentes.

Estudar algumas situações

paradoxais;

Analisar algumas condições para

ter um sistema adequado;

Perceber que há limitações à

melhoria dos sistemas.

Explicação

dos

objectivos

Todo o trabalho ganha se for feito a partir de

exemplos concretos que tanto podem vir de

votações feitas entre os próprios estudantes

(cores, sabores, clubes, etc.), como podem vir

de dados de eleições já realizadas, com

particular relevância para as eleições nacionais,

regionais e locais portuguesas; devem contudo

evitar-se exemplos demasiado recentes passíveis

de gerar efervescência desnecessária na sala de

aula. Devem também ser usados alguns

exemplos históricos significativos, de diferentes

épocas e países que tenham usado diferentes

sistemas de votação.

O professor deve usar a metodologia que achar

mais adequada de modo a que os estudantes

participem activamente no estudo dos exemplos

e modelos propostos.

Os estudantes devem recorrer à tecnologia

(calculadoras gráficas ou computadores) para

simular variações das situações estudadas e

tentar retirar algumas conclusões, elaborando

pequenos relatórios.

Os diferentes sistemas de votação e

métodos de contabilização de mandatos

que poderão ser estudados são: por

ordem de preferência, maioritário com

duas ou mais voltas, proporcional (com

diferentes métodos de traduzir a

proporcionalidade), de aprovação.

Cada sistema estudado deve ser

acompanhado de uma pequena análise

das suas principais consequências.

O teorema de Arrow, que mostra as

limitações de um sistema matemático

de votação e de contabilização dos

mandatos em eleições, pode ser

trabalhado com diferentes níveis de

aprofundamento, podendo contudo

fazer-se apenas uma breve referência à

sua existência. Esta é uma boa

oportunidade para fazer uma referência

histórica ao matemático Kenneth

Arrow que foi galardoado com o

prémio Nobel da Economia em 1972.



Não se pretende desenvolver uma teoria matemática das eleições, mas tão só

alertar os estudantes para uma área de importância fundamental na sociedade actual e

como a matemática é uma ferramenta incontornável (embora de modo nenhum seja a

única ferramenta relevante).

Seguidamente apresentamos a forma como é exposta a teoria matemática das

eleições na escola.

De entre os vários sistemas de votação existentes, são apenas seleccionados para

exposição lectiva os seguintes:

Maioritário;

Por ordem de preferência ou preferencial;

Proporcional;

Aprovação.

Sistema Maioritário

é feita a distinção entre maioria absoluta e maioria simples;

Maioria absoluta: é eleita a opção que recolhe, pelo menos metade de todos os

votos mais um. Caso este resultado não seja atingido por

nenhuma das opções, procede-se a uma segunda votação à

qual ou são submetidas apenas as duas opções mais votadas na

1ª volta (como é o caso da eleição do Presidente da República

Portuguesa) ou são submetidas novamente todas as opções

(como é por exemplo o caso das eleições das comissões dos

clubes de futebol);



Maioria simples ou relativa: é eleita, numa única votação a opção que reúne

maior número de votos, independentemente dos

resultados obtidos pelas outras opções (é o

sistema utilizado nas eleições para Presidente da

Junta de Freguesia ou da Câmara Municipal).

são expostos alguns exemplos que permitem ao aluno verificar que os

resultados de uma votação podem ser diferentes, dependendo do sistema de

votação utilizado;

são feitas referências históricas do estudo desta teoria, nomeadamente a

Condorcet e a Kenneth Arrow;

é apresentado o Paradoxo do voto (designado também por Paradoxo de

Condorcet) através de exemplos, tais como;

EXEMPLO 4.1

Consideremos um grupo de três amigos, João, Ricardo e

Vasco que pretendem fazer uma viagem a três países, Alemanha,

Suíça e Itália. Cada um deles tem uma sugestão quanto à ordem de

visita dos países, as quais são apresentadas a seguir:

Prioridades João Ricardo Vasco

1.º Alemanha Itália Suíça

2.º Suíça Alemanha Itália

3.º Itália Suíça Alemanha

Tabela 4.1



Vejamos o que acontece quando comparamos cada uma das opções par a

par:

Alemanha/Suíça: 2 votos contra 1 voto;

Suíça/Itália: 2 votos contra 1 voto;

Itália/Alemanha: 2 votos contra 1 voto.

