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Faculdade de Engenharia - Campus de Guaratinguetá

Pesquisa Operacional

Livro: Introdução à Pesquisa Operacional

Capítulo 6 – Teoria de Filas

Fernando Marins – [email protected]

Departamento de Produção

Pesquisa Operacional - UNESP / Campus de Guaratinguetá

Sumário

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IntroduçãoEstrutura de um Sistema de FilasCaracterísticas BásicasNotação de KendallMedidas de Desempenho de Sistemas de FilasTipos de Sistemas de FilasEstatística e Sistemas de FilasProblemas de Decisão em Sistemas de FilasProcessos de Nascimento e Morte (P-N-M)Modelos MarkovianosExercícios


Introdução

Objetivo:

Desenvolvimento de modelos matemáticos para permitir prever o comportamento de Sistemas de Prestação de Serviços (Sistemas de Filas).

Motivação:

Possibilidade de testar possíveis modificações em Sistemas de Filas que contribuam para melhorar seu rendimento, e obter subsídios para escolha da melhor alternativa de ação.

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Exemplos de Sistemas de Prestação de Serviços (Filas)

• Congestionamentos de sistemas telefônicos (Erlang);

• Escolha do tipo de sinalização para intersecções de vias urbanas (pare, semáforo);

• Otimização de ciclo de um semáforo;

• Dimensionamento de equipes de manutenção;

• Análise de congestionamentos em aeroportos.

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Estrutura de um Sistema de Filas

5

Processo de Chegadas

Processo de Atendimento

Capacidade do Sistema

Disciplina de Atendimento

Tamanho da População


Características Básicas

Processo de Chegadas: Quantos clientes solicitaram serviço em [0, t]?

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• Caso importante: Número de Chegadas segue um Processo de Poisson com média de chegadas .

• Chegadas podem ser individuais ou em grupos.

• Caracterizado pela distribuição de probabilidades dos intervalos entre chegadas consecutivas (ou pela distribuição de probabilidades do número de chegadas em intervalos disjuntos).


Processo de Atendimento: Quanto tempo demora o atendimento?


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• Caso importante: duração do atendimento é uma variável aleatória com distribuição de probabilidades dada por uma exponencial negativa com média 1/.

• Caracterizado pela distribuição de probabilidades da duração do atendimento (ou distribuição de probabilidades do número de atendimentos em intervalos disjuntos). .• A estação de serviços pode ser formada por um ou mais servidores.• Atendimento pode ser individual ou em grupos.



Tamanho da População: Finita ou Infinita

Capacidade do sistema: Quantos clientes podem estar no sistema (fila + posições de atendimento) ao mesmo tempo.

Disciplina de Atendimento: - Forma como os clientes são selecionados da fila para serem atendidos. Tipos: FIFO, LIFO, FEFO, com prioridades, aleatória.

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Modelos sofisticados: • Troca de filas• Desistências• Redes de filas• Atendimento/chegada dependente do tamanho da fila


Notação de Kendall

Fila Campo I/Campo II/Campo III/Campo IV/Campo V/Campo VIcomCampo I - informação sobre a distribuição de probabilidades dos intervalos entre chegadas (D, M, EK ,G);Campo II - informação sobre a distribuição de probabilidades dos tempos de atendimentos (D, M, EK ,G);Campo III - informação sobre o número de atendentes (em paralelo) para a fila;Campo IV - informação sobre a capacidade do sistema;Campo V - informação sobre o tamanho da população;Campo VI - informação sobre a disciplina de atendimento. Exemplo: Fila M/M/3/20/300/LIFO com = 3/h e = 5/h.Obs: Quando capacidade do sistema e o tamanho da população puderem ser admitidas como sendo , e a disciplina for a FIFO os Campos IV, V , VI podem ser omitidos. 9


• Tempo que o cliente fica na fila - Wq

• Tempo que o cliente fica no sistema – Ws (ou W)

• Número de clientes na fila - Lq

• Número de clientes no sistema – Ls (ou L)

• Ociosidade dos servidores - P0

Observe-se que todas estas medidas são variáveis aleatórias. Convencionou-se analisar seus valores médios medidos numa situação de estado de equilíbrio de funcionamento do sistema.

Medidas de Desempenho (KPIs) de Sistemas de Filas (Queues)

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Tipos de Sistemas de Filas

Markovianos - para caracterizar o comportamento futuro do sistema basta conhecer o seu estado atual (por exemplo: o número de clientes no sistema no momento). Não-Markovianos - para caracterizar o comportamento futuro do sistema é necessário conhecer o seu estado atual e se ter informações sobre o passado (por exemplo: o tempo que o cliente que está sendo atendido já demandou de serviço).

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Estatística e Sistemas de Filas

Inferência Estatística: Qual modelo se adapta a uma dada situação? Necessário aplicar técnicas estatísticas de estimação de parâmetros e testes de aderência para a escolha da distribuição de probabilidades adequada para cada caso.

Importante: as medidas de eficiência do sistema de filas são dependentes das taxas de chegadas () e de atendimentos ().

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Problemas de Decisão em Sistemas de Filas

Projeto - Sistema deve ter algumas características desejadas escolher o número de servidores, qual o tamanho máximo admissível para a fila, qual a disciplina de atendimento adequada... Controle - Como e quando alterar as características básicas do sistema de forma a otimizar algum critério econômico de interesse.

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Problemas de Decisão em Sistemas de Filas

Variáveis comumente observadas - tamanho da fila ou a quantidade de trabalho acumulado por executar pelos servidores.

Custos comumente envolvidos - custo de espera (cliente), custo do atendimento (servidor), custo de perda de clientes em potencial, custo de ociosidade do servidor.

Decisões possíveis - fechar o sistema para novos clientes e/ou acelerar o atendimento. Importante: na impossibilidade de se desenvolver modelos matemáticos para situações complexas recomenda-se o uso da técnica de Simulação de Sistemas.

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Processos de Nascimento e Morte (P-N-M):

Estado do sistema = número de clientes no sistema = nNascimento representa entrada de cliente no sistema.Morte representa saída de cliente do sistema.

n = taxa média de chegadas quando há n clientes no sistema.n = taxa média de atendimentos quando há n clientes no sistema. P-N-M: chegadas e atendimentos aleatórios, e n e n dependem apenas do estado do sistema.

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Definições


Postulados (Função o(t) é um nulo quando t tende a zero)

Admita o sistema no estado n no instante t

(I)Nascimento - Probabilidade de ocorrer exatamente 1 nascimento no intervalo de tempo t é dada por n T + o(t). (II) Morte - Probabilidade de ocorrer exatamente 1 morte no intervalo de tempo t é dada por n T + o(t). (III) Salto múltiplo - Probabilidade de ocorrer número de nascimentos e mortes superior a 1 é dado por o(t).


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Estado Eventos em t Probabilidades

n - 1 1 nascimento Pn-1(t).( n-1T + o(t)). (1)

n + 1 1 morte Pn+1(t).( n+1T + o(t)). (2)

n Nenhum Pn(t).( 1 - nT - nT + o(t)). (3)

Outro Múltiplos O(t). (4)

Pn(t + t) = (1) + (2) + (3) + (4).

Consequência: o estado n do sistema em t + t pode ter sido alcançado a partir de 4 situações mutuamente exclusivas do sistema no instante t: n, n - 1, n + 1, outra. Seja pn(t) = probabilidade do sistema estar no estado n no instante t = probabilidade de existir n clientes no sistema no instante t.


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Rearranjando a expressão pn(t + t), dividindo por t e passando ao limite quando t 0, tem-se:

dT

TdPn )(

dT

TdPn )(

(B) 0 =n para P - P = 0

(A) 0 >n para)P + ( - + 0

0011

n 11 11

nnnnnn PP

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Que resulta em:

Analisando o sistema em regime estacionário, tem-se = 0

= n-1pn-1(t) + n+1pn+1(t) - (n + n)pn(t).



Da expressão (A) tem-se:

(C) P - P

+ P

= P

- ) + (P

1

1-n1n

1

n

1

1-n1

1

n1

n

nn

n

n

n

n

n

nnnP

P P10

10 (D)

011

0211

... PP

nn

nnn

19

Aplicando conjuntamente ( C) e (D) tem-se:

Da expressão (B) tem-se:



Como sabe-se que, considerando todos os estados possíveis do sistema, tem-se:

0 1=n

n0 1 = P + P sejaou 1 n

nP

1= j i,

1

1

0

0 0

1

1

0

+ 1

1 =P e

n

j

j

n

i

i

n

j

j

n

i

i

n PP

20

P0 = proporção do tempo que o sistema fica vazio (servidores ociosos)

Substituindo a expressão de Pn+1 vem:


Modelos Markovianos

1. Fila M/M/1

2. Fila M/M/S 3. Fila M/M/1/N*

4. Fila M/M/S/N* 5. Fila M/M/1 com população finita p

6. Fila M/M/S com população finita p

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Obs: No livro texto há 9 modelos descritos.