Temos que a Alemanha ganha à Suíça, a Suíça ganha à Itália e a Itália à

Alemanha. Ocorre portanto o chamado Paradoxo do voto, ou seja, não existe

nenhuma opção que obtenha a maioria frente a todas as restantes opções.

é referido que a regra da maioria não avalia a intensidade das preferências

pois cada indivíduo só tem direito a um voto: não considera, por isso, os

interesses das minorias.

Sistema por ordem preferência ou

preferencial

É definido este tipo de sistema: é um sistema em que o votante não escolhe

apenas um de entre todos os candidatos que se apresentam a votação, mas

expressa a sua ordem de preferência relativamente a todos os candidatos.

Abordam alguns métodos tais como: o método de Borda, o método de Runoff.

são apresentados alguns exemplos, da seguinte forma:



EXEMPLO 4.2

Numa aula de Educação Física, o professor

apresentou aos alunos quatro possíveis modalidades, de

entre as quais estes teriam de escolher uma para começar a

ser praticada nas aulas. Seis alunos da turma ficaram

responsáveis por essa escolha, sendo essa efectuada através do preenchimento de

boletins de voto por ordem de preferência. Tinham como modalidades possíveis:

basquetebol (B), voleibol (V), futebol (F) e andebol (A).

Ordem de

preferênciaAna João Rita Inês Bruno André

1.º F V F B A B

2.º V F V V F F

3.º A A A F V A

4.º B B B A B V

Tabela 4.2

Numa primeira abordagem da tabela, verifica-se que o futebol e o

basquetebol estão empatados com dois primeiros lugares cada um.

Como o pretendido era escolher apenas uma modalidade, decidiu-se

atribuir 4 pontos à primeira preferência, 3 à segunda, 2 à terceira e 1 à quarta. A

tabela seguinte ilustra o modo como foram efectuados os cálculos, bem como os

resultados finais.

Modalidade Contagem Total

Futebol 2 x 4 + 3 x 3 + 1 x 2 + 0 x 1 19

Basquetebol 2 x 4 + 0 x 3 + 0 x 2 + 4 x 1 12

Voleibol 1 x 4 + 3 x 3 + 1 x 2 +1 x 1 16

Andebol 1 x 4 + 0 x 3 + 4 x 2 + 1 x 1 13Tabela 4.3



A modalidade vencedora é o futebol! Com este sistema o basquetebol, que

inicialmente estava empatado com o futebol, ficou em último lugar.

são feitas ainda algumas referências históricas.

Sistema Proporcional

Define-se este tipo de sistema;

Este sistema de votação requer que o candidato, para ser eleito, obtenha

determinada proporção dos votos.

Em Portugal, as leis eleitorais da Assembleia da República e Autarquias

locais (Parlamento Europeu seguem o sistema de representação proporcional

utilizando o Método de Hondt. O Método de Hondt é um dos métodos eleitorais

possíveis dentro do sistema de representação proporcional e converte votos em

mandatos.

Vejamos de seguida como é apresentado nas escolas este método:

Método de Hondt

1º passo: Apura-se em separado o número de votos recebidos por cada lista no

respectivo cículo eleitoral.

2º passo: O número de votos apurados por cada lista é dividido, sucessivamente, por 1,

2, 3, 4, 5, ... até ao número de mandatos a atribuir (se necessário) sendo os

quocientes alinhados pela ordem decrescente da sua grandeza numa

sequência de tantos termos quantos os mandatos atribuídos ao círculo

eleitoral respectivo;



3º passo: Os mandatos pertencem às listas a que correspondem os termos da sequência

estabelecida pela regra anterior, recebendo cada uma das listas tantos

mandatos quantos os seus termos na sequência;

4º passo: No caso de restar um só mandato para distribuir e de os termos seguintes da

sequência serem iguais e de listas diferentes, o mandato cabe à lista que tiver

obtido menor número de votos.

são apresentados alguns exemplos do género do seguinte:

EXEMPLO 4.3

Suponhamos que temos 9 mandatos a distribuir num determinado

círculo eleitoral sendo o número de votos obtido pelas listas X, Y, Z e W,

respectivamente 10000, 6000, 5500 e 2000.

Divisores X Y Z W

1 10000 6000 5500 2000

2 5000 3000 2750 1000

3 3333,3 2000 1833,3 666,7

4 2500 1500 1375 500

Tabela 4.4

Como temos 9 mandatos para atribuir, vamos ordenar nove quocientes

por ordem decrescente da sua grandeza:

10000 > 6000 > 5500 > 5000 > 3333,3 > 3000 > 2750 > 2500 > 2000

- A lista X recebe o 1º, o 4º, o 5º e o 8º mandato.

- A lista Y recebe o 2º e o 6º mandato.

- A lista Z recebe o 3º e o 7º mandato.



- A lista W recebe o 9º mandato (pois em caso de empate o mandato é

atribuído ao que tem menor número de votos).

são feitas ainda referências históricas a Victor d’Hondt;

abordam-se também mais dois métodos proporcionais:

O Método Hagenbach-Bischof, que consiste na divisão do número de

votos apurados por cada partido pela quota eleitoral, a qual se

obtém dividindo o total de votos apurados em cada círculo pelo

número de mandatos mais um. Este método é utilizado na Suíça,

Áustria, Grécia e Luxemburgo.

O Método de Sainte-Lague, que tem uma aplicação semelhante à do

Método de Hondt, mas em que a série de divisores é 1, 3, 5, 7, etc.

Este método encontra-se em vigor nos países escandinavos

Sistema de Aprovação

É descrito o sistema e são anunciadas algumas vantagens;

É um procedimento através do qual os votantes podem votar em tantos

candidatos quantos quiserem. Cada candidato aprovado recebe um voto e o

candidato com mais votos ganha.

É um método simples de perceber e de utilizar sendo usado actualmente por

vários governos e organizações.

Este método tem algumas vantagens relativamente aos outros:

- Confere aos eleitores uma opção mais flexível;

- Ajuda a eleger o candidato mais forte;

- Fomenta a adesão ao voto;



- Dá aos candidatos minoritários o seu real valor;

- É muito prático.

são apresentados também alguns exemplos da forma:

EXEMPLO 4.4

Uma turma do 12º ano pretende efectuar uma viagem de finalistas e, para

isso, organizar uma eleição para determinar o país de destino. As opções eram

México (M), Cuba (C), Venezuela (V) e Brasil (B). As opiniões recolhidas foram

as seguintes:

- 13 estudantes votaram México e Cuba;

- 12 estudantes votaram Venezuela e Cuba;

- 10 estudantes votaram Brasil e Cuba;

- 5 estudantes votaram Cuba, Brasil e México.

Calculamos de seguida quantos votos recebeu cada país.

PAÍS CONTAGEM

México 13 + 5 = 18

Cuba 13 + 12 + 10 + 5 = 40

Venezuela 12

Brasil 10 + 5 = 15

Tabela 4.5



Como se verifica na tabela, Cuba é o destino escolhido pelos estudantes.

É referido que numa eleição usando o Sistema de aprovação, a adição ou

exclusão de candidatos ou alternativas não altera a pontuação total dos outros

candidatos ou alternativas.

No final do capítulo, é finalmente referido o famoso Teorema de Arrow da

seguinte forma:

TEOREMA DE ARROW

É impossível constituir um sistema de votação democrático que obedeça às

cinco condições:

Não ditadura – A preferência de um indivíduo não pode reflectir a preferência

de todos sem a consulta destes;

Transitividade – Se um indivíduo prefere a alternativa A à alternativa B e

prefere B a C então deverá preferir A a C;

Domínio ilimitado – Qualquer ordenação individual de alternativas é aceitável;

Independência de alternativas irrelevantes – Se um grupo prefere a

alternativa A a B, a desistência de uma terceira alternativa, C, não deve

modificar essa preferência;

Postulado de Pareto – Se um indivíduo preferir a alternativa A em relação a B

e ninguém se opuser a isso, o grupo deverá reflectir essa preferência.