Modelo M/M/1

Como não há limitação para a formação de fila, e a população é infinita, tem-se: n= e n= para todo n = 0, 1, 2, 3... Assim:

1. < para - 1 =

- 1

11

= 1

=

+ 1

1

01 = i

0

i

nnP

0 >n para P = P 0

1

1

00

n

n

j

j

n

i

i

nP

22


Defina = / como o fator de utilização ou congestionamento do Sistema de Filas. Tem-se então:

Pn= n(1- ) para n = 0, 1, 2, 3,... Cálculo do número médio de clientes no sistema:

Cálculo do número médio de clientes na fila:

0=n

n -

= nP

SL

1 =n

2

n) - (

= 1)P-(n

QL

23

Modelo M/M/1


Utilizando-se a Fórmula de Little (1961) – LS, Q = WS, Q, tem-se:

Tempo médio de um cliente no sistema –

Tempo médio de um cliente na fila –

- QW

24

Modelo M/M/1

- 1Ws


Modelo M/M/S

Neste caso o modelo de filas tem s servidores em paralelo para atendimento dos clientes:

Onde = taxa média de atendimento/servidor

n = para n = 0, 1, 2, 3...

S n se S

S n 0 se n

n


Modelo M/M/S

Para este sistema tem-se: com = /s < 1

Obs: ver Diagrama 1 com os valores de P0 para S= 1, 2, 3, 4, 5, 7,10, 15, 20, 25.

PN =

S - 1

1

S! +

! =P

1

0

0

S

n

Sn

n

S >n se SS!

P

S n 0 se !

S -n

0

n

0

n

Pn

26

-1


Diagrama 1 - Valores de P0 para a Fila M/M/S

27

s

7


Modelo M/M/S

1!

P

S -n

0

S=n

SPL

S

nQ

WQ= LQ/

WS= WQ + 1/

LS = LQ + /

Obs: ver Diagrama 2 com valores de LS para S = 1, 2, 3, 4, 5, 7, 10, 15, 20, 25. 28

1!

P

,

0

S=n

SPSC

S

n

Fórmula C de Erlang

7


Diagrama 2 - Valores de LS para a Fila M/M/S

29

s


FILA M/M/1/N*

30

Processo de Chegadas: Poisson, taxa

Tempo de Serviço: Exponencial, taxa

Número de Atendentes: 1

Capacidade do Sistema: N*

Pesquisa Operacional - UNESP / Campus de Guaratinguetá31

a) A restrição de capacidade pode surgir ou por uma restrição física do sistema ou por iniciativa do cliente.

b) Como existe essa restrição de capacidade, neste caso tem-se:

e para

n se n N

,

, *

se n = 0,1,...,N *-1

0 n n 1 2, ,...

FILA M/M/1/N*


FILA M/M/1/N*

c) Não será preciso a restrição = /s < 1

Seguindo a mesma seqüência da fila M/M/1, tem-se:

P

n

Nn N N0

0

1 1

1

1

1

11 1

*

* *


FILA M/M/1/N*

Pnn

N

1

1 1

*

n N0 1 2, , ,..., *

L n Pnn

N

0

* L

N N

N

1

1

1

1

1

* *

*

L L Pq 1 0

para


tempo médio, levando em conta todos os usuários, atribuindo-se tempo zero aos usuários que foram recusados; ele pode ser calculado diretamente por:

1W

L

W 1

tempo médio, considerando-se apenas os usuários que se juntam ao sistema; deve-se tomar algum cuidado no seu cálculo, pois, neste caso, o processo de chegadas não possui mais taxa , pois toda vez que um consumidor encontra N* usuários no sistema, ele é perdido.Pode-se mostrar que a taxa de chegadas é agora igual a e portanto:

*

1

*

2

11 NN P

W

P

LW

1 PN*

2W

Para a Fila M/M/1/N*, o tempo médio que um usuário passa no sistema pode ser de dois tipos:


FILA M/M/S/N*

Observação: para SN *

* ,0

1*0 ,

Nnse

Nnsen

*1 se ,

0 se ,

NnSS

Snnn

* ,0

*,..., ,!

1,...,1,0 ,!

0

0

Nnse

NSnseS

PS

SnsePn

PnS

n

n


1,!

1*!

1,!1!

1

11

0

11

0

1*

0

sen

SSN

S

S

sen

S

S

S

PnS

n

S

nS

n

SNS

1 ,2

*1

!

1 ,11*11!

0

*1*20

seSNSN

S

PS

seSNS

PS

LS

SNSNS

q

FILA M/M/S/N*


FILA M/M/S/N*

/,1

,1 * qqqN LWWWP

1 ,!1

1*

1 ,1!1

1

0

1

1

01*1

1

sePS

SNSnPL

seS

PSnPL

LS

n

S

nq

SNS

n

S

nq


FILA M/M/1 , com população finita p

Em alguns casos o número de clientes em potencial para a estação de serviços é pequeno. Se este valor for tão pequeno que a chegada de um cliente para ser atendido ou um atendimento afeta a probabilidade de futuras chegadas, não será mais válido o pressuposto de uma população infinita. Assim, tem-se:

n

p n se n pse n p

,,

00

n se n p , , ,...,1 2

onde p = número de usuários na população


FILA M/M/1 , com população finita p

Pode-se obter as seguintes expressões:

Pp

p n

Pp

p nP

para n p

n

n n

n

0

0

0

1

1 2

!

!

,!

!

, ,...,

L nP p P L p Pn

n q

0

0 01 1

,

WL

WL

com p Lq

q

,

Obs: ver Diagrama 3 com os valores de P0 para p= 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10


M/M/1, com população finita p

40

p=1

p=2

p=3

p=4

p=5

p=6

p=7

p=8p=9p=10


FILA M/M/S , com população finita p

Aqui tem-se: para 1 S p

n

p n se n pse n p

, , ,...,,

0 10

n

n se n SS se n S S p

, , ,...,, , ,...,

1 2 11



Pode-se obter:

Pp

p n n

p

p n S Sn

Sn

n S

p

n S

n0

0

1

1

!

! !

!

! !

P

p

p n nP se n S

p

p n S Sse S n p

se n p

n

n

n S

n

!

! !,

!

! !,

,

0 0

0


0

1

0

1

0

1

0

!

!

1

1

PS

n

n

pn

Sn

pn

PSPSnnPL

n

Sn

p

Sn

nS

n

n

S

nn

p

Snn

S

n

L n S P L S S np

nPq

n S

p

nn

Sn

0

1

0

WL

WL

com p Lq

q

, ,



Exercícios

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1.Uma copiadora para uso de escritório é usada e operada por pessoas deste mesmo escritório que precisam fazer cópias, principalmente secretárias.

Como o trabalho a ser copiado varia de tamanho (no de páginas do original) e quanto ao no de cópias, a taxa de atendimento é distribuída aleatoriamente, mas se aproxima de um processo de Poisson tendo uma taxa de atendimento médio de 10 trabalhos por hora.

Geralmente as necessidades de uso são aleatórias durante as 8 horas de trabalho diário, mas chegam a uma taxa de 5 por hora.


Várias pessoas notaram que surge uma linha de espera às vezes, e elas têm questionado a política de se manter apenas uma unidade.

Se o tempo de uma secretária custa $3,50 por hora, faça uma análise para determinar:

(a) A utilização da copiadora;(b) O percentual de vezes que uma secretária tem de esperar para usar a copiadora;(c) O tempo médio que uma secretária permanece no sistema de filas da copiadora;(d) O custo total médio de espera e operação da copiadora pelas secretárias num dia.

Exercícios

L Po


[trab/hora] Custo de aluguel[$/dia]

Máquina pequena (atual)

Máquina grande

10

15

5

10

46

2.A situação apresentada no exercício (1) foi questionada e resolveu-se considerar a possibilidade de se instalar duas máquinas ou de se alugar uma máquina maior, sendo que os dados adicionais são fornecidos a seguir.

Recalcule todos os itens de (a) a (d). Qual é a melhor opção entre as três analisadas: 1 máquina pequena, 1 máquina grande ou 2 máquinas pequenas?

Exercícios


3.Um empresário tem plano para abrir um serviço automático de lavagem de carros numa determinada região de uma cidade, para tanto realizou uma pesquisa que proporcionou os seguintes dados:

Número de Clientes em potencial deverá seguir uma distribuição de Poisson, com uma chegada cada 5 minutos, desde que haja lugar na área de estacionamento do sistema de lavagem de carros.