CONCLUSÃO

No 1º capítulo tentámos dar resposta à questão da existência de um método

eleitoral justo e totalmente imparcial, o que é fundamental numa democracia.

Verificámos que todos os métodos que apresentámos têm lacunas, pois todos eles violam

pelo menos um dos critérios essenciais à coerência, à imparcialidade e à justiça. Este

facto, inicialmente é surpreendente, dada a relevância das eleições numa democracia, e

dada a inteligência e imaginação colectiva dos cientistas sociais e matemáticos. Mas de

facto, foi provado que para eleições envolvendo mais de dois candidatos é

matemáticamente impossível encontrar um método, democrático e justo para determinar

um vencedor. Foi assim encontrada a resposta para uma das mais pertinentes questões da

Teoria das Eleições.

Em qualquer sociedade, por muito que se prezem os valores da democracia,

alguns indivíduos e grupos têm mais poder do que outros. Este aspecto foi tratado no 2º

capítulo, onde discutimos a noção de poder, como este se aplica nas situações formais de

votação, chamadas sistemas de voto com peso e vimos como os métodos matemáticos

nos permitem medir o poder de um indivíduo ou grupo como um índice de poder. Em

particular, vimos dois diferentes tipos de índice de poder: o índice de poder segundo

Banzhaf e o indicador de poder de Shapley-, Shubik. Estes dois indicadores fornecem-

nos diferentes maneiras de medir o poder, as quais ocasionalmente estão de acordo;

contudo, na maioria das vezes diferem significativamente. Ambos são úteis, e em alguns

casos a escolha entre eles é subjectiva. Talvez a melhor maneira de os avaliar é pensar

neles como sendo baseados num conjunto de suposições ligeiramente diferentes. A ideia

subjacente ao poder segundo Banzhaf é a de que os “jogadores” são livres de entrar e

sair de uma coligação, negociando a suas alianças de poder. Segundo a interpretação de

Shapley-Shubik, a ideia inerente ao poder é a suposição de que quando um jogador entra

numa coligação, ele faz um compromisso para ficar. No último caso o poder do jogador

é gerado pela sua habilidade de estar no lugar certo, na hora exacta. Contrariamente ao

que nós esperavamos, os matemáticos não nos dão as respostas, apenas as ferramentas

que nos podem ajudar a tomar uma decisão certa.



Relativamente à exposição que é feita nas escolas sobre teoria das eleições é de

referir que se trata de uma abordagem superficial, que visa mostrar a aplicabilidade do

assunto e não tanto o rigor matemático que lhe está subjacente. É sobretudo uma

abordagem prática que recorre aos mais variados exemplos para dar a conhecer alguns

métodos e conceitos. Referimos por fim que essa visão “leve” do tema, segundo o nosso

parecer, pode conduzir o aluno a construir raciocínios pouco esclerecedores e até mesmo

incorrectos.

Não podíamos terminar o nosso trabalho sem descrever, embora de forma sucinta,

o modo como se processam os vários actos eleitorais em Portugal, uma vez que também

nós desconheciamos tais processos e achamos fundamental que todo e qualquer cidadão,

enquanto eleitor, os conheça.



REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

Apontamentos de Aplicações da Matemática, do Doutor J. M. Simões Pereira;

Gazeta de Matemática, publicação bianual da Sociedade Portuguesa da

Matemática, Ano LXIV, Julho 2003;

Consulta de jornais: Expresso, Público, Diário de Coimbra;

LONGO, Elisabete; BRANCO, Isabel; Matemática Aplicada às Ciências Sociais;

Texto Editora; 2004;

MAGALHÃES, Fernanda Maria Ladeiro Monteiro Gouveia de; Teoria das

Eleições; Departamento de Matemática da Universidade de Coimbra; Maio de 2001;

TANNENBAUM, Peter; ARNOLD, Robert; Excursions in Modern Mathematics;

Prentice Hall, Inc; 2001;

PESQUISA NA INTERNET:

http:// www.tvi.iol.pt;

http:// www.rtp.pt;

http:// www. cne.pt;

http:// www. mat.uc.pt;


http://www.tvi.iol.pt/


FIM


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