Tempo para lavar um carro deverá seguir uma distribuição Exponencial Negativa, com média de 4 minutos.

Exercícios


Para ajudar na decisão de onde abrir o negócio, o empresário identificou 3 locais disponíveis, L1, L2 e L3. Estes locais têm capacidades diferentes, com respeito à área para estacionamento, conforme abaixo:

(a) L1 - não tem espaço para estacionamento, só cabe a máquina para lavar os carros;(b) L2 – há espaço para 2 carros estacionarem, além daquele que está sendo atendido na máquina;(c) L3 - há espaço para 4 carros estacionarem, além daquele que está sendo atendido na máquina.

Exercícios


Exercícios

49

Evidentemente, os valores dos aluguéis de cada local são diferentes, sendo o do L1 o mais barato e o de L3 o mais caro.

Para ter mais uma informação para a sua tomada de decisão, além dos valores dos aluguéis, o empresário deseja comparar porcentagem de fregueses perdidos por não haver espaço no estacionamento do local escolhido (não incluindo o carro sendo lavado).


4.Caminhões chegam num armazém para descarga segundo uma distribuição de Poisson no ritmo de 3 caminhões por hora. A distribuição do tempo de atendimento é aproximadamente uma exponencial com média de 15 minutos. Calcular:

(a) o número de caminhões na fila(b) o número de caminhões no sistema(c) o tempo médio de espera na fila(d) o tempo médio de espera no sistema(e) a probabilidade de 6 caminhões estarem no sistema(f) o fator de utilização.

Exercícios

L Po


5.Uma refinaria distribui seus produtos por intermédio de caminhões, carregados no posto de carregamento. São carregados tanto os caminhões da empresa como os caminhões dos distribuidores independentes.

As firmas independentes reclamam que, às vezes, têm de esperar em fila e perdem, assim, dinheiro ao pagarem um caminhão e um motorista que só estão esperando. Pediram à refinaria ou para instalar um novo ponto de carregamento ou para fazer descontos equivalentes ao tempo de espera.

Exercícios


Foram colhidos os seguintes dados:

Taxa média de chegada (todos os caminhões) = 2/hora Taxa de atendimento médio = 3/hora.

Sabe-se que 30% dos caminhões são independentes. Supondo que estas taxas sejam aleatórias conforme uma distribuição de Poisson determine:

(a) A probabilidade de que um caminhão tem de esperar(b) O tempo médio que um caminhão espera(c) O tempo total médio de espera dos caminhões independentes por dia.

Exercícios


6.Um guindaste suspenso faz transportes de uma máquina para outra e deve ser usado sempre que uma máquina tiver de ser carregada ou descarregada.

A demanda de atendimento é aleatória. Os dados colhidos referentes ao tempo transcorrido entre as chamadas de atendimento seguem uma distribuição exponencial com uma média de chamada de 30 em 30 minutos.

De modo semelhante, o tempo de atendimento real para carga e descarga tem uma média de 10 minutos. Se o custo da máquina for de $8,50 por hora, quanto custará o atraso por dia?

Exercícios


7.Uma companhia telefônica está planejando instalar cabines telefônicas em um novo aeroporto. Ela traçou a norma de que uma pessoa não deve esperar mais do que 10% das vezes que ela tenta usar o telefone. A demanda de uso é estimada como sendo Poisson com uma média de 30 por hora. A chamada telefônica média tem uma distribuição exponencial com um tempo médio de 5 minutos.

Quantas cabines telefônicas devem ser instaladas?

Exercícios

Po


8.Um mecânico atende quatro máquinas. Para cada máquina o tempo médio entre as exigências de atendimento é de 10 horas e tratar-se de uma distribuição exponencial. O tempo de reparação das máquinas tende a seguir a mesma distribuição e tem um tempo médio de 2 horas. Quando uma máquina pára para reparos, o custo do tempo perdido é de $20,00 por hora. Os custos dos mecânicos são de $50,00 por dia.

(a) Qual o no esperado de máquinas em operação?(b) Qual o custo esperado de atraso por dia?(c) Seria desejável ter dois mecânicos, cada um deles atendendo apenas duas máquinas?

Exercícios


(Po) M/M/2, com população finita p

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(L) M/M/2, com população finita p

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60



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